Cara menentukan kecepatan setiap titik pada gambar bidang. Penentuan kecepatan titik-titik pada gambar bidang. Gerak planar benda tegar
Ingatlah bahwa gerak bangun datar dapat dianggap sebagai penjumlahan gerak translasi bersama dengan kutub dan gerak rotasi mengelilingi kutub.
Menurut Ini kelajuan sembarang titik M dari sebuah bidang datar secara geometris adalah jumlah dari kelajuan beberapa titik A, yang diambil sebagai kutub, dan kecepatan yang diterima titik M ketika sosok itu berputar mengelilingi kutub ini, yaitu
Pada saat yang sama, kecepatan VMA didefinisikan sebagai kecepatan suatu titik M ketika tubuh berputar di sekitar sumbu tetap melewati titik TETAPI tegak lurus terhadap bidang gerak (lihat § 7.2), mis.
Dengan demikian, jika kecepatan tiang diketahui VA dan kecepatan sudut benda w, lalu
kecepatan titik manapun M benda ditentukan sesuai dengan persamaan (8.2), diagonal jajaran genjang yang dibangun di atas vektor VA dan VMA , seperti di samping (Gbr. 8.3), dan modul kecepatan V M dihitung dengan rumus
di mana y adalah sudut antara vektor VA dan VMA
Masalah 8.1. Roda menggelinding pada permukaan yang tetap tanpa selip (Gbr. 8.4, sebuah). Temukan titik kecepatan Ke dan D roda jika diketahui kecepatannya Vc roda tengah C, radius R roda, jarak COP = b dan sudut a.
Larutan. 1. Pergerakan roda yang dimaksud adalah bidang-paralel. Mengambil titik C sebagai tiang (karena kecepatannya diketahui), sesuai dengan persamaan umum (8.2), untuk titik tersebut Ke kita bisa menulis
Namun, tidak ada cara untuk menentukan nilainya VKC , karena kecepatan sudut tidak diketahui.
Untuk menentukan w, perhatikan kecepatan titik lain, yaitu titik tersebut R menyentuh roda pada permukaan yang tetap (Gbr. 8.4, b). Untuk poin ini, kita dapat menulis persamaannya
fitur titik R adalah kenyataan bahwa pada titik waktu ini Vp - 0, karena roda berputar tanpa selip. Kemudian persamaan (b) mengambil bentuk
dari mana kita dapatkan
Ini mengikuti dari sini: 1) vektor kecepatan V PC dan Vc harus diarahkan ke arah yang berlawanan; 2) dari persamaan modul V PC - V c kita mendapatkan uPC = V c , dari sini kita menemukan w = Vc /PC = Vc /R. Menurut arah vektor V PC tentukan arah panah busur w dan tunjukkan pada gambar (Gbr. 8.4, b).
Sekarang kembali ke definisi VK dengan persamaan (a). Kami menemukan
Vks \u003d tentang KS - V ^ b / R. Mengetahui arah kecepatan sudut ω, kami menggambarkan vektornya V KC tegak lurus dengan segmen KS dan melakukan konstruksi jajaran genjang pada vektor Vc dan V KC(Gbr. 8.4, di). Sejak dalam kasus ini Vc dan V KC saling tegak lurus, akhirnya kita temukan
2. Kecepatan titik D pada pelek roda, kami menentukan dari persamaan VD = V C + V DC . Sejak numerik VDC - bersama R-Vc, kemudian jajaran genjang dibangun di atas vektor Vc dan VDC, akan menjadi belah ketupat. Sudut antara Vc dan VDC sama dengan 2a. Setelah didefinisikan VD sebagai panjang diagonal yang sesuai dari belah ketupat, kita dapatkan
Teorema proyeksi kecepatan dua titik benda tegar
Menurut persamaan (8.2) untuk dua_ titik arbitrer TETAPI dan PADA benda tegar persamaan V B \u003d V A + V B A, sesuai dengan yang kami lakukan konstruksi yang ditunjukkan pada Gambar. 8.5. Memproyeksikan kesetaraan ini ke sumbu dan, bertujuan B kita mendapatkan Pikiran + VBAz. Mengingat bahwa vektor VBA tegak lurus dengan garis
B Temukan
Hasil ini mengungkapkan teorema: proyeksi kecepatan dua titik benda tegar pada sumbu yang melewati titik-titik ini sama satu sama lain.
Kami mencatat bahwa persamaan (8.5) secara matematis mencerminkan fakta bahwa benda dianggap benar-benar kaku dan jarak antara titik-titik TETAPI dan PADA tidak berubah. Itu sebabnya persamaan (8.5) terpenuhi tidak hanya untuk pesawat-paralel, tetapi juga untuk setiap gerak benda tegar.
Masalah 8.2. Merambat TETAPI dan PADA, dihubungkan oleh batang dengan engsel di ujungnya, mereka digerakkan sepanjang pemandu yang saling tegak lurus pada bidang gambar (Gbr. 8.6, sebuah). Tentukan pada sudut tertentu a kecepatan suatu titik PADA, jika kecepatan diketahui VA.
Larutan. Mari menggambar sumbu x melalui titik-titik TETAPI dan PADA. Mengetahui arah VA ,
temukan proyeksi vektor ini ke garis AB: V Axe - V A cos a (pada Gambar 8.6, b ini akan menjadi potongan Ah). Selanjutnya pada gambar dari intinya PADA menunda Bb - Aa(karena segmen ah terletak pada sumbu x di sebelah kanan titik TETAPI, kemudian segmen BB sisihkan dari intinya PADA pada sumbu x ke kanan). Membangkitkan pada intinya b tegak lurus terhadap suatu garis AB, temukan titik akhir vektor VB.
Menurut teorema proyeksi VA cos a = K^cosp. Dari sini (dengan mempertimbangkan bahwa Р = 90 ° - a) akhirnya kita peroleh VB = VA cos a/cos(90° - a) atau VB = = VA ctg a.
Penentuan kecepatan titik menggunakan pusat kecepatan sesaat
Untuk menentukan kecepatan titik-titik pada gambar bidang, kami memilih sembarang titik sebagai kutub R. Kemudian, sesuai dengan rumus
(8.2), kecepatan titik sembarang M didefinisikan sebagai jumlah dari dua vektor:
Jika kecepatan tiang R pada waktu tertentu sama dengan nol, maka ruas kanan persamaan ini akan diwakili oleh satu suku Di MR dan kecepatan suatu titik akan didefinisikan sebagai kecepatan suatu titik M tubuh saat berputar di sekitar tiang tetap R.
Oleh karena itu, jika kita memilih titik sebagai tiang R, yang kecepatannya nol pada waktu tertentu, maka modul kecepatan semua titik pada gambar akan sebanding dengan jaraknya ke kutub P, dan arah vektor kecepatan semua titik akan tegak lurus dengan garis lurus yang menghubungkan titik yang ditinjau dan kutub P. Secara alami, perhitungan dengan rumus (8.6) jauh lebih sederhana daripada perhitungan dengan rumus umum (8.2).
Titik datar, yang kecepatannya pada saat tertentu adalah nol, disebut pusat kecepatan sesaat (MCS). Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa jika angka tersebut bergerak non-translasi, maka titik seperti itu ada di setiap saat dan, terlebih lagi, unik. Perhatikan bahwa pusat kecepatan sesaat dapat ditempatkan baik pada gambar itu sendiri maupun pada kelanjutan mentalnya.
Pertimbangkan cara untuk menentukan posisi pusat kecepatan sesaat.
1. Biarkan pada saat waktu tjum dari sosok bidang, kecepatan sudutnya ω dan kecepatannya VA salah satu poinnya TETAPI(Gbr. 8.7, sebuah). Kemudian memilih titik TETAPI sebagai tiang,_velocity_of titik yang kita cari R dapat ditentukan dengan rumus Vp = VA + VpA -
Masalahnya adalah menemukan titik seperti itu R, di mana V P=0, jadi untuknya V A + U RL=0 dan seterusnya Y RA \u003d -Y A. Oleh karena itu, untuk intinya R kecepatan Pada RA titik mana R diperoleh dengan memutar sosok di sekitar tiang TETAPI, dan kecepatan SEBUAH tiang TETAPI sama dalam modulo (Y RA = Y A) atau sekitar ZAR = UA dan berlawanan arah. Selain itu, intinya R harus terletak tegak lurus terhadap vektor Pada A. Menentukan posisi suatu titik R dilakukan sebagai berikut: dari titik TETAPI(Gbr. 8.7, b) mengatur tegak lurus terhadap vektor SEBUAH dan menempatkan jarak di atasnya AR = Y A/co di sisi lain titik TETAPI, di mana vektor akan "menunjukkan" Pada Dan, jika diputar 90° searah panah busur co.
Pusat kecepatan sesaat adalah satu-satunya titik pada sosok bidang yang kecepatannya pada waktu tertentu adalah nol.
Di waktu lain, pusat kecepatan sesaat mungkin sudah menjadi titik lain dari gambar bidang.
2. Biarkan arah kecepatan diketahui VA dan di(Gbr. 8.8, sebuah) dua poin TETAPI dan PADA sosok bidang (selain itu, vektor kecepatan titik-titik ini tidak paralel), atau perpindahan elementer dari titik-titik ini diketahui. Pusat kecepatan sesaat akan ditempatkan di titik perpotongan garis tegak lurus yang didirikan dari titik A dan B ke kecepatan titik-titik ini (atau ke perpindahan dasar titik-titik tersebut). Konstruksi seperti itu ditunjukkan pada Gambar. 8.8, b. Hal ini didasarkan pada fakta bahwa untuk setiap poin A dan B angka ketentuan yang berlaku (8.6):
Dari persamaan ini mengikuti itu
Mengetahui posisi PKS dan kecepatan sudut benda, dengan menggunakan rumus (8.6), mudah untuk menentukan kecepatan titik mana pun di benda ini. Misalnya, untuk satu poin Ke(lihat gbr. 8.8, b) kecepatan modul V K = coKP, vektor kamu juga diarahkan tegak lurus terhadap garis lurus KR Menurut
arah panah busur y.
Akibatnya, kecepatan titik-titik pada bangun datar ditentukan pada saat tertentu seolah-olah benda ini berputar mengelilingi pusat kecepatan sesaat.
3. Jika poin kecepatan TETAPI dan PADA gambar bidang sejajar satu sama lain, maka tiga opsi dimungkinkan, yang ditunjukkan pada Gambar. 8.9. Untuk kasus di mana langsung AB tegak lurus terhadap vektor VA dan VB(Gbr. 8.9, a, b) konstruksi didasarkan pada proporsi (8.7).
Jika kecepatan poin Lee V sejajar dan lurus AB_nt tegak lurus VTETAPI(Gbr. 8.9, di), kemudian tegak lurus ke UA dan VB sejajar dan pusat kecepatan sesaat di tak terhingga (AP= oo); kecepatan sudut rotasi dari gambar w = VJAP=VA/cc= 0. Dalam hal ini, kecepatan semua titik pada gambar pada saat tertentu sama satu sama lain, yaitu, gambar tersebut memiliki distribusi kecepatan seperti pada gerak translasi. Keadaan gerak ini disebut progresif secara instan. Perhatikan bahwa dalam keadaan ini, percepatan semua titik benda tidak akan sama.
4. Jika gerak bidang benda dilakukan dengan menggelinding tanpa meluncur pada permukaan yang tetap (Gbr. 8.10), maka titik kontak R akan menjadi pusat kecepatan sesaat (lihat Soal 8.1).
Masalah 8.3. Mekanisme datar terdiri dari 7 batang, 2, 3, 4 dan perayap PADA(Gbr. 8.11), terhubung satu sama lain dan dengan penyangga tetap 0 { dan 0 2 engsel; dot D berada di tengah batang AB. Panjang batang: / 2 = 0,4 m, / 2 = 1,2 m, / 3 = 0,7 m, / 4 = 0,3 m dan berlawanan arah jarum jam. Mendefinisikan V A , V B , V D , V E , oo 2 , co 3 , ke 4 dan kecepatan titik Ke di tengah batang DE (DK = KE).
Larutan. Dalam mekanisme yang dipertimbangkan, batang 7, 4 melakukan gerakan rotasi PADA- progresif, dan batang 2, 3 -
gerakan bidang-paralel.
Kecepatan titik TETAPI kami definisikan sebagai milik batang 7, yang melakukan gerakan rotasi:
Pertimbangkan gerakan batang 2. Kecepatan titik TETAPI didefinisikan, dan arah kecepatan titik PADA karena fakta bahwa itu secara bersamaan milik batang 2 dan jenis kelamin-
Zun bergerak di sepanjang pemandu. Sekarang, memulihkan dari poin TETAPI dan PADA tegak lurus ke SEBUAH dan arah gerakan slider PADA, temukan posisi titik C 2 - MCS batang 2.
Di arah vektor U A mengingat bahwa dalam posisi mekanisme yang dipertimbangkan, batang 2 berputar di sekitar titik C 2, kami menentukan arah kecepatan sudut dari 2 batang 2 dan temukan nilai numeriknya (o 2 = V a / AC 2 \u003d 0,8 / 1,04 \u003d 0,77 s -1, dimana AC 2 - AB sin 60 ° \u003d 1,04 m (kita akan memperoleh saat mempertimbangkan A AC ~, B).
Sekarang kita menentukan nilai numerik dan arah kecepatan titik-titik tersebut PADA dan D tongkat 2 (karena ABDC 2 sama sisi, lalu BC 2 - DC 2 - - 0,6 m):
Pertimbangkan gerakan batang 3. Kecepatan titik D diketahui. Sejak titik e milik batang pada saat yang sama 4, berputar di sekitar sumbu 0 4 , kemudian Y e 10 4 E. Kemudian, melewati titik-titik D dan e garis lurus tegak lurus terhadap kecepatan V D w V E , temukan posisi titik C 3 - MCS batang
3. Di arah vektor V D , melihat dari titik tetap С 3 , kami menentukan arah kecepatan sudut с 3 , dan kami menemukan nilai numeriknya (setelah ditentukan sebelumnya dari AZ) C 3 ? segmen Z)C 3 = DEsin 30 ° \u003d 0,35 m): co 3 \u003d V d / C 3 D \u003d 1,32 s -1.
Untuk menentukan kecepatan suatu titik Ke mari menggambar garis lurus COP 3 dan mengingat itu AR K Dari 3 sama sisi ( COP 3 = 0,35 m), hitung Y k \u003d \u003d 0,462 m / s, U ke AKS 3.
Pertimbangkan gerakan rod_4 berputar di sekitar sumbu 0 4 . Mengetahui arah dan nilai numerik VE , kita cari arah dan nilai kecepatan sudut dari 4: from 4 \u003d V e / 0 4 E - 2,67 dtk
Menjawab: VA= 0,8 m/s, VB = VD= 0,462 m/s, V E = 0,8 m / s, co 2 \u003d 0,77 s "1, co 3 \u003d 1,32 s -1, (o 4 \u003d 2,67 s -1, arah besaran ini ditunjukkan pada Gambar 8.11.
Catatan.Dalam mekanisme yang terdiri dari beberapa benda, setiap benda yang bergerak tidak translasi pada saat tertentu memiliki pusat kecepatan sesaat dan kecepatan sudutnya sendiri.
Soal 8.4. Mekanisme datar terdiri dari batang 1, 2, 3 dan roller menggelinding tanpa selip pada bidang tetap (Gbr. 8.12, sebuah). Sambungan batang antara diri mereka dan batang 3 ke arena skating di titik tersebut D- berengsel. Panjang batang: 1 { - 0,4 m, / 2 = 0,6 m, / 3 = 0,8 m Untuk sudut yang diberikan a = 60°, B = 30°, nilai dan arah sudut HAI gelanggang es V0= 0,346 m/s, ZABD= 90°. Tentukan kecepatan titik PADA dan kecepatan sudut dari 2 .
Larutan. Mekanisme memiliki dua derajat kebebasan (posisinya ditentukan oleh dua sudut a dan p, independen satu sama lain) dan kecepatan titik PADA(titik persekutuan batang 2 dan 3) tergantung pada kecepatan titik-titik tersebut TETAPI dan D.
Mengingat gerak batang /, n kami menemukan arah dan nilai kecepatan titik A: V A= coj/j = 0,8 m/s, V ajO ( A.
Perhatikan pergerakan roller. Pusat kecepatan sesaat terletak di titik R; kemudian VD temukan dari proporsi
Sejak DOP sama kaki dan sudut akut di dalamnya sama dengan 30 °, lalu DP- 2OP cos 30° = ORl/ 3. Dari persamaan (a) kita temukan VD- 0,6 m/detik. Vektor VD diarahkan tegak lurus DP
Sejak titik PADA milik secara bersamaan ke batang AB dan BD, maka, menurut teorema proyeksi kecepatan, seharusnya: 1) proyeksi vektor di secara langsung B SEBUAH(segmen garis ah dalam gambar. 8.12, sebuah), yaitu SEBUAH cos a = 0,4 m/s; 2) proyeksi vektor di secara langsung D.B. sama dengan proyeksi ke garis vektor ini 0(segmen garis DD dalam gambar. 8.12, sebuah), yaitu 0 cos y = 0,3 m/s (y = 60°).
Mari kita selesaikan secara grafis. Sisihkan dari intinya PADA pemotongan dalam arah yang sesuai Bb (=Aa dan BB 2 = DD. Kecepatan titik PADA sama dengan jumlah vektor VB = Bb + Bbj. Memulihkan dari satu titik b ( tegak lurus ke Bb x, dan dari
poin b 2 - tegak lurus ke BB 2. Titik perpotongan garis tegak lurus ini menentukan ujung vektor yang diinginkan VB.
Sejak arah segmen BB dan BB 2 saling tegak lurus, maka
Kami menentukan dari 2 . Pada ara. 8.12, b apa yang disebut rencana kecepatan ditampilkan, yang secara grafis menggambarkan kesetaraan vektor
dimana vektor VA dan VB didefinisikan (lihat Gambar 8.12, sebuah), dan arah VBA tegak lurus dengan batang AB. Dari gambar (Gbr. 8.12, b) Temukan
Sekarang kita definisikan dengan 2 = V ba / AB- 1,66 s -1 (arah dari 2 - berlawanan arah jarum jam).
Menjawab: VB- 0,5 m / s, co 2 \u003d 1,66 s -1.
Tercatat bahwa gerak bangun datar dapat dianggap sebagai jumlah gerak translasi, di mana semua titik pada bangun bergerak dengan kecepatan kutub. TETAPI, dan dari gerakan rotasi di sekitar kutub itu. Mari kita tunjukkan bahwa kecepatan setiap titik M angka-angka terbentuk secara geometris dari kecepatan yang diterima titik di setiap gerakan ini.
Memang posisinya titik mana saja M angka didefinisikan dalam kaitannya dengan sumbu Ohu vektor jari-jari (Gbr. 30), di mana adalah vektor jari-jari kutub TETAPI, - vektor yang menentukan posisi titik M tentang sumbu bergerak dengan tiang TETAPI translasi (pergerakan gambar dalam kaitannya dengan sumbu ini adalah rotasi di sekitar kutub TETAPI). Kemudian
Dalam persamaan yang dihasilkan, kuantitasnya adalah kecepatan tiang TETAPI; nilainya sama dengan kecepatan titik tersebut M menerima di , yaitu tentang sumbu, atau, dengan kata lain, saat sosok itu berputar mengelilingi tiang TETAPI. Jadi, itu benar-benar mengikuti dari persamaan sebelumnya itu
titik kecepatan M diperoleh dengan memutar sosok di sekitar tiang TETAPI:
dimana adalah kecepatan sudut gambar.
Jadi kecepatan setiap titik M sosok pesawat secara geometris terdiri dari kecepatan beberapa titik lain TETAPI diambil sebagai tiang, dan kecepatan yang titik M terima ketika gambar berputar di sekitar tiang ini. Modul dan arah kecepatan ditemukan dengan membuat jajaran genjang yang sesuai (Gbr. 31).
Gbr.30 Gbr.31
23. Sebenarnya, persamaan gerak translasi benda tegar adalah persamaan hukum kedua Newton: Menggunakan persamaan:
Dan kami mendapatkan.
24. Dalam hal ini, komponen
- momen gaya eksternal diarahkan bersama x dan y, dikompensasi oleh momen-momen kekuatan reaksi pinning.
Rotasi di sekitar sumbu z terjadi hanya di bawah
6.4 6.5
Biarkan beberapa benda berputar di sekitar sumbu z.Dapatkan persamaan dinamika untuk beberapa titik saya tubuh ini di kejauhan R i dari sumbu rotasi. Pada saat yang sama, ingatlah itu
Diarahkan selalu sepanjang sumbu rotasi z, jadi selanjutnya kita akan menghilangkan ikon tersebut z.
Karena semua titik berbeda, kami memperkenalkan vektor kecepatan sudut dan
Karena tubuh benar-benar kaku, dalam proses rotasi saya dan R i akan tetap tidak berubah. Kemudian:
Menunjukkan I i – momen inersia poin di kejauhan R dari sumbu rotasi:
Karena benda terdiri dari sejumlah besar titik dan semuanya berada pada jarak yang berbeda dari sumbu rotasi, maka momen inersia benda adalah:
di mana R- jarak dari sumbu z ke d m. Seperti yang Anda lihat, momen inersia Saya merupakan besaran skalar.
Menjumlahkan semuanya saya- poin,
dapatkan atau - Ini persamaan induk
dinamika tubuh berputar di sekitar sumbu tetap.
26) Momentum sudut benda tegar.
Momentum sudut adalah jumlah vektor dari momentum sudut semua titik material benda relatif terhadap sumbu tetap.
Jika sumbu rotasi benda tegar tetap, maka momen gaya tegak lurus terhadap sumbu ini () akibat gaya gesekan pada bantalan akan selalu nol.
Laju perubahan momentum sudut benda tegar sepanjang sumbu rotasi, yang tetap, sama dengan momen yang dihasilkan dari gaya eksternal yang diarahkan sepanjang sumbu ini.
- momen inersia.
28) Momen gaya gesek bergulir adalah hukum Coulomb. Koefisien gesekan bergulir.
Gesekan bergulir. Adanya gesekan gelinding dapat ditentukan secara eksperimental, misalnya saat mempelajari gelindingan silinder berat berjari-jari pada bidang horizontal.
Jika silinder dan bidang adalah benda padat dengan permukaan kasar (Gbr. 55, a), maka kontaknya akan terjadi pada suatu titik, gaya N menyeimbangkan gravitasi P, dan gaya horizontal Q dan gaya gesekan F membentuk pasangan gaya (Q, F) di mana silinder harus mulai bergerak pada besarnya gaya Q. Pada kenyataannya, silinder mulai bergerak setelah besarnya gaya Q melebihi nilai batas Ql.
Fakta ini dapat dijelaskan jika kita mengasumsikan bahwa silinder dan bidangnya mengalami deformasi. Kemudian kontak mereka akan terjadi di sepanjang area atau lubang kecil (pada Gambar 55, b, area kecil ditunjukkan oleh bagiannya). Saat gaya Q meningkat, pusat tekanan akan bergerak dari tengah bagian ke kanan. Akibatnya, sepasang gaya (P,N) terbentuk, yang mencegah silinder mulai bergerak. Dalam keadaan kesetimbangan batas, sepasang gaya (Ql,F) dengan momen Ql·r dan pasangan (P,N) yang menyeimbangkannya dengan momen N·δ bekerja pada silinder, di mana δ adalah nilai dari perpindahan maksimum. Dari persamaan momen pasangan gaya kita temukan (6)
Sedangkan Q
Biasanya beras. 55, b disederhanakan dengan tidak menggambarkan perpindahan titik penerapan reaksi normal, menambah gaya pada gambar. 55, sepasang gaya yang mencegah silinder menggelinding, seperti yang ditunjukkan pada gambar. 55, hal.
Momen pasangan gaya ini disebut momen gesekan bergulir, sama dengan momen pasangan gaya (P,N): (7)
Nilai perpindahan maksimum titik penerapan reaksi normal dimasukkan dalam rumus (6) dan (7) δ disebut koefisien gesekan gelinding. Ini memiliki dimensi panjang dan ditentukan secara eksperimental. Berikut adalah nilai perkiraan koefisien ini (dalam meter) untuk beberapa bahan: kayu di atas kayu δ = 0,0005-0,0008; baja ringan di atas baja (roda di atas rel) - 0,00005; baja yang dikeraskan pada baja (bantalan bola) - 0,00001.
Rasio δ/r dalam rumus (6) untuk sebagian besar bahan jauh lebih kecil daripada koefisien gesekan statis f0. Oleh karena itu, dalam teknologi, jika memungkinkan, mereka cenderung mengganti sliding dengan rolling (roda, roller, ball bearing, dll).
hukum Amonton-Coulomb
Artikel utama: Hukum Coulomb (mekanika)
Jangan bingung dengan hukum Coulomb!
Karakteristik utama gesekan adalah koefisien gesekan μ, yang ditentukan oleh bahan dari mana permukaan benda yang berinteraksi dibuat.
Dalam kasus yang paling sederhana, gaya gesek F dan beban normal (atau gaya reaksi normal) Nnormal dihubungkan oleh ketidaksetaraan yang berubah menjadi persamaan hanya dengan adanya gerak relatif. Rasio ini disebut hukum Amonton-Coulomb.
3.5.1. Metode kutub
Karena gerak bangun datar dapat dianggap sebagai gabungan dari translasi, ketika semua titik pada bangun bergerak dengan cara yang sama seperti kutub. TETAPI dengan kecepatan , dan gerakan rotasi di sekitar tiang, maka kecepatan setiap titik PADA angka-angka ditentukan oleh jumlah vektor dari kecepatan (Gbr. 23).
, (65)
dimana adalah kecepatan tiang titik TETAPI;
Kecepatan titik PADA ketika memutar sosok di sekitar kutub suatu titik TETAPI(dengan asumsi itu tetap) secara numerik sama dengan
PADA tegak lurus VA ke arah rotasi kecepatan sudut (Gbr. 23).
Nilai numerik kecepatan titik PADA ditentukan oleh hukum cosinus
dimana adalah sudut antara vektor dan , н .
Kesetaraan proyeksi adalah konsekuensi dari invarian jarak antar titik TETAPI dan PADA milik benda tegar, sehingga kesetaraan akan berlaku untuk setiap gerakan benda tegar.
3.5.2. Metode pusat kecepatan sesaat (IMS)
Pusat kecepatan sesaat adalah intinya R sosok datar yang kecepatannya pada waktu tertentu adalah nol. Kecepatan semua titik lain dari sebuah bangun datar pada saat tertentu ditentukan seolah-olah pergerakan bangun itu berotasi relatif terhadap titik tersebut. R(Gbr. 25).
|
Menurut kecepatan titik metode kutub PADA akan sama dengan
. (69)
Karena kecepatan tiang (MCS) poin R sama dengan nol (), lalu
Vektor kecepatan diarahkan dari titik PADA tegak lurus BP dalam arah rotasi kecepatan sudut w.
Kesetaraan yang serupa dapat direpresentasikan untuk semua titik pada gambar bidang, dengan demikian, kecepatan titik pada gambar bidang sebanding dengan jaraknya ke MCS.
Untuk menentukan posisi (MCS) suatu bangun datar, diperlukan untuk mengetahui arah garis yang dilalui oleh vektor kecepatan titik-titik tersebut. TETAPI dan PADA( dan ). MCC untuk gambar ini akan ditempatkan di titik perpotongan tegak lurus yang dikembalikan ke garis-garis ini.
Untuk mengetahui kecepatan suatu titik PADA, menurut Gambar 25, diperlukan untuk mengetahui kecepatan titik tersebut TETAPI. Maka kecepatan sudut gambar pada saat waktu tertentu adalah
di mana AR- jarak titik TETAPI ke titik R, ditentukan menurut data awal.
Kecepatan sudut di bawah aksi kecepatan relatif terhadap kutub suatu titik R diarahkan searah jarum jam.
Kecepatan titik PADA pada titik waktu ini akan
Vektor kecepatan titik PADA() diarahkan tegak lurus terhadap garis RV ke arah rotasi kecepatan sudut w (Gbr. 25).
3.5.2.1. Konsep centroid
Lintasan yang dijelaskan MCS bersama dengan sosok bergerak disebut pusat massa bergerak (misalnya, ketika roda bergerak di sepanjang permukaan tanpa tergelincir (Tabel 2), lingkar luar roda adalah pusat massa yang bergerak).
Lokus geometris MCS, posisi titik R pada bidang tetap disebut pusat massa tetap (ketika roda bergerak pada permukaan tanpa selip (lihat Tabel 2), pusat massa tetap adalah permukaan tetap tempat roda berputar).
3.5.2.2. Kasus khusus MCS
Meja 2.
Pergerakan maju seketika dari tautan AB | Pergerakan roda di permukaan (tanpa selip) | Gerakan blok bergerak |
Dot PADA bergerak dalam garis lurus x-x, maka kecepatannya VB diarahkan sepanjang sumbu, gambar garis tegak lurus terhadap sumbu x-x. Karena garis tegak lurus tidak berpotongan, tautannya AB berada dalam gerak translasi sesaat, kecepatan semua titik di tautan ini sama, MCS tak terhingga, . | PKS terletak pada titik di mana roda menyentuh permukaan tetap tempat roda berputar, titik tersebut R. Kecepatan sudut roda tersebut adalah . Kecepatan titik PADA, DARI | MCS (poin R) berada di titik perpotongan segmen AB dan garis lurus melewati ujung vektor dan . Menentukan posisi suatu titik R. Blokir Kecepatan Sudut |
5) Gerakan maju. Contoh.
Penentuan gerak rotasi benda di sekitar sumbu tetap.
Persamaan gerak rotasi.
- gerakan seperti itu di mana semua titiknya bergerak dalam bidang yang tegak lurus terhadap suatu garis tetap, dan menggambarkan lingkaran dengan pusat yang terletak di garis ini, yang disebut sumbu rotasi.
Gerakan diberikan oleh hukum perubahan sudut dihedral φ (sudut rotasi) yang dibentuk oleh bidang tetap P yang melewati sumbu rotasi dan bidang Q yang terhubung secara kaku ke benda:
Kecepatan sudut adalah nilai yang mencirikan laju perubahan sudut rotasi.
Percepatan sudut adalah besaran yang mencirikan laju perubahan kecepatan sudut.
Penentuan kecepatan setiap titik dari sosok pesawat.
1 cara untuk menentukan kecepatan - melalui vektor. Kecepatan setiap titik pada bidang datar sama dengan jumlah geometris dari kecepatan kutub dan kecepatan rotasi titik ini di sekitar kutub. Jadi, kecepatan titik B sama dengan jumlah geometrik kecepatan kutub A dan kecepatan rotasi titik B mengelilingi kutub:
2 cara untuk menentukan kecepatan - melalui proyeksi. (teorema proyeksi kecepatan) Proyeksi kecepatan titik-titik pada gambar datar pada sumbu yang melewati titik-titik ini adalah sama.
3) Rumus menghitung kelajuan dan percepatan suatu titik dengan cara alami pengaturan pergerakannya.
Vektor kecepatan; - Proyeksi kecepatan pada garis singgung;
Komponen vektor percepatan; - proyeksi percepatan pada sumbu t dan n;
Jadi, percepatan total suatu titik adalah jumlah vektor dari dua percepatan:
garis singgung, diarahkan secara tangensial ke lintasan ke arah peningkatan koordinat busur, jika (jika tidak - ke arah yang berlawanan) dan
percepatan normal diarahkan sepanjang normal ke garis singgung menuju pusat kelengkungan (cekung lintasan): Modulus percepatan total:
4) Rumus menghitung kecepatan dan percepatan suatu titik dengan metode koordinat pengaturan pergerakannya dalam koordinat kartesius.
Komponen vektor kecepatan: - Proyeksi kecepatan pada sumbu koordinat:
-komponen vektor percepatan; -proyeksi percepatan pada sumbu koordinat;
5) Gerakan maju. Contoh.
(penggeser, piston pompa, sepasang roda lokomotif uap yang bergerak di sepanjang jalur lurus, kabin elevator, pintu kompartemen, kabin kincir ria) - ini adalah gerakan di mana setiap garis lurus terhubung secara kaku ke tubuh tetap sejajar dengan dirinya sendiri. Biasanya gerak translasi diidentikkan dengan gerak lurus titik-titiknya, tetapi tidak demikian. Titik-titik dan benda itu sendiri (pusat massa benda) dapat bergerak sepanjang lintasan lengkung, lihat misalnya pergerakan kabin kincir ria. Dengan kata lain, itu adalah gerakan tanpa belokan.
Kuliah 3. Gerak bidang-paralel dari benda tegar. Penentuan kecepatan dan percepatan.
Kuliah ini mencakup pertanyaan-pertanyaan berikut:
1. Gerak sejajar bidang benda tegar.
2. Persamaan gerak bidang-paralel.
3. Penguraian gerak menjadi translasi dan rotasi.
4. Penentuan kecepatan titik-titik suatu bidang.
5. Teorema proyeksi kecepatan dua titik benda.
6. Penentuan kecepatan titik-titik pada gambar bidang menggunakan pusat kecepatan sesaat.
7. Memecahkan masalah untuk menentukan kecepatan.
8. Rencana kecepatan.
9. Penentuan percepatan titik-titik suatu bidang.
10. Memecahkan masalah percepatan.
11. Pusat percepatan seketika.
Studi tentang masalah ini diperlukan di masa depan untuk dinamika gerak bidang benda tegar, dinamika gerak relatif titik material, untuk memecahkan masalah dalam disiplin "Teori mesin dan mekanisme" dan "Bagian-bagian mesin ".
Gerakan bidang-paralel dari benda tegar. Persamaan gerak bidang-paralel.
Dekomposisi gerak menjadi translasi dan rotasi
Bidang-sejajar (atau datar) adalah gerakan benda tegar, di mana semua titiknya bergerak sejajar dengan suatu bidang tetap P(Gbr. 28). Gerak bidang dilakukan oleh banyak bagian mekanisme dan mesin, misalnya, roda yang menggelinding pada bagian trek yang lurus, batang penghubung pada mekanisme penggeser engkol, dll. Kasus khusus dari gerak bidang-sejajar adalah gerak rotasi benda tegar di sekitar sumbu tetap.
Gbr.28 Gbr.29
Pertimbangkan bagiannya S tubuh beberapa pesawat Oksi, sejajar dengan bidang P(gbr.29). Dengan gerak bidang-paralel, semua titik tubuh terletak pada garis lurus MM’ tegak lurus terhadap aliran S, yaitu pesawat P, bergerak secara identik.
Oleh karena itu kami menyimpulkan untuk mempelajari gerak seluruh tubuh, cukup mempelajari bagaimana ia bergerak di bidang Ohu bagian S tubuh ini atau sosok pesawat S. Oleh karena itu, di masa mendatang, alih-alih gerak bidang benda, kami akan mempertimbangkan gerak sosok bidang S di pesawatnya, yaitu di pesawat Ohu.
Posisi figur S di pesawat Ohu ditentukan oleh posisi beberapa segmen yang digambar pada gambar ini AB(Gbr. 28). Pada gilirannya, posisi segmen AB dapat ditentukan dengan mengetahui koordinatnya x A dan y Poin TETAPI dan sudut yang merupakan segmen AB bentuk dengan sumbu X. titik TETAPI dipilih untuk menentukan posisi gambar S, selanjutnya akan disebut tiang.
Saat memindahkan angka besarnya x A dan y A dan akan berubah. Untuk mengetahui hukum gerak yaitu kedudukan benda pada bidang Ohu kapan saja, Anda perlu mengetahui dependensinya
Persamaan yang menentukan hukum gerak yang sedang berlangsung disebut persamaan gerak bangun datar pada bidangnya. Mereka juga persamaan gerak bidang-paralel dari benda tegar.
Dua persamaan gerak pertama menentukan gerak yang akan dibuat oleh gambar jika =const; ini jelas akan menjadi gerakan translasi, di mana semua titik pada gambar bergerak dengan cara yang sama seperti kutubnya TETAPI. Persamaan ketiga menentukan gerakan yang akan dibuat oleh gambar di dan , yaitu ketika tiang TETAPI diam; ini akan menjadi rotasi gambar di sekitar tiang TETAPI. Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa, dalam kasus umum, gerak bangun datar pada bidangnya dapat dianggap sebagai jumlah gerak translasi, di mana semua titik pada bangun bergerak dengan cara yang sama seperti kutub. TETAPI, dan dari gerakan rotasi di sekitar kutub itu.
Karakteristik kinematik utama dari gerakan yang dipertimbangkan adalah kecepatan dan percepatan gerak translasi, sama dengan kecepatan dan percepatan kutub, serta kecepatan sudut dan percepatan sudut dari gerak rotasi di sekitar kutub.
Menentukan kecepatan titik-titik suatu bangun datar
Tercatat bahwa gerak bangun datar dapat dianggap sebagai jumlah gerak translasi, di mana semua titik pada bangun bergerak dengan kecepatan kutub. TETAPI, dan dari gerakan rotasi di sekitar kutub itu. Mari kita tunjukkan bahwa kecepatan setiap titik M angka-angka terbentuk secara geometris dari kecepatan yang diterima titik di setiap gerakan ini.
Memang posisinya titik mana saja M angka didefinisikan dalam kaitannya dengan sumbu Ohu vektor jari-jari (Gbr. 30), di mana adalah vektor jari-jari kutub TETAPI, - vektor yang menentukan posisi titik M tentang sumbu bergerak dengan tiang TETAPI translasi (pergerakan gambar dalam kaitannya dengan sumbu ini adalah rotasi di sekitar kutub TETAPI). Kemudian