Багассан үлдэгдлийн нийлбэр модуль n. Татан авалтын системүүд. Бие даасан ажилд зориулсан дасгалууд
![Багассан үлдэгдлийн нийлбэр модуль n. Татан авалтын системүүд. Бие даасан ажилд зориулсан дасгалууд](https://i2.wp.com/konspekta.net/lektsianew/baza13/30078065046.files/image063.gif)
эсвэл дараалсан хтоо.
Энэ системийг нэрлэдэг модулийн хувьд харьцуулах боломжгүй тоонуудын бүрэн систем хэсвэл үлдэгдэл модулийн бүрэн систем х. Ямар ч байсан нь ойлгомжтой хдараалсан тоо нь ийм системийг бүрдүүлдэг.
Нэг ангид хамаарах бүх тоонууд олон нийтлэг шинж чанартай байдаг тул модулийн хувьд тэдгээрийг нэг тоо гэж үзэж болно. Харьцуулахад нийлбэр буюу хүчин зүйл болгон оруулсан тоо бүрийг харьцуулалтыг зөрчихгүйгээр түүнтэй харьцуулах боломжтой тоогоор сольж болно, өөрөөр хэлбэл. нэг ангид хамаарах дугаартай.
Тухайн ангийн бүх тоонуудад нийтлэг байдаг өөр элемент нь энэ анги болон модулийн элемент бүрийн хамгийн том нийтлэг хуваагч юм. х.
Болъё аболон бхарьцуулж болох модуль х, дараа нь
Теорем 1. Хэрэв орвол сүх+боронд нь xбүгдийг цэгцэлцгээе хтооны бүрэн системийн гишүүд
Тиймээс бүх тоо сүх+б, хаана x=1,2,...х-1 нь харьцуулах модуль биш юм х(өөрөөр хэлбэл 1,2,... х-1 нь харьцуулж болохуйц модуль байх болно х.
Тэмдэглэл
1) Энэ өгүүлэлд тоо гэдэг үг нь бүхэл тоог илэрхийлнэ.
Уран зохиол
- 1. К.Ирланд, М.Розен. Орчин үеийн тооны онолын сонгодог танилцуулга. - М: Мир, 1987.
- 2. Г.Дэвенпорт. Дээд арифметик. - М: Наука, 1965.
- 3. П.Г. Лежүн Дирихлет. Тооны онолын лекц. - Москва, 1936 он.
Модуло үлдэгдэл цагираг nэсвэл . Бөгжний урвуу элементийн бүлгийн ерөнхий тохиолдлын нэгэн адил түүний үржүүлэх бүлгийг тэмдэглэнэ. ∗ × × .
Хамгийн энгийн тохиолдол
Бүлгийн бүтцийг ойлгохын тулд бид анхны тоо болох тусгай тохиолдлыг авч үзэж, түүнийг ерөнхийд нь дүгнэж болно. Хамгийн энгийн тохиолдлыг авч үзье, өөрөөр хэлбэл .
Теорем: - мөчлөгийн бүлэг.
Жишээ : Бүлгийг авч үзье
= (1,2,4,5,7,8) Бүлэг үүсгэгч нь 2 тоо юм. ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ Таны харж байгаагаар бүлгийн аль ч элементийг хаана гэж төлөөлж болно ≤ℓφ . Өөрөөр хэлбэл, бүлэг нь мөчлөгтэй байдаг.Ерөнхий хэрэг
Ерөнхий тохиолдлыг авч үзэхийн тулд анхдагч үндэсийг тодорхойлох шаардлагатай. Анхны үндэс модуль нь анхны тоо нь үлдэгдлийн ангийн хамт бүлгийг үүсгэдэг тоо юм.
Жишээ нь: 2 11 ; 8 - анхдагч үндэс модуль 11 ; 3 нь анхдагч модулийн үндэс биш юм 11 .Бүхэл бүтэн модулийн хувьд тодорхойлолт нь ижил байна.
Бүлгийн бүтцийг дараах теоремоор тодорхойлно: Хэрэв p нь сондгой анхны тоо, l нь эерэг бүхэл тоо бол модулийн үндсэн язгуурууд байдаг, өөрөөр хэлбэл цикл бүлэг юм.
Жишээ
Үлдэгдлийн модулийн бууруулсан систем нь үлдэгдлийн ангиллуудаас бүрдэнэ: . Үлдэгдэл ангиудад тодорхойлсон үржүүлгийн хувьд тэдгээр нь бүлэг үүсгэдэг, мөн харилцан урвуу байдаг (өөрөөр хэлбэл, ⋅ ) ба өөрсдөдөө урвуу байдаг.
Бүлгийн бүтэц
Энэ оруулга нь "n дарааллын мөчлөгийн бүлэг" гэсэн утгатай.
× | φ | λ | Бүлгийн генератор | × | φ | λ | Бүлгийн генератор | × | φ | λ | Бүлгийн генератор | × | φ | λ | Бүлгийн генератор | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | C1 | 1 | 1 | 0 | 33 | C2×C10 | 20 | 10 | 2, 10 | 65 | C4×C12 | 48 | 12 | 2, 12 | 97 | C96 | 96 | 96 | 5 | |||
2 | C1 | 1 | 1 | 1 | 34 | C 16 | 16 | 16 | 3 | 66 | C2×C10 | 20 | 10 | 5, 7 | 98 | C42 | 42 | 42 | 3 | |||
3 | C2 | 2 | 2 | 2 | 35 | C2×C12 | 24 | 12 | 2, 6 | 67 | C66 | 66 | 66 | 2 | 99 | C2×C30 | 60 | 30 | 2, 5 | |||
4 | C2 | 2 | 2 | 3 | 36 | C2×C6 | 12 | 6 | 5, 19 | 68 | C2×C16 | 32 | 16 | 3, 67 | 100 | C2×C20 | 40 | 20 | 3, 99 | |||
5 | C4 | 4 | 4 | 2 | 37 | C 36 | 36 | 36 | 2 | 69 | C2×C22 | 44 | 22 | 2, 68 | 101 | C 100 | 100 | 100 | 2 | |||
6 | C2 | 2 | 2 | 5 | 38 | C 18 | 18 | 18 | 3 | 70 | C2×C12 | 24 | 12 | 3, 69 | 102 | C2×C16 | 32 | 16 | 5, 101 | |||
7 | C6 | 6 | 6 | 3 | 39 | C2×C12 | 24 | 12 | 2, 38 | 71 | C70 | 70 | 70 | 7 | 103 | C 102 | 102 | 102 | 5 | |||
8 | C2×C2 | 4 | 2 | 3, 5 | 40 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 3, 11, 39 | 72 | C2×C2×C6 | 24 | 6 | 5, 17, 19 | 104 | C2×C2×C12 | 48 | 12 | 3, 5, 103 | |||
9 | C6 | 6 | 6 | 2 | 41 | C40 | 40 | 40 | 6 | 73 | C72 | 72 | 72 | 5 | 105 | C2×C2×C12 | 48 | 12 | 2, 29, 41 | |||
10 | C4 | 4 | 4 | 3 | 42 | C2×C6 | 12 | 6 | 5, 13 | 74 | C 36 | 36 | 36 | 5 | 106 | C 52 | 52 | 52 | 3 | |||
11 | C 10 | 10 | 10 | 2 | 43 | C42 | 42 | 42 | 3 | 75 | C2×C20 | 40 | 20 | 2, 74 | 107 | C 106 | 106 | 106 | 2 | |||
12 | C2×C2 | 4 | 2 | 5, 7 | 44 | C2×C10 | 20 | 10 | 3, 43 | 76 | C2×C18 | 36 | 18 | 3, 37 | 108 | C2×C18 | 36 | 18 | 5, 107 | |||
13 | C 12 | 12 | 12 | 2 | 45 | C2×C12 | 24 | 12 | 2, 44 | 77 | C2×C30 | 60 | 30 | 2, 76 | 109 | C 108 | 108 | 108 | 6 | |||
14 | C6 | 6 | 6 | 3 | 46 | C 22 | 22 | 22 | 5 | 78 | C2×C12 | 24 | 12 | 5, 7 | 110 | C2×C20 | 40 | 20 | 3, 109 | |||
15 | C2×C4 | 8 | 4 | 2, 14 | 47 | C46 | 46 | 46 | 5 | 79 | C78 | 78 | 78 | 3 | 111 | C 2×C 36 | 72 | 36 | 2, 110 | |||
16 | C2×C4 | 8 | 4 | 3, 15 | 48 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 5, 7, 47 | 80 | C2×C4×C4 | 32 | 4 | 3, 7, 79 | 112 | C2×C2×C12 | 48 | 12 | 3, 5, 111 | |||
17 | C 16 | 16 | 16 | 3 | 49 | C42 | 42 | 42 | 3 | 81 | C 54 | 54 | 54 | 2 | 113 | C 112 | 112 | 112 | 3 | |||
18 | C6 | 6 | 6 | 5 | 50 | C 20 | 20 | 20 | 3 | 82 | C40 | 40 | 40 | 7 | 114 | C2×C18 | 36 | 18 | 5, 37 | |||
19 | C 18 | 18 | 18 | 2 | 51 | C2×C16 | 32 | 16 | 5, 50 | 83 | C82 | 82 | 82 | 2 | 115 | C 2×C 44 | 88 | 44 | 2, 114 | |||
20 | C2×C4 | 8 | 4 | 3, 19 | 52 | C2×C12 | 24 | 12 | 7, 51 | 84 | C2×C2×C6 | 24 | 6 | 5, 11, 13 | 116 | C2×C28 | 56 | 28 | 3, 115 | |||
21 | C2×C6 | 12 | 6 | 2, 20 | 53 | C 52 | 52 | 52 | 2 | 85 | C4×C16 | 64 | 16 | 2, 3 | 117 | C6×C12 | 72 | 12 | 2, 17 | |||
22 | C 10 | 10 | 10 | 7 | 54 | C 18 | 18 | 18 | 5 | 86 | C42 | 42 | 42 | 3 | 118 | C 58 | 58 | 58 | 11 | |||
23 | C 22 | 22 | 22 | 5 | 55 | C2×C20 | 40 | 20 | 2, 21 | 87 | C2×C28 | 56 | 28 | 2, 86 | 119 | C 2×C 48 | 96 | 48 | 3, 118 | |||
24 | C2×C2×C2 | 8 | 2 | 5, 7, 13 | 56 | C2×C2×C6 | 24 | 6 | 3, 13, 29 | 88 | C2×C2×C10 | 40 | 10 | 3, 5, 7 | 120 | C2×C2×C2×C4 | 32 | 4 | 7, 11, 19, 29 | |||
25 | C 20 | 20 | 20 | 2 | 57 | C2×C18 | 36 | 18 | 2, 20 | 89 | C 88 | 88 | 88 | 3 | 121 | C 110 | 110 | 110 | 2 | |||
26 | C 12 | 12 | 12 | 7 | 58 | C 28 | 28 | 28 | 3 | 90 | C2×C12 | 24 | 12 | 7, 11 | 122 | C60 | 60 | 60 | 7 | |||
27 | C 18 | 18 | 18 | 2 | 59 | C 58 | 58 | 58 | 2 | 91 | C6×C12 | 72 | 12 | 2, 3 | 123 | C2×C40 | 80 | 40 | 7, 83 | |||
28 | C2×C6 | 12 | 6 | 3, 13 | 60 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 7, 11, 19 | 92 | C2×C22 | 44 | 22 | 3, 91 | 124 | C2×C30 | 60 | 30 | 3, 61 | |||
29 | C 28 | 28 | 28 | 2 | 61 | C60 | 60 | 60 | 2 | 93 | C2×C30 | 60 | 30 | 11, 61 | 125 | C 100 | 100 | 100 | 2 | |||
30 | C2×C4 | 8 | 4 | 7, 11 | 62 | C 30 | 30 | 30 | 3 | 94 | C46 | 46 | 46 | 5 | 126 | C6×C6 | 36 | 6 | 5, 13 | |||
31 | C 30 | 30 | 30 | 3 | 63 | C6×C6 | 36 | 6 | 2, 5 | 95 | C 2×C 36 | 72 | 36 | 2, 94 | 127 | C 126 | 126 | 126 | 3 | |||
32 | C2×C8 | 16 | 8 | 3, 31 | 64 | C2×C16 | 32 | 16 | 3, 63 | 96 | C2×C2×C8 | 32 | 8 | 5, 17, 31 | 128 | C 2×C 32 | 64 | 32 | 3, 127 |
Өргөдөл
Хэцүү байдал дээр Farm, Hooley, . Уоринг Вилсоны теоремыг томъёолж, Лагранж үүнийг баталжээ. Эйлер анхны язгуурын модулиар анхны тоо оршин тогтнохыг санал болгосон. Гаусс үүнийг нотолсон. Артин өгөгдсөн бүхэл тоо нь анхдагч язгуур болох анхны тоонуудын оршин тогтнох, тоон үзүүлэлтийг тодорхойлох тухай өөрийн таамаглалыг дэвшүүлэв. Браувер нь дараалсан бүхэл тоонуудын олонлогийн оршин тогтнох асуудлыг судлахад хувь нэмэр оруулсан бөгөөд тэдгээр нь тус бүр нь k-р чадлын модуль p юм. Bielhartz Артины таамаглалын аналогийг нотолсон. Hooley Өргөтгөсөн Риманы таамаглал нь алгебрийн тооны талбарт хүчинтэй гэсэн таамаглалаар Артины таамаглалыг баталсан.
Тэмдэглэл
Уран зохиол
- Ирланд К., Розен М.Орчин үеийн тооны онолын сонгодог танилцуулга. - М.: Мир, 1987.
- Алферов А.П., Зубов А.Ю., Кузьмин А.С. Черемушкин А.В.Криптографийн үндэс. - Москва: "Гелиос ARV", 2002 он.
- Ростовцев А.Г., Маховенко Е.Б.Онолын криптограф. - Санкт-Петербург: NPO "Мэргэжлийн", 2004 он.
ОНОЛЫН ҮНДСЭН МЭДЭЭЛЭЛ
6. 1. Тодорхойлолт 1.
m тоонуудын ангилал нь m-д хуваагдахад ижил үлдэгдэл r, өөрөөр хэлбэл харьцуулж болох модуль m (t) бүхий бүх ба зөвхөн бүхэл тоонуудын багц юм. Î Н, т> 1).
Үлдэгдэлтэй тооны ангиллын тэмдэглэгээ r: .
Ангийн дугаар бүр үлдэгдэл модуль m гэж нэрлэдэг ба анги өөрөө үлдэгдэл модуль m анги гэж нэрлэдэг.
6. 2. Модулийн үлдэгдэл ангиллын багцын шинж чанарууд т:
1) нийт модуль тбайх болно тҮлдэгдэл ангиуд: З т = { , , , … , };
2) анги бүр нь дараах хэлбэрийн бүхэл тоонуудын (үлдэгдэл) хязгааргүй олонлогийг агуулна: = ( а= мкв+ r/qÎ З, 0£ r< м}
3) "аÎ : аº r(мод м);
4) "а, бÎ : аº б(мод м), өөрөөр хэлбэл авсан хоёр үлдэгдэл нэгээсанги, харьцуулах боломжтоймодуль т;
5) "аÎ , " бÎ : а б(мод м), өөрөөр хэлбэл хоёр үлдэгдэл байхгүй; авсан өөр өөрангиуд зүйрлэшгүймодуль т.
6. 3. Тодорхойлолт 3.
Үлдэгдэл модулийн иж бүрэн систем нь m модулийн үлдэгдлийн анги тус бүрээс нэг ба зөвхөн нэгийг авсан m тооны аливаа багц юм.
Жишээ: хэрэв м= 5, тэгвэл (10, 6, - 3, 28, 44) нь модуль 5-ын үлдэгдлийн бүрэн систем (мөн цорын ганц биш!)
Тухайлбал,
багц (0, 1, 2, 3, … , м–1) систем юм хамгийн бага сөрөг бишсуутгал;
багц (1, 2, 3, ... , м –1, т) нь систем юм хамгийн бага эерэгхасалт.
6. 4. Тэрийг тэмдэглэ:
хэрэв ( X 1 , X 2 , … , х т) нь үлдэгдэл модулийн бүрэн систем юм т, дараа нь
.
6. 5. Теорем 1.
Хэрвээ {X 1 , X 2 , … , х т} – үлдэгдлийн бүрэн систем модуль м, "а, бÎ З ба(а, т) = 1, – Дараа нь тооллын систем {Өө 1 +б, Өө 2 + б, … , аа т+б} мөн үлдэгдэл модуль м-ийн бүрэн системийг бүрдүүлдэг .
6. 6. Теорем 2.
Үлдэгдлийн нэг ангиллын бүх үлдэгдэл модуль m нь m-тэй ижил хамгийн том нийтлэг хуваагчтай байна: "а, бÎ Þ ( a; т) = (б; т).
6. 7. Тодорхойлолт 4.
Үлдэгдэл анги модуль m-ийг модуль m-тэй ижил төстэй гэж нэрлэдэг,хэрэв энэ ангийн дор хаяж нэг үлдэгдэл нь i.e.
Энэ тохиолдолд теорем 2-ын дагуу гэдгийг анхаарна уу бүгдЭнэ ангийн тоонууд модультай харьцуулах болно т.
6. 8. Тодорхойлолт 5.
Үлдэгдэл багассан систем модуль m нь анги тус бүрээс m-д нэг, зөвхөн нэгийг авсан үлдэгдлийн систем юм.
6. 9. Тэрийг тэмдэглэ:
1) үлдэгдлийн модулийн бууруулсан систем т j( т) тоо ( X 1 , X 2 ,…, };
2) :
.
3) "x i : (x i, м) = 1;
Жишээ : Модуль болго т= 10 үлдэгдэл 10 анги байна:
З 10 = ( , , , , , , , , , ) нь модуль 10 үлдэгдэл ангийн олонлог юм. Суутгалын иж бүрэн систем горим 10 нь жишээлбэл, энэ байх болно: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
Олон ангиллын үлдэгдэл, хувилгаанмодультай m= 10: ( , , , )(j(10) = 4).
Суутгалын бууруулсан системмодуль 10 нь жишээ нь,
(1, 3, 7, 9), эсвэл (11, 43, – 5, 17), эсвэл (– 9, 13, – 5, 77) гэх мэт. (хаа сайгүй j(10) = 4 тоо).
6.10. Практикт: боломжит бууруулсан үлдэгдэл системүүдийн нэгийг бий болгохын тулд mod m, үлдэгдлийн бүрэн системээс m-тэй ижил үлдэгдлийг сонгох шаардлагатай.Ийм тоонууд болно. j( т).
6.11. Теорем 3.
Хэрвээ{X 1 , X 2 ,…, } – үлдэгдлийн бууруулсан систем модуль мболон
(а, м) = 1, – Дараа нь тооллын систем {Өө 1 , Өө 2 , … , сүх j (t)} мөн хэлбэрүүд
үлдэгдлийн бууруулсан систем модуль м .
6.12. Тодорхойлолт 6.
нийлбэр( Å ) хасалтын ангиуд болон +b нь тухайн анги тус бүрээс нэгийг авсан хоёр хасалтын нийлбэртэй тэнцүү ба : Å = , хаана"аÎ , "бÎ .
6.13. Тодорхойлолт 7.
ажил( Ä ) хасалтын ангиуд болон модуль m-ийг үлдэгдэл анги гэж нэрлэдэг , өөрөөр хэлбэл a тооноос бүрдэх үлдэгдлийн ангилал ´ b нь тухайн анги тус бүрээс нэг нэгээр нь авсан дурын хоёр үлдэгдлийн үржвэртэй тэнцүү ба : Ä = , хаана"аÎ , "бÎ .
Тиймээс модулийн үлдэгдэл ангиллын багцад т: З т= ( , , ,…, ) хоёр алгебрийн үйлдлийг тодорхойлсон - "нэмэх" ба "үржүүлэх".
6.14. Теорем 4.
Үлдэгдэл ангиллын багц Z t modulo t нь дараах нэгжтэй ассоциатив-коммутатив цагираг юм.
< З т , +, · > = < { , , ,…, }, +, · > – бөгж.
ЕРӨНХИЙ ДААЛГАВАР
1. Модуло т= 9:
1) хамгийн бага эерэг үлдэгдлийн бүрэн систем;
2) хамгийн бага сөрөг бус үлдэгдлийн бүрэн систем;
3) суутгалын дур зоргоороо бүрэн систем;
4) хамгийн бага үнэмлэхүй суутгалын бүрэн систем.
Хариулт:1) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; 2) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
2. Үлдэгдэл модулийн багасгасан системийг эмхэтгэ т= 12.
Шийдэл.
1) Хамгийн бага эерэг үлдэгдлийн модулийн бүрэн системийг зохио т= 12:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12) (нийт т= 12 тоо).
2) Бид энэ системээс 12 тоотой тохирохгүй тоонуудыг устгадаг.
{1, 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9 , 10 , 11, 12 }.
3) Үлдсэн тоонууд нь 12-ын тоотой харьцуулбал үлдэгдлийн модулийн хүссэн бууруулсан системийг бүрдүүлнэ. т= 12 (нийт j( т) = j(12) = 4 тоо).
Хариулт:(1, 5, 7, 11) - үлдэгдэл модулийн бууруулсан систем т= 12.
130. 1) хамгийн бага эерэг үлдэгдлийн бүрэн системийг бий болгох; 2) хамгийн бага сөрөг бус үлдэгдлийн бүрэн систем; 3) суутгалын дурын систем; 4) хамгийн бага үнэмлэхүй суутгалын бүрэн систем; 5) үлдэгдлийн бууруулсан систем: a) модуль м= 6; б) модуль м = 8.
131. Олонлог (9, 2, 16, 20, 27, 39, 46, 85) модуль 8-ын үлдэгдлийн бүрэн систем мөн үү?
132 Олонлог (20, - 4, 22, 18, - 1) ямар модулаар үлдэгдлийн бүрэн систем вэ?
133. Үлдэгдлийн бууруулсан системийг модуль болго мХэрвээ) м= 9; б) м= 24; онд) м= 7. Ийм системд хэдэн тоо байх ёстой вэ?
134. Үлдэгдлийн иж бүрэн систем ба үлдэгдлийн модулийн бууруулсан системийн үндсэн шинж чанарыг томъёол. м .
135. Хамгийн бага сөрөг бус үлдэгдлийн модулийн бууруулсан ба бүрэн системийг ямар элементүүдээр ялгах вэ?
136. Тоонууд ямар нөхцөлд байна аболон - амодулийн үлдэгдлийн нэг ангилалд хамаарна м?
137. Бүх анхны тоонууд модуль 8 үлдэгдлийн ямар ангилалд хамаарах вэ? Р³ 3?
138. Тоонуудын багц (0, 2 0, 2 1, 2 2, ... , 2 9 ) модуль 11 үлдэгдлийн бүрэн системийг бүрдүүлдэг үү?
139. Үлдэгдэл модуль 21-ийн нэг ангиллын үлдэгдэл модуль 7-ын бүх үлдэгдэлд хэдэн ангилал хамаарах вэ?
140. Бүхэл тоонуудын олонлог Зүлдэгдэл ангиудын дагуу хуваарилах модуль 5. Үүссэн үлдэгдэл ангиудын багцад нэмэх болон үржүүлэх хүснэгтүүдийг хий. З 5 . Багц юм З 5: а) анги нэмэх үйлдэлтэй бүлэг? б) анги үржүүлэх үйлдэлтэй бүлэг?
§ 7. Эйлерийн теорем. ФЕРМАТЫН БЯЦХАН ТЕОРЕМ
ОНОЛЫН ҮНДСЭН МЭДЭЭЛЭЛ
7. 1. Теорем 1.
ХэрвээÎ З,тÎ Н, т>1 болон(а;т) = 1, – тэгвэл хязгааргүй зэрэглэлийн дарааллаар a 1 , а 2 , а 3 , ... , а s , … , ат, … s ба t илтгэгчтэй дор хаяж хоёр зэрэглэл байна(с<т) тиймэрхүү . (*)
7. 2. Сэтгэгдэл. Тэмдэглэх т– с = к> 0, (*) -аас бид дараахь зүйлийг авна. . Энэ харьцуулалтыг аль аль талыг нь хүчирхэг болгож өсгөж байна nÎ Н, бид авах:
(**). Энэ нь хязгааргүй тооны эрх мэдэлтэй гэсэн үг юм а, харьцуулалтыг хангаж байна (**). Гэхдээ ХэрхэнЭдгээр үзүүлэлтүүдийг олох уу? Юу наад зах ньхарьцуулалтыг хангасан үзүүлэлт (**) ? Эхний асуултанд хариулдаг Эйлерийн теорем(1707 – 1783).
7. 3. Эйлерийн теорем.
ХэрвээÎ З,тÎ Н, т>1 болон(а;т) = 1, - тэгвэл . (13)
Жишээ.
Болъё а = 2,т = 21, (а; т) = (2; 21) = 1. Дараа нь . j (21) = 12 тул 2 12 º 1 (mod 21) болно. Үнэн хэрэгтээ: 2 12 = 4096 ба (4096 - 1) 21. Дараа нь 2 24 º 1 (mod 21), 2 36 º 1 (mod 21) гэх мэт нь тодорхой байна. Гэхдээ 12-ын илтгэгч нь - наад зах ньсэтгэл ханамжтай харьцуулалт 2 nº 1 (mod 21) ? Үгүй нь харагдаж байна. Хамгийн бага үзүүлэлтбайх болно П= 6: 2 6 º 1(mod 21), оноос хойш 2 6 – 1 = 63 ба 63 21. Үүнийг анхаарна уу. наад зах ньхайх ёстой индекс зөвхөн тооны хуваагчдын дунд j( т) (энэ жишээнд j(21) = 12 тооны хуваагчдын дунд).
7. 4. Фермагийн жижиг теорем (1601 - 1665).
Ямар ч p ба дурын a тооны хувьдÎ З, p-д хуваагддаггүй, харьцуулалт байна . (14)
Жишээ.
Болъё а = 3,Р= 5, энд 3 нь 5 биш. Дараа нь эсвэл
.
7. 5. Фермагийн теоремийн ерөнхий ойлголт.
Ямар ч анхны p болон дурын тооны хувьд aÎ Z харьцуулсан (15)
ЕРӨНХИЙ ДААЛГАВАР
1. 38 73 º 3(mod 35) гэдгийг батал.
Шийдэл.
1) (38; 35) = 1 тул Эйлерийн теоремоор ; j(35) = 24, тэгэхээр
(1).
2) Харьцуулалтаас (1) 2-р үр дүнд тоон харьцуулалтын 5 0 шинж чанаруудаас бид:
3) Харьцуулалтаас (2) 1-р шинж чанарын үр дүнд 5 0 харьцуулалт: 38 72 ×38 º 1×38 (mod 35) Þ Þ38 73 º38 º 38–35 = 3(mod 35) Þ 38 73 º (mod 3) 35) нотлох ёстой байсан.
2. Өгөгдсөн: а = 4, т= 15. Хамгийн бага илтгэгчийг ол к, харьцуулалтыг хангаж байна (*)
Шийдэл.
1) оноос хойш ( а; м) = (4; 25) = 1, тэгвэл Эйлерийн теоремоор , j(25) = 20, тэгэхээр
.
2) Олдсон илтгэгч - 20 тоо - наад зах ньХарьцуулалтыг хангадаг натурал тоо (*)? Хэрэв 20-оос бага илтгэгч байвал 20-д хуваагч байх ёстой. Тиймээс шаардлагатай хамгийн бага илтгэгч кТа олон тооны дундаас хайх хэрэгтэй n= (1, 2, 4, 5, 10, 20) – 20-ын хуваагч.
3) Хэзээ П = 1: ;
цагт П = 2: ;
цагт П= 3: (харгалзаж үзэх шаардлагагүй);
цагт П = 4: ;
цагт П = 5: ;
цагт П= 6, 7, 8, 9: (харгалзаж үзэх шаардлагагүй);
цагт П = 10: .
Тэгэхээр, наад зах ньилтгэгч к, сэтгэл ханамжтай харьцуулалт(*), байна к= 10.
Хариулт: .
БИЕ ДААН АЖЛЫН ДАСГАЛ
141. Эйлерийн теоремоор . At а = 3, т= 6 бидэнд байна:
.
j(6) = 2, дараа нь 3 2 º1(mod 6), эсвэл 9º1(mod 6) байх тул дараа нь (9 – 1) 6 эсвэл 8 6 (бүрэн!?) болно. Алдаа хаана байна?
142. Үүнд: a) 23 100 º1(mod 101); b) 81 40 º 1(mod100); в) 2 73 º 2 (mod 73).
143. a) 1 16 + 3 16 + 7 16 + 9 16 º 4 (mod 10);
б) 5 4 П + 1 + 7 4П+ 1 нь 12-т үлдэгдэлгүй хуваагдана.
144. Эйлерийн теоремын эсрэг теоремыг батал: хэрэв а j ( м) º 1(заг м), дараа нь ( а, м) =1.
145. Хамгийн бага илтгэгчийг ол кÎ Н,Энэ харьцуулалтыг хангаж байна: a) ; б)
; онд)
; G)
;
д) ; д)
; ба)
; h)
.
ба) ; руу)
; л)
; м)
.
146. Хуваалтын үлдэгдлийг ол.
a) 11-д 7100; б) 5-д 9900; в) 5,176-аас 7; d) 2 1999, 5; e) 5-д 8 377;
е) 26 57, 35; g) 22-д 35 359; h) 103 хүн тутамд 5718; i) 40-д 27,260; и) 1998 оны 25, 62.
147*. Үүнийг нотол а 561 º а(mod 11).
148*. Хэрэв натурал тооны каноник задрал П 2 ба 5-р хүчин зүйлийг агуулаагүй бол энэ тооны 12-р зэрэглэл 1-ээр төгсөнө. Баталгааж.
149*. 2 64 º 16 (mod 360) гэдгийг батал.
150*. Нотлох: хэрэв ( а, 65) =1 , (б, 65) =1, тэгвэл а 12 –б 12 нь 65-т тэнцүү хуваагдана.
Бүлэг 3. АРИФМЕТИКИЙН ХЭРЭГЛЭЭ
ТООН ХАРЬЦУУЛАЛТЫН ОНОЛ
§ 8. СИСТЕМАТ ДУГААР
ОНОЛЫН ҮНДСЭН МЭДЭЭЛЭЛ
1. БҮХЭЛ ТООН СИСТЕМАТ ТООН
8. 1. Тодорхойлолт 1.
Тооны систем нь тоо бичих ямар ч арга юм. Эдгээр тоог бичсэн тэмдгүүдийг тоо гэж нэрлэдэг.
8. 2. Тодорхойлолт 2.
t-арийн байрлалын тооллын системд бичигдсэн бүхэл сөрөг бус системчилсэн тоо нь хэлбэрийн n тоо юм.
,хаана би(би = 0,1, 2,…, к) – бүхэл сөрөг бус тоо - цифр, болон 0 £ a i £ т– 1, t нь тооллын системийн суурь, tÎ Н, т > 1.
Жишээлбэл, 7-ар систем дэх тооны тэмдэглэгээ нь: (5603) 7 = 5 × 7 3 + 6 × 7 2 + 0 × 7 1 + 3. Энд байна. a i- эдгээр нь 5, 6, 0, 3 - тоонууд; Тэд бүгд нөхцөлийг хангаж байна: 0 £ a i£ 6. Хэзээ т=10 гэж хэлэх: тоо n-д бүртгэгдсэн аравтын тооллын систем,болон индекс t= 10 битгий бичээрэй.
8. 3. Теорем 1.
Аливаа сөрөг бус бүхэл тоог t суурь дээр системчилсэн тоогоор өвөрмөц байдлаар илэрхийлж болно.Î Н, т > 1.
Жишээ:(1 3 9) 10 = (3 5 1) 6 = (1 0 2 4) 5 = …
8. 4. Тэрийг тэмдэглэ:
1) зүүн талд байгаа тэгийн системчилсэн тоог хуваарилах өөрчлөгддөггүйэнэ тоо:
(3 4) 5 = (0 3 4) 5 .
2) системчилсэн тоонд хамааруулах сбаруун талд байгаа тэгүүд нь тэнцүү байна үржүүлэхэнэ дугаар т с: (3 4) 5 = 3×5 1 + 4; (3 4 0 0) 5 = 3×5 3 + 4×5 2 + 0×5 1 + 0 = 5 2 ×(3×5 1 + 4).
8. 5. Бичсэн тоог хөрвүүлэх алгоритмт -ар систем, аравтын тоо:
Жишээ: (287) 12 = 2×12 2 + 8×12 1 +7×12 0 = 2×144 + 8×12 + 7 = 288 + 96 +7 = (391) 10.
8. 6. Аравтын бутархайгаар бичигдсэн тоог хөрвүүлэх алгоритм систем, доторт - хувийн:
Жишээ: (3 9 1) 10 = (X) 12. Хай X.
8. 7. Системчилсэн тоон дээрх үйлдлүүд
2. ТОГТОЛЦООНЫ ФРАКЦ
8. 8. Тодорхойлолт 3.
t суурьтай тооллын систем дэх төгсгөлтэй t-ар системчилсэн бутархай нь хэлбэрийн тоо юм
хаана в 0 Î З, i - тоонуудтай– бүхэл сөрөг бус тоо, болон 0 £ би-тэй£ т– 1, тÎ Н, т > 1, кÎ Н .
Тэмдэглэгээ: a = ( в 0 , -тай 1 -тай 2 …k-тэй)т. At т= 10 бутархайг дуудна аравтын.
8. 9. Үр дагавар 1.
Хязгаарлагдмал системчилсэн бутархай бүр нь рационал тоо бөгөөд үүнийг дараах байдлаар илэрхийлж болно , хаана аÎ З,бÎ Н.
Жишээ.
a = (3 1, 2 4) 6 = 3×6 + 1 + =19 + рационал тоо юм. Эсрэг заалт нь ерөнхийдөө үнэн биш юм. Жишээлбэл, бутархайг хязгаарлагдмал системтэй (аравтын) бутархай болгон хувиргах боломжгүй.
8.10. Тодорхойлолт 4.
t суурьтай тооллын систем дэх хязгааргүй t-арийн эерэг системчилсэн бутархай нь хэлбэрийн тоо юм.
, хаанаас 0Î Н, би-тэй(би =1, 2, …, руу, …) - тоо– бүхэл сөрөг бус тоо, болон 0 £ би-тэй£ т–1, тÎ Н, т > 1, кÎ Н.
Тэмдэглэгээ: a = ( -тай 0 , -тай 1 -тай 2 … k-тэй…) т. At т=10 бутархайг дуудна аравтын.
8.11. Тодорхойлолт 5.
Хязгааргүй системчилсэн бутархай гурван төрөл байдаг:
би = ( -тай 0 , )т= =
т, хаана =
= = … Энэ тохиолдолд тооа хязгааргүй цэвэр үечилсэн бутархай гэж нэрлэдэг,(-тай 1 -тай 2 … k-тэй) – хугацаа, k - хугацааны цифрүүдийн тоо - хугацааны урт.
II a = .
Энэ тохиолдолд тоо a хязгааргүй холимог үечилсэн бутархай гэж нэрлэдэг, – өмнөх үе, () – хугацаа, k - хугацааны цифрүүдийн тоо - хугацааны урт, l - бүхэл хэсэг ба эхний үеийн хоорондох цифрүүдийн тоо - өмнөх үеийн урт.
III a = ( -тай 0 , -тай 1 -тай 2 … k-тэй …)т . Энэ тохиолдолд тооа төгсгөлгүй үечилсэн бус бутархай гэж нэрлэдэг.
ЕРӨНХИЙ ДААЛГАВАР
1. Тоо ( а) 5 = (2 1 4 3) 5 , 5-ийн системд өгөгдсөн, 7-ийн систем рүү хөрвүүл, өөрөөр хэлбэл ол. X, хэрэв (2 1 4 3) 5 = ( X) 7 .
Шийдэл.
1) Өгөгдсөн тоог (2 1 4 3) 5 ( тоо) болгон хөрвүүл. цагт) 10 аравтын системээр бичигдсэн:
2. Дараах алхмуудыг дагана уу:
1) (7) 8 + (5) 8 ; 2) (7) 8 × (5) 8 ; 3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6 ;
4) (5 2 3 4) 7 – (2 3 5 1) 7 ; 5) (4 2 3) 5 × (3 2) 5 ; 6) (3 0 1 4 1) 5: (4 2 3) 5 .
Шийдэл.
1) (7) 8 + (5) 8 = (7) 10 + (5) 10 = (12) 10 = 1×8 + 4 = (1 4) 8 ;
2) (7) 8 × (5) 8 = (7) 10 × (5) 10 = (35) 10 = 4 × 8 + 3 = (4 3) 8 ;
3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6 (1 2 4 3 3) 6 | Жич: | 4+5 = 9 = 1×6+3, 3 бичигдсэн, 1 нь дараагийн орон руу, 6+3+1=10 =1×6+4, 4 бичигдсэн, 1 нь дараагийн орон руу, 3+ 4+1= 8 \u003d 1 × 6 + 2, 2 бичигдсэн, 1 нь дараагийн цифр рүү очно. |
4) (5 2 3 4) 7 – (2 3 5 1) 7 (2 5 5 3) 7 | Жич: | хамгийн дээд зэрэглэлийн нэгжийг "эзлэх", өөрөөр хэлбэл "1" = 1x7: (3 + 1x7) - 5 = 10 - 5 = 5, (1 + 1x7) - 3 = 8 - 3 = 5 , |
5) (4 2 3) 5 ´ (3 2) 5 (1 4 0 1) 5 + (2 3 2 4) 5__ (3 0 1 4 1) 5 | Жич: | 2-оор үржүүлэхэд: 3 × 2 = 6 = 1 × 5 + 1, бид 1 гэж бичнэ, 1 нь дараагийн цифр рүү очно, 2 × 2 +1=5 = 1 × 5 +0, бид 0 гэж бичнэ, 1 нь дараагийн цифр рүү очно. дараагийн цифр, 2 ×4 +1=9 = 1×5 +4, 4 бичигдсэн, 1 нь дараагийн орон руу шилждэг, 3-аар үржүүлэхэд: 3 ×3 = 9 = 1×5 + 4, 4 гэж бичнэ, 1 дараагийн орон руу очно, 3 × 2 +1=7 = 1×5 +2, 2 бичигдэнэ, 1 нь дараагийн цифр рүү очно, 3×4 +1=13=2×5 +3, 3 бичигдэнэ, 2 дараагийн цифр рүү очно. |
6) (3 0 1 4 1) 5 | (4 2 3) 5
2 3 2 4 (3 2) 5
1 4 0 1 Хариулт: 1) (1 4) 8 ; 2) (4 3) 8 ; 3) (1 2 4 3 3) 6 ; 4) (2 5 5 3) 7 ;
(0) 5 5) (3 0 1 4 1) 5 ; 6) (3 2) 5 .
БИЕ ДААН АЖЛЫН ДАСГАЛ
151.-д өгөгдсөн тоо т-ар систем, аравтын систем рүү хөрвүүлэх:
a) (2 3 5) 7 ; б) (2 4 3 1) 5 ; в) (1 0 0 1 0 1) 2 ; г) (1 3 ) 15 ;
e) (2 7) 11; е) (3 2 5 4) 6 ; g) (1 5 0 1 3) 8 ; h) (1 1 0 1 1 0 0 1) 2;
i) (7 6 2) 8 ; j) (1 1 1 1) 20 .
152. Тоонууд. аравтын бутархай системд өгөгдсөн бол хөрвүүлэх т-ic систем. Чек хийх.
a) (1 3 2) 10 = ( X) 7; б) (2 9 8) 10 = ( X) 5; в) (3 7) 10 = ( X) 2; d) (3 2 4 5) 10 = ( X) 6 ;
д) (4 4 4 4) 10 = ( X) 3; е) (5 6 3) 10 = ( X) 12; g) (5 0 0) 10 = ( X) найман; h) (6 0 0) 10 = ( X) 2 ;
i)(1 0 0 1 5) 10 =( X) хорин; j) (9 2 5) 10 = ( X) найман; k) (6 3 3) 10 = ( X) арван таван; м) (1 4 3) 10 = ( X) 2 .
153.-д өгөгдсөн тоо т-ary систем, орчуулах q-ic систем (аравтын бутархай системээр дамжин).
a) (3 7) 8 = ( X) 3; б) (1 1 0 1 1 0) 2 = ( X) 5; в) ( 6 2) 11 = ( X) 4 ;
d) (4 ) 12 = ( X) 9 . д) (3 3 1 3 1) 5 = ( X) 12 .
154. а) Баруун талд нь тэг нэмбэл (1 2 3) 5 тоо хэрхэн өөрчлөгдөх вэ?
б) Хэрэв баруун талд хоёр тэг нэмбэл (5 7 6) 8 тоо хэрхэн өөрчлөгдөх вэ?
155. Дараах алхмуудыг дагана уу.
a) (3 0 2 1) 4 + (1 2 3 3) 4 ; б) (2 6 5 4) 8 + (7 5 4 3) 8 ; в) (1 0 1 1 0 1) 2 +(1 1 0 1 10) 2 ;
г) (5 2 4 7) 9 + (1 3 7 6) 9 ; д) (4 7 6) 9 - (2 8 7) 9; е) (2 4 5 3) 7 – (1 6 4 5) 7 ;
g) (8 3) 12 - (5 7 9) 12; h) (1 7 5) 11 – ( 6) 11 ; i) (3 6 4 0 1) 7 – (2 6 6 6 3) 7 ;
j) (1 0 0 1 0) 2 × (1 1 0 1) 2; k) (7 4 1) 8 × (2 6) 8; м) (5 3 7 2) 8 × (2 4 6) 8;
м) (3 3 2 1) 4 × (2 3 0) 4 ; o) (1 0 2 2 2 2) 3: (1 2 2) 3 ; n) (2 1 0 3 2) 4: (3 2 3) 4 ;
p) (2 6 1 7 4) 8: (5 4 6) 8 ; в) (4 3 2 0 1) 5: (2 1 4) 5 ; t)(1 1 0 1 0 0 1 0) 2:(1 0 1 0 1) 2
y) (1 1 0 1 1 0) 2: (1 1 1) 2 ; е) (1 1 1 0) 6: (2 1 5) 6; x)(3 2 3 8 2 2 1 7 0) 9:(7 6 4 2) 9 .
v) (1 6 3 5) 8 + (7 6 4) 8; h) (1 1 1 1) 3 - (2 1 2) 3; w)(1 2 7) 12 +(9 1 3 5 ) 12б" × б 1 Дараа нь:
I бол хуваагч б = б"(зөвхөн "2" ба/эсвэл "5"-ыг агуулна) - дараа нь фракцыг хөрвүүлнэ эцсийнаравтын бутархай. Аравтын бутархайн тоо нь хамгийн бага натурал тоотой тэнцүү байна л лº 0( мод б").
II Хэрэв хуваагч бол б = б 1("2" ба "5"-ыг агуулаагүй), дараа нь бутархайг хувиргана хязгааргүй цэвэр үечилсэнхамгийн бага натурал тоотой тэнцүү байна к, сэтгэл ханамжтай харьцуулалт 10 кº 1( мод б 1).
III Хэрэв хуваагч бол б = б"× б 1 ("2" ба / эсвэл "5" болон бусад үндсэн хүчин зүйлсийг агуулна), дараа нь бутархайг хувиргана. хязгааргүй холимог үе үеарав
тэмдэглэгээний фракц.
Үеийн урт нь хамгийн бага натурал тоотой тэнцүү байна к, сэтгэл ханамжтай харьцуулалт 10 кº 1( mod b 1).
Урьдчилсан хугацааны урт нь хамгийн бага натурал тоотой тэнцүү байна л, сэтгэл ханамжтай харьцуулалт 10 лº 0( мод б").
9. 2. Дүгнэлт.
9. 3. Тэрийг тэмдэглэ:
рационал тоо нь дурын төгсгөлтэй аравтын бутархай эсвэл хязгааргүй үечилсэн бутархай;
Иррационал тоо гэдэг нь ямар ч төгсгөлгүй үегүй аравтын бутархай юм.
ЕРӨНХИЙ ДААЛГАВАР
1. Аравтын бутархайн системээр бичигдсэн эдгээр энгийн бутархайг хөрвүүлэв
аравтын, өмнө ньхүссэн бутархайн төрлийг тодорхойлсны дараа (хязгааргүй эсвэл хязгааргүй; үечилсэн эсвэл үечилсэн бус; хэрэв - үе үе, дараа нь цэвэр үечилсэн эсвэл холимог үе үе); сүүлийн тохиолдолд урьдчилан олохтоо к- хугацааны урт ба тоо лнь өмнөх үеийн урт юм. нэг); 2) ; 3).
Шийдэл.
1) Бутархай = хуваагч - тоо б= 80 = 2 4 × 5 нь зөвхөн "2" ба "5"-ыг агуулна. Тиймээс энэ фракц руу хөрвүүлэв эцсийнаравтын бутархай. Аравтын орны тоо би нэрлэнөхцөлөөс тодорхойлогддог: 10 лº0 (mod80):
2) Бутархай = хуваарь - тоо б= 27 = 3 3 нь "2" ба "5"-ыг агуулаагүй болно. Тиймээс энэ бутархай нь хязгааргүй болж хувирдаг цэвэр үе үеаравтын бутархай. Үеийн урт к нэрнөхцөлөөс тодорхойлогддог: 10 кº1(mod27):
3) Бутархай = хуваагч - тоо б= 24 = 2 3 × 3, өөрөөр хэлбэл дараах байдалтай байна. б = б"× б 1 ("2" эсвэл "5"-аас бусад тохиолдолд бусад хүчин зүйлсийг агуулна, энэ тохиолдолд 3 дугаар). Тиймээс энэ бутархай нь хязгааргүй болж хувирдаг холимог үе үеаравтын бутархай. Үеийн урт к нэрнөхцөлөөс тодорхойлогддог: 10 кº1(mod3), хаанаас к нэр= 1, өөрөөр хэлбэл хугацааны урт к= 1. Сарын өмнөх үеийн урт би нэрлэнөхцөлөөс тодорхойлогддог: 10 лº0(mod8), хаанаас би нэрлэ= 3, өөрөөр хэлбэл, өмнөх үеийн урт л = 3.
Шалгах: "булан" 5-ыг 24-т хувааж, авна: = 0, 208 (3).
Хариулт: 1) 0, 0375; 2) 0, (074); 3) 0, 208 (3).
БИЕ ДААН АЖЛЫН ДАСГАЛ
156. Аравтын бутархай системд бичигдсэн эдгээр энгийн бутархайг аравтын бутархай болгон хувиргадаг. Хэрэв аравтын бутархай үе үе байвал өмнө ньтоог ол к- хугацааны урт ба тоо л- өмнөх үеийн урт.
157. Аравтын бутархайн системд бичигдсэн эдгээр энгийн бутархайг хувиргана т- системчилсэн бутархай. Тоонуудыг олоорой к- хугацааны урт ба л- өмнөх үеийн урт.
158*. Ямар тооны системд (4 6) 10 гэсэн тоо ижил тоогоор бичигдсэн байдаг, гэхдээ
урвуу дараалал уу?
159*. Аль нь илүү вэ: хоёртын систем дэх 8-р цифрийн нэгж эсвэл наймтын системийн 4-р цифрийн нэгж үү?
§ 10. ПАСКАЛИЙН ТЕОРЕМ. ХУВААХ ТЭМДЭГ
ОНОЛЫН ҮНДСЭН МЭДЭЭЛЭЛ
10. 1. Паскалийн теорем (1623 – 1662).
Натурал тоо өгөгдсөн: t > 1ба n, t-ary системд бичигдсэн:
,a i бол тоонууд: a iÎ Н, 0 £ a i £ т–1 (би = 0,1, 2,…, к), тÎ Н, т > 1.
Болъё n= (a k a k - 1 … а 1 а 0) 10 = a k×10 к +a k - 1×10 к- 1 +…+а 1×10+ а 0 , м=3 ба м = 9.
1) олох б би: модульм = 3 модульм = 9
10 0 º1(mod3), i.e. б 0 =1, 10 0 º1(mod9), i.e. б 0 =1,
10 1 º1(mod3), i.e. б 1 =1, 10 1 º1(mod9), i.e. б 1 =1,
10 2 º1(mod3), i.e. б 2 =1, 10 2 º1(mod9), i.e. б
Бүрэн тооцооны систем. Өгөгдсөн суутгалын систем. Хамгийн түгээмэл хасалтын системүүд нь: хамгийн бага эерэг, хамгийн бага сөрөг биш, туйлын хамгийн бага гэх мэт.
Теорем 1. Үлдэгдлийн бүрэн ба багасгасан системийн шинж чанарууд.
1°.Суутгалын бүрэн тогтолцооны шалгуур. Аливаа хослол мхосоор харьцуулшгүй модуль бүхий бүхэл тоонууд м, үлдэгдэл модулийн бүрэн системийг бүрдүүлдэг м.
2°. Хэрэв тоонууд x 1 , x 2 , ..., х м– үлдэгдэл модулийн бүрэн систем м, (а, м) = 1, бнь дурын бүхэл тоо, дараа нь тоонууд сүх 1 +б, сүх 2 +б, ..., сүх м+бмөн үлдэгдэл модулийн бүрэн системийг бүрдүүлнэ м.
3°. Бууруулсан бууралтын системийн шалгуур. j(-аас бүрдэх аливаа цуглуулга м) хосоор харьцуулшгүй модуль бүхий бүхэл тоо мба модультай харьцуулж, модулийн үлдэгдлийн багасгасан системийг бүрдүүлнэ м.
4°. Хэрэв тоонууд x 1 , x 2 , ..., x j ( м) нь модулийн үлдэгдлийн бууруулсан систем юм м, (а, м) = 1, дараа нь тоонууд сүх 1 , сүх 2 , ..., а х j ( м) мөн үлдэгдлийн модулийн бууруулсан системийг бүрдүүлнэ м.
Теорем 2.Эйлерийн теорем.
Хэрэв тоонууд аболон мдараа нь а j ( м) º 1(заг м).
Үр дагавар.
1°. Фермагийн теорем. Хэрвээ ханхны тоо ба а-д хуваагдахгүй х, дараа нь a p–1 º 1(mod х).
2°. Фермагийн ерөнхий теорем. Хэрвээ хтэгвэл анхны тоо a p º а(mod х) аль ч хувьд аÎ З .
§ дөрөв. Хувьсагчтай харьцуулалтыг шийдвэрлэх
Харьцуулах шийдвэр. Тэнцүү байдал. Харьцуулах зэрэг.
Теорем. Конгруенцийн шийдлийн шинж чанарууд.
1°. Конгруенцийн шийдэл нь үлдэгдлийн бүхэл бүтэн анги юм.
2°. (" к)(a k º б к(mod м))Ù к= харьцуулалтын z º 0 (mod м) ба º 0 (mod м) тэнцүү байна.
3°. Хэрэв харьцуулалтын хоёр хэсгийг модультай харьцуулсан тоогоор үржүүлбэл анхныхтай тэнцэх харьцуулалт гарна.
4°. Аливаа харьцуулалт нь үндсэн ба хзэрэг нь хэтрээгүй харьцуулалттай тэнцүү байна х–1.
5°. Харьцуулалт º 0 (mod х), хаана ханхны тоо, хамгийн ихдээ байна nянз бүрийн шийдэл.
6°. Вилсоны теорем. ( n- нэг)! º -1 (mod n) Û nАнхны тоо.
§ 5. Нэгдүгээр зэрэглэлийн харьцуулалтыг шийдвэрлэх
сүх º б(mod м).
Теорем. 1°. Хэрвээ ( а, м) = 1, тэгвэл харьцуулалт нь шийдэлтэй бөгөөд энэ нь өвөрмөц юм.
2°. Хэрвээ ( а, м) = гболон б-д хуваагдахгүй г, тэгвэл харьцуулалт ямар ч шийдэлгүй болно.
3°. Хэрвээ ( а, м) = гболон бхуваасан г, дараа нь харьцуулалт байна гмодулийн үлдэгдлийн нэг ангиллыг бүрдүүлдэг өөр өөр шийдлүүд.
Харьцуулалтыг шийдвэрлэх арга замууд сүх º б(mod м) хэзээ ( а, м) = 1:
1) сонголт (суутгалын бүрэн системийн элементүүдийг тоолох);
2) Эйлерийн теоремыг ашиглах;
3) Евклидийн алгоритмыг ашиглах;
4) коэффициентүүдийн өөрчлөлт (теорем 2.2-ын үлдэгдлийн бүрэн системийн 2°-ын шинж чанарыг ашиглан);
§6. Нэгдүгээр зэргийн тодорхойгүй тэгшитгэл
сүх+by = в.
Теорем. Тэгшитгэл сүх+by = взөвхөн хэрэв тийм бол шийдэгдэх боломжтой в (а, б).
Хэзээ ( а, б) = 1 тэгшитгэлийн бүх шийдийг томъёогоор өгөгдсөн
тÎ З , хаана x 0 бол зарим харьцуулах шийдэл юм
сүх º в(mod б), y 0 = .
Диофантийн тэгшитгэл.
БҮЛЭГ 10. Цогцолбор тоо
Комплекс тоонуудын системийн тодорхойлолт. Комплекс тоонуудын систем оршин тогтнох
Комплекс тоонуудын системийн тодорхойлолт.
Теорем. Комплекс тооны систем байдаг.
Загвар: Р 2 үйл ажиллагаатай
(а, б)+(в, г) = (а+в, б+г), (а, б)×( в, г) = (ac–бд, МЭӨ+зар),
би= (0, 1) ба таних а = (а, 0).
Комплекс тооны алгебрийн хэлбэр
Комплекс тоог хэлбэрээр дүрслэх z = а+би, хаана а, бÎ Р , би 2 = -1. Ийм дүрслэлийн өвөрмөц байдал. Re z, Im z.
Алгебрийн хэлбэрээр нийлмэл тоон дээр арифметик үйлдлийг гүйцэтгэх дүрэм.
Арифметик n- хэмжээст вектор орон зай C n. Шугаман тэгшитгэлийн систем, матриц, тодорхойлогч C .
Комплекс тооноос квадрат язгуурыг алгебр хэлбэрээр гаргаж авах.
Үлдэгдлийн бүрэн системийн нэг хэсэг (Үлдэгдлийн бүрэн системийг үзнэ үү), модультай харьцуулах тооноос бүрдэх м. P. s. in. φ агуулсан м) тоо [φ( м) нь харьцуулах тооны тоо юм мба жижиг м]. Аливаа φ( м) модулиар харьцуулах боломжгүй тоонууд ммөн үүнтэй нийцүүлэн, P. s хэлбэрийг бич. in. Энэ модулийн хувьд.
- - Багассан массыг үзнэ үү...
Физик нэвтэрхий толь бичиг
- - хөдөлгөөнт механик дахь массын тархалтын нөхцөлт шинж чанар. эсвэл физикээс хамааран холимог систем. системийн параметрүүд болон түүний хөдөлгөөний хуулиас...
Физик нэвтэрхий толь бичиг
- - модуль m - модуль нэгтэй харьцуулшгүй бүхэл тоонуудын аль ч багц. Ихэвчлэн P. хамт. in. хамгийн бага сөрөг бус үлдэгдлийг модуль 0, 1, . . ...
Математик нэвтэрхий толь бичиг
- - орон сууцны барилгын ашиглалтын талбайн нийлбэр, түүнчлэн харгалзах бууруулах хүчин зүйл бүхий логги, веранда, тагтны талбай - нийт талбайг өгсөн - přepočtená užitková plocha - Gesamtfläche - fajlagos alapterület - hörvüulsen ...
Барилгын толь бичиг
- - Чулуулгийн сүвэрхэг байдлын коэффициентийг харна уу ...
- - чулуулгийн нүхний эзэлхүүнийг чулуулгийн араг ясны эзлэхүүнтэй харьцуулсан харьцааг ихэвчлэн нэгжийн фракцаар илэрхийлдэг ...
Гидрогеологи ба инженерийн геологийн толь бичиг
- - сүвэрхэг байдлын коэффициентийг үзнэ үү...
Хөрс судлалын тайлбар толь бичиг
- - үндсэн хэсэгтэй адилхан ...
- - системийн хөдөлгөөний тэгшитгэлийг хялбарчлахын тулд механикт нэвтрүүлсэн хөдөлгөөнт биетүүдийн систем дэх массын тархалтын нөхцөлт шинж чанар ...
Том нэвтэрхий толь бичиг бүхий политехникийн толь бичиг
- - Тухайн улсын оршин суугч бус иргэнээс авсан ногдол ашиг болон бусад орлогоос эх үүсвэрээс ногдуулах татвар...
Санхүүгийн толь бичиг
- - Тухайн улсын оршин суугч бус иргэнээс авсан ногдол ашиг болон бусад орлогоос эх үүсвэрээс ногдуулах татвар...
Бизнесийн нэр томьёоны тайлбар толь
- - модуль m, модуль m тооны анги бүрээс нэг тоо агуулсан бүхэл тоонуудын дурын цуглуулга. П.-тай хамт. in. Хамгийн бага эерэг үлдэгдлийн хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг систем 0, 1, 2,.....
- - системийн физик параметрүүд болон түүний хөдөлгөөний хуулиас хамааран хөдөлгөөнт механик эсвэл холимог систем дэх массын тархалтын нөхцөлт шинж чанар ...
Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг
- - БАГАССАН масс - системийн физик параметрүүд болон түүний хөдөлгөөний хуулиас хамааран хөдөлгөөнт механик эсвэл холимог систем дэх массын тархалтын нөхцөлт шинж чанар ...
Том нэвтэрхий толь бичиг
- - ерөнхий, бүх, хуримтлагдсан, ...
Синоним толь бичиг
- - нэр., синонимын тоо: 1 цэвэр ...
Синоним толь бичиг
"Суутгалын бууруулсан систем" номонд
Үндсэн чадамжуудын өнөөгийн үнэ цэнэ юу вэ?
Жингүй баялаг номноос. Биет бус хөрөнгийн эдийн засагт компанийнхаа үнэ цэнийг тодорхойл зохиолч Тиссен РенеҮндсэн чадамжуудын өнөөгийн үнэ цэнэ юу вэ? Дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн үндсэн чадамжийн өнөөгийн үнэ цэнийг татан авалтын зардлыг харгалзан тодорхой хугацаанд бүх үзүүлэлтүүдийг үржүүлж тооцдог гэж хэлж болно.
Өнөөгийн цэвэр үнэ цэнэ (NPV)
10 хоногийн дараа MBA номноос. Дэлхийн тэргүүлэх бизнесийн сургуулиудын хамгийн чухал хөтөлбөр зохиолч Силбигер СтивенЦэвэр өнөөгийн үнэ цэнэ (NPV) Өнөөгийн үнэ цэнийн (NPV) шинжилгээ нь ажилтан 30 жилийн дараа зохистой тэтгэвэр авахын тулд хичнээн хэмжээний хөрөнгө оруулалт хийх шаардлагатайг тооцоолоход тусалдаг боловч энэ дүн шинжилгээ нь одоогийн хөрөнгө оруулалт, төслүүдийг үнэлэхэд тус болохгүй. Хөрөнгө оруулалтыг үнэлэх ёстой
ДЭЛГЭРЭНГҮЙ МЭДЭЭЛЛИЙН БҮРТГЭЛ, ЦАЛИНгаас СУУТАЛТ
Нягтлан бодох бүртгэл номноос зохиолч Мельников ИльяЦАЛИНГИЙН ДЭЛГЭРЭНГҮЙ, СУУТАЛТЫГ ХҮЛЭЭН ТОГТООХ Хууль тогтоомжийн дагуу ажилтны цалингаас дараахь суутгалуудыг хийнэ: - орлогын албан татвар (улсын албан татвар, татварын объект - цалин);
10.6. Цалингийн суутгал, суутгалын бүртгэл
Хөдөө аж ахуйн нягтлан бодох бүртгэл номноос зохиолч Бычкова Светлана Михайловна10.6. Цалингийн суутгал, суутгалын нягтлан бодох бүртгэл Аж ахуйн нэгжийн ажилчдын цалингаас тодорхой суутгал хийх бөгөөд үүнийг дараахь байдлаар хуваана: заавал суутгал хийх (хувь хүний орлогын албан татвар, гүйцэтгэх захирамжийн суутгал);
Биет бус хөрөнгө: Нягтлан бодох бүртгэл ба татварын бүртгэл номноос зохиолч Захарин В Р<...>
4.1. Нийгмийн татварын хөнгөлөлт үзүүлэх ерөнхий асуудал
зохиолч Макурова Татьяна4.1. Нийгмийн татварын хөнгөлөлт үзүүлэх ерөнхий асуудлууд Нийгмийн татварын хөнгөлөлт (Татварын хуулийн 219-р зүйл), түүнчлэн орон сууц худалдаж авахад эд хөрөнгийн суутгал хийх нь татварын баазыг нийгмийн зардлын хэмжээгээр бууруулахыг хэлнэ. хууль тогтоомж
4.3. Боловсролын хөнгөлөлт үзүүлэх онцлог
Хувь хүний орлогын албан татварын тухай өөрөө заавар номноос зохиолч Макурова Татьяна4.3. Боловсролын хөнгөлөлт үзүүлэх онцлог 142) Боловсролын хөнгөлөлтөд ямар зардлыг тооцох вэ? Боловсролын хөнгөлөлтийн хязгаар нь юу вэ?Боловсролын нийгмийн татварын хөнгөлөлтөд дараахь зүйлийг хүлээн зөвшөөрнө: татвар төлөгчийн төлсөн хэмжээгээр зардал.
3.4. Татварын хөнгөлөлт үзүүлэх тоо хэмжээ, давтамж
"Аж ахуйн нэгжийн татварын дарамт: дүн шинжилгээ, тооцоо, менежмент" номноос зохиолч Чипуренко Елена Викторовна3.4. Татварын хасалт үүсэх, хэрэглэх тоо хэмжээ, давтамж 3.4.1. НӨАТ-ын боломжит татварын хөнгөлөлт НӨАТ-ыг тооцохдоо татварын хөнгөлөлтийн хэмжээг зөвхөн татварын нягтлан бодох бүртгэлийн бүртгэл - худалдан авалтын дэвтрийн мэдээллийн дагуу тодорхойлно. At
Суутгалын бүрэн систем
Зохиогчийн Их Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь бичиг (PO) номноос TSBБагассан масс
TSBСуутгалын бууруулсан систем
Зохиогчийн Их Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь бичиг (PR) номноос TSB88. Нэг зэрэг тэгшитгэлийн системийн бүтцийн ба багасгасан хэлбэрүүд. Загвар тодорхойлох
Эконометрикийн шалгалтын тасалбарын хариулт номноос зохиолч Яковлева Анжелина Витальевна88. Нэг зэрэг тэгшитгэлийн системийн бүтцийн ба багасгасан хэлбэрүүд. Загвар тодорхойлох Бүтцийн тэгшитгэл нь нэгэн зэрэг тэгшитгэлийн анхны системийг бүрдүүлдэг тэгшитгэл юм. Энэ тохиолдолд систем нь бүтцийн хэлбэртэй байна.Бүтцийн хэлбэр
Татварын хуулийн шинэ зүйл номноос: 2008 онд хүчин төгөлдөр болсон өөрчлөлтүүдийн тайлбар зохиолч Зрелов Александр Павлович172 дугаар зүйл.Татварын хөнгөлөлт үзүүлэх журам
зохиолч зохиогч тодорхойгүй172 дугаар зүйл
ОХУ-ын Татварын хууль номноос. Нэг ба хоёрдугаар хэсэг. 2009 оны 10-р сарын 1-ний өдрийн нэмэлт, өөрчлөлттэй текст зохиолч зохиогч тодорхойгүйТатварын хөнгөлөлт үзүүлэх журам 201 дүгээр зүйл