Manakah dari pasangan garis pada bidang yang sejajar. Garis paralel di bidang dan di ruang angkasa. Perlindungan informasi pribadi
Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.
Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi
Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.
Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda setiap saat ketika Anda menghubungi kami.
Berikut adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan informasi tersebut.
Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:
- Saat Anda mengirimkan aplikasi di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.
Bagaimana kami menggunakan informasi pribadi Anda:
- Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
- Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan pesan penting kepada Anda.
- Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian untuk meningkatkan layanan yang kami sediakan dan memberi Anda rekomendasi terkait layanan kami.
- Jika Anda mengikuti undian berhadiah, kontes, atau insentif serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.
Pengungkapan kepada pihak ketiga
Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.
Pengecualian:
- Jika diperlukan - sesuai dengan undang-undang, perintah pengadilan, dalam proses hukum, dan / atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari badan negara di wilayah Federasi Rusia - ungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menentukan bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk alasan keamanan, penegakan hukum, atau kepentingan publik lainnya.
- Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan ke penerus pihak ketiga terkait.
Perlindungan informasi pribadi
Kami mengambil tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pengungkapan, pengubahan, dan penghancuran yang tidak sah.
Menjaga privasi Anda di tingkat perusahaan
Untuk memastikan bahwa informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan praktik privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi dengan ketat.
Dalam sebuah bidang, garis disebut sejajar jika tidak memiliki titik persekutuan, artinya tidak berpotongan. Untuk menunjukkan paralelisme gunakan ikon khusus || (garis paralel a || b).
Untuk garis yang terletak di ruang angkasa, persyaratan bahwa tidak ada titik yang sama tidak cukup - agar sejajar dalam ruang, garis tersebut harus berada pada bidang yang sama (jika tidak, garis tersebut akan miring).
Tidak perlu jauh-jauh untuk contoh garis sejajar, mereka menemani kita kemana-mana, di dalam ruangan itu adalah garis persimpangan dinding dengan langit-langit dan lantai, di lembar buku catatan ada tepi yang berlawanan, dll.
Sangat jelas bahwa, dengan memiliki dua garis sejajar dan garis ketiga sejajar dengan salah satu dari dua garis pertama, garis tersebut akan sejajar dengan garis kedua.
Garis sejajar pada bidang dihubungkan dengan pernyataan yang tidak dapat dibuktikan dengan menggunakan aksioma planimetri. Itu diterima sebagai fakta, sebagai aksioma: untuk setiap titik pada bidang yang tidak terletak pada garis lurus, ada satu garis lurus yang melewatinya sejajar dengan garis yang diberikan. Setiap siswa kelas enam mengetahui aksioma ini.
Generalisasi spasialnya, yaitu pernyataan bahwa untuk setiap titik dalam ruang yang tidak terletak pada garis, ada garis unik yang melewatinya sejajar dengan yang diberikan, mudah dibuktikan dengan menggunakan aksioma paralelisme yang sudah dikenal di pesawat terbang.
Sifat-sifat garis sejajar
- Jika salah satu dari dua garis sejajar sejajar dengan garis ketiga, maka keduanya saling sejajar.
Garis paralel memiliki sifat ini baik di bidang maupun di ruang angkasa.
Sebagai contoh, pertimbangkan pembenarannya dalam stereometri.
Misalkan garis b sejajar dengan garis a.
Kasus ketika semua garis terletak pada bidang yang sama akan diserahkan kepada planimetri.
Misalkan a dan b milik bidang betta, dan gamma adalah bidang tempat a dan c berada (menurut definisi paralelisme dalam ruang, garis harus dimiliki oleh bidang yang sama).
Jika kita mengasumsikan bahwa bidang betta dan gamma berbeda dan menandai titik B tertentu pada garis b dari bidang betta, maka bidang yang ditarik melalui titik B dan garis c harus memotong bidang betta dalam garis lurus (kami menunjukkan itu b1).
Jika garis yang dihasilkan b1 memotong bidang gamma, maka, di satu sisi, titik persimpangan harus terletak pada a, karena b1 milik bidang betta, dan di sisi lain, itu juga harus milik c, karena b1 milik pesawat ketiga.
Tetapi garis sejajar a dan c tidak boleh berpotongan.
Jadi, garis b1 harus termasuk dalam bidang cupang dan, pada saat yang sama, tidak memiliki titik persekutuan dengan a, oleh karena itu, menurut aksioma paralelisme, garis itu bertepatan dengan b.
Kami telah memperoleh garis b1 yang bertepatan dengan garis b, yang termasuk dalam bidang yang sama dengan garis c dan tidak memotongnya, yaitu b dan c sejajar
- Melalui suatu titik yang tidak terletak pada garis tertentu yang sejajar dengan garis tertentu, hanya satu garis yang dapat lewat.
- Dua garis lurus yang terletak pada bidang yang tegak lurus dengan garis ketiga adalah sejajar.
- Jika salah satu dari dua garis sejajar memotong bidang, garis kedua memotong bidang yang sama.
- Sudut dalam yang bersesuaian dan bersilangan yang dibentuk oleh perpotongan dua garis paralel dari garis ketiga adalah sama, jumlah sudut dalam satu sisi yang terbentuk dalam kasus ini adalah 180 °.
Pernyataan kebalikannya juga benar, yang dapat dianggap sebagai tanda paralelisme dua garis lurus.
Kondisi garis sejajar
Sifat-sifat dan tanda-tanda yang dirumuskan di atas merupakan syarat-syarat kesejajaran garis-garis, dan dapat dibuktikan dengan metode-metode geometri. Dengan kata lain, untuk membuktikan kesejajaran dua garis yang tersedia, cukup dibuktikan kesejajarannya dengan garis ketiga atau persamaan sudut, apakah bersesuaian atau berseberangan, dan seterusnya.
Sebagai buktinya, mereka terutama menggunakan metode "dengan kontradiksi", yaitu dengan asumsi bahwa garis-garisnya tidak sejajar. Berdasarkan asumsi ini, dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa dalam kasus ini kondisi yang diberikan dilanggar, misalnya sudut dalam yang bersilangan berubah menjadi tidak sama, yang membuktikan ketidaktepatan asumsi yang dibuat.
Tanda-tanda paralelisme dua garis
Teorema 1. Jika di persimpangan dua garis potong:
sudut berbaring diagonal sama, atau
sudut yang bersesuaian sama besar, atau
jumlah sudut satu sisi adalah 180°, maka
garis-garisnya sejajar(Gbr. 1).
Bukti. Kami membatasi diri pada bukti kasus 1.
Misalkan pada persimpangan garis a dan b dengan garis potong AB melintasi sudut berbaring adalah sama. Misalnya, ∠ 4 = ∠ 6. Mari kita buktikan bahwa a || b.
Asumsikan garis a dan b tidak sejajar. Kemudian mereka berpotongan di beberapa titik M dan, akibatnya, salah satu sudut 4 atau 6 akan menjadi sudut luar segitiga ABM. Misalkan, untuk kepastian, ∠ 4 adalah sudut luar segitiga ABM, dan ∠ 6 adalah sudut dalam. Ini mengikuti dari teorema pada sudut luar segitiga bahwa ∠ 4 lebih besar dari ∠ 6, dan ini bertentangan dengan kondisi tersebut, yang berarti bahwa garis a dan 6 tidak dapat berpotongan, oleh karena itu keduanya sejajar.
Akibat wajar 1. Dua garis berbeda dalam bidang yang tegak lurus dengan garis yang sama adalah sejajar(Gbr. 2).
Komentar. Cara kita membuktikan kasus 1 dari Teorema 1 disebut metode pembuktian dengan kontradiksi atau reduksi menjadi absurditas. Metode ini mendapat nama depannya karena pada awal penalaran dibuat asumsi yang berlawanan (berlawanan) dengan apa yang perlu dibuktikan. Ini disebut reduksi menjadi absurditas karena dengan berdebat berdasarkan asumsi yang dibuat, kita sampai pada kesimpulan yang absurd (absurditas). Menerima kesimpulan seperti itu memaksa kita untuk menolak asumsi yang dibuat di awal dan menerima asumsi yang harus dibuktikan.
Tugas 1. Buatlah garis yang melewati titik tertentu M dan sejajar dengan garis tertentu a, tidak melalui titik M.
Larutan. Kami menggambar garis p melalui titik M tegak lurus dengan garis a (Gbr. 3).
Kemudian kita tarik garis b melalui titik M tegak lurus garis p. Garis b sejajar dengan garis a menurut akibat wajar Teorema 1.
Kesimpulan penting berikut dari masalah yang dipertimbangkan:
Melalui suatu titik yang bukan pada garis tertentu, seseorang selalu dapat menggambar garis sejajar dengan garis yang diberikan..
Sifat utama garis sejajar adalah sebagai berikut.
Aksioma garis sejajar. Melalui titik tertentu bukan pada garis tertentu, hanya ada satu garis sejajar dengan garis yang diberikan.
Perhatikan beberapa sifat garis sejajar yang mengikuti aksioma ini.
1) Jika sebuah garis memotong salah satu dari dua garis sejajar, maka garis itu memotong garis lainnya (Gbr. 4).
2) Jika dua garis berbeda sejajar dengan garis ketiga, maka keduanya sejajar (Gbr. 5).
Teorema berikut juga benar.
Teorema 2. Jika dua garis sejajar dipotong oleh sebuah garis potong, maka:
sudut berbaring sama;
sudut yang bersesuaian sama;
jumlah sudut satu sisinya adalah 180°.
Konsekuensi 2. Jika sebuah garis tegak lurus dengan salah satu dari dua garis sejajar, maka garis itu juga tegak lurus dengan garis lainnya.(lihat Gbr.2).
Komentar. Teorema 2 disebut invers dari Teorema 1. Kesimpulan dari Teorema 1 adalah kondisi dari Teorema 2. Dan kondisi dari Teorema 1 adalah kesimpulan dari Teorema 2. Tidak setiap teorema memiliki invers, yaitu jika suatu teorema benar, maka teorema invers mungkin salah.
Mari kita jelaskan dengan contoh teorema sudut vertikal. Teorema ini dapat dirumuskan sebagai berikut: jika dua sudut tegak lurus, maka keduanya sama. Teorema kebalikannya adalah sebagai berikut: jika dua sudut sama, maka keduanya vertikal. Dan ini, tentu saja, tidak benar. Dua sudut yang sama tidak harus vertikal sama sekali.
Contoh 1 Dua garis sejajar disilangkan dengan garis ketiga. Diketahui bahwa selisih antara dua sudut dalam satu sisi adalah 30°. Temukan sudut-sudut itu.
Larutan. Biarkan angka 6 memenuhi kondisi.
Pada artikel ini kita akan berbicara tentang garis paralel, memberikan definisi, menunjukkan tanda dan kondisi paralelisme. Untuk kejelasan materi teoretis, kami akan menggunakan ilustrasi dan solusi dari contoh-contoh tipikal.
Definisi 1Garis paralel di pesawat adalah dua garis lurus pada bidang yang tidak memiliki titik persekutuan.
Definisi 2
Garis paralel dalam ruang 3D- dua garis lurus dalam ruang tiga dimensi yang terletak pada bidang yang sama dan tidak memiliki titik persekutuan.
Perlu dicatat bahwa untuk menentukan garis sejajar dalam ruang, klarifikasi "berbaring pada bidang yang sama" sangatlah penting: dua garis dalam ruang tiga dimensi yang tidak memiliki titik yang sama dan tidak terletak pada bidang yang sama tidak sejajar, tetapi berpotongan.
Untuk menunjukkan garis sejajar, biasanya digunakan simbol ∥ . Artinya, jika garis a dan b yang diberikan sejajar, kondisi ini harus ditulis secara singkat sebagai berikut: a ‖ b . Secara verbal, kesejajaran garis ditunjukkan sebagai berikut: garis a dan b sejajar, atau garis a sejajar dengan garis b, atau garis b sejajar dengan garis a.
Mari kita merumuskan pernyataan yang memainkan peran penting dalam topik yang diteliti.
Aksioma
Melalui sebuah titik yang bukan milik garis tertentu, hanya ada satu garis yang sejajar dengan garis tersebut. Pernyataan ini tidak dapat dibuktikan berdasarkan aksioma planimetri yang diketahui.
Dalam kasus ruang, teorema itu benar:
Teorema 1
Melalui titik mana pun dalam ruang yang bukan milik garis tertentu, hanya akan ada satu garis yang sejajar dengan garis tertentu.
Teorema ini mudah dibuktikan berdasarkan aksioma di atas (program geometri untuk kelas 10-11).
Tanda paralelisme adalah kondisi yang cukup di mana garis paralel dijamin. Dengan kata lain, terpenuhinya syarat ini cukup untuk menegaskan fakta paralelisme.
Secara khusus, ada kondisi yang diperlukan dan cukup untuk paralelisme garis pada bidang dan ruang. Mari kita jelaskan: perlu berarti kondisi yang pemenuhannya diperlukan untuk garis paralel; jika tidak puas, garisnya tidak sejajar.
Meringkas, syarat perlu dan cukup untuk paralelisme garis adalah kondisi seperti itu, yang kepatuhannya perlu dan cukup agar garis sejajar satu sama lain. Di satu sisi, ini adalah tanda paralelisme, di sisi lain, properti yang melekat pada garis paralel.
Sebelum memberikan rumusan yang tepat tentang syarat perlu dan cukup, kami mengingat beberapa konsep tambahan lagi.
Definisi 3
garis potong adalah garis yang memotong masing-masing dari dua garis yang diberikan tidak bertepatan.
Memotong dua garis lurus, garis potong membentuk delapan sudut yang tidak diperluas. Untuk merumuskan kondisi yang diperlukan dan cukup, kami akan menggunakan jenis sudut seperti berbaring silang, bersesuaian, dan satu sisi. Mari kita tunjukkan dalam ilustrasi:
Teorema 2
Jika dua garis pada bidang memotong garis potong, maka agar garis-garis ini sejajar, perlu dan cukup bahwa sudut letak melintang harus sama, atau sudut yang sesuai sama, atau jumlah sudut satu sisi sama dengan 180 derajat.
Mari kita gambarkan secara grafis kondisi perlu dan cukup untuk garis sejajar pada bidang:
Bukti dari kondisi ini terdapat dalam program geometri untuk kelas 7-9.
Secara umum, kondisi ini juga berlaku untuk ruang tiga dimensi, asalkan dua garis dan garis potong berada pada bidang yang sama.
Mari kita tunjukkan beberapa teorema lagi yang sering digunakan untuk membuktikan fakta bahwa garis-garis itu sejajar.
Teorema 3
Dalam sebuah bidang, dua garis yang sejajar dengan garis ketiga sejajar satu sama lain. Fitur ini dibuktikan berdasarkan aksioma paralelisme yang disebutkan di atas.
Teorema 4
Dalam ruang tiga dimensi, dua garis yang sejajar dengan yang ketiga sejajar satu sama lain.
Pembuktian atribut dipelajari dalam program geometri kelas 10.
Kami memberikan ilustrasi teorema ini:
Mari kita tunjukkan satu pasang teorema lagi yang membuktikan paralelisme garis.
Teorema 5
Dalam sebuah bidang, dua garis yang tegak lurus dengan garis ketiga sejajar satu sama lain.
Mari kita rumuskan yang serupa untuk ruang tiga dimensi.
Teorema 6
Dalam ruang tiga dimensi, dua garis yang tegak lurus dengan yang ketiga sejajar satu sama lain.
Mari kita ilustrasikan:
Semua teorema, tanda, dan kondisi di atas memungkinkan untuk dengan mudah membuktikan paralelisme garis dengan metode geometri. Artinya, untuk membuktikan paralelisme garis, seseorang dapat menunjukkan bahwa sudut yang bersesuaian adalah sama, atau menunjukkan fakta bahwa dua garis yang diberikan tegak lurus dengan garis ketiga, dan seterusnya. Tetapi kami mencatat bahwa seringkali lebih mudah menggunakan metode koordinat untuk membuktikan kesejajaran garis-garis pada bidang atau ruang tiga dimensi.
Paralelisme garis dalam sistem koordinat persegi panjang
Dalam sistem koordinat persegi panjang tertentu, garis lurus ditentukan oleh persamaan garis lurus pada bidang dari salah satu jenis yang mungkin. Demikian pula, garis lurus yang diberikan dalam sistem koordinat persegi panjang dalam ruang tiga dimensi sesuai dengan beberapa persamaan garis lurus dalam ruang.
Mari kita tulis syarat perlu dan cukup untuk kesejajaran garis dalam sistem koordinat persegi panjang, bergantung pada jenis persamaan yang menjelaskan garis yang diberikan.
Mari kita mulai dengan kondisi garis sejajar pada bidang. Ini didasarkan pada definisi vektor arah garis dan vektor normal garis pada bidang.
Teorema 7
Agar dua garis yang tidak bertepatan menjadi paralel pada sebuah bidang, perlu dan cukup bahwa vektor arah dari garis yang diberikan adalah collinear, atau vektor normal dari garis yang diberikan adalah collinear, atau vektor arah dari satu garis tegak lurus terhadap vektor normal garis lainnya.
Menjadi jelas bahwa kondisi garis sejajar pada bidang didasarkan pada kondisi vektor collinear atau kondisi tegak lurus dua vektor. Artinya, jika a → = (a x , a y) dan b → = (b x , b y) adalah vektor arah dari garis a dan b ;
dan n b → = (n b x , n b y) adalah vektor normal dari garis a dan b , maka syarat perlu dan cukup di atas kita tulis sebagai berikut: a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y atau n a → = t n b → ⇔ n a x = t n b x n a y = t n b y atau a → , n b → = 0 ⇔ a x n b x + a y n b y = 0 , di mana t adalah bilangan real. Koordinat vektor pengarah atau langsung ditentukan oleh persamaan garis yang diberikan. Mari pertimbangkan contoh utamanya.
- Garis a dalam sistem koordinat persegi panjang ditentukan oleh persamaan garis umum: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; garis b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Maka vektor normal dari garis yang diberikan akan memiliki koordinat (A 1 , B 1) dan (A 2 , B 2) masing-masing. Kami menulis kondisi paralelisme sebagai berikut:
A 1 = t A 2 B 1 = t B 2
- Garis lurus a dijelaskan oleh persamaan garis lurus dengan kemiringan berbentuk y = k 1 x + b 1 . Garis lurus b - y \u003d k 2 x + b 2. Kemudian vektor normal dari garis yang diberikan masing-masing akan memiliki koordinat (k 1 , - 1) dan (k 2 , - 1), dan kami menulis kondisi paralelisme sebagai berikut:
k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2
Jadi, jika garis sejajar pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang diberikan persamaan dengan koefisien kemiringan, maka koefisien kemiringan garis yang diberikan akan sama. Dan pernyataan kebalikannya benar: jika garis yang tidak bertepatan pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang ditentukan oleh persamaan garis dengan koefisien kemiringan yang sama, maka garis yang diberikan ini sejajar.
- Garis a dan b dalam sistem koordinat persegi panjang diberikan oleh persamaan kanonik garis pada bidang: x - x 1 a x = y - y 1 a y dan x - x 2 b x = y - y 2 b y atau persamaan parametrik garis pada bidang: x = x 1 + λ a x y = y 1 + λ a y dan x = x 2 + λ b x y = y 2 + λ b y .
Maka vektor arah dari garis-garis yang diberikan adalah: a x , a y dan b x , b y berturut-turut, dan kita menulis kondisi paralelisme sebagai berikut:
a x = t b x a y = t by y
Mari kita lihat contohnya.
Contoh 1
Diketahui dua baris: 2 x - 3 y + 1 = 0 dan x 1 2 + y 5 = 1 . Anda perlu menentukan apakah mereka paralel.
Larutan
Kami menulis persamaan garis lurus dalam segmen dalam bentuk persamaan umum:
x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0
Kita lihat bahwa n a → = (2 , - 3) adalah vektor normal dari garis 2 x - 3 y + 1 = 0 , dan n b → = 2 , 1 5 adalah vektor normal dari garis x 1 2 + y 5 = 1 .
Vektor yang dihasilkan tidak kolinear, karena tidak ada nilai t yang persamaannya benar:
2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5
Dengan demikian, syarat paralelisme garis-garis pada bidang yang diperlukan dan cukup tidak terpenuhi, yang berarti bahwa garis-garis yang diberikan tidak sejajar.
Menjawab: garis yang diberikan tidak sejajar.
Contoh 2
Diketahui garis y = 2 x + 1 dan x 1 = y - 4 2 . Apakah mereka paralel?
Larutan
Mari kita ubah persamaan kanonik garis lurus x 1 \u003d y - 4 2 menjadi persamaan garis lurus dengan kemiringan:
x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4
Kita melihat bahwa persamaan garis y = 2 x + 1 dan y = 2 x + 4 tidak sama (jika sebaliknya, garisnya akan sama) dan kemiringan garisnya sama, yang berarti bahwa garis yang diberikan sejajar.
Mari kita coba selesaikan masalah secara berbeda. Pertama, kami memeriksa apakah garis yang diberikan bertepatan. Kami menggunakan titik mana pun dari garis y \u003d 2 x + 1, misalnya, (0, 1) , koordinat titik ini tidak sesuai dengan persamaan garis x 1 \u003d y - 4 2, artinya garis tidak bertepatan.
Langkah selanjutnya adalah menentukan pemenuhan syarat paralelisme untuk garis-garis yang diberikan.
Vektor normal garis y = 2 x + 1 adalah vektor n a → = (2 , - 1) , dan vektor arah garis kedua adalah b → = (1 , 2) . Produk skalar dari vektor ini adalah nol:
n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0
Jadi, vektor-vektornya tegak lurus: ini menunjukkan kepada kita terpenuhinya syarat perlu dan cukup agar garis-garis aslinya sejajar. Itu. garis yang diberikan sejajar.
Menjawab: garis-garis ini sejajar.
Untuk membuktikan kesejajaran garis-garis dalam sistem koordinat segi empat ruang tiga dimensi, digunakan syarat perlu dan cukup berikut.
Teorema 8
Agar dua garis yang tidak bertepatan dalam ruang tiga dimensi menjadi paralel, vektor arah dari garis-garis ini harus kolinear.
Itu. untuk persamaan garis tertentu dalam ruang tiga dimensi, jawaban atas pertanyaan: apakah sejajar atau tidak, ditemukan dengan menentukan koordinat vektor arah dari garis yang diberikan, serta memeriksa kondisi kolinearitasnya. Dengan kata lain, jika a → = (a x, a y, a z) dan b → = (b x, b y, b z) masing-masing adalah vektor arah dari garis a dan b, maka agar sejajar, keberadaan dari bilangan real t diperlukan, sehingga persamaan berlaku:
a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z
Contoh 3
Diberi garis x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 dan x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3-6 λ . Paralelisme garis-garis ini perlu dibuktikan.
Larutan
Syarat dari soal tersebut adalah persamaan kanonik dari satu garis lurus dalam ruang dan persamaan parametrik dari garis lurus lain dalam ruang. Vektor arah a → dan b → garis yang diberikan memiliki koordinat: (1 , 0 , - 3) dan (2 , 0 , - 6) .
1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t - 6 ⇔ t = 1 2 , lalu a → = 1 2 b → .
Oleh karena itu, syarat perlu dan cukup untuk garis sejajar dalam ruang terpenuhi.
Menjawab: kesejajaran garis-garis yang diberikan terbukti.
Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, sorot dan tekan Ctrl+Enter
Mereka tidak berpotongan, tidak peduli berapa lama mereka melanjutkan. Paralelisme garis dalam tulisan ditunjukkan sebagai berikut: AB|| DARIe
Kemungkinan adanya garis-garis tersebut dibuktikan dengan teorema.
Dalil.
Melalui titik mana pun yang diambil di luar garis tertentu, seseorang dapat menggambar paralel dengan garis ini..
Membiarkan AB baris ini dan DARI beberapa titik diambil di luar itu. Hal ini diperlukan untuk membuktikan bahwa DARI Anda dapat menggambar garis lurus paralelAB. Ayo mampir AB dari satu titik DARI tegak lurusDARID dan kemudian kita akan DARIe^ DARID, apa yang mungkin. Lurus CE paralel AB.
Sebagai buktinya, kami menganggap sebaliknya, yaitu bahwa CE berpotongan AB dalam beberapa kasus M. Kemudian dari intinya M ke garis lurus DARID kita akan memiliki dua garis tegak lurus yang berbeda MD dan NONA, yang tidak mungkin. Cara, CE tidak dapat bersinggungan dengan AB, yaitu DARIe paralel AB.
Konsekuensi.
Dua garis tegak lurus (CedanD.B.) menjadi satu garis lurus (CD) sejajar.
Aksioma garis sejajar.
Melalui titik yang sama tidak mungkin menarik dua garis berbeda sejajar dengan garis yang sama.
Jadi jika garis lurus DARID, ditarik melalui titik DARI sejajar dengan garis lurus AB, lalu baris lainnya DARIe melalui titik yang sama DARI, tidak boleh paralel AB, yaitu dia melanjutkan memotong Dengan AB.
Bukti dari kebenaran yang tidak terlalu jelas ini ternyata tidak mungkin. Itu diterima tanpa bukti sebagai asumsi yang diperlukan (postulatum).
Konsekuensi.
1. Jika lurus(DARIe) berpotongan dengan salah satu dari paralel(SW), lalu berpotongan dengan yang lain ( AB), karena jika tidak melalui titik yang sama DARI dua garis lurus berbeda, sejajar AB, yang tidak mungkin.
2. Jika masing-masing dari keduanya langsung (SEBUAHdanB) sejajar dengan garis ketiga yang sama ( DARI) , kemudian mereka paralel antara mereka sendiri.
Memang, jika kita menganggap itu SEBUAH dan B berpotongan di beberapa titik M, maka dua garis lurus berbeda, sejajar satu sama lain, akan melewati titik ini. DARI, yang tidak mungkin.
Dalil.
Jika sebuah garis lurus adalah tegak lurus ke salah satu garis sejajar, maka garis itu tegak lurus dengan yang lain paralel.
Membiarkan AB || DARID dan EF ^ AB.Hal ini diperlukan untuk membuktikan bahwa EF ^ DARID.
Tegak luruseF, berpotongan dengan AB, pasti akan berpotongan dan DARID. Biarkan titik persimpangan menjadi H.
Misalkan sekarang itu DARID tidak tegak lurus dengan EH. Kemudian beberapa baris lain, misalnya HK, akan tegak lurus terhadap EH dan karenanya melalui titik yang sama H dua paralel lurus AB: satu DARID, dengan kondisi, dan lainnya HK seperti yang dibuktikan sebelumnya. Karena ini tidak mungkin, tidak dapat diasumsikan demikian SW tidak tegak lurus dengan EH.