Jumlah residu tereduksi modulo n. Sistem penarikan. Latihan untuk pekerjaan mandiri
atau berturut-turut p angka.
Sistem ini disebut sistem bilangan lengkap yang tidak sebanding dalam modulus p atau sistem lengkap residu modulo p. Jelas bahwa apapun p nomor berurutan membentuk sistem seperti itu.
Semua angka yang termasuk dalam kelas yang sama memiliki banyak sifat umum, oleh karena itu, dalam kaitannya dengan modulus, dapat dianggap sebagai satu angka. Setiap angka yang termasuk dalam perbandingan sebagai penjumlahan atau faktor dapat diganti, tanpa melanggar perbandingan, dengan angka yang sebanding dengannya, yaitu. dengan nomor milik kelas yang sama.
Elemen lain yang umum untuk semua nomor dari kelas tertentu adalah pembagi bersama terbesar dari setiap elemen kelas dan modul ini p.
Membiarkan sebuah dan b modul yang sebanding p, kemudian
Dalil 1. Jika di kapak+b dari pada x mari kita bereskan semuanya p anggota sistem bilangan lengkap
Oleh karena itu semua angka kapak+b, di mana x=1,2,...p-1 tidak sebanding modulo p(jika tidak, angka 1,2,... p-1 akan menjadi modulo yang sebanding p.
Catatan
1) Dalam artikel ini, kata angka berarti bilangan bulat.
literatur
- 1. K. Irlandia, M. Rosen. Pengantar klasik teori bilangan modern - M: Mir, 1987.
- 2.G.Davenport. Aritmatika yang lebih tinggi - M: Nauka, 1965.
- 3. P.G. Lejeune Dirichlet. Kuliah tentang teori bilangan. − Moskow, 1936.
Cincin residu modulo n menunjukkan atau . Grup perkaliannya, seperti dalam kasus umum grup elemen cincin yang dapat dibalik, dilambangkan ∗ × × .
Kasus paling sederhana
Untuk memahami struktur grup , kita dapat mempertimbangkan kasus khusus di mana bilangan prima dan menggeneralisasikannya. Pertimbangkan kasus paling sederhana ketika , yaitu .
Teorema: - grup siklik.
Contoh : Pertimbangkan grup
= (1,2,4,5,7,8) Pembangkit kelompok adalah angka 2. ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ Seperti yang Anda lihat, setiap elemen grup dapat direpresentasikan sebagai , di mana ≤ℓφ . Artinya, grup tersebut bersifat siklik.Kasus umum
Untuk mempertimbangkan kasus umum, perlu untuk mendefinisikan akar primitif. Modulo root primitif adalah bilangan yang, bersama dengan kelas residunya, memunculkan grup.
Contoh: 2 11 ; 8 - modulo akar primitif 11 ; 3 bukan akar modulo primitif 11 .Dalam kasus seluruh modul, definisinya sama.
Struktur grup ditentukan oleh teorema berikut: Jika p adalah bilangan prima ganjil dan l adalah bilangan bulat positif, maka ada akar primitif modulo , yaitu grup siklik.
Contoh
Sistem pengurangan residu modulo terdiri dari kelas-kelas residu: . Sehubungan dengan perkalian yang didefinisikan untuk kelas-kelas residu, mereka membentuk sebuah grup, terlebih lagi, dan saling terbalik (yaitu, ⋅ ) dan berbanding terbalik dengan dirinya sendiri.
Struktur grup
Entri berarti "kelompok siklik urutan n".
× | φ | λ | Pembuat grup | × | φ | λ | Pembuat grup | × | φ | λ | Pembuat grup | × | φ | λ | Pembuat grup | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | C1 | 1 | 1 | 0 | 33 | C2×C10 | 20 | 10 | 2, 10 | 65 | C4×C12 | 48 | 12 | 2, 12 | 97 | C96 | 96 | 96 | 5 | |||
2 | C1 | 1 | 1 | 1 | 34 | C 16 | 16 | 16 | 3 | 66 | C2×C10 | 20 | 10 | 5, 7 | 98 | C42 | 42 | 42 | 3 | |||
3 | C2 | 2 | 2 | 2 | 35 | C2×C12 | 24 | 12 | 2, 6 | 67 | C66 | 66 | 66 | 2 | 99 | C2×C30 | 60 | 30 | 2, 5 | |||
4 | C2 | 2 | 2 | 3 | 36 | C2×C6 | 12 | 6 | 5, 19 | 68 | C2×C16 | 32 | 16 | 3, 67 | 100 | C2×C20 | 40 | 20 | 3, 99 | |||
5 | C4 | 4 | 4 | 2 | 37 | C 36 | 36 | 36 | 2 | 69 | C2×C22 | 44 | 22 | 2, 68 | 101 | C 100 | 100 | 100 | 2 | |||
6 | C2 | 2 | 2 | 5 | 38 | C 18 | 18 | 18 | 3 | 70 | C2×C12 | 24 | 12 | 3, 69 | 102 | C2×C16 | 32 | 16 | 5, 101 | |||
7 | C6 | 6 | 6 | 3 | 39 | C2×C12 | 24 | 12 | 2, 38 | 71 | C70 | 70 | 70 | 7 | 103 | C 102 | 102 | 102 | 5 | |||
8 | C2×C2 | 4 | 2 | 3, 5 | 40 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 3, 11, 39 | 72 | C2×C2×C6 | 24 | 6 | 5, 17, 19 | 104 | C2×C2×C12 | 48 | 12 | 3, 5, 103 | |||
9 | C6 | 6 | 6 | 2 | 41 | C40 | 40 | 40 | 6 | 73 | C72 | 72 | 72 | 5 | 105 | C2×C2×C12 | 48 | 12 | 2, 29, 41 | |||
10 | C4 | 4 | 4 | 3 | 42 | C2×C6 | 12 | 6 | 5, 13 | 74 | C 36 | 36 | 36 | 5 | 106 | C 52 | 52 | 52 | 3 | |||
11 | C 10 | 10 | 10 | 2 | 43 | C42 | 42 | 42 | 3 | 75 | C2×C20 | 40 | 20 | 2, 74 | 107 | C 106 | 106 | 106 | 2 | |||
12 | C2×C2 | 4 | 2 | 5, 7 | 44 | C2×C10 | 20 | 10 | 3, 43 | 76 | C2×C18 | 36 | 18 | 3, 37 | 108 | C2×C18 | 36 | 18 | 5, 107 | |||
13 | C 12 | 12 | 12 | 2 | 45 | C2×C12 | 24 | 12 | 2, 44 | 77 | C2×C30 | 60 | 30 | 2, 76 | 109 | C 108 | 108 | 108 | 6 | |||
14 | C6 | 6 | 6 | 3 | 46 | C 22 | 22 | 22 | 5 | 78 | C2×C12 | 24 | 12 | 5, 7 | 110 | C2×C20 | 40 | 20 | 3, 109 | |||
15 | C2×C4 | 8 | 4 | 2, 14 | 47 | C46 | 46 | 46 | 5 | 79 | C78 | 78 | 78 | 3 | 111 | C 2×C 36 | 72 | 36 | 2, 110 | |||
16 | C2×C4 | 8 | 4 | 3, 15 | 48 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 5, 7, 47 | 80 | C2×C4×C4 | 32 | 4 | 3, 7, 79 | 112 | C2×C2×C12 | 48 | 12 | 3, 5, 111 | |||
17 | C 16 | 16 | 16 | 3 | 49 | C42 | 42 | 42 | 3 | 81 | C 54 | 54 | 54 | 2 | 113 | C 112 | 112 | 112 | 3 | |||
18 | C6 | 6 | 6 | 5 | 50 | C 20 | 20 | 20 | 3 | 82 | C40 | 40 | 40 | 7 | 114 | C2×C18 | 36 | 18 | 5, 37 | |||
19 | C 18 | 18 | 18 | 2 | 51 | C2×C16 | 32 | 16 | 5, 50 | 83 | C82 | 82 | 82 | 2 | 115 | C 2×C 44 | 88 | 44 | 2, 114 | |||
20 | C2×C4 | 8 | 4 | 3, 19 | 52 | C2×C12 | 24 | 12 | 7, 51 | 84 | C2×C2×C6 | 24 | 6 | 5, 11, 13 | 116 | C2×C28 | 56 | 28 | 3, 115 | |||
21 | C2×C6 | 12 | 6 | 2, 20 | 53 | C 52 | 52 | 52 | 2 | 85 | C4×C16 | 64 | 16 | 2, 3 | 117 | C6×C12 | 72 | 12 | 2, 17 | |||
22 | C 10 | 10 | 10 | 7 | 54 | C 18 | 18 | 18 | 5 | 86 | C42 | 42 | 42 | 3 | 118 | C 58 | 58 | 58 | 11 | |||
23 | C 22 | 22 | 22 | 5 | 55 | C2×C20 | 40 | 20 | 2, 21 | 87 | C2×C28 | 56 | 28 | 2, 86 | 119 | C 2×C 48 | 96 | 48 | 3, 118 | |||
24 | C2×C2×C2 | 8 | 2 | 5, 7, 13 | 56 | C2×C2×C6 | 24 | 6 | 3, 13, 29 | 88 | C2×C2×C10 | 40 | 10 | 3, 5, 7 | 120 | C2×C2×C2×C4 | 32 | 4 | 7, 11, 19, 29 | |||
25 | C 20 | 20 | 20 | 2 | 57 | C2×C18 | 36 | 18 | 2, 20 | 89 | C 88 | 88 | 88 | 3 | 121 | C 110 | 110 | 110 | 2 | |||
26 | C 12 | 12 | 12 | 7 | 58 | C 28 | 28 | 28 | 3 | 90 | C2×C12 | 24 | 12 | 7, 11 | 122 | C60 | 60 | 60 | 7 | |||
27 | C 18 | 18 | 18 | 2 | 59 | C 58 | 58 | 58 | 2 | 91 | C6×C12 | 72 | 12 | 2, 3 | 123 | C2×C40 | 80 | 40 | 7, 83 | |||
28 | C2×C6 | 12 | 6 | 3, 13 | 60 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 7, 11, 19 | 92 | C2×C22 | 44 | 22 | 3, 91 | 124 | C2×C30 | 60 | 30 | 3, 61 | |||
29 | C 28 | 28 | 28 | 2 | 61 | C60 | 60 | 60 | 2 | 93 | C2×C30 | 60 | 30 | 11, 61 | 125 | C 100 | 100 | 100 | 2 | |||
30 | C2×C4 | 8 | 4 | 7, 11 | 62 | C 30 | 30 | 30 | 3 | 94 | C46 | 46 | 46 | 5 | 126 | C6×C6 | 36 | 6 | 5, 13 | |||
31 | C 30 | 30 | 30 | 3 | 63 | C6×C6 | 36 | 6 | 2, 5 | 95 | C 2×C 36 | 72 | 36 | 2, 94 | 127 | C 126 | 126 | 126 | 3 | |||
32 | C2×C8 | 16 | 8 | 3, 31 | 64 | C2×C16 | 32 | 16 | 3, 63 | 96 | C2×C2×C8 | 32 | 8 | 5, 17, 31 | 128 | C 2×C 32 | 64 | 32 | 3, 127 |
Aplikasi
Pada tingkat kesulitan, Farm, Hooley, . Waring merumuskan teorema Wilson, dan Lagrange membuktikannya. Euler menyarankan keberadaan akar primitif modulo bilangan prima. Gauss membuktikannya. Artin mengajukan hipotesisnya tentang keberadaan dan kuantifikasi modulo bilangan prima yang bilangan bulatnya adalah akar primitif. Brouwer berkontribusi pada studi tentang masalah keberadaan himpunan bilangan bulat berurutan, yang masing-masing merupakan modulo p pangkat k. Bielhartz membuktikan analogi dugaan Artin. Hooley membuktikan dugaan Artin dengan asumsi bahwa hipotesis Riemann yang diperluas valid dalam bidang bilangan aljabar.
Catatan
literatur
- Irlandia K., Rosen M. Pengantar klasik untuk teori bilangan modern. - M.: Mir, 1987.
- Alferov A.P., Zubov A.Yu., Kuzmin A.S. Cheremushkin A.V. Dasar-dasar kriptografi. - Moskow: "Helios ARV", 2002.
- Rostovtsev A.G., Makhovenko E.B. Kriptografi teoretis. - Sankt Peterburg: NPO "Profesional", 2004.
INFORMASI DASAR DARI TEORI
6. 1. Definisi 1.
Kelas bilangan modulo m adalah himpunan semua dan hanya bilangan bulat yang, ketika dibagi dengan m, memiliki sisa r yang sama, yaitu modulo m yang sebanding (t Î N, t> 1).
Penunjukan untuk kelas angka dengan sisa r: .
Setiap nomor dari kelas disebut residu modulo m, dan kelas itu sendiri disebut kelas residu modulo m.
6. 2. Properti himpunan kelas residu modulo t:
1) modulo total t akan t Kelas residu: Z t = { , , , … , };
2) setiap kelas berisi kumpulan bilangan bulat (residu) tak terbatas dalam bentuk: = ( sebuah= mq+ r/qÎ Z, 0£ r< m}
3) "sebuahÎ : sebuahº r(mod m);
4) "a, bÎ : sebuahº b(mod m), yaitu, dua residu yang diambil dari satu kelas, sebanding modulo t;
5) "sebuahÎ , " bÎ : sebuah b(mod m), yaitu, tidak ada dua residu; diambil dari berbeda kelas tak tertandingi modulo t.
6. 3. Definisi 3.
Sistem residu modulo m yang lengkap adalah setiap himpunan bilangan m yang diambil satu dan hanya satu dari setiap kelas residu modulo m.
Contoh: jika m= 5, maka (10, 6, - 3, 28, 44) adalah sistem residu lengkap modulo 5 (dan bukan satu-satunya!)
Khususnya,
himpunan (0, 1, 2, 3, … , m–1) adalah sebuah sistem non-negatif terkecil potongan;
himpunan (1, 2, 3, … , m –1, t) adalah sistem paling tidak positif potongan.
6. 4. Perhatikan bahwa:
jika ( X 1 , X 2 , … , xt) adalah sistem modulo residu yang lengkap t, kemudian
.
6. 5. Teorema 1.
Jika sebuah {X 1 , X 2 , … , xt} – sistem lengkap residu modulo m, "a, bÎ Z dan(pada) = 1, – kemudian sistem bilangan {Oh 1 +b, Oh 2 + b, … , ah t+b} juga membentuk sistem lengkap residu modulo m .
6. 6. Teorema 2.
Semua residu dari kelas residu yang sama modulo m memiliki pembagi persekutuan terbesar yang sama dengan m: "a, bÎ Þ ( sebuah; t) = (b; t).
6. 7. Definisi 4.
Kelas residu modulo m disebut koprime dengan modulo m,jika setidaknya satu residu dari kelas ini adalah koprime dengan mis.
Perhatikan bahwa dalam kasus ini, berdasarkan Teorema 2 semua nomor kelas ini akan koprime dengan modulus t.
6. 8. Definisi 5.
Sistem residu tereduksi modulo m adalah sistem residu yang diambil satu dan hanya satu dari setiap kelas koprime menjadi m.
6. 9. Perhatikan bahwa:
1) pengurangan sistem modulo residu t berisi j( t) angka ( X 1 , X 2 ,…, };
2) : .
3) "x saya : (x saya, m) = 1;
Contoh : Biarkan modulo t= 10 ada 10 kelas residu:
Z 10 = ( , , , , , , , , , ) adalah himpunan kelas residu modulo 10. Mod sistem pemotongan lengkap 10 akan menjadi, misalnya, ini: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
Banyak kelas residu, coprime dengan modul m= 10: ( , , , )(j(10) = 4).
Pengurangan sistem pemotongan modulo 10 akan menjadi, misalnya,
(1, 3, 7, 9), atau (11, 43, – 5, 17), atau ( – 9, 13, – 5, 77), dll. (di mana-mana j(10) = 4 angka).
6.10. Praktis: untuk membentuk salah satu kemungkinan sistem residu tereduksi mod m, perlu untuk memilih dari sistem lengkap residu mod m residu yang koprime dengan m Angka tersebut akan menjadi j( t).
6.11. Teorema 3.
Jika sebuah{X 1 , X 2 ,…, } – sistem pengurangan residu modulo m dan
(sebuah, m) = 1, – kemudian sistem bilangan {Oh 1 , Oh 2 , … , kapak j (t)} juga bentuk
sistem pengurangan residu modulo m .
6.12. Definisi 6.
jumlah( Å ) kelas deduksi dan +b sama dengan jumlah dari dua pengurangan yang diambil satu dari setiap kelas yang diberikan dan : Å = , di mana"sebuahÎ , "bÎ .
6.13. Definisi 7.
kerja( Ä ) kelas deduksi dan modulo m disebut kelas residu , yaitu kelas residu yang terdiri dari angka a ´ b sama dengan produk dari dua residu yang diambil satu per satu dari setiap kelas yang diberikan dan : Ä = , di mana"sebuahÎ , "bÎ .
Jadi, dalam himpunan modulo kelas residu t: Z t= ( , , ,…, ) dua operasi aljabar didefinisikan – "penjumlahan" dan "perkalian".
6.14. Teorema 4.
Himpunan kelas residu Z t modulo t adalah ring asosiatif-komutatif dengan satuan:
< Z t , +, · > = < { , , ,…, }, +, · > – cincin.
TUGAS KHAS
1. Modulo t= 9:
1) sistem lengkap dengan residu paling tidak positif;
2) sistem lengkap dengan residu non-negatif paling sedikit;
3) sistem deduksi penuh yang sewenang-wenang;
4) sistem lengkap dari deduksi paling tidak mutlak.
Menjawab:1) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; 2) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
2. Menyusun modulo residu sistem tereduksi t= 12.
Larutan.
1) Menyusun sistem lengkap modulo residu paling tidak positif t= 12:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12) (jumlah t= 12 angka).
2) Kami menghapus dari sistem ini angka-angka yang bukan koprime dengan angka 12:
{1, 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9 , 10 , 11, 12 }.
3) Angka yang tersisa, koprime dengan angka 12, membentuk sistem modulo residu tereduksi yang diinginkan t= 12 (jumlah j( t) = j(12) = 4 angka).
Menjawab:(1, 5, 7, 11) - sistem pengurangan modulo residu t= 12.
130. Buat 1) sistem lengkap dari residu yang paling tidak positif; 2) sistem lengkap dengan residu non-negatif paling sedikit; 3) sistem deduksi yang sewenang-wenang; 4) sistem lengkap deduksi absolut terkecil; 5) sistem pengurangan residu: a) modulo m= 6; b) modulo m = 8.
131. Apakah himpunan (9, 2, 16, 20, 27, 39, 46, 85) merupakan sistem residu modulo 8 yang lengkap?
132 Dengan modulus berapa himpunan (20, - 4, 22, 18, - 1) merupakan sistem residu yang lengkap?
133. Membuat sistem pengurangan residu modulo m jika sebuah) m= 9; b) m= 24; di) m= 7. Berapa banyak angka yang harus ada dalam sistem seperti itu?
134. Merumuskan sifat-sifat utama sistem residu lengkap dan modulo sistem residu tereduksi m .
135. Elemen apa yang membedakan sistem tereduksi dan lengkap dari residu modulo prime yang paling tidak negatif?
136. Dalam kondisi apa angka-angka itu sebuah dan - sebuah milik kelas residu modulo yang sama m?
137. Kelas residu modulo 8 apa yang dimiliki oleh semua bilangan prima? R³ 3 ?
138. Apakah himpunan bilangan (0, 2 0 , 2 1 , 2 2 , ... , 2 9 ) membentuk sistem lengkap residu modulo 11?
139. Berapa kelas residu modulo 21 yang termasuk dalam semua residu dari satu kelas residu modulo 7?
140. Himpunan bilangan bulat Z distribusikan berdasarkan kelas residu modulo 5. Buat tabel penjumlahan dan perkalian pada set kelas residu yang dihasilkan Z 5 . Apakah set Z 5: a) grup dengan operasi penambahan kelas? b) grup dengan operasi perkalian kelas?
§ 7. Teorema Euler. TEOREMA KECIL FERMAT
INFORMASI DASAR DARI TEORI
7. 1. Teorema 1.
Jika sebuahÎ Z,tÎ N, t>1 dan(sebuah;t) = 1, - kemudian dalam urutan kekuatan yang tak terbatas a 1 , sebuah 2 , sebuah 3 , ... , sebuah s , … , sebuah t, … setidaknya ada dua kekuatan dengan eksponen s dan t(s<t) seperti yang . (*)
7. 2. Komentar. Menandakan t– s = k> 0, dari (*) kita dapatkan: . Meningkatkan kedua sisi perbandingan ini menjadi kekuatan nÎ N, kita mendapatkan: (**). Ini berarti bahwa ada jumlah kekuatan yang tak terbatas sebuah, memenuhi perbandingan (**). Tetapi bagaimana menemukan indikator ini? Apa paling sedikit indikator yang memenuhi perbandingan (**) ? Menjawab pertanyaan pertama teorema Euler(1707 – 1783).
7. 3. teorema Euler.
Jika sebuahÎ Z,tÎ N, t>1 dan(sebuah;t) = 1, - kemudian . (13)
Contoh. Membiarkan sebuah = 2,t = 21, (sebuah; t) = (2; 21) = 1. Maka . Karena j (21) = 12, maka 2 12 º 1(mod 21). Memang: 2 12 = 4096 dan (4096 - 1) 21. Maka jelas bahwa 2 24 º 1(mod 21), 2 36 º 1(mod 21) dan seterusnya. Tapi apakah eksponen dari 12 - paling sedikit perbandingan yang memuaskan 2 nº 1(mod 21) ? Ternyata tidak. Indikator terendah akan P= 6: 2 6 º 1(mod 21), karena 2 6 – 1 = 63 dan 63 21. Perhatikan bahwa paling sedikit indeks yang akan dicari hanya di antara pembagi suatu bilangan j( t) (dalam contoh ini, di antara pembagi bilangan j(21) = 12).
7. 4. Teorema Kecil Fermat (1601 - 1665).
Untuk sembarang bilangan prima p dan sembarang bilangan aÎ Z, tidak habis dibagi p, ada perbandingan . (14)
Contoh. Membiarkan sebuah = 3,R= 5, dimana 3 bukan 5. Lalu atau .
7. 5. Generalisasi teorema Fermat.
Untuk sembarang bilangan prima p dan sembarang bilangan aÎ Z dibandingkan (15)
TUGAS KHAS
1. Buktikan bahwa 38 73 º 3(mod 35).
Larutan.
1) Karena (38; 35) = 1, maka dengan teorema Euler ; j(35) = 24, jadi
(1).
2) Dari perbandingan (1), dengan akibat wajar 2, properti 5 0 dari perbandingan numerik, kami memiliki:
3) Dari perbandingan (2), oleh Corollary 1 dari properti 5 0 perbandingan: 38 72 ×38 º 1×38 (mod 35) Þ Þ38 73 º38 º 38–35 = 3(mod 35) Þ 38 73 º 3 (mod 35), yang harus dibuktikan.
2. Diberikan: sebuah = 4, t= 15. Temukan eksponen terkecil k, memenuhi perbandingan (*)
Larutan.
1) Sejak ( sebuah; m) = (4; 25) = 1, maka dengan teorema Euler , j(25) = 20, jadi .
2) Apakah eksponen yang ditemukan - angka 20 - paling sedikit bilangan asli yang memenuhi perbandingan (*)? Jika ada eksponen kurang dari 20, maka eksponen tersebut harus merupakan pembagi dari 20. Oleh karena itu, eksponen minimum yang diperlukan k Anda harus mencari di antara banyak angka n= (1, 2, 4, 5, 10, 20) – pembagi dari 20.
3) Kapan P = 1: ;
pada P = 2: ;
pada P= 3: (tidak perlu dipertimbangkan);
pada P = 4: ;
pada P = 5: ;
pada P= 6, 7, 8, 9: (tidak perlu dipertimbangkan);
pada P = 10: .
Jadi, paling sedikit eksponen k, perbandingan yang memuaskan(*), adalah k= 10.
Menjawab: .
LATIHAN UNTUK KERJA MANDIRI
141. Dengan teorema Euler . Pada sebuah = 3, t= 6 kita memiliki: .
Karena j(6) = 2, maka 3 2 º1(mod 6), atau 9º1(mod 6), Maka, dengan lemma, (9 – 1) 6 atau 8 6 (sepenuhnya!?). Dimana letak kesalahannya?
142. Buktikan bahwa: a) 23 100 º1(mod 101); b) 81 40 º 1(mod100); c) 2 73 º 2 (mod 73).
143. Buktikan bahwa a) 1 16 + 3 16 + 7 16 + 9 16 º 4 (mod 10);
b) 5 4 P + 1 + 7 4P+ 1 habis dibagi 12 tanpa sisa.
144. Buktikan konvers teorema teorema Euler: jika sebuah j ( m) º 1(mod m), kemudian ( saya) =1.
145. Temukan eksponen terkecil kÎ N, memenuhi perbandingan ini: a) ; b) ; di) ; G) ;
e) ; e) ; dan) ; h) .
dan) ; ke) ; l) ; m) .
146. Temukan sisa pembagian:
a) 7.100 untuk 11; b) 9.900 untuk 5; c) 5.176 kali 7; d) 2 1999 dengan 5; e) 8 377 untuk 5;
f) 26 57 kali 35; g) 35 359 untuk 22; h) 5.718 per 103; i) 27.260 sampai 40; j) 25 1998 pukul 62.
147*. Buktikan itu sebuah 561 º sebuah(mod 11).
148*. Jika dekomposisi kanonik dari bilangan asli P tidak mengandung faktor 2 dan 5, maka pangkat 12 dari bilangan tersebut diakhiri dengan 1. Buktikan.
149*. Buktikan bahwa 2 64 º 16 (mod 360).
150*. Buktikan: jika ( sebuah, 65) =1 , (b, 65) = 1, lalu sebuah 12 –b 12 habis dibagi 65.
Bab 3. APLIKASI Aritmatika
TEORI PERBANDINGAN NUMERIK
§ 8. BILANGAN SISTEMATIS
INFORMASI DASAR DARI TEORI
1. BILANGAN SYSTEMATIK INTEGER
8. 1. Definisi 1.
Sistem angka adalah cara penulisan angka. Tanda-tanda yang digunakan untuk menulis angka-angka ini disebut angka.
8. 2. Definisi 2.
Bilangan sistematis non-negatif bilangan bulat yang ditulis dalam sistem bilangan posisional t-ary adalah bilangan n dalam bentuk
,dimana a(saya = 0,1, 2,…, k) – bilangan bulat non-negatif - digit, dan 0 £ a saya £ t– 1, t adalah basis dari sistem bilangan, tÎ N, t> 1.
Misalnya notasi bilangan pada sistem 7-ary adalah: (5603) 7 = 5 × 7 3 + 6 × 7 2 + 0 × 7 1 + 3. Berikut a saya- ini adalah 5, 6, 0, 3 - angka; mereka semua memenuhi syarat: 0 £ a saya£ 6. Kapan t=10 katakanlah: angka n tercatat di sistem bilangan desimal, dan indeks t= 10 tidak menulis.
8. 3. Teorema 1.
Bilangan bulat non-negatif apa pun dapat direpresentasikan, dan dengan cara yang unik, sebagai bilangan sistematis dalam basis t mana pun, di mana tÎ N, t> 1.
Contoh:(1 3 9) 10 = (3 5 1) 6 = (1 0 2 4) 5 = …
8. 4. Perhatikan bahwa:
1) penugasan ke jumlah nol sistematis di sebelah kiri tidak berubah nomor ini:
(3 4) 5 = (0 3 4) 5 .
2) atribusi ke nomor sistematis s nol di sebelah kanan adalah setara perkalian nomor ini untuk t s: (3 4) 5 = 3×5 1 + 4; (3 4 0 0) 5 = 3×5 3 + 4×5 2 + 0×5 1 + 0 = 5 2 ×(3×5 1 + 4).
8. 5. Algoritma untuk mengonversi angka yang ditulist sistem -ary, ke desimal:
Contoh: (287) 12 = 2×12 2 + 8×12 1 +7×12 0 = 2×144 + 8×12 + 7 = 288 + 96 +7 = (391) 10 .
8. 6. Algoritma untuk mengonversi angka yang ditulis dalam desimal sistem, dit -pribadi:
Contoh: (3 9 1) 10 = (X) 12 . Menemukan X.
8. 7. Tindakan pada nomor sistematis
2. FRAKSI SISTEMATIS
8. 8. Definisi 3.
Pecahan sistematis t-ary berhingga dalam sistem bilangan dengan basis t adalah bilangan berbentuk
dimana c 0 Î Z, dengan i - nomor– bilangan bulat bukan negatif, dan 0 £ dengan saya£ t– 1, tÎ N, t> 1, kÎ N .
Notasi: a = ( c 0 , Dengan 1 Dengan 2 …dengan k)t. Pada t= 10 disebut pecahan desimal.
8. 9. Konsekuensi 1.
Setiap pecahan sistematis hingga adalah bilangan rasional yang dapat direpresentasikan sebagai , dimanaÎ Z,bÎ N.
Contoh. a = (3 1, 2 4) 6 = 3×6 + 1 + =19 + adalah bilangan rasional. Pernyataan sebaliknya tidak benar secara umum. Misalnya, pecahan tidak dapat diubah menjadi pecahan sistematis (desimal) terbatas.
8.10. Definisi 4.
Pecahan sistematis positif t-ary tak terhingga dalam sistem bilangan dengan basis t adalah bilangan berbentuk
, dari mana 0Î N, dengan saya(saya =1, 2, …, ke, …) - angka– bilangan bulat bukan negatif, dan 0 £ dengan saya£ t–1, tÎ N, t> 1, kÎ N.
Notasi: a = ( Dengan 0 , Dengan 1 Dengan 2 … dengan k…) t. Pada t=10 pecahan disebut desimal.
8.11. Definisi 5.
Ada tiga jenis pecahan sistematis tak hingga:
saya = ( Dengan 0 , )t= = t, dimana = = = … Dalam hal ini, nomornya sebuah disebut fraksi periodik murni tak terhingga,(Dengan 1 Dengan 2 … dengan k) – Titik, k - jumlah digit dalam periode - panjang periode.
II a = .
Dalam hal ini, nomor a disebut fraksi periodik campuran tak terhingga, – pra-periode, () – Titik, k - jumlah digit dalam periode - panjang periode, l - jumlah digit antara bagian bilangan bulat dan periode pertama - panjang periode awal.
III a = ( Dengan 0 , Dengan 1 Dengan 2 … dengan k …)t . Dalam hal ini, nomornya sebuah disebut fraksi non-periodik tak terhingga.
TUGAS KHAS
1. Nomor ( sebuah) 5 = (2 1 4 3) 5 , diberikan dalam sistem 5-ary, terjemahkan ke dalam sistem 7-ary, yaitu, temukan X, jika (2 1 4 3) 5 = ( X) 7 .
Larutan.
1) Ubahlah bilangan yang diberikan (2 1 4 3) 5 menjadi bilangan ( pada) 10 ditulis dalam sistem desimal:
2. Ikuti langkah-langkahnya:
1) (7) 8 + (5) 8 ; 2) (7) 8 × (5) 8 ; 3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6 ;
4) (5 2 3 4) 7 – (2 3 5 1) 7 ; 5) (4 2 3) 5 × (3 2) 5 ; 6) (3 0 1 4 1) 5: (4 2 3) 5 .
Larutan.
1) (7) 8 + (5) 8 = (7) 10 + (5) 10 = (12) 10 = 1×8 + 4 = (1 4) 8 ;
2) (7) 8 × (5) 8 = (7) 10 × (5) 10 = (35) 10 = 4×8 + 3 = (4 3) 8 ;
3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6 (1 2 4 3 3) 6 | Catatan: | 4+5 = 9 = 1×6+3, ditulis 3, digit berikutnya 1, 6+3+1=10 =1×6+4, ditulis 4, digit berikutnya 1, 3+ 4+1= 8 \u003d 1 × 6 + 2, 2 ditulis, 1 pergi ke digit berikutnya. |
4) (5 2 3 4) 7 – (2 3 5 1) 7 (2 5 5 3) 7 | Catatan: | "menempati" unit dengan peringkat tertinggi, yaitu "1" = 1x7: (3 + 1x7) - 5 = 10 - 5 = 5, (1 + 1x7) - 3 = 8 - 3 = 5 , |
5) (4 2 3) 5' (3 2) 5 (1 4 0 1) 5 + (2 3 2 4) 5__ (3 0 1 4 1) 5 | Catatan: | Saat mengalikan dengan 2: 3 × 2 = 6 = 1 × 5 + 1, kita tulis 1, 1 ke angka berikutnya, 2 × 2 +1=5 = 1 × 5 +0, kita tulis 0, 1 ke digit berikutnya, 2 ×4 +1=9 = 1×5 +4, ditulis 4, digit selanjutnya 1, Bila dikalikan dengan 3: 3 ×3 = 9 = 1×5 + 4, ditulis 4, 1 ke digit selanjutnya, 3 × 2 +1=7 = 1×5 +2, ditulis 2, digit selanjutnya 1, 3×4 +1=13=2×5 +3, ditulis 3, 2 pergi ke digit berikutnya. |
6) (3 0 1 4 1) 5 | (4 2 3) 5
2 3 2 4 (3 2) 5
1 4 0 1 Menjawab: 1) (1 4) 8 ; 2) (4 3) 8 ; 3) (1 2 4 3 3) 6 ; 4) (2 5 5 3) 7 ;
(0) 5 5) (3 0 1 4 1) 5 ; 6) (3 2) 5 .
LATIHAN UNTUK KERJA MANDIRI
151. Angka yang diberikan di t sistem -ary, ubah ke sistem desimal:
a) (2 3 5) 7 ; b) (2 4 3 1) 5 ; c) (1 0 0 1 0 1) 2 ; d) (1 3 ) 15 ;
e) (2 7) 11; f) (3 2 5 4) 6 ; g) (1 5 0 1 3) 8 ; h) (1 1 0 1 1 0 0 1) 2 ;
i) (7 6 2) 8 ; j) (1 1 1 1) 20 .
152. Angka. diberikan dalam sistem desimal, ubah menjadi t sistem -ic. Buat cek.
a) (1 3 2) 10 = ( X) 7 ; b) (2 9 8) 10 = ( X) 5 ; c) (3 7) 10 = ( X) 2 ; d) (3 2 4 5) 10 = ( X) 6 ;
e) (4 4 4 4) 10 = ( X) 3 ; f) (5 6 3) 10 = ( X) 12 ; g) (5 0 0) 10 = ( X) delapan ; h) (6 0 0) 10 = ( X) 2 ;
i)(1 0 0 1 5) 10 =( X) dua puluh ; j) (9 2 5) 10 = ( X) delapan ; k) (6 3 3) 10 = ( X) lima belas ; m) (1 4 3) 10 = ( X) 2 .
153. Angka yang diberikan di t sistem -ary, terjemahkan ke dalam q sistem -ic (dengan melewati sistem desimal).
a) (3 7) 8 = ( X) 3 ; b) (1 1 0 1 1 0) 2 = ( X) 5 ; c) ( 6 2) 11 = ( X) 4 ;
d) (4 ) 12 = ( X) 9 . e) (3 3 1 3 1) 5 = ( X) 12 .
154. a) Bagaimana angka (1 2 3) 5 akan berubah jika di sebelah kanannya ditambahkan nol?
b) Bagaimana angka (5 7 6) 8 akan berubah jika dua nol ditambahkan di sebelah kanannya?
155. Ikuti langkah-langkah berikut:
a) (3 0 2 1) 4 + (1 2 3 3) 4 ; b) (2 6 5 4) 8 + (7 5 4 3) 8 ; c) (1 0 1 1 0 1) 2 +(1 1 0 1 10) 2 ;
d) (5 2 4 7) 9 + (1 3 7 6) 9 ; e) (4 7 6) 9 - (2 8 7) 9; f) (2 4 5 3) 7 – (1 6 4 5) 7 ;
g) (8 3) 12 - (5 7 9) 12; h) (1 7 5) 11 – ( 6) 11 ; i) (3 6 4 0 1) 7 – (2 6 6 6 3) 7 ;
j) (1 0 0 1 0) 2 × (1 1 0 1) 2 ; k) (7 4 1) 8 × (2 6) 8; m) (5 3 7 2) 8 × (2 4 6) 8;
m) (3 3 2 1) 4 × (2 3 0) 4 ; o) (1 0 2 2 2 2) 3: (1 2 2) 3 ; n) (2 1 0 3 2) 4: (3 2 3) 4 ;
p) (2 6 1 7 4) 8: (5 4 6) 8 ; c) (4 3 2 0 1) 5: (2 1 4) 5 ; t)(1 1 0 1 0 0 1 0) 2:(1 0 1 0 1) 2
y) (1 1 0 1 1 0) 2: (1 1 1) 2 ; f) (1 1 1 0) 6: (2 1 5) 6 ; x)(3 2 3 8 2 2 1 7 0) 9:(7 6 4 2) 9 .
v) (1 6 3 5) 8 + (7 6 4) 8; h) (1 1 1 1) 3 - (2 1 2) 3; w)(1 2 7) 12 +(9 1 3 5 ) 12b" × b 1 Lalu:
I Jika penyebutnya b = b"(hanya berisi "2" dan/atau "5") - kemudian pecahan diubah menjadi terakhir pecahan desimal. Jumlah tempat desimal sama dengan bilangan asli terkecil l lº 0( mod b").
II Jika penyebutnya b = b 1(tidak mengandung "2" dan "5"), maka pecahan tersebut diubah menjadi tak terbatas murni periodik sama dengan bilangan asli terkecil k, perbandingan yang memuaskan 10 kº 1( mod b 1).
III Jika penyebutnya b = b"× b 1 (berisi "2" dan/atau "5", serta faktor prima lainnya), maka pecahan tersebut diubah menjadi periodik campuran tak terhingga sepuluh-
fraksi berdetak.
Panjang periode sama dengan bilangan asli terkecil k, perbandingan yang memuaskan 10 kº 1( mod b 1).
Panjang pra-periode sama dengan bilangan asli terkecil l, perbandingan yang memuaskan 10 lº 0( mod b").
9. 2. Kesimpulan.
9. 3. Perhatikan bahwa:
bilangan rasional adalah pecahan desimal berhingga atau pecahan desimal periodik tak berhingga;
Bilangan irasional adalah pecahan desimal non-periodik tak terhingga.
TUGAS KHAS
1. Pecahan biasa ini, yang ditulis dalam sistem desimal, diubah menjadi
desimal, sebelumnya setelah menentukan jenis fraksi yang diinginkan (terhingga atau tak terbatas; periodik atau non-periodik; jika - periodik, maka periodik murni atau periodik campuran); dalam kasus terakhir pra-temukan nomor k- panjang dan jumlah periode l adalah panjang pra-periode. satu) ; 2) ; 3).
Larutan.
1) Pecahan = penyebut - angka b= 80 = 2 4 × 5 hanya berisi "2" dan "5". Oleh karena itu, pecahan ini diubah menjadi terakhir pecahan desimal. Jumlah tempat desimal nama saya ditentukan dari kondisi: 10 lº0(mod80):
2) Pecahan = penyebut - angka b= 27 = 3 3 tidak mengandung "2" dan "5". Oleh karena itu, pecahan ini diubah menjadi tak terhingga periodik murni pecahan desimal. Panjang periode k nama ditentukan dari kondisi: 10 kº1(mod27):
3) Pecahan = penyebut - angka b= 24 = 2 3 × 3, yaitu terlihat seperti ini: b = b"× b 1 (kecuali "2" atau "5" mengandung faktor lain, dalam hal ini angka 3). Oleh karena itu, pecahan ini diubah menjadi tak terhingga periodik campuran pecahan desimal. Panjang periode k nama ditentukan dari kondisi: 10 kº1(mod3), dari mana k nama= 1, yaitu panjang periode k= 1. Panjang pra-periode nama saya ditentukan dari kondisi: 10 lº0(mod8), dari mana nama saya= 3, yaitu panjang pra-periode l = 3.
Periksa: bagi "sudut" 5 dengan 24 dan dapatkan: = 0, 208 (3).
Menjawab: 1) 0, 0375; 2) 0, (074); 3) 0, 208 (3).
LATIHAN UNTUK KERJA MANDIRI
156. Pecahan biasa ini, ditulis dalam sistem desimal, diubah menjadi pecahan desimal. Jika desimal periodik, maka sebelumnya temukan nomornya k- panjang dan jumlah periode l- panjang pra-periode.
157. Pecahan biasa ini, ditulis dalam sistem desimal, diubah menjadi t- pecahan sistematik. Temukan angkanya k- panjang periode dan l- panjang pra-periode.
158*. Dalam sistem bilangan manakah bilangan (4 6) 10 ditulis dengan bilangan yang sama, tetapi dalam
urutan terbalik?
159*. Manakah yang lebih besar: satuan digit ke-8 dalam sistem biner atau satuan digit ke-4 dalam sistem oktal?
§ 10. TEOREMA PASCAL. TANDA-TANDA DIVISIBILITAS
INFORMASI DASAR DARI TEORI
10. 1. teorema Pascal (1623 – 1662).
Diberikan bilangan asli: t > 1dan n, ditulis dalam sistem t-ary:
,di mana a i adalah angka: a iÎ N, 0 £ a saya £ t–1 (saya = 0,1, 2,…, k), tÎ N, t> 1.
Membiarkan n= (a k a k - 1 … sebuah 1 sebuah 0) 10 = k×10 k +a k - 1×10 k- 1 +…+sebuah 1×10+ sebuah 0 , m=3 dan m = 9.
1) Temukan b saya: modulom = 3modulom = 9
10 0 º1(mod3), mis. b 0 =1, 10 0 º1(mod9), mis. b 0 =1,
10 1 º1(mod3), mis. b 1 =1, 10 1 º1(mod9), mis. b 1 =1,
10 2 º1(mod3), mis. b 2 =1, 10 2 º1(mod9), mis. b
Sistem penagihan lengkap. Sistem pemotongan yang diberikan. Sistem deduksi yang paling umum adalah: paling tidak positif, paling tidak non-negatif, paling sedikit, dll.
Teorema 1. Properti dari sistem residu yang lengkap dan tereduksi.
1° Kriteria sistem pemotongan yang lengkap. Kombinasi apapun dari m bilangan bulat yang berpasangan modulo tak tertandingi m, membentuk sistem modulo residu yang lengkap m.
2°. Jika angka x 1 , x 2 , ..., xm– sistem modulo residu lengkap m, (sebuah, m) = 1, b adalah bilangan bulat sewenang-wenang, maka angka kapak 1 +b, kapak 2 +b, ..., kapak m+b juga merupakan sistem modulo residu yang lengkap m.
3°. Kriteria Sistem Reduced Reduction. Setiap koleksi yang terdiri dari j( m) bilangan bulat yang merupakan modulo tak tertandingi berpasangan m dan koprime dengan modulus, membentuk sistem modulo residu tereduksi m.
4°. Jika angka x 1 , x 2 , ..., x j ( m) adalah sistem modulo residu tereduksi m, (sebuah, m) = 1, lalu angka kapak 1 , kapak 2 , ..., x j ( m) juga merupakan sistem modulo residu tereduksi m.
Teorema 2. teorema Euler.
Jika angka sebuah dan m koprim, lalu sebuah j ( m) º 1(mod m).
Konsekuensi.
1°. teorema Fermat. Jika sebuah p adalah bilangan prima dan sebuah tidak habis dibagi p, kemudian hal–1 º 1(mod p).
2°. Teorema Fermat Umum. Jika sebuah p adalah bilangan prima, maka hal º sebuah(mod p) untuk apa saja sebuahÎ Z .
§ empat. Memecahkan perbandingan dengan variabel
Keputusan perbandingan. Persamaan derajatnya. Tingkat perbandingan.
Dalil. Sifat-sifat solusi kongruensi.
1° Solusi kongruensi adalah seluruh kelas residu.
2°. (" k)(k º bk(mod m))Ù k= z dari perbandingan º 0 (mod m) dan º 0 (mod m) setara.
3°. Jika kedua bagian perbandingan dikalikan dengan bilangan koprime dengan modulusnya, maka diperoleh perbandingan yang ekuivalen dengan yang semula.
4°. Setiap perbandingan modulo prima p setara dengan perbandingan, yang derajatnya tidak melebihi p–1.
5°. Perbandingan º 0 (mod p), di mana p adalah bilangan prima, memiliki paling banyak n berbagai solusi.
6°. teorema Wilson. ( n-satu)! º –1 (mod n) Û n Bilangan prima.
§ 5. Memecahkan perbandingan tingkat pertama
kapak º b(mod m).
Dalil. 1°. Jika sebuah ( sebuah, m) = 1, maka perbandingan tersebut memiliki solusi, dan unik.
2°. Jika sebuah ( sebuah, m) = d dan b tidak habis dibagi d, maka perbandingan tidak memiliki solusi.
3°. Jika sebuah ( sebuah, m) = d dan b dibagi dengan d, maka perbandingannya adalah d solusi berbeda yang membentuk satu kelas residu modulo.
Cara untuk memecahkan perbandingan kapak º b(mod m) Kapan ( sebuah, m) = 1:
1) seleksi (pencacahan unsur-unsur sistem deduksi lengkap);
2) penggunaan teorema Euler;
3) penggunaan algoritma Euclid;
4) variasi koefisien (menggunakan sifat 2° dari sistem lengkap residu dari Teorema 2.2);
§6. Persamaan tak tentu derajat pertama
kapak+oleh = c.
Dalil. Persamaan kapak+oleh = c diselesaikan jika dan hanya jika c (sebuah, b).
Kapan ( sebuah, b) = 1 semua solusi persamaan diberikan oleh rumus
tÎ Z , di mana x 0 adalah beberapa solusi perbandingan
kapak º c(mod b), y 0 = .
persamaan Diophantine.
BAB 10. Bilangan kompleks
Definisi sistem bilangan kompleks. Adanya sistem bilangan kompleks
Definisi sistem bilangan kompleks.
Dalil. Sistem bilangan kompleks ada.
Model: R 2 dengan operasi
(sebuah, b)+(c, d) = (sebuah+c, b+d), (sebuah, b)×( c, d) = (ac–bd, sm+iklan),
saya= (0, 1) dan identifikasi sebuah = (sebuah, 0).
Bentuk aljabar dari bilangan kompleks
Representasi bilangan kompleks dalam bentuk z = sebuah+dua, di mana sebuah, bÎ R , saya 2 = -1. Keunikan representasi semacam itu. Ulang z, Aku z.
Aturan untuk melakukan operasi aritmatika pada bilangan kompleks dalam bentuk aljabar.
Hitung n ruang vektor -dimensi C n. Sistem persamaan linear, matriks dan determinan selesai C .
Mengekstraksi akar kuadrat dari bilangan kompleks dalam bentuk aljabar.
bagian dari sistem residu lengkap (Lihat. Sistem residu lengkap), terdiri dari bilangan koprime dengan modulus m. P. s. di. berisi φ( m) bilangan [φ( m) adalah jumlah bilangan koprime dengan m dan lebih kecil m]. Setiap φ( m) angka yang tidak sebanding dalam modulo m dan koprime dengannya, bentuk P. s. di. untuk modul ini.
- - lihat Massa tereduksi...
Ensiklopedia Fisik
- - karakteristik bersyarat dari distribusi massa dalam mekanik yang bergerak. atau sistem campuran, tergantung pada fisik. parameter sistem dan dari hukum geraknya...
Ensiklopedia Fisik
- - modulo m - setiap himpunan bilangan bulat yang tak tertandingi modulo satu. Biasanya sebagai P. dengan. di. modulo residu non-negatif terkecil 0, 1, . . ...
Ensiklopedia Matematika
- - jumlah luas bangunan apartemen yang dapat digunakan, serta luas loggia, beranda, balkon dengan faktor pengurangan yang sesuai - luas total diberikan - přepočtená užitková plocha - Gesamtfläche - fajlagos alapterület - hörvüulsen ...
kamus konstruksi
- - Lihat koefisien porositas batuan ...
- - rasio volume pori batuan terhadap volume kerangka batuan, biasanya dinyatakan dalam pecahan satuan ...
Kamus hidrogeologi dan geologi teknik
- - lihat koefisien porositas...
Kamus Penjelasan Ilmu Tanah
- - sama dengan bagian dasar...
- - karakter bersyarat dari distribusi massa dalam sistem benda bergerak, diperkenalkan dalam mekanika untuk menyederhanakan persamaan gerak sistem ...
Kamus politeknik ensiklopedis besar
- - Pajak yang dikenakan pada sumber atas dividen atau pendapatan lain yang diterima oleh bukan penduduk negara tersebut...
Kosakata keuangan
- - Pajak yang dikenakan pada sumber atas dividen atau pendapatan lain yang diterima oleh bukan penduduk negara tersebut...
Glosarium istilah bisnis
- - modulo m, kumpulan bilangan bulat apa pun yang berisi satu angka dari setiap kelas angka modulo m. Sebagai P. dengan. di. sistem yang paling umum digunakan dengan residu positif terkecil 0, 1, 2,.....
- - karakteristik bersyarat dari distribusi massa dalam sistem mekanis atau campuran yang bergerak, tergantung pada parameter fisik sistem dan hukum geraknya ...
Ensiklopedia Soviet yang Hebat
- - REDUCED mass - karakteristik bersyarat dari distribusi massa dalam sistem mekanik atau campuran yang bergerak, tergantung pada parameter fisik sistem dan pada hukum geraknya ...
Kamus ensiklopedis besar
- - umum, semua, kumulatif, ...
Kamus sinonim
- - adj., jumlah sinonim: 1 murni ...
Kamus sinonim
"Mengurangi sistem pemotongan" dalam buku
Apa nilai sekarang dari kompetensi inti?
Dari buku Weightless Wealth. Tentukan nilai perusahaan Anda dalam ekonomi aset tidak berwujud penulis Thyssen ReneApa nilai sekarang dari kompetensi inti? Berdasarkan hal di atas, kita dapat mengatakan bahwa nilai sekarang dari suatu kompetensi inti dihitung dengan mengalikan semua indikator untuk waktu tertentu, dengan mempertimbangkan biaya untuk menarik
Nilai Sekarang Bersih (NPV)
Dari buku MBA dalam 10 hari. Program paling penting dari sekolah bisnis terkemuka dunia pengarang Silbiger StephenAnalisis nilai sekarang bersih (NPV) Nilai sekarang (NPV) membantu menghitung berapa banyak karyawan perlu berinvestasi untuk menerima pensiun yang layak dalam 30 tahun, tetapi analisis ini tidak berguna dalam menilai investasi dan proyek saat ini. Investasi harus dinilai
AKUNTANSI UNTUK DETAIL DAN Potongan DARI GAJI
Dari buku Akuntansi penulis Melnikov IlyaPENGAKUAN RINCIAN DAN Potongan DARI UPAH Sesuai dengan peraturan perundang-undangan, pemotongan berikut dilakukan dari gaji karyawan: - pajak penghasilan (pajak negara, objek pajak - upah);
10.6. Akuntansi untuk pemotongan dan pemotongan dari upah
Dari buku Akuntansi di bidang pertanian pengarang Bychkova Svetlana Mikhailovna10.6. Akuntansi untuk pemotongan dan pemotongan dari upah Pemotongan tertentu dibuat dari gaji karyawan perusahaan, yang dibagi sebagai berikut: pemotongan wajib (pajak atas penghasilan pribadi, pemotongan atas perintah pelaksanaan);
Dari buku Intangible Assets: Accounting and Tax Accounting penulis Zakharyin V R<...>
4.1. Masalah umum pemberian pengurangan pajak sosial
pengarang Makurova Tatyana4.1. Masalah umum pemberian pengurangan pajak sosial Pengurangan pajak sosial (Pasal 219 Kode Pajak), serta pengurangan properti untuk pembelian perumahan, berarti pengurangan basis kena pajak dengan jumlah pengeluaran sosial yang dikeluarkan, dengan mempertimbangkan legislasi
4.3. Fitur pemberian potongan pendidikan
Dari buku Tutorial Mandiri tentang Pajak Penghasilan Pribadi pengarang Makurova Tatyana4.3. Keistimewaan pemberian potongan biaya pendidikan 142) Biaya apa saja yang dapat diterima sebagai potongan biaya pendidikan? Apa batas-batas pemotongan pendidikan Berikut ini diterima untuk pengurangan pajak sosial untuk pendidikan: biaya dalam jumlah yang dibayarkan oleh wajib pajak di
3.4. Kuantifikasi dan frekuensi terjadinya dan penerapan pengurangan pajak
Dari buku Beban pajak suatu perusahaan: analisis, perhitungan, manajemen pengarang Chipurenko Elena Viktorovna3.4. Kuantifikasi dan frekuensi terjadinya dan penerapan pemotongan pajak 3.4.1. PPN sebagai pengurangan pajak potensial Saat menghitung PPN, jumlah pengurangan pajak ditentukan hanya sesuai dengan data register akuntansi pajak - buku pembelian. Pada
Sistem pemotongan lengkap
Dari buku Great Soviet Encyclopedia (PO) penulis TSBMassa berkurang
TSBPengurangan sistem pemotongan
Dari buku Great Soviet Encyclopedia (PR) penulis TSB88. Bentuk struktural dan tereduksi dari sistem persamaan simultan. Identifikasi model
Dari buku Answers to Exam Tickets in Econometrics pengarang Yakovleva Angelina Vitalyevna88. Bentuk struktural dan tereduksi dari sistem persamaan simultan. Identifikasi model Persamaan struktural adalah persamaan yang membentuk sistem asli persamaan simultan. Dalam hal ini, sistem memiliki bentuk struktural.Bentuk struktural
Dari buku New in the Tax Code: komentar tentang perubahan yang mulai berlaku pada tahun 2008 pengarang Zrelov Alexander PavlovichPasal 172 Tata cara penerapan pengurangan pajak
pengarang penulis tidak diketahuiPasal 172
Dari buku Kode Pajak Federasi Rusia. Bagian satu dan dua. Teks dengan amandemen dan tambahan per 1 Oktober 2009 pengarang penulis tidak diketahuiPasal 201 Tata cara penerapan pengurangan pajak