Metode aksiomatik dalam matematika. Konstruksi aksiomatik sistem bilangan asli Definisi bilangan asli
![Metode aksiomatik dalam matematika. Konstruksi aksiomatik sistem bilangan asli Definisi bilangan asli](https://i1.wp.com/kto.guru/uploads/images/ob-aksiomaticheskom-sposobe-postroeniya-teorii_7.gif)
Persetujuan tentang penggunaan materi situs
Silakan gunakan karya yang diterbitkan di situs hanya untuk tujuan pribadi. Publikasi materi di situs lain dilarang.
Karya ini (dan yang lainnya) tersedia untuk diunduh secara gratis. Secara mental, Anda dapat berterima kasih kepada penulisnya dan staf situsnya.
Kirim karya bagus Anda di basis pengetahuan itu sederhana. Gunakan formulir di bawah ini
Pelajar, mahasiswa pascasarjana, ilmuwan muda yang menggunakan basis pengetahuan dalam studi dan pekerjaan mereka akan sangat berterima kasih kepada Anda.
Dokumen Serupa
Penjumlahan dan perkalian bilangan bulat p-adik, didefinisikan sebagai penjumlahan dan perkalian barisan secara termwise. Cincin bilangan p-adik bilangan bulat, studi tentang sifat-sifat pembagiannya. Penjelasan angka-angka ini dengan memperkenalkan objek matematika baru.
makalah, ditambahkan 06/22/2015
Bagaimana orang belajar berhitung, munculnya angka, angka dan sistem angka. Tabel Perkalian Pada "Jari" : Teknik Perkalian Angka 9 dan 8. Contoh Hitung Cepat. Cara mengalikan bilangan dua digit dengan 11, 111, 1111, dst. dan angka tiga digit dengan 999.
makalah, ditambahkan 10/22/2011
Cara baru untuk mengalikan angka. Kemiripan matriks bilangan yang terbentuk pada saat perhitungan dengan segitiga bersifat relatif, namun tetap ada, terutama pada perkalian bilangan tiga digit ke atas. matriks segitiga.
artikel, ditambahkan 02/06/2005
abstrak, ditambahkan 13/01/2011
Karakterisasi sejarah studi tentang makna bilangan prima dalam matematika dengan menggambarkan bagaimana mereka ditemukan. Kontribusi Pietro Cataldi untuk pengembangan teori bilangan prima. Metode Eratosthenes menyusun tabel bilangan prima. Keramahan bilangan asli.
tes, ditambahkan 12/24/2010
Himpunan bilangan real tak negatif sebagai himpunan bagian dari R. Keterbagian dalam semigrup perkalian. Struktur numerik GCD dan LCM semigrup. Studi semigrup perkalian bilangan real non-negatif dengan 0 dan 1.
tesis, ditambahkan 05/27/2008
Sifat-sifat bilangan real, peranannya dalam perkembangan matematika. Analisis konstruksi himpunan bilangan real dalam aspek sejarah. Pendekatan konstruksi teori bilangan real menurut Kantor, Weierstrass, Dedekind. Mereka belajar di kursus sekolah.
presentasi, ditambahkan 10/09/2011
Elemen utama matematika. Sifat-sifat bilangan asli. Konsep teori bilangan. Sifat umum perbandingan dan persamaan aljabar. Operasi aritmatika dengan perbandingan. Hukum dasar aritmatika. Memeriksa hasil operasi aritmatika.
makalah, ditambahkan 05/15/2015
Hal berarti banyak
Polisemi, atau ambiguitas kata-kata, muncul dari fakta bahwa bahasa adalah sistem yang terbatas dibandingkan dengan keragaman realitas yang tak terbatas, sehingga, dalam kata-kata akademisi Vinogradov, "Bahasa dipaksa untuk mendistribusikan seperangkat yang tak terhitung banyaknya. makna di bawah satu judul atau konsep dasar lainnya." (Vinogradov "bahasa Rusia" 1947). Perlu dibedakan antara penggunaan kata yang berbeda dalam satu varian leksiko-semantik dan perbedaan kata yang sebenarnya. Jadi, misalnya, kata (das)Ol dapat menunjukkan sejumlah minyak yang berbeda, kecuali minyak sapi (yang ada kata Mentega). Namun, tidak berarti bahwa, menunjukkan minyak yang berbeda, kata Ol akan memiliki arti yang berbeda setiap saat: dalam semua kasus, artinya akan sama, yaitu minyak (apa pun kecuali sapi). Serta, misalnya, arti dari kata tabel Tisch, terlepas dari jenis tabel apa yang ditunjukkan oleh kata tersebut dalam kasus khusus ini. Situasinya berbeda ketika kata Ol berarti minyak. Di sini, bukan lagi kemiripan oli di sepanjang garis pelumasan dengan berbagai grade oli yang mengemuka, tetapi kualitas oli yang istimewa - mudah terbakar. Dan pada saat yang sama, kata-kata yang menunjukkan berbagai jenis bahan bakar sudah berkorelasi dengan kata Ol: Kohl, Holz, dll. Ini memberi kita kesempatan untuk membedakan dua arti dari kata Ol (atau, dengan kata lain, dua varian leksikal-semantik): 1) minyak (bukan binatang) 2) minyak.
Biasanya makna baru muncul dengan memindahkan salah satu kata yang ada ke objek atau fenomena baru. Beginilah nilai transfer terbentuk. Mereka didasarkan pada kesamaan objek, atau hubungan satu objek dengan objek lainnya. Beberapa jenis transfer nama dikenal. Yang paling penting dari mereka adalah metafora atau metonimi.
Dalam metafora, transfer didasarkan pada kesamaan warna, bentuk, gerakan, dan sebagainya. Dengan semua perubahan metaforis, beberapa tanda dari konsep aslinya tetap ada
kehomoniman
Polisemi sebuah kata adalah masalah yang begitu besar dan beraneka segi sehingga masalah leksikologi yang paling beragam entah bagaimana terkait dengannya. Secara khusus, masalah homonim juga bersentuhan dengan masalah ini dalam beberapa aspeknya.
Homonim adalah kata-kata yang terdengar sama tetapi memiliki arti yang berbeda. Homonim dalam beberapa hal muncul dari poliseminya, yang telah mengalami proses penghancuran. Tapi homonim juga bisa muncul sebagai akibat dari kebetulan suara yang acak. Kunci yang membuka pintu, dan kuncinya - pegas atau sabit - gaya rambut dan sabit - alat pertanian - kata-kata ini memiliki arti dan asal yang berbeda, tetapi secara tidak sengaja bertepatan dengan bunyinya.
Homonim membedakan antara leksikal (merujuk pada satu bagian ucapan, misalnya, kunci - untuk membuka kunci dan kunci - pegas. sumber) morfologis (merujuk pada berbagai bagian ucapan, misalnya, tiga - angka, tiga - kata kerja dalam mood imperatif), leksiko-tata bahasa, yang tercipta sebagai hasil konversi, ketika kata yang diberikan berpindah ke bagian ucapan yang lain. misalnya di eng. lihat-lihat dan lihat-lihat. Ada banyak homonim leksikal dan tata bahasa dalam bahasa Inggris.
Homofon dan homograf harus dibedakan dari homonim. Kata-kata yang berbeda disebut homofon, yang berbeda dalam ejaannya, sama dalam pengucapannya, misalnya: busur - padang rumput, Seite - halaman dan Saite - string.
Homograf adalah kata-kata yang sangat berbeda yang memiliki ejaan yang sama, meskipun diucapkan secara berbeda (baik dari segi komposisi bunyi maupun tempat penekanan pada kata tersebut), misalnya Castle - castle.
Kesinoniman
Sinonim memiliki arti yang serupa, tetapi kata-kata yang terdengar berbeda mengungkapkan nuansa konsep yang sama.
Ada tiga jenis sinonim:
1. Konseptual, atau ideografik. Mereka berbeda satu sama lain dalam arti leksikal. Perbedaan ini dimanifestasikan dalam berbagai tingkat tanda yang ditentukan (es - dingin, kuat, kuat, perkasa), dalam sifat penunjukannya (jaket berlapis - jaket berlapis - jaket berlapis), dalam volume konsep yang diungkapkan (spanduk - bendera, kurang ajar - tebal), dalam tingkat keterkaitan nilai leksikal (coklat - coklat, hitam - hitam).
2. Sinonim bersifat gaya atau fungsional. Mereka berbeda satu sama lain dalam bidang penggunaan, misalnya mata - mata, wajah - wajah, dahi - dahi. Sinonim emosional - evaluatif. Sinonim ini secara terbuka mengungkapkan sikap pembicara terhadap orang, objek, atau fenomena yang ditunjuk. Misalnya, seorang anak dapat dengan sungguh-sungguh disebut seorang anak, dengan penuh kasih sayang seorang anak laki-laki dan seorang anak laki-laki, seorang anak laki-laki dan seorang pengisap yang menghina, dan juga dengan tegas - seorang anak anjing yang menghina, seorang pengisap, seorang brengsek.
3. Antonim - gabungan kata yang berlawanan makna leksikalnya, misalnya: atas - bawah, putih - hitam, bicara - diam, keras - pelan.
Antonimi
Ada tiga jenis antonim:
1. Antonim lawan bertahap dan terkoordinasi, misalnya putih - hitam, diam - keras, dekat - jauh, baik - jahat, dan sebagainya. Antonim ini memiliki arti yang sama, yang memungkinkan oposisi mereka. Jadi konsep hitam putih menunjukkan konsep warna yang berlawanan.
2. Antonim dari lawan komplementer dan konvertibel: perang - damai, suami - istri, menikah - lajang, bisa - tidak bisa, tutup - buka.
3. Antonim pembagian konsep secara dikotomis. Mereka sering memiliki kata dasar yang sama: rakyat - anti-rakyat, legal - ilegal, manusiawi - tidak manusiawi.
Bunga juga disebut. antonimi intra-kata, ketika makna kata-kata yang memiliki cangkang materi yang sama dikontraskan. Misalnya, dalam bahasa Rusia, kata kerja meminjamkan uang kepada seseorang berarti "meminjamkan", dan meminjam uang dari seseorang sudah berarti meminjam uang dari seseorang. Oposisi makna intra-kata disebut enantiosemy.
6. Konstruksi aksiomatik dari sistem bilangan asli. Metode aksiomatik untuk membangun teori matematika. Persyaratan untuk sistem aksioma: konsistensi, independensi, kelengkapan. aksiomatik Peano. Konsep bilangan asli dari posisi aksiomatik. Model sistem aksioma Peano. Penjumlahan dan perkalian bilangan asli dari posisi aksiomatik. Pengurutan himpunan bilangan asli. Sifat-sifat himpunan bilangan asli. Pengurangan dan pembagian himpunan bilangan asli dari posisi aksiomatik. Metode induksi matematika. Pengenalan nol dan konstruksi himpunan bilangan bulat non-negatif. Teorema pembagian dengan sisa.
Konsep dasar dan definisi
Nomor - itu adalah ekspresi dari kuantitas yang pasti.
Bilangan asli elemen dari urutan terus menerus tanpa batas.
Bilangan alami (bilangan alami) - bilangan yang timbul secara wajar dalam berhitung (baik dalam arti pencacahan maupun dalam arti kalkulus).
Ada dua pendekatan untuk definisi bilangan asli - bilangan yang digunakan dalam:
pencacahan (penomoran) item (pertama, kedua, ketiga, ...);
penunjukan jumlah item (tidak ada item, satu item, dua item, ...).
Aksioma - ini adalah titik awal dasar (prinsip yang terbukti dengan sendirinya) dari teori tertentu, yang darinya, dengan deduksi, yaitu, dengan cara yang murni logis, semua isi teori ini diekstraksi.
Bilangan yang hanya memiliki dua pembagi (bilangan itu sendiri dan satu) disebut - nomor sederhana.
Angka komposit adalah bilangan yang memiliki lebih dari dua pembagi.
§2. Aksiomatik bilangan asli
Bilangan asli diperoleh dengan menghitung benda dan dengan mengukur besaran. Tetapi jika pada saat pengukuran muncul bilangan selain bilangan asli, maka perhitungan hanya mengarah pada bilangan asli saja. Untuk terus menghitung, Anda memerlukan urutan angka yang dimulai dengan satu dan yang memungkinkan Anda untuk berpindah dari satu angka ke angka lainnya dan sebanyak yang diperlukan. Dengan kata lain, kita membutuhkan segmen dari deret alam. Oleh karena itu, ketika memecahkan masalah pembuktian sistem bilangan asli, pertama-tama perlu dijawab pertanyaan tentang apa itu bilangan sebagai elemen dari deret alami. Jawabannya diberikan dalam karya dua ahli matematika - Grassmann Jerman dan Peano Italia. Mereka mengusulkan aksiomatik di mana bilangan asli dibenarkan sebagai elemen dari urutan yang berlanjut tanpa batas.
Konstruksi aksiomatik dari sistem bilangan asli dilakukan sesuai dengan aturan yang dirumuskan.
Lima aksioma dapat dilihat sebagai definisi aksiomatik dari konsep dasar:
1 adalah bilangan asli;
Bilangan asli berikutnya adalah bilangan asli;
1 tidak mengikuti bilangan asli apa pun;
Jika bilangan asli sebuah mengikuti bilangan asli b dan untuk bilangan asli Dengan, kemudian b dan Dengan identik;
Jika ada proposisi terbukti untuk 1 dan jika dari asumsi bahwa itu benar untuk bilangan asli n, maka benar untuk yang berikut ini n bilangan asli, maka proposisi ini berlaku untuk semua bilangan asli.
Satuan adalah bilangan pertama dari deret alam , serta salah satu digit dalam sistem bilangan desimal.
Dipercayai bahwa penunjukan suatu unit dari kategori apa pun dengan tanda yang sama (cukup dekat dengan modern) muncul untuk pertama kalinya di Babel Kuno sekitar 2 ribu tahun SM. e.
Orang Yunani kuno, yang hanya menganggap bilangan asli sebagai bilangan, menganggap masing-masing sebagai kumpulan satuan. Satuan itu sendiri diberi tempat khusus: tidak dianggap sebagai angka.
I. Newton menulis: "... yang kami maksud dengan angka bukanlah kumpulan unit, tetapi rasio abstrak dari satu kuantitas ke kuantitas lain, yang secara konvensional diterima oleh kami sebagai unit." Dengan demikian, unit telah mengambil tempat yang selayaknya di antara nomor lainnya.
Operasi aritmatika pada bilangan memiliki sifat yang beragam. Mereka dapat dijelaskan dengan kata-kata, misalnya: "Jumlahnya tidak berubah dari perubahan tempat istilah." Dapat ditulis dengan huruf: a+b = b+a. Dapat dinyatakan dalam istilah tertentu.
Kami menerapkan hukum dasar aritmatika sering keluar dari kebiasaan tanpa menyadarinya:
1) hukum komutatif (komutatif), - properti penjumlahan dan perkalian angka, dinyatakan dengan identitas:
a+b = b+a a*b = b*a;
2) hukum asosiatif (asosiatif), - properti penjumlahan dan perkalian angka, diekspresikan oleh identitas:
(a+b)+c = a+(b+c) (a*b)*c = a*(b*c);
3) hukum distributif (distributivitas), - properti yang menghubungkan penjumlahan dan perkalian angka dan dinyatakan dengan identitas:
a*(b+c) = a*b+a*c (b+c) *a = b*a+c*a.
Setelah membuktikan hukum komutatif, asosiatif, dan distributif (sehubungan dengan penjumlahan), konstruksi lebih lanjut dari teori operasi aritmatika pada bilangan asli tidak menimbulkan kesulitan mendasar.
Saat ini, di benak atau di selembar kertas, kami hanya melakukan perhitungan yang paling sederhana, semakin sering mempercayakan pekerjaan komputasi yang lebih kompleks ke kalkulator, komputer. Namun, pengoperasian semua komputer - sederhana dan kompleks - didasarkan pada operasi paling sederhana - penjumlahan bilangan asli. Ternyata perhitungan yang paling rumit bisa direduksi menjadi penjumlahan, hanya saja operasi ini harus dilakukan jutaan kali.
Metode aksiomatik dalam matematika
Salah satu alasan utama perkembangan logika matematika adalah meluasnya metode aksiomatik dalam konstruksi berbagai teori matematika, pertama-tama, geometri, dan kemudian aritmatika, teori grup, dll. Metode aksiomatik dapat didefinisikan sebagai teori yang dibangun di atas sistem yang dipilih sebelumnya dari konsep yang tidak ditentukan dan hubungan di antara mereka.
Dalam konstruksi aksiomatik dari teori matematika, sistem tertentu dari konsep yang tidak terdefinisi dan hubungan di antara mereka dipilih sebelumnya. Konsep dan hubungan ini disebut dasar. Selanjutnya diperkenalkan aksioma itu. ketentuan utama dari teori yang dipertimbangkan, diterima tanpa bukti. Semua isi lebih lanjut dari teori diturunkan secara logis dari aksioma. Untuk pertama kalinya, konstruksi aksiomatik dari teori matematika dilakukan oleh Euclid dalam konstruksi geometri.
Dalam konstruksi aksiomatik dari teori matematika apa pun, pasti peraturan:
beberapa konsep teori dipilih sebagai yang utama dan diterima tanpa definisi;
setiap konsep teori yang tidak tercantum dalam daftar teori dasar diberi definisi;
aksioma dirumuskan - kalimat yang diterima dalam teori ini tanpa bukti; mereka mengungkapkan sifat-sifat konsep dasar;
· setiap kalimat teori yang tidak terdapat dalam daftar aksioma harus dibuktikan; proposisi semacam itu disebut teorema dan dibuktikan berdasarkan aksioma dan term.
Dalam konstruksi aksiomatik suatu teori, semua pernyataan diturunkan dari aksioma melalui pembuktian.
Oleh karena itu, sistem aksioma tunduk pada hal khusus persyaratan:
Konsistensi (sistem aksioma disebut konsisten jika tidak mungkin secara logis menurunkan dua kalimat yang saling eksklusif darinya);
independensi (sistem aksioma disebut independen jika tidak ada aksioma dari sistem ini yang merupakan konsekuensi dari aksioma lain).
Himpunan dengan relasi yang diberikan di dalamnya disebut model dari sistem aksioma tertentu jika semua aksioma sistem ini terpenuhi di dalamnya.
Ada banyak cara untuk membangun sistem aksioma untuk himpunan bilangan asli. Untuk konsep dasarnya, dapat diambil, misalnya, penjumlahan bilangan atau relasi urutan. Bagaimanapun, perlu untuk menentukan sistem aksioma yang menggambarkan sifat-sifat konsep dasar.
Mari kita berikan sistem aksioma, mengadopsi konsep dasar operasi penjumlahan.
Set tidak kosong N disebut himpunan bilangan asli jika operasinya (sebuah; b) → a + b, disebut penjumlahan dan memiliki sifat:
1. penjumlahan bersifat komutatif, yaitu a + b = b + a.
2. penjumlahan bersifat asosiatif, yaitu. (a + b) + c = a + (b + c).
4. dalam set apapun TETAPI, yang merupakan himpunan bagian dari himpunan N, di mana TETAPI ada sejumlah sehingga semua Ha, adalah sama a+b, di mana bN.
Aksioma 1 - 4 cukup untuk membangun seluruh aritmatika bilangan asli. Tetapi dengan konstruksi seperti itu, tidak mungkin lagi mengandalkan sifat-sifat himpunan hingga yang tidak tercermin dalam aksioma-aksioma ini.
Mari kita ambil sebagai konsep dasar relasi "mengikuti secara langsung ..." yang didefinisikan pada himpunan yang tidak kosong N. Kemudian deret bilangan asli akan menjadi himpunan N, di mana relasi "langsung mengikuti" didefinisikan, dan semua elemen N akan disebut bilangan asli, dan berlaku sebagai berikut: Aksioma Peano:
Aksioma 1.
dalam jumlah banyakNada elemen yang tidak langsung mengikuti elemen apa pun dari himpunan ini. Kami akan menyebutnya unit, dan dilambangkan dengan simbol 1.
AXIOM 2.
Untuk setiap elemen a dariNada satu elemen a segera setelah a.
AKSIOM 3.
Untuk setiap elemen a dariNpaling banyak terdapat satu unsur yang langsung diikuti oleh a.
AXOIM 4.
Setiap himpunan bagian M dari himpunanNbertepatan denganN, jika memiliki sifat: 1) 1 terkandung dalam M; 2) dari fakta bahwa a terkandung dalam M, maka a juga terkandung dalam M.
Banyak N, untuk unsur-unsur yang hubungan "segera mengikuti ..." dibuat, memenuhi aksioma 1 - 4, disebut himpunan bilangan asli , dan elemennya adalah bilangan asli.
Jika sebagai satu set N pilih beberapa himpunan spesifik di mana relasi spesifik "langsung mengikuti ..." diberikan, memenuhi aksioma 1 - 4, lalu kita dapatkan berbeda interpretasi (model) diberikan sistem aksioma.
Model standar sistem aksioma Peano adalah rangkaian angka yang muncul dalam proses perkembangan sejarah masyarakat: 1, 2, 3, 4, 5, ...
Setiap himpunan yang dapat dihitung dapat menjadi model aksioma Peano.
Misalnya, I, II, III, III, ...
oh oh oh oh oh...
satu dua tiga empat, …
Pertimbangkan urutan himpunan di mana himpunan (oo) adalah elemen awal, dan setiap himpunan berikutnya diperoleh dari yang sebelumnya dengan menetapkan satu lingkaran lagi (Gbr. 15).
Kemudian N adalah himpunan yang terdiri dari himpunan bentuk yang dijelaskan, dan merupakan model dari sistem aksioma Peano.
Memang, di banyak N ada elemen (oo) yang tidak langsung mengikuti elemen mana pun dari himpunan yang diberikan, mis. berlaku aksioma 1. Untuk setiap set TETAPI dari himpunan yang sedang dipertimbangkan, ada himpunan unik yang diperoleh dari TETAPI dengan menambahkan satu lingkaran, yaitu. Berlaku aksioma 2. Untuk setiap set TETAPI ada paling banyak satu himpunan dari mana himpunan itu terbentuk TETAPI dengan menambahkan satu lingkaran, yaitu. Aksioma 3 berlaku Jika MN dan diketahui bahwa himpunan TETAPI terkandung dalam M, maka himpunan di mana ada satu lingkaran lebih banyak daripada di himpunan TETAPI, juga terkandung di M, kemudian M =N, yang berarti Aksioma 4 terpenuhi.
Dalam definisi bilangan asli, tidak ada aksioma yang dapat dihilangkan.
Mari kita tentukan mana dari set yang ditunjukkan pada Gambar. 16 adalah model aksioma Peano.
|
![](https://i0.wp.com/kto.guru/uploads/images/ob-aksiomaticheskom-sposobe-postroeniya-teorii_9.gif)
Larutan. Gambar 16 a) menunjukkan suatu himpunan yang memenuhi aksioma 2 dan 3. Memang, untuk setiap elemen ada elemen unik yang langsung mengikutinya, dan ada elemen unik yang mengikutinya. Tetapi aksioma 1 tidak berlaku dalam himpunan ini (aksioma 4 tidak masuk akal, karena tidak ada elemen dalam himpunan yang tidak segera mengikuti yang lain). Oleh karena itu, himpunan ini bukanlah model aksioma Peano.
Gambar 16 b) menunjukkan himpunan di mana aksioma 1, 3 dan 4 terpenuhi, tetapi di belakang elemen sebuah dua elemen segera mengikuti, dan bukan satu, seperti yang dipersyaratkan dalam aksioma 2. Oleh karena itu, himpunan ini bukanlah model aksioma Peano.
Pada ara. 16 c) menunjukkan suatu himpunan di mana aksioma 1, 2, 4 terpenuhi, tetapi elemennya Dengan segera mengikuti dua elemen. Oleh karena itu, himpunan ini bukanlah model aksioma Peano.
Pada ara. 16 d) menunjukkan himpunan yang memenuhi aksioma 2, 3, dan jika kita mengambil angka 5 sebagai elemen awal, maka himpunan ini akan memenuhi aksioma 1 dan 4. Artinya, dalam himpunan ini untuk setiap elemen hanya ada satu saja mengikutinya, dan ada satu elemen yang mengikutinya. Ada juga elemen yang tidak langsung mengikuti elemen apa pun dari himpunan ini, yaitu 5 , itu. Aksioma 1 berlaku. Sejalan dengan itu, aksioma 4 juga berlaku. Oleh karena itu, himpunan ini adalah model aksioma Peano.
Dengan menggunakan aksioma Peano, kita dapat membuktikan sejumlah pernyataan.Misalnya, kita membuktikan bahwa untuk semua bilangan asli pertidaksamaan x x.
Bukti. Dilambangkan dengan TETAPI himpunan bilangan asli yang A A. Nomor 1 milik TETAPI, karena tidak mengikuti nomor dari N, dan karena itu tidak mengikuti dengan sendirinya: 1 1. Membiarkan A A, kemudian A A. Menunjukkan sebuah melalui b. Berdasarkan aksioma 3, sebuahb, itu. bb dan BA.
Dalam konstruksi aksiomatik dari teori apa pun, aturan tertentu diamati:
beberapa konsep teori dipilih sebagai dasar, dan diterima tanpa definisi dan disebut undefined.
aksioma dirumuskan - kalimat yang diterima dalam teori ini tanpa bukti; mereka mengungkapkan sifat-sifat konsep dasar;
setiap konsep teori, yang tidak terdapat dalam daftar teori dasar, diberikan definisi, itu menjelaskan maknanya dengan bantuan konsep dasar dan sebelumnya;
setiap kalimat teori yang tidak terdapat dalam daftar aksioma harus dibuktikan; proposisi semacam itu disebut teorema dan membuktikannya berdasarkan aksioma dan teorema yang mendahului yang sedang dipertimbangkan.
Dalam konstruksi aksiomatik sebuah teori, pada dasarnya semua pernyataan disimpulkan dengan bukti dari aksioma. Oleh karena itu, persyaratan khusus dikenakan pada sistem aksioma. Pertama-tama, itu harus konsisten dan mandiri.
Sistem aksioma disebut konsisten jika dua kalimat yang saling eksklusif tidak dapat disimpulkan darinya secara logis.
Sistem aksioma yang konsisten disebut mandiri jika tidak ada aksioma dari sistem ini yang merupakan konsekuensi dari aksioma lain dari sistem ini.
Aksioma, sebagai aturan, adalah cerminan dari aktivitas praktis orang yang berusia berabad-abad, dan ini menentukan validitasnya.
Sebagai konsep dasar dalam konstruksi aksiomatik aritmatika bilangan asli, diambil relasi "mengikuti langsung", diberikan pada himpunan tak kosong N. Juga dikenal konsep himpunan, elemen himpunan, dan konsep teori himpunan lainnya, serta aturan logika.
Elemen yang langsung mengikuti elemen sebuah, menunjuk sebuah". Inti dari hubungan "mengikuti langsung" terungkap dalam aksioma berikut yang diusulkan oleh matematikawan Italia J. Peano pada tahun 1891.
Aksioma 1. dalam jumlah banyak N ada elemen yang tidak langsung mengikuti elemen apa pun dari himpunan ini. Ini disebut unit dan dilambangkan dengan simbol 1.
Aksioma 2. Untuk setiap elemen sebuah dari N hanya ada satu unsur sebuah", segera menyusul sebuah.
Aksioma 3. Untuk setiap elemen a dari N ada paling banyak satu elemen yang langsung diikuti oleh sebuah.
Aksioma 4. (Aksioma induksi). Subset apa pun M set N bertepatan dengan N jika memiliki sifat-sifat berikut: 1) 1 terkandung di dalam M; 2) dari fakta bahwa setiap elemen sebuah terkandung dalam M, itu mengikuti itu dan sebuah" terkandung dalam M.
Aksioma yang dirumuskan sering disebut aksioma Peano, dan aksioma keempat disebut aksioma induksi.
Mari kita tulis aksioma ini dalam bentuk simbolik.
TETAPI 1 )( 1 N)( sebuah N)sebuah" 1;
TETAPI 2 )( sebuah N)( !b N)sebuah"=b
TETAPI 3 ) ( sebuah,b,Dengan N)с = a" с = b" sebuah= b;
A4) M N 1 M (sebuah M sebuah" M) M=N
Dengan menggunakan relasi "segera ikuti" dan aksioma Peano 1-4, definisi bilangan asli berikut dapat diberikan.
Definisi 1. Himpunan N. yang unsur-unsurnya membentuk relasi "segera mengikuti", yang memenuhi aksioma 1-4, disebut himpunan bilangan asli, dan unsur-unsurnya bilangan asli.
___________________________________________________________________
Definisi 2 . Jika bilangan aslibsegera mengikuti angka a, maka angka a disebut tepat mendahului (mendahului) angka tersebutb.
______________________________________________________________________________________________
Teorema 1. Satuan tidak memiliki bilangan asli sebelumnya (kebenaran teorema mengikuti langsung dari aksioma TETAPI 1 ).
Teorema 2. Setiap bilangan asli sebuah, selain satu memiliki nomor sebelumnya b , sehingga b " = sebuah.
Definisi bilangan asli tidak mengatakan apa-apa tentang sifat unsur-unsur himpunan N. Jadi dia bisa menjadi apa saja. Model standar sistem aksioma Peano adalah serangkaian angka yang muncul dalam proses perkembangan sejarah masyarakat:
1, 2, 3, 4, 5 ,..,
Setiap nomor seri ini memiliki sebutan dan namanya sendiri, yang akan kami anggap diketahui.
Penting untuk dicatat bahwa dalam definisi bilangan asli, tidak ada aksioma yang dapat dihilangkan.
1 sebuah b c d
…
b
Beras. 16 Beras. 17
Tugas 1.
Pada gambar, setiap elemen dihubungkan dengan panah ke elemen yang mengikutinya.
Tentukan mana dari himpunan yang ditunjukkan pada Gambar 15 dan 16 yang merupakan model dari sistem aksioma Peano.
1. Dalam gambar. 16 menunjukkan himpunan di mana aksioma 2 dan 3 berlaku, tetapi aksioma 1 tidak berlaku.
Aksioma 4 tidak masuk akal, karena tidak ada elemen dalam himpunan yang tidak langsung mengikuti yang lain.
2. Pada ara. 17 menunjukkan himpunan di mana aksioma 1, 2, 3 terpenuhi, tetapi aksioma 4 tidak terpenuhi - himpunan titik yang terletak pada sinar berisi 1, dan bersama dengan setiap angka berisi angka yang mengikutinya, tetapi tidak bertepatan dengan seluruh titik setel yang ditunjukkan pada gambar. Kesimpulan: tidak ada set yang digambarkan pada Gambar. 16 dan 17 tidak dapat dianggap sebagai model sistem aksioma Peano.
Tugas 2.
Mari kita buktikan bahwa setiap bilangan asli berbeda dari bilangan asli berikutnya, yaitu ( X )X X"
Bukti
Kami menggunakan aksioma induksi - TETAPI 4 .
Membiarkan M=(x/x , X X"}, karena . X M N.
Buktinya terdiri dari dua bagian.
Mari kita buktikan itu 1 M, itu. 1 1" . Ini mengikuti dari TETAPI 1 .
Mari kita buktikan itu X M=> X" M. Membiarkan X M itu. X X". Mari kita buktikan itu X" M, yaitu X" (X")". Dan aksioma TETAPI 3 Sebaiknya X" (X")". Memang, oleh TETAPI 3 , jika x" = (x")" maka x = x", dan sejak dengan proposisi induksi x M, lalu x X", oleh karena itu, kita sampai pada sebuah kontradiksi. Cara, X" (X")" , X" M.
Di sini aturan kontraposisi (PC) diterapkan, yang banyak digunakan dalam pembuktian "dengan kontradiksi".
Jadi kami mendapat:
M N (1 M (x M => x " M)) M = N, yaitu pernyataan x x" berlaku untuk semua bilangan asli.
pertanyaan tes
Apa inti dari konstruksi aksiomatik teori?
Apa konsep dasar mata kuliah planimetri sekolah. Ingat sistem aksioma kursus ini. Properti konsep apa yang dijelaskan di dalamnya?
Merumuskan dan menuliskan aksioma Peano dalam bentuk simbolis. "
Merumuskan definisi aksiomatik dari bilangan asli.
Lanjutkan definisi bilangan asli: “Bilangan asli adalah elemen dari himpunan N,... » .
Berikan contoh dari buku teks matematika sekolah dasar di mana:
a) nomor baru (untuk siswa) berfungsi sebagai kelanjutan dari segmen yang diterima dari deret alami;
b) ditetapkan bahwa setiap bilangan asli langsung diikuti oleh hanya satu bilangan asli lainnya.
Latihan
285. Unsur-unsur suatu himpunan adalah kelompok tanda hubung (I, II, III, IIII,...). Apakah himpunan ini memenuhi aksioma Peano? Seperti yang didefinisikan di sini, relasi "segera mengikuti". Pertimbangkan pertanyaan yang sama untuk himpunan (0, 00, 000, 0000,...).
Beras. 17
286. Pada Gambar 17a), setiap elemen dihubungkan dengan panah ke elemen yang mengikutinya. Bisakah himpunan dianggap sebagai model sistem aksioma Peano? Soal yang sama untuk himpunan pada Gambar 17 b), c), d).
287. Apakah himpunan bilangan (1, 2, 3 P, ...), jika relasi berikut didefinisikan di dalamnya seperti ini:
1 3 5 7….
2 4 6 8….
288. Berikan contoh tugas dari buku teks matematika untuk kelas dasar, di mana kebenaran tugas dijelaskan oleh aksioma Peano.
Metode aksiomatik dalam matematika.
Konsep dasar dan hubungan teori aksiomatik deret alam. Definisi bilangan asli.
Penambahan bilangan asli.
Perkalian bilangan asli.
Sifat-sifat himpunan bilangan asli
Pengurangan dan pembagian bilangan asli.
Metode aksiomatik dalam matematika
Dalam konstruksi aksiomatik dari teori matematika apa pun, the aturan tertentu:
1. Beberapa konsep teori dipilih sebagai besar dan diterima tanpa definisi.
2. Diformulasikan aksioma, yang dalam teori ini diterima tanpa bukti, mengungkapkan sifat-sifat konsep dasar.
3. Setiap konsep teori, yang tidak terdapat dalam daftar teori dasar, diberikan definisi, itu menjelaskan artinya dengan bantuan konsep utama dan sebelumnya.
4. Setiap kalimat teori yang tidak terdapat dalam daftar aksioma harus dibuktikan. Proposal semacam itu disebut teorema dan buktikan berdasarkan aksioma dan teorema sebelumnya yang sedang dipertimbangkan.
Sistem aksioma harus:
a) konsisten: kita harus yakin bahwa, menarik segala macam kesimpulan dari sistem aksioma tertentu, kita tidak akan pernah sampai pada kontradiksi;
b) mandiri: tidak ada aksioma yang harus menjadi konsekuensi dari aksioma lain dari sistem ini.
di) menyelesaikan, jika dalam kerangka kerjanya selalu memungkinkan untuk membuktikan pernyataan yang diberikan atau negasinya.
Presentasi geometri oleh Euclid dalam "Elements" (abad ke-3 SM) dapat dianggap sebagai pengalaman pertama dari konstruksi aksiomatik sebuah teori. Kontribusi yang signifikan terhadap pengembangan metode aksiomatik untuk membangun geometri dan aljabar dibuat oleh N.I. Lobachevsky dan E. Galois. Di akhir abad ke-19 Matematikawan Italia Peano mengembangkan sistem aksioma untuk aritmatika.
Konsep dasar dan hubungan teori aksiomatik bilangan asli. Definisi bilangan asli.
Sebagai konsep dasar (tidak terdefinisi) dalam himpunan tertentu N terpilih sikap , serta konsep teori himpunan, serta aturan logika.
Elemen yang langsung mengikuti elemen sebuah, menunjuk sebuah".
Hubungan "segera ikuti" memenuhi aksioma berikut:
Aksioma Peano:
Aksioma 1. dalam jumlah banyak N ada unsurnya, secara langsung tidak selanjutnya untuk setiap elemen dari set ini. Mari kita panggil dia satuan dan melambangkan 1 .
Aksioma 2. Untuk setiap elemen sebuah dari N hanya ada satu unsur sebuah" segera menyusul sebuah .
Aksioma 3. Untuk setiap elemen sebuah dari N ada paling banyak satu elemen yang langsung diikuti oleh sebuah .
Aksioma 4. Subset apa pun M set N bertepatan dengan N , jika memiliki sifat: 1) 1 terkandung dalam M ; 2) dari apa sebuah terkandung dalam M , itu mengikuti itu dan sebuah" terkandung dalam M.
Definisi 1. Banyak N , untuk unsur-unsurnya hubungan itu ditetapkan "langsung ikut» yang memenuhi aksioma 1-4 disebut himpunan bilangan asli, dan elemennya adalah bilangan asli.
Definisi ini tidak mengatakan apa-apa tentang sifat unsur-unsur himpunan N . Jadi dia bisa menjadi apa saja. Memilih sebagai satu set N beberapa himpunan tertentu di mana relasi "mengikuti langsung" tertentu diberikan yang memenuhi aksioma 1-4, kita dapatkan model sistem ini aksioma.
Model standar sistem aksioma Peano adalah deret bilangan yang muncul dalam proses perkembangan sejarah masyarakat: 1,2,3,4, ... Deret alam diawali dengan bilangan 1 (aksioma 1); setiap bilangan asli langsung diikuti oleh satu bilangan asli (aksioma 2); setiap bilangan asli langsung mengikuti paling banyak satu bilangan asli (aksioma 3); mulai dari angka 1 dan bergerak secara berurutan ke bilangan asli yang langsung mengikuti satu sama lain, kita mendapatkan seluruh himpunan bilangan ini (aksioma 4).
Jadi, kami memulai konstruksi aksiomatik dari sistem bilangan asli dengan pilihan utama hubungan "langsung mengikuti". dan aksioma yang menjelaskan sifat-sifatnya. Konstruksi lebih lanjut dari teori melibatkan pertimbangan sifat-sifat yang diketahui dari bilangan asli dan operasi pada mereka. Mereka harus diungkapkan dalam definisi dan teorema, yaitu diturunkan dengan cara yang murni logis dari hubungan "segera mengikuti", dan aksioma 1-4.
Konsep pertama yang kami perkenalkan setelah definisi bilangan asli adalah sikap "segera mendahului" , yang sering digunakan ketika mempertimbangkan sifat-sifat deret alam.
Definisi 2. Jika bilangan asli b langsung mengikuti bilangan asli sebuah, nomor itu sebuah ditelepon segera mendahului(atau sebelumnya) nomor b .
Hubungan "sebelum" memiliki dekat properti.
Teorema 1. Seseorang tidak memiliki bilangan asli sebelumnya.
Teorema 2. Setiap bilangan asli sebuah, selain 1, memiliki satu angka sebelumnya b, seperti yang b"= sebuah.
Konstruksi aksiomatik dari teori bilangan asli tidak dipertimbangkan baik di sekolah dasar maupun menengah. Namun, sifat-sifat dari hubungan "mengikuti langsung", yang tercermin dalam aksioma Peano, adalah subjek studi dalam kursus awal matematika. Sudah di kelas satu, saat mempertimbangkan angka sepuluh pertama, ternyata berapa angka yang bisa didapat. Istilah "mengikuti" dan "sebelum" digunakan. Setiap angka baru bertindak sebagai kelanjutan dari segmen yang dipelajari dari deret angka alami. Siswa yakin bahwa setiap angka diikuti oleh yang berikutnya, dan terlebih lagi, hanya satu, bahwa deret bilangan asli tidak terbatas.
Penambahan bilangan asli
Menurut aturan untuk membangun teori aksiomatik, definisi penjumlahan bilangan asli harus diperkenalkan hanya dengan menggunakan relasi "langsung mengikuti", dan konsep "bilangan asli" dan "nomor sebelumnya".
Mari kita awali definisi penjumlahan dengan pertimbangan berikut. Jika untuk sembarang bilangan asli sebuah tambahkan 1, kita mendapatkan nomornya sebuah", segera menyusul sebuah, yaitu sebuah+ 1= sebuah" dan karenanya kita mendapatkan aturan menambahkan 1 ke bilangan asli apa pun. Tapi bagaimana cara menambah nomornya sebuah bilangan asli b, berbeda dari 1? Mari kita gunakan fakta berikut: jika diketahui bahwa 2 + 3 = 5, maka jumlah 2 + 4 = 6, yang langsung mengikuti angka 5. Hal ini terjadi karena pada penjumlahan 2 + 4 suku kedua adalah bilangan langsung mengikuti angka 3. Jadi 2 + 4 = 2+3 " =(2+3)". Secara umum, kita punya , .
Fakta-fakta ini mendasari definisi penjumlahan bilangan asli dalam teori aksiomatik.
Definisi 3. Penambahan bilangan asli adalah operasi aljabar yang memiliki sifat-sifat berikut:
Nomor a + b ditelepon jumlah angka sebuah dan b , dan nomor itu sendiri sebuah dan b - ketentuan.