Хавтгай дээрх хос шулуунуудын аль нь параллель байна. Хавтгай ба орон зай дахь параллель шугамууд. Хувийн мэдээллийг хамгаалах
![Хавтгай дээрх хос шулуунуудын аль нь параллель байна. Хавтгай ба орон зай дахь параллель шугамууд. Хувийн мэдээллийг хамгаалах](https://i2.wp.com/zaochnik.com/uploads/2018/02/21/image002.png)
Таны хувийн нууц бидэнд чухал. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын бодлогыг уншаад асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.
Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах
Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.
Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.
Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.
Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг:
- Таныг сайт дээр өргөдөл гаргах үед бид таны нэр, утасны дугаар, имэйл хаяг гэх мэт янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно.
Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:
- Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь тантай холбоо барьж, онцгой санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар танд мэдээлэх боломжийг олгодог.
- Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээж болно.
- Мөн бид үзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, танд үйлчилгээнийхээ талаар зөвлөмж өгөх зорилгоор аудит хийх, мэдээллийн дүн шинжилгээ хийх, төрөл бүрийн судалгаа хийх зэрэг хувийн мэдээллийг дотоод зорилгоор ашиглаж болно.
- Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй урамшуулалд оролцох юм бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.
Гуравдагч этгээдэд мэдээлэл өгөх
Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.
Үл хамаарах зүйл:
- Шаардлагатай тохиолдолд - хууль тогтоомжийн дагуу, шүүхийн журмаар, шүүх ажиллагааны явцад болон / эсвэл ОХУ-ын нутаг дэвсгэр дэх төрийн байгууллагуудын хүсэлт, хүсэлтийн дагуу хувийн мэдээллээ задруулах. Хэрэв бид аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон нийтийн ашиг сонирхлын бусад зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
- Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх эсвэл худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох гуравдагч этгээдийн өв залгамжлагчид шилжүүлж болно.
Хувийн мэдээллийг хамгаалах
Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, буруугаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.
Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хадгалах
Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын талаар ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.
Хавтгайд нийтлэг цэггүй, өөрөөр хэлбэл огтлолцдоггүй шулуунуудыг параллель гэж нэрлэдэг. Зэрэгцээ байдлыг харуулахын тулд || тусгай дүрсийг ашиглана уу (зэрэгцээ шугамууд a || b).
Орон зайд хэвтэж буй шугамуудын хувьд нийтлэг цэг байхгүй байх шаардлага хангалтгүй - тэдгээр нь орон зайд параллель байхын тулд тэдгээр нь нэг хавтгайд хамаарах ёстой (эсвэл тэдгээр нь хазайх болно).
Зэрэгцээ шугамуудын жишээг авахын тулд хол явах шаардлагагүй, тэдгээр нь биднийг хаа сайгүй дагалддаг, өрөөнд эдгээр нь хананы тааз, шалтай огтлолцох шугамууд, дэвтрийн хуудсан дээр эсрэг талын ирмэгүүд гэх мэт.
Эхний хоёрын аль нэгэнд параллель хоёр шугам, гурав дахь шугам нь хоёр дахь шугамтай параллель байх нь ойлгомжтой.
Хавтгай дахь параллель шугамууд нь планиметрийн аксиомуудыг ашиглан нотлогдох боломжгүй мэдэгдлээр холбогддог. Үүнийг баримт, аксиом гэж хүлээн зөвшөөрдөг: шулуун шугам дээр хэвтдэггүй хавтгайн аль ч цэгийн хувьд өгөгдсөн цэгтэй параллель нэг шулуун шугам дамжин өнгөрдөг. Зургаадугаар ангийн хүүхэд бүр энэ аксиомыг мэддэг.
Түүний орон зайн ерөнхий ойлголт, өөрөөр хэлбэл, огторгуйн шугаман дээр оршдоггүй аль ч цэгийн хувьд өгөгдсөнтэй параллель өнгөрдөг өвөрмөц шугам байдаг гэсэн нотолгоо нь аль хэдийн мэдэгдэж байсан параллелизмын аксиомыг ашиглан амархан нотлогддог. онгоц.
Зэрэгцээ шугамын шинж чанарууд
- Хэрэв хоёр зэрэгцээ шугамын аль нэг нь гурав дахь нь параллель байвал тэдгээр нь хоорондоо параллель байна.
Зэрэгцээ шугамууд нь хавтгайд ч, орон зайд ч ийм шинж чанартай байдаг.
Үүний жишээ болгон стереометрийн үндэслэлийг авч үзье.
b шулуунууд нь а шулуунтай параллель байя.
Бүх шугамууд нэг хавтгайд байх тохиолдолд төлөвлөгөөний хэмжилтэнд үлдэнэ.
a, b нь бетта хавтгайд, гамма нь a, c нь хамаарах хавтгай (сансар дахь параллелизмын тодорхойлолтоор шугамууд нэг хавтгайд хамаарах ёстой) гэж бодъё.
Хэрэв бид бетта ба гамма хавтгайг ялгаатай гэж үзээд бетта хавтгайгаас b шулуун дээр тодорхой В цэгийг тэмдэглэвэл В цэгийг дайруулан татсан хавтгай ба c шулуун нь бетта хавтгайг шулуун шугамаар огтлох ёстой (бид үүнийг тэмдэглэнэ. b1).
Хэрэв үүссэн b1 шулуун гамма хавтгайтай огтлолцсон бол нэг талаас огтлолцлын цэг нь а дээр хэвтэх ёстой, учир нь b1 нь бетта хавтгайд харьяалагддаг, нөгөө талаас, b1 учраас энэ нь мөн c-д хамаарах ёстой. гурав дахь хавтгайд хамаарна.
Гэхдээ a ба c зэрэгцээ шугамууд огтлолцох ёсгүй.
Тиймээс b1 шугам нь бетта хавтгайд хамаарах ёстой бөгөөд нэгэн зэрэг а-тай нийтлэг цэгүүд байхгүй тул параллелизмын аксиомын дагуу энэ нь b-тэй давхцдаг.
Бид b шулуунтай давхцаж байгаа b1 шулууныг олж авсан бөгөөд энэ нь c шулуунтай нэг хавтгайд хамаарах бөгөөд түүнийг огтолдоггүй, өөрөөр хэлбэл b ба c параллель байна.
- Өгөгдсөн шулуунтай параллель өгөгдсөн шулуун дээр оршдоггүй цэгээр зөвхөн нэг шулуун дамждаг.
- Гурав дахь перпендикуляр хавтгай дээр байрлах хоёр шулуун шугам параллель байна.
- Хоёр зэрэгцээ шугамын аль нэг нь хавтгайтай огтлолцсон бол хоёр дахь шугам нь ижил хавтгайтай огтлолцоно.
- Гурав дахь параллель хоёр шугамын огтлолцолоос үүссэн харгалзах ба хөндлөн хэвтэх дотоод өнцгүүд нь тэнцүү бөгөөд энэ тохиолдолд үүссэн дотоод нэг талын нийлбэр нь 180 ° байна.
Эсрэг заалтууд нь бас үнэн бөгөөд үүнийг хоёр шулуун шугамын параллелизмын шинж тэмдэг гэж үзэж болно.
Зэрэгцээ шугамын нөхцөл
Дээр томъёолсон шинж чанарууд ба тэмдгүүд нь шугамын зэрэгцээ байх нөхцөл бөгөөд тэдгээрийг геометрийн аргаар баталж болно. Өөрөөр хэлбэл, боломжтой хоёр шулууны параллель байдлыг нотлохын тулд тэдгээрийн гурав дахь шулуунтай параллель байх эсвэл өнцгүүдийн тэгш байдал, тэдгээр нь харгалзах эсвэл хөндлөн хэвтэх гэх мэтийг батлахад хангалттай.
Баталгаажуулахын тулд тэд голчлон "зөрчилдөөн" аргыг ашигладаг, өөрөөр хэлбэл шугамууд зэрэгцээ биш гэсэн таамаглалтай байдаг. Энэ таамаглал дээр үндэслэн энэ тохиолдолд өгөгдсөн нөхцөлүүд зөрчигдөж байгааг хялбархан харуулж болно, жишээлбэл, хөндлөн хэвтсэн дотоод өнцөг нь тэгш бус болж хувирдаг бөгөөд энэ нь хийсэн таамаглал буруу болохыг баталж байна.
Хоёр шугамын параллелизмын шинж тэмдэг
Теорем 1. Хэрэв секантын хоёр шулууны огтлолцол дээр байвал:
диагональ хэвтэх өнцөг нь тэнцүү, эсвэл
харгалзах өнцөг нь тэнцүү, эсвэл
нэг талт өнцгийн нийлбэр нь 180°, тэгвэл
шугамууд зэрэгцээ байна(Зураг 1).
Баталгаа. Бид 1-р хэргийн нотлох баримтаар өөрсдийгөө хязгаарладаг.
a ба b шулуунуудын огтлолцол дээр AB зүсэлтээр хөндлөн огтлолцсон өнцгүүд тэнцүү байна гэж бодъё. Жишээлбэл, ∠ 4 = ∠ 6. || гэдгийг баталъя б.
a ба b шулуунууд параллель биш гэж үзье. Дараа нь тэд M цэг дээр огтлолцох ба улмаар 4 эсвэл 6 өнцгийн аль нэг нь ABM гурвалжны гадаад өнцөг болно. Тодорхой байхын тулд ∠ 4 нь ABM гурвалжны гадна талын булан, ∠ 6 нь дотоод өнцөг гэж үзье. Гурвалжны гадаад өнцгийн тухай теоремоос ∠ 4 нь ∠ 6-аас их байх ба энэ нь нөхцөлтэй зөрчилдөж байгаа нь а ба 6 шулуун огтлолцох боломжгүй тул параллель байна гэсэн үг юм.
Дүгнэлт 1. Нэг шулуунд перпендикуляр хавтгайд хоёр ялгаатай шулуун параллель байна(Зураг 2).
Сэтгэгдэл. Бидний дөнгөж сая теорем 1-ийн 1-р тохиолдлыг нотолсон аргыг зөрчилдөөн эсвэл утгагүй байдалд буулгах замаар нотлох арга гэж нэрлэдэг. Үндэслэлийнхээ эхэнд нотлогдох ёстой зүйлийн эсрэг (эсрэг) таамаглал дэвшүүлсэн тул энэ арга анхны нэрээ авсан. Хийсэн таамаглал дээр үндэслэн маргаж, утгагүй дүгнэлт (абсурд) гаргадаг тул үүнийг утгагүй байдалд хүргэх гэж нэрлэдэг. Ийм дүгнэлтийг хүлээн авснаар бид эхэндээ гаргасан таамаглалыг үгүйсгэж, нотлох шаардлагатай байсан таамаглалыг хүлээн зөвшөөрөхөд хүргэдэг.
Даалгавар 1.Өгөгдсөн M цэгийг дайран өнгөрч, өгөгдсөн а шулуунтай параллель М цэгийг дайраагүй шулууныг байгуул.
Шийдэл. a шулуунд перпендикуляр М цэгээр бид p шугамыг зурна (Зураг 3).
Дараа нь бид p шулуунтай перпендикуляр М цэгээр b шулууныг зурна. 1-р теоремын үр дүнд b шулуун нь а шулуунтай параллель байна.
Бодлоготой асуудлаас чухал дүгнэлт гарч байна.
Өгөгдсөн шулуун дээр биш цэгээр дамжуулан өгөгдсөн шулуунтай параллель шугамыг үргэлж зурж болно..
Зэрэгцээ шугамын үндсэн шинж чанар нь дараах байдалтай байна.
Зэрэгцээ шугамын аксиом. Өгөгдсөн шулуун дээр биш өгөгдсөн цэгээр дамжуулан өгөгдсөн шулуунтай параллель нэг л шулуун байна.
Энэ аксиомоос үүдэлтэй параллель шугамуудын зарим шинж чанарыг авч үзье.
1) Хэрэв шугам нь хоёр зэрэгцээ шугамын аль нэгийг нь огтолж байвал нөгөөг нь огтолно (Зураг 4).
2) Хэрэв хоёр өөр шугам гурав дахь шугамтай зэрэгцээ байвал тэдгээр нь зэрэгцээ байна (Зураг 5).
Дараах теорем бас үнэн.
Теорем 2. Зэрэгцээ хоёр шулууныг зүсэлтээр огтолбол:
хэвтэх өнцөг нь тэнцүү;
харгалзах өнцөг нь тэнцүү;
нэг талт өнцгийн нийлбэр нь 180° байна.
Үр дагавар 2. Хэрэв шугам нь хоёр зэрэгцээ шугамын аль нэгэнд перпендикуляр байвал нөгөөд нь мөн перпендикуляр байна.(2-р зургийг үз).
Сэтгэгдэл. 2-р теоремыг 1-р теоремын урвуу гэж нэрлэдэг. 1-р теоремын дүгнэлт нь теорем 2-ын нөхцөл. 1-р теоремын нөхцөл нь теорем 2-ын дүгнэлт юм. теорем бүр урвуутай байдаггүй, өөрөөр хэлбэл өгөгдсөн теорем үнэн бол тэгвэл урвуу теорем худал байж болно.
Үүнийг босоо өнцгийн тухай теоремын жишээгээр тайлбарлая. Энэ теоремыг дараах байдлаар томъёолж болно: хэрэв хоёр өнцөг босоо байвал тэдгээр нь тэнцүү байна. Урвуу теорем нь: хэрэв хоёр өнцөг тэнцүү бол тэдгээр нь босоо байна. Мөн энэ нь мэдээжийн хэрэг үнэн биш юм. Хоёр тэнцүү өнцөг нь босоо байх албагүй.
Жишээ 1Хоёр зэрэгцээ шугамыг гуравны нэгээр гатлав. Хоёр дотоод нэг талын өнцгийн ялгаа нь 30 ° гэдгийг мэддэг. Эдгээр өнцгүүдийг ол.
Шийдэл. Зураг 6-г нөхцөлийг хангана.
Энэ өгүүлэлд бид параллель шугамын талаар ярьж, тодорхойлолт өгч, параллелизмын шинж тэмдэг, нөхцлийг тодорхойлох болно. Онолын материалыг тодорхой болгохын тулд бид чимэглэл, ердийн жишээнүүдийн шийдлийг ашиглах болно.
Тодорхойлолт 1Хавтгай дээрх параллель шугамуудхавтгайд нийтлэг цэггүй хоёр шулуун шугам юм.
Тодорхойлолт 2
3D орон зай дахь параллель шугамууд- гурван хэмжээст орон зайд нэг хавтгайд орших, нийтлэг цэггүй хоёр шулуун шугам.
Сансар огторгуйд параллель шугамыг тодорхойлохын тулд "нэг хавтгайд хэвтэж байна" гэсэн тодотгол нь маш чухал гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй: гурван хэмжээст орон зайд нийтлэг цэггүй, нэг хавтгайд оршдоггүй хоёр шулуун биш юм. зэрэгцээ, гэхдээ огтлолцдог.
Зэрэгцээ шугамыг тэмдэглэхийн тулд ∥ тэмдгийг ашиглах нь түгээмэл байдаг. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв өгөгдсөн a ба b мөрүүд параллель байвал энэ нөхцөлийг дараах байдлаар товч бичнэ: a ‖ b . Шулуунуудын параллель байдлыг аман хэлбэрээр дараах байдлаар илэрхийлнэ: a ба b шугамууд зэрэгцээ, эсвэл а шугам нь b шугамтай параллель, эсвэл b шугам нь а шугамтай параллель байна.
Судалж буй сэдвээр чухал үүрэг гүйцэтгэдэг мэдэгдлийг томъёолъё.
Аксиом
Өгөгдсөн шулуунд хамааралгүй цэгээр өгөгдсөн шулуунтай параллель нэг л шулуун байна. Планиметрийн мэдэгдэж буй аксиомуудын үндсэн дээр энэ мэдэгдлийг батлах боломжгүй юм.
Сансар огторгуйн хувьд теорем үнэн болно.
Теорем 1
Өгөгдсөн шулуунд хамаарахгүй огторгуйн аль ч цэгээр өгөгдсөн шулуунтай параллель нэг л шулуун байх болно.
Энэ теоремыг дээрх аксиом (10-11-р ангийн геометрийн хөтөлбөр) дээр үндэслэн батлахад хялбар байдаг.
Зэрэгцээ байдлын тэмдэг нь параллель шугамыг баталгаажуулах хангалттай нөхцөл юм. Өөрөөр хэлбэл, энэ нөхцлийг биелүүлэх нь параллелизмын баримтыг батлахад хангалттай юм.
Ялангуяа хавтгай ба орон зайд шугамын зэрэгцээ байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөлүүд байдаг. Тайлбарлая: шаардлагатай бол зэрэгцээ шугамд зайлшгүй шаардлагатай нөхцөлийг хэлнэ; Хэрэв энэ нь хангагдаагүй бол шугамууд зэрэгцээ биш байна.
Дүгнэж хэлэхэд, шугамын зэрэгцээ байх зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл бол мөрүүд хоорондоо параллель байх шаардлагатай бөгөөд үүнийг дагаж мөрдөх нь хангалттай нөхцөл юм. Нэг талаасаа энэ нь параллелизмын шинж тэмдэг, нөгөө талаас параллель шугамд хамаарах шинж чанар юм.
Шаардлагатай, хангалттай нөхцлийн нарийн томъёолол өгөхөөс өмнө бид хэд хэдэн нэмэлт ойлголтыг эргэн санацгаая.
Тодорхойлолт 3
таслах шугамөгөгдсөн давхцаагүй хоёр шулуун тус бүрийг огтолж буй шугам юм.
Хоёр шулуун шугамыг огтолж, зүсэгч нь найман тэлэхгүй өнцөг үүсгэдэг. Шаардлагатай, хангалттай нөхцлийг бүрдүүлэхийн тулд бид хөндлөн, харгалзах, нэг талт гэх мэт өнцгийг ашиглана. Тэдгээрийг зураг дээр харуулъя:
Теорем 2
Хэрэв хавтгай дээрх хоёр шулуун нь зүсэлттэй огтлолцвол өгөгдсөн шулуунууд параллель байхын тулд хөндлөн хэвтэх өнцөг нь тэнцүү, эсвэл харгалзах өнцөг нь тэнцүү, эсвэл нэг талт өнцгийн нийлбэр нь 180-тай тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай. градус.
Хавтгай дээрх параллель шугамын хувьд шаардлагатай ба хангалттай нөхцөлийг графикаар харуулъя.
Эдгээр нөхцлийн нотолгоо нь 7-9-р ангийн геометрийн хөтөлбөрт байдаг.
Ерөнхийдөө эдгээр нөхцлүүд нь гурван хэмжээст орон зайд ч бас хамаатай бөгөөд хэрэв хоёр шугам ба секант нь нэг хавтгайд хамаарна.
Шулуун параллель гэдгийг батлахад ихэвчлэн хэрэглэгддэг хэд хэдэн теоремуудыг дурдъя.
Теорем 3
Хавтгайд гуравны нэгтэй параллель хоёр шулуун хоорондоо параллель байна. Энэ онцлог нь дээр дурдсан параллелизмын аксиомын үндсэн дээр нотлогдсон.
Теорем 4
Гурван хэмжээст орон зайд гуравны нэгтэй параллель хоёр шулуун хоорондоо параллель байна.
Атрибутын баталгааг 10-р ангийн геометрийн хөтөлбөрт судалдаг.
Бид эдгээр теоремуудын жишээг өгдөг.
Шулуунуудын параллелизмыг батлах өөр нэг хос теоремыг зааж өгье.
Теорем 5
Хавтгайд гуравны нэгтэй перпендикуляр хоёр шулуун хоорондоо параллель байна.
Гурван хэмжээст орон зайд ижил төстэй томъёолъё.
Теорем 6
Гурван хэмжээст орон зайд гуравны нэгтэй перпендикуляр хоёр шулуун хоорондоо параллель байна.
Дүрслэн үзүүлье:
Дээрх бүх теорем, тэмдэг, нөхцөлүүд нь геометрийн аргаар шугамын параллелизмыг хялбархан батлах боломжийг олгодог. Өөрөөр хэлбэл, шугамын параллелизмыг батлахын тулд харгалзах өнцөг нь тэнцүү байгааг харуулах эсвэл өгөгдсөн хоёр шулуун гурав дахь хэсэгт перпендикуляр байгааг харуулах гэх мэт. Гэхдээ хавтгай эсвэл гурван хэмжээст орон зайд шугамын параллель байдлыг батлахын тулд координатын аргыг ашиглах нь илүү тохиромжтой гэдгийг бид тэмдэглэж байна.
Тэгш өнцөгт координатын систем дэх шугамын параллелизм
Өгөгдсөн тэгш өнцөгт координатын системд шулуун шугамыг аль нэг төрлийн хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэлээр тодорхойлно. Үүний нэгэн адил гурван хэмжээст орон зайд тэгш өнцөгт координатын системд өгөгдсөн шулуун шугам нь орон зай дахь шулуун шугамын зарим тэгшитгэлтэй тохирч байна.
Өгөгдсөн шулуунуудыг дүрсэлсэн тэгшитгэлийн төрлөөс хамааран тэгш өнцөгт координатын систем дэх шугамуудын параллель байх шаардлагатай ба хангалттай нөхцөлүүдийг бичье.
Хавтгай дээрх параллель шулуунуудын нөхцөлөөс эхэлье. Энэ нь шулууны чиглэлийн вектор ба хавтгай дахь шулууны хэвийн векторын тодорхойлолт дээр суурилдаг.
Теорем 7
Хавтгай дээр давхцдаггүй хоёр шулуун параллель байхын тулд өгөгдсөн шулуунуудын чиглэлийн векторууд нь коллинеар, эсвэл өгөгдсөн шулуунуудын хэвийн векторууд нь коллинеар, эсвэл нэг шулууны чиглэлийн вектор нь перпендикуляр байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай. нөгөө шугамын хэвийн вектор.
Хавтгай дээрх параллель шулуунуудын нөхцөл нь коллинеар векторуудын нөхцөл эсвэл хоёр векторын перпендикуляр байдлын нөхцөл дээр суурилдаг нь тодорхой болно. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв a → = (a x , a y) ба b → = (b x , b y) нь a ба b шугамын чиглэлийн векторууд;
ба n b → = (n b x , n b y) нь a ба b шугамын хэвийн векторууд тул дээрх шаардлагатай ба хангалттай нөхцлийг дараах байдлаар бичнэ: a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y эсвэл n a → = t n b → ⇔ n a x = t n b x n a y = t n b y or a → , n b → = 0 ⇔ a x n b x + a y n b y = 0, энд t нь зарим бодит тоо юм. Чиглүүлэх буюу шууд векторуудын координатыг шугамын өгөгдсөн тэгшитгэлээр тодорхойлно. Гол жишээнүүдийг авч үзье.
- Тэгш өнцөгт координатын систем дэх а шугамыг шугамын ерөнхий тэгшитгэлээр тодорхойлно: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; b шугам - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Дараа нь өгөгдсөн шулуунуудын хэвийн векторууд (A 1 , B 1) ба (A 2 , B 2) координатуудтай болно. Бид параллелизмын нөхцлийг дараах байдлаар бичнэ.
A 1 = t A 2 B 1 = t B 2
- Шулуун шугамыг y = k 1 x + b 1 хэлбэрийн налуутай шулуун шугамын тэгшитгэлээр тодорхойлно. Шулуун шугам b - y \u003d k 2 x + b 2. Дараа нь өгөгдсөн шулуунуудын хэвийн векторууд (k 1 , - 1) ба (k 2 , - 1) координатуудтай байх ба параллелизмын нөхцлийг дараах байдлаар бичнэ.
k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2
Тиймээс, тэгш өнцөгт координатын систем дэх хавтгай дээрх параллель шулуунуудыг налуугийн коэффициент бүхий тэгшитгэлээр өгвөл өгөгдсөн шулуунуудын налуугийн коэффициентүүд тэнцүү байна. Мөн эсрэг заалт нь үнэн юм: хэрэв тэгш өнцөгт координатын систем дэх хавтгай дээрх давхцахгүй шугамууд нь ижил налуугийн коэффициент бүхий шугамын тэгшитгэлээр тодорхойлогддог бол эдгээр өгөгдсөн шугамууд параллель байна.
- Тэгш өнцөгт координатын системийн a ба b шулуунуудыг хавтгай дээрх шулууны каноник тэгшитгэлээр өгөгдөнө: x - x 1 a x = y - y 1 a y ба x - x 2 b x = y - y 2 b y буюу параметрт тэгшитгэлүүд. Хавтгай дээрх шулууны: x = x 1 + λ a x y = y 1 + λ a y ба x = x 2 + λ b x y = y 2 + λ b y .
Дараа нь өгөгдсөн шулуунуудын чиглэлийн векторууд нь: a x, a y ба b x, b y байх ба параллелизмын нөхцлийг дараах байдлаар бичнэ.
a x = t b x a y = t b y
Жишээнүүдийг харцгаая.
Жишээ 1
Өгөгдсөн хоёр мөр: 2 x - 3 y + 1 = 0 ба x 1 2 + y 5 = 1 . Тэдгээр нь зэрэгцээ байгаа эсэхийг тодорхойлох хэрэгтэй.
Шийдэл
Бид шулуун шугамын тэгшитгэлийг ерөнхий тэгшитгэл хэлбэрээр бичнэ.
x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0
n a → = (2 , - 3) нь 2 x - 3 y + 1 = 0 шугамын хэвийн вектор, n b → = 2 , 1 5 нь x 1 2 + y 5 шугамын хэвийн вектор болохыг бид харж байна. = 1.
Үүссэн векторууд нь коллинеар биш, учир нь Тэгш байдал үнэн байх t-ийн утга байхгүй:
2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5
Тиймээс, хавтгай дээрх шугамуудын параллель байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл хангагдаагүй байгаа нь өгөгдсөн шугамууд параллель биш гэсэн үг юм.
Хариулт:Өгөгдсөн шугамууд зэрэгцээ биш байна.
Жишээ 2
Өгөгдсөн y = 2 x + 1 ба x 1 = y - 4 2 мөрүүд. Тэд зэрэгцээ байна уу?
Шийдэл
x 1 \u003d y - 4 2 шулуун шугамын каноник тэгшитгэлийг налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл болгон хувиргацгаая.
x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4
y = 2 x + 1 ба y = 2 x + 4 шулуунуудын тэгшитгэлүүд ижил биш (хэрэв өөрөөр байсан бол шулуунууд ижил байх байсан) ба шугамын налуу нь тэнцүү байгааг бид харж байна. өгөгдсөн шугамууд зэрэгцээ байна.
Асуудлыг өөрөөр шийдэхийг хичээцгээе. Эхлээд бид өгөгдсөн мөрүүд давхцаж байгаа эсэхийг шалгана. Бид y \u003d 2 x + 1 шугамын аль ч цэгийг ашигладаг, жишээлбэл, (0, 1) , энэ цэгийн координатууд нь x 1 \u003d y - 4 2 шугамын тэгшитгэлтэй тохирохгүй байна гэсэн үг юм. мөрүүд давхцахгүй байна.
Дараагийн алхам бол өгөгдсөн шугамуудын параллелизмын нөхцлийн биелэлтийг тодорхойлох явдал юм.
y = 2 x + 1 шулууны хэвийн вектор нь n a → = (2 , - 1) вектор, хоёр дахь өгөгдсөн шулууны чиглэлийн вектор нь b → = (1 , 2) байна. Эдгээр векторуудын скаляр үржвэр нь тэг байна:
n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0
Тиймээс векторууд перпендикуляр байна: энэ нь анхны шугамууд зэрэгцээ байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөлийг хангаж байгааг харуулж байна. Тэдгээр. Өгөгдсөн шугамууд параллель байна.
Хариулт:Эдгээр шугамууд зэрэгцээ байна.
Гурван хэмжээст орон зайн тэгш өнцөгт координатын систем дэх шугамуудын параллель байдлыг батлахын тулд дараах шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөлийг ашиглана.
Теорем 8
Гурван хэмжээст орон зайд давхцдаггүй хоёр шулуун параллель байхын тулд эдгээр шулуунуудын чиглэлийн векторууд нь коллинеар байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм.
Тэдгээр. Гурван хэмжээст орон зайд өгөгдсөн шугамын тэгшитгэлийн хувьд: тэдгээр нь параллель байна уу, үгүй юу гэсэн асуултын хариултыг өгөгдсөн шугамын чиглэлийн векторуудын координатыг тодорхойлох, түүнчлэн тэдгээрийн уялдаа холбоог шалгах замаар олно. Өөрөөр хэлбэл a → = (a x, a y, a z) ба b → = (b x, b y, b z) нь a ба b шулуунуудын чиглэлийн векторууд байвал тэдгээрийг параллель байхын тулд оршихуй Ийм бодит тооны t нь зайлшгүй шаардлагатай тул тэгш байдлыг хангана:
a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z
Жишээ 3
Өгөгдсөн мөрүүд x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 ба x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ . Эдгээр шугамуудын параллель байдлыг нотлох шаардлагатай.
Шийдэл
Бодлогын нөхцөл нь орон зай дахь нэг шулуун шугамын каноник тэгшитгэл, орон зай дахь өөр шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэл юм. Чиглэлийн векторууд a → ба b → өгөгдсөн шугамууд координаттай байна: (1 , 0 , - 3) ба (2 , 0 , - 6) .
1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t - 6 ⇔ t = 1 2, дараа нь a → = 1 2 b → .
Тиймээс орон зайд параллель шугам байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл хангагдсан байна.
Хариулт:өгөгдсөн шугамуудын параллель байдал нотлогдсон.
Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу
Тэд хэр удаан үргэлжилсэн ч огтлолцдоггүй. Бичгийн шугамын зэрэгцээ байдлыг дараах байдлаар харуулав. AB|| FROMЭ
Ийм шугамууд байх магадлалыг теоремоор нотолсон.
Теорем.
Өгөгдсөн шугамаас гадуур авсан дурын цэгээр дамжуулан энэ шулуунтай параллель зурж болно..
Болъё ABэнэ мөр ба FROMүүнээс гадна зарим цэгийг авсан. Үүнийг нотлох шаардлагатай FROMта шулуун шугам зурж болно ЗэрэгцээAB. За ингээд үргэлжлүүлье ABнэг цэгээс FROM перпендикулярFROMДтэгээд бид тэгнэ FROMЭ^ FROMД, юу боломжтой вэ. Чигээрээ CEЗэрэгцээ AB.
Баталгаажуулахын тулд бид эсрэгээр нь, өөрөөр хэлбэл, үүнийг таамаглаж байна CEогтлолцдог ABхэзээ нэгэн цагт М. Дараа нь цэгээс Мшулуун шугам руу FROMДБид хоёр өөр перпендикуляртай болно МДболон MS, энэ нь боломжгүй юм. гэсэн үг, CE-тай огтлолцож болохгүй AB, өөрөөр хэлбэл FROMЭЗэрэгцээ AB.
Үр дагавар.
Хоёр перпендикуляр (CЭболонД.Б.) нэг шулуун шугам руу (СД) зэрэгцээ байна.
Зэрэгцээ шугамын аксиом.
Нэг цэгээр нэг шулуунтай зэрэгцээ хоёр өөр шугам зурах боломжгүй.
Тэгэхээр шулуун шугам бол FROMД, цэгээр дамжуулан зурсан FROMшулуун шугамтай зэрэгцээ AB, дараа нь өөр ямар ч мөр FROMЭижил цэгээр дамжин FROM, зэрэгцээ байж болохгүй AB, өөрөөр хэлбэл гэж тэр үргэлжлүүлэв огтлолцох-тай AB.
Энэ тийм ч тодорхой биш үнэнийг нотлох нь боломжгүй зүйл болж хувирав. Үүнийг нотлох баримтгүйгээр зайлшгүй шаардлагатай таамаглал (postulatum) гэж хүлээн зөвшөөрдөг.
Үр дагавар.
1. Хэрэв Чигээрээ(FROMЭ) аль нэгтэй нь огтлолцоно Зэрэгцээ(SW), дараа нь нөгөөтэйгээ огтлолцоно ( AB), учир нь өөрөөр ижил цэгээр дамжуулан FROMзэрэгцээ хоёр өөр шулуун шугам AB, энэ нь боломжгүй юм.
2. Хэрэв тус бүр нь хоёр шууд (АболонБ) ижил гурав дахь шугамтай параллель байна ( FROM) , дараа нь тэд зэрэгцээ байнаөөр хоорондоо.
Үнэхээр, хэрэв бид үүнийг таамаглаж байгаа бол Аболон Бхэзээ нэгэн цагт огтлолцоно М, тэгвэл өөр хоорондоо параллель хоёр өөр шулуун энэ цэгээр дамжин өнгөрөх болно. FROM, энэ нь боломжгүй юм.
Теорем.
Хэрвээ шулуун шугам перпендикуляр байназэрэгцээ шугамуудын аль нэгэнд, дараа нь нөгөөдөө перпендикуляр байна Зэрэгцээ.
Болъё AB || FROMДболон EF ^ AB.Үүнийг нотлох шаардлагатай EF ^ FROMД.
ПерпендикулярЭФ, -тэй огтлолцдог AB, огтлолцох нь гарцаагүй ба FROMД. Уулзвар болох цэгийг байг Х.
Одоо тэгье гэж бодъё FROMДперпендикуляр биш EH. Дараа нь өөр шугам, жишээ нь HK, перпендикуляр байх болно EHулмаар ижил цэгээр дамжин Ххоёр шулуун параллель AB: нэг FROMД, нөхцөлөөр болон бусад HKөмнө нь батлагдсан. Нэгэнт энэ нь боломжгүй учраас тийм гэж таамаглаж болохгүй SWперпендикуляр биш байсан EH.