Функцийн хязгаар ба тасралтгүй байдлын тухай ойлголт. Хязгаарлалт ба тасралтгүй байдал. Нэг цэг ба интервал дээрх функцийн тасралтгүй байдал
![Функцийн хязгаар ба тасралтгүй байдлын тухай ойлголт. Хязгаарлалт ба тасралтгүй байдал. Нэг цэг ба интервал дээрх функцийн тасралтгүй байдал](https://i0.wp.com/mathprofi.ru/i/nepreryvnost_funkcii_i_tochki_razryva_clip_image004.jpg)
Функцийн тасралтгүй байдал. Хагарлын цэгүүд.
Бух алхаж, савлаж, санаа алдаж байна:
- Өө, самбар дуусч байна, одоо би унах болно!
Энэ хичээлээр бид функцийн тасралтгүй байдлын тухай ойлголт, тасалдлын цэгүүдийн ангилал, нийтлэг практик асуудлыг шинжлэх болно. тасралтгүй байдлын функцийг судлах. Сэдвийн гарчигнаас л олон хүн юу хэлэлцэхийг зөн совингоор таамаглаж, материалыг маш энгийн гэж боддог. Энэ бол үнэн. Гэхдээ энэ нь ихэвчлэн үл тоомсорлож, тэдгээрийг шийдвэрлэх өнгөц байдлаар шийтгэгддэг энгийн ажлууд юм. Тиймээс би нийтлэлийг сайтар судалж, бүх нарийн мэдрэмж, арга техникийг олж авахыг зөвлөж байна.
Та юу мэдэж, чаддаг байх хэрэгтэй вэ?Нэг их биш. Сайн суралцахын тулд та юуг ойлгох хэрэгтэй функцийн хязгаар. Бэлтгэл багатай уншигчдын хувьд нийтлэлийг ойлгоход хангалттай Функцийн хязгаар. Шийдлийн жишээмөн гарын авлагаас хязгаарын геометрийн утгыг харна уу График ба энгийн функцүүдийн шинж чанарууд. Мөн танилцахыг зөвлөж байна графикийн геометрийн хувиргалт, Дадлага нь ихэнх тохиолдолд зураг зурахтай холбоотой байдаг. Ирээдүй нь хүн бүрт өөдрөг байна, тэр ч байтугай бүтэн данх ч гэсэн дараагийн эсвэл хоёр цагийн дотор даалгавраа өөрөө даван туулах боломжтой болно!
Функцийн тасралтгүй байдал. Хугарлын цэгүүд ба тэдгээрийн ангилал
Функцийн тасралтгүй байдлын тухай ойлголт
Бодит шугам дээр тасралтгүй үргэлжлэх зарим функцийг авч үзье:
Эсвэл илүү товчоор хэлбэл, бидний функц тасралтгүй (бодит тооны олонлог) дээр байна.
Тасралтгүй байдлын "филист" шалгуур нь юу вэ? Үргэлжилсэн функцийн графикийг цаасан дээрээс харандаа өргөхгүйгээр зурж болох нь ойлгомжтой.
Энэ тохиолдолд хоёр энгийн ойлголтыг тодорхой ялгах хэрэгтэй. функцийн хамрах хүрээболон функцын тасралтгүй байдал. Ерөнхийдөө энэ нь адилхан биш. Жишээлбэл:
Энэ функц нь бүх тооны мөрөнд тодорхойлогддог, өөрөөр хэлбэл for хүн бүр"x"-ийн утга нь өөрийн гэсэн "y" утгатай байна. Тодруулбал, хэрэв , дараа нь . Функцийн тодорхойлолтоор аргументийн утга таарч байх ёстой тул нөгөө цэгийг цоолсон гэдгийг анхаарна уу. цорын ганц зүйлфункцийн утга. Энэ замаар, домэйнбидний онцлог: .
Гэсэн хэдий ч Энэ функц тасралтгүй ажиллахгүй!Энэ үед тэр тэвчиж байгаа нь илт байна цоорхой. Энэ нэр томьёо нь бас ойлгомжтой бөгөөд ойлгомжтой, үнэхээр энд харандааг цаасан дээрээс урах хэрэгтэй болно. Хэсэг хугацааны дараа бид таслах цэгийн ангиллыг авч үзэх болно.
Нэг цэг ба интервал дээрх функцийн тасралтгүй байдал
Математикийн тодорхой бодлогод бид цэг дээрх функцын тасралтгүй байдал, интервал дээрх функцийн тасралтгүй байдал, хагас интервал эсвэл сегмент дэх функцийн тасралтгүй байдлын тухай ярьж болно. Тэр бол, "зөвхөн тасралтгүй" гэж байдаггүй– функц нь хаа нэгтээ тасралтгүй байж болно. Мөн бусад бүх зүйлийн үндсэн "тоосго" нь юм функцын тасралтгүй байдал цэг дээр .
Математик анализын онол нь "дельта" ба "эпсилон" хөршүүдийн тусламжтайгаар функцийн тасралтгүй байдлыг нэг цэгт тодорхойлдог боловч практикт өөр нэг тодорхойлолт ашиглагдаж байгаа бөгөөд бид үүнийг анхаарч үзэх болно.
Эхлээд санацгаая нэг талын хязгаарлалтЭхний хичээл дээр бидний амьдралд орсон хүмүүс функцын графикийн тухай. Өдөр тутмын нөхцөл байдлыг авч үзье:
Хэрэв бид тэнхлэгийн дагуу цэг рүү ойртвол зүүн(улаан сум), дараа нь "тоглоом" -ын харгалзах утгууд тэнхлэгийн дагуу цэг хүртэл (бөөрөлзгөнө сум) очно. Математикийн хувьд энэ баримтыг ашиглан тогтоодог зүүн гар талын хязгаар:
Оруулсан зүйлд анхаарлаа хандуулаарай (үүнд "х нь зүүнээс ка руу тэмүүлдэг" гэж уншдаг). "Нэмэлт" "хасах тэг" нь бэлгэддэг , энэ нь үндсэндээ бид зүүн талаас тоо руу ойртож байна гэсэн үг юм.
Үүний нэгэн адил, хэрэв та "ка" цэг рүү ойртвол баруун талд(цэнхэр сум), дараа нь "тоглоомууд" ижил утгатай болно, гэхдээ ногоон сумны дагуу, мөн баруун гар талын хязгаардараах байдлаар форматлагдсан болно.
"Нэмэлт" нь бэлэгддэг , мөн оруулга нь ингэж уншина: "x баруун талаас ка руу чиглэдэг."
Хэрэв нэг талт хязгаар хязгаарлагдмал ба тэнцүү бол(бидний тохиолдол шиг): , тэгвэл бид ЕРӨНХИЙ хязгаар байгаа гэж хэлэх болно. Энэ нь энгийн, нийт хязгаар нь бидний "ердийн" функцийн хязгаарэцсийн тоотой тэнцүү байна.
Хэрэв функц нь дээр тодорхойлогдоогүй бол (график мөчир дээрх хар цэгийг цоолбор) жагсаасан тооцоолол хүчинтэй хэвээр байгааг анхаарна уу. Ялангуяа нийтлэлд олон удаа дурьдсанчлан хязгааргүй жижиг функцүүдийн тухай, илэрхийлэл нь "x" гэсэн утгатай хязгааргүй ойрхонцэгт ойртож байхад ХОЛБООГҮЙөгөгдсөн цэг дээр функц өөрөө тодорхойлогдсон эсэх. Функцийг шинжлэх үед дараагийн хэсэгт сайн жишээг олох болно.
Тодорхойлолт: Тухайн цэг дэх функцийн хязгаар нь тухайн цэг дэх функцийн утгатай тэнцүү бол функц тухайн цэг дээр тасралтгүй байна: .
Тодорхойлолтыг дараах нэр томъёонд дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно.
1) Функц нь цэг дээр тодорхойлогдсон байх ёстой, өөрөөр хэлбэл утга нь байх ёстой.
2) Функцийн нийтлэг хязгаар байх ёстой. Дээр дурдсанчлан, энэ нь нэг талын хязгаарлалтын оршин тогтнох, тэгш байдлыг илэрхийлдэг. .
3) Өгөгдсөн цэг дэх функцийн хязгаар нь энэ цэг дэх функцийн утгатай тэнцүү байх ёстой: .
Хэрэв зөрчсөн бол ядаж нэггурван нөхцлийн аль нэг цэг дээр функц тасралтгүй байх шинж чанараа алддаг.
Интервал дээрх функцийн тасралтгүй байдалухаантай бөгөөд маш энгийнээр томъёолсон: Хэрэв функц нь өгөгдсөн интервалын цэг бүрт тасралтгүй байвал интервал дээр тасралтгүй байна.
Ялангуяа олон функц нь хязгааргүй интервал дээр, өөрөөр хэлбэл бодит тооны олонлог дээр тасралтгүй байдаг. Энэ нь шугаман функц, олон гишүүнт, экспонент, синус, косинус гэх мэт. Ерөнхийдөө аливаа үндсэн функцдээр нь тасралтгүй домэйнууд, тиймээс, жишээ нь, логарифм функц нь интервал дээр тасралтгүй байна. Одоо та үндсэн функцүүдийн график ямар байх талаар сайн ойлголттой болсон гэж найдаж байна. Тэдний тасралтгүй байдлын талаар илүү дэлгэрэнгүй мэдээллийг Фихтенхольц хэмээх эелдэг хүнээс авах боломжтой.
Сегмент ба хагас интервал дээрх функцын тасралтгүй байдлын хувьд бүх зүйл энгийн боловч энэ талаар хичээл дээр ярих нь илүү тохиромжтой. сегмент дээрх функцийн хамгийн бага ба хамгийн их утгыг олох талаарТэр болтол толгойгоо доошлуулъя.
Хагарлын цэгүүдийн ангилал
Функцуудын сэтгэл татам амьдрал нь бүх төрлийн онцгой цэгүүдээр баялаг бөгөөд хагарах цэгүүд нь тэдний намтар түүхийн зөвхөн нэг хуудас юм.
Анхаарна уу : ямар ч тохиолдолд би энгийн мөчид анхаарлаа хандуулах болно: таслах цэг нь үргэлж байдаг ганц цэг- "дараалан хэд хэдэн завсарлага" гэж байдаггүй, өөрөөр хэлбэл "завсарлагааны интервал" гэж байдаггүй.
Эдгээр цэгүүд нь эргээд хоёр том бүлэгт хуваагддаг. эхний төрлийн завсарлагаболон хоёр дахь төрлийн завсарлага. Цоорхойн төрөл бүр өөрийн гэсэн онцлог шинж чанартай байдаг бөгөөд бид яг одоо авч үзэх болно.
Эхний төрлийн тасалдал
Тасралтгүй байдлын нөхцөл нь тодорхой цэгт зөрчигдсөн бол ба нэг талын хязгаарлалт хязгаарлагдмал , дараа нь үүнийг дууддаг Эхний төрлийн эвдрэлийн цэг.
Хамгийн өөдрөг тохиолдлоос эхэлье. Хичээлийн анхны санааны дагуу би онолыг "ерөнхий хэлбэрээр" хэлэхийг хүссэн боловч материалын бодит байдлыг харуулахын тулд тодорхой жүжигчидтэй хувилбар дээр тогтсон.
Харамсалтай нь, мөнхийн галын арын дэвсгэр дээр шинээр гэрлэсэн хосуудын зураг шиг боловч дараах хүрээг ерөнхийд нь хүлээн зөвшөөрдөг. Зурган дээрх функцийн графикийг зурцгаая.
Энэ функц нь цэгээс бусад бүх тооны шулуун дээр үргэлжилдэг. Үнэн хэрэгтээ, хуваагч нь тэгтэй тэнцүү байж болохгүй. Гэсэн хэдий ч, хязгаарын утгын дагуу - бид чадна хязгааргүй ойрхонЗүүн ба баруун талаасаа "тэг" рүү ойртох, өөрөөр хэлбэл нэг талын хязгаарлалтууд байдаг бөгөөд мэдээжийн хэрэг давхцаж байна. (Тасралтгүй байх нөхцөл No2 хангагдсан).
Гэхдээ функц нь цэг дээр тодорхойлогдоогүй тул тасралтгүй байдлын 1-р нөхцөл зөрчигдөж, энэ үед функц тасалддаг.
Энэ төрлийн завсарлага (одоо байгаа ерөнхий хязгаар) гэж нэрлэдэг засах боломжтой цоорхой. Яагаад салгах боломжтой вэ? Учир нь функц боломжтой дахин тодорхойлохтаслах цэг дээр:
Хачирхалтай харагдаж байна уу? Магадгүй. Гэхдээ ийм функцийн бичлэг нь юу ч зөрчилддөггүй! Одоо цоорхой арилж, бүгд баяртай байна:
Албан ёсны шалгалт хийцгээе:
2) - нийтлэг хязгаарлалт байдаг;
3)
Ийнхүү бүх гурван нөхцөл хангагдсан ба тухайн цэг дээрх функцийн тасралтгүй байдлын тодорхойлолтоор тухайн цэг дээр функц тасралтгүй байна.
Гэсэн хэдий ч, матан үзэн ядагч нар функцийг муу байдлаар дахин тодорхойлж болно, жишээлбэл :
Сонирхолтой нь, эхний хоёр тасралтгүй байдлын нөхцөл энд хангагдана:
1) - функцийг өгөгдсөн цэг дээр тодорхойлсон;
2) - нийтлэг хязгаарлалт байдаг.
Гэхдээ гурав дахь хилийг даваагүй байна: , өөрөөр хэлбэл цэг дээрх функцийн хязгаар тэнцүү бишөгөгдсөн цэг дэх өгөгдсөн функцийн утга.
Тиймээс нэг цэгт функц тасалддаг.
Хоёр дахь, илүү гунигтай тохиолдол гэж нэрлэдэг Эхний төрлийн завсарлага үсрэлттэй. Мөн уйтгар гуниг нь өрөөсгөл хязгаараас үүдэлтэй байдаг хязгаарлагдмал, ялгаатай. Хичээлийн хоёр дахь зураг дээр жишээг үзүүлэв. Энэ цоорхой нь ихэвчлэн тохиолддог хэсэгчилсэн функцууднийтлэлд аль хэдийн дурдсан байдаг. диаграмын хувиргалтуудын тухай.
Хэсэгчилсэн функцийг авч үзье мөн түүний зургийг гүйцэтгээрэй. Графикийг хэрхэн бүтээх вэ? Маш энгийн. Хагас интервал дээр бид параболын фрагмент (ногоон), интервал дээр шулуун шугамын сегмент (улаан), хагас интервал дээр шулуун шугам (цэнхэр) зурдаг.
Үүний зэрэгцээ тэгш бус байдлын улмаас квадрат функцийн утгыг (ногоон цэг), тэгш бус байдлын улмаас шугаман функцийн утгыг (цэнхэр цэг) тодорхойлно.
Хамгийн хэцүү тохиолдолд графикийн хэсэг бүрийг цэгийн дагуу барих хэрэгтэй (эхний хэсгийг үзнэ үү). Функцийн графикуудын тухай хичээл).
Одоохондоо бид зөвхөн асуудлыг л сонирхож байна. Үүнийг тасралтгүй байдлын үүднээс авч үзье:
2) Нэг талын хязгаарыг тооцоолох.
Зүүн талд бид улаан шугамын сегменттэй тул зүүн талын хязгаар нь:
Баруун талд цэнхэр шулуун шугам, баруун гар талын хязгаар:
Үр дүнд нь, хязгаарлагдмал тоо, Тэгээд тэд тэнцүү биш. Учир нь нэг талын хязгаарлалт хязгаарлагдмал, ялгаатай: , тэгвэл бидний үйл ажиллагаа алдагдана үсрэлттэй эхний төрлийн тасалдал.
Цоорхойг арилгах боломжгүй нь логик юм - функцийг үнэхээр цаашид тодорхойлж, өмнөх жишээн дээрх шиг "хамтдаа нааж болохгүй".
Хоёр дахь төрлийн тасалдалтын цэгүүд
Ихэвчлэн хагарсан бусад бүх тохиолдлыг зальтай байдлаар энэ ангилалд хамааруулдаг. Би бүх зүйлийг жагсаахгүй, учир нь практик дээр 99% -д нь тулгарах болно төгсгөлгүй цоорхой- зүүн гартай эсвэл баруун гартай үед, ихэвчлэн хоёр хязгаар нь хязгааргүй байдаг.
Мэдээжийн хэрэг, хамгийн тод зураг бол тэг дэх гипербол юм. Энд нэг талын хязгаарлалт нь хязгааргүй юм: , тиймээс функц нь цэг дээр хоёр дахь төрлийн тасалдалд өртдөг.
Би нийтлэлүүдээ хамгийн олон янзын агуулгаар дүүргэхийг хичээдэг тул хараахан хараахан үзээгүй функцийн графикийг харцгаая.
стандарт схемийн дагуу:
1) Энэ үед хуваагч тэг болж байгаа тул функц тодорхойлогдоогүй байна.
Мэдээжийн хэрэг, функц нь цэг дээр тасалдсан гэж нэн даруй дүгнэж болно, гэхдээ ихэвчлэн нөхцлөөр шаарддаг завсарлагын шинж чанарыг ангилах нь сайхан байх болно. Үүний тулд:
Бичлэг гэдэг гэдгийг би танд сануулж байна хязгааргүй бага сөрөг тоо, мөн оруулгын доор - хязгааргүй бага эерэг тоо.
Нэг талт хязгаарууд нь хязгааргүй бөгөөд энэ нь функц нь цэг дээр 2-р төрлийн тасалдалд ордог гэсэн үг юм. Y тэнхлэг нь босоо асимптотграфикийн хувьд.
Нэг талын хязгаар хоёулаа байх нь ховор биш, гэхдээ тэдгээрийн зөвхөн нэг нь хязгааргүй, жишээлбэл:
Энэ бол функцийн график юм.
Бид тасралтгүй байдлын цэгийг шалгана:
1) Энэ үед функц тодорхойлогдоогүй байна.
2) Нэг талын хязгаарыг тооцоолох:
Ийм өрөөсгөл хязгаарыг тооцоолох аргачлалын талаар бид лекцийн сүүлийн хоёр жишээнд ярих болно, гэхдээ олон уншигчид бүгдийг аль хэдийн харж, таамаглаж байсан.
Зүүн талын хязгаар нь хязгаарлагдмал бөгөөд тэгтэй тэнцүү (бид "цэг өөрөө очдоггүй"), харин баруун талын хязгаар нь хязгааргүй бөгөөд графикийн улбар шар салбар нь өөрийнхтэй хязгааргүй ойрхон байна. босоо асимптоттэгшитгэлээр өгөгдсөн (тасархай хар шугам).
Тиймээс үйл ажиллагаа нь муудаж байна хоёр дахь төрлийн завсарлагацэг дээр.
1-р төрлийн тасархайн хувьд функцийг тасалдлын цэг дээр өөрөө тодорхойлж болно. Жишээлбэл, хэсэгчилсэн функцийн хувьд гарал үүсэл дээр нь хар тод цэгийг зоригтойгоор тавь. Баруун талд нь гиперболын салбар, баруун талын хязгаар нь хязгааргүй юм. Энэ график ямар байхыг бараг хүн бүр төсөөлж байсан гэж би бодож байна.
Хүн бүрийн тэсэн ядан хүлээж байсан зүйл:
Тасралтгүй байдлын функцийг хэрхэн судлах вэ?
Нэг цэгийн тасралтгүй байдлын функцийг судлах нь тасралтгүй байдлын гурван нөхцлийг шалгахаас бүрдсэн аль хэдийн боловсруулсан ердийн схемийн дагуу хийгддэг.
Жишээ 1
Функцийг судлах
Шийдэл:
1) Функц нь тодорхойлогдоогүй цорын ганц цэг нь харааны доор унадаг.
2) Нэг талын хязгаарыг тооцоолох:
Нэг талын хязгаар нь хязгаарлагдмал бөгөөд тэнцүү байна.
Тиймээс нэг цэгт функц нь тасархай тасалдалд ордог.
Энэ функцийн график ямар харагдаж байна вэ?
Би хялбарчлахыг хүсч байна , мөн энэ нь энгийн парабол юм шиг санагддаг. ГЭХДЭЭАнхны функц нь цэг дээр тодорхойлогдоогүй тул дараах анхааруулга шаардлагатай.
Зургийг гүйцэтгье:
Хариулт: функц нь тасалдсан цэгээс бусад бүх тооны шулуун дээр тасралтгүй байна.
Функцийг сайн эсвэл тийм ч сайн биш байдлаар дахин тодорхойлж болно, гэхдээ энэ нь нөхцөлийн дагуу шаардлагагүй.
Та жишээг хэт хол байна гэж хэлж байна уу? Огт үгүй. Практикт хэдэн арван удаа тохиолдсон. Сайтын бараг бүх даалгавар нь бие даасан, хяналтын жинхэнэ ажлаас гардаг.
Дуртай модулиудаа задалцгаая:
Жишээ 2
Функцийг судлах тасралтгүй байдлын төлөө. Функцийн завсарлага байгаа бол тэдгээрийн мөн чанарыг тодорхойлно уу. Зургийг гүйцэтгэнэ.
Шийдэл: Зарим шалтгааны улмаас оюутнууд айж, модультай функцүүдэд дургүй байдаг, гэхдээ тэдэнд төвөгтэй зүйл байхгүй. Хичээл дээр бид ийм зүйлийг аль хэдийн бага зэрэг хөндсөн. Геометрийн график хувиргалт. Модуль нь сөрөг биш тул дараах байдлаар нэмэгдэнэ. , энд "альфа" нь зарим илэрхийлэл юм. Энэ тохиолдолд, болон бидний функц хэсэгчлэн гарын үсэг зурах ёстой:
Гэхдээ хоёр ширхэгийн бутархайг -ээр багасгах хэрэгтэй. Өмнөх жишээний адил бууралт нь үр дагаваргүйгээр явахгүй. Хуваагч алга болдог тул анхны функц нь тухайн цэг дээр тодорхойлогдоогүй. Тиймээс систем нь нөхцөлийг нэмж зааж өгөх ёстой бөгөөд эхний тэгш бус байдлыг хатуу болгоно.
Одоо МАШ АШИГТАЙ заль мэхийн тухай: ноорог дээрх ажлыг дуусгахын өмнө зураг зурах нь ашигтай байдаг (нөхцөлд шаардлагатай эсэхээс үл хамааран). Энэ нь нэгдүгээрт, тасралтгүй байдал, эвдрэлийн цэгүүдийг нэн даруй харах, хоёрдугаарт, нэг талын хязгаарыг олоход алдаа гарахаас 100% хэмнэх болно.
Заавал хийцгээе. Бидний тооцооллын дагуу цэгийн зүүн талд параболын хэсэг (цэнхэр), баруун талд нь параболын хэсэг (улаан) зурах шаардлагатай бөгөөд функц нь цэг дээр өөрөө тодорхойлогдоогүй байна. :
Хэрэв эргэлзэж байвал хэд хэдэн "x" утгыг авч, тэдгээрийг функцэд орлуулна уу (модуль нь боломжит хасах тэмдгийг устгадаг гэдгийг санаарай) графикийг шалгана уу.
Бид тасралтгүй байдлын функцийг аналитик байдлаар судалдаг.
1) Функц нь цэг дээр тодорхойлогдоогүй тул үүн дээр тасралтгүй биш гэж шууд хэлж болно.
2) Тасралтгүй байдлын мөн чанарыг тогтооцгооё, үүний тулд бид нэг талын хязгаарыг тооцоолно.
Нэг талт хязгаарууд нь хязгаарлагдмал бөгөөд ялгаатай байдаг бөгөөд энэ нь функц нь цэг дээр үсрэлттэй 1-р төрлийн тасалдалтай гэсэн үг юм. Хязгаарыг олохдоо таслах цэгийн функц тодорхойлогдсон эсэх нь хамаагүй гэдгийг дахин нэг удаа анхаараарай.
Одоо зураг төслийг ноорогоос шилжүүлж (энэ нь судалгааны тусламжтайгаар хийгдсэн ;-)) болон даалгаврыг биелүүлэхэд үлдлээ.
Хариулт: Үсрэлтээр эхний төрлийн тасалдал үүсэхээс бусад тохиолдолд функц нь бүх тооны шулуун дээр тасралтгүй байна.
Заримдаа тасалдсан үсрэлтийг нэмэлт зааж өгөх шаардлагатай байдаг. Үүнийг энгийн байдлаар тооцдог - зүүн хязгаарыг баруун хязгаараас хасах ёстой: , өөрөөр хэлбэл, таслах цэг дээр бидний функц 2 нэгжээр доошоо үсэрсэн (хасах тэмдэг нь энэ тухай өгүүлдэг).
Жишээ 3
Функцийг судлах тасралтгүй байдлын төлөө. Функцийн завсарлага байгаа бол тэдгээрийн мөн чанарыг тодорхойлно уу. Зураг зурах.
Энэ бол хичээлийн төгсгөлд бие даан шийдвэрлэх жишээ юм.
Функц нь гурван хэсгээс бүрдэх үед даалгаврын хамгийн түгээмэл бөгөөд нийтлэг хувилбар руу шилжье.
Жишээ 4
Тасралтгүй байдлын функцийг судалж, функцийн графикийг зур .
Шийдэл: Функцийн гурван хэсэг нь харгалзах интервалууд дээр тасралтгүй байх нь тодорхой тул хэсгүүдийн хоорондох хоёр "уулзвар" цэгийг шалгахад л үлддэг. Нэгдүгээрт, ноорог дээр зураг зуръя, би өгүүллийн эхний хэсэгт барилгын техникийн талаар хангалттай дэлгэрэнгүй тайлбарласан. Цорын ганц зүйл бол бидний цорын ганц цэгүүдийг анхааралтай дагаж мөрдөх явдал юм: тэгш бус байдлын улмаас утга нь шулуун шугамд (ногоон цэг), тэгш бус байдлын улмаас параболад (улаан цэг) хамаарна.
За, зарчмын хувьд бүх зүйл тодорхой байна =) Шийдвэр гаргахад л үлддэг. Хоёр "өгзөг" цэг бүрийн хувьд бид тасралтгүй байдлын 3 нөхцлийг стандарт болгон шалгадаг.
би)Бид тасралтгүй байдлын цэгийг шалгадаг
1)
Нэг талт хязгаарууд нь хязгаарлагдмал бөгөөд ялгаатай байдаг бөгөөд энэ нь функц нь цэг дээр үсрэлттэй 1-р төрлийн тасалдалтай гэсэн үг юм.
Тасралтгүй үсрэлтийг баруун ба зүүн хязгаарын зөрүүгээр тооцоолъё.
, өөрөөр хэлбэл график нэг нэгж дээшээ.
II)Бид тасралтгүй байдлын цэгийг шалгадаг
1) – функц өгөгдсөн цэг дээр тодорхойлогддог.
2) Нэг талын хязгаарыг ол:
– нэг талын хязгаар нь хязгаарлагдмал, тэнцүү байдаг тул нийтлэг хязгаар байдаг.
3) – нэг цэг дэх функцийн хязгаар нь тухайн цэг дэх энэ функцийн утгатай тэнцүү байна.
Эцсийн шатанд бид зургийг цэвэр хуулбар руу шилжүүлж, дараа нь бид эцсийн хөвчийг тавьдаг.
Хариулт: Үсрэлтээр эхний төрлийн тасалдал үүсэхээс бусад тохиолдолд функц нь бүх тооны шулуун дээр тасралтгүй байна.
Жишээ 5
Тасралтгүй байдлын функцийг судалж, графикийг нь байгуул .
Энэ бол бие даасан шийдэл, богино шийдэл, хичээлийн төгсгөлд асуудлын ойролцоо жишээ юм.
Нэг цэгт функц нь заавал тасралтгүй байх ёстой, нөгөө үед заавал тасалдал байх ёстой гэсэн сэтгэгдэл төрж болно. Практикт энэ нь үргэлж тийм байдаггүй. Үлдсэн жишээнүүдийг үл тоомсорлож болохгүй - хэд хэдэн сонирхолтой, чухал шинж чанарууд байх болно:
Жишээ 6
Функц өгсөн . Цэг дэх тасралтгүй байдлын функцийг судал. График байгуулах.
Шийдэл: нэн даруй ноорог дээрх зургийг дахин гүйцэтгэнэ:
Энэ графикийн онцлог нь хэсэгчилсэн функцийн хувьд абсцисса тэнхлэгийн тэгшитгэлээр өгөгдсөн явдал юм. Энд энэ хэсгийг ногооноор зурсан бөгөөд тэмдэглэлийн дэвтэр дээр ихэвчлэн энгийн харандаагаар зоримог онцолсон байдаг. Мэдээжийн хэрэг, манай хонины тухай мартаж болохгүй: утга нь шүргэгч салбарыг (улаан цэг) хэлдэг бөгөөд утга нь шулуун шугамд хамаарна.
Зургаас бүх зүйл тодорхой харагдаж байна - функц нь бүхэл тоон мөрөнд үргэлжилдэг бөгөөд 3-4 ижил төстэй жишээнүүдийн дараа бүрэн автоматжуулалтад хүргэсэн шийдлийг гаргахад л үлддэг.
би)Бид тасралтгүй байдлын цэгийг шалгадаг
1) - функц нь өгөгдсөн цэг дээр тодорхойлогддог.
2) Нэг талын хязгаарыг тооцоолох:
, тиймээс нийтлэг хязгаарлалт байдаг.
Зүгээр л гал сөнөөгч бүрийн хувьд нэг өчүүхэн баримтыг сануулъя: тогтмолын хязгаар нь тогтмолтой тэнцүү. Энэ тохиолдолд тэгийн хязгаар нь өөрөө тэгтэй тэнцүү байна (зүүн талын хязгаар).
3) – нэг цэг дэх функцийн хязгаар нь тухайн цэг дэх энэ функцийн утгатай тэнцүү байна.
Тиймээс функц нь цэг дээр тасралтгүй байна гэсэн тодорхойлолтоор тухайн цэг дээр тасралтгүй байна.
II)Бид тасралтгүй байдлын цэгийг шалгадаг
1) - функц нь өгөгдсөн цэг дээр тодорхойлогддог.
2) Нэг талын хязгаарыг ол:
Мөн энд - нэгжийн хязгаар нь тухайн нэгжтэй тэнцүү байна.
- нийтлэг хязгаарлалт байдаг.
3) – нэг цэг дэх функцийн хязгаар нь тухайн цэг дэх энэ функцийн утгатай тэнцүү байна.
Тиймээс функц нь цэг дээр тасралтгүй байна гэсэн тодорхойлолтоор тухайн цэг дээр тасралтгүй байна.
Ердийнх шигээ судалгаа хийсний дараа бид зурсан зургаа цэвэр хуулбар руу шилжүүлдэг.
Хариулт: функц нь цэгүүд дээр тасралтгүй байна.
Тасралтгүй байдлын үүднээс функцийг бүхэлд нь судлах талаар биднээс юу ч асуугаагүй бөгөөд үүнийг томъёолох нь математикийн сайн хэлбэр гэж тооцогддог болохыг анхаарна уу. нарийн бөгөөд тодорхойтавьсан асуултын хариулт. Дашрамд хэлэхэд, хэрэв нөхцөл байдлын дагуу график барих шаардлагагүй бол та үүнийг бүтээхгүй байх бүрэн эрхтэй (хэдийгээр дараа нь багш үүнийг хийхийг албадах боломжтой).
Бие даасан шийдлийн жижиг математикийн "патер":
Жишээ 7
Функц өгсөн . Цэг дэх тасралтгүй байдлын функцийг судал. Хэрэв байгаа бол таслах цэгүүдийг ангил. Зургийг гүйцэтгэнэ.
Бүх "үг" -ийг зөв "дуудаж" үзээрэй =) Графикийг илүү нарийвчлалтай зур, үнэн зөв, энэ нь хаа сайгүй илүүдэхгүй байх болно ;-)
Таны санаж байгаагаар би танд нэн даруй ноорог дээр зурахыг зөвлөж байсан, гэхдээ үе үе ийм жишээнүүд байдаг бөгөөд та график ямар байгааг шууд олж мэдэх боломжгүй байдаг. Тиймээс хэд хэдэн тохиолдолд эхлээд нэг талын хязгаарыг олж, зөвхөн дараа нь судалгааны үндсэн дээр мөчрүүдийг дүрслэх нь ашигтай байдаг. Сүүлийн хоёр жишээн дээр бид зарим нэг талын хязгаарыг тооцоолох техникийг сурах болно.
Жишээ 8
Тасралтгүй байдлын функцийг судалж, түүний бүдүүвч графикийг байгуул.
Шийдэл: муу оноо нь тодорхой байна: (тэгжийн хуваагчийг тэг болгоно) ба (бүхэл бутархайн хуваагчийг тэг болгоно). Энэ функцийн график ямар харагдах нь тодорхойгүй байгаа нь эхлээд судалгаа хийх нь зүйтэй гэсэн үг юм.
Хэрэв олонлог ямар ч элемент агуулаагүй бол түүнийг дуудна хоосон багцболон бүртгэгдсэн Ø .
Оршихуйн хэмжигч
∃- оршихуйн хэмжигч, гэсэн үгийн оронд "байгаа",
"боломжтой". ∃! тэмдэгтийн хослолыг бас ашигладаг бөгөөд энэ нь зөвхөн нэг байгаа тул уншина.
Үнэмлэхүй үнэ цэнэ
Тодорхойлолт. Бодит тооны үнэмлэхүй утга (модуль) нь сөрөг бус тоо бөгөөд дараах томъёогоор тодорхойлогддог.
Жишээлбэл,
Модулийн шинж чанарууд
Хэрэв ба нь бодит тоо бол дараах тэнцүү байна.
Чиг үүрэг
Функцийн аргумент гэж нэрлэгддэг нэг хэмжигдэхүүний утга бүр нь функцийн утга гэж нэрлэгддэг бусад хэмжигдэхүүнүүдийн утгатай холбоотой байдаг хоёр ба түүнээс дээш хэмжигдэхүүний хоорондын хамаарал.
Функцийн хамрах хүрээ
Функцийн домэйн нь функцэд орсон бүх үйлдлүүдийг гүйцэтгэх боломжтой x бие даасан хувьсагчийн утгууд юм.
тасралтгүй функц
a цэгийн зарим хөршид тодорхойлогдсон f (x) функцийг хэрэв энэ цэг дээр тасралтгүй гэж нэрлэдэг
![]() |
Тооны дараалал
харах функц y= е(x), xО Н, хаана Ннь натурал тоонуудын багц (эсвэл натурал аргументийн функц) юм y=е(n)эсвэл y 1 ,y 2 ,…, у н,…. Үнэ цэнэ y 1 ,y 2 ,y 3 , ... дарааллын нэг, хоёр, гурав, ... гишүүдийг тус тус дуудна.
Үргэлжилсэн аргументийн функцийн хязгаар
А тоог x->x0-ийн хувьд y=f(x) функцийн хязгаар гэж нэрлэдэг, хэрэв x-ийн бүх утгуудын хувьд x0 тооноос хангалттай бага ялгаатай бол f(x) функцийн харгалзах утгууд байна. ) нь А тооноос бага зэрэг ялгаатай
хязгааргүй жижиг функц
Чиг үүрэг y=f(x)дуудсан хязгааргүй жижигцагт x→aэсвэл хэзээ x→∞ хэрэв эсвэл , i.e. Өгөгдсөн цэг дэх хязгаар нь тэг байх функцийг хязгааргүй жижиг функц гэнэ.
![]() |
Тоон дарааллын хязгаарын тухай ойлголт
Эхлээд тоон дарааллын тодорхойлолтыг эргэн санацгаая.
Тодорхойлолт 1
Натурал тооны олонлогийг бодит тоонуудын олонлогт буулгахыг нэрлэдэг тоон дараалал.
Тоон дарааллын хязгаарын тухай ойлголт нь хэд хэдэн үндсэн тодорхойлолттой:
- Хэрэв ямар нэгэн $\varepsilon >0$-д $\varepsilon$-с хамаарсан $N$ индекс байвал ямар ч индексийн хувьд $n> N байвал бодит $a$ тоог $(x_n)$ тоон дарааллын хязгаар гэнэ. $ тэгш бус байдал $\left|x_n-a\right|
- Хэрэв $a$ цэгийн аль ч хэсэгт хязгаарлагдмал тооноос бусад $(x_n)$ дарааллын бүх гишүүдийг агуулж байвал $a$ бодит тоог $(x_n)$ тоон дарааллын хязгаар гэнэ. гишүүд.
Тоон дарааллын хязгаарын утгыг тооцоолох жишээг авч үзье.
Жишээ 1
$(\mathop(lim)_(n\to \infty ) \frac(n^2-3n+2)(2n^2-n-1)\ )$ хязгаарыг олоорой.
Шийдэл:
Энэ даалгаврыг шийдэхийн тулд бид эхлээд илэрхийлэлд багтсан хамгийн дээд зэргийн хашилтыг авах хэрэгтэй.
$(\mathop(lim)_(n\to \infty ) \frac(n^2-3n+2)(2n^2-n-1)\ )=(\mathop(lim)_(x\to \ infty ) \frac(n^2\left(1-\frac(3)(n)+\frac(2)(n^2)\баруун))(n^2\left(2-\frac(1)) (n)-\frac(1)(n^2)\баруун))\ )=(\mathop(lim)_(n\to \infty ) \frac(1-\frac(3)(n)+\ frac(2)(n^2))(2-\frac(1)(n)-\frac(1)(n^2))\ )$
Хэрэв хуваагч нь хязгааргүй их утгатай бол хязгаар бүхэлдээ тэг болох хандлагатай байна, $\mathop(lim)_(n\to \infty )\frac(1)(n)=0$, үүнийг ашиглан бид дараахийг авна:
$(\mathop(lim)_(n\to \infty ) \frac(1-\frac(3)(n)+\frac(2)(n^2))(2-\frac(1)(n) )-\frac(1)(n^2))\ )=\frac(1-0+0)(2-0-0)=\frac(1)(2)$
Хариулт:$\frac(1)(2)$.
Цэг дэх функцийн хязгаарын тухай ойлголт
Нэг цэг дэх функцийн хязгаарын тухай ойлголт нь хоёр сонгодог тодорхойлолттой:
Кошигийн дагуу "хязгаарлалт" гэсэн нэр томъёоны тодорхойлолт
Бодит $A$ тоог $f\left(x\right)$ функцийн хязгаар гэж нэрлэдэг бөгөөд хэрэв ямар нэгэн $\varepsilon > 0$-д $-ээс хамаарч $\delta >0$ байгаа бол $x\to a$ гэж нэрлэдэг. \varepsilon $, ингэснээр X^(\буцах налуу зураас a)$-д $\left|x-a\right|
Гейний тодорхойлолт
Бодит $A$ тоог $f\left(x\right)$ функцийн $x\to a$-ийн хувьд $(x_n)\-д X$-ийн дараалалд нийлэх $a$-д нийлэх хязгаар гэнэ. $f (x_n)$ утгууд нь $A$ болж нийлдэг.
Эдгээр хоёр тодорхойлолт нь хоорондоо холбоотой.
Тайлбар 1
Функцийн хязгаарын Коши, Хейн тодорхойлолтууд нь тэнцүү байна.
Функцийн хязгаарыг тооцоолох сонгодог аргуудаас гадна үүнд туслах томъёонуудыг эргэн санацгаая.
$x$ хязгааргүй бага байх үеийн эквивалент функцуудын хүснэгт (тэг рүү очно)
Хязгаарыг шийдвэрлэх нэг арга бол эквивалент функцээр солих зарчим. Эквивалент функцүүдийн хүснэгтийг доор үзүүлэв, үүнийг ашиглахын тулд баруун талд байгаа функцүүдийн оронд зүүн талын харгалзах үндсэн функцийг илэрхийлэлд орлуулна уу.
Зураг 1. Функцийн эквивалент хүснэгт. Author24 - оюутны баримт бичгийг онлайнаар солилцох
Мөн утгыг нь тодорхойгүй болгож бууруулсан хязгаарыг шийдэхийн тулд L'Hospital дүрмийг ашиглаж болно. Ерөнхий тохиолдолд $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдлыг тоологч болон хуваагчийг хүчин зүйл болгон хувааж, дараа нь багасгах замаар илрүүлж болно. $\frac(\infty )(\infty)$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдлыг тоологч болон хуваагч дахь илэрхийллүүдийг хамгийн их хүчийг олох хувьсагчд хуваасны дараа шийдэж болно.
Сонирхолтой хязгаарууд
- Эхний гайхалтай хязгаар:
$(\mathop(lim)_(x\to 0) \frac(sinx)(x)\ )=1$
- Хоёр дахь гайхалтай хязгаар:
$\mathop(lim)_(x\to 0)((1+x))^(\frac(1)(x))=e$
Тусгай хязгаарлалт
- Эхний тусгай хязгаар:
$\mathop(lim)_(x\to 0)\frac(((лог)_a (1+x-)\ ))(x)=((лог)_a e\ )=\frac(1)(lna) )$
- Хоёр дахь тусгай хязгаарлалт:
$\mathop(lim)_(x\to 0)\frac(a^x-1)(x)=lna$
- Гурав дахь тусгай хязгаарлалт:
$\mathop(lim)_(x\to 0)\frac(((1+x))^(\mu )-1)(x)=\mu $
Функцийн тасралтгүй байдал
Тодорхойлолт 2
Хэрэв $\forall \varepsilon >(\rm 0)$ $\ байгаа бол \delta (\varepsilon,E_(0))>(\rm) $f(x)$ функцийг $x=x_0$ цэг дээр тасралтгүй гэж нэрлэдэг. 0) $\left|f(x)-f(x_(0))\right|
Хэрэв $\mathop((\rm lim\; ))\limits_((\rm x)\to (\rm x)_((\) бол $f(x)$ функц $x=x_0$ цэг дээр тасралтгүй байна. rm 0 )) f(x)=f(x_(0))$.
$(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )$, $(\mathop) хязгаарлагдмал хязгаартай бол X$ дахь $x_0\ цэгийг эхний төрлийн тасархай цэг гэнэ. (lim) _(x\to x_0+0) f(x_0)\ )$, гэхдээ $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )=(\mathop(lim) _ (x\to x_0+0) f(x_0)\ )=f(x_0)$
Түүнчлэн хэрэв $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )=(\mathop(lim)_(x\to x_0+0) f(x_0)\ )\ne f (x_0)$ бол энэ нь тасрах цэг бөгөөд хэрэв $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )\ne (\mathop(lim)_(x\to x_0+) 0) f(x_0)\ )$, дараа нь функцийн үсрэх цэг.
X$ дахь $x_0\ цэг нь $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )$ хязгааруудын ядаж нэгийг агуулж байвал түүнийг хоёр дахь төрлийн тасалдал гэж нэрлэдэг. $(\mathop(lim)_(x\to x_0+0) f(x_0)\ )$ нь хязгааргүйг илэрхийлдэг эсвэл байхгүй.
Жишээ 2
$y=\frac(2)(x)$ тасралтгүй байдлыг судал
Шийдэл:
$(\mathop(lim)_(x\to 0-0) f(x)\ )=(\mathop(lim)_(x\to 0-0) \frac(2)(x)\ )=- \infty $ - функц нь хоёр дахь төрлийн таслах цэгтэй.
Топологинь функцүүдийн хязгаар ба тасралтгүй байдлыг судалдаг математикийн салбар юм. Алгебрийн хамт топологи нь математикийн ерөнхий үндсийг бүрдүүлдэг.
Топологийн орон зай эсвэл зураг -Манай нэг төрлийн Евклидийн орон зайн дэд олонлог бөгөөд тэдгээрийн хооронд ойрын хамаарал өгөгдсөн. Энд дүрсүүдийг хатуу биет биш, харин чанарын шинж чанараа хадгалан, тасралтгүй хэв гажилтыг зөвшөөрдөг маш уян хатан резинээр хийсэн объект гэж үздэг.
Дүрсүүдийн нэгийг харьцах тасралтгүй зураглал гэж нэрлэдэг гомеоморфизм. Өөрөөр хэлбэл, тоонууд гомеоморф, хэрэв нэгийг нь тасралтгүй хэв гажилтаар өөр болгон хувиргах боломжтой бол.
Жишээ. Дараахь зургууд нь гомеоморф (өөр өөр бүлгүүдийн тоонууд гомеоморф биш), Зураг дээр үзүүлэв. 2.
1. Өөрөө огтлолцоогүй сегмент ба муруй.
2. Тойрог, дотор нь дөрвөлжин, соронзон хальс.
3. Бөмбөрцөг, шоо, тетраэдрийн гадаргуу.
4. Тойрог, эллипс, зангилаатай тойрог.
5. Хавтгай дээрх цагираг (нүхтэй тойрог), орон зайд цагираг, хоёр удаа мушгирсан цагираг, цилиндрийн хажуугийн гадаргуу.
6. Мобиусын зурвас, i.e. нэг удаа эрчилсэн цагираг, гурван удаа эрчилсэн цагираг.
7. Торусын гадаргуу (пончик), бариултай бөмбөрцөг, зангидсан торус.
8. Хоёр бариултай бөмбөрцөг, хоёр нүхтэй претзел.
Математик шинжилгээнд функцийг хязгаарын аргаар судалдаг. Хувьсах хэмжигдэхүүн, хязгаар гэдэг нь үндсэн ойлголт юм.
Төрөл бүрийн үзэгдлийн үед зарим хэмжигдэхүүн нь тоон утгыг хадгалж, бусад нь өөрчлөгддөг. Хувьсагчийн бүх тоон утгуудын багцыг нэрлэдэг энэ хувьсагчийн хамрах хүрээ.
Хувьсагчийн үйл ажиллагааны янз бүрийн арга замуудаас хамгийн чухал нь хувьсагч тодорхой хязгаарт хүрэх хандлагатай байдаг.
тогтмол тоо адуудсан хувьсагч xхоорондын зөрүүний үнэмлэхүй утга бол xболон а() хувьсагчийг өөрчлөх явцад болдог xдур зоргоороо жижиг:
"Дур дураараа жижиг" гэж юу гэсэн үг вэ? хувьсагч Xхязгаар руу чиглэдэг а, хэрэв дурын жижиг (дурын бага) тооны хувьд хувьсагчийн өөрчлөлтөд ийм момент байгаа бол X, үүнээс эхлэн тэгш бус байдал .
Хязгаарын тодорхойлолт нь энгийн геометрийн утгатай: тэгш бус байдал гэсэн үг Xцэгийн хөршид байдаг а,
тэдгээр. интервалд
.
Тиймээс хязгаарын тодорхойлолтыг геометрийн хэлбэрээр өгч болно.
Тоо ахувьсагчийн хязгаар юм X, хэрэв дурын жижиг (дураар жижиг) бол - тооны хөрш ахувьсагчийг өөрчлөхөд ийм мөчийг зааж өгч болно X, үүнээс эхлэн түүний бүх утга нь тухайн цэгийн хөрш зэргэлдээх хэсэгт хамаарна а.
Сэтгэгдэл. хувьсагч Xтүүний хязгаарт янз бүрийн аргаар ойртож болно: энэ хязгаараас бага (зүүн талд), илүү их (баруун талд), хязгаарын утгын орчим хэлбэлздэг.
Дарааллын хязгаар
Чиг үүрэгэлемент тус бүрийн дагуу хууль (дүрэм) гэж нэрлэдэг xзарим багц Xнэг элементтэй таарч байна yбагц Ю.
Функцийг бүх натурал тоонуудын олонлог дээр тодорхойлж болно: . Ийм функцийг нэрлэдэг байгалийн аргумент функцэсвэл тоон дараалал.
Ямар ч хязгааргүй олонлогийн нэгэн адил дарааллыг тоолох замаар зааж өгөх боломжгүй тул нийтлэг гишүүнээр тодорхойлогддог: , дарааллын нийтлэг гишүүн хаана байна.
Дискрет хувьсагч нь дарааллын нийтлэг гишүүн юм.
Дарааллын хувьд "зарим цэгээс эхлэн" гэсэн үг нь "зарим тооноос эхэлдэг" гэсэн үг юм.
Тоо адарааллын хязгаар гэж нэрлэдэг , хэрэв дурын жижиг (дурын бага) тооны хувьд ийм тоо байгаа бол Н, энэ нь дугаартай дарааллын бүх гишүүдийн хувьд n>Нтэгш бус байдал
.
эсвэл
цагт
.
Геометрийн хувьд дарааллын хязгаарын тодорхойлолт нь дараахь зүйлийг илэрхийлнэ: дурын жижиг (дурын жижиг) - тооны хөршийн хувьд аДарааллын бүх гишүүн нь түүнээс их байх тоо байна Н, тоонууд, энэ хороололд ордог. Хөршөөс гадна дарааллын эхний нөхцлүүдийн зөвхөн хязгаарлагдмал тоо байдаг. Натурал тоо Нхамаарна: .