Цогцолбор тоо, нийлмэл гишүүнтэй цуваа. Цогц тоонуудын нийлсэн цуваа Цогцолбор тооны нийлмэл цуваа
![Цогцолбор тоо, нийлмэл гишүүнтэй цуваа. Цогц тоонуудын нийлсэн цуваа Цогцолбор тооны нийлмэл цуваа](https://i1.wp.com/mathprofi.ru/k/slozhnye_ryady_clip_image006.gif)
Стандарт аргууд, гэхдээ өөр жишээгээр мухардалд хүрсэн.
Хэцүү зүйл юу вэ, хаана гацах вэ? Савантай олсыг хойш тавьж, шалтгааныг тайвнаар шинжилж, шийдвэрлэх практик аргуудтай танилцъя.
Эхний бөгөөд хамгийн чухал: дийлэнх тохиолдолд цувралын нийлэлтийг судлахын тулд зарим нэг танил аргыг хэрэглэх шаардлагатай байдаг ч цувралын нийтлэг нэр томьёо нь ийм төвөгтэй дүүргэлтээр дүүрэн байдаг тул үүнийг юу хийх нь тодорхойгүй байдаг. . Мөн та дугуйлан тойрон эргэлддэг: эхний тэмдэг ажиллахгүй, хоёр дахь нь ажиллахгүй, гурав, дөрөв, тав дахь арга нь ажиллахгүй, дараа нь ноорогуудыг хойш нь хаяж, бүх зүйл шинээр эхэлнэ. Энэ нь ихэвчлэн тооцооллын бусад хэсгүүдэд туршлага дутмаг эсвэл цоорхойтой холбоотой байдаг. Ялангуяа гүйж байгаа бол дарааллын хязгаарлалтмөн өнгөцхөн задалсан функцийн хязгаарлалт, тэгвэл хэцүү байх болно.
Өөрөөр хэлбэл, хүн мэдлэг, туршлагагүйн улмаас шаардлагатай шийдлийг олж хардаггүй.
Заримдаа, жишээлбэл, цувралыг нэгтгэхэд шаардлагатай шалгуур нь хангагдаагүй, харин мунхаглал, хайхрамжгүй байдал, хайхрамжгүй байдлаас болж энэ нь харагдахгүй болоход "хүртэлт" нь бас буруутай. Математикийн профессор зэрлэг давтагдах дараалал, тооны цувралын тусламжтайгаар хүүхдийн асуудлыг шийдсэн дугуйн дээрх шиг харагдаж байна =)
Шилдэг уламжлалд нэн даруй амьд жишээнүүд: эгнээ болон тэдний хамаатан садан нь онолын хувьд нотлогдож байгаа тул салж байна дарааллын хязгаарлалт. Эхний семестрт та 1-2-3 хуудас нотлохын тулд сэтгэлээсээ цохигдох магадлалтай, гэхдээ одоо цувралыг нэгтгэхэд шаардлагатай нөхцөл хангагдаагүй байгааг харуулахад хангалттай. мэдэгдэж байгаа баримтууд руу. Алдартай юу? Хэрэв оюутан n-р зэргийн үндэс нь туйлын хүчирхэг зүйл гэдгийг мэдэхгүй бол цуврал гэж хэлье
түүнийг эмх замбараагүй байдалд оруул. Хэдийгээр шийдэл нь хоёр ба хоёр шиг: , i.e. тодорхой шалтгааны улмаас цуврал хоёулаа ялгаатай. "Эдгээр хязгаар нь онолын хувьд батлагдсан" гэсэн даруухан тайлбар (эсвэл бүр огт байхгүй) нь нөхөхөд хангалттай бөгөөд тооцоолол нь нэлээд хүнд бөгөөд тэдгээр нь тоон цувралын хэсэгт хамаарахгүй нь гарцаагүй.
Дараагийн жишээнүүдийг судалсны дараа та олон шийдлийн товч бөгөөд ил тод байдлыг гайхах болно.
Жишээ 1
Цувралын нийлэлтийг судал
Шийдэл: юуны түрүүнд гүйцэтгэлийг шалгана уу нийлэх зайлшгүй шалгуур. Энэ бол албан ёсны зүйл биш, харин "бага зэрэг цус урсгасан" жишээтэй тэмцэх том боломж юм.
"Үзэгдэл үзэгдлийн үзлэг" нь дивергент цувралыг санал болгож байна (ерөнхий гармоник цувралын тохиолдол) гэхдээ дахин асуулт гарч ирнэ, тоологч дахь логарифмыг хэрхэн тооцох вэ?
Хичээлийн төгсгөлд хийх даалгаврын ойролцоо жишээ.
Хоёр талын (эсвэл бүр гурван талын) үндэслэлийг гаргах нь ховор тохиолддог.
Жишээ 6
Цувралын нийлэлтийг судал
Шийдэл: эхлээд тоологчийн үг хэллэгтэй болгоомжтой харьц. Дараалал нь хязгаарлагдмал: . Дараа нь:
Цувралтайгаа харьцуулж үзье. Саяхан олж авсан давхар тэгш бус байдлын ачаар бүх "en" хувьд энэ нь үнэн байх болно:
Одоо цувралыг дивергент гармоник цувралтай харьцуулж үзье.
Бутархай хуваагч багабутархайн хуваагч, тийм бутархай өөрөө – илүүбутархай (тодорхой биш бол эхний хэдэн нэр томъёог бичнэ үү). Тиймээс аливаа "en"-ийн хувьд:
Тиймээс харьцуулбал цуврал ялгаатайгармоник цувралын хамт.
Хэрэв бид хуваагчийг бага зэрэг өөрчилбөл: , тэгвэл үндэслэлийн эхний хэсэг нь ижил төстэй байх болно:
. Гэхдээ цувааны зөрүүг нотлохын тулд тэгш бус байдал нь худал тул зөвхөн харьцуулах хязгаарын тестийг ашиглах боломжтой.
Цуваа нийлэх нөхцөл байдал нь "толь", жишээлбэл, цувралын хувьд харьцуулах шалгуурыг хоёуланг нь ашиглаж болно (тэгш бус байдал нь үнэн), цувралын хувьд зөвхөн хязгаарлах шалгуурыг (тэгш бус байдал худал) ашиглаж болно.
Сайхан, шүүслэг гөрөөсний сүрэг тэнгэрийн хаяанд тодорч байсан зэрлэг байгальд бид сафаригаа үргэлжлүүлж байна.
Жишээ 7
Цувралын нийлэлтийг судал
Шийдэл: шаардлагатай нэгдэх шалгуур хангагдсан бөгөөд бид дахин сонгодог асуултыг асууж байна: юу хийх вэ? Бидний өмнө нэгдмэл цуваатай төстэй зүйл байдаг, гэхдээ энд тодорхой дүрэм байдаггүй - ийм холбоо нь ихэвчлэн хууран мэхэлсэн байдаг.
Ихэнхдээ, гэхдээ энэ удаад биш. Ашиглах замаар Харьцуулах шалгуурыг хязгаарлахЦуваагаа нэгтгэсэн цуваатай харьцуулж үзье. Хязгаарыг тооцоолохдоо бид ашигладаг гайхалтай хязгаар , хаана байна хязгааргүй жижигзогсож байна:
нийлдэг-ын дэргэд .
"Гурав"-аар үржүүлэх, хуваах стандарт хиймэл техникийг ашиглахын оронд нийлэх цуваатай харьцуулах боломжтой байсан.
Гэхдээ энд ерөнхий нэр томъёоны тогтмол үржүүлэгч нь цувралын нэгдэлд нөлөөлөхгүй гэдгийг анхааруулж байна. Яг энэ хэв маягаар дараах жишээний шийдлийг зохион бүтээсэн болно.
Жишээ 8
Цувралын нийлэлтийг судал
Хичээлийн төгсгөлд жишээ.
Жишээ 9
Цувралын нийлэлтийг судал
Шийдэл: өмнөх жишээнүүдэд бид синусын хязгаарлагдмал байдлыг ашигласан бол одоо энэ шинж чанар нь ажиллахгүй байна. Дээдийн бутархайн хуваагч өсөлтийн дараалалтоологчоос илүү, тиймээс синус аргумент болон бүхэл нийтлэг гишүүн байх үед хязгааргүй жижиг. Таны ойлгож байгаагаар нэгдэх зайлшгүй нөхцөл нь хангагдсан бөгөөд энэ нь биднийг ажлаас зайлсхийх боломжийг олгодоггүй.
Бид хайгуул хийх болно: дагуу гайхалтай тэнцэл , оюун санааны хувьд синусыг хаяж, цуврал авах. За, нэг тиймэрхүү зүйл….
Шийдвэр гаргах:
Судалж буй цувааг ялгаатай цувралтай харьцуулж үзье. Бид хязгаарыг харьцуулах шалгуурыг ашигладаг:
Төгсгөлгүй жижиг тоог тэнцүү нэгээр орлуулъя: for .
Тэгээс өөр хязгаарлагдмал тоо гарна гэдэг нь судалж буй цуваа гэсэн үг ялгаатайгармоник цувралын хамт.
Жишээ 10
Цувралын нийлэлтийг судал
Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм.
Ийм жишээн дээр цаашдын үйлдлүүдийг төлөвлөхөд синус, арксинус, тангенс, арктангенсыг оюун санааны хувьд үгүйсгэх нь маш их тусалдаг. Гэхдээ энэ боломж зөвхөн тэр үед л байдаг гэдгийг санаарай хязгааргүй жижигмаргаан, удалгүй би өдөөн хатгасан цувралтай танилцсан:
Жишээ 11
Цувралын нийлэлтийг судал .
Шийдэл: энд нумын тангенсийн хязгаарлагдмал байдлыг ашиглах нь ашиггүй бөгөөд эквивалент нь бас ажиллахгүй. Гаралт нь гайхалтай энгийн:
Судалгааны цуврал ялгаатай, учир нь цувааг нэгтгэхэд шаардлагатай шалгуур хангагдаагүй байна.
Хоёр дахь шалтгаан"Ажил дээрээ гаг" нь нийтлэг гишүүний зохистой боловсронгуй байдлаас бүрддэг бөгөөд энэ нь техникийн шинж чанартай хүндрэл учруулдаг. Товчхондоо, хэрэв дээр дурдсан цувралууд "таны таамагласан тоо" гэсэн ангилалд хамаарах бол эдгээр нь "та өөрөө шийднэ" гэсэн ангилалд хамаарна. Үнэндээ үүнийг "ердийн" утгаараа нарийн төвөгтэй байдал гэж нэрлэдэг. Хүн бүр саваннагийн хэд хэдэн хүчин зүйл, зэрэг, үндэс болон бусад оршин суугчдыг зөв шийдэж чаддаггүй. Мэдээжийн хэрэг, хүчин зүйл нь хамгийн их асуудал үүсгэдэг:
Жишээ 12
Цувралын нийлэлтийг судал
Факториалыг хэрхэн хүчирхэг болгох вэ? Амархан. Эрх мэдэл бүхий үйл ажиллагааны дүрмийн дагуу бүтээгдэхүүний хүчин зүйл бүрийг дараахь хүчин чадалд хүргэх шаардлагатай.
Мэдээжийн хэрэг, анхаарал хандуулж, дахин нэг удаа анхаарлаа хандуулаарай, d'Alembert тэмдэг нь өөрөө уламжлал ёсоор ажилладаг.
Тиймээс судалж буй цуврал нийлдэг.
Тодорхой бус байдлыг арилгах оновчтой арга техникийг би танд сануулж байна: тодорхой үед өсөлтийн дараалалтоологч ба хуваагч - энэ нь зовж шаналах, хаалт нээх шаардлагагүй юм.
Жишээ 13
Цувралын нийлэлтийг судал
Энэ араатан маш ховор боловч олддог бөгөөд камерын линзээр үүнийг тойрч гарах нь шударга бус хэрэг болно.
Давхар анхаарлын тэмдэгт хүчин зүйл гэж юу вэ? Факториал эерэг тэгш тооны үржвэрийг "салхи":
Үүний нэгэн адил, факториал эерэг сондгой тооны үржвэрийг "салгана":
Энэ хооронд ямар ялгаа байгааг шинжлэх
Жишээ 14
Цувралын нийлэлтийг судал
Мөн энэ даалгаварт зэрэгтэй андуурахгүй байхыг хичээ, гайхалтай тэнцэлболон гайхалтай хязгаарууд.
Хичээлийн төгсгөлд шийдэл, хариултын жишээ.
Гэхдээ оюутан зөвхөн баруудыг тэжээхээс гадна зальтай ирвэсүүд олзоо хайж олдог:
Жишээ 15
Цувралын нийлэлтийг судал
Шийдэл: шаардлагатай нэгдэх шалгуур, хязгаарлах шалгуур, д'Аламберт, Коши шалгуурууд бараг тэр дороо алга болдог. Гэхдээ хамгийн муу нь биднийг дахин дахин аварч байсан тэгш бус байдлын шинж чанар нь хүчгүй юм. Үнэн хэрэгтээ тэгш бус байдал үүссэн тул салангид цуваатай харьцуулах боломжгүй юм буруу - үржүүлэгч-логарифм нь зөвхөн хуваагчийг нэмэгдүүлж, бутархайг өөрөө багасгадаг.
бутархайтай холбоотой. Мөн өөр нэг дэлхий нийтийн асуулт: яагаад бид өөрсдийн цуврал гэдэгт итгэлтэй байна вэ?
салах нь гарцаагүй бөгөөд зарим нэг зөрүүтэй цуваатай харьцуулах ёстой юу? Тэр ерөөсөө таарч байна уу?
Интеграл шинж чанар? Буруу интеграл гашуудлын сэтгэлийг төрүүлдэг. Одоо хэрүүл маргаантай байсан бол
... тэгвэл тийм. Зогс! Ингэж л санаа төрдөг. Бид хоёр алхамаар шийдвэр гаргадаг.
1) Эхлээд бид цувралын нийлэлтийг судалдаг . Бидний хэрэглэдэг салшгүй шинж чанар:
Интеграл Үргэлжилсэндээр
Тиймээс тоо харгалзах буруу интегралтай хамт ялгадаг.
2) Манай цувралыг дивергент цувралтай харьцуул . Бид хязгаарыг харьцуулах шалгуурыг ашигладаг:
Тэгээс өөр хязгаарлагдмал тоо гарна гэдэг нь судалж буй цуваа гэсэн үг ялгаатайхажуугийн хамт .
Ийм шийдвэрт ер бусын, бүтээлч зүйл байхгүй - үүнийг ингэж шийдэх ёстой!
Би дараах хоёр хөдөлгөөнийг бие даан гаргахыг санал болгож байна.
Жишээ 16
Цувралын нийлэлтийг судал
Туршлагатай оюутан ихэнх тохиолдолд цувралууд нэгдэж эсвэл хуваагдаж байгааг тэр даруй олж хардаг боловч махчин амьтан бутанд ухаалгаар нуугдаж байдаг.
Жишээ 17
Цувралын нийлэлтийг судал
Шийдэл: эхлээд харахад энэ цуврал хэрхэн ажилладаг нь тодорхойгүй байна. Хэрэв бидний өмнө манан байгаа бол цувралыг нэгтгэхэд шаардлагатай нөхцөл байдлыг шалгахаас эхлэх нь логик юм. Тодорхой бус байдлыг арилгахын тулд бид живэх боломжгүй зүйлийг ашигладаг хавсарсан илэрхийллээр үржүүлэх, хуваах арга:
Шаардлагатай нэгдэх шинж тэмдэг ажиллахгүй байсан ч манай Тамбовын нөхрийг гэрэлд авчирсан. Гүйцэтгэсэн хувиргалтын үр дүнд ижил төстэй цувралыг олж авав , энэ нь эргээд нэгдэх цуваатай маш төстэй юм.
Бид цэвэр шийдлийг бичнэ:
Энэ цувралыг нийлэх цуваатай харьцуул. Бид хязгаарыг харьцуулах шалгуурыг ашигладаг:
Хавсарсан илэрхийллээр үржүүлэх, хуваах:
Тэгээс өөр хязгаарлагдмал тоо гарна гэдэг нь судалж буй цуваа гэсэн үг нийлдэг-ын дэргэд .
Зарим хүмүүс манай Африкийн сафари дээр чоно хаанаас ирсэн бэ гэсэн асуулт гарч ирж магадгүй юм. Мэдэхгүй ээ. Тэд авчирсан байх. Та дараах цомын арьсыг авах болно.
Жишээ 18
Цувралын нийлэлтийг судал
Хичээлийн төгсгөлд жишээ шийдэл
Эцэст нь олон оюутнуудад цөхрөнгөө барсан өөр нэг бодол: цуваа нийлэхэд ховор шалгуурыг ашиглах эсэхийн оронд? Раабегийн тэмдэг, Абелын тэмдэг, Гауссын тэмдэг, Дирихлетийн тэмдэг болон бусад үл мэдэгдэх амьтад. Санаа нь ажиллаж байгаа боловч бодит жишээн дээр энэ нь маш ховор хэрэгждэг. Би хувьдаа бүх жил дадлага хийхдээ 2-3 удаа л хандсан Раабегийн тэмдэгстандарт арсеналаас юу ч тусалсангүй. Би туйлын эрэл хайгуулынхаа явцыг бүрэн эхээр нь хүргэж байна:
Жишээ 19
Цувралын нийлэлтийг судал
Шийдэл: Ямар ч эргэлзээгүйгээр д'Аламберын тэмдэг. Тооцооллын явцад би градусын шинж чанарыг идэвхтэй ашигладаг хоёр дахь гайхалтай хязгаар:
Энд танд нэг юм. Д'Аламберын тэмдэг хариу өгсөнгүй, гэвч ийм үр дүнг юу ч илэрхийлээгүй.
Гарын авлагыг уншсаны дараа би онолын хувьд батлагдсан бага зэрэг мэддэг хязгаарыг олж, илүү хүчтэй радикал Коши шалгуурыг ашигласан:
Энд танд хоёр байна. Хамгийн гол нь цувралууд хоорондоо нийлдэг эсвэл хуваагддаг эсэх нь тодорхойгүй байна (миний хувьд маш ховор тохиолдол). Харьцуулахад шаардлагатай тэмдэг үү? Нэг их найдваргүй - би тоологч ба хуваагчийн өсөлтийн дарааллыг төсөөлшгүй байдлаар олж мэдсэн ч энэ нь шагналын баталгаа болж чадахгүй.
Бүрэн d'Alembert, гэхдээ хамгийн муу зүйл бол цувралыг шийдэх хэрэгтэй. Хэрэгцээтэй. Эцсийн эцэст энэ бол миний бууж өгөх анхны тохиолдол байх болно. Тэгээд илүү хүчтэй шинж тэмдгүүд байгаа юм шиг санагдав. Миний өмнө чоно, ирвэс, бар байхаа больсон. Энэ бол том биетэй том заан даллаж байв. Би гранат хөөргөгч авах хэрэгтэй болсон:
Раабегийн тэмдэг
Эерэг тооны цувралыг авч үзье.
Хэрэв хязгаар байгаа бол , дараа нь:
a) дараалан ялгаатай. Үүнээс гадна, үр дүнгийн утга нь тэг эсвэл сөрөг байж болно.
б) дараалан нийлдэг. Ялангуяа цуврал нь нийлдэг.
в) Хэзээ Раабегийн тэмдэг хариу өгөхгүй байна.
Бид хязгаарыг бүрдүүлж, бутархайг анхааралтай хялбарчилж байна:
Тийм ээ, зураг нь зөөлөн хэлэхэд тааламжгүй, гэхдээ би гайхахаа больсон. орон нутгийн дүрэм, тэгээд анхны бодол нь хожим нь зөв болсон. Гэхдээ эхлээд нэг цаг орчим би "ердийн" аргуудыг ашиглан хязгаарыг эргүүлж, эргүүлсэн боловч тодорхойгүй байдлыг арилгахыг хүссэнгүй. Туршлагын дагуу дугуйлан алхах нь асуудлыг шийдэх буруу арга замыг сонгосны ердийн шинж тэмдэг юм.
Би Оросын ардын мэргэн ухаанд хандах хэрэгтэй болсон: "Хэрэв юу ч тус болохгүй бол зааврыг уншина уу." Би Фихтенхольцын 2-р ботийг нээхэд их баярласандаа ижил цувралын судалгааг олж авлаа. Тэгээд шийдэл нь загварын дагуу явагдсан.
1. Цогцолбор тоо. Нарийн төвөгтэй тоомаягтын дугаар гэж нэрлэдэг x+iy,хаана Xболон у -бодит тоо, би-төсөөллийн нэгж,тэгш эрхээр тодорхойлогддог i 2 =-1.Бодит тоо Xболон цагттус тус дууддаг хүчинтэйболон төсөөлөлтэй хэсгүүднийлмэл тоо z.Тэдний хувьд тэмдэглэгээг танилцуулав. x=Rez; y=imz.
Геометрийн хувьд комплекс тоо бүр z=x+iyцэгээр дүрслэгдсэн М (х; у)координатын хавтгай xOy(Зураг 26). Энэ тохиолдолд онгоц хөөекомплекс тооны хавтгай гэж нэрлэдэг, эсвэл z цогцолбор хувьсагчийн хавтгай.
Туйлын координат rболон φ оноо М, z цогцолбор тооны дүрсийг нэрлэнэ модульболон маргааннийлмэл тоо z; Тэдний хувьд тэмдэглэгээг танилцуулав: r=|z|, φ=Argz.
Хавтгайн цэг бүр нь туйлын өнцгийн хязгааргүй тооны утгуудтай тохирч байгаа бөгөөд тэдгээр нь бие биенээсээ 2kπ (k нь эерэг эсвэл сөрөг бүхэл тоо) -ээр ялгаатай байдаг тул Arg нь z-ийн хязгааргүй утгатай z функц юм.
Энэ нь туйлын өнцгийн утгуудын тухай юм φ , энэ нь –π тэгш бус байдлыг хангадаг< φ ≤ π гэж нэрлэдэг гол ач холбогдоларгумент z ба arg z-г тэмдэглэнэ.
Дараах байдлаар тэмдэглэгээ φ z аргументийн үндсэн утгыг л хадгална , тэдгээр. тавья φ =argz,аргументийн бусад бүх утгын хувьд zбид тэгш байдлыг олж авдаг
Arg z = arg z + 2kπ =φ + 2kπ.
z цогцолбор тоо ба түүний бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийн модуль ба аргументуудын хоорондын хамаарлыг томъёогоор тогтооно.
x = r cos φ; y = r sin φ.
Аргумент zтомъёогоор мөн тодорхойлж болно
arg z = arctg (y / x) + C,
хаана FROM= 0 үед x > 0, FROM x-ийн хувьд = +π<0, цагт> 0; C \u003d - π үед x < 0, цагт< 0.
Солих xболон цагтнийлмэл тооны тэмдэглэгээнд z = x+iyдамжуулан тэдний илэрхийлэл rболон φ , бид гэж нэрлэгддэг зүйлийг олж авдаг Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэр:
Нарийн төвөгтэй тоо z 1 \u003d x 1 + iy 1болон z 2 \u003d x 2 + iy 2авч үзсэн тэнцүүХэрэв тэдгээрийн бодит ба төсөөлөл хэсгүүд нь тус тусад нь тэнцүү байвал:
z1 = z2, хэрэв x 1 = x 2, y 1 = y 2 .
Тригонометрийн хэлбэрээр өгөгдсөн тоонуудын хувьд эдгээр тоонуудын модулиуд тэнцүү бөгөөд аргументууд нь 2π-ийн бүхэл үржвэрээр ялгаатай байвал тэгш байдал үүснэ.
z 1 = z 2,хэрэв |z 1 | = |z 2 |болон Arg z 1 = Arg z 2 +2kπ.
Хоёр комплекс тоо z = x+iyболон z = x -iyтэнцүү бодит ба эсрэг төсөөлөлтэй хэсгүүдийг гэнэ хосолсон.Нийлмэл нийлмэл тоонуудын хувьд харилцаа
|z 1 | = |z 2 |; arg z 1 = -arg z 2,
(сүүлийн тэгш байдлыг хэлбэрт оруулж болно Arg z 1 + Arg z 2 = 2kπ).
Комплекс тоон дээрх үйлдлүүдийг дараах дүрмээр тодорхойлно.
Нэмэлт. Хэрвээ z 1 \u003d x 1 + iy 1, z 2 \u003d x 2 + iy 2, дараа нь
Нарийн төвөгтэй тоог нэмэх нь солих ба ассоциатив хуулиудад захирагдана.
Хасах. Хэрвээ , дараа нь
Комплекс тоонуудын нэмэх хасах үйлдлийг геометрийн тайлбарын хувьд хавтгай дээрх цэгүүдээр биш харин дүрслэх нь зүйтэй. z,ба векторууд: z тоо = x + iyвектороор илэрхийлэгдэнэ эхлэл нь О цэг дээр (хавтгайн "тэг" цэг - координатын гарал үүсэл) цэг дээр төгсгөлтэй байх М(х; у).Дараа нь нийлмэл тоог нэмэх, хасах үйлдлийг векторуудыг нэмэх, хасах дүрмийн дагуу гүйцэтгэнэ (Зураг 27).
Векторуудыг нэмэх, хасах үйлдлүүдийн ийм геометрийн тайлбар нь хоёрын нийлбэр ба ялгаварын модуль ба хэд хэдэн цогцолбор тооны нийлбэрийг тэгш бус байдлаар илэрхийлсэн теоремуудыг тогтооход хялбар болгодог.
| |z 1 |-|z 2 | | ≤ |z 1 ±z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 | ,
Үүнээс гадна үүнийг санах нь зүйтэй хоёр комплекс тооны зөрүүний модуль z1 болон z2 z хавтгай дээрх тэдгээрийн дүрс болох цэгүүдийн хоорондох зайтай тэнцүү байна:| |z 1 -z 2 |=d(z 1 ,z 2) .
Үржүүлэх. Хэрвээ z 1 \u003d x 1 + iy 1, z 2 \u003d x 2 + iy 2. тэгээд
z 1 z 2 \u003d (x 1 x 2 -y 1 y 2) + i (x 1 y 2 + x 2 y 1).
Тиймээс нийлмэл тоонуудыг хоёр тоогоор үржүүлж, i 2-ыг -1-ээр солино.
IF , тэгвэл
Энэ замаар, бүтээгдэхүүний модуль нь somnoektels-ийн модулиудын бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү бөгөөд бүтээгдэхүүний аргумент-хүчин зүйлсийн аргументуудын нийлбэр.Нарийн төвөгтэй тоог үржүүлэх нь шилжих, ассоциатив, хуваарилах (нэмэлтийн хувьд) хуулиудад захирагдана.
Хэлтэс.Алгебрийн хэлбэрээр өгөгдсөн хоёр цогц тооны хуваагчийг олохын тулд ногдол ашиг ба хуваагчийг хуваагчтай холбох тоогоор үржүүлэх хэрэгтэй.
" Хэрвээ тригонометрийн хэлбэрээр өгөгдсөн бол
Энэ замаар, хэсгийн модуль нь ногдол ашиг ба хуваагчийн модулийн коэффициенттэй тэнцүү,а маргаанхувийн нь ногдол ашиг ба хуваагчийн аргументуудын зөрүүтэй тэнцүү байна.
Экспоненциал. Хэрэв z= , дараа нь Ньютоны хоёр гишүүний томъёогоор
(Пэерэг бүхэл тоо); үүссэн илэрхийлэлд градусыг солих шаардлагатай битэдгээрийн утга:
би 2 \u003d -1; i 3 =i; i 4 =1; би 5 =1,…
мөн ерөнхийдөө
би 4к = 1; би 4k+1 =i; би 4к+2 = -1; i 4k+3 = -i .
Хэрэв бол
(энд Пэерэг бүхэл тоо эсвэл сөрөг бүхэл тоо байж болно).
Тухайлбал,
(Де Мойврын томъёо).
Үндэс олборлолт. Хэрвээ Пэерэг бүхэл тоо, дараа нь комплекс тооны n-р үндэс zтомъёогоор олддог n өөр утгатай
Энд k=0, 1, 2, ..., n-1.
437.
(z 1 z 2)/z 3 бол ол z1 = 3 + 5i, z 2 = 2 + 3i, z 3 = 1+2i.
∆
438.
тоо z= 2 + 5i.
∆ Комплекс тооны модулийг ол: . Аргументийн үндсэн утгыг ол: . Тиймээс ▲
439.
Тригонометрийн хэлбэрээр цогцолборыг төлөөл
тоо
∆ олох , ; , , i.e.
440.
Тригонометрийн цогцолбор хэлбэрээр төлөөлдөг
тоо 1, i, -1, -i.
441.
Тоонуудыг төлөөлөх ,
,
тригонометрийн хэлбэрээр, дараа нь комплекс тоог ол
z 1 /(z 2 z 3).
∆ олох
Үүний үр дүнд,
442. Бүх утгыг ол.
∆ Бид комплекс тоог тригонометрийн хэлбэрээр бичнэ. Бидэнд байгаа , , . Үүний үр дүнд,
Үүний үр дүнд, , ,
443. Хоёртын тэгшитгэлийг шийд ω 5 + 32i = 0.
∆ Тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичье ω 5 + 32i = 0. Тоо -32iтригонометрийн хэлбэрээр илэрхийлнэ:
Хэрвээ k = 0дараа нь (A).
k=1,(B).
k=2,(C).
k=3,(D).
k=4,(E).
Хоёр гишүүнт тэгшитгэлийн үндэс нь радиустай тойрогт сийлсэн ердийн таван өнцөгтийн оройтой тохирч байна. R=2гарал үүсэл дээр төвлөрсөн (Зураг 28).
Ерөнхийдөө хоёр гишүүнт тэгшитгэлийн үндэс ω n \u003d a,хаана а-цогц тоо, тогтмолын оройтой тохирч байна n-gon нь ▲-тэй тэнцүү, радиус нь эхэн дээрээ төвтэй тойрог дотор бичигдсэн
444. Де Мойврын томъёог ашиглан илэрхийл cos5φболон sin5 φдамжуулан cosφболон sinφ.
∆ Бид тэгш байдлын зүүн талыг Ньютоны бином томъёоны дагуу хувиргана.
Энэ нь тэгш байдлын бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг тэнцүүлэх хэвээр байна.
445. Комплекс тоо өгөгдсөн z=2-2i. Хай Rez, Imz, |z|, argz.
446. z = -12 + 5i.
447 . Moivre томъёог ашиглан илэрхийллийг тооцоол (cos 2° + isin 2°) 45 .
448. Де Мойврын томьёог ашиглан тооцоол.
449. Комплекс тоог тригонометрийн хэлбэрээр илэрхийл
z = 1 + cos 20° + isin 20°.
450. Илэрхийлэлийг үнэлэх (2 + 3i) 3 .
451.
Илэрхийлэлийг үнэлэх
452. Илэрхийлэлийг үнэлэх
453. Комплекс тоог тригонометрийн хэлбэрээр илэрхийл 5-3i.
454. Комплекс тоог тригонометрийн хэлбэрээр илэрхийл -1 + би.
455.
Илэрхийлэлийг үнэлэх
456.
Илэрхийлэлийг үнэлэх Өмнө нь тоологч ба хуваагч дахь хүчин зүйлсийг тригонометрийн хэлбэрээр танилцуулсан.
457. Бүх утгыг ол
458.
Хоёртын тэгшитгэлийг шийд
459. илэрхийлэх cos4φболон sin4φдамжуулан cosφболон sinφ.
460. Цэгүүдийн хоорондох зайг харуул z1болон z2тэнцүү | z2-z1|.
∆ Бидэнд байна z 1 \u003d x 1 + iy 1, z 2 \u003d x 2 + iy 2, z 2 -z 1 \u003d (x 2 -x 1) + i (y 2 -y 1),хаана
тэдгээр. | z2-z1| өгөгдсөн цэгүүдийн хоорондох зайтай тэнцүү байна. ▲
461. Аль шугамыг цэгээр дүрсэлсэн байна z, тэгшитгэлийг хангах нь хаана -тай-тогтмол комплекс тоо ба R>0?
462.
Тэгш бус байдлын геометрийн утга нь юу вэ: 1) | z-c|
463. Тэгш бус байдлын геометрийн утга нь юу вэ: 1) Rez > 0; 2) би з< 0 ?
2. Цогцолбор нэр томъёо бүхий цуврал. Комплекс тоонуудын дарааллыг авч үзье z 1 , z 2 , z 3 , ..., хаана z p \u003d x p + iy p (n \u003d 1, 2, 3, ...).тогтмол тоо c = a + biдуудсан хязгаардараалал z 1 , z 2 , z 3 , ..., хэрэв дур мэдэн бага тооны хувьд δ>0 тоо байна Н,утга учир нь юу вэ z pтоонуудтай n > Нтэгш бус байдлыг хангана \z n-Хамт\< δ . Энэ тохиолдолд бичнэ үү .
Нарийн төвөгтэй тоонуудын дарааллын хязгаар байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл нь дараах байдалтай байна: тоо c=a+biнийлмэл тоонуудын дарааллын хязгаар юм x 1 + iy 1, x 2 + iy 2, x 3 + iy 3, ...хэрэв зөвхөн хэрэв , .
(1)
гишүүд нь комплекс тоо гэж нэрлэдэг нэгдэх,хэрэв nth S n цувралын хэсэгчилсэн нийлбэр n → ∞тодорхой төгсгөлийн хязгаарт хүрэх хандлагатай байдаг. Үгүй бол (1) цувралыг дуудна ялгаатай.
Цуврал (1) нь зөвхөн бодит нөхцөлтэй цуваа нийлсэн тохиолдолд нийлдэг
(2) Цувралын нийлэлтийг судлах Нэр томъёо нь хязгааргүй багасах геометр прогрессийг бүрдүүлдэг энэ цуваа нийлдэг; тиймээс нийлмэл гишүүнтэй өгөгдсөн цуваа туйлын нийлдэг. ^
474. Цувралын нийлэх талбайг ол
Дарааллын хязгаарын тухай ойлголт (1.5) байгаа нь нийлмэл домайн дахь цувралуудыг (тоон болон функциональ) авч үзэх боломжийг бидэнд олгодог. Хэсэгчилсэн нийлбэр, тоон цувааны үнэмлэхүй болон нөхцөлт нийлэлтийг стандартаар тодорхойлдог. Хаана цувралын нэгдэл нь хоёр цувралын нийлэлтийг илэрхийлдэг, тэдгээрийн нэг нь цувааны нөхцлийн бодит, нөгөө нь төсөөллийн хэсгүүдээс бүрддэг: Жишээ нь, цуваа туйлын нийлдэг ба цуваа. − ялгарах (төсөөлөл хэсгийн улмаас).
Хэрэв цувралын бодит ба төсөөллийн хэсгүүд туйлын нийлдэг бол
эгнээ, учир нь . Мөн эсрэгээр нь үнэн юм: нийлмэл цувралын үнэмлэхүй нийлбэрээс
Бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийн үнэмлэхүй нийлбэр нь дараах байдалтай байна.
Бодит домайн дахь функциональ цувралын нэгэн адил цогцолбор
функциональ цуваа, тэдгээрийн цэгэн ба жигд нийлэх талбай. Өөрчлөлтгүйгээр
томъёолж, батлагдсан Weierstrass тэмдэгжигд нэгдэл. аврагдсан
жигд нийлсэн цувааны бүх шинж чанарууд.
Функциональ цувралуудыг судлахад онцгой анхаарал хандуулдаг хүч
зэрэглэл: , эсвэл солисны дараа : . Бодит тохиолдол шиг
хувьсагч, үнэн Абел теорем : хэрвээ (сүүлийн) зэрэглэлийн цуваа ζ 0 ≠ 0 цэгт нийлдэг бол тэгш бус байдлыг хангадаг аливаа ζ-ийн хувьд энэ нь нийлнэ.
Энэ замаар, нийлэх муж Dэнэ хүчний цуваа нь эх цэг дээр төвлөрсөн R радиустай тойрог юм, хаана Р − нэгдэх радиус − утгын яг дээд хязгаар (Энэ нэр томъёо хаанаас ирсэн бэ). Анхны цахилгаан цуваа нь эргээд радиусын тойрогт нийлнэ Ртөвтэй z 0 . Түүнээс гадна, ямар ч хаалттай тойрогт эрчим хүчний цуваа нь туйлын бөгөөд жигд нийлдэг (сүүлийн мэдэгдэл нь Вейерштрассын туршилтаас шууд гардаг ("Цуврал" хичээлийг үзнэ үү)).
Жишээ .
Нийцэх тойргийг олоод tt-д нийлэх эсэхийг шалга. z 1 ба z 2 цахилгаан цуврал Шийдэл.
нэгдэх муж − радиусын тойрог Р= 2 төв нь t. z 0 = 1 − 2би
. z 1 нь нийлэх тойргийн гадна орших ба цуваа нь хуваагдана. At, i.e. цэг нь нийлэх тойргийн хил дээр оршдог. Үүнийг анхны цуврал болгон орлуулснаар бид дараахь дүгнэлтийг гаргаж байна.
− цуврал нь Лейбницийн шалгуурын дагуу нөхцөлт нийлдэг.
Хэрэв бүх хилийн цэгүүдэд цуваа нь шаардлагатай шалгуурын дагуу туйлын нийлдэг эсвэл зөрөөд байвал үүнийг бүхэл бүтэн хилийн дагуу нэн даруй тогтоож болно. Үүнийг хийхийн тулд дараалан орлуулна
нэр томъёоны утгын модулиудаас Рилэрхийллийн оронд гарч ирсэн цувралыг шалгана уу.
Жишээ. Сүүлчийн жишээн дээрх цувралыг нэг хүчин зүйлийг өөрчилнө үү.
Цувралын нэгдэх бүс ижил хэвээр байна: Цуврал модулийг орлуулах
Үүссэн нэгдэх радиус:
Хэрэв бид цувааны нийлбэрийг -ээр тэмдэглэвэл е(z), i.e. е(z) = (байгалийн хувьд, in
нийлэх муж), дараа нь энэ цувралыг дуудна Тейлорын ойролцоо функцууд е(z) эсвэл функцийг өргөжүүлэх е(z) Тейлорын цувралд. Тодорхой тохиолдолд z 0 = 0-ийн хувьд цувралыг дуудна Маклаурины ойролцоо функцууд е(z) .
1.7 Үндсэн энгийн функцүүдийн тодорхойлолт. Эйлерийн томъёо.
Хүчний цувралыг авч үзье If zнь бодит хувьсагч, дараа нь илэрхийлнэ
нь функцийн Маклаурины цуврал өргөтгөл бөгөөд тиймээс хангадаг
экспоненциал функцийн шинж чанар: , i.e. . Энэ нь тодорхойлох үндэс юм экспоненциал функццогцолбор бүсэд:
Тодорхойлолт 1. .
Функцуудыг ижил төстэй байдлаар тодорхойлдог
Тодорхойлолт 2.
Бүх гурван цуваа нь цогц хавтгайн аль ч хязгаарлагдмал хаалттай бүсэд туйлын бөгөөд жигд нийлдэг.
Олж авсан гурван томьёогоос энгийн орлуулалтаар дүгнэлт гаргана Эйлерийн томъёо:
Эндээс тэр даруй дагаж мөрддөг жагсаал комплекс тоонуудын тэмдэглэгээ:
Эйлерийн томъёо нь энгийн ба гипербол тригонометрийн хоорондын холбоог тогтоодог.
Жишээлбэл, функцийг авч үзье: Үлдсэн харилцааг ижил аргаар олж авдаг. Тэгэхээр:
Жишээ. Эдгээр илэрхийллийг хэлбэрээр илэрхийлнэ үү
2. (хаалтанд байгаа илэрхийлэл нь тоо юм би
, экспоненциал хэлбэрээр бичигдсэн)
4. 2-р эрэмбийн шугаман DE-ийн шугаман бие даасан шийдлүүдийг ол:
Онцлог тэгшитгэлийн үндэс нь:
Бид тэгшитгэлийн бодит шийдлүүдийг хайж байгаа тул функцүүдийг авч болно
Эцэст нь хэлэхэд комплекс хувьсагчийн логарифм функцийг тодорхойлъё. Бодит домэйны нэгэн адил бид үүнийг экспоненциалтай урвуу гэж үзэх болно. Энгийн байхын тулд бид зөвхөн экспоненциал функцийг авч үзэх болно, i.e. -ийн тэгшитгэлийг шийд w, үүнийг бид логарифм функц гэж нэрлэдэг. Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлийн логарифмыг авч үзье zэкспоненциал хэлбэрээр:
Хэрэв arg-ын оронд бол zАрг гэж бичээрэй z(1.2), тэгвэл бид хязгааргүй утгатай функцийг олж авна
1.8 FKP-ийн дериватив. Аналитик функцууд. Коши-Риманы нөхцөл.
Болъё w = е(z) нь домэйнд тодорхойлогдсон нэг утгатай функц юм.
Тодорхойлолт 1. дериватив функцээс е (z) цэг дэх функцын өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулах харьцааны хязгаар гэж нэрлэдэг бөгөөд сүүлийнх нь тэг байх хандлагатай байдаг.
Нэг цэгт деривативтай функц z, гэж нэрлэдэг ялгах боломжтой энэ үед.
Деривативын бүх арифметик шинж чанарууд хангагдсан нь ойлгомжтой.
Жишээ .
Ньютоны бином томъёог ашиглан ижил төстэй дүгнэлт гаргана
Экспонент, синус, косинусын цуваа нь гишүүнчлэлээр ялгах бүх нөхцлийг хангадаг. Шууд баталгаажуулснаар дараахь зүйлийг олж авахад хялбар болно.
Сэтгэгдэл. Хэдийгээр FKP деривативын тодорхойлолт нь FDP-ийн тодорхойлолттой албан ёсоор бүрэн давхцаж байгаа боловч энэ нь үндсэндээ илүү төвөгтэй юм (1.5-р хэсгийн тайлбарыг үзнэ үү).
Тодорхойлолт 2.Чиг үүрэг е(z), домэйны бүх цэгүүдэд тасралтгүй ялгах боломжтой Г, гэж нэрлэдэг аналитик эсвэл тогтмол энэ бүс нутагт.
Теорем 1 . Хэрэв функц f (z) G домэйны бүх цэгүүдэд ялгах боломжтой, дараа нь энэ талбарт аналитик юм. (b/d)
Сэтгэгдэл. Үнэн хэрэгтээ энэ теорем нь домэйн дээрх FKP-ийн тогтмол байдал ба дифференциал байдлын эквивалентыг тогтоодог.
Теорем 2. Зарим домэйнд ялгах боломжтой функц нь тухайн домэйнд хязгааргүй олон деривативтай байдаг. (b/d. Доорх (2.4-р хэсэгт) энэ мэдэгдлийг зарим нэмэлт таамаглалаар нотлох болно)
Бид функцийг бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийн нийлбэрээр илэрхийлдэг. Теорем 3. ( Коши-Риманы нөхцөл). Функцийг зөвшөөр е (z) хэзээ нэгэн цагт ялгах боломжтой. Дараа нь функцууд у(x,y) ба v(x,y) энэ үед хэсэгчилсэн деривативтай, мөн
Тэгээд дуудсан Коши-Риманы нөхцөл .
Баталгаа . Деривативын үнэ цэнэ нь хэмжигдэхүүний хандлагаас хамаардаггүй
Тэглэхийн тулд бид дараах замыг сонгоно: Бид дараахь зүйлийг авна.
Үүний нэгэн адил, хэзээ бидэнд байгаа:
, энэ нь теоремыг баталж байна.
Үүний эсрэг заалт нь бас үнэн юм:
Теорем 4.Хэрэв функцууд у (x,y) ба v(x,y) хэзээ нэгэн цагт Коши-Риманы нөхцлийг хангадаг тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай, дараа нь функц өөрөө байна. е(z) энэ үед ялгарах боломжтой. (b/d)
1-4-р теоремууд нь FKP болон FDP-ийн үндсэн ялгааг харуулж байна.
Теорем 3 нь дараахь томъёоны аль нэгийг ашиглан функцийн деривативыг тооцоолох боломжийг танд олгоно.
Үүний зэрэгцээ нэгийг нь авч үзэж болно Xболон цагтдурын нийлмэл тоо, томъёог ашиглан деривативыг тооцоол.
Жишээ. Функцийг тогтмол эсэхийг шалгана уу. Хэрэв функц тогтмол бол түүний деривативыг тооцоол.
Тодорхойлолт:Комплекс тоонуудын тооны цуваа z 1, z 2, …, z n , …хэлбэрийн илэрхийлэл гэж нэрлэдэг
z 1 + z 2 + …, z n + … = ,(3.1)
Энд z n-ийг цувралын нийтлэг гишүүн гэж нэрлэдэг.
Тодорхойлолт:Тоо S n \u003d z 1 + z 2 + ..., z nцувралын хэсэгчилсэн нийлбэр гэж нэрлэдэг.
Тодорхойлолт:Хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дараалал (S n ) нийлж байвал (1) цувааг нийлдэг гэж нэрлэдэг. Хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дараалал зөрүүтэй байвал цувралыг дивергент гэж нэрлэдэг.
Хэрэв цуваа нийлбэл S = тоог цувааны нийлбэр (3.1) гэнэ.
z n = x n + iy n,
дараа нь цуврал (1) гэж бичнэ
= + .
Теорем:Цуврал (1) нь цуваа (3.1)-ийн нөхцлийн бодит ба төсөөлөл хэсгээс бүрдэх ба цувралууд нийлэх тохиолдолд л нийлнэ.
Энэ теорем нь бодит нөхцлийн хажууд байгаа нийлэх шалгуурыг нийлмэл гишүүн (шаардлагатай шалгуур, харьцуулах шалгуур, д'Аламбер, Коши шалгуур гэх мэт) бүхий цуваа руу шилжүүлэх боломжийг олгодог.
Тодорхойлолт.Хэрэв гишүүдийн модулиудаас бүрдэх цувралууд нийлдэг бол (1) цувралыг туйлын нийлдэг гэж нэрлэдэг.
Теорем.Цуврал (3.1)-ийн үнэмлэхүй ойртохын тулд цуваа болон туйлын нийлэх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм.
Жишээ 3.1.Цувралын нэгдлийн мөн чанарыг олж мэд
Шийдэл.
Цувралыг авч үзье
Эдгээр цувралууд туйлын нийлдэг гэдгийг харуулъя. Үүнийг хийхийн тулд бид цуврал гэдгийг баталж байна
Нэгдэх.
Учир нь бид эгнээний оронд эгнээ авдаг. Хэрэв сүүлийн цуваа нийлдэг бол цувралууд нь харьцуулах замаар нийлдэг.
Цувралын нэгдэл ба интеграл шалгуурын тусламжтайгаар нотлогддог.
Энэ нь цуврал ба нийлбэр туйлын нийлдэг гэсэн үг бөгөөд сүүлчийн теоремын дагуу анхны цуваа туйлын нийлдэг.
4. Цогц нэр томъёо бүхий чадлын цуваа. Абелийн чадлын цуврал теорем. Тойрог ба нэгдэх радиус.
Тодорхойлолт.Хүчний цуваа нь хэлбэрийн цуваа юм
Энд ..., цувралын коэффициент гэж нэрлэгддэг комплекс тоонууд юм.
Цувралын нийлэх муж (4.I) нь тойрог юм.
Бүх хүчийг агуулсан өгөгдсөн цувралын нэгдэх радиус R-ийг олохын тулд дараах томъёоны аль нэгийг ашиглана.
Хэрэв цуврал (4.1) -ийн бүх хүчийг агуулаагүй бол түүнийг олохын тулд d'Alembert эсвэл Cauchy тестийг шууд ашиглах ёстой.
Жишээ 4.1.Цувралын нийлэх тойргийг ол:
Шийдэл:
a) Энэ цувралын нэгдэх радиусыг олохын тулд бид томъёог ашиглана
Манай тохиолдолд
Тиймээс цувралын нийлэх тойргийг тэгш бус байдлаар өгнө
б) Цувралын нэгдэх радиусыг олохын тулд бид d'Alembert шалгуурыг ашиглана.
Хязгаарыг тооцоолохын тулд L'Hopital дүрмийг хоёр удаа ашигласан.
d'Alembert тестийн дагуу хэрэв . Тиймээс бид цувралын ойрын тойрогтой болно.
5. Комплекс хувьсагчийн экспоненциал ба тригонометрийн функцууд.
6. Эйлерийн теорем. Эйлерийн томъёо. Комплекс тооны экспоненциал хэлбэр.
7. Нэмэх теорем. Экспоненциал функцийн үечлэл.
Экспоненциал функц ба тригонометрийн функцууд нь харгалзах чадлын цувралын нийлбэрээр тодорхойлогддог, тухайлбал:
Эдгээр функцууд нь Эйлерийн томъёогоор холбогддог.
Гиперболын косинус ба синусыг тригонометрийн косинус ба синустай томъёогоор холбодог.
, , , функцууд нь бодит шинжилгээгээр тодорхойлогддог.
Аливаа комплекс тоо ба нэмэх теоремын хувьд:
Аливаа комплекс тоог экспоненциал хэлбэрээр бичиж болно.
түүний аргумент юм.
Жишээ 5.1.Хай
Шийдэл.
Жишээ 5.2.Тоог экспоненциал хэлбэрээр илэрхийл.
Шийдэл.
Энэ тооны модуль ба аргументыг ол:
Дараа нь бид авна
8. Комплекс хувьсагчийн функцүүдийн хязгаар, тасралтгүй байдал, жигд тасралтгүй байдал.
Болъё Энь цогц хавтгай дахь зарим багц цэгүүд юм.
Тодорхойлолт.Тэд зураг авалтын талбай дээр ингэж хэлдэг Эфункц өгөгдсөн ецогц хувьсагч z,Хэрэв цэг бүр zДүрмээр бол E енэг буюу хэд хэдэн нийлмэл тоо оноогдсон w(эхний тохиолдолд функцийг нэг утгатай, хоёр дахь нь олон утгатай гэж нэрлэдэг). Тэмдэглэх w = f(z). Энь функцийн тодорхойлолтын домэйн юм.
аливаа функц w = f(z) (z = x + iy)хэлбэрээр бичиж болно
f(z) = f(x + iy) = U(x, y) + iV(x, y).
U(x, y) = R f(z)функцийн бодит хэсэг гэж нэрлэдэг ба V(x, y) = Imf(z) f(z) функцийн төсөөллийн хэсэг юм.
Тодорхойлолт.Функцийг зөвшөөр w = f(z)цэгийн зарим хөршид тодорхойлогддог бөгөөд өвөрмөц байдаг z 0,магадгүй хамгийн гол зүйлийг эс тооцвол z0. А тоог функцийн хязгаар гэж нэрлэдэг f(z)цэг дээр z0, хэрэв байгаа бол ε > 0 бол бүгдэд зориулсан δ > 0 тоог зааж өгч болно z = z0тэгш бус байдлыг хангах |z – z 0 |< δ , тэгш бус байдал | f(z) – A|< ε.
бичих
Тодорхойлолтоос харахад ийм байна z→z0дур зоргоороо.
Теорем.Функцийн хязгаар оршин тогтнохын тулд w = f(z)цэг дээр z 0 = x 0 + iy 0энэ нь шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм функцийн хязгаар U(x, y)болон V(x, y)цэг дээр (x0, y0).
Тодорхойлолт.Функцийг зөвшөөр w = f(z) z 0 цэгийн зарим хөршид тодорхой бөгөөд өвөрмөц байдаг, үүнд энэ цэг нь өөрөө багтана. Чиг үүрэг f(z) z 0 цэг дээр тасралтгүй гэж нэрлэдэг бол
Теорем.Нэг цэг дэх функцийн тасралтгүй байдлын хувьд z 0 = x 0 + iy 0үйл ажиллагаа явуулах нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм U(x, y)болон V(x, y)цэг дээр (x0, y0).
Бодит хувьсагчийн функцүүдийн хязгаар ба тасралтгүй байдалтай холбоотой хамгийн энгийн шинж чанарууд нь нийлмэл хувьсагчийн функцүүдэд шилждэг болохыг теоремуудаас харж болно.
Жишээ 7.1.Функцийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг салга.
Шийдэл.
Функцийг тодорхойлсон томъёонд бид орлуулна
Хоёр өөр чиглэлд тэг болгохын тулд функц U(x, y)өөр өөр хязгаартай. Энэ нь цэг дээр гэсэн үг юм z = 0функц f(z)хязгааргүй. Дараа нь функц f(z)цэгүүдэд тодорхойлогддог.
Болъё z 0 = x 0 + iy 0, эдгээр цэгүүдийн нэг.
Энэ нь цэгүүдэд гэсэн үг юм z = x + iyцагт y 0 функц тасралтгүй байна.
9. Комплекс хувьсагчийн функцүүдийн дараалал ба цуваа. Нэг төрлийн нэгдэл. Эрчим хүчний цувралын тасралтгүй байдал.
Тэгш нийлбэрийн онолд нийцсэн жигд нийлбэрийн цогц хувьсагчийн нийлсэн дараалал ба нийлсэн цувааны функцүүдийн тодорхойлолтыг дарааллын хязгаарын тасралтгүй байдал, цувааны нийлбэр нь яг ижил аргаар үүсгэж, нотлогддог. бодит хувьсагчийн функцүүдийн дараалал ба цувралын хувьд.
Функциональ цувралын талаар дараах зүйлсэд шаардлагатай баримтуудыг танилцуулъя.
Талбайд оруул Днийлмэл хувьсагчийн нэг утгатай функцуудын дараалал (fn (z)) тодорхойлогддог. Дараа нь тэмдэг:
дуудсан функциональ хүрээ.
Хэрвээ z0харьяалагддаг Дзассан, дараа нь цуврал (1) тоон байх болно.
Тодорхойлолт.Функциональ хүрээ (1) бүс нутагт конвергент гэж нэрлэдэг Д, хэрэв байгаа бол zэзэмшдэг Д, түүнд харгалзах тооны цуваа нийлнэ.
Хэрэв эгнээ (1) бүс нутагт нэгдэж байна Д, дараа нь энэ мужид нэг утгатай функцийг тодорхойлж болно f(z), цэг бүр дэх үнэ цэнэ zэзэмшдэг Дхаргалзах тооны цувралын нийлбэртэй тэнцүү байна. Энэ функцийг нэрлэдэг цувралын нийлбэр (1) -ийн талбайд Д .
Тодорхойлолт.Хэрвээ
хэний ч төлөө zэзэмшдэг D,Дараахь тэгш бус байдал байна.
дараа нь цуврал (1) бүс нутагт жигд нийлдэг гэж нэрлэдэг Д.
Нарийн төвөгтэй нэр томъёо бүхий цуврал.
19.3.1. Нарийн төвөгтэй нэр томъёо бүхий тоон цуваа.Конвергенцийн бүх үндсэн тодорхойлолтууд, нийлсэн цувааны шинж чанарууд, нийлмэл цувааны нэгдэх шалгуурууд нь бодит тохиолдлоос ямар ч ялгаагүй.
19.3.1.1. Үндсэн тодорхойлолтууд. Хязгааргүй цогц тоонуудын дарааллыг өгье. Тооны бодит хэсгийг , төсөөлөлийг - (өөрөөр хэлбэл .
Тооны цуврал- бичлэгийг үзэх .
Цувралын хэсэгчилсэн нийлбэр:
Тодорхойлолт.Хэрэв хязгаар байгаа бол С -тэй цувралын хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дараалал, энэ нь зохих комплекс тоо, дараа нь цуваа нийлнэ гэж хэлнэ; тоо С цувааны нийлбэр гэж нэрлээд эсвэл бичнэ.
Хэсэгчилсэн нийлбэрийн бодит ба төсөөллийн хэсгийг ол: , энд тэмдэгтүүд нь хэсэгчилсэн нийлбэрийн бодит ба төсөөллийн хэсгийг тэмдэглэнэ. Тоон дараалал нь түүний бодит болон төсөөллийн хэсгүүдээс бүрдэх дараалал нийлсэн тохиолдолд л нийлдэг. Иймд нийлмэл нэр томъёо бүхий цуваа нь түүний бодит болон төсөөллийн хэсгүүдээс бүрдсэн цуваа нийлсэн тохиолдолд л нийлдэг.
Жишээ.
19.3.1.2. Үнэмлэхүй нэгдэл.
Тодорхойлолт.эгнээ гэж нэрлэдэг туйлын нэгдмэлхэрвээ цуваа нийлбэл , гишүүдийнхээ үнэмлэхүй утгуудаас бүрддэг.
Дурын нэр томъёо бүхий бодит тоон цувааны хувьд хэрэв цуваа нийлвэл цуваа заавал нийлнэ гэдгийг баталж болно. Хэрэв цуваа нийлж, цуваа салж байвал тухайн цувааг нөхцөлт нийлдэг гэж үзнэ.
Цуврал нь сөрөг бус гишүүдтэй цуваа тул түүний нийлэлтийг судлахын тулд мэдэгдэж буй бүх шинж чанарыг ашиглаж болно (харьцуулах теоремоос эхлээд Коши интеграл тест хүртэл).
Жишээ.Цувралыг нэгтгэхийн тулд судал.
Цуврал модулийг хийцгээе (): . Энэ цуврал нийлдэг (Коши тест ), тиймээс анхны цуврал нь туйлын нийлдэг.
19.1.3.4. Нийцсэн цувааны шинж чанарууд.Цогцолбор гишүүнтэй нийлэх цувааны хувьд бодит нөхцөл бүхий цувааны бүх шинж чанарууд үнэн байна.
Цувралыг нэгтгэхэд зайлшгүй шаардлагатай шалгуур. Нийлмэл цувааны нийтлэг гишүүн нь тэг болох хандлагатай байна.
Хэрэв цуваа нийлбэл түүний аль нэг үлдэгдэл нийлнэ.Харин эсрэгээр цувралын аль нэг үлдэгдэл нийлбэл цуваа өөрөө нийлнэ.
Хэрэв цуваа нийлбэл дараа нь түүний үлдэгдлийн нийлбэрn -р гишүүн нь тэг рүү чиглэдэг.
Хэрэв нийлсэн цувааны бүх гишүүнийг ижил тоогоор үржүүлбэл -тай, дараа нь цувааны нийлэлтийг хадгалж, нийлбэрийг үржүүлнэ -тай.
Нэгдсэн мөрүүд ( ГЭХДЭЭ) ба ( AT) нэр томъёог нэр томъёогоор нэмж хасах боломжтой; үр дүнд нь цуваа бас нийлэх бөгөөд нийлбэр нь тэнцүү байна.
Хэрэв нийлсэн цувааны гишүүдийг дур зоргоороо бүлэглэж, хос хаалт тус бүрийн гишүүний нийлбэрээс шинэ цуваа үүсгэвэл энэ шинэ цуваа мөн нийлэх ба түүний нийлбэр нь анхны цувааны нийлбэртэй тэнцүү байна. .
Хэрэв цуваа үнэмлэхүй нийлдэг бол түүний нөхцлийн аль нэг орлуулалтын хувьд нийлбэр нь хадгалагдах ба нийлбэр өөрчлөгдөхгүй.
Хэрэв мөрүүд ( ГЭХДЭЭ) ба ( AT) тэдгээрийн нийлбэрт туйлын нийлнэболон, тэгвэл тэдгээрийн дурын нэр томъёоны үржвэр нь мөн үнэмлэхүй нийлж, нийлбэр нь тэнцүү байна..
19.3.2. Эрчим хүчний цогцолбор цуврал.
Тодорхойлолт.Нарийн төвөгтэй нэр томъёо бүхий хүчний цуваа нь хэлбэрийн цуваа юм
Тогтмол комплекс тоо (цувралын коэффициент) нь тогтмол комплекс тоо (нийтлэгийн тойргийн төв) юм. Аливаа тоон утгын хувьд z Цуврал нь нийлэх эсвэл салгах нарийн төвөгтэй нэр томъёо бүхий тоон цуваа болж хувирдаг. Хэрэв цувралууд нэг цэг дээр нийлдэг бол z , тэгвэл энэ цэгийг цувралын нийлэх цэг гэнэ. Эрчим хүчний цуваа нь дор хаяж нэг нийлэх цэгтэй байдаг - цэг . Нийцэх цэгүүдийн багцыг цувралын нийлэх муж гэж нэрлэдэг.
Бодит нөхцөл бүхий чадлын цувааны хувьд хүч чадлын цувааны тухай бүх утга учиртай мэдээлэл Абелийн теоремд агуулагддаг.
Абелийн теорем.Хэрэв чадлын цуваа цэг дээр нийлдэг бол
1. тойргийн аль ч цэгт туйлын нийлдэг ;
2. Хэрэв энэ цуваа нь -д ялгагдвал аль ч цэгт хуваагдана z
, тэгш бус байдлыг хангаж байна (өөрөөр хэлбэл -ээс илүү цэгээс хол байрладаг).
Нотолгоо нь тухайн хэсгийн нотлох баримтыг үгчлэн давтана 18.2.4.2. Абелийн теоремжинхэнэ гишүүдтэй цувралд зориулав.
Абелын теорем нь ийм сөрөг бус бодит тоо байгааг илтгэнэ Р , цуврал нь радиустай тойргийн аль ч дотоод цэг дээр туйлын нийлдэг Р -д төвлөрсөн бөгөөд энэ тойргийн гаднах дурын цэгт хуваагдана. Тоо Р дуудсан нэгдэх радиус, тойрог - нэгдлийн тойрог. Энэ тойргийн хилийн цэгүүдэд - радиусын тойрог Р цэг дээр төвлөрсөн - цуврал нь нийлж, салж болно. Эдгээр цэгүүдэд цуврал модулиуд нь хэлбэртэй байна. Дараах тохиолдлууд боломжтой.
1. Цуврал нийлдэг. Энэ тохиолдолд цуврал нь тойргийн аль ч цэг дээр нийлдэг.
2. Цуврал нь зөрүүтэй боловч түүний нийтлэг нэр томъёо . Энэ тохиолдолд цуврал нь тойргийн зарим цэгүүдэд нөхцөлт байдлаар нийлж, бусад хэсэгт хуваагдаж болно. цэг бүр нь бие даасан судалгаа шаарддаг.
3. Цуврал зөрөх ба түүний нийтлэг гишүүн нь -д тэг болох хандлагатай байдаггүй. Энэ тохиолдолд цуваа нь хилийн тойргийн аль ч цэгт хуваагдана.