โมดูโลการเปรียบเทียบจำนวนธรรมชาติ การแก้การเปรียบเทียบระดับที่ 1 การแก้ระบบการเปรียบเทียบโมดูโล
พิจารณาการเปรียบเทียบแบบฟอร์ม x 2 ≡ก(สมัย หน้าα) โดยที่ หน้าเป็นเลขคี่ง่ายๆ ดังที่แสดงไว้ในมาตรา 4 วรรค 4 วิธีแก้ไขความสอดคล้องนี้พบได้โดยการแก้ความสอดคล้อง x 2 ≡ก(สมัย หน้า). และการเปรียบเทียบ x 2 ≡ก(สมัย หน้าα) จะมีสองคำตอบถ้า กเป็นโมดูโลเรซิดิวกำลังสอง หน้า.
ตัวอย่าง:
แก้ปัญหาการเปรียบเทียบกำลังสอง x 2 ≡86 (สมัย 125)
125 = 5 3 , 5 เป็นจำนวนเฉพาะ ตรวจสอบว่า 86 เป็นโมดูลสี่เหลี่ยมจัตุรัส 5 หรือไม่
การเปรียบเทียบเดิมมี 2 วิธีแก้ไข
มาหาทางออกเปรียบเทียบกัน x 2 ≡86 (สมัย 5)
x 2 ≡1 (สมัย 5)
การเปรียบเทียบนี้สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีที่ระบุไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า แต่เราจะใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าสแควร์รูทของ 1 โมดูโลคือ ±1 และการเปรียบเทียบมีคำตอบสองทางพอดี ดังนั้น วิธีแก้ปัญหาความสอดคล้องกันของโมดูโล 5 คือ
x≡±1(mod 5) หรือมิฉะนั้น x=±(1+5 ที 1).
แทนที่ผลลัพธ์ที่ได้ในโมดูลเปรียบเทียบ 5 2 =25:
x 2 ≡86 (สมัย 25)
x 2 ≡ 11 (สมัย 25)
(1+5ที 1) 2 ≡ 11 (สมัย 25)
1+10ที 1 +25ที 1 2 ≡11(สมัย 25)
10ที 1 ≡ 10 (สมัย 25)
2ที 1 ≡ 2 (สมัย 5)
ที 1 ≡1(mod 5) หรือเทียบเท่า ที 1 =1+5ที 2 .
ดังนั้น วิธีแก้ปัญหาความสอดคล้องกันของโมดูโล 25 คือ x=±(1+5(1+5 ที 2))=±(6+25 ที 2). แทนที่ผลลัพธ์ที่ได้ในโมดูลเปรียบเทียบ 5 3 =125:
x 2 ≡86 (สมัย 125)
(6+25ที 2) 2 ≡ 86 (สมัย 125)
36+12 25 ที 2 +625ที 2 2 ≡86(สมัย 125)
12 25 ที 2 ≡50 (สมัย 125)
12ที 2 ≡2 (สมัย 5)
2ที 2 ≡2 (สมัย 5)
ที 2 ≡1(mod 5) หรือ ที 2 =1+5ที 3 .
จากนั้นวิธีแก้ปัญหาสำหรับการเปรียบเทียบโมดูโล 125 คือ x=±(6+25(1+5 ที 3))=±(31+125 ที 3).
ตอบ: x≡±31(สมัย 125)
พิจารณาการเปรียบเทียบแบบฟอร์ม x 2 ≡ก(mod2α). การเปรียบเทียบดังกล่าวไม่ได้มีสองวิธีเสมอไป สำหรับโมดูลดังกล่าว เป็นไปได้ในกรณีต่อไปนี้:
1) α=1 แล้วการเปรียบเทียบจะมีทางออกก็ต่อเมื่อ ก≡1(mod 2) และวิธีแก้ปัญหาคือ x≡1(mod 2) (ทางออกเดียว)
2) α=2. การเปรียบเทียบมีคำตอบก็ต่อเมื่อ ก≡1(mod 4) และวิธีแก้ปัญหาคือ x≡±1(mod 4) (สองวิธี)
3) α≥3 การเปรียบเทียบมีคำตอบก็ต่อเมื่อ ก≡1(mod 8) และจะมีสี่วิธีแก้ปัญหาดังกล่าว การเปรียบเทียบ x 2 ≡ก(mod 2 α) สำหรับ α≥3 ได้รับการแก้ไขด้วยวิธีเดียวกับการเปรียบเทียบแบบฟอร์ม x 2 ≡ก(สมัย หน้าα), เฉพาะโซลูชันโมดูโล 8 เท่านั้นที่ทำหน้าที่เป็นโซลูชันเริ่มต้น: x≡±1(mod 8) และ x≡±3(โหมด 8) ควรเปรียบเทียบโมดูโล 16 จากนั้นโมดูโล 32 และอื่น ๆ จนถึงโมดูโล 2 α
ตัวอย่าง:
แก้การเปรียบเทียบ x 2 ≡33 (สมัย 64)
64=26. ตรวจสอบว่าการเปรียบเทียบเดิมมีวิธีแก้ไขหรือไม่ 33≡1(mod 8) ดังนั้นการเปรียบเทียบจึงมี 4 วิธีแก้ไข
Modulo 8 โซลูชั่นเหล่านี้จะเป็น: x≡±1(mod 8) และ x≡±3(mod 8) ซึ่งสามารถแสดงเป็น x=±(1+4 ทีหนึ่ง). แทนที่นิพจน์นี้ในการเปรียบเทียบโมดูโล 16
x 2 ≡33 (สมัย 16)
(1+4ที 1) 2 ≡ 1 (สมัย 16)
1+8ที 1 +16ที 1 2 ≡1(สมัย 16)
8ที 1 ≡0 (สมัย 16)
ที 1 ≡0 (โหมด 2)
จากนั้นวิธีแก้ปัญหาจะอยู่ในรูปแบบ x=±(1+4 ที 1)=±(1+4(0+2 ที 2))=±(1+8 ที 2). แทนที่คำตอบที่ได้ในโมดูโลที่สอดคล้องกัน 32:
x 2 ≡33 (สมัย 32)
(1+8ที 2) 2 ≡ 1 (สมัย 32)
1+16ที 2 +64ที 2 2 ≡ 1 (สมัย 32)
16ที 2 ≡0 (สมัย 32)
ที 2 ≡0 (โหมด 2)
จากนั้นวิธีแก้ปัญหาจะอยู่ในรูปแบบ x=±(1+8 ที 2) =±(1+8(0+2t 3)) =±(1+16 ที 3). แทนที่ผลลัพธ์ที่ได้ในโมดูลเปรียบเทียบ 64:
x 2 ≡33 (สมัย 64)
(1+16ที 3) 2 ≡33 (สมัย 64)
1+32ที 3 +256ที 3 2 ≡33(สมัย 64)
32ที 3 ≡32 (สมัย 64)
ที 3 ≡1 (โหมด 2)
จากนั้นวิธีแก้ปัญหาจะอยู่ในรูปแบบ x=±(1+16 ที 3) =±(1+16(1+2t 4)) =±(17+32 ทีสี่). ดังนั้น โมดูโล 64 การเปรียบเทียบดั้งเดิมมีสี่วิธีแก้ไข: x≡±17(mod 64)และ x≡±49(โหมด 64)
พิจารณาการเปรียบเทียบทั่วไป: x 2 ≡ก(สมัย ม), (ก,ม)=1, - การสลายตัวตามบัญญัติของโมดูล ม. ตามทฤษฎีบทจากข้อ 4 ของวรรค 4 การเปรียบเทียบนี้เทียบเท่ากับระบบ
หากทุกการเปรียบเทียบของระบบนี้สามารถตัดสินใจได้ ระบบทั้งหมดก็จะสามารถตัดสินใจได้ เมื่อพบคำตอบของการเปรียบเทียบแต่ละระบบนี้แล้ว เราได้ระบบของการเปรียบเทียบในระดับที่หนึ่ง ซึ่งแก้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทส่วนที่เหลือของจีน เราจะได้คำตอบของการเปรียบเทียบดั้งเดิม ยิ่งกว่านั้น จำนวนคำตอบที่แตกต่างกันของการเปรียบเทียบดั้งเดิม (หากสามารถแก้ไขได้) คือ 2 เค, ถ้า α=1, 2 เค+1 ถ้า α=2, 2 เค+2 ถ้า α≥3
ตัวอย่าง:
แก้การเปรียบเทียบ x 2 ≡ 4 (สมัย 21)
โครงงานคณิตศาสตร์เรื่อง
"การเปรียบเทียบโมดูโล่"
ซาริโปวา ไอซีลู
เขต Sovetsky ของเมืองคาซาน
MBOU "โรงเรียนมัธยมลำดับที่ 166" เกรด 7ก
ที่ปรึกษาทางวิทยาศาสตร์: Antonova N.A.
สารบัญ
บทนำ ________________________________________________________3
อะไรคือการเปรียบเทียบ____________________________________________4
แนวคิดของการเปรียบเทียบโมดูโล ________________________________4
ประวัติความเป็นมาของแนวคิดการเปรียบเทียบโมดูโล _____4
คุณสมบัติเปรียบเทียบ________________________________________________4
การประยุกต์ใช้การเปรียบเทียบโมดูโลอย่างง่ายที่สุดคือการกำหนดการหารของตัวเลข _____________________6
หนึ่งงานสำหรับการเปรียบเทียบ _______________________________8
การใช้การเปรียบเทียบแบบโมดูโลในกิจกรรมทางวิชาชีพ ___________________________________________9
การประยุกต์ใช้การเปรียบเทียบในการแก้ปัญหา______________________6
สรุป__________________________________________________10
รายการอ้างอิง_____________________________11
บทนำ.
R&D: การเปรียบเทียบโมดูโล
ปัญหา: นักเรียนหลายคนต้องเผชิญกับงานที่ต้องเตรียมตัวสำหรับการแข่งขันกีฬาโอลิมปิก ซึ่งวิธีแก้ปัญหานั้นขึ้นอยู่กับความรู้เรื่องเศษเหลือของการหารจำนวนเต็มด้วยจำนวนธรรมชาติ เราสนใจปัญหาดังกล่าวและวิธีการแก้ไขที่เป็นไปได้ ปรากฎว่าสามารถแก้ไขได้โดยใช้การเปรียบเทียบแบบโมดูโล
วัตถุประสงค์: เพื่อชี้แจงสาระสำคัญของการเปรียบเทียบโมดูโล วิธีการหลักในการทำงานกับการเปรียบเทียบโมดูโล
งาน: เพื่อค้นหาเนื้อหาทางทฤษฎีในหัวข้อนี้เพื่อพิจารณาปัญหาที่แก้ไขได้โดยใช้การเปรียบเทียบแบบโมดูโลเพื่อแสดงวิธีการทั่วไปในการแก้ปัญหาดังกล่าวเพื่อหาข้อสรุป
วัตถุประสงค์ของการศึกษา: ทฤษฎีจำนวน
หัวข้อวิจัย: ทฤษฎีการเปรียบเทียบโมดูโล.
งานนี้เป็นของการวิจัยเชิงทฤษฎีและสามารถนำมาใช้ในการเตรียมตัวสำหรับโอลิมปิกในวิชาคณิตศาสตร์ ในเนื้อหามีการเปิดเผยแนวคิดพื้นฐานของการเปรียบเทียบโมดูโลและคุณสมบัติหลัก ยกตัวอย่างการแก้ปัญหาในหัวข้อนี้
ฉัน . การเปรียบเทียบคืออะไร
แนวคิดของการเปรียบเทียบโมดูโล
จำนวนและกล่าวได้ว่าเป็นโมดูโลที่เทียบเคียงได้หากหารด้วย a และ b ลงตัวเมื่อหารด้วย.
การกำหนด
ตัวอย่าง:
12 และ 32 เปรียบได้กับโมดูโล 5 เนื่องจาก 12 เมื่อหารด้วย 5 จะเหลือเศษเป็น 2 และ 32 เมื่อหารด้วย 2 จะเหลือเศษเป็น 2 จึงเขียนได้ว่า12 ;
101 และ 17 เป็นโมดูโล 21 ที่สอดคล้องกัน;
ประวัติแนวคิดของการเปรียบเทียบโมดูโล
ทฤษฎีการหารส่วนใหญ่ถูกสร้างขึ้นโดยออยเลอร์ คำจำกัดความของการเปรียบเทียบกำหนดขึ้นในหนังสือโดย C.F. Gauss "Arithmetic Research" งานนี้เขียนเป็นภาษาละตินเริ่มพิมพ์ในปี พ.ศ. 2340 แต่หนังสือเล่มนี้ได้รับการตีพิมพ์ในปี พ.ศ. 2344 เท่านั้นเนื่องจากกระบวนการพิมพ์ในเวลานั้นลำบากและใช้เวลานานมาก ส่วนแรกของหนังสือของ Gauss เรียกว่า "การเปรียบเทียบจำนวน" เกาส์เป็นผู้เสนอสัญลักษณ์ของการเปรียบเทียบโมดูโลซึ่งก่อตั้งขึ้นในวิชาคณิตศาสตร์
คุณสมบัติการเปรียบเทียบ
ถ้า ก
การพิสูจน์:
ถ้าเราเพิ่มสมการที่สองในสมการแรก เราจะได้
เป็นผลรวมของจำนวนเต็มสองตัว ดังนั้น จำนวนเต็มจึงเป็นเช่นนี้
ถ้าเราลบสมการที่สองออกจากสมการแรก เราจะได้
คือผลต่างของจำนวนเต็มสองจำนวน ดังนั้น จำนวนเต็มก็เช่นกัน
พิจารณานิพจน์:
คือผลต่างระหว่างผลคูณของจำนวนเต็ม ดังนั้น จำนวนเต็มก็เช่นกัน
นี่เป็นผลมาจากคุณสมบัติที่สามของการเปรียบเทียบ
คิวอีดี
5) ถ้า ก.
การพิสูจน์: ลองหาผลรวมของนิพจน์ทั้งสองนี้กัน:
เป็นผลรวมของจำนวนเต็มสองจำนวน ดังนั้น จำนวนเต็มจึงเป็นเช่นนี้
คิวอีดี
6) ถ้า เป็นจำนวนเต็ม แล้ว
หลักฐาน: ที่ไหนหน้า- จำนวนเต็ม คูณความเท่าเทียมกันนี้ด้วย เราจะได้: . เนื่องจากเป็นผลคูณของจำนวนเต็ม ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์
7) ถ้า ก
การพิสูจน์: เหตุผลคล้ายกับการพิสูจน์ทรัพย์สิน6.
8) ถ้า ก - จำนวนเฉพาะค่อนข้างมากแล้ว
การพิสูจน์: เราแบ่งนิพจน์นี้ด้วย เราได้รับ: - จำนวน coprime ซึ่งหมายความว่ามันหารด้วยจำนวนเต็ม เช่น =. และนั่นหมายความว่าสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์
ครั้งที่สอง . การประยุกต์ใช้การเปรียบเทียบในการแก้ปัญหา
2.1. การประยุกต์ใช้การเปรียบเทียบโมดูโลที่ง่ายที่สุดคือการกำหนดจำนวนที่หารลงตัว
ตัวอย่าง. ค้นหาส่วนที่เหลือของส่วนที่ 2 2009 เวลา 7.
วิธีแก้ไข: พิจารณายกกำลังของ 2:
ยกกำลังการเปรียบเทียบเป็น 668 และคูณด้วย เราได้รับ:
คำตอบ: 4.
ตัวอย่าง. พิสูจน์ว่า 7+7 2 +7 3 +…+7 4 น หารด้วย 100 ใดๆนจากเซตของจำนวนเต็ม
วิธีแก้ไข: พิจารณาการเปรียบเทียบ
เป็นต้น วัฏจักรของสิ่งตกค้างอธิบายได้ด้วยกฎสำหรับการคูณตัวเลขด้วยคอลัมน์ เมื่อเพิ่มการเปรียบเทียบสี่รายการแรก เราจะได้รับ:
ผลรวมนี้จึงหารด้วย 100 โดยไม่มีเศษเหลือ ในทำนองเดียวกัน เมื่อรวมการเปรียบเทียบต่อไปนี้เข้าด้วยกันประมาณสี่ เราจะได้ผลรวมแต่ละค่านั้นหารด้วย 100 โดยไม่มีเศษเหลือ ดังนั้นผลรวมทั้งหมดของ 4นพจน์หารด้วย 100 โดยไม่มีเศษเหลือ คิวอีดี
ตัวอย่าง. กำหนดที่ค่าใดนนิพจน์หารด้วย 19 โดยไม่มีเศษเหลือ
วิธีการแก้: .
คูณการเปรียบเทียบนี้ด้วย 20 เราได้
ลองเพิ่มการเปรียบเทียบแล้ว . ดังนั้น ทางด้านขวาของการเปรียบเทียบจึงหารด้วย 19 ลงตัวเสมอสำหรับธรรมชาติใดๆนซึ่งหมายความว่านิพจน์เดิมหารด้วย 19 ด้วยธรรมชาติน.
ตอบ น เป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ
ตัวอย่าง. เลขลงท้ายด้วยเลขอะไร
วิธีการแก้. เพื่อแก้ปัญหานี้ เราจะติดตามเฉพาะตัวเลขสุดท้ายเท่านั้น พิจารณาพลังของหมายเลข 14:
จะเห็นได้ว่าสำหรับเลขชี้กำลังคี่ ค่าของดีกรีจะลงท้ายด้วย 4 และสำหรับเลขชี้กำลังคู่ จะลงท้ายด้วย 6 จากนั้นจะลงท้ายด้วย 6 เช่น เป็นเลขคู่ มันจะจบลงใน 6
คำตอบ 6.
2.2. หนึ่งงานสำหรับการเปรียบเทียบ
บทความของ N. Vilenkin เรื่อง "Comparisons and Residue Classes" นำเสนอปัญหาที่ Dirac นักฟิสิกส์ชาวอังกฤษผู้มีชื่อเสียงได้แก้ไขในปีการศึกษาของเขา
นอกจากนี้ยังมีวิธีแก้ไขโดยย่อสำหรับปัญหานี้โดยใช้การเปรียบเทียบแบบโมดูโล แต่เราพบกับงานที่คล้ายกันจำนวนมาก ตัวอย่างเช่น.
ผู้สัญจรไปมาคนหนึ่งพบผลแอปเปิ้ลพวงหนึ่งใกล้ต้นไม้ที่ลิงนั่งอยู่ หลังจากนับแล้ว เขาก็รู้ว่าถ้าให้แอปเปิ้ล 1 ลูกกับลิง จำนวนแอปเปิ้ลที่เหลือจะถูกหารด้วย น อย่างไร้ร่องรอย ให้แอปเปิ้ลอีกผลหนึ่งแก่ลิง เขาหยิบมา 1 ลูก น แอปเปิ้ลที่เหลือและจากไป เสาเข็มถูกคนเดินผ่านไปผ่านมา คนต่อไปก็เดินต่อไป แต่ละคนที่เดินผ่านไปมานับแอปเปิ้ลสังเกตว่าจำนวนของพวกเขาเมื่อหารด้วย น ให้เศษที่เหลือ 1 ลูก และให้ลิงกินแอปเปิ้ลอีก 1 ผล / น แอปเปิ้ลที่เหลือและไปต่อ หลังจากเหลือคนสุดท้าย น จำนวนแอปเปิ้ลที่เหลือในกองนั้นหารด้วย น อย่างไร้ร่องรอย ตอนแรกกองแอปเปิ้ลมีกี่ผล?
เมื่อใช้เหตุผลเดียวกันกับ Dirac เราได้รับสูตรทั่วไปสำหรับการแก้ปัญหาที่คล้ายกัน: , ที่ไหนน- จำนวนธรรมชาติ
2.3. การใช้การเปรียบเทียบโมดูโลในกิจกรรมทางวิชาชีพ
ทฤษฎีการเปรียบเทียบถูกนำมาใช้ในทฤษฎีการเข้ารหัส ดังนั้นทุกคนที่เลือกอาชีพที่เกี่ยวข้องกับคอมพิวเตอร์จะได้ศึกษาและอาจใช้การเปรียบเทียบในกิจกรรมวิชาชีพของตน ตัวอย่างเช่น เพื่อพัฒนาอัลกอริธึมการเข้ารหัสคีย์สาธารณะ มีการใช้แนวคิดเกี่ยวกับทฤษฎีจำนวนจำนวนหนึ่ง รวมถึงการเปรียบเทียบโมดูโล
บทสรุป.
กระดาษสรุปแนวคิดพื้นฐานและคุณสมบัติของการเปรียบเทียบโมดูโล ตัวอย่างแสดงการใช้การเปรียบเทียบโมดูโล เนื้อหานี้สามารถใช้ในการเตรียมตัวสำหรับโอลิมปิกในวิชาคณิตศาสตร์และการสอบรวมของรัฐ
รายการอ้างอิงด้านบนช่วยให้สามารถพิจารณาแง่มุมที่ซับซ้อนมากขึ้นของทฤษฎีการเปรียบเทียบโมดูโลและการนำไปใช้ได้
รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้
Alfutova N.B. พีชคณิตและทฤษฎีจำนวน/N.B.Alfutova, A.V.Ustinov. ม.: MTSNMO, 2545, 466 น.
Bukhshtab A.A. ทฤษฎีจำนวน. /อ.บุคชตาบ. มอสโก: การศึกษา 2503
Vilenkin N. การเปรียบเทียบและคลาสสารตกค้าง/N.Vilenkin.//Kvant. – 2521.- 10.
Fedorova N.E. การศึกษาพีชคณิตและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เกรด 10http:// www. ข้อดี. th/ ebooks/ เฟโดโรวา_ พีชคณิต_10 KL/1/ xht
th. วิกิพีเดีย. องค์กร/ วิกิ/Modulo_comparison.
ที่ n พวกเขาให้เศษเท่ากัน
สูตรที่เท่าเทียมกัน: a และ b โมดูโลเทียบได้ n ถ้าความแตกต่างของพวกเขา ก - ขหารด้วย n หรือถ้า a สามารถแสดงเป็น ก = ข + เคน , ที่ไหน เคเป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น: 32 และ −10 มีความสอดคล้องกันของโมดูโล 7 เนื่องจาก
คำสั่ง "a และ b มีความสอดคล้องกันของโมดูโล n" เขียนเป็น:
คุณสมบัติความเท่าเทียมกันของโมดูโล่
ความสัมพันธ์การเปรียบเทียบโมดูโลมีคุณสมบัติ
จำนวนเต็มสองจำนวนใดๆ กและ ขเทียบได้กับโมดูโล 1
เพื่อให้ตัวเลข กและ ขเทียบได้กับโมดูโล น, จำเป็นและเพียงพอที่ผลต่างจะหารด้วย น.
ถ้าตัวเลขและโมดูโลเทียบเคียงคู่กัน นจากนั้นผลรวมของพวกเขา และ เช่นเดียวกับผลิตภัณฑ์และยังเป็นโมดูโลที่เทียบเคียงได้ น.
ถ้าตัวเลข กและ ขโมดูโลเทียบได้ นแล้วองศาของพวกเขา ก เคและ ข เคยังเป็นโมดูโลที่เทียบเคียงได้ นสำหรับธรรมชาติใด ๆ เค.
ถ้าตัวเลข กและ ขโมดูโลเทียบได้ น, และ นหารด้วย ม, แล้ว กและ ขโมดูโลเทียบได้ ม.
เพื่อให้ตัวเลข กและ ขเทียบได้กับโมดูโล นซึ่งแสดงเป็นการสลายตัวที่ยอมรับได้เป็นปัจจัยสำคัญ หน้า ผม
ที่จำเป็นและเพียงพอต่อการ
ความสัมพันธ์เชิงเปรียบเทียบเป็นความสัมพันธ์สมมูลและมีคุณสมบัติหลายอย่างของความเท่าเทียมกันทั่วไป ตัวอย่างเช่น สามารถเพิ่มและคูณได้: if
อย่างไรก็ตาม การเปรียบเทียบโดยทั่วไปไม่สามารถหารด้วยจำนวนอื่นๆ ได้ ตัวอย่าง: อย่างไรก็ตาม การลด 2 เราได้การเปรียบเทียบที่ผิดพลาด: กฎการลดสำหรับการเปรียบเทียบมีดังนี้
คุณไม่สามารถดำเนินการเปรียบเทียบได้หากโมดูลไม่ตรงกัน
คุณสมบัติอื่นๆ:
คำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง
ชั้นเรียนการหักเงิน
ชุดของจำนวนทั้งหมดที่เทียบได้กับ กโมดูโล นเรียกว่า ชั้นหัก กโมดูโล น และมักจะเขียนแทนด้วย [ ก] นหรือ . ดังนั้น การเปรียบเทียบจึงเท่ากับความเท่าเทียมกันของคลาสสารตกค้าง [ก] น = [ข] น .
เพราะการเปรียบเทียบโมดูโล นเป็นความสัมพันธ์สมมูลกับเซตของจำนวนเต็ม จากนั้นโมดูโลของคลาสเรซิดิว นเป็นคลาสสมมูล หมายเลขของพวกเขาคือ น. เซตของโมดูโลคลาสเรซิดิวทั้งหมด นแสดงโดย หรือ .
การดำเนินการของการบวกและการคูณในการเหนี่ยวนำการดำเนินการที่สอดคล้องกันในชุด:
[ก] น + [ข] น = [ก + ข] นสำหรับการดำเนินการเหล่านี้ เซตจะเป็นวงแหวนจำกัด และถ้า นง่าย - ฟิลด์สุดท้าย .
ระบบการหักเงิน
ระบบเศษเหลือช่วยให้คุณสามารถดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับชุดตัวเลขที่จำกัดโดยไม่ต้องไปไกลกว่านั้น ระบบการหักเงินที่สมบูรณ์แบบโมดูโล n คือชุดของจำนวนเต็ม n ใดๆ ที่เป็นโมดูโล n ที่หาตัวเปรียบมิได้ โดยปกติแล้ว ในฐานะที่เป็นระบบที่สมบูรณ์ของสารตกค้างโมดูโล n หนึ่งจะใช้สารตกค้างที่ไม่เป็นลบที่เล็กที่สุด
0,1,...,น − 1หรือเศษเหลือน้อยที่สุดที่ประกอบด้วยตัวเลข
,ในกรณีที่แปลก นและตัวเลข
ในกรณีที่เท่ากัน น .
การตัดสินใจเปรียบเทียบ
การเปรียบเทียบระดับแรก
ในทฤษฎีจำนวน วิทยาการเข้ารหัสลับ และสาขาวิทยาศาสตร์อื่น ๆ ปัญหามักเกิดขึ้นจากการหาคำตอบสำหรับการเปรียบเทียบระดับแรกของรูปแบบ:
วิธีแก้ปัญหาของการเปรียบเทียบเริ่มต้นด้วยการคำนวณ gcd (ก, ม)=ง. กรณีนี้เป็นไปได้ 2 กรณีคือ
- ถ้า ก ขไม่ใช่ทวีคูณ งแล้วการเปรียบเทียบไม่มีทางแก้ไข
- ถ้า ก ขหลายรายการ งจากนั้นการเปรียบเทียบจะมีโมดูโลโซลูชันเฉพาะ ม / งหรือซึ่งเหมือนกัน งโซลูชันโมดูโล ม. ในกรณีนี้เป็นผลมาจากการลดการเปรียบเทียบเดิมลง งผลการเปรียบเทียบ:
ที่ไหน ก 1 = ก / ง , ข 1 = ข / ง และ ม 1 = ม / ง เป็นจำนวนเต็ม และ ก 1 และ ม 1 เป็นโคไพรม์ ดังนั้นจำนวน ก 1 โมดูโลกลับหัวได้ ม 1 นั่นคือค้นหาหมายเลขดังกล่าว คที่ (กล่าวอีกนัยหนึ่ง, ). ตอนนี้พบวิธีแก้ปัญหาโดยการคูณผลการเปรียบเทียบด้วย ค:
การคำนวณมูลค่าจริง คสามารถทำได้หลายวิธี: โดยใช้ทฤษฎีบทของออยเลอร์ อัลกอริทึมของยูคลิด ทฤษฎีเศษส่วนต่อเนื่อง (ดูอัลกอริทึม) เป็นต้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทฤษฎีบทของออยเลอร์ทำให้คุณสามารถเขียนค่าได้ คเช่น:
ตัวอย่าง
สำหรับการเปรียบเทียบเรามี ง= 2 ดังนั้น โมดูโล 22 การเปรียบเทียบจึงมีคำตอบสองทาง ลองแทนที่ 26 ด้วย 4 ซึ่งเปรียบได้กับโมดูโล 22 แล้วยกเลิกทั้ง 3 หมายเลขด้วย 2:
เนื่องจาก 2 มีค่าค่อนข้างเฉพาะสำหรับโมดูโล 11 เราจึงสามารถลดด้านซ้ายและขวาลงได้ 2 ผลที่ได้คือโซลูชันหนึ่งสำหรับโมดูโล 11: ซึ่งเทียบเท่ากับโซลูชันโมดูโล 22: สองโซลูชัน
การเปรียบเทียบระดับที่สอง
การแก้การเปรียบเทียบระดับที่สองจะลดลงเป็นการค้นหาว่าตัวเลขที่กำหนดเป็นเศษส่วนกำลังสองหรือไม่ (โดยใช้กฎกำลังสองของการแลกเปลี่ยนซึ่งกันและกัน) จากนั้นจึงคำนวณโมดูโลรากที่สองนี้
เรื่องราว
ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีนซึ่งรู้จักกันมานานหลายศตวรรษ กล่าว (ในภาษาคณิตศาสตร์สมัยใหม่) ว่าโมดูโลวงแหวนเศษเหลือซึ่งเป็นผลคูณของจำนวนโคไพรม์หลายจำนวนคือ
เปรียบเทียบกับสิ่งที่ไม่รู้จัก xมีแบบฟอร์ม
ที่ไหน . ถ้า ก ก น ไม่หารด้วย มแล้วจะเรียกว่า ระดับการเปรียบเทียบ
การตัดสินใจการเปรียบเทียบเป็นจำนวนเต็มใดๆ x 0 , ซึ่ง
ถ้า ก เอ็กซ์ 0 ตรงตามคุณสมบัติการเปรียบเทียบ ดังนั้น ตามคุณสมบัติ 9 ของการเปรียบเทียบ การเปรียบเทียบนี้จะตอบสนองจำนวนเต็มทั้งหมดที่เทียบได้กับ x 0 โมดูโล ม. ดังนั้น โซลูชันการเปรียบเทียบทั้งหมดที่อยู่ในคลาสโมดูโลเรซิดิวเดียวกัน ทีเราจะถือเป็นทางออกหนึ่ง ดังนั้น การเปรียบเทียบจึงมีวิธีแก้ปัญหามากเท่ากับที่มีองค์ประกอบของระบบที่สมบูรณ์ของสารตกค้างที่ตอบสนอง
การเปรียบเทียบที่มีชุดโซลูชันเหมือนกันเรียกว่า เทียบเท่า.
2.2.1 การเปรียบเทียบระดับแรก
การเปรียบเทียบระดับแรกกับระดับที่ไม่รู้จัก เอ็กซ์มีแบบฟอร์ม
(2.2)
ทฤษฎีบท 2.4 เพื่อให้การเปรียบเทียบมีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งข้อ จำเป็นและเพียงพอที่จำนวน ข หารด้วย GCD( ก, ม).
การพิสูจน์.เรามาพิสูจน์ความจำเป็นกันก่อน อนุญาต ง = GCD( ก, ม) และ เอ็กซ์ 0 - โซลูชันการเปรียบเทียบ แล้ว นั่นคือความแตกต่าง โอ้ 0 − ข หารด้วย ที.ดังนั้นจึงมีจำนวนเต็ม ถาม, อะไร โอ้ 0 − ข = ตร.ม. จากที่นี่ ข= อา 0 − ตร.ม. และตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา ง, เป็นตัวหารร่วม หารตัวเลข กและ เสื้อจากนั้นตัวลบและตัวลบจะถูกหารด้วย ง, และด้วยเหตุนี้ ข หารด้วย ง.
ทีนี้มาพิสูจน์ความพอเพียงกัน อนุญาต ง- ตัวหารร่วมมากของตัวเลข กและ เสื้อและ ข หารด้วย ง. จากนั้นตามนิยามของการหารมีจำนวนเต็ม ก 1 , ข 1 ,เสื้อ 1 , อะไร .
เมื่อใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิดแบบขยาย เราจะพบการแสดงเชิงเส้นของจำนวน 1 = gcd( ก 1 , ม 1 ):
สำหรับบางคน x 0 , ย 0 . เราคูณทั้งสองส่วนของความเท่าเทียมกันสุดท้ายด้วย ข 1 ง:
หรือที่เหมือนกันคือ
,
นั่นคือ และ เป็นผลเฉลยของการเปรียบเทียบ □
ตัวอย่าง 2.10. การเปรียบเทียบ 9 เอ็กซ์= 6 (mod 12) มีคำตอบเพราะ gcd(9, 12) = 3 และ 6 หารด้วย 3 ลงตัว □
ตัวอย่าง 2.11. การเปรียบเทียบ 6 เท่า= 9 (mod 12) ไม่มีคำตอบ เพราะ gcd(6, 12) = 6 และ 9 ไม่หารด้วย 6 ลงตัว □
ทฤษฎีบท 2.5 ให้ความสอดคล้อง (2.2) สามารถตัดสินใจได้และ ง = GCD( ก, ม). จากนั้นชุดคำตอบของการเปรียบเทียบ (2.2) ประกอบด้วย ง คลาสของสารตกค้างโมดูโล เสื้อกล่าวคือถ้า เอ็กซ์ 0 เป็นหนึ่งในวิธีแก้ไข แล้ววิธีแก้ไขอื่นๆ ทั้งหมดก็คือ
การพิสูจน์.อนุญาต เอ็กซ์ 0 เป็นคำตอบของการเปรียบเทียบ (2.2) เช่น และ , . จึงมีเช่น ถาม, อะไร โอ้ 0 − ข = ตร.ม. ตอนนี้แทนที่ความเท่าเทียมกันครั้งสุดท้ายแทน เอ็กซ์ 0 วิธีแก้ปัญหาโดยพลการของแบบฟอร์ม โดยที่เราได้รับนิพจน์
, หารด้วย ม. □
ตัวอย่าง 2.12. การเปรียบเทียบ 9 เอ็กซ์=6 (mod 12) มีสามวิธีแก้ไขตั้งแต่ gcd(9, 12)=3 โซลูชันเหล่านี้คือ: เอ็กซ์ 0 \u003d 2, x 0 + 4 \u003d 6, เอ็กซ์ 0 + 2∙4=10.□
ตัวอย่าง 2.13. การเปรียบเทียบ 11 เอ็กซ์=2 (mod 15) มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ เอ็กซ์ 0 = 7 ตั้งแต่ gcd(11,15)=1.□
ให้เราแสดงวิธีแก้ปัญหาการเปรียบเทียบระดับแรก เราจะถือว่า GCD( ก, เสื้อ) = 1. จากนั้นสามารถหาวิธีแก้ปัญหาของความสอดคล้องกัน (2.2) ได้ เช่น โดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด แท้จริงแล้ว การใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิดแบบขยาย เราแสดงเลข 1 เป็นผลรวมเชิงเส้นของตัวเลข กและ ที:
คูณทั้งสองข้างของสมการนี้ด้วย ข, เราได้รับ: ข = abq + คุณนาย, ที่ไหน abq - ข = - คุณนาย, นั่นคือ ก ∙ (bq) = ข(สมัย ม) และ bqเป็นคำตอบของการเปรียบเทียบ (2.2)
วิธีแก้ไขอีกวิธีหนึ่งคือใช้ทฤษฎีบทของออยเลอร์ อีกครั้ง เราถือว่า GCD(a, เสื้อ)= 1. เราใช้ทฤษฎีบทออยเลอร์: . คูณทั้งสองด้านของการเปรียบเทียบด้วย ข: . เขียนนิพจน์สุดท้ายใหม่เป็น เราได้รับนั่นคือทางออกของความสอดคล้องกัน (2.2)
ให้ตอนนี้ GCD( ก, ม) = ง>1. แล้ว ก = กทีง, ม = มทีง, โดยที่ gcd( ก 1 , ม 1) = 1 นอกจากนี้ยังจำเป็น ข = ข 1 ง, เพื่อให้การเปรียบเทียบแก้ไขได้ ถ้า ก เอ็กซ์ 0 - โซลูชันการเปรียบเทียบ ก 1 x = ข 1 (สมัย ม 1) และอันเดียว เพราะ GCD( ก 1 , ม 1) = 1 แล้ว เอ็กซ์ 0 จะเป็นผู้ตัดสินและเปรียบเทียบ ก 1 xd = ฐานข้อมูล 1 (สมัย ม 1), นั่นคือการเปรียบเทียบดั้งเดิม (2.2) พักผ่อน ง- พบคำตอบ 1 ข้อโดยทฤษฎีบท 2.5
การเปรียบเทียบระดับที่หนึ่งกับสิ่งที่ไม่รู้จักมีรูปแบบ:
ฉ(x) 0 (สมัย ม); ฉ(เอ็กซ์) = โอ้ + หนึ่ง. (1)
แก้การเปรียบเทียบหมายถึงการหาค่า x ทั้งหมดที่ตรงตามนั้น การเปรียบเทียบสองครั้งที่ตอบสนองค่า x ที่เท่ากันเรียกว่า เทียบเท่า.
หากการเปรียบเทียบ (1) ตอบสนองบางส่วน x = x 1 แล้ว (ตาม 49) ตัวเลขทั้งหมดเทียบได้กับ x 1 , โมดูโล ม: x x 1 (สมัย ม). จำนวนทั้งชั้นนี้นับเป็น ทางออกหนึ่ง. ด้วยข้อตกลงนี้สามารถสรุปได้ดังต่อไปนี้
66.ส การจัดตำแหน่ง (1) จะมีวิธีแก้ปัญหามากเท่าที่มีส่วนที่เหลือของระบบที่สมบูรณ์ที่ตอบสนอง.
ตัวอย่าง. การเปรียบเทียบ
6x– 4 0 (สมัย 8)
ในบรรดาตัวเลข 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7 ของระบบโมดูโลตกค้าง 8 ทั้งหมด ตัวเลขสองตัวตอบสนอง: เอ็กซ์= 2 และ เอ็กซ์= 6 ดังนั้น การเปรียบเทียบนี้จึงมีคำตอบสองทาง:
x 2 (สมัย 8), เอ็กซ์ 6 (สมัย 8)
การเปรียบเทียบระดับแรกโดยโอนภาคเรียนฟรี (ที่มีเครื่องหมายตรงข้าม) ไปทางด้านขวาสามารถลดลงได้
ขวาน ข(สมัย ม). (2)
พิจารณาการเปรียบเทียบที่ตรงตามเงื่อนไข ( ก, ม) = 1.
ตาม 66 การเปรียบเทียบของเรามีวิธีแก้ปัญหามากพอๆ กับสิ่งตกค้างของระบบที่สมบูรณ์ที่ตอบสนองได้ แต่เมื่อ xทำงานผ่านระบบโมดูโลตกค้างทั้งหมด เสื้อแล้ว โอ้ทำงานผ่านระบบการหักเงินเต็มรูปแบบ (จาก 60) ดังนั้นสำหรับหนึ่งค่าเดียวเท่านั้น เอ็กซ์,นำมาจากระบบที่สมบูรณ์ โอ้จะเทียบได้กับ ข.ดังนั้น,
67. สำหรับ (a, m) = 1 ขวานเปรียบเทียบ ข(สมัย ม)มีทางออกเดียว
ให้ตอนนี้ ( ก, ม) = ง> 1. จากนั้น เพื่อเปรียบเทียบ (2) เพื่อให้มีคำตอบ มีความจำเป็น (จาก 55) ขแบ่งออกเป็น ง,มิฉะนั้น การเปรียบเทียบ (2) จะเป็นไปไม่ได้สำหรับจำนวนเต็ม x ใดๆ . สมมติดังนั้น ขหลายรายการ ง,ใส่กันเถอะ ก = ก 1 ง, ข = ข 1 ง, ม = ม 1 ง.จากนั้นการเปรียบเทียบ (2) จะเทียบเท่ากับสิ่งนี้ (ลดลงโดย ง): ก 1 x ข 1 (สมัย ม), ที่มีอยู่แล้ว ( ก 1 , ม 1) = 1, และดังนั้นมันจะมีโมดูโลโซลูชันเดียว มหนึ่ง . อนุญาต เอ็กซ์ 1 เป็นเรซิดิวที่ไม่มีประจุลบที่เล็กที่สุดของสารละลายโมดูโล m 1 นี้ , แล้วจำนวน x ทั้งหมด , การสร้างโซลูชันนี้สามารถพบได้ในแบบฟอร์ม
x x 1 (สมัย ม 1). (3)
โมดูโล่ ตัวเลข (3) ไม่ใช่คำตอบเดียว แต่มากกว่านั้น เท่ากับจำนวนคำตอบที่มี (3) ในชุด 0, 1, 2, ..., ม 1 โมดูโลสารตกค้างที่ไม่เป็นลบน้อยที่สุด ม.แต่ตัวเลขต่อไปนี้จะตกอยู่ที่นี่ (3):
x 1 , x 1 + ม 1 , x 1 + 2ม 1 , ..., x 1 + (ง – 1) ม 1 ,
เหล่านั้น. ทั้งหมด งตัวเลข (3); ดังนั้นการเปรียบเทียบ (2) มี งโซลูชั่น
เราได้ทฤษฎีบท:
68. ให้ (a, m) = d การเปรียบเทียบ ax b (ม็อด m) เป็นไปไม่ได้ถ้า b ไม่หารด้วย d เมื่อ b เป็นผลคูณของ d การเปรียบเทียบจะมีคำตอบของ d..
69. วิธีการแก้ปัญหาการเปรียบเทียบระดับแรกตามทฤษฎีเศษส่วนต่อเนื่อง:
ขยายเป็นเศษส่วนอย่างต่อเนื่องของอัตราส่วน ม:ก,
และเมื่อพิจารณาจากคอนเวอร์เจนต์สองตัวสุดท้าย:
ตามคุณสมบัติของเศษส่วนต่อเนื่อง (อ้างอิงจาก 30 ) เรามี
การเปรียบเทียบจึงมีทางออก
สำหรับการค้นหาซึ่งพอจะคำนวณได้ พี เอ็น- 1 ตามวิธีการที่กำหนดใน 30.
ตัวอย่าง. มาแก้การเปรียบเทียบกัน
111x= 75 (สมัย 321) (สี่)
ในที่นี้ (111, 321) = 3 และ 75 คือผลคูณของ 3 ดังนั้น การเปรียบเทียบจึงมีสามคำตอบ
หารทั้งสองส่วนของการเปรียบเทียบและโมดูลัสด้วย 3 เราจะได้การเปรียบเทียบ
37x= 25 (สมัย 107), (5)
ซึ่งเราต้องตัดสินใจก่อน เรามี
ถาม | |||||
พี 3 |
ดังนั้นในกรณีนี้ น = 4, พี เอ็น - 1 = 26, ข= 25 และเรามีคำตอบของการเปรียบเทียบ (5) ในแบบฟอร์ม
x–26 ∙ 25 99 (รุ่น 107)
ดังนั้นคำตอบของการเปรียบเทียบ (4) จึงแสดงได้ดังนี้
เอ็กซ์ 99; 99 + 107; 99 + 2 ∙ 107 (รุ่น 321),
เอ็กซ์º99; 206; 313 (สมัย 321)
การคำนวณโมดูโลองค์ประกอบผกผัน a ที่กำหนด
70.ถ้าเป็นจำนวนเต็ม กและ น coprime แล้วมีจำนวน ก'พอใจในการเปรียบเทียบ ก ∙ ก' ≡ 1(สมัย น). ตัวเลข ก'เรียกว่า ผกผันการคูณของโมดูโล nและสัญกรณ์ใช้สำหรับมัน เอ- 1 (สมัย น).
การคำนวณโมดูโลซึ่งกันและกันสามารถทำได้โดยวิธีเปรียบเทียบระดับแรกกับอันที่ไม่รู้จัก ซึ่งในนั้น xหมายเลขที่ยอมรับ ก'.
เพื่อหาทางออกเปรียบเทียบ
ก x≡ 1 (สมัย ม),
ที่ไหน ( เป็น)= 1,
เราสามารถใช้อัลกอริทึมของยุคลิด (69) หรือทฤษฎีบทแฟร์มาต์-ออยเลอร์ ซึ่งระบุว่าถ้า ( เป็น) = 1 แล้ว
ก φ( ม) ≡ 1(สมัย ม).
x ≡ ก φ( ม)–1 (สมัย ม).
กลุ่มและคุณสมบัติของพวกเขา
กลุ่มเป็นหนึ่งในคลาสอนุกรมวิธานที่ใช้ในการจำแนกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่มีคุณสมบัติทั่วไป กลุ่มมีสององค์ประกอบ: เยอะ (ช) และ การดำเนินงาน() กำหนดไว้ในชุดนี้
แนวคิดของเซต องค์ประกอบ และความเป็นสมาชิกเป็นแนวคิดพื้นฐานของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ที่ไม่ได้นิยาม ชุดใดๆ ถูกกำหนดโดยองค์ประกอบที่รวมอยู่ในนั้น (ซึ่งในทางกลับกันก็สามารถเป็นชุดได้เช่นกัน) ดังนั้นเราจึงบอกว่าเซตถูกกำหนดหรือกำหนดสำหรับองค์ประกอบใด ๆ เราสามารถพูดได้ว่าเป็นของเซตนี้หรือไม่
สำหรับสองชุด เอ บีบันทึก ข ก, ข ก, ข∩ ก, ข ก, ข \ ก, ก × ขหมายถึงตามลำดับว่า ขเป็นสับเซตของเซต ก(เช่น องค์ประกอบใดๆ จาก ขบรรจุอยู่ใน กตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนธรรมชาติอยู่ในเซตของจำนวนจริง นอกจากนี้เสมอ ก ก), ขเป็นสับเซตของเซต ก(เหล่านั้น. ข กและ ข ≠ ก) ทางแยกหลายแยก ขและ ก(เช่น องค์ประกอบดังกล่าวทั้งหมดที่อยู่พร้อมกันและใน ก, และใน ขตัวอย่างเช่น จุดตัดของจำนวนเต็มกับจำนวนจริงที่เป็นบวกคือเซตของจำนวนธรรมชาติ) ยูเนี่ยนของเซต ขและ ก(เช่น ชุดที่ประกอบด้วยองค์ประกอบที่อยู่ใน กทั้งใน ข) ตั้งค่าความแตกต่าง ขและ ก(คือชุดขององค์ประกอบที่อยู่ใน ขแต่อย่าโกหก ก) ผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนของเซต กและ ข(เช่น ชุดของแบบฟอร์มคู่ ( ก, ข), ที่ไหน ก ก, ข ข). ผ่าน | ก| จำนวนสมาชิกของชุดจะแสดงแทนเสมอ ก, เช่น. จำนวนองค์ประกอบในชุด ก.
การดำเนินการคือกฎที่องค์ประกอบสองอย่างของเซต ช(กและ ข) เชื่อมโยงกับองค์ประกอบที่สามจาก G: ก ข
องค์ประกอบมากมาย ชด้วยปฏิบัติการที่เรียกว่า กลุ่มหากตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้