Математик дахь аксиоматик аргууд. Натурал тооны системийн аксиоматик бүтэц Натурал тооны тодорхойлолт
![Математик дахь аксиоматик аргууд. Натурал тооны системийн аксиоматик бүтэц Натурал тооны тодорхойлолт](https://i1.wp.com/kto.guru/uploads/images/ob-aksiomaticheskom-sposobe-postroeniya-teorii_7.gif)
Сайтын материалыг ашиглах гэрээ
Сайт дээр нийтлэгдсэн бүтээлүүдийг зөвхөн хувийн зорилгоор ашиглаарай. Бусад сайтад материал нийтлэхийг хориглоно.
Энэ ажлыг (болон бусад бүх бүтээлийг) үнэ төлбөргүй татаж авах боломжтой. Та түүний зохиогч болон сайтын ажилтнуудад талархаж болно.
Мэдлэгийн санд сайн ажлаа илгээх нь энгийн зүйл юм. Доорх маягтыг ашиглана уу
Мэдлэгийн баазыг суралцаж, ажилдаа ашигладаг оюутнууд, аспирантууд, залуу эрдэмтэд танд маш их талархах болно.
Үүнтэй төстэй баримт бичиг
Дарааллыг нэр томъёогоор нэмэх, үржүүлэх гэж тодорхойлогддог p-adic бүхэл тоог нэмэх ба үржүүлэх. Бүхэл тооны p-adic тоонуудын цагираг, тэдгээрийн хуваагдлын шинж чанарыг судлах. Математикийн шинэ объектуудыг нэвтрүүлэх замаар эдгээр тоонуудын тайлбар.
хугацааны баримт бичиг, 2015 оны 06-р сарын 22-нд нэмэгдсэн
Хүмүүс хэрхэн тоолж сурсан, тоо, тоо, тооллын систем үүссэн. "Хуруу" дээр үржүүлэх хүснэгт: 9 ба 8 тоог үржүүлэх арга. Хурдан тоолох жишээ. Хоёр оронтой тоог 11, 111, 1111 гэх мэтээр үржүүлэх арга замууд. 999 гэсэн гурван оронтой тоо.
2011 оны 10-р сарын 22-нд нэмэгдсэн курсын ажил
Тоонуудыг үржүүлэх шинэ арга. Тооцооллын явцад үүссэн тоон матрицын гурвалжинтай ижил төстэй байдал нь харьцангуй боловч, ялангуяа гурван оронтой ба түүнээс дээш тоог үржүүлэхэд хэвээр байна. гурвалжин матриц.
нийтлэл, 2005 оны 02-р сарын 6-нд нэмэгдсэн
хураангуй, 2011 оны 01-р сарын 13-нд нэмэгдсэн
Математик дахь анхны тоонуудын утгыг хэрхэн олдгийг тайлбарлах замаар судалсан түүхийн шинж чанар. Пьетро Катальдигийн анхны тооны онолыг хөгжүүлэхэд оруулсан хувь нэмэр. Эратосфенийн анхны тооны хүснэгтийг эмхэтгэх арга. Натурал тоонуудын найрсаг байдал.
тест, 2010 оны 12/24-нд нэмэгдсэн
R-ийн тайлбарласан дэд олонлог болох сөрөг бус бодит тоонуудын олонлог. Үржүүлэх хагас бүлэгт хуваагдах чадвар. Хагас бүлгүүдийн тоон GCD ба LCM-ийн бүтэц. 0 ба 1-тэй сөрөг бус бодит тоонуудын үржүүлэх хагас бүлгийг судлах.
дипломын ажил, 2008 оны 05-р сарын 27-нд нэмэгдсэн
Бодит тооны шинж чанарууд, тэдгээрийн математикийн хөгжилд гүйцэтгэх үүрэг. Түүхэн талаас нь бодит тоонуудын багцыг бүтээхэд дүн шинжилгээ хийх. Кантор, Вейерштрасс, Дедекинд нарын дагуу бодит тооны онолыг бий болгох хандлага. Тэдний сургуулийн курст суралцдаг.
танилцуулга, 2011 оны 10-р сарын 09-нд нэмэгдсэн
Математикийн үндсэн элементүүд. Натурал тоонуудын шинж чанарууд. Тооны онолын тухай ойлголт. Харьцуулалт ба алгебрийн тэгшитгэлийн ерөнхий шинж чанарууд. Харьцуулалт бүхий арифметик үйлдлүүд. Арифметикийн үндсэн хуулиуд. Арифметик үйлдлийн үр дүнг шалгах.
2015 оны 05-р сарын 15-нд нэмэгдсэн курсын ажил
Олон утгатай
Олон утгатай үг буюу үгийн хоёрдмол утга нь хэл нь хязгааргүй олон янзын бодит байдалтай харьцуулахад хязгаарлагдмал тогтолцоо байдгаас үүсдэг тул академич Виноградовын хэлснээр "Хэл нь тоо томшгүй олон тооны хэллэгийг түгээхээс өөр аргагүй болдог. үндсэн ойлголтуудын нэг буюу өөр гарчиг дор байгаа утгууд." (Виноградов "Орос хэл" 1947). Нэг лексик-семантик хувилбарт үгийн өөр өөр хэрэглээ, үгийн бодит ялгааг ялгах шаардлагатай. Жишээлбэл, (das)Ol гэдэг үг нь үнээний тосыг эс тооцвол хэд хэдэн төрлийн тосыг илэрхийлж болно (цөцгийн тос гэдэг үг байдаг). Гэсэн хэдий ч, өөр өөр тосыг илэрхийлэхдээ Ол гэдэг үг өөр өөр утгатай байх болно гэсэн үг биш юм: бүх тохиолдолд түүний утга ижил байх болно, тухайлбал тос (үхэрээс бусад бүх зүйл). Жишээлбэл, энэ тохиолдолд ямар төрлийн хүснэгтийг илэрхийлж байгаагаас үл хамааран Tisch хүснэгт гэдэг үгийн утгыг илэрхийлнэ. Ол гэдэг үг газрын тос гэсэн утгатай байхад байдал өөр. Энд тосолгооны шугамын дагуух тос нь янз бүрийн зэрэглэлийн тостой ижил төстэй байхаа больсон, харин газрын тосны онцгой чанар - шатамхай чанар юм. Үүний зэрэгцээ янз бүрийн төрлийн түлшийг илэрхийлдэг үгс нь Ол гэдэг үгтэй аль хэдийн хамааралтай болно: Коль, Холц гэх мэт. Энэ нь Ол гэдэг үгнээс хоёр утгыг ялгах боломжийг бидэнд олгодог (эсвэл лексик-семантик хоёр хувилбар): 1) тос (амьтан биш) 2) тос.
Ихэвчлэн шинэ утга нь одоо байгаа үгсийн аль нэгийг шинэ объект эсвэл үзэгдэл рүү шилжүүлэх замаар үүсдэг. Шилжүүлгийн үнэ цэнэ ийм байдлаар үүсдэг. Эдгээр нь объектуудын ижил төстэй байдал эсвэл нэг объектыг нөгөөтэй нь холбоход суурилдаг. Нэрийн шилжүүлгийн хэд хэдэн төрлийг мэддэг. Тэдгээрийн хамгийн чухал нь метафор буюу метоними юм.
Зүйрлэлд шилжүүлэх нь өнгө, хэлбэр, хөдөлгөөн гэх мэт зүйлсийн ижил төстэй байдалд тулгуурладаг. Бүх зүйрлэл өөрчлөгдсөний дараа анхны үзэл баримтлалын зарим шинж тэмдэг үлддэг
ижил нэршил
Үгийн олон утга санаа нь маш том бөгөөд олон талт асуудал тул лексикологийн олон янзын асуудлууд үүнтэй ямар нэгэн байдлаар холбоотой байдаг. Ялангуяа ижил нэрийн асуудал нь зарим талаараа энэ асуудалтай тулгардаг.
Хомоним гэдэг нь ижил төстэй боловч өөр өөр утгатай үгс юм. Зарим тохиолдолд омонимууд нь устгах процесст орсон полисемиас үүсдэг. Гэхдээ ижил төстэй үгс нь санамсаргүй дууны давхцлын үр дүнд үүсч болно. Хаалгыг онгойлгох түлхүүр, түлхүүр нь хавар эсвэл хусуур - үс засалт, хусуур - хөдөө аж ахуйн хэрэгсэл - эдгээр үгс нь өөр өөр утгатай, өөр өөр гарал үүсэлтэй боловч дуу чимээний хувьд санамсаргүй давхцдаг.
Хомонимууд нь лексик (ярианы нэг хэсгийг хэлнэ үү, жишээлбэл, түлхүүр - цоож онгойлгох ба түлхүүр - булаг. эх сурвалж) морфологийн (ярианы өөр өөр хэсгүүдэд, жишээлбэл, гурван - тоо, гурав - үйл үг) хооронд нь ялгадаг. өгөгдсөн үг ярианы өөр хэсэг рүү шилжих үед хөрвүүлсний үр дүнд бий болсон лексико-грамматик. жишээ нь англи хэл дээр. харц, харц. Ялангуяа англи хэлэнд лексик болон дүрмийн олон ижил утгатай үгс байдаг.
Гомофон ба омограф нь омонимуудаас ялгагдах ёстой. Янз бүрийн үгсийг гомофон гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээр нь үсгийн хувьд ялгаатай, дуудлага нь давхцдаг, жишээлбэл: нум - нуга, Сейте - хуудас, Сайт - утас.
Гомограф гэдэг нь маш өөр өөр үгс бөгөөд үсгийн хувьд давхцдаг, гэхдээ тэдгээр нь янз бүрээр дуудагддаг (дууны найрлага, үг дэх стрессийн байршлын хувьд), жишээлбэл Castle - castle.
Синоним
Ижил утгатай үгс нь утгаараа ижил төстэй боловч нэг ойлголтын сүүдэрийг илэрхийлдэг өөр өөр дуугаралттай үгс юм.
Гурван төрлийн синоним байдаг:
1. Үзэл баримтлал, эсвэл үзэл суртлын. Тэд лексик утгаараа бие биенээсээ ялгаатай. Энэ ялгаа нь тодорхой тэмдэгтийн янз бүрийн хэмжээгээр (хүйтэн - хүйтэн, хүчтэй, хүчирхэг, хүчирхэг), тэмдэглэгээний шинж чанараар (ширмэл хүрэм - ширмэл хүрэм - ширмэл хүрэм), илэрхийлсэн үзэл баримтлалын хэмжээгээр (хошуу -) илэрдэг. туг, бүдүүлэг - тод), үг хэллэгийн утгуудын холболтын зэрэг (бор - бор, хар - хар).
2. Ижил нэр нь стилист буюу функциональ байдаг. Тэдгээр нь хэрэглээний талбарт бие биенээсээ ялгаатай, жишээлбэл, нүд - нүд, нүүр - нүүр, дух - дух. Сэтгэл хөдлөлийн синонимууд - үнэлгээ. Эдгээр синонимууд нь илтгэгчийн заасан хүн, объект, үзэгдэлд хандах хандлагыг ил тод илэрхийлдэг. Жишээлбэл, хүүхдийг хүүхэд, эелдэг байдлаараа хүү, бяцхан хүү, жигшилтэйгээр хүү, сорогч, мөн онцлон тэмдэглэж болно - доромжилсон гөлөг, сорогч, новш.
3. Антоним үгс - үгийн утгаараа эсрэг утгатай үгсийн хослол, жишээлбэл: дээд - доод, цагаан - хар, ярих - чимээгүй байх, чанга - чимээгүйхэн.
Антоним
Гурван төрлийн антоним байдаг:
1. Аажмаар ба уялдаатай эсрэг тэсрэг үгсийн эсрэг утгатай үгс, жишээлбэл, цагаан - хар, чимээгүй - чанга, ойрын - алсын, эелдэг - хорон муу гэх мэт. Эдгээр антонимууд нь нийтлэг утгатай бөгөөд энэ нь тэднийг эсэргүүцэх боломжийг олгодог. Тиймээс хар, цагаан гэсэн ойлголтууд нь эсрэг талын өнгөний ойлголтуудыг илэрхийлдэг.
2. Нэмэлт болон хувиргах эсрэг утгатай антоним үгс: дайн - энх тайван, нөхөр - эхнэр, гэрлэсэн - ганц бие, чадах - чадахгүй, хаах - нээлттэй.
3. Үзэл баримтлалын дихотомийн хуваагдлын эсрэг утгатай үгс. Эдгээр нь ихэвчлэн ижил язгуур үгс байдаг: ардын - ард түмний эсрэг, хууль ёсны - хууль бус, хүмүүнлэг - хүнлэг бус.
Сонирхлыг бас гэж нэрлэдэг. ижил материаллаг бүрхүүлтэй үгсийн утгыг харьцуулах үед үгийн доторх антоним. Жишээлбэл, орос хэлэнд хэн нэгэнд мөнгө зээлүүлэх үйл үг нь "зээл өгөх" гэсэн утгатай бөгөөд хэн нэгнээс мөнгө зээлэх нь хэн нэгнээс мөнгө зээлэх гэсэн утгатай. Үг доторх утгын эсрэг тэсрэг байдлыг энантиосеми гэж нэрлэдэг.
6. Натурал тооны системийн аксиоматик бүтэц. Математикийн онолыг бий болгох аксиоматик арга. Аксиомын системд тавигдах шаардлага: тууштай байдал, бие даасан байдал, бүрэн байдал. Пеаногийн аксиоматик. Аксиоматик байрлалаас натурал тооны тухай ойлголт. Пеаногийн аксиомын системийн загварууд. Аксиоматик байрлалаас натурал тоог нэмэх, үржүүлэх. Натурал тооны багцын дараалал. Натурал тооны олонлогийн шинж чанарууд. Аксиоматик байрлалаас натурал тооны олонлогийг хасах ба хуваах. Математик индукцийн арга. Тэгийг нэвтрүүлэх, сөрөг бус бүхэл тоонуудын багц байгуулах. Үлдэгдэлтэй хуваах теорем.
Үндсэн ойлголт, тодорхойлолт
Тоо -энэ нь тодорхой хэмжигдэхүүний илэрхийлэл юм.
Натурал тоотодорхойгүй үргэлжилсэн дарааллын элемент.
Натурал тоо (натурал тоо) -тоолоход байгалийн жамаар үүсдэг тоонууд (тоолох утгаар нь ч, тооцооллын утгаараа ч).
Натурал тоог тодорхойлох хоёр арга байдаг - ашигласан тоонууд:
эд зүйлсийг тоолох (дугаарлах) (эхний, хоёр дахь, гурав дахь, ...);
зүйлийн тоог тодорхойлох (зүйл байхгүй, нэг зүйл, хоёр зүйл, ...).
аксиом -Эдгээр нь тодорхой онолын үндсэн эхлэлийн цэгүүд (өөрөө илэрхий зарчмууд) бөгөөд үүнээс дедукц хийх замаар, өөрөөр хэлбэл цэвэр логик аргаар энэ онолын бусад бүх агуулгыг гаргаж авдаг.
Зөвхөн хоёр хуваагчтай тоог (тоо өөрөө ба нэг) гэж нэрлэдэг - энгийн тоо.
Нийлмэл тоонь хоёр хуваагчаас илүү тоо юм.
§2. Натурал тооны аксиоматик
Натурал тоог объектыг тоолох, хэмжигдэхүүнийг хэмжих замаар олж авдаг. Гэхдээ хэмжилтийн явцад натурал тооноос өөр тоо гарч ирвэл тооцоолол нь зөвхөн натурал тоонд хүргэдэг. Тооцооллыг үргэлжлүүлэхийн тулд танд нэгээс эхэлсэн тоонуудын дараалал хэрэгтэй бөгөөд энэ нь нэг тооноос нөгөө тоо руу, шаардлагатай бол олон удаа шилжих боломжийг олгоно. Өөрөөр хэлбэл, байгалийн цувралын хэсэг хэрэгтэй. Иймд натурал тооны системийг үндэслэлтэй болгох асуудлыг шийдвэрлэхдээ юуны өмнө натурал цувралын элемент болох тоо гэж юу вэ гэсэн асуултад хариулах шаардлагатай болсон. Үүний хариултыг хоёр математикчийн бүтээлд өгсөн болно. Герман Грассманн, Италийн Пеано.Тэд аксиоматикийг санал болгов натурал тоог тодорхойгүй үргэлжилсэн дарааллын элемент гэж зөвтгөв.
Натурал тоон системийн аксиоматик бүтцийг томъёолсон дүрмийн дагуу гүйцэтгэдэг.
Таван аксиомыг үндсэн ойлголтуудын аксиоматик тодорхойлолт гэж үзэж болно.
1 нь натурал тоо;
Дараагийн натурал тоо бол натурал тоо;
1 нь ямар ч натурал тоог дагаж мөрддөггүй;
Хэрэв натурал тоо бол анатурал тоог дагадаг бба натурал тооны хувьд -тай, дараа нь бболон -тайижил төстэй;
Хэрэв аль нэг санал 1-ээр батлагдсан бол натурал тооны хувьд үнэн гэсэн таамаглалаас үзвэл n, энэ нь дараахь зүйлд үнэн юм nнатурал тоо бол энэ санал бүх натурал тоонуудын хувьд үнэн юм.
Нэгжнь байгалийн цувралын эхний дугаар юм , түүнчлэн аравтын бутархай тооллын системийн аль нэг цифр.
Ижил тэмдэгтэй (орчин үеийнхтэй нэлээд ойрхон) ямар ч ангиллын нэгжийн тэмдэглэгээ нь МЭӨ 2 мянган жилийн өмнө эртний Вавилонд анх удаа гарч ирсэн гэж үздэг. д.
Зөвхөн натурал тоог тоо гэж үздэг эртний Грекчүүд тус бүрийг нэгжийн цуглуулга гэж үздэг байв. Нэгж нь өөрөө онцгой байр суурь эзэлдэг: энэ нь тоо гэж тооцогддоггүй байв.
И.Ньютон: “... тоо гэдэг нь бид нэгжийн цуглуулгыг төдийлөн хэлээгүй, харин нэг хэмжигдэхүүнээс нөгөө хэмжигдэхүүнийг уламжлалт байдлаар хүлээн зөвшөөрсөн хийсвэр харьцааг хэлнэ” гэж бичжээ. Ийнхүү тус нэгж бусад тоонуудын дунд зохих байр сууриа хэдийнэ эзэлжээ.
Тоонууд дээрх арифметик үйлдлүүд нь олон төрлийн шинж чанартай байдаг. Тэдгээрийг үгээр дүрсэлж болно, жишээлбэл: "Нөхцөлүүдийн байршлын өөрчлөлтөөс нийлбэр өөрчлөгдөхгүй". Үсгээр бичиж болно: a+b = b+a. Тодорхой нэр томъёогоор илэрхийлж болно.
Бид арифметикийн үндсэн хуулиудыг ихэвчлэн өөрийн мэдэлгүй дадал зуршилгүй хэрэглэдэг.
1) солих хууль (коммутатив), - ижил төстэй байдлаар илэрхийлсэн тоог нэмэх, үржүүлэх шинж чанар:
a+b = b+a a*b = b*a;
2) ассоциатив хууль (холбоо), - ижил төстэй байдлаар илэрхийлсэн тоог нэмэх, үржүүлэх шинж чанар:
(a+b)+c = a+(b+c) (a*b)*c = a*(b*c);
3) хуваарилах хууль (тараах чадвар), - тоог нэмэх, үржүүлэхийг холбосон шинж чанар, таних тэмдэгээр илэрхийлэгддэг.
a*(b+c) = a*b+a*c (b+c) *a = b*a+c*a.
Үржүүлэх үйл ажиллагааны шилжих, ассоциатив, хуваарилах (нэмэлтийн хувьд) хуулиудыг баталсны дараа натурал тоон дээрх арифметик үйлдлүүдийн онолыг цаашид боловсруулахад үндсэн бэрхшээл гарахгүй.
Одоогийн байдлаар бид оюун ухаандаа эсвэл цаасан дээр зөвхөн хамгийн энгийн тооцооллыг хийдэг бөгөөд илүү төвөгтэй тооцооллын ажлыг тооцоолуур, компьютерт даатгадаг. Гэсэн хэдий ч энгийн бөгөөд төвөгтэй бүх компьютерийн ажиллагаа нь хамгийн энгийн үйлдэл болох натурал тоог нэмэхэд суурилдаг. Хамгийн төвөгтэй тооцооллыг нэмж багасгаж болно, зөвхөн энэ үйлдлийг олон сая удаа хийх ёстой.
Математик дахь аксиоматик аргууд
Математик логикийг хөгжүүлэх гол шалтгаануудын нэг нь өргөн тархсан явдал юм аксиоматик аргаянз бүрийн математикийн онолыг бүтээхэд юуны түрүүнд геометр, дараа нь арифметик, бүлгийн онол гэх мэт. Аксиоматик аргатодорхойгүй ойлголт, тэдгээрийн хоорондын харилцааны урьдчилан сонгосон систем дээр тогтсон онол гэж тодорхойлж болно.
Математикийн онолыг аксиоматик бүтээхдээ тодорхойгүй ойлголт, тэдгээрийн хоорондын харилцааны тодорхой системийг урьдчилан сонгодог. Эдгээр ойлголт, харилцааг үндсэн гэж нэрлэдэг. Дараа нь танилцуулж байна аксиомуудтэдгээр. нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн онолын үндсэн заалтууд. Онолын цаашдын бүх агуулгыг аксиомуудаас логикоор гаргаж авдаг. Математикийн онолыг аксиоматик бүтээх ажлыг анх удаа Евклид геометрийн бүтээн байгуулалтад хийжээ.
Аливаа математикийн онолын аксиоматик бүтцэд тодорхой дүрэм журам:
онолын зарим үзэл баримтлалыг гол зүйл болгон сонгож, тодорхойлолтгүйгээр хүлээн зөвшөөрдөг;
үндсэн ойлголтуудын жагсаалтад ороогүй онолын үзэл баримтлал бүрд тодорхойлолт өгсөн;
аксиомуудыг томъёолсон - энэ онолд нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн өгүүлбэрүүд; тэд үндсэн ойлголтуудын шинж чанарыг илчилдэг;
· аксиомын жагсаалтад ороогүй онолын өгүүлбэр бүрийг нотолсон байх; ийм саналуудыг теорем гэж нэрлэдэг ба аксиом, нэр томъёоны үндсэн дээр нотлогддог.
Онолын аксиоматик бүтцэд бүх мэдэгдлийг нотлох замаар аксиомуудаас гаргаж авдаг.
Иймээс аксиомын систем нь онцгой шинж чанартай байдаг шаардлага:
Тогтвортой байдал (аксиомын системийг логикоор бие биенээ үгүйсгэсэн хоёр өгүүлбэрийг гаргаж авах боломжгүй бол тууштай гэж нэрлэдэг);
бие даасан байдал (энэ системийн аксиомуудын аль нь ч бусад аксиомын үр дагавар биш бол аксиомын системийг бие даасан гэж нэрлэдэг).
Түүнд өгөгдсөн хамаарал бүхий олонлогийг энэ системийн бүх аксиомууд хангагдсан тохиолдолд өгөгдсөн аксиомын системийн загвар гэнэ.
Натурал тооны олонлогийн аксиомын системийг байгуулах олон арга бий. Үндсэн ойлголтын хувьд тоонуудын нийлбэр эсвэл дарааллын хамаарлыг авч болно. Ямар ч тохиолдолд үндсэн ойлголтуудын шинж чанарыг тодорхойлсон аксиомын системийг тодорхойлох шаардлагатай.
Нэмэлт үйлдлийн үндсэн ойлголтыг үндэслэн аксиомын системийг өгье.
Хоосон бус багц Нүйлдлийг натурал тооны олонлог гэнэ (a; б) → a + b, нэмэх гэж нэрлэгддэг ба шинж чанаруудтай:
1. нэмэх нь солигддог, i.e. a + b = b + a.
2. нэмэх нь ассоциатив, i.e. (a + b) + c = a + (b + c).
4. дурын багцад ГЭХДЭЭ, энэ нь олонлогийн дэд олонлог юм Н, хаана ГЭХДЭЭбүгд ийм тоо байдаг Ха, тэнцүү байна a+b, хаана бН.
Натурал тооны бүхэл бүтэн арифметикийг бүтээхэд 1-4 аксиом хангалттай. Гэхдээ ийм бүтэцтэй бол эдгээр аксиомуудад тусгагдаагүй хязгаарлагдмал олонлогуудын шинж чанарт найдах боломжгүй болсон.
Хоосон бус олонлог дээр тодорхойлсон “шууд дагах...” хамаарлыг үндсэн ойлголт болгон авч үзье Н. Дараа нь натурал тоон цуваа нь "шууд дагах" хамаарлыг тодорхойлсон N олонлог байх ба N-ийн бүх элементүүдийг натурал тоо гэж нэрлэх ба дараахь зүйлийг баримтлах болно. Пеаногийн аксиомууд:
АКСИОМ 1.
олноорооНЭнэ олонлогийн аль ч элементийг шууд дагаж мөрддөггүй элемент байдаг. Бид үүнийг нэгж гэж нэрлээд 1 гэсэн тэмдгээр тэмдэглэнэ.
АКСИОМ 2.
Элемент бүрийн хувьд aНa шууд дараах ганц элемент байдаг.
АКСИОМ 3.
Элемент бүрийн хувьд aНнэн даруй араас нь хамгийн ихдээ нэг элемент байна.
AXOIM 4.
Олонлогийн дурын M дэд олонлогН-тай давхцаж байнаН, шинж чанаруудтай бол: 1) 1 нь M-д агуулагддаг; 2) a нь М-д агуулагдаж байгаагаас үзэхэд а нь М-д бас агуулагддаг гэсэн үг.
Маш их Н, 1 - 4-р аксиомуудыг хангасан "нэн даруй дагах ..." хамаарал үүссэн элементүүдийг гэж нэрлэдэг. натурал тоонуудын багц , түүний элементүүд нь натурал тоонууд.
Хэрэв багц хэлбэрээр Н 1 - 4-р аксиомуудыг хангасан "шууд дагаж ..." гэсэн тодорхой хамаарлыг өгөгдсөн тодорхой багцыг сонго, тэгвэл бид өөр болно. тайлбар (загвар) өгсөн аксиом системүүд.
Пеаногийн аксиомын системийн стандарт загвар нь нийгмийн түүхэн хөгжлийн явцад үүссэн хэд хэдэн тоо юм: 1, 2, 3, 4, 5, ...
Аливаа тоолж болох олонлог нь Пеано аксиомуудын загвар байж болно.
Жишээлбэл, I, II, III, III, ...
өө өө өө өө өө...
нэг хоёр гурав дөрөв, …
Олонлог (oo) нь анхны элемент болох олонлогуудын дарааллыг авч үзье (Зураг 15).
Дараа нь Ннь тодорхойлсон хэлбэрийн олонлогоос бүрдэх олонлог бөгөөд энэ нь Пеаногийн аксиомуудын системийн загвар юм.
Үнэхээр олонд НӨгөгдсөн олонлогийн аль ч элементийг шууд дагаж мөрддөггүй элемент (oo) байдаг, өөрөөр хэлбэл. аксиом 1-д нийцнэ. Багц бүрийн хувьд ГЭХДЭЭавч үзэж буй олонлогоос олж авсан өвөрмөц багц байдаг ГЭХДЭЭнэг тойрог нэмж, өөрөөр хэлбэл. Аксиом 2-д нийцнэ. Багц бүрийн хувьд ГЭХДЭЭолонлог бүрэлдэх дээд тал нь нэг багц байдаг ГЭХДЭЭнэг тойрог нэмж, өөрөөр хэлбэл. Аксиом 3-д нийцнэ.Хэрэв МНбөгөөд энэ нь багц болох нь мэдэгдэж байна ГЭХДЭЭ-д агуулагддаг М,энэ нь багцаас нэг тойрог илүү байгаа олонлог юм ГЭХДЭЭ, дотор бас агуулагддаг М, дараа нь М =Н, энэ нь аксиом 4 хангагдсан гэсэн үг.
Натурал тооны тодорхойлолтод аль ч аксиомыг орхигдуулж болохгүй.
Зурагт үзүүлсэн багцуудын аль нь болохыг тогтооцгооё. 16 нь Пеаногийн аксиомуудын загвар юм.
|
![](https://i0.wp.com/kto.guru/uploads/images/ob-aksiomaticheskom-sposobe-postroeniya-teorii_9.gif)
Шийдэл.Зураг 16 а)-д 2 ба 3-р аксиомууд хангагдсан олонлогийг үзүүлэв.Үнэхээр элемент бүрийн хувьд түүнийг шууд дагаж мөрддөг өвөрмөц элемент байдаг ба түүнийг дагаж мөрддөг өвөрмөц элемент байдаг. Гэхдээ 1-р аксиом энэ олонлогт тохирохгүй (аксиом 4 нь утгагүй, учир нь олонлогт бусад зүйлийг шууд дагаж мөрддөггүй элемент байхгүй). Тиймээс энэ олонлог нь Пеаногийн аксиомуудын загвар биш юм.
Зураг 16 b) нь 1, 3, 4-р аксиомууд хангагдсан боловч элементийн ард байгаа олонлогийг харуулав. а 2-р аксиомын шаардлагын дагуу нэг биш хоёр элемент нэн даруй дагаж мөрддөг. Тиймээс энэ олонлог нь Пианогийн аксиомуудын загвар биш юм.
Зураг дээр. 16 в) 1, 2, 4 аксиомууд хангагдсан олонлогийг харуулсан боловч элемент -тайтэр даруй хоёр элементийг дагаж мөрддөг. Тиймээс энэ олонлог нь Пеаногийн аксиомуудын загвар биш юм.
Зураг дээр. 16 d) 2, 3-р аксиомуудыг хангасан олонлогийг харуулсан бөгөөд хэрэв бид 5-ын тоог анхны элемент болгон авбал энэ олонлог 1 ба 4 аксиомуудыг хангана. Өөрөөр хэлбэл, энэ олонлогт элемент бүрийн хувьд нэг нь шууд байна. түүнийг дагадаг бөгөөд үүнийг дагаж мөрддөг ганц элемент байдаг. Мөн энэ олонлогийн аль ч элементийг шууд дагаж мөрддөггүй элемент байдаг, энэ нь 5 юм , тэдгээр. Аксиом 1-д тохирно.Үүний дагуу аксиом 4-т тохирно.Тиймээс энэ олонлог нь Пианогийн аксиомуудын загвар юм.
Пеано аксиомуудыг ашиглан бид хэд хэдэн мэдэгдлийг баталж чадна.Жишээ нь, бид бүх натурал тоонуудын хувьд тэгш бус байдал гэдгийг баталж байна. х х.
Баталгаа.-ээр тэмдэглээрэй ГЭХДЭЭнатурал тоонуудын багц a a.Тоо 1 харьяалагддаг ГЭХДЭЭ, энэ нь ямар ч дугаарыг дагаж мөрддөггүй Н, тиймээс өөрөө дагадаггүй: 1 1. Болъё аа,тэгээд a a.Тэмдэглэх адамжуулан б. Аксиом 3-ын дагуу, аб,тэдгээр. bbболон бА.
Аливаа онолыг аксиоматик бүтээхэд тодорхой дүрмийг баримталдаг.
гэж онолын зарим ойлголтыг сонгосон үндсэн,мөн тодорхойлолтгүйгээр хүлээн зөвшөөрөгдөж, тодорхойгүй гэж нэрлэдэг.
аксиомуудыг томъёолсон - энэ онолд нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн өгүүлбэрүүд; тэд үндсэн ойлголтуудын шинж чанарыг илчилдэг;
Үндсэн ойлголтуудын жагсаалтад ороогүй онолын үзэл баримтлал бүрийг өгсөн болно тодорхойлолт, энэ нь үндсэн болон өмнөх ойлголтуудын тусламжтайгаар түүний утгыг тайлбарладаг;
аксиомын жагсаалтад ороогүй онолын өгүүлбэр бүрийг батлах ёстой; Ийм саналуудыг теорем гэж нэрлээд авч үзэж буйн өмнөх аксиом ба теоремын үндсэн дээр нотолно.
Онолын аксиоматик бүтцэд үндсэндээ бүх мэдэгдлийг аксиомуудаас нотлох замаар гаргаж авдаг. Тиймээс аксиомын системд тусгай шаардлага тавьдаг. Юуны өмнө энэ нь тууштай, бие даасан байх ёстой.
Аксиомын системийг нэрлэдэг тууштайХэрэв үүнээс бие биенээ үгүйсгэсэн хоёр өгүүлбэр логикийн хувьд гарах боломжгүй бол.
Тогтвортой аксиомын систем гэж нэрлэдэг бие даасанхэрэв энэ системийн аксиомуудын аль нь ч энэ системийн бусад аксиомуудын үр дагавар биш бол.
Аксиомууд нь дүрмээр бол хүмүүсийн олон зуун жилийн практик үйл ажиллагааны тусгал бөгөөд энэ нь тэдний хүчинтэй байдлыг тодорхойлдог.
Натурал тооны арифметикийн аксиоматик бүтээцийн үндсэн ойлголтын хувьд хоосон бус олонлог дээр өгөгдсөн "шууд дагах" хамаарлыг авдаг. Н.Мөн олонлогийн тухай ойлголт, олонлогийн элемент болон бусад олонлогийн онолын ойлголтууд, мөн логикийн дүрмүүдийг мэддэг.
Элементийг шууд дагаж буй элемент а,томилох а".Италийн математикч Ж.Пеаногийн 1891 онд дэвшүүлсэн дараах аксиомуудад “шууд дагах” харилцааны мөн чанар илэрсэн.
Аксиом 1.олноороо НЭнэ олонлогийн аль ч элементийг шууд дагаж мөрддөггүй элемент байдаг. Үүнийг нэгж гэж нэрлэх ба 1 тэмдгээр тэмдэглэнэ.
Аксиом 2.Элемент бүрийн хувьд а-аас Нзөвхөн нэг элемент байдаг a",нэн даруй дагаж байна а.
Аксиом 3.Элемент бүрийн хувьд a Ннэн даруй араас нь хамгийн ихдээ нэг элемент байна а.
Аксиом 4. (Индукцийн аксиом).Аливаа дэд хэсэг Мбагц НДараах шинж чанартай бол N-тэй давхцана: 1) 1-д агуулагдана М; 2) аливаа элементээс а-д агуулагддаг М,үүнийг дагадаг ба а"-д агуулагддаг М.
Томъёолсон аксиомуудыг ихэвчлэн Пианогийн аксиом гэж нэрлэдэг ба дөрөв дэх аксиомыг индукцийн аксиом гэж нэрлэдэг.
Эдгээр аксиомуудыг бэлгэдлийн хэлбэрээр бичье.
ГЭХДЭЭ 1 )( 1 Н)( а N)а" 1;
ГЭХДЭЭ 2 )( а Н)( !b N)а"=б
ГЭХДЭЭ 3 ) ( а,б, Хамт Н)с = a" с = b" а= b;
A4) М Н 1 М (а М а" М) М=Н
"Шууд дагах" хамаарал болон Пианогийн 1-4 аксиомуудыг ашиглан натурал тооны дараах тодорхойлолтыг өгч болно.
Тодорхойлолт 1. 1-4-р аксиомуудыг хангасан элементүүдийнх нь хувьд "нэн даруй дагах" хамаарал тогтсон N олонлогийг натурал тооны олонлог ба түүний элементүүд гэнэ. натурал тоонууд.
___________________________________________________________________
Тодорхойлолт 2 . Хэрэв натурал тоо болбнэн даруй a тооны дараа, дараа нь а тоог шууд тооны өмнөх (өмнөх) гэж дууднаб.
______________________________________________________________________________________________
Теорем 1. Нэгж нь өмнөх натурал тоогүй (теоремын үнэн нь аксиомоос шууд гардаг ГЭХДЭЭ 1 ).
Теорем 2.Натурал тоо бүр а,нэгээс бусад нь өмнөх тоотой b , ийм b " = а.
Натурал тооны тодорхойлолт нь олонлогийн элементүүдийн мөн чанарын талаар юу ч хэлдэггүй Н.Тиймээс тэр юу ч байж болно. Пеаногийн аксиомын системийн стандарт загвар нь нийгмийн түүхэн хөгжлийн явцад бий болсон хэд хэдэн тоо юм.
1, 2, 3, 4, 5 ,..,
Энэ цувралын дугаар бүр өөрийн гэсэн тэмдэглэгээ, нэртэй байдаг бөгөөд бид үүнийг мэддэг гэж үзэх болно.
Натурал тооны тодорхойлолтод аль ч аксиомыг орхигдуулж болохгүй гэдгийг анхаарах нь чухал.
1 а б в г
…
б
Цагаан будаа. 16 Цагаан будаа. 17
Даалгавар 1.
Зураг дээр элемент бүрийг дагах элементтэй сумаар холбосон байна.
15 ба 16-р зурагт үзүүлсэн олонлогуудын аль нь Пианогийн аксиомын системийн загвар болохыг тодорхойл.
1. Зураг дээр. 16-д 2 ба 3-р аксиомууд биелэх боловч 1-д тохирохгүй олонлогийг харуулав.
Аксиом 4 нь утгагүй болно, учир нь олонлогт бусдыг шууд дагаж мөрддөггүй элемент байхгүй.
2. Зураг дээр. 17-д 1, 2, 3-р аксиомууд биелсэн хэдий ч 4-р аксиом хангагдаагүй олонлогийг харуулж байна - туяа дээр хэвтэж буй цэгүүдийн багц нь 1-ийг агуулж байгаа бөгөөд тоо бүртэй хамт түүний араас дагах тоог агуулдаг боловч энэ нь тийм биш юм. зурагт үзүүлсэн бүх багц цэгүүдтэй давхцаж байна. Дүгнэлт: Зураг дээр дүрслэгдсэн багцуудын аль нь ч байхгүй. 16 ба 17-г Пеаногийн аксиомын системийн загвар гэж үзэх боломжгүй.
Даалгавар 2.
Аливаа натурал тоо нь шууд дагах натурал тооноос ялгаатай гэдгийг баталцгаая, жишээлбэл. ( X )X X"
Баталгаа
Бид индукцийн аксиомыг ашигладаг - ГЭХДЭЭ 4 .
Болъё М=(х/х , X X"}, учир нь . X М Н.
Нотлох баримт нь хоёр хэсгээс бүрдэнэ.
Үүнийг баталцгаая 1 М,тэдгээр. 1 1" . Энэ нь дараахаас гардаг ГЭХДЭЭ 1 .
Үүнийг баталцгаая X М=> X" М.Болъё X Мтэдгээр. X X".Үүнийг баталцгаая X" М, өөрөөр хэлбэл X" (X")". Тэгээдаксиомууд ГЭХДЭЭ 3 ёстой X" (X")". Үнэхээр, by ГЭХДЭЭ 3 , хэрэв x" = (x")" дараа нь x = x", ба түүнээс хойш индукцийн саналаар x М,дараа нь x X",тиймээс бид зөрчилдөөнд хүрч байна. гэсэн үг, X" (X")" , X" М.
Энд "зөрчилдөөнөөр" нотлох баримтад өргөн хэрэглэгддэг зөрчилдөөний дүрмийг (PC) ашигладаг.
Тиймээс бид авсан:
М Н (1 М (x M => x " M)) М = N, i.e. баталгаа x x" нь аливаа натурал тооны хувьд үнэн юм.
Туршилтын асуултууд
Онолын аксиоматик бүтцийн мөн чанар юу вэ?
Сургуулийн планиметрийн хичээлийн үндсэн ойлголтууд юу вэ? Энэ хичээлийн аксиомын системийг санаарай. Тэдэнд үзэл баримтлалын ямар шинж чанаруудыг тодорхойлсон бэ?
Пеаногийн аксиомуудыг бэлгэдлийн хэлбэрээр томьёолж бич. "
Натурал тооны аксиоматик тодорхойлолтыг томъёол.
Натурал тооны тодорхойлолтыг үргэлжлүүлнэ үү: “Натурал тоо нь олонлогийн элемент юм Н,... » .
Бага ангийн математикийн сурах бичгүүдээс жишээ татна уу.
a) шинэ (оюутнуудын хувьд) тоо нь байгалийн цувралын хүлээн авсан сегментийн үргэлжлэл болж ажилладаг;
б) натурал тоо бүрийг зөвхөн нэг натурал тоо шууд дагаж байгаа нь тогтоогдсон.
Дасгал
285. Олонлогийн элементүүд нь зураасны бүлгүүд (I, II, III, IIII,...). Энэ багц Пеаногийн аксиомыг хангаж байна уу? Энд тодорхойлсноор "нэн даруй дагах" харилцаа. Багцын (0, 00, 000, 0000,...) ижил асуултуудыг авч үзье.
Цагаан будаа. 17
286. Зураг 17 а)-д элемент бүрийг дагадаг элементтэй сумаар холбосон. Олонлогийг Пианогийн аксиомын системийн загвар гэж үзэж болох уу? Зураг 17 b), c), d) дээрх багцуудын ижил асуултууд.
287. Тоонуудын багцыг (1, 2, 3 P, ...),Хэрэв түүнд дараах хамаарлыг дараах байдлаар тодорхойлсон бол:
1 3 5 7….
2 4 6 8….
288. Бага ангийн математикийн сурах бичгүүдээс даалгаврын зөвийг Пеаногийн аксиомоор тайлбарласан даалгаврын жишээг өг.
Математик дахь аксиоматик арга.
Байгалийн цувааны аксиоматик онолын үндсэн ойлголт, хамаарал. Натурал тооны тодорхойлолт.
Натурал тооны нэмэх.
Натурал тоог үржүүлэх.
Натурал тооны олонлогийн шинж чанарууд
Натурал тоог хасах ба хуваах.
Математик дахь аксиоматик арга
Аливаа математикийн онолын аксиоматик бүтцэд тодорхой дүрэм:
1. Онолын зарим ойлголтыг сонгосон хошуучмөн тодорхойлолтгүйгээр хүлээн зөвшөөрсөн.
2. Томъёолсон аксиомууд, энэ онолд ямар ч нотолгоогүйгээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн, тэдгээр нь үндсэн ойлголтуудын шинж чанарыг илчилдэг.
3. Үндсэн үзэл баримтлалын жагсаалтад ороогүй онолын үзэл баримтлал бүрийг өгсөн болно тодорхойлолт, энэ нь үндсэн болон өмнөх ойлголтын тусламжтайгаар түүний утгыг тайлбарладаг.
4. Аксиомын жагсаалтад ороогүй онолын өгүүлбэр бүрийг батлах ёстой. Ийм саналуудыг дууддаг теоремуудавч үзэж буйн өмнөх аксиом ба теоремын үндсэн дээр тэдгээрийг нотлох.
Аксиомын систем нь дараах байдалтай байх ёстой.
а) тууштай:өгөгдсөн аксиомын системээс бүх төрлийн дүгнэлт гаргаснаар бид хэзээ ч зөрчилдөөн гарахгүй гэдэгт итгэлтэй байх ёстой;
б) бие даасан: ямар ч аксиом энэ системийн бусад аксиомуудын үр дагавар байх ёсгүй.
онд) бүрэн, хэрэв түүний хүрээнд өгөгдсөн мэдэгдэл эсвэл түүний үгүйсгэлийн аль нэгийг батлах боломжтой бол.
Евклидийн "Элементүүд" (МЭӨ 3-р зуун) номондоо геометрийн тухай танилцуулсан нь онолын аксиоматик бүтцийн анхны туршлага гэж үзэж болно. Геометр, алгебрийг бүтээх аксиоматик аргыг хөгжүүлэхэд ихээхэн хувь нэмэр оруулсан Н.И. Лобачевский, Э.Галуа нар. 19-р зууны төгсгөлд Италийн математикч Пеано арифметикийн аксиомын системийг боловсруулсан.
Натурал тооны аксиоматик онолын үндсэн ойлголт, хамаарал. Натурал тооны тодорхойлолт.
Тодорхой багц дахь үндсэн (тодорхойгүй) ойлголт Н сонгосон байна хандлага , түүнчлэн олонлогийн онолын үзэл баримтлал, түүнчлэн логикийн дүрэм.
Элементийг шууд дагаж буй элемент а,томилох а".
"Шууд дагах" харилцаа нь дараах аксиомуудыг хангадаг.
Пеаногийн аксиомууд:
Аксиом 1. олноороо Н шууд элемент байдаг дараагийн бишЭнэ багцын аль ч элементийн хувьд. Түүнийг дуудъя нэгжмөн бэлгэддэг 1 .
Аксиом 2. Элемент бүрийн хувьд а -аас Н зөвхөн нэг элемент байдаг а" нэн даруй дагаж байна а .
Аксиом 3. Элемент бүрийн хувьд а -аас Ннэн даруй араас нь хамгийн ихдээ нэг элемент байна а .
Аксиом 4.Аливаа дэд хэсэг М багц Н -тай давхцаж байна Н , шинж чанаруудтай бол: 1) 1 -д агуулагддаг М ; 2) юунаас а -д агуулагддаг М , үүнийг дагадаг ба а" -д агуулагддаг М.
Тодорхойлолт 1. Маш их Н , тэдгээрийн элементүүдийн хувьд харилцаа тогтоогдсон "шууд дагаж мөрдөөрэй» 1-4-р аксиомуудыг хангасан гэж нэрлэдэг натурал тоонуудын багц, түүний элементүүд нь натурал тоонууд.
Энэхүү тодорхойлолт нь олонлогийн элементүүдийн мөн чанарын талаар юу ч хэлээгүй болно Н . Тиймээс тэр юу ч байж болно. Багц болгон сонгох Н 1-4-р аксиомуудыг хангасан тодорхой "шууд дагах" хамаарлыг өгсөн зарим тодорхой багцыг бид олж авна. энэ системийн загвар аксиомууд.
Пеаногийн аксиомын системийн стандарт загвар нь нийгмийн түүхэн хөгжлийн явцад бий болсон тоонуудын цуваа юм: 1,2,3,4, ... Байгалийн цуваа 1-ээс эхэлдэг (аксиом 1); натурал тоо бүрийг нэн даруй нэг натурал тоо (аксиом 2); натурал тоо бүр хамгийн ихдээ нэг натурал тоог шууд дагаж мөрддөг (аксиом 3); 1-ээс эхлэн натурал тоонууд руу шилжих замаар бид эдгээр тоонуудын бүхэл бүтэн багцыг олж авна (аксиом 4).
Тиймээс бид үндсэн тоог сонгох замаар натурал тоон системийн аксиоматик барилгын ажлыг эхлүүлэв "шууд дагах" харилцаамөн түүний шинж чанарыг тодорхойлсон аксиомууд. Онолын цаашдын бүтээн байгуулалт нь натурал тоонуудын мэдэгдэж буй шинж чанарууд, тэдгээрийн үйлдлүүдийг авч үзэх явдал юм. Тэдгээрийг тодорхойлолт, теоремуудад илчлэх ёстой, өөрөөр хэлбэл. "нэн даруй дагах" хамаарлаас цэвэр логик аргаар гаргаж авсан бөгөөд 1-4 аксиом.
Натурал тооны тодорхойлолтын дараа бидний оруулж ирсэн анхны ойлголт бол хандлага "нэн даруй өмнө нь" , байгалийн цувралын шинж чанарыг харгалзан үзэхэд ихэвчлэн ашиглагддаг.
Тодорхойлолт 2.Хэрэв натурал тоо бол б шууд дагадагнатурал тоо а, тэр тоо а дуудсан шууд өмнөх(эсвэл өмнөх) тоо b .
"Өмнө нь" гэсэн харьцаа байна ойролцоох үл хөдлөх хөрөнгө.
Теорем 1. Нэг нь өмнөх натурал тоогүй.
Теорем 2. Натурал тоо бүр а, 1-ээс бусад нь өмнөх ганц дугаартай б,тиймэрхүү б"= а.
Натурал тооны онолын аксиоматик бүтцийг бага болон дунд сургуульд авч үздэггүй. Гэхдээ Пеаногийн аксиомуудад тусгагдсан "шууд дагах" харилцааны тэдгээр шинж чанарууд нь математикийн анхан шатны сургалтын сэдэв юм. Нэгдүгээр ангид аль хэдийн эхний аравтын тоог авч үзэхэд тоо бүрийг хэрхэн олж авах боломжтой болж байна. "Дагах" ба "өмнө" гэсэн нэр томъёог ашигладаг. Шинэ тоо бүр нь байгалийн цуврал тоонуудын судлагдсан сегментийн үргэлжлэл болж ажилладаг. Оюутнууд тоо бүрийн араас дараагийнх нь байдаг бөгөөд үүнээс гадна зөвхөн нэг нь тоонуудын натурал цуваа хязгааргүй гэдэгт итгэлтэй байна.
Натурал тооны нэмэх
Аксиоматик онолыг бий болгох дүрмийн дагуу натурал тоог нэмэх тодорхойлолтыг зөвхөн хамаарлыг ашиглан нэвтрүүлэх ёстой. "шууд дагах", ба үзэл баримтлал "натурал тоо"болон "өмнөх дугаар".
Нэмэлтийн тодорхойлолтын өмнө дараахь зүйлийг анхаарч үзье. Хэрэв аль нэг натурал тооны хувьд а 1-ийг нэмбэл бид тоог авна a",нэн даруй дагаж байна а, өөрөөр хэлбэл а+ 1= a"Тиймээс бид дурын натурал тоонд 1-ийг нэмэх дүрмийг олж авна. Харин тоонд яаж нэмэх вэ анатурал тоо б, 1-ээс ялгаатай юу? Дараах баримтыг ашиглая: хэрэв 2 + 3 = 5 гэдгийг мэддэг бол 5-ын дараа шууд 2 + 4 = 6 гэсэн нийлбэр гарна. Энэ нь 2 + 4 нийлбэрт хоёр дахь гишүүн нь шууд тоо байх тул ийм зүйл тохиолддог. 3-ын тооны дараа. Тэгэхээр 2 + 4 = 2+3 " =(2+3)". Ерөнхийдөө бидэнд байгаа , .
Эдгээр баримтууд нь аксиоматик онол дахь натурал тоог нэмэх тодорхойлолтын үндэс юм.
Тодорхойлолт 3. Натурал тооны нэмэхнь дараах шинж чанартай алгебрийн үйлдэл юм.
Тоо a + b дуудсан тоонуудын нийлбэр аболон б , мөн тоонууд өөрсдөө аболон б - нөхцөл.