Bilangan dan deret kompleks dengan suku-suku kompleks. Deret bilangan kompleks konvergen Deret bilangan kompleks mutlak konvergen
![Bilangan dan deret kompleks dengan suku-suku kompleks. Deret bilangan kompleks konvergen Deret bilangan kompleks mutlak konvergen](https://i1.wp.com/mathprofi.ru/k/slozhnye_ryady_clip_image006.gif)
Metode standar, tetapi menemui jalan buntu dengan contoh lain.
Apa kesulitannya dan di mana ada hambatan? Mari kita kesampingkan tali sabun, dengan tenang menganalisis alasannya dan berkenalan dengan metode solusi praktis.
Pertama dan terpenting: dalam sebagian besar kasus, untuk mempelajari konvergensi suatu deret, perlu menerapkan beberapa metode yang sudah dikenal, tetapi istilah umum dari deret tersebut diisi dengan isian yang rumit sehingga sama sekali tidak jelas apa yang harus dilakukan dengannya . Dan Anda berputar-putar: tanda pertama tidak berfungsi, yang kedua tidak berfungsi, metode ketiga, keempat, kelima tidak berfungsi, kemudian draf dibuang dan semuanya dimulai lagi. Ini biasanya karena kurangnya pengalaman atau kesenjangan di bagian kalkulus lainnya. Khususnya, jika berjalan batas urutan dan dibongkar secara superfisial batas fungsi, maka akan sulit.
Dengan kata lain, seseorang tidak melihat solusi yang diperlukan karena kurangnya pengetahuan atau pengalaman.
Kadang-kadang "gerhana" juga yang harus disalahkan, ketika, misalnya, kriteria yang diperlukan untuk konvergensi seri tidak terpenuhi, tetapi karena ketidaktahuan, kurangnya perhatian, atau kelalaian, hal ini tidak terlihat. Dan ternyata seperti di sepeda tempat profesor matematika memecahkan masalah anak-anak dengan bantuan deret bilangan dan deret berulang liar =)
Dalam tradisi terbaik, contoh langsung hidup: baris dan kerabat mereka - berbeda, karena secara teori terbukti batas urutan. Kemungkinan besar, pada semester pertama, Anda akan dipukuli habis-habisan untuk bukti 1-2-3 halaman, tetapi sekarang cukup untuk menunjukkan bahwa kondisi yang diperlukan untuk konvergensi seri tidak terpenuhi, merujuk terhadap fakta yang diketahui. Terkenal? Jika siswa tidak mengetahui bahwa akar dari derajat ke-n adalah hal yang sangat kuat, katakanlah, deret
menempatkan dia dalam kebiasaan. Meskipun solusinya seperti dua dan dua: , yaitu. untuk alasan yang jelas, kedua seri berbeda. Komentar sederhana "batasan ini telah dibuktikan dalam teori" (atau bahkan tidak ada sama sekali) sudah cukup untuk mengimbangi, lagipula, perhitungannya cukup berat dan pasti bukan bagian dari deret numerik.
Dan setelah mempelajari contoh berikut, Anda hanya akan terkejut dengan singkatnya dan transparansi banyak solusi:
Contoh 1
Menyelidiki kekonvergenan suatu deret
Larutan: pertama-tama, periksa eksekusinya kriteria yang diperlukan untuk konvergensi. Ini bukan formalitas, tapi kesempatan besar untuk menghadapi contoh "pertumpahan darah kecil".
"Inspeksi adegan" menunjukkan deret yang berbeda (kasus deret harmonik umum), tetapi sekali lagi muncul pertanyaan, bagaimana cara memperhitungkan logaritma di pembilang?
Contoh perkiraan tugas di akhir pelajaran.
Tidak jarang Anda harus melakukan penalaran dua arah (atau bahkan tiga arah):
Contoh 6
Menyelidiki kekonvergenan suatu deret
Larutan: pertama, tangani omong kosong pembilang dengan hati-hati. Urutannya terbatas: . Kemudian:
Mari bandingkan seri kita dengan seri . Berdasarkan ketidaksetaraan ganda yang baru saja diperoleh, untuk semua "en" itu akan benar:
Sekarang mari kita bandingkan deret tersebut dengan deret harmonik divergen.
Penyebut pecahan lebih sedikit penyebut pecahan, jadi pecahan itu sendiri – lagi pecahan (tuliskan beberapa suku pertamanya, jika tidak jelas). Jadi, untuk setiap "en":
Jadi, sebagai perbandingan, seri menyimpang bersama dengan deret harmonik.
Jika kita mengubah penyebutnya sedikit: , maka bagian pertama dari alasannya akan serupa:
. Tetapi untuk membuktikan divergensi deret tersebut, hanya uji batas perbandingan yang dapat diterapkan, karena pertidaksamaannya salah.
Situasi dengan deret konvergen adalah "cermin", yaitu, misalnya, untuk deret, kedua kriteria perbandingan dapat digunakan (pertidaksamaan benar), dan untuk deret, hanya kriteria pembatas (pertidaksamaan salah).
Kami melanjutkan safari kami melalui alam liar, tempat kawanan antelop yang anggun dan segar muncul di cakrawala:
Contoh 7
Menyelidiki kekonvergenan suatu deret
Larutan: kriteria konvergensi yang diperlukan terpenuhi, dan kami kembali mengajukan pertanyaan klasik: apa yang harus dilakukan? Di hadapan kita ada sesuatu yang menyerupai deret konvergen, namun, tidak ada aturan yang jelas di sini - asosiasi semacam itu seringkali menipu.
Sering, tapi kali ini tidak. Dengan menggunakan Batasi kriteria perbandingan Mari kita bandingkan deret kita dengan deret konvergen. Saat menghitung batas, kami menggunakan batas yang indah , sedangkan kecil sekali berdiri:
konvergen bersama dengan di sebelah .
Alih-alih menggunakan teknik perkalian dan pembagian buatan standar dengan "tiga", pada awalnya dimungkinkan untuk membandingkan dengan deret konvergen.
Tetapi di sini peringatan diinginkan bahwa pengali-konstan dari suku umum tidak mempengaruhi konvergensi deret. Dan hanya dalam gaya ini solusi dari contoh berikut dirancang:
Contoh 8
Menyelidiki kekonvergenan suatu deret
Contoh di akhir pelajaran.
Contoh 9
Menyelidiki kekonvergenan suatu deret
Larutan: pada contoh sebelumnya, kami menggunakan batasan sinus, tetapi sekarang properti ini tidak dapat dimainkan. Penyebut pecahan dari yang lebih tinggi urutan pertumbuhan dari pembilang, jadi ketika argumen sinus dan seluruh suku umum sangat kecil. Kondisi yang diperlukan untuk konvergensi, seperti yang Anda pahami, terpenuhi, yang tidak memungkinkan kita untuk mengelak dari pekerjaan.
Kami akan melakukan pengintaian: sesuai dengan kesetaraan yang luar biasa , buang sinus secara mental dan dapatkan seri. Yah, sesuatu seperti itu….
Membuat keputusan:
Mari kita bandingkan deret yang diteliti dengan deret divergen. Kami menggunakan kriteria perbandingan batas:
Mari kita ganti yang sangat kecil dengan yang setara: untuk .
Didapatkan bilangan hingga selain nol, yang berarti deret yang diteliti menyimpang bersama dengan deret harmonik.
Contoh 10
Menyelidiki kekonvergenan suatu deret
Ini adalah contoh do-it-yourself.
Untuk merencanakan tindakan lebih lanjut dalam contoh seperti itu, penolakan mental terhadap sinus, arcsine, tangen, arctangent sangat membantu. Tapi ingat, kemungkinan ini hanya ada bila kecil sekali argumen, belum lama ini saya menemukan seri provokatif:
Contoh 11
Menyelidiki kekonvergenan suatu deret .
Larutan: tidak ada gunanya menggunakan batasan garis singgung busur di sini, dan kesetaraan juga tidak berfungsi. Outputnya sangat sederhana:
Seri Studi menyimpang, karena kriteria yang diperlukan untuk konvergensi deret tidak terpenuhi.
Alasan kedua"Gag on the job" terdiri dari kecanggihan yang layak dari anggota biasa, yang menyebabkan kesulitan yang bersifat teknis. Secara kasar, jika seri yang dibahas di atas termasuk dalam kategori "angka yang Anda tebak", maka seri ini termasuk dalam kategori "Anda yang memutuskan". Sebenarnya, ini disebut kompleksitas dalam pengertian "biasa". Tidak semua orang akan menyelesaikan dengan benar beberapa faktorial, derajat, akar, dan penghuni sabana lainnya. Tentu saja, faktorial menyebabkan sebagian besar masalah:
Contoh 12
Menyelidiki kekonvergenan suatu deret
Bagaimana cara menaikkan faktorial menjadi pangkat? Mudah. Menurut aturan operasi dengan kekuatan, setiap faktor produk harus dinaikkan menjadi kekuatan:
Dan, tentu saja, perhatian dan sekali lagi perhatian, tanda d'Alembert sendiri bekerja secara tradisional:
Dengan demikian, seri yang diteliti konvergen.
Saya mengingatkan Anda tentang teknik rasional untuk menghilangkan ketidakpastian: ketika sudah jelas urutan pertumbuhan pembilang dan penyebut - sama sekali tidak perlu menderita dan membuka tanda kurung.
Contoh 13
Menyelidiki kekonvergenan suatu deret
Binatang itu sangat langka, tetapi ditemukan, dan tidak adil untuk melewatinya dengan lensa kamera.
Apa itu faktorial tanda seru ganda? Faktorial "memutar" produk bilangan genap positif:
Demikian pula, faktorial "memutar" produk bilangan ganjil positif:
Menganalisis apa perbedaan antara
Contoh 14
Menyelidiki kekonvergenan suatu deret
Dan dalam tugas ini, cobalah untuk tidak bingung dengan derajatnya, persamaan yang indah dan batas yang indah.
Contoh solusi dan jawaban di akhir pelajaran.
Tetapi siswa tidak hanya memberi makan harimau - macan tutul yang licik juga melacak mangsanya:
Contoh 15
Menyelidiki kekonvergenan suatu deret
Larutan: kriteria konvergensi yang diperlukan, kriteria pembatas, kriteria d'Alembert dan Cauchy menghilang hampir secara instan. Tapi yang terburuk, fitur dengan ketidaksetaraan, yang berulang kali menyelamatkan kita, tidak berdaya. Memang, perbandingan dengan deret divergen tidak mungkin, karena ketidaksetaraan salah - pengali-logaritma hanya menambah penyebut, mengurangi pecahan itu sendiri
sehubungan dengan pecahan. Dan pertanyaan global lainnya: mengapa kami awalnya yakin dengan seri kami
terikat untuk menyimpang dan harus dibandingkan dengan beberapa deret yang berbeda? Apakah dia cocok sama sekali?
Fitur integral? integral yang tidak benar membangkitkan suasana sedih. Sekarang, jika kita memiliki baris
… lalu ya. Berhenti! Beginilah ide lahir. Kami membuat keputusan dalam dua langkah:
1) Pertama, kita mempelajari konvergensi deret . Kita gunakan fitur integral:
Integrand kontinu pada
Jadi, sebuah angka divergen bersama dengan integral tak wajar yang bersesuaian.
2) Bandingkan deret kita dengan deret divergen . Kami menggunakan kriteria perbandingan batas:
Didapatkan bilangan hingga selain nol, yang berarti deret yang diteliti menyimpang bersama dengan berdampingan .
Dan tidak ada yang aneh atau kreatif dalam keputusan seperti itu - begitulah cara memutuskannya!
Saya mengusulkan untuk membuat dua gerakan berikut secara mandiri:
Contoh 16
Menyelidiki kekonvergenan suatu deret
Seorang siswa dengan beberapa pengalaman dalam banyak kasus segera melihat apakah rangkaian itu bertemu atau menyimpang, tetapi kebetulan pemangsa dengan cerdik menyamar di semak-semak:
Contoh 17
Menyelidiki kekonvergenan suatu deret
Larutan: sekilas, sama sekali tidak jelas bagaimana perilaku seri ini. Dan jika kita memiliki kabut di depan kita, maka masuk akal untuk memulai dengan pemeriksaan kasar kondisi yang diperlukan untuk konvergensi deret. Untuk menghilangkan ketidakpastian, kami menggunakan yang tidak dapat tenggelam metode perkalian dan pembagian dengan ekspresi adjoint:
Tanda konvergensi yang diperlukan tidak berhasil, tetapi membuat rekan Tambov kami terungkap. Sebagai hasil dari transformasi yang dilakukan, diperoleh deret yang setara , yang pada gilirannya sangat menyerupai deret konvergen .
Kami menulis solusi bersih:
Bandingkan deret ini dengan deret konvergen. Kami menggunakan kriteria perbandingan batas:
Kalikan dan bagi dengan ekspresi adjoint:
Didapatkan bilangan hingga selain nol, yang berarti deret yang diteliti konvergen bersama dengan di sebelah .
Mungkin ada yang bertanya, dari mana datangnya serigala di safari Afrika kita? Tidak tahu. Mereka mungkin membawanya. Anda akan mendapatkan kulit trofi berikut:
Contoh 18
Menyelidiki kekonvergenan suatu deret
Contoh solusi di akhir pelajaran
Dan, akhirnya, satu pemikiran lagi yang membuat banyak siswa putus asa: alih-alih apakah akan menggunakan kriteria yang lebih langka untuk konvergensi deret? Tanda Raabe, tanda Abel, tanda Gauss, tanda Dirichlet dan hewan tak dikenal lainnya. Idenya berhasil, tetapi dalam contoh nyata sangat jarang diterapkan. Secara pribadi, selama bertahun-tahun berlatih, saya hanya menggunakan 2-3 kali tanda Rabe ketika tidak ada yang benar-benar membantu dari gudang senjata standar. Saya mereproduksi perjalanan pencarian ekstrim saya secara penuh:
Contoh 19
Menyelidiki kekonvergenan suatu deret
Larutan: Tanpa ragu tanda d'Alembert. Selama perhitungan, saya secara aktif menggunakan properti derajat, serta batas indah kedua:
Ini satu untuk Anda. Tanda D'Alembert tidak memberikan jawaban, meskipun tidak ada yang meramalkan hasil seperti itu.
Setelah melalui manual, saya menemukan batas yang sedikit diketahui yang terbukti dalam teori dan menerapkan kriteria Cauchy radikal yang lebih kuat:
Ini dua untukmu. Dan, yang terpenting, sama sekali tidak jelas apakah deret itu konvergen atau menyimpang (situasi yang sangat jarang bagi saya). Tanda perbandingan yang diperlukan? Tanpa banyak harapan - meskipun dengan cara yang tidak terpikirkan saya mengetahui urutan pertumbuhan pembilang dan penyebut, ini tetap tidak menjamin hadiah.
Sebuah d'Alembert yang lengkap, tetapi yang terburuk adalah seri tersebut harus diselesaikan. Membutuhkan. Lagipula, ini pertama kalinya aku menyerah. Dan kemudian saya ingat bahwa sepertinya ada beberapa tanda yang lebih kuat. Sebelum saya bukan lagi serigala, bukan macan tutul dan bukan harimau. Itu adalah gajah besar yang melambaikan belalai besar. Saya harus mengambil peluncur granat:
Tanda Rabe
Pertimbangkan deret bilangan positif.
Jika ada batas , kemudian:
a) Secara berurutan menyimpang. Selain itu, nilai yang dihasilkan bisa nol atau negatif.
b) Secara berurutan konvergen. Secara khusus, deret konvergen untuk .
c) Kapan Tanda Raabe tidak memberikan jawaban.
Kami menyusun batas dan menyederhanakan pecahan dengan hati-hati:
Ya, gambarannya, secara halus, tidak menyenangkan, tetapi saya tidak lagi terkejut. aturan lopital, dan pemikiran pertama, ternyata kemudian, ternyata benar. Tapi pertama-tama, selama sekitar satu jam, saya memutar dan memutar batas menggunakan metode "biasa", tetapi ketidakpastian tidak mau dihilangkan. Dan berjalan berputar-putar, seperti yang ditunjukkan oleh pengalaman, adalah tanda khas bahwa cara penyelesaian yang salah telah dipilih.
Saya harus beralih ke kebijaksanaan rakyat Rusia: "Jika tidak ada yang membantu, baca instruksinya." Dan ketika saya membuka volume ke-2 Fichtenholtz, saya sangat senang menemukan studi tentang seri yang identik. Dan kemudian solusinya berjalan sesuai model.
1. Bilangan kompleks. Bilangan kompleks disebut nomor formulir x+iy, di mana X dan y - bilangan real, saya-unit imajiner, ditentukan oleh persamaan saya 2 = -1. Angka nyata X dan pada disebut masing-masing sah dan bagian imajiner bilangan kompleks z. Bagi mereka, notasi diperkenalkan: x=Rez; y=imz.
Secara geometris, setiap bilangan kompleks z=x+iy diwakili oleh titik M (x;y) bidang koordinat xOy(Gbr. 26). Dalam hal ini pesawat tongkang disebut bidang bilangan kompleks, atau bidang variabel kompleks z.
Koordinat kutub r dan φ poin M, yang merupakan bayangan dari bilangan kompleks z, disebut modul dan argumen bilangan kompleks z; notasi diperkenalkan untuk mereka: r=|z|, φ=Argz.
Karena setiap titik bidang sesuai dengan jumlah nilai sudut kutub yang tak terbatas, yang berbeda satu sama lain sebesar 2kπ (k adalah bilangan bulat positif atau negatif), Arg adalah fungsi z bernilai tak terbatas dari z.
Itu dari nilai sudut kutub φ , yang memenuhi pertidaksamaan –π< φ ≤ π disebut kepentingan utama argumen z dan menunjukkan arg z.
Berikut ini adalah sebutannya φ simpan hanya untuk nilai utama argumen z , itu. mari kita letakkan φ =argz, dimana untuk semua nilai argumen lainnya z kita mendapatkan persamaan
Arg z = arg z + 2kπ =φ + 2kπ.
Hubungan antara modulus dan argumen bilangan kompleks z dan bagian real dan imajinernya ditentukan oleh rumus
x = r cos φ; y = r sin φ.
Argumen z juga dapat ditentukan dengan rumus
arg z = arctg (y / x) + C,
di mana DARI= 0 pada x> 0, DARI= +π untuk x<0, pada> 0; C \u003d - π di x < 0, pada< 0.
Mengganti x dan pada dalam notasi bilangan kompleks z = x+iy ekspresi mereka melalui r dan φ , kita mendapatkan apa yang disebut bentuk trigonometri dari bilangan kompleks:
Bilangan kompleks z 1 \u003d x 1 + iy 1 dan z 2 \u003d x 2 + iy 2 dipertimbangkan setara jika dan hanya jika bagian real dan imajinernya sama secara terpisah:
z1 = z2, jika x 1 = x 2, y 1 = y 2 .
Untuk angka yang diberikan dalam bentuk trigonometri, kesetaraan terjadi jika modul angka-angka ini sama, dan argumennya berbeda dengan kelipatan bilangan bulat 2π:
z 1 = z 2, jika |z 1 | = |z 2 | dan Arg z 1 = Arg z 2 +2kπ.
Dua bilangan kompleks z = x+iy dan z = x -iy dengan bagian imajiner yang sama nyata dan berlawanan disebut terkonjugasi. Untuk bilangan kompleks konjugasi, relasi
|z 1 | = |z 2 |; arg z 1 = -arg z 2,
(persamaan terakhir dapat diberikan bentuk Arg z 1 + Arg z 2 = 2kπ).
Operasi pada bilangan kompleks ditentukan oleh aturan berikut.
Tambahan. Jika sebuah z 1 \u003d x 1 + iy 1, z 2 \u003d x 2 + iy 2, kemudian
Penjumlahan bilangan kompleks mematuhi hukum komutatif dan asosiatif:
Pengurangan. Jika sebuah , kemudian
Untuk penjelasan geometris tentang penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks, akan berguna untuk menyatakannya bukan sebagai titik pada bidang z, dan vektor: angka z = x + iy diwakili oleh vektor memiliki awal di titik O ("titik nol" bidang - asal koordinat) dan berakhir di titik M(x; y). Kemudian penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks dilakukan sesuai dengan aturan penjumlahan dan pengurangan vektor (Gbr. 27).
Interpretasi geometris dari operasi penjumlahan dan pengurangan vektor memudahkan untuk menetapkan teorema pada modulus jumlah dan selisih dua dan jumlah dari beberapa bilangan kompleks, yang dinyatakan oleh ketidaksetaraan:
| |z 1 |-|z 2 | | ≤ |z 1 ±z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 | ,
Selain itu, berguna untuk mengingatnya modulus selisih dua bilangan kompleks z1 dan z2 sama dengan jarak antara titik-titik yang bayangannya pada bidang z:| |z 1 -z 2 |=d(z 1 ,z 2) .
Perkalian. Jika sebuah z 1 \u003d x 1 + iy 1, z 2 \u003d x 2 + iy 2. kemudian
z 1 z 2 \u003d (x 1 x 2 -y 1 y 2) + i (x 1 y 2 + x 2 y 1).
Jadi, bilangan kompleks dikalikan sebagai binomial, dengan i 2 diganti dengan -1.
Jika kemudian
Lewat sini, modulus produk sama dengan produk modul somnoektels, dan argumen produk-jumlah argumen dari faktor-faktor tersebut. Perkalian bilangan kompleks mematuhi hukum komutatif, asosiatif, dan distributif (sehubungan dengan penjumlahan):
Divisi. Untuk mencari hasil bagi dari dua bilangan kompleks yang diberikan dalam bentuk aljabar, pembagi dan pembaginya harus dikalikan dengan bilangan yang konjugat dengan pembaginya:
" Jika sebuah diberikan dalam bentuk trigonometri, lalu
Lewat sini, modulus hasil bagi sama dengan hasil bagi modulus pembagi dan pembagi, sebuah argumen pribadi sama dengan selisih antara argumen pembagian dan pembagi.
Eksponensial. Jika z= , kemudian dengan rumus binomial Newton yang kita miliki
(P adalah bilangan bulat positif); dalam ekspresi yang dihasilkan, perlu untuk mengganti derajat saya artinya:
saya 2 \u003d -1; saya 3 = saya; saya 4 =1; saya 5 = 1,…
dan, secara umum,
saya 4k = 1; saya 4k+1 =saya; saya 4k+2 = -1; saya 4k+3 = -i .
Jika kemudian
(di sini P dapat berupa bilangan bulat positif atau bilangan bulat negatif).
Khususnya,
(rumus De Moivre).
Ekstraksi akar. Jika sebuah P adalah bilangan bulat positif, maka akar ke-n dari bilangan kompleks z memiliki n nilai yang berbeda, yang ditemukan dengan rumus
di mana k=0, 1, 2, ..., n-1.
437.
Temukan (z 1 z 2)/z 3 jika z1 = 3 + 5i, z 2 = 2 + 3i, z 3 = 1+2i.
∆
438.
nomor z= 2 + 5i.
∆ Temukan modulus bilangan kompleks: . Temukan nilai utama argumen: . Oleh karena itu, ▲
439.
Mewakili dalam bentuk trigonometri kompleks
nomor
∆ Temukan , ; , , yaitu
440.
Mewakili dalam bentuk kompleks trigonometri
angka 1, i, -1, -i.
441.
Mewakili Angka ,
,
dalam bentuk trigonometri dan kemudian temukan bilangan kompleksnya
z 1 / (z 2 z 3).
∆ Temukan
Akibatnya,
442. Temukan semua nilai.
∆ Kami menulis bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri. Kita punya , , . Akibatnya,
Akibatnya, , ,
443. Memecahkan persamaan biner ω 5 + 32i = 0.
∆ Mari kita tulis ulang persamaan dalam bentuk ω 5 + 32i = 0. Nomor -32i mewakili dalam bentuk trigonometri:
Jika sebuah k = 0 lalu (A).
k=1,(B).
k=2,(C).
k=3,(D).
k=4,(E).
Akar persamaan dua suku sesuai dengan simpul dari segi lima beraturan yang tertulis dalam lingkaran dengan jari-jari R=2 berpusat pada titik asal (Gbr. 28).
Secara umum, akar dari persamaan dua suku ω n \u003d a, di mana sebuah-nomor kompleks, sesuai dengan simpul biasa n-gon tertulis dalam lingkaran dengan pusat di titik asal dan jari-jari sama dengan ▲
444. Menggunakan rumus De Moivre, ekspres cos5φ dan sin5 φ melalui cosφ dan sinφ.
∆ Kami mengubah sisi kiri persamaan sesuai dengan rumus binomial Newton:
Tetap menyamakan bagian nyata dan imajiner dari persamaan:
445. Diberi bilangan kompleks z=2-2i. Menemukan Rez, Imz, |z|, argz.
446. z = -12 + 5i.
447 . Hitung ekspresi menggunakan rumus Moivre (cos 2° + isin 2°) 45 .
448. Hitung menggunakan rumus De Moivre.
449. Nyatakan bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri
z = 1 + cos 20° + isin 20°.
450. Evaluasi ekspresi (2 + 3i) 3 .
451.
Evaluasi ekspresi
452. Evaluasi ekspresi
453. Nyatakan bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri 5-3i.
454. Nyatakan bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri -1 + saya.
455.
Evaluasi ekspresi
456.
Evaluasi ekspresi setelah sebelumnya disajikan faktor-faktor pada pembilang dan penyebutnya dalam bentuk trigonometri.
457. Temukan semua nilai
458.
Memecahkan persamaan biner
459. cepat cos4φ dan sin4φ melalui cosφ dan sinφ.
460. Tunjukkan bahwa jarak antar titik z1 dan z2 sama dengan | z2-z1|.
∆ Kami punya z 1 \u003d x 1 + iy 1, z 2 \u003d x 2 + iy 2, z 2 -z 1 \u003d (x 2 -x 1) + i (y 2 -y 1), di mana
itu. | z2-z1| sama dengan jarak antara titik-titik yang diberikan. ▲
461. Garis mana yang digambarkan oleh titik z, memenuhi persamaan di mana Dengan-bilangan kompleks konstan, dan R>0?
462.
Apa arti geometris dari pertidaksamaan: 1) | z-c|
463. Apa arti geometris dari ketidaksetaraan: 1) Rez > 0; 2) saya z< 0 ?
2. Seri dengan istilah kompleks. Pertimbangkan urutan bilangan kompleks z 1 , z 2 , z 3 , ..., dimana z p \u003d x p + iy p (n \u003d 1, 2, 3, ...). angka konstan c = a + bi ditelepon membatasi urutan z 1 , z 2 , z 3 , ..., jika untuk sembarang angka kecil δ>0 ada nomor N, apa arti z p dengan angka n > N memenuhi pertidaksamaan \z n-Dengan\< δ . Dalam hal ini, tulis .
Syarat perlu dan cukup untuk adanya limit barisan bilangan kompleks adalah sebagai berikut: bilangan c=a+bi adalah limit barisan bilangan kompleks x 1 + iy 1, x 2 + iy 2, x 3 + iy 3, ... jika dan hanya jika , .
(1)
yang anggotanya adalah bilangan kompleks disebut konvergen, jika n jumlah parsial dari deret S n untuk n → ∞ cenderung sampai batas akhir tertentu. Jika tidak, seri (1) disebut berbeda.
Deret (1) konvergen jika dan hanya jika deret dengan suku riil konvergen
(2) Menyelidiki kekonvergenan deret Deret ini, yang suku-sukunya membentuk barisan geometri yang menurun tak terhingga, konvergen; oleh karena itu, deret yang diberikan dengan suku-suku kompleks konvergen secara mutlak. ^
474. Carilah luas konvergensi suatu deret
Adanya konsep limit barisan (1.5) memungkinkan kita untuk mempertimbangkan deret dalam domain kompleks (baik numerik maupun fungsional). Jumlah parsial, konvergensi absolut dan bersyarat dari deret numerik ditentukan secara standar. Di mana konvergensi suatu deret menyiratkan konvergensi dua deret, salah satunya terdiri dari bagian nyata dan bagian imajiner lainnya dari suku-suku deret tersebut: Misalnya, deret tersebut konvergen secara mutlak, dan deret tersebut − menyimpang (karena bagian imajiner).
Jika bagian nyata dan imajiner dari suatu deret benar-benar bertemu, maka
baris, karena . Kebalikannya juga benar: dari konvergensi mutlak deret kompleks
konvergensi mutlak dari bagian nyata dan imajiner berikut:
Demikian pula dengan deret fungsional dalam domain nyata, kompleks
deret fungsional, area konvergensi searah dan seragam. Tanpa perubahan
dirumuskan dan dibuktikan Tanda Weierstrass konvergensi seragam. disimpan
semua sifat deret konvergen seragam.
Dalam mempelajari deret fungsional, yang menarik adalah kekuasaan
peringkat: , atau setelah mengganti : . Seperti dalam kasus nyata
variabel, benar teorema abel : jika deret pangkat (terakhir) konvergen di titik ζ 0 ≠ 0, maka konvergen, dan mutlak, untuk setiap ζ yang memenuhi pertidaksamaan
Lewat sini, daerah konvergensi D ini deret pangkat adalah lingkaran berjari-jari R yang berpusat di titik asal, di mana R − radius konvergensi − batas atas nilai yang tepat (Dari mana istilah ini berasal). Rangkaian daya asli, pada gilirannya, akan menyatu dalam lingkaran radius R dengan pusat di z 0 . Selain itu, dalam lingkaran tertutup mana pun, deret pangkat bertemu secara mutlak dan seragam (pernyataan terakhir segera mengikuti dari uji Weierstrass (lihat kursus "Seri")).
Contoh .
Temukan lingkaran konvergensi dan periksa konvergensi di tt. z 1 dan z 2 seri kekuatan Larutan.
daerah konvergensi - radius lingkaran R= 2 dengan pusat di t. z 0 = 1 − 2saya
. z 1 terletak di luar lingkaran konvergensi dan deret divergen. Pada , yaitu titik tersebut terletak pada batas lingkaran konvergensi. Menggantinya ke seri aslinya, kami menyimpulkan:
− deret tersebut konvergen secara kondisional menurut kriteria Leibniz.
Jika pada semua titik batas deret konvergen secara mutlak atau menyimpang sesuai dengan kriteria yang diperlukan, maka hal ini dapat segera ditetapkan untuk seluruh batas. Untuk melakukan ini, gantikan berturut-turut
dari modul nilai istilah R alih-alih ekspresi dan periksa seri yang dihasilkan.
Contoh. Pertimbangkan rangkaian dari contoh terakhir, ubah satu faktor:
Wilayah konvergensi deret tetap sama: Pengganti dalam serangkaian modul
radius konvergensi yang dihasilkan:
Jika kita menyatakan jumlah deret dengan f(z), yaitu f(z) = (tentu saja, di
daerah konvergensi), maka deret ini disebut dekat taylor fungsi f(z) atau perluasan fungsi f(z) dalam deret Taylor. Dalam kasus tertentu, untuk z 0 = 0, deret tersebut disebut dekat Maclaurin fungsi f(z) .
1.7 Definisi fungsi dasar dasar. rumus Euler.
Pertimbangkan seri kekuatan Jika z adalah variabel nyata, maka itu mewakili
adalah perluasan fungsi deret Maclaurin dan, oleh karena itu, memenuhi
sifat karakteristik dari fungsi eksponensial: , yaitu. . Ini adalah dasar untuk menentukan Fungsi eksponensial di area kompleks:
Definisi 1. .
Fungsi didefinisikan dengan cara yang sama
Definisi 2.
Ketiga seri bertemu secara mutlak dan seragam di setiap wilayah tertutup yang dibatasi dari bidang kompleks.
Dari ketiga rumus yang diperoleh, diperoleh substitusi sederhana rumus Euler:
Dari sini segera menyusul demonstrasi notasi bilangan kompleks:
Rumus Euler menetapkan hubungan antara trigonometri biasa dan hiperbolik.
Pertimbangkan, misalnya, fungsi: Sisa hubungan diperoleh dengan cara yang sama. Jadi:
Contoh. Sajikan ekspresi ini dalam bentuk
2. (ekspresi dalam tanda kurung adalah angka saya
, ditulis dalam bentuk eksponensial)
4. Temukan solusi independen linier dari DE linier orde ke-2:
Akar persamaan karakteristik adalah:
Karena kita mencari solusi nyata dari persamaan tersebut, kita dapat mengambil fungsinya
Mari kita definisikan, sebagai kesimpulan, fungsi logaritmik dari variabel kompleks. Seperti dalam domain nyata, kami akan menganggapnya terbalik dengan domain eksponensial. Untuk kesederhanaan, kami hanya mempertimbangkan fungsi eksponensial, yaitu selesaikan persamaan untuk w, yang kita sebut fungsi logaritmik. Untuk melakukan ini, kami mengambil logaritma dari persamaan, menyajikan z dalam bentuk eksponensial:
Jika alih-alih arg z tulis Arg z(1.2), maka kita memperoleh fungsi bernilai tak terhingga
1.8 Turunan FKP. Fungsi analitik. kondisi Cauchy–Riemann.
Membiarkan w = f(z) adalah fungsi bernilai tunggal yang didefinisikan dalam domain .
Definisi 1. turunan dari fungsi f (z) pada intinya disebut batas rasio kenaikan fungsi dengan kenaikan argumen, ketika yang terakhir cenderung nol:
Fungsi yang memiliki turunan di suatu titik z, disebut dapat dibedakan pada saat ini.
Jelas, semua sifat aritmatika turunan terpenuhi.
Contoh .
Menggunakan rumus binomial Newton, juga disimpulkan bahwa
Deret eksponen, sinus, dan kosinus memenuhi semua syarat untuk diferensiasi suku demi suku. Dengan verifikasi langsung, mudah diperoleh bahwa:
Komentar. Meskipun definisi turunan FKP secara formal sama persis dengan definisi FDP, namun pada dasarnya lebih rumit (lihat keterangan di Bagian 1.5).
Definisi 2. Fungsi f(z) , dapat dibedakan secara terus-menerus di semua titik domain G, disebut analitis atau reguler di wilayah ini.
Teorema 1 . Jika fungsi f (z) terdiferensiasi di semua titik domain G, maka analitik di daerah ini. (b/d)
Komentar. Bahkan, teorema ini menetapkan kesetaraan keteraturan dan diferensiabilitas FKP pada domain.
Teorema 2. Suatu fungsi yang dapat dibedakan dalam beberapa domain memiliki banyak turunan tak terhingga dalam domain tersebut. (b/d. Di bawah (dalam Bagian 2.4) pernyataan ini akan dibuktikan dengan asumsi tambahan tertentu)
Kami mewakili fungsi sebagai jumlah dari bagian nyata dan imajiner: Teorema 3. ( Cauchy − kondisi Riemann). Biar fungsi f (z) dapat dibedakan di beberapa titik . Kemudian fungsi kamu(x,y) dan ay(x,y) memiliki turunan parsial pada titik ini, dan
Dan menelepon kondisi Cauchy–Riemann .
Bukti . Karena nilai turunan tidak bergantung pada kecenderungan kuantitas
Ke nol, kami memilih jalur berikut: Kami mendapatkan:
Begitu pula ketika kita punya:
, yang membuktikan teorema.
Kebalikannya juga benar:
Teorema 4. Jika fungsi kamu (x,y) dan ay(x,y) memiliki turunan parsial kontinu di beberapa titik yang memenuhi kondisi Cauchy–Riemann, maka fungsi itu sendiri f(z) dapat dibedakan pada titik ini. (b/d)
Teorema 1 – 4 menunjukkan perbedaan mendasar antara FKP dan FDP.
Teorema 3 memungkinkan Anda menghitung turunan dari suatu fungsi menggunakan salah satu rumus berikut:
Pada saat yang sama, seseorang dapat mempertimbangkan X dan pada bilangan kompleks sembarang dan hitung turunannya menggunakan rumus:
Contoh. Periksa fungsi untuk keteraturan. Jika fungsinya beraturan, hitung turunannya.
Definisi: Deret bilangan bilangan kompleks z 1, z 2, …, z n , … disebut ekspresi bentuk
z 1 + z 2 + …, z n + … = ,(3.1)
di mana z n disebut suku umum dari deret tersebut.
Definisi: Nomor S n \u003d z 1 + z 2 + ..., z n disebut jumlah parsial dari deret tersebut.
Definisi: Deret (1) disebut konvergen jika barisan (S n ) dari jumlah parsialnya konvergen. Jika barisan penjumlahan parsial divergen, maka deret tersebut disebut divergen.
Jika deret konvergen, maka bilangan S = disebut jumlah deret (3.1).
z n = x n + iy n,
maka deret (1) ditulis sebagai
= + .
Dalil: Deret (1) konvergen jika dan hanya jika deret dan , yang terdiri dari bagian riil dan imajiner dari suku deret (3.1), konvergen.
Teorema ini memungkinkan kita untuk mentransfer kriteria konvergensi di samping suku riil ke deret dengan suku kompleks (kriteria yang diperlukan, kriteria perbandingan, kriteria d'Alembert, kriteria Cauchy, dll.).
Definisi. Deret (1) disebut konvergen mutlak jika deret yang terdiri dari modul-modul anggotanya konvergen.
Dalil. Untuk konvergensi mutlak deret (3.1), perlu dan cukup bahwa deret dan konvergen mutlak.
Contoh 3.1. Cari tahu sifat konvergensi deret tersebut
Larutan.
Pertimbangkan serinya
Mari kita tunjukkan bahwa deret ini benar-benar konvergen. Untuk melakukan ini, kami membuktikan seri itu
Bertemu.
Sejak , alih-alih baris, kami mengambil baris. Jika deret terakhir konvergen, maka deret juga konvergen dengan perbandingan.
Konvergensi deret dan dibuktikan dengan bantuan uji integral.
Ini berarti bahwa deret dan konvergen mutlak dan, menurut teorema terakhir, deret awal konvergen mutlak.
4. Deret pangkat dengan suku-suku kompleks. Teorema deret pangkat Abel. Lingkaran dan radius konvergensi.
Definisi. Deret pangkat adalah deret bentuk
di mana …, adalah bilangan kompleks, yang disebut koefisien deret.
Daerah konvergensi deret (4.I) adalah lingkaran .
Untuk menemukan jari-jari konvergensi R dari deret tertentu yang mengandung semua kekuatan, salah satu rumus digunakan:
Jika deret (4.1) tidak memuat semua pangkat , maka untuk menemukannya harus langsung menggunakan uji d'Alembert atau Cauchy.
Contoh 4.1. Temukan lingkaran konvergensi dari deret:
Larutan:
a) Untuk mencari jari-jari konvergensi deret ini, kita menggunakan rumus
Dalam kasus kami
Oleh karena itu, lingkaran kekonvergenan deret tersebut diberikan oleh pertidaksamaan
b) Untuk mencari jari-jari kekonvergenan deret tersebut, kita menggunakan kriteria d'Alembert.
Untuk menghitung limit, aturan L'Hopital digunakan dua kali.
Menurut uji d'Alembert, deret akan konvergen jika . Oleh karena itu kami memiliki lingkaran konvergensi seri .
5. Fungsi eksponensial dan trigonometri dari variabel kompleks.
6. Teorema Euler. rumus Euler. Bentuk eksponensial dari bilangan kompleks.
7. Teorema penjumlahan. Periodisitas fungsi eksponensial.
Fungsi eksponensial dan fungsi trigonometri dan didefinisikan sebagai jumlah dari deret pangkat yang bersesuaian, yaitu:
Fungsi-fungsi ini terkait dengan rumus Euler:
disebut, masing-masing, cosinus dan sinus hiperbolik, terkait dengan cosinus dan sinus trigonometri dengan rumus
Fungsi , , , didefinisikan seperti pada analisis sebenarnya.
Untuk bilangan kompleks apa pun dan teorema penjumlahan berlaku:
Setiap bilangan kompleks dapat ditulis dalam bentuk eksponensial:
adalah argumennya.
Contoh 5.1. Menemukan
Larutan.
Contoh 5.2. Nyatakan bilangan dalam bentuk eksponensial.
Larutan.
Temukan modulus dan argumen dari nomor ini:
Lalu kita dapatkan
8. Batas, kontinuitas, dan kontinuitas seragam fungsi dari variabel kompleks.
Membiarkan e adalah beberapa himpunan titik di bidang kompleks.
Definisi. Mereka mengatakan itu di lokasi syuting e fungsi diberikan f variabel kompleks z, jika setiap titik z E sesuai aturan f satu atau lebih bilangan kompleks ditugaskan w(dalam kasus pertama, fungsinya disebut bernilai tunggal, dalam kasus kedua - bernilai banyak). Menunjukkan w = f(z). e adalah domain dari definisi fungsi.
fungsi apapun w = f(z) (z = x + iy) dapat ditulis dalam bentuk
f(z) = f(x + iy) = U(x, y) + iV(x, y).
U(x, y) = R f(z) disebut bagian nyata dari fungsi, dan V(x, y) = Imf(z) adalah bagian imajiner dari fungsi f(z).
Definisi. Biar fungsi w = f(z) didefinisikan dan unik di beberapa lingkungan titik z 0 , mengecualikan, mungkin, intinya z0. Angka A disebut limit fungsi f(z) pada intinya z0, jika untuk apapun ε > 0, seseorang dapat menentukan angka δ > 0 sehingga untuk semua z = z0 dan memenuhi ketidaksetaraan |z – z 0 |< δ , pertidaksamaan | f(z) – A|< ε.
tuliskan
Ini mengikuti dari definisi itu z→z0 secara sewenang-wenang.
Dalil. Untuk keberadaan batas fungsi w = f(z) pada intinya z 0 = x 0 + iy 0 itu perlu dan cukup bahwa batas-batas fungsi U(x, y) dan V(x, y) pada intinya (x0, y0).
Definisi. Biar fungsi w = f(z) didefinisikan dan unik di beberapa lingkungan titik z 0 , termasuk titik ini sendiri. Fungsi f(z) disebut kontinu di titik z 0 jika
Dalil. Untuk kekontinuan suatu fungsi di suatu titik z 0 = x 0 + iy 0 itu perlu dan cukup bahwa fungsi U(x, y) dan V(x, y) pada intinya (x0, y0).
Ini mengikuti dari teorema bahwa sifat paling sederhana yang terkait dengan limit dan kekontinuan fungsi variabel riil dialihkan ke fungsi variabel kompleks.
Contoh 7.1. Pisahkan bagian nyata dan imajiner dari fungsi tersebut.
Larutan.
Dalam rumus yang mendefinisikan fungsi, kami menggantinya
Untuk nol dalam dua arah yang berbeda, fungsi U(x, y) memiliki batasan yang berbeda. Artinya pada intinya z = 0 fungsi f(z) tidak memiliki batas. Selanjutnya, fungsi f(z) didefinisikan pada titik-titik di mana .
Membiarkan z 0 = x 0 + iy 0, salah satu poin ini.
Ini berarti bahwa pada poin z = x + iy pada y 0 fungsinya kontinu.
9. Urutan dan deret fungsi variabel kompleks. konvergensi seragam. Kontinuitas deret daya.
Definisi deret konvergen dan deret fungsi konvergen dari variabel kompleks konvergensi seragam, sesuai dengan teori konvergensi yang sama, kontinuitas limit deret, penjumlahan deret dibentuk dan dibuktikan dengan cara yang persis sama adapun urutan dan rangkaian fungsi dari variabel nyata.
Mari kita sajikan fakta-fakta yang diperlukan untuk hal-hal berikut tentang deret fungsional.
Biarkan di daerah D urutan fungsi bernilai tunggal dari variabel kompleks (fn (z)) didefinisikan. Kemudian simbol:
ditelepon rentang fungsional.
Jika sebuah z0 milik D tetap, maka seri (1) akan numerik.
Definisi. Rentang fungsional (1) disebut konvergen di daerah tersebut D, jika untuk apapun z dimiliki D, deret bilangan yang bersesuaian dengannya konvergen.
Jika baris (1) konvergen di wilayah tersebut D, maka di wilayah ini seseorang dapat mendefinisikan fungsi bernilai tunggal f(z), yang nilainya pada setiap titik z dimiliki D sama dengan jumlah deret bilangan yang bersesuaian. Fungsi ini disebut jumlah dari seri (1) di daerah D .
Definisi. Jika sebuah
untuk siapa pun z dimiliki D, pertidaksamaan berikut berlaku:
kemudian seri (1) disebut konvergen seragam di daerah tersebut D.
Seri dengan istilah kompleks.
19.3.1. Deret numerik dengan suku-suku kompleks. Semua definisi dasar konvergensi, sifat-sifat deret konvergen, kriteria konvergensi untuk deret kompleks sama sekali tidak berbeda dari kasus sebenarnya.
19.3.1.1. Definisi dasar. Biarkan urutan bilangan kompleks yang tak terbatas diberikan. Bagian nyata dari angka tersebut akan dilambangkan dengan , imajiner - (yaitu .
Seri nomor- melihat catatan .
Jumlah sebagian dari suatu deret:
Definisi. Jika ada batas S barisan jumlah parsial deret dengan , yang merupakan bilangan kompleks sejati, maka deret tersebut dikatakan konvergen; nomor S disebut jumlah dari seri dan menulis atau .
Temukan bagian nyata dan imajiner dari jumlah parsial: , di mana simbol dan menunjukkan bagian nyata dan imajiner dari jumlah parsial. Suatu barisan numerik konvergen jika dan hanya jika barisan yang terdiri dari bagian real dan imajinernya konvergen. Jadi, suatu deret dengan suku-suku kompleks konvergen jika dan hanya jika deret yang dibentuk oleh bagian real dan imajinernya konvergen.
Contoh.
19.3.1.2. Konvergensi absolut.
Definisi. Baris disebut benar-benar konvergen jika deret konvergen , terdiri dari nilai-nilai absolut anggotanya.
Seperti halnya untuk deret riil numerik dengan suku sembarang, dapat dibuktikan bahwa jika deret tersebut konvergen, maka deret tersebut pasti konvergen. Jika deret tersebut konvergen dan deret tersebut divergen, maka deret tersebut dikatakan konvergen bersyarat.
Deret adalah deret dengan anggota non-negatif, oleh karena itu, untuk mempelajari konvergensinya, semua fitur yang diketahui dapat digunakan (dari teorema perbandingan hingga uji integral Cauchy).
Contoh. Selidiki seri untuk konvergensi.
Mari kita buat rangkaian modul (): . Deret ini konvergen (tes Cauchy ), sehingga deret aslinya benar-benar konvergen.
19.1.3.4. Sifat-sifat deret konvergen. Untuk deret konvergen dengan suku kompleks, semua sifat deret dengan suku real adalah benar:
Kriteria yang diperlukan untuk konvergensi suatu deret. Suku umum deret konvergen cenderung nol sebagai.
Jika deret tersebut konvergen, maka salah satu sisanya konvergen. Sebaliknya, jika ada deret lainnya yang konvergen, maka deret itu sendiri konvergen.
Jika deret tersebut konvergen, maka jumlah sisa setelahnyan suku -th cenderung nol pada.
Jika semua suku deret konvergen dikalikan dengan bilangan yang sama Dengan, maka konvergensi deret tersebut dipertahankan, dan jumlahnya dikalikan dengan Dengan.
Baris konvergen ( TETAPI) dan ( PADA) dapat ditambahkan dan dikurangi suku demi suku; deret yang dihasilkan juga akan konvergen, dan jumlahnya sama dengan.
Jika suku-suku dari deret konvergen dikelompokkan secara acak dan sebuah deret baru dibuat dari jumlah suku-suku dalam setiap pasangan tanda kurung, maka deret baru ini juga akan konvergen, dan jumlahnya akan sama dengan jumlah deret awal. .
Jika suatu deret konvergen secara mutlak, maka untuk setiap permutasi suku-sukunya, konvergensi dipertahankan dan jumlahnya tidak berubah.
Jika baris ( TETAPI) dan ( PADA) benar-benar menyatu dengan jumlah merekadan, maka hasil kali mereka untuk urutan suku-suku yang arbitrer juga konvergen secara mutlak, dan jumlahnya sama dengan.
19.3.2. Seri kompleks kekuatan.
Definisi. Deret pangkat dengan suku kompleks adalah deret bentuk
dimana adalah bilangan kompleks konstan (koefisien deret), adalah bilangan kompleks tetap (pusat lingkaran konvergensi). Untuk nilai numerik apa pun z deret berubah menjadi deret numerik dengan suku-suku kompleks, konvergen atau divergen. Jika deret tersebut konvergen di suatu titik z , maka titik ini disebut titik konvergensi deret tersebut. Deret pangkat setidaknya memiliki satu titik konvergensi - titik . Himpunan titik konvergensi disebut daerah konvergensi deret tersebut.
Adapun deret pangkat dengan suku real, semua informasi bermakna tentang deret pangkat terdapat dalam teorema Abel.
teorema Habel. Jika deret pangkat konvergen pada titik , maka
1. itu benar-benar konvergen di setiap titik pada lingkaran ;
2. Jika deret ini divergen di , maka deret ini divergen di sembarang titik z
, memenuhi pertidaksamaan (yaitu, terletak lebih jauh dari titik daripada ).
Buktinya mengulangi bukti bagian itu secara verbatim 18.2.4.2. teorema Habel untuk seri dengan anggota asli.
Teorema Abel mengimplikasikan adanya bilangan riil non-negatif semacam itu R , bahwa deret tersebut benar-benar konvergen di setiap titik interior lingkaran berjari-jari R berpusat pada , dan menyimpang pada setiap titik di luar lingkaran ini. Nomor R ditelepon radius konvergensi, sebuah lingkaran - lingkaran konvergensi. Di titik-titik batas lingkaran ini - lingkaran dengan jari-jari R berpusat pada satu titik - deret dapat bertemu dan menyimpang. Pada titik-titik ini, rangkaian modul berbentuk . Kasus-kasus berikut dimungkinkan:
1. Deret konvergen. Dalam hal ini, deret tersebut benar-benar konvergen di titik mana pun di lingkaran.
2. Deretnya berbeda, tetapi istilahnya umum . Dalam hal ini, deret dapat secara kondisional bertemu di beberapa titik lingkaran, dan menyimpang di titik lain, mis. setiap poin membutuhkan studi individu.
3. Deret divergen, dan suku umumnya tidak cenderung nol pada . Dalam hal ini, deret berdivergensi di sembarang titik lingkaran batas.