Konsep limit dan kontinuitas suatu fungsi. Batas dan kontinuitas. Kontinuitas suatu fungsi di suatu titik dan selang waktu
![Konsep limit dan kontinuitas suatu fungsi. Batas dan kontinuitas. Kontinuitas suatu fungsi di suatu titik dan selang waktu](https://i0.wp.com/mathprofi.ru/i/nepreryvnost_funkcii_i_tochki_razryva_clip_image004.jpg)
Kontinuitas fungsi. Titik istirahat.
Seekor banteng sedang berjalan, berayun, mendesah saat bepergian:
- Oh, papannya sudah berakhir, sekarang aku akan jatuh!
Dalam pelajaran ini, kita akan menganalisis konsep kekontinuan suatu fungsi, klasifikasi titik-titik diskontinuitas, dan masalah praktis umum investigasi fungsi untuk kontinuitas. Dari judul topiknya saja, banyak yang secara intuitif menebak apa yang akan dibahas, dan menganggap materinya cukup sederhana. Ini benar. Tetapi tugas-tugas sederhana itulah yang paling sering dihukum karena pengabaian dan pendekatan yang dangkal untuk menyelesaikannya. Oleh karena itu, saya menganjurkan agar Anda mempelajari artikel tersebut dengan cermat dan menangkap semua seluk-beluk dan tekniknya.
Apa yang perlu Anda ketahui dan mampu lakukan? Tidak banyak. Untuk pengalaman belajar yang baik, Anda perlu memahami apa batas fungsi. Bagi pembaca dengan tingkat persiapan yang rendah, cukup dengan memahami artikel tersebut Batasan fungsi. Contoh solusi dan lihat arti geometris dari batas dalam manual Grafik dan sifat-sifat fungsi dasar. Juga disarankan untuk membiasakan diri transformasi geometri grafik, karena praktik dalam banyak kasus melibatkan pembuatan gambar. Prospeknya optimis untuk semua orang, dan bahkan ketel penuh akan dapat mengatasi tugas itu sendiri dalam satu atau dua jam ke depan!
Kontinuitas fungsi. Breakpoints dan klasifikasinya
Konsep kontinuitas suatu fungsi
Pertimbangkan beberapa fungsi kontinu di seluruh baris nyata:
Atau, lebih singkatnya, fungsi kita kontinu pada (himpunan bilangan real).
Apa kriteria kontinuitas "filistin"? Jelas bahwa grafik fungsi kontinu dapat digambar tanpa mengangkat pensil dari kertas.
Dalam hal ini, dua konsep sederhana harus dibedakan dengan jelas: lingkup fungsi dan kontinuitas fungsi. Secara umum ini tidak sama. Sebagai contoh:
Fungsi ini didefinisikan pada seluruh garis bilangan, yaitu untuk setiap orang nilai "x" memiliki nilai "y" tersendiri. Secara khusus, jika , maka . Perhatikan bahwa titik lainnya ditinju keluar, karena menurut definisi fungsi, nilai argumen harus cocok satu-satunya nilai fungsi. Lewat sini, domain fitur kami: .
Namun fungsi ini tidak kontinu! Sangat jelas bahwa pada titik dia bertahan celah. Istilahnya juga cukup bisa dimengerti dan jelas, memang disini pensilnya toh harus disobek dari kertasnya. Beberapa saat kemudian, kami akan mempertimbangkan klasifikasi breakpoint.
Kontinuitas suatu fungsi di suatu titik dan selang waktu
Dalam masalah matematika tertentu, kita dapat berbicara tentang kekontinuan suatu fungsi pada suatu titik, kekontinuan suatu fungsi pada suatu interval, setengah interval, atau kekontinuan suatu fungsi pada suatu segmen. Itu adalah, tidak ada "kontinuitas yang adil"- fungsi dapat terus menerus DI MANA SAJA. Dan "batu bata" mendasar dari yang lainnya adalah kontinuitas fungsi pada intinya .
Teori analisis matematis mendefinisikan kesinambungan suatu fungsi pada suatu titik dengan bantuan lingkungan "delta" dan "epsilon", tetapi dalam praktiknya definisi lain sedang digunakan, yang akan kita perhatikan dengan cermat.
Mari kita ingat dulu batasan sepihak yang masuk ke dalam hidup kita pada pelajaran pertama tentang grafik fungsi. Pertimbangkan situasi sehari-hari:
Jika kita mendekati sepanjang sumbu ke titik kiri(panah merah), maka nilai yang sesuai dari "permainan" akan mengikuti sumbu ke titik (panah raspberry). Secara matematis, fakta ini diperbaiki menggunakan batas kiri:
Perhatikan entri (terbaca "x tend to ka from the left"). "Aditif" "minus nol" melambangkan , yang pada dasarnya berarti kita mendekati angka dari sisi kiri.
Demikian pula jika Anda mendekati titik "ka" di kanan(panah biru), maka "permainan" akan memiliki nilai yang sama , tetapi di sepanjang panah hijau, dan batas kanan akan diformat sebagai berikut:
"Suplemen" melambangkan , dan entri berbunyi seperti ini: "x cenderung ka dari kanan."
Jika batas satu sisi terbatas dan sama(seperti dalam kasus kami): , maka kami akan mengatakan bahwa ada batasan UMUM . Sederhana saja, batas total adalah "biasa" kami batas fungsi sama dengan angka terakhir.
Perhatikan bahwa jika fungsi tidak ditentukan di (melubangi titik hitam pada cabang grafik), maka perhitungan yang tercantum tetap valid. Seperti yang telah berulang kali dicatat, khususnya dalam artikel tersebut tentang fungsi yang sangat kecil, ekspresi berarti bahwa "x" sangat dekat mendekati titik , sementara TIDAK RELEVAN apakah fungsi itu sendiri terdefinisi pada titik tertentu atau tidak. Contoh yang baik akan ditemukan di bagian selanjutnya, ketika fungsi dianalisis.
Definisi: suatu fungsi kontinu di suatu titik jika limit fungsi di suatu titik sama dengan nilai fungsi di titik tersebut: .
Definisi tersebut dirinci dalam istilah-istilah berikut:
1) Fungsi harus didefinisikan pada titik , yaitu nilainya harus ada.
2) Harus ada limit umum dari fungsi . Seperti disebutkan di atas, ini menyiratkan keberadaan dan persamaan batas satu sisi: .
3) Limit fungsi di suatu titik harus sama dengan nilai fungsi di titik ini: .
Jika dilanggar setidaknya satu dari ketiga kondisi tersebut, maka fungsi tersebut kehilangan sifat kontinuitas di titik .
Kontinuitas suatu fungsi pada interval dirumuskan dengan cerdas dan sangat sederhana: suatu fungsi kontinu pada suatu interval jika fungsi tersebut kontinu di setiap titik dalam interval yang diberikan.
Secara khusus, banyak fungsi kontinu pada interval tak hingga, yaitu pada himpunan bilangan real. Ini adalah fungsi linier, polinomial, eksponen, sinus, cosinus, dll. Dan secara umum, apa saja fungsi dasar terus menerus pada nya domain, jadi, misalnya, fungsi logaritma kontinu pada interval . Saya harap sekarang Anda sudah memiliki gambaran yang bagus tentang seperti apa grafik fungsi utama itu. Informasi lebih rinci tentang kesinambungannya dapat diperoleh dari seorang pria baik hati bernama Fichtenholtz.
Dengan kesinambungan fungsi pada segmen dan setengah interval, semuanya juga sederhana, tetapi lebih tepat membicarakannya di pelajaran tentang menemukan nilai minimum dan maksimum suatu fungsi pada suatu segmen sampai saat itu, mari kita tundukkan kepala kita.
Klasifikasi titik istirahat
Kehidupan fungsi yang mempesona kaya akan segala macam poin khusus, dan poin terobosan hanyalah salah satu halaman biografi mereka.
Catatan : untuk berjaga-jaga, saya akan memikirkan momen dasar: titik puncaknya selalu titik tunggal- tidak ada "beberapa titik jeda berturut-turut", artinya, tidak ada yang namanya "interval jeda".
Poin-poin ini, pada gilirannya, dibagi menjadi dua kelompok besar: istirahat dari jenis pertama dan istirahat jenis kedua. Setiap jenis celah memiliki ciri khasnya masing-masing, yang akan kita lihat sekarang:
Titik diskontinuitas jenis pertama
Jika kondisi kontinuitas dilanggar pada suatu titik dan batasan sepihak terbatas , maka disebut titik puncak dari jenis pertama.
Mari kita mulai dengan kasus yang paling optimis. Menurut ide awal pelajaran, saya ingin menceritakan teori "secara umum", tetapi untuk menunjukkan realitas materi, saya memilih varian dengan aktor tertentu.
Sedihnya, seperti foto pengantin baru dengan latar belakang Api Abadi, tetapi bingkai berikut diterima secara umum. Mari menggambar grafik fungsi dalam gambar:
Fungsi ini kontinu pada seluruh garis bilangan, kecuali titik. Memang, penyebutnya tidak boleh sama dengan nol. Namun, sesuai dengan arti batasannya - kita bisa sangat dekat mendekati "nol" baik dari kiri maupun dari kanan, yaitu, ada batas satu sisi dan, jelas, bertepatan: (Kondisi kesinambungan No. 2 terpenuhi).
Tetapi fungsinya tidak terdefinisi pada titik , oleh karena itu, Kondisi No. 1 kontinuitas dilanggar, dan fungsi tersebut mengalami pemutusan pada titik ini.
Istirahat semacam ini (dengan yang ada batas umum) disebut celah yang dapat diperbaiki. Mengapa dilepas? Karena fungsinya bisa mendefinisikan kembali pada titik kehancuran:
Apakah itu terlihat aneh? Mungkin. Tetapi catatan fungsi seperti itu tidak bertentangan dengan apa pun! Sekarang celahnya sudah diperbaiki dan semua orang senang:
Mari kita lakukan pemeriksaan formal:
2) – ada batas umum;
3)
Dengan demikian, ketiga syarat terpenuhi, dan fungsinya kontinu di suatu titik dengan definisi kekontinuan suatu fungsi di suatu titik.
Namun, pembenci matan bisa mendefinisikan ulang fungsi dengan cara yang buruk, misalnya :
Anehnya, dua kondisi kontinuitas pertama terpenuhi di sini:
1) - fungsi didefinisikan pada titik tertentu;
2) - ada batas umum.
Tetapi batas ketiga belum dilewati: , yaitu batas fungsi di titik tersebut tidak sama nilai fungsi yang diberikan pada titik tertentu.
Jadi, pada suatu titik, fungsi mengalami diskontinuitas.
Kasus kedua yang lebih menyedihkan disebut istirahat dari jenis pertama dengan melompat. Dan kesedihan ditimbulkan oleh batasan sepihak itu terbatas dan berbeda. Contoh ditunjukkan pada gambar kedua pelajaran. Kesenjangan ini biasanya terjadi di fungsi sepotong-sepotong sudah disebutkan dalam artikel. tentang transformasi grafik.
Pertimbangkan fungsi sepotong-sepotong dan mengeksekusi gambarnya. Bagaimana cara membuat grafik? Sangat sederhana. Pada setengah interval kita menggambar sebuah fragmen parabola (hijau), pada interval - garis lurus (merah), dan pada setengah interval - garis lurus (biru).
Pada saat yang sama, karena ketidaksetaraan, nilai ditentukan untuk fungsi kuadrat (titik hijau), dan karena ketidaksetaraan, nilai ditentukan untuk fungsi linier (titik biru):
Dalam kasus yang paling sulit, seseorang harus menggunakan konstruksi titik dari setiap bagian grafik (lihat yang pertama pelajaran tentang grafik fungsi).
Untuk saat ini, kami hanya tertarik pada intinya. Mari kita periksa untuk kontinuitas:
2) Menghitung limit satu sisi.
Di sebelah kiri kita memiliki ruas garis merah, jadi batas sebelah kirinya adalah:
Di sebelah kanan adalah garis lurus biru, dan batas kanan:
Hasil dari, angka terbatas, dan mereka tidak sama. Karena batas sepihak terbatas dan berbeda: , maka fungsi kita menderita diskontinuitas jenis pertama dengan lompatan.
Adalah logis bahwa celah tidak dapat dihilangkan - fungsinya tidak dapat benar-benar didefinisikan lebih lanjut dan "tidak direkatkan", seperti pada contoh sebelumnya.
Titik diskontinuitas jenis kedua
Biasanya, semua kasus pecah lainnya secara licik dikaitkan dengan kategori ini. Saya tidak akan mencantumkan semuanya, karena dalam praktiknya Anda akan menghadapi 99% tugas kesenjangan tak berujung- saat kidal atau kidal, dan lebih sering, kedua batasannya tidak terbatas.
Dan, tentu saja, gambaran yang paling jelas adalah hiperbola di nol. Di sini kedua batas satu sisi tidak terbatas: , oleh karena itu, fungsi mengalami diskontinuitas jenis kedua pada titik .
Saya mencoba mengisi artikel saya dengan konten yang paling beragam, jadi mari kita lihat grafik fungsinya yang belum terlihat:
sesuai dengan skema standar:
1) Fungsi tidak terdefinisi pada titik ini karena penyebutnya nol.
Tentu saja, seseorang dapat segera menyimpulkan bahwa fungsi tersebut mengalami jeda pada titik , tetapi alangkah baiknya untuk mengklasifikasikan sifat dari jeda tersebut, yang seringkali dibutuhkan oleh kondisi. Untuk ini:
Saya mengingatkan Anda bahwa catatan berarti bilangan negatif tak terhingga, dan di bawah entri - bilangan positif tak terhingga.
Batas satu sisi tidak terbatas, yang berarti bahwa fungsi tersebut mengalami diskontinuitas jenis ke-2 pada titik . Sumbu y adalah asimtot vertikal untuk bagan.
Tidak jarang kedua limit sepihak itu ada, tetapi hanya salah satunya yang tak terhingga, misalnya:
Ini adalah grafik fungsi.
Kami memeriksa titik untuk kontinuitas:
1) Fungsi tidak didefinisikan pada saat ini.
2) Hitung batas satu sisi:
Kami akan berbicara tentang metodologi untuk menghitung batas sepihak seperti itu dalam dua contoh terakhir dari kuliah, meskipun banyak pembaca telah melihat dan menebak semuanya.
Batas kiri terbatas dan sama dengan nol (kita "tidak pergi ke titik itu sendiri"), tetapi batas kanan tidak terbatas dan cabang oranye dari grafik sangat dekat dengan miliknya asimtot vertikal diberikan oleh persamaan (garis hitam putus-putus).
Dengan demikian, fungsinya menderita istirahat jenis kedua pada titik .
Adapun diskontinuitas jenis pertama, suatu fungsi dapat didefinisikan pada titik diskontinuitas itu sendiri. Misalnya, untuk fungsi sepotong-sepotong dengan berani beri titik hitam tebal di titik asal. Di sebelah kanan adalah cabang hiperbola, dan batas kanan tidak terbatas. Saya pikir hampir semua orang membayangkan seperti apa grafik ini.
Apa yang semua orang nantikan:
Bagaimana menyelidiki fungsi untuk kontinuitas?
Studi tentang fungsi kontinuitas pada suatu titik dilakukan sesuai dengan skema rutin yang sudah bergulir, yang terdiri dari pengecekan tiga kondisi kontinuitas:
Contoh 1
Jelajahi Fungsi
Larutan:
1) Satu-satunya titik berada di bawah penglihatan, di mana fungsinya tidak ditentukan.
2) Hitung batas satu sisi:
Limit satu sisi adalah berhingga dan sama.
Jadi, pada suatu titik, fungsi mengalami diskontinuitas yang dapat dihentikan.
Seperti apa grafik fungsi ini?
Saya ingin menyederhanakan , dan tampaknya menjadi parabola biasa. TETAPI fungsi aslinya tidak ditentukan pada point , jadi diperlukan peringatan berikut:
Mari kita jalankan gambarnya:
Menjawab: fungsi kontinu pada seluruh garis bilangan kecuali pada titik di mana fungsi tersebut mengalami diskontinuitas.
Fungsi dapat didefinisikan ulang dengan cara yang baik atau tidak baik, tetapi ini tidak diperlukan oleh kondisi.
Anda mengatakan contohnya tidak masuk akal? Sama sekali tidak. Terjadi puluhan kali dalam latihan. Hampir semua tugas situs berasal dari pekerjaan independen dan kontrol yang nyata.
Mari uraikan modul favorit kita:
Contoh 2
Jelajahi Fungsi untuk kontinuitas. Tentukan sifat pemutusan fungsi, jika ada. Jalankan gambarnya.
Larutan: untuk beberapa alasan, siswa takut dan tidak menyukai fungsi dengan modul, meskipun tidak ada yang rumit tentangnya. Kami telah sedikit menyinggung hal-hal seperti itu dalam pelajaran. Transformasi Plot Geometris. Karena modulusnya non-negatif, modulusnya mengembang sebagai berikut: , di mana "alfa" adalah beberapa ekspresi. Dalam hal ini, , dan fungsi kita harus bertanda sedikit demi sedikit:
Tetapi pecahan dari kedua potongan tersebut harus dikurangi dengan . Pengurangan, seperti pada contoh sebelumnya, tidak akan berjalan tanpa konsekuensi. Fungsi asli tidak ditentukan pada titik karena penyebutnya hilang. Oleh karena itu, sistem juga harus menentukan kondisi , dan membuat pertidaksamaan pertama menjadi ketat:
Sekarang untuk trik yang SANGAT BERMANFAAT: sebelum menyelesaikan tugas pada draf, ada baiknya membuat gambar (terlepas dari apakah itu diperlukan oleh kondisi atau tidak). Ini akan membantu, pertama, untuk segera melihat titik kontinuitas dan break point, dan, kedua, ini akan 100% menyelamatkan Anda dari kesalahan saat menemukan batasan satu sisi.
Ayo lakukan triknya. Sesuai dengan perhitungan kami, di sebelah kiri titik perlu menggambar fragmen parabola (biru), dan di sebelah kanan - sepotong parabola (merah), sedangkan fungsinya tidak ditentukan pada titik itu sendiri :
Jika ragu, ambil beberapa nilai "x", gantikan ke dalam fungsi (ingat bahwa modul menghancurkan kemungkinan tanda minus) dan periksa grafiknya.
Kami menyelidiki fungsi kontinuitas secara analitik:
1) Fungsi tidak terdefinisi di titik , jadi kita dapat langsung mengatakan bahwa fungsi tersebut tidak kontinu di situ.
2) Mari kita tentukan sifat diskontinuitas, untuk ini kita menghitung batas satu sisi:
Batas satu sisi adalah berhingga dan berbeda, yang berarti bahwa fungsi tersebut mengalami diskontinuitas jenis pertama dengan lompatan pada titik . Sekali lagi, perhatikan bahwa saat mencari limit, tidak masalah apakah fungsi pada break point terdefinisi atau tidak.
Sekarang tinggal mentransfer gambar dari draf (dibuat seolah-olah dengan bantuan penelitian ;-)) dan menyelesaikan tugas:
Menjawab: fungsinya kontinu di seluruh garis bilangan kecuali untuk titik di mana ia mengalami diskontinuitas jenis pertama dengan lompatan.
Terkadang diperlukan tambahan untuk menunjukkan lompatan diskontinuitas. Ini dihitung secara mendasar - batas kiri harus dikurangi dari batas kanan: , yaitu, pada titik jeda, fungsi kita melompat 2 unit ke bawah (yang diberitahukan oleh tanda minus).
Contoh 3
Jelajahi Fungsi untuk kontinuitas. Tentukan sifat pemutusan fungsi, jika ada. Membuat gambar.
Ini adalah contoh untuk self-solving, contoh solusi di akhir pelajaran.
Mari beralih ke versi tugas yang paling populer dan umum, ketika fungsinya terdiri dari tiga bagian:
Contoh 4
Selidiki fungsi untuk kontinuitas dan plot grafik fungsi .
Larutan: jelas bahwa ketiga bagian dari fungsi tersebut kontinu pada interval yang sesuai, jadi yang tersisa hanyalah memeriksa dua titik "persimpangan" di antara bagian-bagian tersebut. Pertama mari kita buat gambar pada draf, saya mengomentari teknik konstruksi dengan cukup detail di bagian pertama artikel. Satu-satunya hal adalah dengan hati-hati mengikuti poin singular kami: karena pertidaksamaan, nilainya milik garis lurus (titik hijau), dan karena ketidaksetaraan, nilainya milik parabola (titik merah):
Nah, pada prinsipnya, semuanya jelas =) Tetap membuat keputusan. Untuk masing-masing dari dua titik "pantat", kami memeriksa 3 kondisi kontinuitas sebagai standar:
SAYA) Kami memeriksa titik untuk kontinuitas
1)
Batas satu sisi adalah berhingga dan berbeda, yang berarti bahwa fungsi tersebut mengalami diskontinuitas jenis pertama dengan lompatan pada titik .
Mari kita hitung lompatan diskontinuitas sebagai perbedaan antara batas kanan dan kiri:
, yaitu, bagan melonjak satu unit.
II) Kami memeriksa titik untuk kontinuitas
1) - fungsi didefinisikan pada titik tertentu.
2) Temukan batas satu sisi:
- batas satu sisi terbatas dan sama, jadi ada batas yang sama.
3) – limit fungsi di suatu titik sama dengan nilai fungsi ini di titik tertentu.
Pada tahap terakhir, kami mentransfer gambar ke salinan bersih, setelah itu kami memasang kunci terakhir:
Menjawab: fungsinya kontinu di seluruh garis bilangan, kecuali titik di mana ia mengalami diskontinuitas jenis pertama dengan lompatan.
Contoh 5
Selidiki fungsi untuk kontinuitas dan bangun grafiknya .
Ini adalah contoh untuk solusi independen, solusi singkat dan contoh perkiraan masalah di akhir pelajaran.
Seseorang mungkin mendapat kesan bahwa pada satu titik fungsi tersebut harus kontinu, dan pada titik lain harus ada diskontinuitas. Dalam praktiknya, ini tidak selalu terjadi. Cobalah untuk tidak mengabaikan contoh yang tersisa - akan ada beberapa fitur menarik dan penting:
Contoh 6
Diberikan suatu fungsi . Selidiki fungsi kontinuitas di titik-titik . Bangun grafik.
Larutan: dan sekali lagi segera jalankan gambar pada draf:
Keunikan dari grafik ini adalah untuk fungsi piecewise diberikan oleh persamaan sumbu absis. Di sini, bagian ini digambar dengan warna hijau, dan di buku catatan biasanya disorot dengan berani dengan pensil sederhana. Dan, tentu saja, jangan lupakan domba kita: nilainya mengacu pada cabang singgung (titik merah), dan nilainya mengacu pada garis lurus.
Semuanya jelas dari gambar - fungsinya kontinu di seluruh garis bilangan, tetap menyusun solusi yang dibawa ke otomatisme penuh secara harfiah setelah 3-4 contoh serupa:
SAYA) Kami memeriksa titik untuk kontinuitas
1) - fungsi didefinisikan pada titik tertentu.
2) Hitung batas satu sisi:
, jadi ada batas umum.
Hanya untuk setiap petugas pemadam kebakaran, izinkan saya mengingatkan Anda tentang fakta sepele: batas konstanta sama dengan konstanta itu sendiri. Dalam hal ini, limit nol sama dengan nol itu sendiri (limit kiri).
3) – limit fungsi di suatu titik sama dengan nilai fungsi ini di titik tertentu.
Dengan demikian, suatu fungsi kontinu di suatu titik dengan definisi fungsi yang kontinu di suatu titik.
II) Kami memeriksa titik untuk kontinuitas
1) - fungsi didefinisikan pada titik tertentu.
2) Temukan batas satu sisi:
Dan di sini - batas unit sama dengan unit itu sendiri.
- ada batas umum.
3) – limit fungsi di suatu titik sama dengan nilai fungsi ini di titik tertentu.
Dengan demikian, suatu fungsi kontinu di suatu titik dengan definisi fungsi yang kontinu di suatu titik.
Seperti biasa, setelah belajar, kami mentransfer gambar kami ke salinan bersih.
Menjawab: fungsinya kontinu di titik-titik.
Harap dicatat bahwa dalam kondisi kami tidak ditanya apa pun tentang mempelajari seluruh fungsi untuk kontinuitas, dan itu dianggap sebagai bentuk matematika yang baik untuk dirumuskan. tepat dan jelas jawaban atas pertanyaan yang diajukan. Ngomong-ngomong, jika menurut kondisi tidak diharuskan membuat grafik, maka Anda berhak untuk tidak membuatnya (meskipun nanti guru dapat memaksa Anda untuk melakukannya).
"Derai" matematika kecil untuk solusi independen:
Contoh 7
Diberikan suatu fungsi . Selidiki fungsi kontinuitas di titik-titik . Klasifikasi breakpoint, jika ada. Jalankan gambarnya.
Cobalah untuk "mengucapkan" semua "kata" dengan benar =) Dan menggambar grafik lebih akurat, akurat, tidak akan berlebihan di mana-mana ;-)
Seperti yang Anda ingat, saya merekomendasikan agar Anda segera menggambar di draf, tetapi dari waktu ke waktu ada contoh di mana Anda tidak dapat langsung mengetahui seperti apa grafiknya. Oleh karena itu, dalam sejumlah kasus, pertama-tama menguntungkan untuk menemukan batas satu sisi dan baru kemudian, berdasarkan studi, menggambarkan cabang-cabangnya. Dalam dua contoh terakhir, kita juga akan mempelajari teknik menghitung beberapa batasan satu sisi:
Contoh 8
Selidiki fungsi untuk kontinuitas dan bangun grafik skematisnya.
Larutan: poin buruk sudah jelas: (mengubah penyebut eksponen menjadi nol) dan (mengubah penyebut seluruh pecahan menjadi nol). Tidak jelas seperti apa grafik fungsi ini, yang berarti lebih baik melakukan riset terlebih dahulu.
Jika suatu himpunan tidak mengandung elemen, maka itu disebut set kosong dan direkam Ø .
Pengukur keberadaan
∃- kuantor eksistensial, digunakan sebagai pengganti kata "ada",
"tersedia". Kombinasi simbol ∃! juga digunakan, yang dibaca karena hanya ada satu.
Nilai mutlak
Definisi. Nilai absolut (modulus) bilangan real adalah bilangan non-negatif, yang ditentukan dengan rumus:
Sebagai contoh,
Properti modul
Jika dan adalah bilangan real, persamaan berikut berlaku:
Fungsi
hubungan antara dua besaran atau lebih, di mana setiap nilai dari satu besaran, yang disebut argumen fungsi, dikaitkan dengan nilai besaran lain, yang disebut nilai fungsi.
Lingkup fungsi
Domain suatu fungsi adalah nilai-nilai dari variabel independen x yang semua operasi yang disertakan dalam fungsi tersebut akan dapat dieksekusi.
fungsi kontinyu
Suatu fungsi f(x) yang terdefinisi di sekitar titik a disebut kontinu di titik ini jika
![]() |
Urutan Angka
fungsi tampilan y= f(x), x HAI N,di mana N adalah himpunan bilangan asli (atau fungsi dari argumen alami), dilambangkan y=f(n)atau y 1 ,y 2 ,…, y n,…. Nilai y 1 ,y 2 ,y 3 , ... masing-masing disebut sebagai anggota barisan pertama, kedua, ketiga, ....
Batas fungsi argumen kontinu
Bilangan A disebut limit fungsi y=f(x) untuk x->x0, jika untuk semua nilai x yang berbeda cukup kecil dari bilangan x0, nilai-nilai yang bersesuaian dengan fungsi f(x ) sedikit berbeda dari angka A
fungsi yang sangat kecil
Fungsi y=f(x) ditelepon kecil sekali pada x→a atau kapan x→∞ jika atau , yaitu Fungsi sangat kecil adalah fungsi yang batasnya di titik tertentu adalah nol.
![]() |
Konsep limit barisan numerik
Mari kita ingat definisi urutan numerik.
Definisi 1
Pemetaan himpunan bilangan asli ke himpunan bilangan real disebut urutan numerik.
Konsep limit barisan numerik memiliki beberapa definisi dasar:
- Bilangan real $a$ disebut limit dari barisan numerik $(x_n)$ jika untuk sembarang $\varepsilon >0$ terdapat indeks $N$ bergantung pada $\varepsilon$ sehingga untuk sembarang indeks $n> N $ pertidaksamaan $\left|x_n-a\right|
- Bilangan real $a$ disebut limit dari barisan numerik $(x_n)$ jika setiap lingkungan dari titik $a$ berisi semua anggota barisan $(x_n)$, dengan kemungkinan pengecualian dari bilangan terbatas dari anggota.
Pertimbangkan contoh menghitung nilai batas urutan numerik:
Contoh 1
Temukan limitnya $(\mathop(lim)_(n\to \infty ) \frac(n^2-3n+2)(2n^2-n-1)\ )$
Larutan:
Untuk menyelesaikan tugas ini, pertama-tama kita perlu menghilangkan tanda kurung dengan derajat tertinggi yang termasuk dalam ekspresi:
$(\mathop(lim)_(n\to \infty ) \frac(n^2-3n+2)(2n^2-n-1)\ )=(\mathop(lim)_(x\to \ infty ) \frac(n^2\left(1-\frac(3)(n)+\frac(2)(n^2)\right))(n^2\left(2-\frac(1) (n)-\frac(1)(n^2)\kanan))\ )=(\mathop(lim)_(n\to \infty ) \frac(1-\frac(3)(n)+\ frac(2)(n^2))(2-\frac(1)(n)-\frac(1)(n^2))\ )$
Jika penyebutnya adalah nilai yang sangat besar, maka seluruh limit cenderung nol, $\mathop(lim)_(n\to \infty )\frac(1)(n)=0$, dengan menggunakan ini, kita mendapatkan:
$(\mathop(lim)_(n\to \infty ) \frac(1-\frac(3)(n)+\frac(2)(n^2))(2-\frac(1)(n )-\frac(1)(n^2))\ )=\frac(1-0+0)(2-0-0)=\frac(1)(2)$
Menjawab:$\frac(1)(2)$.
Konsep limit fungsi di suatu titik
Konsep limit fungsi di suatu titik memiliki dua definisi klasik:
Pengertian istilah “limit” menurut Cauchy
Bilangan real $A$ disebut batas fungsi $f\left(x\right)$ sebagai $x\to a$ jika untuk sembarang $\varepsilon > 0$ terdapat $\delta >0$ bergantung pada $ \varepsilon $, sehingga untuk setiap $x\in X^(\backslash a)$ memenuhi pertidaksamaan $\left|x-a\right|
Definisi Hein
Bilangan real $A$ disebut limit fungsi $f\left(x\right)$ untuk $x\to a$ jika untuk sembarang barisan $(x_n)\in X$ konvergen ke $a$ barisan dari nilai $f (x_n)$ konvergen ke $A$.
Kedua definisi ini terkait.
Catatan 1
Definisi Cauchy dan Heine dari limit suatu fungsi adalah ekuivalen.
Selain pendekatan klasik untuk menghitung limit suatu fungsi, mari kita mengingat kembali rumus yang juga dapat membantu dalam hal ini.
Tabel fungsi yang setara ketika $x$ sangat kecil (menjadi nol)
Salah satu pendekatan untuk memecahkan batas adalah prinsip penggantian dengan fungsi yang setara. Tabel fungsi yang setara disajikan di bawah ini, untuk menggunakannya, alih-alih fungsi di sebelah kanan, gantikan fungsi dasar yang sesuai di sebelah kiri ke dalam ekspresi.
Gambar 1. Tabel kesetaraan fungsi. Author24 - pertukaran makalah siswa secara online
Juga, untuk memecahkan batasan, yang nilainya direduksi menjadi ketidakpastian, dimungkinkan untuk menerapkan aturan L'Hospital. Dalam kasus umum, ketidakpastian dalam bentuk $\frac(0)(0)$ dapat diungkapkan dengan memfaktorkan pembilang dan penyebutnya, lalu direduksi. Ketidakpastian bentuk $\frac(\infty )(\infty)$ dapat diselesaikan setelah membagi ekspresi dalam pembilang dan penyebut dengan variabel di mana pangkat tertinggi ditemukan.
Batas Luar Biasa
- Batas luar biasa pertama:
$(\mathop(lim)_(x\to 0) \frac(sinx)(x)\ )=1$
- Batas luar biasa kedua:
$\mathop(lim)_(x\to 0)((1+x))^(\frac(1)(x))=e$
Batas Khusus
- Batas khusus pertama:
$\mathop(lim)_(x\to 0)\frac(((log)_a (1+x-)\ ))(x)=((log)_a e\ )=\frac(1)(lna )$
- Batas khusus kedua:
$\mathop(lim)_(x\to 0)\frac(a^x-1)(x)=lna$
- Batas khusus ketiga:
$\mathop(lim)_(x\to 0)\frac(((1+x))^(\mu )-1)(x)=\mu $
Kontinuitas fungsi
Definisi 2
Suatu fungsi $f(x)$ disebut kontinu pada suatu titik $x=x_0$ jika $\forall \varepsilon >(\rm 0)$ $\exists \delta (\varepsilon ,E_(0))>(\rm 0) $ sehingga $\left|f(x)-f(x_(0))\right|
Fungsi $f(x)$ kontinu di titik $x=x_0$ if $\mathop((\rm lim\; ))\limits_((\rm x)\to (\rm x)_((\ rm 0 )) f(x)=f(x_(0))$.
Suatu titik $x_0\in X$ disebut titik diskontinuitas jenis pertama jika memiliki batas hingga $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )$, $(\mathop (lim) _(x\ke x_0+0) f(x_0)\ )$, tetapi $(\mathop(lim)_(x\ke x_0-0) f(x_0)\ )=(\mathop(lim) _ (x\ke x_0+0) f(x_0)\ )=f(x_0)$
Selain itu, jika $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )=(\mathop(lim)_(x\to x_0+0) f(x_0)\ )\ne f (x_0)$, maka ini adalah titik istirahat, dan jika $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )\ne (\mathop(lim)_(x\to x_0+ 0) f(x_0)\ )$, lalu titik lompatan fungsi.
Titik $x_0\in X$ disebut titik diskontinuitas jenis kedua jika titik tersebut berisi setidaknya salah satu limit $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )$, $(\mathop( lim)_(x\to x_0+0) f(x_0)\ )$ mewakili infinity atau tidak ada.
Contoh 2
Selidiki kontinuitas $y=\frac(2)(x)$
Larutan:
$(\mathop(lim)_(x\ke 0-0) f(x)\ )=(\mathop(lim)_(x\ke 0-0) \frac(2)(x)\ )=- \infty $ - fungsi memiliki break point jenis kedua.
Topologi adalah cabang matematika yang mempelajari tentang limit dan kekontinuan fungsi. Bersama dengan aljabar, topologi merupakan dasar umum matematika.
Ruang atau gambar topologi - subhimpunan dari ruang Euclidean homogen kita, di antara titik-titik yang diberikan beberapa hubungan kedekatan. Di sini figur dianggap bukan sebagai benda kaku, tetapi sebagai objek yang terbuat dari karet yang sangat elastis, memungkinkan deformasi terus menerus, mempertahankan sifat kualitatifnya.
Pemetaan gambar kontinu satu-ke-satu disebut homeomorfisme. Dengan kata lain, angka homeomorfik, jika satu dapat diubah menjadi yang lain dengan deformasi terus menerus.
Contoh. Gambar berikut adalah homeomorfik (gambar dari kelompok yang berbeda tidak homeomorfik), ditunjukkan pada Gambar. 2.
1. Segmen dan kurva tanpa persimpangan diri.
2. Lingkari, persegi di dalam, rekatkan.
3. Permukaan bola, kubus dan tetrahedron.
4. Lingkaran, elips dan lingkaran simpul.
5. Cincin di bidang (lingkaran berlubang), cincin di ruang angkasa, cincin dipelintir dua kali, permukaan samping silinder.
6. Mobius strip, mis. sekali memutar cincin, dan tiga kali memutar cincin.
7. Permukaan torus (donat), bulatan dengan pegangan, dan torus yang diikat.
8. Sphere dengan dua pegangan dan pretzel dengan dua lubang.
Dalam analisis matematis, fungsi dipelajari dengan metode limit. Variabel dan limit adalah konsep dasarnya.
Dalam berbagai fenomena, beberapa kuantitas mempertahankan nilai numeriknya, yang lainnya berubah. Himpunan semua nilai numerik dari suatu variabel disebut ruang lingkup variabel ini.
Dari berbagai cara perilaku variabel, yang paling penting adalah cara variabel cenderung ke batas tertentu.
angka konstan sebuah ditelepon variabel x jika nilai absolut dari perbedaan antara x dan sebuah() menjadi dalam proses mengubah variabel x kecil sewenang-wenang:
Apa yang dimaksud dengan "kecil sewenang-wenang"? variabel X cenderung batas sebuah, jika untuk sembarang angka kecil (kecil sembarang) ada momen seperti itu dalam perubahan variabel X, mulai dari mana ketidaksetaraan .
Definisi limit memiliki arti geometris sederhana: pertidaksamaan maksudnya X berada di -lingkungan titik sebuah,
itu. dalam interval
.
Dengan demikian, definisi limit dapat diberikan dalam bentuk geometris:
Nomor sebuah adalah limit variabel X, jika untuk sembarang kecil (sembarangan kecil) -lingkungan nomor sebuah Anda dapat menentukan momen seperti itu dalam mengubah variabel X, mulai dari mana semua nilainya jatuh ke dalam -lingkungan titik yang ditentukan sebuah.
Komentar. variabel X dapat mendekati batasnya dengan berbagai cara: tetap kurang dari batas ini (di kiri), lebih banyak (di kanan), berfluktuasi di sekitar nilai batas.
Batas urutan
Fungsi disebut hukum (aturan) yang menurutnya masing-masing unsur x beberapa mengatur X cocok dengan satu elemen y set Y .
Fungsi dapat didefinisikan pada himpunan semua bilangan asli: . Fungsi seperti itu disebut fungsi argumen alami atau urutan numerik.
Karena deret, seperti himpunan tak hingga lainnya, tidak dapat ditentukan dengan pencacahan, ia ditentukan oleh anggota umum: , di mana adalah suku umum dari barisan tersebut.
Variabel diskrit adalah anggota umum dari urutan.
Untuk urutan, kata "mulai dari suatu titik" berarti kata "mulai dari suatu angka".
Nomor sebuah disebut limit barisan , jika untuk sembarang angka kecil (kecil sembarang) ada angka seperti itu N, yang untuk semua anggota urutan dengan nomor n>N ketidaksetaraan
.
atau
pada
.
Secara geometris, definisi limit suatu barisan berarti sebagai berikut: untuk sembarang kecil (sembarangan kecil) -lingkungan suatu bilangan sebuah ada bilangan sedemikian sehingga semua suku barisan dengan lebih besar dari N, angka, termasuk dalam lingkungan ini. Di luar lingkungan hanya sejumlah terbatas suku awal barisan. Bilangan asli N tergantung pada : .