จำนวนเชิงซ้อนและอนุกรมที่มีเงื่อนไขเชิงซ้อน อนุกรมลู่เข้าของจำนวนเชิงซ้อน อนุกรมลู่เข้าของจำนวนเชิงซ้อนโดยสมบูรณ์
วิธีมาตรฐานแต่ถึงทางตันกับอีกตัวอย่างหนึ่ง
ความยากคืออะไรและจะมีอุปสรรค์ได้ที่ไหน? ลองวางเชือกสบู่วิเคราะห์เหตุผลอย่างใจเย็นและทำความคุ้นเคยกับวิธีการแก้ปัญหาที่ใช้งานได้จริง
อันดับแรกและสำคัญที่สุด: ในกรณีส่วนใหญ่ เพื่อศึกษาการบรรจบกันของอนุกรม จำเป็นต้องใช้วิธีการที่คุ้นเคย แต่คำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมนั้นเต็มไปด้วยการยัดเยียดที่ยุ่งยากจนไม่ชัดเจนว่าจะทำอย่างไรกับมัน . และคุณวนเป็นวงกลม: สัญญาณแรกใช้ไม่ได้, ที่สองใช้ไม่ได้, วิธีที่สาม, สี่, ห้าใช้ไม่ได้ จากนั้นแบบร่างก็ถูกโยนทิ้งไปและทุกอย่างเริ่มต้นใหม่อีกครั้ง ซึ่งมักเกิดจากการขาดประสบการณ์หรือช่องว่างในส่วนอื่นๆ ของแคลคูลัส โดยเฉพาะถ้าเป็นการวิ่ง ขีด จำกัด ของลำดับและถอดประกอบอย่างผิวเผิน ขีด จำกัด ของฟังก์ชันแล้วมันจะยาก
กล่าวอีกนัยหนึ่งคน ๆ หนึ่งไม่เห็นวิธีแก้ปัญหาที่จำเป็นเนื่องจากขาดความรู้หรือประสบการณ์
บางครั้ง "อุปราคา" ก็เป็นโทษเช่นกัน เมื่อเกณฑ์ที่จำเป็นสำหรับการบรรจบกันของอนุกรมไม่เป็นไปตามความเป็นจริง แต่เนื่องจากความไม่รู้ ความเลินเล่อ หรือความประมาทเลินเล่อ สิ่งนี้จึงคลาดสายตาไป และปรากฎว่าในจักรยานคันนั้นที่ศาสตราจารย์คณิตศาสตร์แก้ปัญหาของเด็กด้วยความช่วยเหลือของลำดับที่เกิดซ้ำและชุดตัวเลข =)
ในประเพณีที่ดีที่สุด ตัวอย่างชีวิตทันที: แถว และญาติของพวกเขา - แตกต่างกันเนื่องจากได้รับการพิสูจน์ในทางทฤษฎีแล้ว ขีด จำกัด ของลำดับ. เป็นไปได้มากว่าในภาคการศึกษาแรกคุณจะถูกตีออกจากจิตวิญญาณของคุณเพื่อพิสูจน์หน้า 1-2-3 แต่ตอนนี้ก็เพียงพอแล้วที่จะแสดงให้เห็นว่าไม่ตรงตามเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการบรรจบกันของซีรีส์ เพื่อทราบข้อเท็จจริง มีชื่อเสียง? หากนักเรียนไม่ทราบว่ารากของระดับที่ n เป็นสิ่งที่ทรงพลังอย่างยิ่ง วางเขาไว้ในร่อง แม้ว่าวิธีแก้ปัญหาจะเป็นเหมือนสองและสอง: , เช่น ด้วยเหตุผลที่ชัดเจน ซีรีส์ทั้งสองจึงแตกต่างกัน ความคิดเห็นเล็กน้อย “ขีดจำกัดเหล่านี้ได้รับการพิสูจน์ในทางทฤษฎีแล้ว” (หรือแม้แต่ไม่มีเลย) ก็เพียงพอแล้วสำหรับการชดเชย ท้ายที่สุดแล้ว การคำนวณนั้นค่อนข้างหนักและไม่ได้อยู่ในกลุ่มของอนุกรมตัวเลขอย่างแน่นอน
และหลังจากศึกษาตัวอย่างต่อไป คุณจะประหลาดใจกับความกะทัดรัดและความโปร่งใสของวิธีแก้ปัญหามากมาย:
ตัวอย่างที่ 1
ตรวจสอบการบรรจบกันของอนุกรม
วิธีการแก้: ก่อนอื่น ตรวจสอบการดำเนินการ เกณฑ์ที่จำเป็นสำหรับการบรรจบกัน. นี่ไม่ใช่พิธีการ แต่เป็นโอกาสที่ดีที่จะจัดการกับตัวอย่าง "การนองเลือดเล็กน้อย"
"การตรวจสอบฉาก" แนะนำอนุกรมไดเวอร์เจนต์ (กรณีของอนุกรมฮาร์มอนิกทั่วไป) แต่คำถามก็เกิดขึ้นอีก จะพิจารณาลอการิทึมในตัวเศษอย่างไร
ตัวอย่างงานโดยประมาณในตอนท้ายของบทเรียน
ไม่ใช่เรื่องแปลกเมื่อคุณต้องใช้เหตุผลแบบสองทาง (หรือสามทาง):
ตัวอย่างที่ 6
ตรวจสอบการบรรจบกันของอนุกรม
วิธีการแก้: ขั้นแรก จัดการกับคำที่ไม่มีความหมายของตัวเศษอย่างระมัดระวัง ลำดับถูกจำกัด: . แล้ว:
ลองเปรียบเทียบซีรีส์ของเรากับซีรีส์ โดยอาศัยอสมการสองเท่าที่เพิ่งได้รับ สำหรับ "en" ทั้งหมด จะเป็นจริง:
ทีนี้มาเปรียบเทียบอนุกรมกับอนุกรมไดเวอร์เจนต์ฮาร์มอนิกกัน
เศษส่วน น้อยตัวส่วนของเศษส่วน ดังนั้น เศษส่วนนั่นเอง – มากกว่าเศษส่วน (จดคำศัพท์สองสามคำแรก ถ้าไม่ชัดเจน) ดังนั้นสำหรับ "en" ใด ๆ :
ดังนั้นโดยการเปรียบเทียบซีรีส์ ความแตกต่างพร้อมกับชุดฮาร์มอนิก
ถ้าเราเปลี่ยนตัวส่วนเล็กน้อย: จากนั้นส่วนแรกของการให้เหตุผลจะคล้ายกัน: . แต่เพื่อพิสูจน์ความแตกต่างของอนุกรม มีเพียงการทดสอบขีดจำกัดของการเปรียบเทียบเท่านั้นที่ใช้ได้แล้ว เนื่องจากอสมการนั้นเป็นเท็จ
สถานการณ์ที่มีอนุกรมลู่เข้าคือ "กระจกเงา" ตัวอย่างเช่น สำหรับอนุกรม สามารถใช้เกณฑ์การเปรียบเทียบทั้งสองเกณฑ์ (อสมการเป็นจริง) และสำหรับอนุกรม เกณฑ์จำกัดเท่านั้น (อสมการเป็นเท็จ)
เราเดินทางซาฟารีต่อไปในป่าซึ่งมีฝูงแอนทีโลปที่สง่างามและฉ่ำน้ำปรากฏขึ้นที่ขอบฟ้า:
ตัวอย่างที่ 7
ตรวจสอบการบรรจบกันของอนุกรม
วิธีการแก้: เป็นไปตามเกณฑ์การบรรจบกันที่จำเป็นและเราถามคำถามคลาสสิกอีกครั้ง: จะทำอย่างไร ก่อนหน้าเรามีบางสิ่งที่คล้ายกับอนุกรมลู่เข้า แต่ไม่มีกฎที่ชัดเจนที่นี่ - การเชื่อมโยงดังกล่าวมักจะหลอกลวง
บ่อย แต่ไม่ใช่ครั้งนี้ โดยใช้ จำกัด เกณฑ์การเปรียบเทียบลองเปรียบเทียบอนุกรมของเรากับอนุกรมลู่เข้า เมื่อคำนวณขีด จำกัด เราใช้ ขีด จำกัด ที่ยอดเยี่ยม , ในทางตรงกันข้าม น้อยย่อมาจาก:
มาบรรจบกันร่วมกับ .
แทนที่จะใช้เทคนิคประดิษฐ์มาตรฐานของการคูณและการหารด้วย "สาม" มันเป็นไปได้ที่จะเปรียบเทียบกับอนุกรมบรรจบกันในขั้นต้น
แต่ขอเตือนไว้ก่อนว่าตัวคูณค่าคงที่ของพจน์ทั่วไปไม่ส่งผลต่อการบรรจบกันของอนุกรม และในรูปแบบนี้โซลูชันของตัวอย่างต่อไปนี้ได้รับการออกแบบ:
ตัวอย่างที่ 8
ตรวจสอบการบรรจบกันของอนุกรม
ตัวอย่างท้ายบทเรียน
ตัวอย่างที่ 9
ตรวจสอบการบรรจบกันของอนุกรม
วิธีการแก้: ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราใช้ขอบเขตของไซน์ แต่ตอนนี้คุณสมบัตินี้ไม่ได้เล่นแล้ว ตัวส่วนของเศษส่วนที่สูงขึ้น ลำดับการเจริญเติบโตมากกว่าตัวเศษ ดังนั้น เมื่ออาร์กิวเมนต์ไซน์และพจน์ทั่วไปทั้งหมด เล็กมาก. ตามที่คุณเข้าใจเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการบรรจบกันคือความพึงพอใจซึ่งไม่อนุญาตให้เราหลบเลี่ยงจากการทำงาน
เราจะดำเนินการลาดตระเวน: ตาม ความเท่าเทียมกันที่น่าทึ่ง , ทิ้งไซน์ในใจและรับซีรีส์ อะไรแบบนั้น….
ตัดสินใจ:
ให้เราเปรียบเทียบอนุกรมที่กำลังศึกษากับอนุกรมไดเวอร์เจนต์ เราใช้เกณฑ์การเปรียบเทียบขีดจำกัด:
ให้เราแทนที่ค่าเล็กน้อยด้วยค่าที่เทียบเท่า: สำหรับ .
จะได้จำนวนจำกัดที่ไม่ใช่ศูนย์ ซึ่งหมายความว่าอนุกรมที่กำลังศึกษาอยู่ ความแตกต่างพร้อมกับชุดฮาร์มอนิก
ตัวอย่างที่ 10
ตรวจสอบการบรรจบกันของอนุกรม
นี่คือตัวอย่างที่ทำเอง
สำหรับการวางแผนการดำเนินการเพิ่มเติมในตัวอย่างดังกล่าว การปฏิเสธทางจิตของไซน์ อาร์กไซน์ แทนเจนต์ อาร์คแทนเจนต์ช่วยได้มาก แต่โปรดจำไว้ว่าความเป็นไปได้นี้จะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ น้อยอาร์กิวเมนต์ เมื่อไม่นานมานี้ฉันได้พบกับซีรีส์ที่เร้าใจ:
ตัวอย่างที่ 11
ตรวจสอบการบรรจบกันของอนุกรม
.
วิธีการแก้: มันไม่มีประโยชน์ที่จะใช้ข้อ จำกัด ของส่วนโค้งแทนเจนต์ที่นี่และความเท่าเทียมกันก็ใช้ไม่ได้เช่นกัน ผลลัพธ์นั้นเรียบง่ายอย่างน่าประหลาดใจ:
ชุดการศึกษา ความแตกต่างเนื่องจากเกณฑ์ที่จำเป็นสำหรับการบรรจบกันของซีรีส์ไม่เป็นที่พอใจ
เหตุผลที่สอง"Gag on the job" ประกอบด้วยความซับซ้อนที่เหมาะสมของสมาชิกทั่วไปซึ่งทำให้เกิดปัญหาทางเทคนิค กล่าวโดยคร่าว ๆ หากซีรีส์ที่กล่าวถึงข้างต้นอยู่ในหมวดหมู่ของ "ตัวเลขที่คุณเดา" แสดงว่าสิ่งเหล่านี้อยู่ในหมวดหมู่ของ "คุณตัดสินใจ" ที่จริงแล้วสิ่งนี้เรียกว่าความซับซ้อนในความหมาย "ปกติ" ไม่ใช่ทุกคนที่จะแก้ไขแฟกทอเรียลองศารากและผู้อยู่อาศัยอื่น ๆ ของทุ่งหญ้าสะวันนาได้อย่างถูกต้อง แน่นอนว่าแฟกทอเรียลทำให้เกิดปัญหามากที่สุด:
ตัวอย่างที่ 12
ตรวจสอบการบรรจบกันของอนุกรม
จะเพิ่มแฟคทอเรียลเป็นยกกำลังได้อย่างไร? อย่างง่ายดาย. ตามกฎของการดำเนินการที่มีอำนาจ จำเป็นต้องยกปัจจัยแต่ละรายการของผลิตภัณฑ์ให้มีอำนาจ:
และแน่นอน ความสนใจและความสนใจอีกครั้ง เครื่องหมาย d'Alembert นั้นทำงานแบบดั้งเดิม:
ดังนั้นชุดที่อยู่ระหว่างการศึกษา มาบรรจบกัน.
ฉันเตือนคุณถึงเทคนิคที่มีเหตุผลในการขจัดความไม่แน่นอน: เมื่อมีความชัดเจน ลำดับการเจริญเติบโตตัวเศษและตัวส่วน - ไม่จำเป็นเลยที่จะต้องทนทุกข์และเปิดวงเล็บ
ตัวอย่างที่ 13
ตรวจสอบการบรรจบกันของอนุกรม
สัตว์ร้ายนั้นหายากมาก แต่มันถูกพบ และมันไม่ยุติธรรมเลยที่จะเลี่ยงมันด้วยเลนส์กล้อง
เครื่องหมายอัศเจรีย์คู่แฟกทอเรียลคืออะไร? แฟกทอเรียล "ลม" ผลคูณของเลขคู่บวก:
ในทำนองเดียวกัน แฟกทอเรียล "จบลง" ผลคูณของจำนวนคี่ที่เป็นบวก:
วิเคราะห์ว่าอะไรคือความแตกต่างระหว่าง
ตัวอย่างที่ 14
ตรวจสอบการบรรจบกันของอนุกรม
และในงานนี้ พยายามอย่าสับสนกับองศา ความเท่าเทียมกันที่ยอดเยี่ยมและ ขีด จำกัด ที่ยอดเยี่ยม.
ตัวอย่างเฉลยและคำตอบท้ายบทเรียน
แต่นักเรียนไม่ได้ให้อาหารเสือเท่านั้น เสือดาวเจ้าเล่ห์ยังติดตามเหยื่อของพวกมันด้วย:
ตัวอย่างที่ 15
ตรวจสอบการบรรจบกันของอนุกรม
วิธีการแก้: เกณฑ์ที่จำเป็นของการบรรจบกัน, เกณฑ์จำกัด, เกณฑ์ d'Alembert และ Cauchy หายไปเกือบจะในทันที แต่ที่เลวร้ายที่สุดคือคุณลักษณะที่มีความไม่เท่าเทียมกันซึ่งช่วยเราซ้ำแล้วซ้ำเล่านั้นไม่มีอำนาจ อันที่จริง การเปรียบเทียบกับอนุกรมไดเวอร์เจนต์นั้นเป็นไปไม่ได้ เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกัน ไม่ถูกต้อง - ตัวคูณลอการิทึมจะเพิ่มตัวส่วนเท่านั้นลดเศษส่วนลง สัมพันธ์กับเศษส่วน และอีกคำถามระดับโลก: ทำไมเราถึงแน่ใจว่าซีรีส์ของเราในตอนแรก ผูกพันกับไดเวอร์เจนท์และต้องเทียบกับอนุกรมไดเวอร์เจนท์บางตัว? เขาเข้ากันได้หรือไม่?
คุณสมบัติครบถ้วน? อินทิกรัลที่ไม่เหมาะสม ทำให้เกิดอารมณ์โศกเศร้า ทีนี้ถ้าเรามีแถว … ถ้าอย่างนั้นก็ใช่ หยุด! นี่คือวิธีที่ความคิดเกิดขึ้น เราตัดสินใจในสองขั้นตอน:
1) ขั้นแรก เราศึกษาการบรรจบกันของอนุกรม . เราใช้ คุณสมบัติที่สำคัญ:
อินทิกรัล ต่อเนื่องบน
ดังนั้นจำนวนหนึ่ง แยกออกจากกันด้วยอินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมที่สอดคล้องกัน
2) เปรียบเทียบอนุกรมของเรากับอนุกรมที่แตกต่างกัน . เราใช้เกณฑ์การเปรียบเทียบขีดจำกัด:
จะได้จำนวนจำกัดที่ไม่ใช่ศูนย์ ซึ่งหมายความว่าอนุกรมที่กำลังศึกษาอยู่ ความแตกต่างพร้อมเคียงข้าง .
และไม่มีอะไรผิดปกติหรือสร้างสรรค์ในการตัดสินใจเช่นนี้ - นั่นคือสิ่งที่ควรตัดสินใจ!
ฉันเสนอที่จะวาดการเคลื่อนไหวสองครั้งต่อไปนี้อย่างอิสระ:
ตัวอย่างที่ 16
ตรวจสอบการบรรจบกันของอนุกรม
นักเรียนที่มีประสบการณ์ในกรณีส่วนใหญ่จะเห็นทันทีว่าซีรีส์มาบรรจบกันหรือแยกจากกัน แต่มันเกิดขึ้นที่นักล่าปลอมตัวอย่างชาญฉลาดในพุ่มไม้:
ตัวอย่างที่ 17
ตรวจสอบการบรรจบกันของอนุกรม
วิธีการแก้: เมื่อมองแวบแรกก็ไม่ชัดเจนว่าซีรีส์นี้มีพฤติกรรมอย่างไร และถ้าเรามีหมอกอยู่ข้างหน้าเราก็มีเหตุผลที่จะเริ่มต้นด้วยการตรวจสอบเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการบรรจบกันของซีรีส์อย่างคร่าวๆ เพื่อขจัดความไม่แน่นอน เราใช้สิ่งที่ไม่มีวันจม วิธีคูณหารด้วยนิพจน์ติดกัน:
สัญญาณที่จำเป็นของการบรรจบกันไม่ได้ผล แต่ทำให้สหาย Tambov ของเราสว่างขึ้น ผลจากการแปลงที่ดำเนินการ ทำให้ได้อนุกรมที่เทียบเท่ากัน ซึ่งจะมีลักษณะคล้ายอนุกรมลู่เข้าอย่างมาก
เราเขียนวิธีแก้ปัญหาที่สะอาด:
เปรียบเทียบอนุกรมนี้กับอนุกรมลู่เข้า เราใช้เกณฑ์การเปรียบเทียบขีดจำกัด:
คูณและหารด้วยนิพจน์ที่อยู่ติดกัน:
จะได้จำนวนจำกัดที่ไม่ใช่ศูนย์ ซึ่งหมายความว่าอนุกรมที่กำลังศึกษาอยู่ มาบรรจบกันร่วมกับ .
อาจมีบางคนสงสัยว่าหมาป่าในแอฟริกาซาฟารีของเรามาจากไหน? ไม่รู้. พวกเขาคงนำมันมา คุณจะได้รับสกินรางวัลดังต่อไปนี้:
ตัวอย่างที่ 18
ตรวจสอบการบรรจบกันของอนุกรม
ตัวอย่างการแก้ปัญหาในตอนท้ายของบทเรียน
และสุดท้าย อีกหนึ่งความคิดที่มาเยือนนักเรียนหลายคนที่สิ้นหวัง: แทนที่จะใช้เกณฑ์ที่หายากกว่าสำหรับการบรรจบกันของอนุกรม? สัญลักษณ์ของ Raabe, สัญลักษณ์ของ Abel, สัญลักษณ์ของ Gauss, สัญลักษณ์ของ Dirichlet และสัตว์อื่น ๆ ที่ไม่รู้จัก แนวคิดนี้ใช้ได้ผล แต่ในตัวอย่างจริงมีการนำไปใช้น้อยมาก โดยส่วนตัวแล้วตลอดหลายปีของการปฏิบัติฉันใช้เพียง 2-3 ครั้งเท่านั้น สัญญาณของ Raabeเมื่อไม่มีอะไรช่วยได้จริงๆ จากคลังแสงมาตรฐาน ฉันทำซ้ำเส้นทางของภารกิจสุดขีดของฉันอย่างเต็มรูปแบบ:
ตัวอย่างที่ 19
ตรวจสอบการบรรจบกันของอนุกรม
วิธีการแก้: สัญญาณของ d'Alembert อย่างไม่ต้องสงสัย ในการคำนวณฉันใช้คุณสมบัติขององศาอย่างแข็งขันเช่นเดียวกับ ขีด จำกัด ที่ยอดเยี่ยมที่สอง:
นี่คือหนึ่งสำหรับคุณ เครื่องหมายของ D'Alembert ไม่ได้ให้คำตอบ แม้ว่าจะไม่มีอะไรคาดเดาถึงผลลัพธ์ดังกล่าวได้
หลังจากอ่านคู่มือนี้แล้ว ฉันพบขีดจำกัดที่ไม่ค่อยมีใครรู้จักซึ่งได้รับการพิสูจน์ในทางทฤษฎีและใช้เกณฑ์ Cauchy ที่รุนแรงกว่า:
นี่คือสองสำหรับคุณ และที่สำคัญที่สุดคือยังไม่ชัดเจนว่าซีรีส์จะมาบรรจบกันหรือแยกออกจากกัน (เป็นสถานการณ์ที่หายากมากสำหรับฉัน) เครื่องหมายเปรียบเทียบที่จำเป็น? หากไม่มีความหวังมากนัก - แม้ว่าฉันจะคิดลำดับการเติบโตของตัวเศษและตัวส่วนด้วยวิธีที่คิดไม่ถึง แต่มันก็ไม่ได้รับประกันว่าจะได้รับรางวัล
d'Alembert ที่สมบูรณ์ แต่สิ่งที่แย่ที่สุดคือซีรีส์ต้องได้รับการแก้ไข ความต้องการ. ต่อจากนี้จะเป็นครั้งแรกที่ฉันยอมแพ้ จากนั้นฉันก็จำได้ว่าดูเหมือนจะมีสัญญาณบางอย่างที่ทรงพลังกว่านั้น ต่อหน้าข้าพเจ้าไม่ใช่หมาป่า ไม่ใช่เสือดาว และไม่ใช่เสืออีกต่อไป มันเป็นช้างขนาดใหญ่โบกงวงขนาดใหญ่ ฉันต้องหยิบเครื่องยิงลูกระเบิด:
สัญญาณของ Raabe
พิจารณาอนุกรมจำนวนบวก
หากมีขีดจำกัด , แล้ว:
ก) ที่แถว ความแตกต่าง. ยิ่งกว่านั้น ค่าผลลัพธ์อาจเป็นศูนย์หรือติดลบก็ได้
b) ในแถว มาบรรจบกัน. โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ซีรีส์มาบรรจบกันสำหรับ
ค) เมื่อ สัญญาณของ Raabe ไม่ได้ให้คำตอบ.
เราสร้างขีด จำกัด และทำให้เศษส่วนง่ายขึ้นอย่างระมัดระวัง:
ใช่ ภาพคือ พูดอย่างอ่อนโยน ไม่เป็นที่พอใจ แต่ฉันไม่แปลกใจอีกต่อไป กฎโลจิสติกและความคิดแรกเมื่อปรากฏในภายหลังกลับกลายเป็นว่าถูกต้อง แต่ก่อนอื่น ประมาณหนึ่งชั่วโมงฉันได้บิดและเปลี่ยนขีดจำกัดโดยใช้วิธี "ปกติ" แต่ความไม่แน่นอนไม่ต้องการถูกกำจัด และการเดินเป็นวงกลมตามประสบการณ์บอกเป็นสัญญาณทั่วไปว่าได้เลือกวิธีการแก้ปัญหาที่ผิด
ฉันต้องหันไปหาภูมิปัญญาชาวบ้านของรัสเซีย: "ถ้าไม่มีอะไรช่วยอ่านคำแนะนำ" และเมื่อฉันเปิด Fichtenholtz เล่มที่ 2 ฉันพบการศึกษาในซีรีส์ที่เหมือนกันด้วยความยินดีอย่างยิ่ง แล้ววิธีแก้ไขก็เป็นไปตามแบบ
1. จำนวนเชิงซ้อน จำนวนเชิงซ้อนเรียกหมายเลขของแบบฟอร์ม x+iy,ที่ไหน เอ็กซ์และ y -จำนวนจริง ผม-หน่วยจินตภาพ,กำหนดโดยความเท่าเทียมกัน ฉัน 2 = -1จำนวนจริง เอ็กซ์และ ที่ถูกเรียกตามลำดับ ถูกต้องและ ชิ้นส่วนในจินตนาการจำนวนเชิงซ้อน ซีสำหรับพวกเขา มีการแนะนำสัญกรณ์: x=เรซ; y=อิม.
ทางเรขาคณิต ทุกๆ จำนวนเชิงซ้อน z=x+iyแทนด้วยจุด ม (x; y)ระนาบพิกัด xOy(รูปที่ 26) ในกรณีนี้คือเครื่องบิน เฮ้เรียกว่าระนาบจำนวนเชิงซ้อน หรือ ระนาบของตัวแปรเชิงซ้อน z
พิกัดเชิงขั้ว รและ φ คะแนน เอ็มซึ่งเป็นรูปของจำนวนเชิงซ้อน z เรียกว่า โมดูลและ การโต้แย้งจำนวนเชิงซ้อน z; มีการแนะนำสัญกรณ์สำหรับพวกเขา: r=|z|, φ=อาร์กซ์
เนื่องจากแต่ละจุดของระนาบสอดคล้องกับค่ามุมขั้วจำนวนไม่สิ้นสุดซึ่งแตกต่างกัน 2kπ (k เป็นจำนวนเต็มบวกหรือลบ) Arg จึงเป็นฟังก์ชัน z ที่มีค่าอนันต์ของ z
ค่าของมุมขั้ว φ ซึ่งเป็นไปตามอสมการ –π< φ ≤ π เรียกว่า ความสำคัญหลักอาร์กิวเมนต์ z และแสดงว่า arg z
ในต่อไปนี้การกำหนด φ บันทึกเฉพาะค่าหลักของอาร์กิวเมนต์ z , เหล่านั้น. ใส่กันเถอะ φ =argz,โดยที่สำหรับค่าอื่น ๆ ทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ ซีเราได้รับความเท่าเทียมกัน
หาเรื่อง z = หาเรื่อง z + 2kπ =φ + 2kπ
ความสัมพันธ์ระหว่างโมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน z กับส่วนจริงและส่วนจินตภาพของมันถูกสร้างโดยสูตร
x = r คอส φ; y = r บาป φ
การโต้แย้ง ซีสามารถกำหนดได้ด้วยสูตร
หาเรื่อง z = arctg (y / x) + ค
ที่ไหน จาก= 0 ที่ x > 0, จาก= +π สำหรับ x<0, ที่> 0; C \u003d - π ที่ x < 0, ที่< 0.
เปลี่ยน xและ ที่ในสัญกรณ์จำนวนเชิงซ้อน z = x+iyการแสดงออกของพวกเขาผ่าน รและ φ เราได้รับสิ่งที่เรียกว่า รูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน:
จำนวนเชิงซ้อน z 1 \u003d x 1 + iy 1และ z 2 \u003d x 2 + iy 2ที่พิจารณา เท่ากันก็ต่อเมื่อส่วนจริงและส่วนจินตภาพเท่ากันโดยแยกจากกัน:
z1 = z2, ถ้า x 1 = x 2, y 1 = y 2 .
สำหรับตัวเลขที่กำหนดในรูปแบบตรีโกณมิติ ความเท่าเทียมกันจะเกิดขึ้นหากโมดูลของตัวเลขเหล่านี้เท่ากัน และอาร์กิวเมนต์ต่างกันด้วยจำนวนเต็มทวีคูณของ 2π:
z 1 = z 2,ถ้า |z 1 | = |z 2 |และ หาเรื่อง z 1 = หาเรื่อง z 2 +2kπ
จำนวนเชิงซ้อนสองตัว z = x+iyและ z = x -iyเรียกว่ามีส่วนจริงและส่วนจินตภาพตรงข้ามกัน ผันสำหรับการผันจำนวนเชิงซ้อน ความสัมพันธ์
|z 1 | = |z 2 |; หาเรื่อง z 1 = -หาเรื่อง z 2,
(ความเท่าเทียมกันสุดท้ายสามารถได้รับแบบฟอร์ม หาค่า z 1 + หาค่า z 2 = 2kπ).
การดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อนถูกกำหนดโดยกฎต่อไปนี้
ส่วนที่เพิ่มเข้าไป. ถ้า ก z 1 \u003d x 1 + iy 1, z 2 \u003d x 2 + iy 2, แล้ว
การบวกจำนวนเชิงซ้อนเป็นไปตามกฎการสลับที่และการเชื่อมโยง:
การลบ ถ้า ก , แล้ว
สำหรับคำอธิบายทางเรขาคณิตของการบวกและการลบจำนวนเชิงซ้อน จะมีประโยชน์หากแสดงตัวเลขเหล่านั้นไม่ใช่จุดบนระนาบ ซีและเวกเตอร์: จำนวน z = x + iyแทนด้วยเวกเตอร์ มีจุดเริ่มต้นที่จุด O (จุด "ศูนย์" ของระนาบ - ที่มาของพิกัด) และสิ้นสุดที่จุด ม(x; y).จากนั้นการบวกและการลบจำนวนเชิงซ้อนจะดำเนินการตามกฎการบวกและการลบเวกเตอร์ (รูปที่ 27)
การตีความทางเรขาคณิตของการดำเนินการบวกและการลบเวกเตอร์ทำให้ง่ายต่อการสร้างทฤษฎีบทเกี่ยวกับโมดูลัสของผลรวมและผลต่างของสองและผลรวมของจำนวนเชิงซ้อนหลายตัวที่แสดงโดยอสมการ:
| |z 1 |-|z 2 | | ≤ |z 1 ±z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 | ,
นอกจากนี้ยังเป็นประโยชน์ในการจดจำว่า โมดูลัสของผลต่างของจำนวนเชิงซ้อนสองตัว z1 และ z2 เท่ากับระยะห่างระหว่างจุดที่เป็นภาพบนระนาบ z:| |z 1 -z 2 |=d(z 1 ,z 2) .
การคูณ ถ้า ก z 1 \u003d x 1 + iy 1, z 2 \u003d x 2 + iy 2. แล้ว
z 1 z 2 \u003d (x 1 x 2 -y 1 y 2) + ผม (x 1 y 2 + x 2 y 1)
ดังนั้น จำนวนเชิงซ้อนจะถูกคูณเป็นเลขทวินาม โดย i 2 จะถูกแทนที่ด้วย -1
ถ้างั้น
ทางนี้, โมดูลัสของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลคูณของโมดูลของ somnoektels และอาร์กิวเมนต์ของผลิตภัณฑ์-ผลรวมของการโต้แย้งของปัจจัยการคูณจำนวนเชิงซ้อนเป็นไปตามกฎการสับเปลี่ยน การเชื่อมโยง และการกระจาย (เกี่ยวกับการบวก):
แผนก.ในการหาผลหารของจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวนที่กำหนดในรูปแบบพีชคณิต เงินปันผลและตัวหารควรคูณด้วยจำนวนที่เชื่อมกันของตัวหาร:
" ถ้า ก ให้อยู่ในรูปตรีโกณมิติแล้ว
ทางนี้, โมดูลัสของผลหารเท่ากับผลหารของโมดูลัสของเงินปันผลและตัวหารก การโต้แย้งส่วนตัว เท่ากับผลต่างระหว่างการโต้แย้งของเงินปันผลและตัวหาร
ยกกำลัง ถ้า z= , ตามสูตรทวินามของนิวตันที่เรามี
(ปเป็นจำนวนเต็มบวก); ในนิพจน์ผลลัพธ์จำเป็นต้องเปลี่ยนองศา ผมความหมายของพวกเขา:
ฉัน 2 \u003d -1; ฉัน 3 = ฉัน; ฉัน 4 = 1; ฉัน 5 = 1,…
และโดยทั่วไป
ฉัน 4k = 1; ฉัน 4k+1 = ฉัน; ฉัน 4k+2 = -1; ฉัน 4k+3 = -ฉัน .
ถ้า แล้ว
(ที่นี่ พีเป็นจำนวนเต็มบวกหรือจำนวนเต็มลบก็ได้)
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง,
(สูตรของเดอมัวร์).
การสกัดราก. ถ้า ก พีเป็นจำนวนเต็มบวก แล้วเป็นรากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน ซีมีค่าต่างกัน n ค่า ซึ่งหาได้จากสูตร
โดยที่ k=0, 1, 2, ..., n-1.
437.
ค้นหา (z 1 z 2)/z 3 ถ้า z1 = 3 + 5i, z 2 = 2 + 3i, z 3 = 1+2i
∆
438.
ตัวเลข ซี= 2 + 5i.
∆ ค้นหาโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน: ค้นหาค่าหลักของอาร์กิวเมนต์: . ดังนั้น ▲
439.
เป็นตัวแทนในรูปแบบตรีโกณมิติของคอมเพล็กซ์
ตัวเลข
∆ ค้นหา , ; , , เช่น.
440.
เป็นตัวแทนในรูปแบบตรีโกณมิติที่ซับซ้อน
หมายเลข 1, ผม, -1, -i
441.
เป็นตัวแทนของตัวเลข ,
,
ในรูปตรีโกณมิติแล้วหาจำนวนเชิงซ้อน
z 1 /(z 2 z 3).
∆ ค้นหา
เพราะเหตุนี้,
442. ค้นหาค่าทั้งหมด
∆ เราเขียนจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ เรามี , , . เพราะเหตุนี้,
เพราะเหตุนี้, , ,
443. แก้สมการเลขฐานสอง ω 5 + 32i = 0.
∆ ให้เราเขียนสมการใหม่ในรูป ω 5 + 32i = 0. ตัวเลข -32iแสดงในรูปแบบตรีโกณมิติ:
ถ้า ก k = 0จากนั้น (ก).
k=1,(ข).
k=2,(ค).
k=3,(ง).
k=4,(จ).
รากของสมการสองพจน์สอดคล้องกับจุดยอดของรูปห้าเหลี่ยมปกติที่จารึกไว้ในวงกลมรัศมี R=2โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด (รูปที่ 28)
โดยทั่วไป รากของสมการสองพจน์ ω n \u003d กที่ไหน ก- จำนวนเชิงซ้อนตรงกับจุดยอดของปกติ น- เหลี่ยมจารึกเป็นวงกลมโดยมีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและรัศมีเท่ากับ ▲
444. ใช้สูตรของ De Moivre ด่วน cos5φและ บาป5 φผ่าน cosφและ บาปφ.
∆ เราแปลงด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันตามสูตรทวินามของนิวตัน:
มันยังคงถือเอาส่วนจริงและจินตนาการของความเท่าเทียมกัน:
445. กำหนดจำนวนเชิงซ้อน z=2-2i. หา เรซ, อิมซ์, |z|, argz.
446. z = -12 + 5i.
447 . คำนวณนิพจน์โดยใช้สูตร Moivre (cos 2° + isin 2°) 45 .
448. คำนวณโดยใช้สูตรของ De Moivre
449. แสดงจำนวนเชิงซ้อนในรูปตรีโกณมิติ
z = 1 + cos 20° + isin 20°
450. ประเมินการแสดงออก (2 + 3i) 3 .
451. ประเมินการแสดงออก
452. ประเมินการแสดงออก
453. แสดงจำนวนเชิงซ้อนในรูปตรีโกณมิติ 5-3i.
454. แสดงจำนวนเชิงซ้อนในรูปตรีโกณมิติ -1 + ผม.
455. ประเมินการแสดงออก
456. ประเมินการแสดงออก ซึ่งได้นำเสนอตัวประกอบในรูปเศษและส่วนในรูปตรีโกณมิติไปแล้ว
457. ค้นหาค่าทั้งหมด
458. แก้สมการเลขฐานสอง
459. ด่วน cos4φและ บาป4φผ่าน cosφและ บาปφ.
460. แสดงว่าระยะห่างระหว่างจุด z1และ z2เท่ากับ | z2-z1|.
∆ เรามี z 1 \u003d x 1 + iy 1, z 2 \u003d x 2 + iy 2, z 2 -z 1 \u003d (x 2 -x 1) + ผม (y 2 -y 1),ที่ไหน
เหล่านั้น. | z2-z1| เท่ากับระยะห่างระหว่างจุดที่กำหนดให้ ▲
461. บรรทัดใดอธิบายโดยจุด ซี, สมการสมการที่ไหน กับ-จำนวนเชิงซ้อนคงที่ และ R>0?
462.
ความหมายทางเรขาคณิตของอสมการคืออะไร: 1) | z-c|
463. ความหมายทางเรขาคณิตของอสมการคืออะไร: 1) เรซ > 0; 2) ฉัน z< 0 ?
2. ชุดที่มีเงื่อนไขที่ซับซ้อน. พิจารณาลำดับของจำนวนเชิงซ้อน z 1 , z 2 , ซี 3 , ..., ที่ไหน z p \u003d x p + iy p (n \u003d 1, 2, 3, ...)จำนวนคงที่ ค = เอ + ไบเรียกว่า จำกัดลำดับ z 1 , z 2 , ซี 3 , ..., ถ้าเป็นจำนวนเล็กน้อยตามอำเภอใจ δ>0 มีจำนวน ยังไม่มีข้อความมันหมายความว่าอะไร z พีด้วยตัวเลข n > เอ็นตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน \z n-กับ\< δ . ในกรณีนี้ให้เขียน .
เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการมีอยู่ของลิมิตของลำดับของจำนวนเชิงซ้อนมีดังนี้: จำนวน ค=เอ+บีคือลิมิตของลำดับของจำนวนเชิงซ้อน x 1 + iy 1, x 2 + iy 2, x 3 + iy 3, ...ถ้าและถ้า , .
(1)
ซึ่งสมาชิกเป็นจำนวนเชิงซ้อนเรียกว่า บรรจบกันถ้า ครั้งที่ผลรวมบางส่วนของอนุกรม S n สำหรับ n → ∞มีแนวโน้มที่จะถึงจุดสิ้นสุดที่แน่นอน มิฉะนั้นจะเรียกว่าชุด (1) แตกต่าง
อนุกรม (1) ลู่เข้าก็ต่อเมื่ออนุกรมที่มีพจน์จริงบรรจบกัน
(2) ตรวจสอบการบรรจบกันของอนุกรม อนุกรมนี้ซึ่งมีเงื่อนไขในการลู่เข้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด ดังนั้น อนุกรมที่กำหนดด้วยเงื่อนไขที่ซับซ้อนจึงบรรจบกันอย่างแน่นอน ^
474. หาพื้นที่บรรจบกันของอนุกรม
การมีอยู่ของแนวคิดเกี่ยวกับลิมิตของลำดับ (1.5) ทำให้เราสามารถพิจารณาอนุกรมในโดเมนเชิงซ้อน (ทั้งเชิงตัวเลขและเชิงฟังก์ชัน) ผลบวกบางส่วน การบรรจบกันแบบสัมบูรณ์และเงื่อนไขของอนุกรมตัวเลขถูกกำหนดเป็นมาตรฐาน ในนั้น การบรรจบกันของอนุกรมหมายถึงการบรรจบกันของสองอนุกรมซึ่งหนึ่งในนั้นประกอบด้วยส่วนจริงและส่วนจินตภาพอื่นๆ ของเงื่อนไขของอนุกรม ตัวอย่างเช่น อนุกรมลู่เข้าอย่างสมบูรณ์ และอนุกรม − แตกต่าง (เนื่องจากส่วนจินตภาพ)
หากส่วนจริงและจินตนาการของซีรีส์มาบรรจบกันอย่างสมบูรณ์
แถวเพราะ . การสนทนายังเป็นจริง: จากการบรรจบกันของอนุกรมที่ซับซ้อน
การบรรจบกันอย่างสมบูรณ์ของส่วนจริงและส่วนจินตภาพมีดังนี้:
เช่นเดียวกับอนุกรมการทำงานในโดเมนจริง ซับซ้อน
อนุกรมการทำงาน พื้นที่ของการบรรจบกันแบบจุดและสม่ำเสมอ โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลง
สูตรและพิสูจน์แล้ว ป้ายไวเออร์ชตราสการบรรจบกันที่สม่ำเสมอ จะถูกบันทึกไว้
คุณสมบัติทั้งหมดของอนุกรมลู่เข้าแบบสม่ำเสมอ
ในการศึกษาอนุกรมฟังก์ชัน สิ่งที่สนใจเป็นพิเศษคือ พลัง
อันดับ: , หรือหลังจากแทนที่ : . เช่นเดียวกับในกรณีจริง
ตัวแปรจริง ทฤษฎีบทอาเบล : ถ้าอนุกรมกำลัง (สุดท้าย) ลู่เข้าที่จุด ζ 0 ≠ 0 ก็จะลู่เข้าและแน่นอนสำหรับ ζ ใดๆ ที่ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน
ทางนี้, เขตบรรจบกัน งนี้ อนุกรมกำลังเป็นวงกลมรัศมี R โดยมีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด, ที่ไหน ร − รัศมีของการบรรจบกัน − ขอบเขตบนที่แน่นอนของค่า (คำนี้มาจากไหน) อนุกรมกำลังเดิมจะบรรจบกันเป็นวงกลมรัศมี รโดยมีศูนย์กลางอยู่ที่ ซี 0 . ยิ่งกว่านั้น ในวงปิดใด ๆ อนุกรมกำลังจะบรรจบกันอย่างสมบูรณ์และสม่ำเสมอ (คำสั่งสุดท้ายต่อจากการทดสอบไวเออร์สตราสทันที (ดูหลักสูตร “ซีรี่ส์”))
ตัวอย่าง . ค้นหาวงกลมของการลู่เข้าและตรวจสอบการลู่เข้าใน tt ซี 1 และ ซี 2 พาวเวอร์ซีรีส์ วิธีการแก้. พื้นที่บรรจบกัน − วงกลมรัศมี ร= 2 โดยมีจุดศูนย์กลางเป็น t ซี 0 = 1 − 2ผม . z 1 อยู่นอกวงกลมของการลู่เข้าและอนุกรมเบี่ยงเบน เน็คไท. จุดอยู่บนขอบเขตของวงกลมบรรจบกัน แทนที่ในซีรีส์ดั้งเดิม เราสรุป:
− อนุกรมลู่เข้าหากันแบบมีเงื่อนไขตามการทดสอบของไลบ์นิซ
หากที่จุดขอบเขตทั้งหมด อนุกรมบรรจบกันอย่างสมบูรณ์หรือแยกออกจากกันตามเกณฑ์ที่จำเป็น ก็จะสามารถกำหนดขอบเขตทั้งหมดได้ทันที ในการทำเช่นนี้ให้แทนที่ในแถว
จากโมดูลของค่าเงื่อนไข รแทนนิพจน์และตรวจสอบชุดผลลัพธ์
ตัวอย่าง. พิจารณาซีรีส์จากตัวอย่างสุดท้ายโดยเปลี่ยนปัจจัยหนึ่ง:
ขอบเขตของการบรรจบกันของซีรีส์ยังคงเหมือนเดิม: แทนที่ในชุดของโมดูล
รัศมีของการบรรจบกัน:
หากเราระบุผลรวมของอนุกรมด้วย ฉ(ซี), เช่น. ฉ(ซี) = (โดยธรรมชาติ ใน
ภูมิภาคของการบรรจบกัน) จึงเรียกอนุกรมนี้ว่า ใกล้เทย์เลอร์ ฟังก์ชั่น ฉ(ซี) หรือการขยายฟังก์ชัน ฉ(ซี) ในซีรีส์เทย์เลอร์ ในกรณีเฉพาะสำหรับ z 0 = 0 ซีรีส์นี้เรียกว่า ใกล้แมคลอริน ฟังก์ชั่น ฉ(ซี) .
1.7 ความหมายของฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้น สูตรออยเลอร์.
พิจารณาอนุกรมกำลังถ้า ซีเป็นตัวแปรจริง แล้วแสดงแทน
เป็นส่วนขยายของชุด Maclaurin ของฟังก์ชัน และดังนั้น ตอบสนอง
คุณสมบัติเฉพาะของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล: เช่น . นี่คือพื้นฐานสำหรับการพิจารณา ฟังก์ชันเลขชี้กำลังในพื้นที่ที่ซับซ้อน:
คำจำกัดความ 1. .
มีการกำหนดฟังก์ชันในทำนองเดียวกัน
คำจำกัดความ 2
ซีรีส์ทั้งสามมาบรรจบกันอย่างสมบูรณ์และสม่ำเสมอในพื้นที่ปิดที่มีขอบเขตของระนาบเชิงซ้อน
จากสามสูตรที่ได้มา การอนุมานการทดแทนอย่างง่าย สูตรออยเลอร์:
จากนี้ก็ตามมาทันที สาธิต สัญกรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน:
สูตรของออยเลอร์สร้างความสัมพันธ์ระหว่างตรีโกณมิติสามัญและไฮเปอร์โบลิก
พิจารณาตัวอย่างฟังก์ชัน: ความสัมพันธ์ที่เหลือจะได้รับในทำนองเดียวกัน ดังนั้น:
ตัวอย่าง. แสดงนิพจน์เหล่านี้ในรูปแบบ
2. (นิพจน์ในวงเล็บคือตัวเลข ผม , เขียนในรูปเลขชี้กำลัง)
4. ค้นหาคำตอบที่เป็นอิสระเชิงเส้นของ DE เชิงเส้นของลำดับที่ 2:
รากของสมการคุณลักษณะคือ:
เนื่องจากเรากำลังมองหาคำตอบที่แท้จริงของสมการ เราจึงสามารถใช้ฟังก์ชันได้
สรุปแล้วให้เรานิยามฟังก์ชันลอการิทึมของตัวแปรเชิงซ้อน ในโดเมนจริง เราจะถือว่ามันผกผันกับเอกซ์โปเนนเชียล เพื่อความง่าย เราจะพิจารณาเฉพาะฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล เช่น แก้สมการสำหรับ วซึ่งเราเรียกว่าฟังก์ชันลอการิทึม ในการทำเช่นนี้เราจะนำเสนอลอการิทึมของสมการ ซีในรูปแบบเลขชี้กำลัง:
ถ้าแทนที่จะหาเรื่อง ซีเขียนหาเรื่อง ซี(1.2) จากนั้นเราจะได้ฟังก์ชันที่มีค่าเป็นอนันต์
1.8 อนุพันธ์ของ FKP. ฟังก์ชั่นการวิเคราะห์ เงื่อนไข Cauchy–Riemann.
อนุญาต ว = ฉ(ซี) เป็นฟังก์ชันค่าเดียวที่กำหนดในโดเมน
คำจำกัดความ 1. อนุพันธ์ จากฟังก์ชั่น ฉ (ซี) ณ จุดนั้นเรียกว่าขีด จำกัด ของอัตราส่วนของการเพิ่มของฟังก์ชันต่อการเพิ่มของอาร์กิวเมนต์ เมื่อค่าหลังมีแนวโน้มเป็นศูนย์:
ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่ง ซี, ถูกเรียก ความแตกต่าง ณ จุดนี้.
เห็นได้ชัดว่าคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดของอนุพันธ์มีความพึงพอใจ
ตัวอย่าง .
โดยใช้สูตรทวินามของนิวตัน ก็อนุมานได้ในทำนองเดียวกันว่า
อนุกรมสำหรับเลขชี้กำลัง ไซน์ และโคไซน์ตรงตามเงื่อนไขทั้งหมดสำหรับการหาอนุพันธ์แบบเทอมต่อเทอม การตรวจสอบโดยตรงเป็นเรื่องง่ายที่จะได้รับ:
ความคิดเห็น. แม้ว่าคำนิยามของอนุพันธ์ของ FKP จะตรงกับคำนิยามของ FDP โดยสิ้นเชิง แต่โดยเนื้อแท้แล้ว มีความซับซ้อนมากกว่า (ดูหมายเหตุในส่วนที่ 1.5)
คำจำกัดความ 2การทำงาน ฉ(ซี) หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องในทุกจุดของโดเมน ช, ถูกเรียก วิเคราะห์ หรือ ปกติ ในภูมิภาคนี้
ทฤษฎีบท 1 . ถ้าฟังก์ชัน f (ซี) หาอนุพันธ์ได้ทุกจุดของโดเมน G, จากนั้นก็วิเคราะห์ในพื้นที่นี้. (เดือน/วัน)
ความคิดเห็น. ในความเป็นจริง ทฤษฎีบทนี้สร้างความเท่าเทียมกันของความสม่ำเสมอและความแตกต่างของ FKP บนโดเมน
ทฤษฎีบท 2 ฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ในบางโดเมนมีอนุพันธ์มากมายในโดเมนนั้น. (b/d. ด้านล่าง (ในหัวข้อ 2.4) การยืนยันนี้จะได้รับการพิสูจน์ภายใต้สมมติฐานเพิ่มเติมบางประการ)
เราแสดงฟังก์ชันเป็นผลรวมของส่วนจริงและส่วนจินตภาพ: ทฤษฎีบท 3. ( เงื่อนไข Cauchy − Riemann). ให้ฟังก์ชั่น ฉ (ซี) มีความแตกต่างกันในบางจุด จากนั้นฟังก์ชั่น ยู(x,ย) และ โวลต์(x,ย) มีอนุพันธ์ย่อย ณ จุดนี้ และ
และโทร เงื่อนไข Cauchy–Riemann .
การพิสูจน์ . เนื่องจากมูลค่าของอนุพันธ์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับแนวโน้มของปริมาณ
เป็นศูนย์ เราเลือกเส้นทางต่อไปนี้: เราได้รับ:
ในทำนองเดียวกัน เมื่อ เรามี: ซึ่งพิสูจน์ทฤษฎีบท
การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน:
ทฤษฎีบท 4ถ้าฟังก์ชั่น ยู (x,ย) และ โวลต์(x,ย) มีอนุพันธ์ย่อยต่อเนื่องในบางจุดที่ตรงตามเงื่อนไขของ Cauchy–Riemann จากนั้นฟังก์ชันเอง ฉ(ซี) สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุดนี้ (เดือน/วัน)
ทฤษฎีบทที่ 1 – 4 แสดงความแตกต่างพื้นฐานระหว่าง FKP และ FDP
ทฤษฎีบท 3 ให้คุณคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้สูตรใดๆ ต่อไปนี้:
ในขณะเดียวกันก็สามารถพิจารณา เอ็กซ์และ ที่จำนวนเชิงซ้อนตามอำเภอใจและคำนวณอนุพันธ์โดยใช้สูตร:
ตัวอย่าง. ตรวจสอบการทำงานเพื่อความสม่ำเสมอ ถ้าฟังก์ชันเป็นแบบปกติ ให้คำนวณอนุพันธ์
คำนิยาม:อนุกรมจำนวนของจำนวนเชิงซ้อน z 1, z 2, …, z n , …เรียกว่าการแสดงออกของรูปแบบ
z 1 + z 2 + …, z n + … = ,(3.1)
โดยที่ z n เรียกว่าคำสามัญของอนุกรม
คำนิยาม:ตัวเลข S n \u003d z 1 + z 2 + ..., z nเรียกว่าผลรวมบางส่วนของอนุกรม
คำนิยาม:ชุด (1) เรียกว่าคอนเวอร์เจนต์ถ้าลำดับ (S n ) ของผลรวมบางส่วนมาบรรจบกัน หากลำดับของผลบวกบางส่วนแตกต่างกัน อนุกรมจะเรียกว่า ไดเวอร์เจนต์
ถ้าอนุกรมมาบรรจบกัน จำนวน S = จะเรียกว่าผลบวกของอนุกรม (3.1)
z n = x n + iy n,
จากนั้นชุด (1) เขียนเป็น
= + .
ทฤษฎีบท:อนุกรม (1) บรรจบกันก็ต่อเมื่ออนุกรมและ ซึ่งประกอบด้วยส่วนจริงและจินตภาพของพจน์ของอนุกรม (3.1) บรรจบกัน
ทฤษฎีบทนี้ช่วยให้เราสามารถถ่ายโอนเกณฑ์การบรรจบกันที่อยู่ถัดจากเงื่อนไขจริงไปยังอนุกรมที่มีเงื่อนไขที่ซับซ้อน (เกณฑ์ที่จำเป็น เกณฑ์การเปรียบเทียบ เกณฑ์ดาล็องแบร์ เกณฑ์ Cauchy ฯลฯ)
คำนิยาม.อนุกรม (1) เรียกว่าลู่เข้าโดยสมบูรณ์ ถ้าอนุกรมที่ประกอบด้วยโมดูลของสมาชิกบรรจบกัน
ทฤษฎีบท.สำหรับการบรรจบกันโดยสัมบูรณ์ของอนุกรม (3.1) จำเป็นและเพียงพอที่อนุกรมและการบรรจบกันอย่างสมบูรณ์
ตัวอย่าง 3.1ค้นหาธรรมชาติของการบรรจบกันของอนุกรม
วิธีการแก้.
พิจารณาซีรีส์
ให้เราแสดงให้เห็นว่าซีรีส์เหล่านี้มาบรรจบกันอย่างแน่นอน ในการทำเช่นนี้เราพิสูจน์ว่าซีรีส์
มาบรรจบกัน
เนื่องจาก แทนที่จะเป็นแถว เราจะต่อแถว หากอนุกรมสุดท้ายมาบรรจบกัน อนุกรมก็จะบรรจบกันด้วยการเปรียบเทียบ
การบรรจบกันของอนุกรมและได้รับการพิสูจน์ด้วยความช่วยเหลือของการทดสอบอินทิกรัล
ซึ่งหมายความว่าอนุกรมและบรรจบกันอย่างสมบูรณ์ และตามทฤษฎีบทสุดท้าย อนุกรมดั้งเดิมจะบรรจบกันอย่างสมบูรณ์
4. อนุกรมกำลังที่มีเงื่อนไขซับซ้อน ทฤษฎีบทอนุกรมกำลังของอาเบล วงกลมและรัศมีของการบรรจบกัน
คำนิยาม.อนุกรมกำลังเป็นอนุกรมของรูปแบบ
โดยที่ … เป็นจำนวนเชิงซ้อน เรียกว่า สัมประสิทธิ์ของอนุกรม
พื้นที่ของการบรรจบกันของอนุกรม (4.I) คือวงกลม
ในการหารัศมีลู่เข้า R ของอนุกรมที่กำหนดซึ่งมีค่ายกกำลังทั้งหมด จะใช้สูตรใดสูตรหนึ่ง:
หากซีรีส์ (4.1) ไม่มีพลังทั้งหมดของ การค้นหานั้นต้องใช้การทดสอบ d'Alembert หรือ Cauchy โดยตรง
ตัวอย่าง 4.1ค้นหาวงกลมของการบรรจบกันของอนุกรม:
วิธีการแก้:
ก) ในการหารัศมีของการบรรจบกันของอนุกรมนี้ เราใช้สูตร
ในกรณีของเรา
ดังนั้น วงกลมของการบรรจบกันของอนุกรมจึงถูกกำหนดโดยอสมการ
b) ในการหารัศมีของการบรรจบกันของอนุกรม เราใช้การทดสอบดาล็องแบร์
ในการคำนวณขีดจำกัด กฎ L'Hopital ถูกใช้สองครั้ง
จากการทดสอบดาล็องแบร์ ซีรีส์จะบรรจบกันถ้า ดังนั้นเราจึงมีวงกลมของการบรรจบกันของอนุกรม .
5. ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและตรีโกณมิติของตัวแปรเชิงซ้อน
6. ทฤษฎีบทของออยเลอร์ สูตรออยเลอร์ รูปแบบเลขชี้กำลังของจำนวนเชิงซ้อน
7. ทฤษฎีบทการบวก ระยะเวลาของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและฟังก์ชันตรีโกณมิติ และถูกกำหนดเป็นผลรวมของอนุกรมกำลังที่สอดคล้องกัน กล่าวคือ:
ฟังก์ชันเหล่านี้เกี่ยวข้องกับสูตรออยเลอร์:
เรียกว่า ไฮเพอร์โบลิกโคไซน์ และไซน์ ซึ่งสัมพันธ์กับตรีโกณมิติโคไซน์และไซน์ตามสูตร
ฟังก์ชัน , , , ถูกกำหนดตามการวิเคราะห์จริง
สำหรับจำนวนเชิงซ้อนใดๆ และทฤษฎีบทการบวก:
จำนวนเชิงซ้อนใด ๆ สามารถเขียนในรูปเลขชี้กำลังได้:
เป็นข้อโต้แย้งของเขา
ตัวอย่าง 5.1หา
วิธีการแก้.
ตัวอย่าง 5.2แสดงตัวเลขในรูปแบบเลขชี้กำลัง
วิธีการแก้.
ค้นหาโมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของตัวเลขนี้:
จากนั้นเราจะได้รับ
8. ขีด จำกัด ความต่อเนื่องและความต่อเนื่องสม่ำเสมอของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน
อนุญาต อีคือเซตของจุดในระนาบเชิงซ้อน
คำนิยาม.พวกเขาพูดแบบนั้นในกองถ่าย อีมีการกำหนดฟังก์ชั่น ฉตัวแปรที่ซับซ้อน ซีถ้าทุกจุด ซี E ตามกฎ ฉมีการกำหนดจำนวนเชิงซ้อนตั้งแต่หนึ่งจำนวนขึ้นไป ว(ในกรณีแรก ฟังก์ชันนี้เรียกว่า single-valued ส่วนที่สอง - multi-valued) แสดงว่า ว = ฉ(z). อีเป็นโดเมนของนิยามฟังก์ชัน
ฟังก์ชั่นใดๆ w = ฉ(z) (z = x + iy)สามารถเขียนในรูป
f(z) = f(x + iy) = U(x, y) + iV(x, y).
U(x, y) = ร ฉ(z)เรียกว่าเป็นส่วนที่แท้จริงของฟังก์ชันและ V(x, y) = อิมเอฟ(z)เป็นส่วนจินตภาพของฟังก์ชัน f(z)
คำนิยาม.ให้ฟังก์ชั่น ว = ฉ(z)ถูกกำหนดและไม่ซ้ำกันในบางพื้นที่ของจุด z 0 ,ไม่รวมประเด็นสำคัญ z0. จำนวน A เรียกว่าลิมิตของฟังก์ชัน ฉ(z)ที่จุด z0, ถ้ามี ε > 0 สามารถระบุตัวเลข δ > 0 สำหรับทั้งหมด z = z0และสนองความเหลื่อมล้ำ |z – z 0 |< δ , อสมการ | f(z) – ก|< ε.
เขียนลงไป
เป็นไปตามนิยามที่ว่า z→z0โดยพลการ
ทฤษฎีบท.สำหรับการมีอยู่ของลิมิตของฟังก์ชัน ว = ฉ(z)ที่จุด z 0 = x 0 + iy 0จำเป็นและเพียงพอเกินขีดจำกัดของฟังก์ชัน คุณ(x, y)และ วี(x, y)ที่จุด (x0, y0).
คำนิยาม.ให้ฟังก์ชั่น ว = ฉ(z)ถูกกำหนดและไม่ซ้ำกันในละแวกใกล้เคียงของจุด z 0 รวมถึงจุดนี้ด้วย การทำงาน ฉ(z)เรียกว่าต่อเนื่องที่จุด z 0 ถ้า
ทฤษฎีบท.เพื่อความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งๆ z 0 = x 0 + iy 0มีความจำเป็นและเพียงพอต่อการปฏิบัติหน้าที่ คุณ(x, y)และ วี(x, y)ที่จุด (x0, y0).
จากทฤษฎีบทที่ว่าคุณสมบัติที่ง่ายที่สุดที่เกี่ยวข้องกับขีดจำกัดและความต่อเนื่องของฟังก์ชันของตัวแปรจริงจะส่งต่อไปยังฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน
ตัวอย่าง 7.1แยกส่วนจริงและส่วนจินตภาพของฟังก์ชันออกจากกัน
วิธีการแก้.
ในสูตรที่กำหนดฟังก์ชัน เราจะแทนที่
ให้เป็นศูนย์ในสองทิศทางที่ต่างกัน ฟังก์ชัน คุณ(x, y)มีขีดจำกัดที่แตกต่างกัน ซึ่งหมายความว่า ณ จุดนั้น z = 0การทำงาน ฉ(z)ไม่มีขีดจำกัด ถัดไปฟังก์ชั่น ฉ(z)กำหนดไว้ ณ จุดที่ .
อนุญาต z 0 = x 0 + iy 0หนึ่งในประเด็นเหล่านี้
ซึ่งหมายความว่าที่จุด z = x + iyที่ y 0 ฟังก์ชันต่อเนื่อง
9. ลำดับและอนุกรมของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน การบรรจบกันแบบสม่ำเสมอ ความต่อเนื่องของอนุกรมกำลัง
คำจำกัดความของลำดับลู่เข้าและอนุกรมลู่เข้าของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนของการลู่เข้าในเครื่องแบบซึ่งสอดคล้องกับทฤษฎีของการลู่เข้าเท่ากัน ความต่อเนื่องของลิมิตของลำดับ ผลรวมของอนุกรมมีรูปแบบและพิสูจน์ในลักษณะเดียวกันทุกประการ สำหรับลำดับและอนุกรมของฟังก์ชันของตัวแปรจริง
ให้เรานำเสนอข้อเท็จจริงที่จำเป็นสำหรับสิ่งต่อไปนี้เกี่ยวกับอนุกรมการทำงาน
ให้อยู่ในพื้นที่ งมีการกำหนดลำดับของฟังก์ชันค่าเดียวของตัวแปรเชิงซ้อน (fn (z)) จากนั้นสัญลักษณ์:
เรียกว่า ช่วงการทำงาน.
ถ้า ก z0เป็นของ งแก้ไขแล้วซีรีส์ (1) จะเป็นตัวเลข
คำนิยาม.ช่วงการทำงาน (1) เรียกว่ามาบรรจบกันในภูมิภาค ง, ถ้ามี ซีเป็นเจ้าของ งชุดตัวเลขที่สอดคล้องกันจะมาบรรจบกัน
ถ้าแถว (1) มาบรรจบกันในภูมิภาค งจากนั้นในภูมิภาคนี้ เราสามารถกำหนดฟังก์ชันค่าเดียวได้ ฉ(z)ซึ่งมีค่าในแต่ละจุด ซีเป็นเจ้าของ งเท่ากับผลบวกของอนุกรมตัวเลขที่ตรงกัน ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ผลรวมของซีรีส์ (1) ในพื้นที่ ง .
คำนิยาม.ถ้า ก
สำหรับใครก็ตาม ซีเป็นเจ้าของ ง,ความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้ถือ:
จากนั้นแถว (1) เรียกว่าบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอในภูมิภาค ง.
ชุดที่มีเงื่อนไขที่ซับซ้อน
19.3.1. อนุกรมตัวเลขที่มีเงื่อนไขซับซ้อนคำจำกัดความพื้นฐานทั้งหมดของการลู่เข้า คุณสมบัติของอนุกรมลู่เข้า เกณฑ์การลู่เข้าของอนุกรมเชิงซ้อนไม่แตกต่างจากกรณีจริงแต่อย่างใด
19.3.1.1. คำจำกัดความพื้นฐาน. ให้ลำดับของจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่มีที่สิ้นสุด ส่วนจริงของจำนวนจะแสดงด้วย , จินตภาพ - (เช่น .
ชุดตัวเลข- ดูบันทึก .
ผลรวมบางส่วนของอนุกรม:
คำนิยาม.หากมีขีดจำกัด ส ลำดับของผลรวมบางส่วนของอนุกรมกับ ซึ่งเป็นจำนวนเชิงซ้อนที่เหมาะสม จากนั้นจึงกล่าวว่าอนุกรมนั้นบรรจบกัน ตัวเลข ส เรียกว่าผลรวมของอนุกรมและเขียน หรือ
ค้นหาส่วนจริงและส่วนจินตภาพของผลรวมบางส่วน โดยที่สัญลักษณ์และแสดงถึงส่วนจริงและส่วนจินตภาพของผลรวมบางส่วน ลำดับตัวเลขจะมาบรรจบกันก็ต่อเมื่อลำดับที่ประกอบด้วยส่วนจริงและส่วนจินตภาพมาบรรจบกันเท่านั้น ดังนั้น อนุกรมที่มีเงื่อนไขที่ซับซ้อนจะมาบรรจบกันก็ต่อเมื่ออนุกรมที่เกิดจากส่วนจริงและส่วนจินตภาพมาบรรจบกัน
ตัวอย่าง.
19.3.1.2. การบรรจบกันอย่างสมบูรณ์
คำนิยาม.แถวนั้นเรียกว่า บรรจบกันอย่างแน่นอนถ้าซีรีส์มาบรรจบกัน ประกอบด้วยค่าสัมบูรณ์ของสมาชิก
เช่นเดียวกับอนุกรมจำนวนจริงที่มีเงื่อนไขตามอำเภอใจ สามารถพิสูจน์ได้ว่าถ้าอนุกรมลู่เข้า อนุกรมก็ลู่เข้า ถ้าอนุกรมลู่เข้าและอนุกรมลู่ออก แสดงว่าอนุกรมลู่เข้าตามเงื่อนไข
อนุกรมเป็นอนุกรมที่มีสมาชิกไม่เป็นลบ ดังนั้น เพื่อศึกษาการลู่เข้าของมัน จึงสามารถใช้คุณสมบัติที่ทราบทั้งหมดได้ (ตั้งแต่ทฤษฎีบทเปรียบเทียบไปจนถึงการทดสอบอินทิกรัล Cauchy)
ตัวอย่าง.ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการบรรจบกัน
มาสร้างชุดของโมดูล (): . ซีรีส์นี้มาบรรจบกัน (การทดสอบ Cauchy ) ดังนั้นซีรีส์ดั้งเดิมจึงมาบรรจบกันอย่างแน่นอน
19.1.3.4. คุณสมบัติของอนุกรมลู่เข้าสำหรับอนุกรมลู่เข้าที่มีเงื่อนไขเชิงซ้อน คุณสมบัติทั้งหมดของอนุกรมที่มีเงื่อนไขจริงจะเป็นจริง:
เกณฑ์ที่จำเป็นสำหรับการบรรจบกันของอนุกรม เทอมทั่วไปของอนุกรมคอนเวอร์เจนต์มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ เช่น.
ถ้าอนุกรมมาบรรจบกัน ส่วนที่เหลือใดๆ ก็มาบรรจบกัน ในทางกลับกัน ถ้าอนุกรมที่เหลือใดๆ
ถ้าอนุกรมมาบรรจบกัน ผลรวมของส่วนที่เหลือตามมาน เทอม -th มีแนวโน้มเป็นศูนย์ที่.
ถ้าพจน์ทั้งหมดของอนุกรมลู่เข้าคูณด้วยจำนวนเดียวกัน กับจากนั้นการบรรจบกันของอนุกรมจะถูกรักษาไว้ และผลรวมจะถูกคูณด้วย กับ.
แถวบรรจบกัน ( แต่) และ ( ที่) สามารถบวกและลบเทอมทีละเทอม; อนุกรมผลลัพธ์จะบรรจบกันและผลรวมเท่ากับ.
ถ้าพจน์ของอนุกรมลู่เข้าถูกจัดกลุ่มโดยพลการ และอนุกรมใหม่ประกอบด้วยผลบวกของพจน์ในวงเล็บแต่ละคู่ อนุกรมใหม่นี้จะบรรจบกัน และผลรวมของพจน์จะเท่ากับผลบวกของอนุกรมเดิม .
ถ้าอนุกรมลู่เข้าโดยสมบูรณ์ ดังนั้นสำหรับการเรียงสับเปลี่ยนของพจน์ การบรรจบกันจะถูกรักษาไว้และผลรวมจะไม่เปลี่ยนแปลง
ถ้าแถว ( แต่) และ ( ที่) มาบรรจบกับผลรวมของมันอย่างแน่นอนและจากนั้นผลิตภัณฑ์ของพวกเขาสำหรับคำสั่งของเงื่อนไขโดยพลการก็มาบรรจบกันอย่างสมบูรณ์และผลรวมของมันเท่ากับ.
19.3.2. ซีรีย์พาวเวอร์คอมเพล็กซ์
คำนิยาม.อนุกรมกำลังที่มีเงื่อนไขเชิงซ้อนเป็นอนุกรมของรูปแบบ
โดยที่จำนวนเชิงซ้อนคงที่ (ค่าสัมประสิทธิ์ของอนุกรม) คือจำนวนเชิงซ้อนคงที่ (ศูนย์กลางของวงกลมลู่เข้า) สำหรับค่าตัวเลขใดๆ ซี อนุกรมจะกลายเป็นอนุกรมตัวเลขที่มีเงื่อนไขซับซ้อน บรรจบกันหรือแยกจากกัน ถ้าซีรีส์มาบรรจบกันที่จุดหนึ่ง ซี จุดนี้เรียกว่าจุดบรรจบของอนุกรม อนุกรมกำลังมีจุดบรรจบกันอย่างน้อยหนึ่งจุด - จุด ชุดของจุดบรรจบกันเรียกว่าขอบเขตของการบรรจบกันของอนุกรม
สำหรับอนุกรมกำลังที่มีเงื่อนไขจริง ข้อมูลที่มีความหมายทั้งหมดเกี่ยวกับอนุกรมกำลังมีอยู่ในทฤษฎีบทของอาเบล
ทฤษฎีบทของอาเบลถ้าอนุกรมกำลังลู่เข้าที่จุด แล้ว
1. มันบรรจบกันอย่างสมบูรณ์ที่จุดใดๆ บนวงกลม ;
2. ถ้าอนุกรมนี้เบี่ยงเบนที่ , มันจะแยกที่จุดใดๆ ซี , สนองความไม่เท่าเทียมกัน (กล่าวคืออยู่ห่างจากจุดมากกว่า )
การพิสูจน์ซ้ำคำต่อคำการพิสูจน์ของมาตรา 18.2.4.2. ทฤษฎีบทของอาเบลสำหรับซีรีส์ที่มีสมาชิกตัวจริง
ทฤษฎีบทของอาเบลแสดงถึงการมีอยู่ของจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ ร ว่าอนุกรมบรรจบกันอย่างสมบูรณ์ที่จุดภายในใดๆ ของวงกลมรัศมี ร มีศูนย์กลางอยู่ที่ และแยกออกจากจุดใดๆ นอกวงกลมนี้ ตัวเลข ร เรียกว่า รัศมีของการบรรจบกัน, วงกลม - วงกลมของการบรรจบกัน. ที่จุดของขอบเขตของวงกลมนี้คือวงกลมรัศมี ร ศูนย์กลางที่จุด - อนุกรมสามารถบรรจบกันและแยกจากกันได้ ณ จุดนี้ ชุดของโมดูลมีรูปแบบ เป็นไปได้ในกรณีต่อไปนี้:
1. อนุกรมบรรจบกัน ในกรณีนี้ อนุกรมจะลู่เข้าหากันที่จุดใดก็ได้บนวงกลม
2. ซีรีส์มีความแตกต่าง แต่เป็นคำศัพท์ทั่วไป . ในกรณีนี้ อนุกรมสามารถบรรจบกันตามเงื่อนไขที่บางจุดของวงกลม และแยกออกจากกันที่จุดอื่นๆ เช่น แต่ละจุดต้องมีการศึกษาเป็นรายบุคคล
3. อนุกรมแยกออกจากกัน และพจน์ทั่วไปของมันไม่ได้มีแนวโน้มเป็นศูนย์ที่ ในกรณีนี้ อนุกรมจะเบี่ยงเบนที่จุดใดๆ ของวงกลมขอบเขต