Menentukan kecepatan titik gambar dalam gerakan pesawat. Penentuan kecepatan setiap titik dari sosok pesawat. Gerakan titik kompleks
![Menentukan kecepatan titik gambar dalam gerakan pesawat. Penentuan kecepatan setiap titik dari sosok pesawat. Gerakan titik kompleks](https://i2.wp.com/konspekta.net/studopedianet/baza3/248953001541.files/image295.gif)
Kecepatan titik sewenang-wenang M angka didefinisikan sebagai jumlah kecepatan yang diterima titik selama gerakan translasi bersama dengan kutub dan gerakan rotasi di sekitar kutub.
Bayangkan posisi titik tersebut M seperti (gbr.1.6).
Membedakan ungkapan ini sehubungan dengan waktu, kita mendapatkan:
, karena
.
Pada saat yang sama, kecepatan v MA. titik mana M diperoleh dengan memutar sosok di sekitar tiang TETAPI, akan ditentukan dari ekspresi
v MA=ω · MA,
di mana ω adalah kecepatan sudut bidang datar.
Kecepatan titik apa pun M angka datar secara geometris terdiri dari kecepatan titik TETAPI, diambil sebagai tiang, dan kecepatan, poin M ketika gambar berputar di sekitar tiang. Modulus dan arah kecepatan dari kecepatan ini ditemukan dengan membuat jajaran genjang kecepatan.
Tugas 1
Tentukan kecepatan titik TETAPI, jika kecepatan pusat rol adalah 5 m/s, kecepatan sudut rol . Jari-jari rol r=0,2m, sudut . Arena seluncur es menggelinding tanpa terpeleset.
Karena benda membuat gerakan bidang-paralel, kecepatan titik TETAPI akan terdiri dari kecepatan kutub (titik DARI) dan kecepatan yang diperoleh titik tersebut TETAPI saat berputar mengelilingi tiang DARI.
,
Menjawab:
Teorema proyeksi kecepatan dua titik benda yang bergerak sejajar bidang
Pertimbangkan dua poin TETAPI dan PADA sosok datar. Mengambil poin TETAPI per tiang (Gbr. 1.7), kita dapatkan
Karenanya, memproyeksikan kedua bagian persamaan ke sumbu yang diarahkan bersama AB, dan mengingat bahwa vektor tegak lurus AB, kami menemukan
vB· cosβ=v A· cosα+ v di A· cos90°.
karena v Di A· cos90°=0 kami memperoleh: proyeksi kecepatan dua titik benda tegar pada sumbu yang melewati titik-titik ini adalah sama.
Tugas 1
Inti AB meluncur ke bawah dinding yang halus dan lantai yang halus, kecepatan titik A V A \u003d 5m / s, sudut antara lantai dan batang AB sama 30 0 . Tentukan kecepatan titik PADA.
Penentuan kecepatan titik-titik pada gambar bidang menggunakan pusat kecepatan sesaat
Saat menentukan kecepatan titik-titik pada bangun datar melalui kecepatan kutub, kecepatan kutub dan kecepatan gerak rotasi di sekitar kutub bisa sama besarnya dan berlawanan arah, dan ada titik P, yaitu kecepatan yang pada waktu tertentu sama dengan nol , sebut saja pusat kecepatan sesaat.
Pusat kecepatan instan Sebuah titik yang terkait dengan sosok datar disebut, yang kecepatannya pada saat tertentu adalah nol.
Kecepatan titik-titik dari sebuah bangun datar ditentukan pada saat tertentu seolah-olah pergerakan bangun tersebut secara instan berotasi di sekitar sumbu yang melewati pusat kecepatan sesaat (Gbr. 1.8).
v A=ω · PA; ().
Karena vB=ω · PB; (), kemudian w=vB/PB=v A/PA
Kecepatan titik-titik pada gambar datar sebanding dengan jarak terpendek dari titik-titik ini ke pusat kecepatan sesaat.
Hasil yang diperoleh mengarah pada kesimpulan berikut:
1) untuk menentukan posisi pusat kecepatan sesaat, perlu diketahui besar dan arah kecepatan serta arah kecepatan dua titik mana pun TETAPI dan PADA sosok datar; pusat kecepatan sesaat P berada di titik perpotongan garis tegak lurus yang dibangun dari titik-titik tersebut TETAPI dan PADA dengan kecepatan titik-titik ini;
2) kecepatan sudut ω sosok bidang pada waktu tertentu sama dengan rasio kecepatan terhadap jarak darinya ke pusat sesaat R kecepatan: ω =v A/PA;
3) Kecepatan suatu titik terhadap pusat kecepatan sesaat P akan menunjukkan arah kecepatan sudut w.
4) Kecepatan suatu titik berbanding lurus dengan jarak terpendek dari titik tersebut PADA ke pusat kecepatan sesaat R v A \u003d ω BP
Tugas 1
Engkol OA panjangnya 0,2m berputar seragam dengan kecepatan sudut ω=8 rad/s. Ke batang penghubung AB pada intinya DARI batang penghubung berengsel CD. Untuk posisi mekanisme tertentu, tentukan kecepatan titik tersebut D slider jika sudut .
Pergerakan titik PADA dibatasi oleh panduan horizontal, penggeser hanya dapat bergerak maju di sepanjang panduan horizontal. Kecepatan titik PADA diarahkan ke arah yang sama dengan . Karena dua titik batang penghubung memiliki arah kecepatan yang sama, benda melakukan gerakan translasi sesaat, dan kecepatan semua titik batang penghubung memiliki arah dan nilai yang sama.
GERAKAN BIDANG BADAN KAKU
pertanyaan studi:
1. Persamaan gerak bidang suatu benda tegar.
2. Kecepatan poin dari angka datar
3. Pusat kecepatan seketika
4. Percepatan titik-titik pada gambar bidang
1. Persamaan gerak bidang suatu benda tegar
Gerak planar benda tegarmenyebutnyagerakan di mana semua titik bagian tubuh bergerak di bidangnya sendiri.
Biar padat 1 melakukan gerakan datar.
Garis potong pesawat terbang
dalam tubuh 1
membentuk bagian П, yang bergerak di bidang pemotongan
.
Jika sejajar dengan bidang melakukan bagian tubuh lainnya, misalnya melalui titik
dll. berbaring tegak lurus yang sama dengan bagian-bagiannya, maka semua titik ini dan semua bagian tubuh akan bergerak dengan cara yang sama.
Akibatnya, gerak benda dalam hal ini sepenuhnya ditentukan oleh gerak salah satu bagiannya di salah satu bidang paralel, dan posisi bagian tersebut ditentukan oleh posisi dua titik pada bagian ini, misalnya TETAPI dan PADA.
Posisi bagian P di pesawat Ohu menentukan posisi segmen AB, dilakukan pada bagian ini. Posisi dua titik pada bidang TETAPI()
dan PADA(
)
dicirikan oleh empat parameter (koordinat), di mana satu batasan dikenakan - persamaan komunikasi dalam bentuk panjang segmen AB:
Oleh karena itu, posisi bagian P pada bidang dapat diatur tiga parameter independen - koordinat
poinTETAPI
dan sudut
,
yang membentuk segmen AB dengan poros Oh. Titik TETAPI, dipilih untuk menentukan posisi bagian P, disebut TIANG.
Saat bagian tubuh bergerak, parameter kinematiknya adalah fungsi waktu
Persamaan tersebut adalah persamaan kinematik gerak bidang (bidang-paralel) dari benda tegar. Sekarang kami akan menunjukkan bahwa, sesuai dengan persamaan yang diperoleh, benda dalam gerak bidang melakukan gerak translasi dan rotasi. Biarkan dalam Gambar. bagian tubuh yang diberikan oleh segmen
dalam sistem koordinat Ohu dipindahkan dari posisi awal 1
untuk mengakhiri posisi 2.
Mari kita tunjukkan dua cara kemungkinan perpindahan tubuh dari posisinya 1 ke posisi 2.
Cara pertama. Mari kita ambil titik sebagai tiang .Memindahkan segmen
sejajar dengan dirinya sendiri, yaitu secara bertahap, sepanjang lintasan
,
sebelum mencocokkan poin
dan
. Mendapatkan posisi segmen
.
di pojok
dan kami mendapatkan posisi akhir dari gambar datar, yang diberikan oleh segmen tersebut
.
Cara kedua. Mari kita ambil titik sebagai tiang . Memindahkan segmen
sejajar dengan dirinya sendiri, yaitu secara bertahap sepanjang lintasan
sebelum mencocokkan poin
dan
.Kami mendapatkan posisi segmen
.
Selanjutnya, putar segmen ini di sekitar tiang
pada
sudut
dan kami mendapatkan posisi akhir dari gambar datar, yang diberikan oleh segmen tersebut
.
Mari kita buat kesimpulan berikut.
1. Gerak bidang, sepenuhnya sesuai dengan persamaan, merupakan kombinasi gerak translasi dan gerak rotasi, dan model gerak bidang suatu benda dapat dianggap sebagai gerak translasi semua titik benda bersama dengan kutub dan rotasi benda tubuh relatif terhadap tiang.
2. Lintasan gerak translasi benda bergantung pada pilihan tiang
.
Pada ara. 13.3 dalam kasus yang dipertimbangkan, kita melihat bahwa dalam metode pergerakan pertama, ketika sebuah titik diambil sebagai tiang , lintasan translasi
berbeda nyata dengan lintasannya
untuk tiang lainnya PADA.
3. Rotasi bodi tidak tergantung pada pilihan tiang. Sudut
rotasi tubuh tetap konstan dalam modulus dan arah rotasi
. Dalam kedua kasus, dipertimbangkan pada Gambar. 13.3, rotasi berlawanan arah jarum jam.
Ciri-ciri utama benda dalam gerak bidang adalah: lintasan tiang, sudut rotasi benda di sekitar tiang, kecepatan dan percepatan tiang, kecepatan sudut, dan percepatan sudut benda. As roda tambahan
dalam gerakan translasi mereka bergerak dengan kutub TETAPI sejajar dengan sumbu utama Ohu sepanjang jalan tiang.
Kecepatan tiang dari bangun datar dapat ditentukan dengan menggunakan turunan waktu dari persamaan:
Demikian pula, karakteristik sudut benda ditentukan: kecepatan sudut ;
percepatan sudut
.
Pada ara. di tiang TETAPI proyeksi vektor kecepatan ditampilkan pada poros Ooh, ooh Sudut rotasi tubuh
, kecepatan sudut
dan percepatan sudut
ditunjukkan oleh panah busur di sekitar titik TETAPI. Karena independensi karakteristik gerak rotasi dari pilihan kutub, karakteristik sudut
,
,
dapat ditampilkan di sembarang titik pada gambar datar dengan panah busur, misalnya di titik B.
Kuliah 3. Gerak bidang-paralel dari benda tegar. Penentuan kecepatan dan percepatan.
Kuliah ini mencakup pertanyaan-pertanyaan berikut:
1. Gerak sejajar bidang benda tegar.
2. Persamaan gerak bidang-paralel.
3. Penguraian gerak menjadi translasi dan rotasi.
4. Penentuan kecepatan titik-titik suatu bidang.
5. Teorema proyeksi kecepatan dua titik benda.
6. Penentuan kecepatan titik-titik pada gambar bidang menggunakan pusat kecepatan sesaat.
7. Memecahkan masalah untuk menentukan kecepatan.
8. Rencana kecepatan.
9. Penentuan percepatan titik-titik suatu bidang.
10. Memecahkan masalah percepatan.
11. Pusat percepatan seketika.
Studi tentang masalah ini diperlukan di masa depan untuk dinamika gerak bidang benda tegar, dinamika gerak relatif titik material, untuk memecahkan masalah dalam disiplin "Teori mesin dan mekanisme" dan "Bagian-bagian mesin ".
Gerakan bidang-paralel dari benda tegar. Persamaan gerak bidang-paralel.
Dekomposisi gerak menjadi translasi dan rotasi
Bidang-sejajar (atau datar) adalah gerakan benda tegar, di mana semua titiknya bergerak sejajar dengan suatu bidang tetap P(Gbr. 28). Gerak bidang dilakukan oleh banyak bagian mekanisme dan mesin, misalnya, roda yang menggelinding pada bagian lintasan yang lurus, batang penghubung pada mekanisme penggeser engkol, dll. Kasus khusus dari gerak bidang-paralel adalah gerak rotasi benda tegar di sekitar sumbu tetap.
Gbr.28 Gbr.29
Pertimbangkan bagiannya S tubuh beberapa pesawat Oksi, sejajar dengan bidang P(gbr.29). Dengan gerak bidang-paralel, semua titik tubuh terletak pada garis lurus MM’ tegak lurus terhadap aliran S, yaitu pesawat P, bergerak secara identik.
Oleh karena itu kami menyimpulkan untuk mempelajari gerak seluruh tubuh, cukup mempelajari bagaimana ia bergerak di bidang Ohu bagian S tubuh ini atau sosok pesawat S. Oleh karena itu, di masa mendatang, alih-alih gerak bidang benda, kami akan mempertimbangkan gerak sosok bidang S di pesawatnya, yaitu di pesawat Ohu.
Posisi figur S di pesawat Ohu ditentukan oleh posisi beberapa segmen yang digambar pada gambar ini AB(Gbr. 28). Pada gilirannya, posisi segmen AB dapat ditentukan dengan mengetahui koordinatnya x A dan y Poin TETAPI dan sudut yang merupakan segmen AB bentuk dengan sumbu X. Titik TETAPI dipilih untuk menentukan posisi gambar S, selanjutnya akan disebut tiang.
Saat memindahkan angka besarnya x A dan y A dan akan berubah. Untuk mengetahui hukum gerak yaitu kedudukan benda pada bidang Ohu kapan saja, Anda perlu mengetahui dependensinya
Persamaan yang menentukan hukum gerak yang sedang berlangsung disebut persamaan gerak bangun datar pada bidangnya. Mereka juga persamaan gerak bidang-paralel dari benda tegar.
Dua persamaan gerak pertama menentukan gerak yang akan dibuat oleh gambar jika =const; ini jelas akan menjadi gerakan translasi, di mana semua titik pada gambar bergerak dengan cara yang sama seperti kutubnya TETAPI. Persamaan ketiga menentukan gerakan yang akan dibuat oleh gambar di dan , yaitu ketika tiang TETAPI diam; ini akan menjadi rotasi gambar di sekitar tiang TETAPI. Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa, dalam kasus umum, gerak bangun datar pada bidangnya dapat dianggap sebagai jumlah gerak translasi, di mana semua titik pada bangun bergerak dengan cara yang sama seperti kutub. TETAPI, dan dari gerakan rotasi di sekitar kutub itu.
Karakteristik kinematik utama dari gerakan yang dipertimbangkan adalah kecepatan dan percepatan gerak translasi, sama dengan kecepatan dan percepatan kutub, serta kecepatan sudut dan percepatan sudut dari gerak rotasi di sekitar kutub.
Menentukan kecepatan titik-titik suatu bangun datar
Tercatat bahwa gerak bangun datar dapat dianggap sebagai jumlah gerak translasi, di mana semua titik pada bangun bergerak dengan kecepatan kutub. TETAPI, dan dari gerakan rotasi di sekitar kutub itu. Mari kita tunjukkan bahwa kecepatan setiap titik M angka-angka terbentuk secara geometris dari kecepatan yang diterima titik di setiap gerakan ini.
Memang posisinya titik mana saja M angka didefinisikan dalam kaitannya dengan sumbu Ohu vektor jari-jari (Gbr. 30), di mana adalah vektor jari-jari kutub TETAPI, - vektor yang menentukan posisi titik M tentang sumbu bergerak dengan tiang TETAPI translasi (pergerakan gambar dalam kaitannya dengan sumbu ini adalah rotasi di sekitar kutub TETAPI). Kemudian
Ingatlah bahwa gerak bangun datar dapat dianggap sebagai penjumlahan gerak translasi bersama dengan kutub dan gerak rotasi mengelilingi kutub.
Menurut Ini kelajuan sembarang titik M dari sebuah bidang datar secara geometris adalah jumlah dari kelajuan beberapa titik A, yang diambil sebagai kutub, dan kecepatan yang diterima titik M ketika sosok itu berputar mengelilingi kutub ini, yaitu
Pada saat yang sama, kecepatan VMA didefinisikan sebagai kecepatan suatu titik M ketika tubuh berputar di sekitar sumbu tetap melewati titik TETAPI tegak lurus terhadap bidang gerak (lihat § 7.2), mis.
Dengan demikian, jika kecepatan tiang diketahui VA dan kecepatan sudut benda w, lalu
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/356.png)
kecepatan titik manapun M benda ditentukan sesuai dengan persamaan (8.2), diagonal jajaran genjang yang dibangun di atas vektor VA dan VMA , seperti di samping (Gbr. 8.3), dan modul kecepatan V M dihitung dengan rumus
di mana y adalah sudut antara vektor VA dan VMA
Masalah 8.1. Roda menggelinding pada permukaan yang tetap tanpa selip (Gbr. 8.4, sebuah). Temukan titik kecepatan Ke dan D roda jika diketahui kecepatannya Vc roda tengah C, radius R roda, jarak COP = b dan sudut a.
Larutan. 1. Pergerakan roda yang dimaksud adalah bidang-paralel. Mengambil titik C sebagai tiang (karena kecepatannya diketahui), sesuai dengan persamaan umum (8.2), untuk titik tersebut Ke kita bisa menulis
Namun, tidak ada cara untuk menentukan nilainya VKC , karena kecepatan sudut tidak diketahui.
Untuk menentukan w, perhatikan kecepatan titik lain, yaitu titik tersebut R menyentuh roda pada permukaan yang tetap (Gbr. 8.4, b). Untuk poin ini, kita dapat menulis persamaannya
fitur titik R adalah kenyataan bahwa pada titik waktu ini Vp - 0, karena roda berputar tanpa selip. Kemudian persamaan (b) mengambil bentuk
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/360.png)
dari mana kita dapatkan
Ini mengikuti dari sini: 1) vektor kecepatan V PC dan Vc harus diarahkan ke arah yang berlawanan; 2) dari persamaan modul V PC - V c kita mendapatkan uPC = V c , dari sini kita menemukan w = Vc /PC = Vc /R. Menurut arah vektor V PC tentukan arah panah busur w dan tunjukkan pada gambar (Gbr. 8.4, b).
Sekarang kembali ke definisi VK dengan persamaan (a). Kami menemukan
Vks \u003d tentang KS - V ^ b / R. Mengetahui arah kecepatan sudut ω, kami menggambarkan vektornya V KC tegak lurus dengan segmen KS dan melakukan konstruksi jajaran genjang pada vektor Vc dan V KC(Gbr. 8.4, di). Sejak dalam kasus ini Vc dan V KC saling tegak lurus, akhirnya kita temukan
2. Kecepatan titik D pada pelek roda, kami menentukan dari persamaan VD = V C + V DC . Sejak numerik VDC - bersama R-Vc, kemudian jajaran genjang dibangun di atas vektor Vc dan VDC, akan menjadi belah ketupat. Sudut antara Vc dan VDC sama dengan 2a. Setelah didefinisikan VD sebagai panjang diagonal yang sesuai dari belah ketupat, kita dapatkan
Teorema proyeksi kecepatan dua titik benda tegar
Menurut persamaan (8.2) untuk dua_ titik arbitrer TETAPI dan PADA benda tegar persamaan V B \u003d V A + V B A, sesuai dengan yang kami lakukan konstruksi yang ditunjukkan pada Gambar. 8.5. Memproyeksikan kesetaraan ini ke sumbu dan, bertujuan B kita mendapatkan Pikiran + VBAz. Mengingat bahwa vektor VBA tegak lurus dengan garis
B Temukan
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/366.png)
Hasil ini mengungkapkan teorema: proyeksi kecepatan dua titik benda tegar pada sumbu yang melewati titik-titik ini sama satu sama lain.
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/367.png)
Kami mencatat bahwa persamaan (8.5) secara matematis mencerminkan fakta bahwa benda dianggap benar-benar kaku dan jarak antara titik-titik TETAPI dan PADA tidak berubah. Itu sebabnya persamaan (8.5) terpenuhi tidak hanya untuk pesawat-paralel, tetapi juga untuk setiap gerak benda tegar.
Masalah 8.2. Merambat TETAPI dan PADA, dihubungkan oleh batang dengan engsel di ujungnya, mereka digerakkan sepanjang pemandu yang saling tegak lurus pada bidang gambar (Gbr. 8.6, sebuah). Tentukan pada sudut tertentu a kecepatan suatu titik PADA, jika kecepatan diketahui VA.
Larutan. Mari menggambar sumbu x melalui titik-titik TETAPI dan PADA. Mengetahui arah VA ,
temukan proyeksi vektor ini ke garis AB: V Axe - V A cos a (pada Gambar 8.6, b ini akan menjadi potongan Ah). Selanjutnya pada gambar dari intinya PADA menunda Bb - Aa(karena segmen ah terletak pada sumbu x di sebelah kanan titik TETAPI, kemudian segmen BB sisihkan dari intinya PADA pada sumbu x ke kanan). Membangkitkan pada intinya b tegak lurus terhadap suatu garis AB, temukan titik akhir vektor VB.
Menurut teorema proyeksi VA cos a = K^cosp. Dari sini (dengan mempertimbangkan bahwa Р = 90 ° - a) akhirnya kita peroleh VB = VA cos a/cos(90° - a) atau VB = = VA ctg a.
Penentuan kecepatan titik menggunakan pusat kecepatan sesaat
Untuk menentukan kecepatan titik-titik pada gambar bidang, kami memilih sembarang titik sebagai tiang R. Kemudian, sesuai dengan rumus
(8.2), kecepatan titik sembarang M didefinisikan sebagai jumlah dari dua vektor:
Jika kecepatan tiang R pada waktu tertentu sama dengan nol, maka ruas kanan persamaan ini akan diwakili oleh satu suku Di MR dan kecepatan suatu titik akan didefinisikan sebagai kecepatan suatu titik M tubuh saat berputar di sekitar tiang tetap R.
Oleh karena itu, jika kita memilih titik sebagai tiang R, yang kecepatannya nol pada waktu tertentu, maka modul kecepatan semua titik pada gambar akan sebanding dengan jaraknya ke kutub P, dan arah vektor kecepatan semua titik akan tegak lurus dengan garis lurus yang menghubungkan titik yang ditinjau dan kutub P. Secara alami, perhitungan dengan rumus (8.6) jauh lebih sederhana daripada perhitungan dengan rumus umum (8.2).
Titik datar, yang kecepatannya pada saat tertentu adalah nol, disebut pusat kecepatan sesaat (MCS). Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa jika angka tersebut bergerak non-translasi, maka titik seperti itu ada di setiap saat dan, terlebih lagi, unik. Perhatikan bahwa pusat kecepatan sesaat dapat ditempatkan baik pada gambar itu sendiri maupun pada kelanjutan mentalnya.
Pertimbangkan cara untuk menentukan posisi pusat kecepatan sesaat.
1. Biarkan pada saat waktu tjum dari sosok bidang, kecepatan sudutnya ω dan kecepatannya VA salah satu poinnya TETAPI(Gbr. 8.7, sebuah). Kemudian memilih titik TETAPI sebagai tiang,_velocity_of titik yang kita cari R dapat ditentukan dengan rumus Vp = VA + VpA -
Masalahnya adalah menemukan titik seperti itu R, di mana V P=0, jadi untuknya V A + U RL=0 dan seterusnya Y RA \u003d -Y A. Oleh karena itu, untuk intinya R kecepatan Pada RA titik mana R diperoleh dengan memutar sosok di sekitar tiang TETAPI, dan kecepatan SEBUAH tiang TETAPI sama dalam modulo (Y RA = Y A) atau sekitar ZAR = UA dan berlawanan arah. Selain itu, intinya R harus terletak tegak lurus terhadap vektor Pada A. Menentukan posisi suatu titik R dilakukan sebagai berikut: dari titik TETAPI(Gbr. 8.7, b) mengatur tegak lurus terhadap vektor SEBUAH dan menempatkan jarak di atasnya AR = Y A/co di sisi lain titik TETAPI, di mana vektor akan "menunjukkan" Pada Dan, jika diputar 90° searah panah busur co.
Pusat kecepatan sesaat adalah satu-satunya titik pada sosok bidang yang kecepatannya pada waktu tertentu adalah nol.
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/370.png)
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/371.png)
Di waktu lain, pusat kecepatan sesaat mungkin sudah menjadi titik lain dari gambar bidang.
2. Biarkan arah kecepatan diketahui VA dan di(Gbr. 8.8, sebuah) dua poin TETAPI dan PADA sosok bidang (selain itu, vektor kecepatan titik-titik ini tidak paralel), atau perpindahan elementer dari titik-titik ini diketahui. Pusat kecepatan sesaat akan ditempatkan di titik perpotongan garis tegak lurus yang didirikan dari titik A dan B ke kecepatan titik-titik ini (atau ke perpindahan dasar titik-titik tersebut). Konstruksi seperti itu ditunjukkan pada Gambar. 8.8, b. Hal ini didasarkan pada fakta bahwa untuk setiap poin A dan B angka ketentuan yang berlaku (8.6):
Dari persamaan ini mengikuti itu
Mengetahui posisi PKS dan kecepatan sudut benda, dengan menggunakan rumus (8.6), mudah untuk menentukan kecepatan titik mana pun di benda ini. Misalnya, untuk satu titik Ke(lihat gbr. 8.8, b) kecepatan modul V K = coKP, vektor kamu juga diarahkan tegak lurus terhadap garis lurus KR Menurut
arah panah busur y.
Akibatnya, kecepatan titik-titik pada bangun datar ditentukan pada saat tertentu seolah-olah benda ini berputar mengelilingi pusat kecepatan sesaat.
3. Jika poin kecepatan TETAPI dan PADA gambar bidang sejajar satu sama lain, maka tiga opsi dimungkinkan, yang ditunjukkan pada Gambar. 8.9. Untuk kasus di mana langsung AB tegak lurus terhadap vektor VA dan VB(Gbr. 8.9, a, b) konstruksi didasarkan pada proporsi (8.7).
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/374.png)
Jika kecepatan poin Lee V sejajar dan lurus AB_nt tegak lurus VTETAPI(Gbr. 8.9, di), kemudian tegak lurus ke UA dan VB sejajar dan pusat kecepatan sesaat di tak terhingga (AP= oo); kecepatan sudut rotasi dari gambar w = VJAP=VA/cc= 0. Dalam hal ini, kecepatan semua titik pada gambar pada saat tertentu sama satu sama lain, yaitu, gambar tersebut memiliki distribusi kecepatan seperti pada gerak translasi. Keadaan gerak ini disebut progresif secara instan. Perhatikan bahwa dalam keadaan ini, percepatan semua titik benda tidak akan sama.
4. Jika gerak bidang benda dilakukan dengan menggelinding tanpa meluncur pada permukaan yang tetap (Gbr. 8.10), maka titik kontak R akan menjadi pusat kecepatan sesaat (lihat Soal 8.1).
Masalah 8.3. Mekanisme datar terdiri dari 7 batang, 2, 3, 4 dan perayap PADA(Gbr. 8.11), terhubung satu sama lain dan dengan penyangga tetap 0 { dan 0 2 engsel; dot D berada di tengah batang AB. Panjang batang: / 2 = 0,4 m, / 2 = 1,2 m, / 3 = 0,7 m, / 4 = 0,3 m dan berlawanan arah jarum jam. Mendefinisikan V A , V B , V D , V E , oo 2 , co 3 , ke 4 dan kecepatan titik Ke di tengah batang DE (DK = KE).
Larutan. Dalam mekanisme yang dipertimbangkan, batang 7, 4 melakukan gerakan rotasi PADA- progresif, dan batang 2, 3 -
gerakan bidang-paralel.
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/375.png)
Kecepatan titik TETAPI kami definisikan sebagai milik batang 7, yang melakukan gerakan rotasi:
Pertimbangkan gerakan batang 2. Kecepatan titik TETAPI didefinisikan, dan arah kecepatan titik PADA karena fakta bahwa itu secara bersamaan milik tongkat 2 dan jenis kelamin-
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/377.png)
Zun bergerak di sepanjang pemandu. Sekarang, memulihkan dari poin TETAPI dan PADA tegak lurus ke SEBUAH dan arah gerakan slider PADA, temukan posisi titik C 2 - MCS batang 2.
Di arah vektor U A mengingat bahwa dalam posisi mekanisme yang dipertimbangkan, batang 2 berputar di sekitar titik C 2, kami menentukan arah kecepatan sudut dari 2 batang 2 dan temukan nilai numeriknya (o 2 = V a / AC 2 \u003d 0,8 / 1,04 \u003d 0,77 s -1, dimana AC 2 - AB sin 60 ° \u003d 1,04 m (kita akan memperoleh saat mempertimbangkan A AC ~, B).
Sekarang kita menentukan nilai numerik dan arah kecepatan titik-titik tersebut PADA dan D tongkat 2 (karena ABDC 2 sama sisi, lalu BC 2 - DC 2 - - 0,6 m):
![](https://i0.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/378.png)
Pertimbangkan gerakan batang 3. Kecepatan titik D diketahui. Sejak titik e milik batang pada saat yang sama 4, berputar di sekitar sumbu 0 4 , kemudian Y e 10 4 E. Kemudian, melewati titik-titik D dan e garis lurus tegak lurus dengan kecepatan V D w V E , temukan posisi titik C 3 - MCS batang
3. Di arah vektor V D , melihat dari titik tetap С 3 , kami menentukan arah kecepatan sudut с 3 , dan kami menemukan nilai numeriknya (setelah ditentukan sebelumnya dari AZ) C 3 ? segmen Z)C 3 = DEsin 30 ° \u003d 0,35 m): co 3 \u003d V d / C 3 D \u003d 1,32 s -1.
Untuk menentukan kecepatan suatu titik Ke mari menggambar garis lurus COP 3 dan mengingat itu AR K Dari 3 sama sisi ( COP 3 = 0,35 m), hitung Y k \u003d \u003d 0,462 m / s, U ke AKS 3.
Pertimbangkan gerakan rod_4 berputar di sekitar sumbu 0 4 . Mengetahui arah dan nilai numerik VE , kita cari arah dan nilai kecepatan sudut dari 4: from 4 \u003d V e / 0 4 E - 2,67 dtk
Menjawab: VA= 0,8 m/s, VB = VD= 0,462 m/s, V E = 0,8 m / s, co 2 \u003d 0,77 s "1, co 3 \u003d 1,32 s -1, (o 4 \u003d 2,67 s -1, arah besaran ini ditunjukkan pada Gambar 8.11.
Catatan.Dalam mekanisme yang terdiri dari beberapa benda, masing-masing benda yang bergerak non-translasi pada saat tertentu memiliki pusat kecepatan sesaat dan kecepatan sudutnya sendiri.
Soal 8.4. Mekanisme datar terdiri dari batang 1, 2, 3 dan roller menggelinding tanpa selip pada bidang tetap (Gbr. 8.12, sebuah). Sambungan batang antara diri mereka dan batang 3 ke arena skating di titik tersebut D- berengsel. Panjang batang: 1 { - 0,4 m, / 2 = 0,6 m, / 3 = 0,8 m Untuk sudut yang diberikan a = 60°, B = 30°, nilai dan arah sudut HAI gelanggang es V0= 0,346 m/s, ZABD= 90°. Tentukan kecepatan titik PADA dan kecepatan sudut dari 2 .
Larutan. Mekanisme tersebut memiliki dua derajat kebebasan (posisinya ditentukan oleh dua sudut a dan p, independen satu sama lain) dan kecepatan titik PADA(titik persekutuan batang 2 dan 3) tergantung pada kecepatan titik-titik tersebut TETAPI dan D.
Mengingat gerak batang /, n kami menemukan arah dan nilai kecepatan titik A: V A= coj/j = 0,8 m/s, V ajO ( A.
Perhatikan pergerakan roller. Pusat kecepatan sesaat terletak di titik R; kemudian VD temukan dari proporsi
Sejak DOP sama kaki dan sudut akut di dalamnya sama dengan 30 °, lalu DP- 2OP cos 30° = ORl/ 3. Dari persamaan (a) kita temukan VD- 0,6 m/detik. Vektor VD diarahkan tegak lurus DP
Sejak titik PADA milik secara bersamaan ke batang AB dan BD, maka, menurut teorema proyeksi kecepatan, seharusnya: 1) proyeksi vektor di secara langsung B SEBUAH(segmen garis ah dalam gambar. 8.12, sebuah), yaitu SEBUAH cos a = 0,4 m/s; 2) proyeksi vektor di secara langsung D.B. sama dengan proyeksi ke garis vektor ini 0(segmen garis DD dalam gambar. 8.12, sebuah), yaitu 0 cos y = 0,3 m/s (y = 60°).
Mari kita selesaikan secara grafis. Sisihkan dari intinya PADA pemotongan dalam arah yang sesuai Bb (=Aa dan BB 2 = DD. Kecepatan titik PADA sama dengan jumlah vektor VB = Bb + Bbj. Memulihkan dari satu titik b ( tegak lurus ke Bb x, dan dari
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/380.png)
poin b 2 - tegak lurus ke BB 2. Titik perpotongan garis tegak lurus ini menentukan ujung vektor yang diinginkan VB.
Sejak arah segmen BB dan BB 2 saling tegak lurus, maka
Kami menentukan dari 2 . Pada ara. 8.12, b apa yang disebut rencana kecepatan ditampilkan, yang secara grafis menggambarkan kesetaraan vektor
dimana vektor VA dan VB didefinisikan (lihat Gambar 8.12, sebuah), dan arah VBA tegak lurus dengan batang AB. Dari gambar (Gbr. 8.12, b) Temukan
Sekarang kita definisikan dengan 2 = V ba / AB- 1,66 s -1 (arah dari 2 - berlawanan arah jarum jam).
Menjawab: VB- 0,5 m / s, co 2 \u003d 1,66 s -1.
Gerak bangun datar terdiri dari gerak translasi, ketika semua titik pada bangun bergerak dengan kecepatan kutub TETAPI, dan dari gerakan rotasi di sekitar tiang ini (Gbr. 3.4). Kecepatan titik apa pun M angka-angka terbentuk secara geometris dari kecepatan yang diterima titik di setiap gerakan ini.
Gambar 3.4
Memang, posisi titik M dalam kaitannya dengan sumbu Ohy ditentukan oleh jari-jari - vektor , di mana
- radius vektor tiang TETAPI,
=
- vektor radius yang menentukan posisi titik M relatif
bergerak dengan tiang TETAPI secara bertahap. Kemudian
.
adalah kecepatan tiang TETAPI,
sama dengan kecepatan
, titik mana M menerima di
, yaitu tentang sumbu
, atau, dengan kata lain, saat sosok itu berputar mengelilingi tiang TETAPI. Demikian berikut ini
di mana ω adalah kecepatan sudut gambar.
Gambar 3.5
Lewat sini, kelajuan setiap titik M dari suatu bangun datar secara geometris adalah jumlah kelajuan suatu titik A lainnya, yang diambil sebagai kutub, dan kecepatan yang diterima titik M ketika bangun berputar mengelilingi kutub ini. Modul dan arah kecepatan ditemukan dengan membuat jajaran genjang yang sesuai (Gbr. 3.5).
10.3. Teorema tentang proyeksi kecepatan dua titik benda
Salah satu cara sederhana untuk menentukan kecepatan titik-titik pada sosok bidang (atau benda yang bergerak dalam bidang paralel) adalah teorema: proyeksi kecepatan dua titik benda tegar pada sumbu yang melewati titik-titik ini sama satu sama lain.
Gambar 3.6
Pertimbangkan dua poin TETAPI dan PADA sosok datar (atau tubuh) (Gbr. 3.6). Mengambil poin TETAPI per tiang kita mendapatkan itu . Karenanya, memproyeksikan kedua bagian persamaan ke sumbu yang diarahkan bersama AB, dan mengingat bahwa vektor
tegak lurus AB, kami menemukan
|
dan teorema terbukti. Perhatikan bahwa hasil ini juga jelas dari pertimbangan fisik murni: jika persamaan tidak akan dilakukan, lalu saat memindahkan jarak antar titik TETAPI dan PADA harus berubah, yang tidak mungkin - tubuh benar-benar kokoh. Oleh karena itu, persamaan ini dipenuhi tidak hanya untuk bidang-paralel, tetapi juga untuk setiap gerakan benda tegar.
10.4. Penentuan kecepatan titik-titik pada gambar bidang menggunakan pusat kecepatan sesaat
Metode lain yang sederhana dan ilustratif untuk menentukan kecepatan titik-titik pada gambar bidang (atau benda dalam gerakan bidang) didasarkan pada konsep pusat kecepatan sesaat.
Pusat kecepatan sesaat (ICV) adalah titik dari gambar datar, yang kecepatannya pada saat tertentu sama dengan nol.
Jika angka bergerak non-translasi, maka titik seperti itu pada setiap saat t ada dan unik. Biarkan saat ini t poin TETAPI dan PADA bidang gambar memiliki kecepatan dan
, non-paralel satu sama lain (Gbr. 3.7.). Lalu intinya R terletak di persimpangan tegak lurus ah ke vektor
dan PADAb ke vektor
, dan akan menjadi pusat kecepatan sesaat, karena
.
Gambar 3.7
Memang, jika , kemudian dengan teorema proyeksi kecepatan vektor
harus tegak lurus dan AR(karena
), dan BP(karena
), yang tidak mungkin. Dari teorema yang sama, jelaslah bahwa tidak ada titik lain pada gambar pada saat ini yang dapat memiliki kecepatan sama dengan nol.
Jika saat ini t mengambil titik R per tiang. Itulah kecepatan intinya TETAPI akan
,
karena =0. Hasil yang sama diperoleh untuk titik lain dari gambar tersebut. Kemudian, kecepatan titik-titik suatu bangun datar ditentukan pada saat tertentu seolah-olah pergerakan bangun tersebut merupakan rotasi di sekitar pusat kecepatan sesaat. Di mana
|
dan seterusnya untuk setiap titik gambar.
Ini juga mengikuti dari ini bahwa dan
, kemudian
|
itu. Apa kecepatan titik-titik pada gambar bidang sebanding dengan jaraknya dari pusat kecepatan sesaat.
Hasil yang diperoleh mengarah pada kesimpulan berikut:
1. Untuk menentukan pusat kecepatan sesaat, perlu diketahui hanya arah kecepatan, misalnya,dan
dua titik A dan B dari suatu bangun datar.
2. Untuk menentukan kecepatan titik mana pun pada gambar bidang, Anda perlu mengetahui modulus dan arah kecepatan salah satu titik A pada gambar dan arah kecepatan titik B lainnya.
3. Kecepatan sudutsuatu bangun datar sama pada setiap saat dengan rasio kecepatan beberapa titik pada bangun tersebut terhadap jaraknya dari pusat kecepatan sesaat P:
|
Mari kita cari ungkapan lain untuk ω
dari persamaan dan
mengikuti itu
dan
, di mana
|
Mari kita pertimbangkan beberapa kasus khusus dari definisi PKS, yang akan membantu memecahkan mekanika teoretis.
1. Jika gerakan bidang-sejajar dilakukan dengan menggelinding tanpa menggeser satu benda silinder pada permukaan benda diam lainnya, maka titik R dari benda bergulir yang menyentuh permukaan tetap (Gbr. 3.8), pada saat tertentu, karena tidak adanya slip, memiliki kecepatan sama dengan nol ( ), dan karenanya adalah pusat kecepatan sesaat.
Gambar 3.8
2. Jika poin kecepatan TETAPI dan PADA angka datar sejajar satu sama lain, dan garis AB tidak tegak lurus (Gbr. 3.9, a), maka pusat kecepatan sesaat terletak pada tak terhingga dan kecepatan semua titik //
. Dalam hal ini, mengikuti dari teorema proyeksi kecepatan bahwa
, yaitu
, dalam hal ini gambar tersebut memiliki gerak translasi sesaat.
3. Jika poin kecepatan TETAPI dan PADA sosok datar // satu sama lain dan pada saat yang sama garis AB tegak lurus , maka pusat kecepatan sesaat R ditentukan oleh konstruksi (Gbr. 3.9, b).
Gambar 3.9
Validitas konstruksi mengikuti dari . Dalam hal ini, tidak seperti yang sebelumnya, temukan pusatnya R selain petunjuk arah, Anda juga perlu mengetahui modul kecepatan
dan
.
4. Jika vektor kecepatan diketahui beberapa titik PADA gambar dan kecepatan sudutnya ω
, maka posisi pusat kecepatan sesaat R berbaring tegak lurus
(lihat Gambar. ?), dapat ditemukan dari persamaan
, yang memberikan
.