วิธีตามความเป็นจริงในคณิตศาสตร์ การสร้างเชิงสัจพจน์ของระบบจำนวนธรรมชาติ ความหมายของจำนวนธรรมชาติ
![วิธีตามความเป็นจริงในคณิตศาสตร์ การสร้างเชิงสัจพจน์ของระบบจำนวนธรรมชาติ ความหมายของจำนวนธรรมชาติ](https://i1.wp.com/kto.guru/uploads/images/ob-aksiomaticheskom-sposobe-postroeniya-teorii_7.gif)
ข้อตกลงเกี่ยวกับการใช้วัสดุเว็บไซต์
โปรดใช้งานที่เผยแพร่บนเว็บไซต์เพื่อวัตถุประสงค์ส่วนตัวเท่านั้น ห้ามเผยแพร่เนื้อหาบนเว็บไซต์อื่น
งานนี้ (และอื่น ๆ ทั้งหมด) สามารถดาวน์โหลดได้ฟรี คุณสามารถขอบคุณผู้เขียนและเจ้าหน้าที่ของเว็บไซต์ได้
ส่งงานที่ดีของคุณในฐานความรู้เป็นเรื่องง่าย ใช้แบบฟอร์มด้านล่าง
นักศึกษา บัณฑิต นักวิทยาศาสตร์รุ่นเยาว์ที่ใช้ฐานความรู้ในการศึกษาและการทำงานจะขอบคุณมาก
เอกสารที่คล้ายกัน
การบวกและการคูณจำนวนเต็ม p-adic หมายถึงการบวกและการคูณลำดับตามคำศัพท์ วงแหวนของจำนวนเต็ม p-adic การศึกษาคุณสมบัติของการหาร คำอธิบายของตัวเลขเหล่านี้โดยการแนะนำวัตถุทางคณิตศาสตร์ใหม่
ภาคนิพนธ์ เพิ่ม 06/22/2015
ผู้คนเรียนรู้ที่จะนับ การเกิดขึ้นของตัวเลข จำนวน และระบบจำนวนได้อย่างไร สูตรคูณบน "นิ้ว": เทคนิคการคูณสำหรับหมายเลข 9 และ 8 ตัวอย่างการนับอย่างรวดเร็ว วิธีคูณเลขสองหลักด้วย 11, 111, 1111 ฯลฯ และเลขสามตัวคูณ 999
ภาคนิพนธ์ เพิ่ม 22/10/2554
วิธีใหม่ในการคูณเลข ความคล้ายคลึงกันของเมทริกซ์ของตัวเลขที่เกิดขึ้นระหว่างการคำนวณด้วยรูปสามเหลี่ยมนั้นสัมพันธ์กัน แต่ก็ยังมี โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อคูณตัวเลขสามหลักขึ้นไป เมทริกซ์สามเหลี่ยม
บทความเพิ่ม 02/06/2005
บทคัดย่อ เพิ่ม 01/13/2011
ลักษณะของประวัติการศึกษาความหมายของจำนวนเฉพาะในวิชาคณิตศาสตร์โดยอธิบายว่าพบได้อย่างไร ผลงานของ Pietro Cataldi ในการพัฒนาทฤษฎีจำนวนเฉพาะ วิธีการของ Eratosthenes ในการรวบรวมตารางจำนวนเฉพาะ ความเป็นมิตรของจำนวนธรรมชาติ
ทดสอบเพิ่ม 12/24/2010
ชุดของจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบเป็นชุดย่อยที่ตีความของการหาร R ในกลุ่มกึ่งกลุ่มการคูณ โครงสร้างของตัวเลข GCD และ LCM ของเซมิกรุ๊ป ศึกษาการคูณครึ่งหมู่ของจำนวนจริงที่ไม่ติดลบด้วย 0 และ 1
วิทยานิพนธ์, เพิ่ม 27/05/2551
คุณสมบัติของจำนวนจริง บทบาทในการพัฒนาคณิตศาสตร์ การวิเคราะห์การสร้างเซตของจำนวนจริงในแง่มุมประวัติศาสตร์ แนวทางการสร้างทฤษฎีจำนวนจริงตาม Kantor, Weierstrass, Dedekind การเรียนในหลักสูตรของโรงเรียน
งานนำเสนอ เพิ่ม 10/09/2011
องค์ประกอบหลักของคณิตศาสตร์ คุณสมบัติของจำนวนธรรมชาติ แนวคิดของทฤษฎีจำนวน คุณสมบัติทั่วไปของการเปรียบเทียบและสมการเชิงพีชคณิต การดำเนินการทางคณิตศาสตร์พร้อมการเปรียบเทียบ กฎพื้นฐานของเลขคณิต การตรวจสอบผลลัพธ์ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์
ภาคนิพนธ์ เพิ่ม 05/15/2015
โพลีเซมี
Polysemy หรือความกำกวมของคำเกิดจากความจริงที่ว่าภาษาเป็นระบบที่มีข้อ จำกัด เมื่อเปรียบเทียบกับความเป็นจริงที่หลากหลายไม่สิ้นสุด ดังนั้นในคำพูดของนักวิชาการ Vinogradov "ภาษาถูกบังคับให้แจกจ่ายชุดจำนวนนับไม่ถ้วนของ ความหมายภายใต้หัวข้อหนึ่งหรืออีกหัวข้อหนึ่งของแนวคิดพื้นฐาน" (Vinogradov "ภาษารัสเซีย" 2490) จำเป็นต้องแยกความแตกต่างระหว่างการใช้คำที่แตกต่างกันในตัวแปรพจนานุกรมและความหมายหนึ่งคำกับความแตกต่างที่แท้จริงของคำ ตัวอย่างเช่น คำว่า (das)Ol สามารถใช้แทนน้ำมันได้หลายชนิด ยกเว้นน้ำมันวัว (ซึ่งมีคำว่า Butter อยู่ด้วย) อย่างไรก็ตาม จากนี้ไปไม่ได้หมายถึงน้ำมันที่แตกต่างกัน คำว่า Ol แต่ละครั้งจะมีความหมายต่างกัน ในทุกกรณี ความหมายจะเหมือนกันคือน้ำมัน (อะไรก็ได้ ยกเว้นวัว) ตัวอย่างเช่นความหมายของคำว่า Tisch table โดยไม่คำนึงว่าคำนี้หมายถึงตารางประเภทใดในกรณีนี้ สถานการณ์แตกต่างกันเมื่อคำว่า Ol หมายถึงน้ำมัน ที่นี่ไม่ใช่ความคล้ายคลึงกันของน้ำมันตามสายการหล่อลื่นกับน้ำมันเกรดต่าง ๆ ที่มาก่อนอีกต่อไป แต่เป็นน้ำมันคุณภาพพิเศษ - ความสามารถในการติดไฟ และในเวลาเดียวกันคำที่แสดงถึงเชื้อเพลิงประเภทต่าง ๆ จะมีความสัมพันธ์กับคำว่า Ol: Kohl, Holz เป็นต้น สิ่งนี้เปิดโอกาสให้เราแยกแยะความหมายสองประการจากคำว่า Ol (หรืออีกนัยหนึ่ง คือ คำศัพท์-ความหมายสองรูปแบบ): 1) น้ำมัน (ไม่ใช่สัตว์) 2) น้ำมัน
โดยปกติแล้วความหมายใหม่จะเกิดขึ้นโดยการย้ายหนึ่งในคำที่มีอยู่ไปยังวัตถุหรือปรากฏการณ์ใหม่ นี่คือวิธีสร้างมูลค่าการโอน ขึ้นอยู่กับความคล้ายคลึงกันของวัตถุหรือความเชื่อมโยงของวัตถุหนึ่งกับอีกวัตถุหนึ่ง รู้จักการโอนชื่อหลายประเภท สิ่งที่สำคัญที่สุดคือคำอุปมาหรือคำพ้องความหมาย
ในอุปมาอุปไมย การถ่ายโอนขึ้นอยู่กับความคล้ายคลึงกันของสิ่งต่างๆ ทั้งสี รูปร่าง การเคลื่อนไหว และอื่นๆ ด้วยการเปลี่ยนแปลงเชิงเปรียบเทียบทั้งหมด สัญญาณบางอย่างของแนวคิดดั้งเดิมยังคงอยู่
คำพ้องเสียง
ความหลายหลายของคำเป็นปัญหาใหญ่และมีหลายแง่มุมที่ปัญหาที่หลากหลายที่สุดของคำศัพท์นั้นเชื่อมโยงกับมัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งปัญหาของคำพ้องเสียงก็เข้ามาเกี่ยวพันกับปัญหานี้ในบางแง่มุมด้วย
คำพ้องเสียงคือคำที่ออกเสียงเหมือนกันแต่มีความหมายต่างกัน คำพ้องเสียงในบางกรณีเกิดขึ้นจากการมีหลายคนซึ่งผ่านกระบวนการทำลายล้าง แต่คำพ้องเสียงยังสามารถเกิดขึ้นได้จากความบังเอิญทางเสียง กุญแจที่เปิดประตูและกุญแจ - สปริงหรือเคียว - ทรงผมและเคียว - เครื่องมือการเกษตร - คำเหล่านี้มีความหมายต่างกันและมีที่มาต่างกัน แต่บังเอิญตรงกับเสียง
คำพ้องเสียงแยกแยะความแตกต่างระหว่างคำศัพท์ (หมายถึงส่วนหนึ่งของคำพูดเช่นกุญแจ - เพื่อเปิดล็อคและกุญแจ - สปริงแหล่งที่มา) สัณฐานวิทยา (หมายถึงส่วนต่าง ๆ ของคำพูดเช่นสาม - ตัวเลข, สาม - กริยา ในอารมณ์ที่จำเป็น) คำศัพท์ทางไวยากรณ์ซึ่งสร้างขึ้นจากการแปลงเมื่อคำที่กำหนดผ่านไปยังส่วนอื่นของคำพูด ตัวอย่างเช่นใน eng ดูและดู มีคำพ้องเสียงและไวยกรณ์หลายคำโดยเฉพาะในภาษาอังกฤษ
คำพ้องเสียงและคำพ้องเสียงต้องแตกต่างจากคำพ้องเสียง คำที่แตกต่างกันเรียกว่าคำพ้องเสียงซึ่งต่างกันในการสะกดคำพ้องเสียงเช่น: ธนู - ทุ่งหญ้า, Seite - หน้าและ Saite - สตริง
คำพ้องเสียงเป็นคำที่แตกต่างกันซึ่งตรงกับการสะกดแม้ว่าพวกเขาจะออกเสียงแตกต่างกัน (ทั้งในแง่ขององค์ประกอบเสียงและตำแหน่งที่เน้นเสียงในคำ) เช่น ปราสาท - ปราสาท
คำพ้องความหมาย
คำพ้องความหมายมีความหมายคล้ายกัน แต่คำที่มีเสียงแตกต่างกันซึ่งแสดงเฉดสีของแนวคิดเดียวกัน
คำพ้องความหมายมีสามประเภท:
1. แนวคิดหรืออุดมคติ พวกเขาแตกต่างกันในความหมายคำศัพท์ ความแตกต่างนี้แสดงให้เห็นในระดับที่แตกต่างกันของเครื่องหมายที่กำหนด (น้ำค้างแข็ง - เย็น, แข็งแกร่ง, ทรงพลัง, ยิ่งใหญ่) ในลักษณะของการระบุ (แจ็คเก็ตผ้านวม - แจ็คเก็ตผ้านวม - แจ็คเก็ตผ้านวม) ในปริมาณของแนวคิดที่แสดง (แบนเนอร์ - ธง, อวดดี - ตัวหนา) ในระดับความเชื่อมโยงของค่าคำศัพท์ (น้ำตาล - น้ำตาล, ดำ - ดำ)
2. คำพ้องความหมายเป็นโวหารหรือหน้าที่ พวกเขาแตกต่างกันในด้านการใช้งานเช่นตา - ตา, ใบหน้า - ใบหน้า, หน้าผาก - หน้าผาก คำพ้องอารมณ์ - ประเมิน คำพ้องความหมายเหล่านี้แสดงทัศนคติของผู้พูดต่อบุคคล วัตถุ หรือปรากฏการณ์ที่กำหนดอย่างเปิดเผย ตัวอย่างเช่น เด็กสามารถเรียกอย่างเคร่งขรึมว่าเด็ก, เด็กชายและเด็กชายตัวเล็ก ๆ อย่างเสน่หา, เด็กผู้ชายและเด็กดูดนมอย่างดูถูก, และยังดูถูกอย่างเด่นชัด - ลูกสุนัข, เด็กดูดนม, กระตุก
3. คำตรงข้าม - การรวมกันของคำที่ตรงกันข้ามกับความหมายของคำศัพท์เช่น: บน - ล่าง, ขาว - ดำ, พูด - เงียบ, เสียงดัง - เงียบ ๆ
คำตรงข้าม
คำตรงข้ามมีสามประเภท:
1. คำตรงข้ามกับคำตรงข้ามที่ค่อยเป็นค่อยไปและประสานกัน เช่น ขาว-ดำ เงียบ-ดัง ใกล้-ไกล ใจดี-ชั่ว เป็นต้น คำตรงกันข้ามเหล่านี้มีความหมายทั่วไปซึ่งช่วยให้พวกเขาต่อต้านได้ ดังนั้นแนวคิดของขาวดำจึงแสดงถึงแนวคิดของสีที่ตรงกันข้าม
2. คำตรงข้ามของคำตรงกันข้ามที่เสริมและเปลี่ยนใจเลื่อมใส: สงคราม - สันติภาพ, สามี - ภรรยา, แต่งงาน - โสด, สามารถ - ไม่สามารถ, ปิด - เปิด
3. คำตรงข้ามของการแบ่งแนวคิดแบบแบ่งขั้ว พวกเขามักจะเป็นคำรากเดียวกัน: ชาวบ้าน - ต่อต้านผู้คน, กฎหมาย - ผิดกฎหมาย, มีมนุษยธรรม - ไร้มนุษยธรรม
ดอกเบี้ยยังเป็นสิ่งที่เรียกว่า intra-word antononym เมื่อความหมายของคำที่มีเปลือกวัสดุเดียวกันถูกเปรียบเทียบกัน ตัวอย่างเช่น ในภาษารัสเซีย คำกริยาที่ให้ยืมเงินกับใครบางคนหมายถึง "ให้ยืม" และการยืมเงินจากใครบางคนหมายถึงการยืมเงินจากใครบางคน คำตรงข้ามของความหมายเรียกว่า enantiosemy
6. การสร้างจริงของระบบจำนวนธรรมชาติ วิธีการตามความเป็นจริงสำหรับการสร้างทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ ข้อกำหนดสำหรับระบบสัจพจน์: ความสอดคล้อง ความเป็นอิสระ ความสมบูรณ์ สัจพจน์ของพีอาโน แนวคิดของจำนวนธรรมชาติจากตำแหน่งจริง แบบจำลองระบบสัจพจน์ของพีอาโน การบวกและการคูณจำนวนธรรมชาติจากตำแหน่งจริง การเรียงลำดับของจำนวนธรรมชาติ คุณสมบัติของเซตของจำนวนธรรมชาติ การลบและการหารเซตของจำนวนธรรมชาติจากตำแหน่งจริง วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ บทนำของศูนย์และการสร้างเซตของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ทฤษฎีบทการหารด้วยเศษเหลือ
แนวคิดพื้นฐานและคำจำกัดความ
ตัวเลข -เป็นการแสดงออกของปริมาณที่แน่นอน
จำนวนธรรมชาติองค์ประกอบของลำดับต่อเนื่องไม่มีกำหนด
จำนวนธรรมชาติ (จำนวนธรรมชาติ) -จำนวนที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติในการนับ (ทั้งในแง่ของการแจงนับและในแง่ของแคลคูลัส)
มีสองวิธีในการนิยามจำนวนธรรมชาติ - ตัวเลขที่ใช้ใน:
การแจงนับ (ลำดับเลข) ของรายการ (ที่หนึ่ง, สอง, สาม, ...);
การกำหนดจำนวนของรายการ (ไม่มีรายการ, หนึ่งรายการ, สองรายการ, ...)
สัจพจน์ -สิ่งเหล่านี้เป็นจุดเริ่มต้นพื้นฐาน (หลักการที่ชัดเจนในตัวเอง) ของทฤษฎีใดทฤษฎีหนึ่ง ซึ่งจากการอนุมาน กล่าวคือ โดยวิธีการทางตรรกะล้วน ๆ เนื้อหาที่เหลือทั้งหมดของทฤษฎีนี้จะถูกดึงออกมา
จำนวนที่มีตัวหารเพียงสองตัว (จำนวนตัวเองและหนึ่ง) เรียกว่า - ตัวเลขง่ายๆ
จำนวนประกอบคือ จำนวนที่มีตัวหารมากกว่า 2 ตัว
§2. สัจพจน์ของจำนวนธรรมชาติ
จำนวนธรรมชาติได้จากการนับวัตถุและการวัดปริมาณ แต่ถ้าในระหว่างการวัดมีตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ตัวเลขธรรมชาติปรากฏขึ้น การคำนวณจะนำไปสู่ตัวเลขธรรมชาติเท่านั้น ในการนับ คุณต้องมีลำดับของตัวเลขที่ขึ้นต้นด้วยเลขหนึ่ง และนั่นทำให้คุณสามารถย้ายจากเลขหนึ่งไปยังอีกเลขหนึ่งและหลายครั้งเท่าที่จำเป็น กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราต้องการส่วนของอนุกรมธรรมชาติ ดังนั้นเมื่อแก้ปัญหาการพิสูจน์ระบบของจำนวนธรรมชาติ ก่อนอื่นจำเป็นต้องตอบคำถามว่าจำนวนใดเป็นองค์ประกอบของอนุกรมธรรมชาติ คำตอบนี้ได้รับจากผลงานของนักคณิตศาสตร์สองคน - กราสมันน์ของเยอรมัน และ Peano ของอิตาลีพวกเขาเสนอความจริงที่ จำนวนธรรมชาติได้รับการพิสูจน์ว่าเป็นองค์ประกอบของลำดับต่อเนื่องอย่างไม่มีกำหนด
การสร้างตามจริงของระบบจำนวนธรรมชาตินั้นดำเนินการตามกฎที่กำหนด.
สัจพจน์ทั้งห้าสามารถถูกมองว่าเป็นคำจำกัดความเชิงสัจพจน์ของแนวคิดพื้นฐาน:
1 เป็นจำนวนธรรมชาติ
จำนวนธรรมชาติถัดไปคือจำนวนธรรมชาติ
1 ไม่เป็นไปตามจำนวนธรรมชาติใดๆ
ถ้าเป็นจำนวนธรรมชาติ กเป็นไปตามจำนวนธรรมชาติ ขและสำหรับจำนวนธรรมชาติ กับ, แล้ว ขและ กับเหมือนกัน;
ถ้าประพจน์ใดได้รับการพิสูจน์สำหรับ 1 และถ้าจากการสันนิษฐานว่าเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติ นเป็นไปตามที่เป็นจริงสำหรับสิ่งต่อไปนี้ นจำนวนธรรมชาติ ประพจน์นี้เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด
หน่วยเป็นเลขตัวแรกของอนุกรมธรรมชาติ , เช่นเดียวกับหนึ่งในหลักในระบบเลขฐานสิบ
เป็นที่เชื่อกันว่าการกำหนดหน่วยของหมวดหมู่ใด ๆ ที่มีเครื่องหมายเดียวกัน (ค่อนข้างใกล้เคียงกับสมัยใหม่) ปรากฏเป็นครั้งแรกในบาบิโลนโบราณเมื่อประมาณ 2 พันปีก่อนคริสต์ศักราช อี
ชาวกรีกโบราณซึ่งพิจารณาเฉพาะจำนวนธรรมชาติเป็นตัวเลข ถือว่าแต่ละจำนวนเป็นชุดของหน่วย หน่วยได้รับสถานที่พิเศษ: ไม่ถือว่าเป็นตัวเลข
I. Newton เขียนว่า: "... ตามจำนวนแล้ว เราหมายถึงหน่วยที่ไม่มากนัก แต่เป็นอัตราส่วนเชิงนามธรรมของปริมาณหนึ่งต่ออีกปริมาณหนึ่ง ซึ่งเรายอมรับกันตามอัตภาพว่าเป็นหน่วยหนึ่ง" ดังนั้นหน่วยนี้จึงเข้ามาแทนที่หมายเลขอื่นอย่างถูกต้องแล้ว
การดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับตัวเลขมีคุณสมบัติที่หลากหลาย สามารถอธิบายเป็นคำพูดได้ เช่น "ผลรวมไม่เปลี่ยนแปลงจากการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งของคำศัพท์" เขียนเป็นตัวอักษรได้: a+b = b+a สามารถแสดงเป็นเงื่อนไขเฉพาะได้
เราใช้กฎพื้นฐานของเลขคณิตบ่อยครั้งจนเป็นนิสัยโดยไม่รู้ตัว:
1) กฎการสลับที่ (การสลับที่) - คุณสมบัติของการบวกและการคูณของตัวเลขที่แสดงโดยตัวตน:
a+b = b+a a*b = b*a;
2) กฎหมายที่เชื่อมโยง (การเชื่อมโยง) - คุณสมบัติของการเพิ่มและการคูณของตัวเลขที่แสดงโดยตัวตน:
(a+b)+c = a+(b+c) (a*b)*c = a*(b*c);
3) กฎการกระจาย (การกระจาย) - คุณสมบัติที่เชื่อมโยงการบวกและการคูณของตัวเลขและแสดงด้วยตัวตน:
ก*(b+c) = ก*b+a*c (b+c) *a = b*a+c*a
หลังจากพิสูจน์กฎการสลับที่ เชื่อมโยง และกระจาย (เกี่ยวกับการบวก) ของการกระทำการคูณ การสร้างทฤษฎีการดำเนินการเลขคณิตเพิ่มเติมเกี่ยวกับจำนวนธรรมชาติไม่มีปัญหาพื้นฐาน
ในปัจจุบันในใจหรือบนกระดาษเราทำเฉพาะการคำนวณที่ง่ายที่สุดโดยมอบหมายงานการคำนวณที่ซับซ้อนมากขึ้นให้กับเครื่องคิดเลขคอมพิวเตอร์ อย่างไรก็ตาม การทำงานของคอมพิวเตอร์ทุกเครื่องทั้งแบบง่ายและซับซ้อนนั้นขึ้นอยู่กับการทำงานที่ง่ายที่สุด นั่นคือการบวกจำนวนธรรมชาติ ปรากฎว่าการคำนวณที่ซับซ้อนที่สุดสามารถลดลงได้ นอกจากนี้ การดำเนินการนี้ต้องทำหลายล้านครั้งเท่านั้น
วิธีตามความเป็นจริงในคณิตศาสตร์
สาเหตุหลักประการหนึ่งสำหรับการพัฒนาตรรกะทางคณิตศาสตร์คือความแพร่หลาย วิธีการจริงในการสร้างทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ต่างๆ อย่างแรกคือ เรขาคณิต แล้วจึงตามด้วยเลขคณิต ทฤษฎีกลุ่ม เป็นต้น วิธีตามความเป็นจริงสามารถกำหนดได้ว่าเป็นทฤษฎีที่สร้างขึ้นจากระบบที่เลือกไว้ล่วงหน้าซึ่งมีแนวคิดและความสัมพันธ์ที่ไม่ได้กำหนดไว้ล่วงหน้า
ในการก่อสร้างตามความเป็นจริงของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ระบบบางอย่างของแนวคิดและความสัมพันธ์ที่ไม่ได้กำหนดจะถูกเลือกในเบื้องต้น แนวคิดและความสัมพันธ์เหล่านี้เรียกว่าพื้นฐาน ต่อไปจะแนะนำ สัจพจน์เหล่านั้น. บทบัญญัติหลักของทฤษฎีภายใต้การพิจารณายอมรับโดยไม่ต้องพิสูจน์ เนื้อหาเพิ่มเติมทั้งหมดของทฤษฎีได้มาจากสัจพจน์อย่างมีเหตุผล เป็นครั้งแรกที่ Euclid ได้ดำเนินการก่อสร้างตามความเป็นจริงของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ในการสร้างรูปทรงเรขาคณิต
ในการสร้างความจริงของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ใด ๆ แน่นอน ระเบียบ:
แนวคิดของทฤษฎีบางส่วนถูกเลือกเป็นแนวคิดหลักและได้รับการยอมรับโดยไม่มีคำจำกัดความ
แต่ละแนวคิดของทฤษฎีซึ่งไม่ได้อยู่ในรายการของแนวคิดพื้นฐานจะได้รับคำจำกัดความ
มีการกำหนดสัจพจน์ - ประโยคที่ยอมรับในทฤษฎีนี้โดยไม่มีการพิสูจน์ พวกเขาเปิดเผยคุณสมบัติของแนวคิดพื้นฐาน
· แต่ละประโยคของทฤษฎีที่ไม่อยู่ในรายการสัจพจน์จะต้องได้รับการพิสูจน์ ประพจน์ดังกล่าวเรียกว่าทฤษฎีบทและได้รับการพิสูจน์บนพื้นฐานของสัจพจน์และพจน์
ในการสร้างสัจพจน์ของทฤษฎี ข้อความทั้งหมดได้มาจากสัจพจน์โดยการพิสูจน์
ดังนั้นระบบสัจพจน์จึงมีความพิเศษ ความต้องการ:
ความสอดคล้อง (ระบบของสัจพจน์เรียกว่าสอดคล้องกันหากเป็นไปไม่ได้ที่จะได้รับประโยคสองประโยคที่พิเศษร่วมกันอย่างมีเหตุผลจากมัน)
ความเป็นอิสระ (ระบบของสัจพจน์เรียกว่า อิสระ หากไม่มีสัจพจน์ของระบบนี้ที่เป็นผลมาจากสัจพจน์อื่นๆ)
ชุดที่มีความสัมพันธ์ที่กำหนดเรียกว่าแบบจำลองของระบบสัจพจน์ที่กำหนดหากสัจพจน์ทั้งหมดของระบบนี้พอใจ
มีหลายวิธีในการสร้างระบบสัจพจน์สำหรับเซตของจำนวนธรรมชาติ สำหรับแนวคิดพื้นฐาน เราสามารถใช้ ตัวอย่างเช่น ผลรวมของตัวเลขหรือลำดับความสัมพันธ์ ไม่ว่าในกรณีใด ๆ จำเป็นต้องระบุระบบสัจพจน์ที่อธิบายคุณสมบัติของแนวคิดพื้นฐาน
ให้เราสร้างระบบสัจพจน์โดยใช้แนวคิดพื้นฐานของการดำเนินการบวก
ชุดที่ไม่ว่างเปล่า เอ็นเรียกว่า เซตของจำนวนธรรมชาติ ถ้าดำเนินการ (ก; ข) → a + bเรียกว่าการบวกและมีคุณสมบัติดังนี้
1. การบวกเป็นการสลับที่ เช่น ก + ข = ข + ก.
2. การบวกเป็นแบบเชื่อมโยง เช่น (ก + ข) + ค = ก + (ข + ค).
4.ในชุดใดก็ได้ แต่ซึ่งเป็นสับเซตของเซต เอ็น, ที่ไหน แต่มีจำนวนเช่นนั้นทั้งหมด ฮามีค่าเท่ากัน เอ+บี, ที่ไหน พันล้าน
สัจพจน์ 1 - 4 ก็เพียงพอที่จะสร้างเลขคณิตทั้งหมดของจำนวนธรรมชาติ แต่ด้วยโครงสร้างดังกล่าว เป็นไปไม่ได้อีกต่อไปที่จะพึ่งพาคุณสมบัติของเซตจำกัดที่ไม่สะท้อนในสัจพจน์เหล่านี้
ให้เราใช้แนวคิดพื้นฐานของความสัมพันธ์ “ติดตามโดยตรง…” ที่กำหนดไว้ในเซตที่ไม่ว่างเปล่า เอ็น. จากนั้นชุดตัวเลขธรรมชาติจะเป็นชุด N ซึ่งความสัมพันธ์ "ติดตามโดยตรง" ถูกกำหนด และองค์ประกอบทั้งหมดของ N จะเรียกว่าจำนวนธรรมชาติ และการระงับต่อไปนี้: สัจพจน์ของพีอาโน:
สัจพจน์ 1.
ในจำนวนมากเอ็นมีองค์ประกอบที่ไม่ตามหลังองค์ประกอบใดๆ ของชุดนี้ในทันที เราจะเรียกมันว่าหน่วย และแทนด้วยสัญลักษณ์ 1
สัจพจน์ 2
สำหรับแต่ละองค์ประกอบ a ของเอ็นมีองค์ประกอบเดียว a ต่อจาก a ทันที
สัจพจน์ 3
สำหรับแต่ละองค์ประกอบ a ของเอ็นมีองค์ประกอบไม่เกิน 1 รายการตามด้วย a ทันที
AXOIM 4.
สับเซต M ใดๆ ของเซตเอ็นเกิดขึ้นพร้อมกับเอ็นถ้ามีคุณสมบัติ: 1) 1 มีอยู่ใน M; 2) จากข้อเท็จจริงที่ว่า a มีอยู่ใน M ดังนั้น a จึงอยู่ใน M ด้วย
เยอะ ยังไม่มีข้อความสำหรับองค์ประกอบที่ความสัมพันธ์ "ติดตามทันที ... " ถูกสร้างขึ้นตามสัจพจน์ที่ 1 - 4 เรียกว่า ชุดของจำนวนธรรมชาติ และองค์ประกอบของมันคือ จำนวนธรรมชาติ
ถ้าเป็นชุด เอ็นเลือกชุดที่เฉพาะเจาะจงซึ่งกำหนดความสัมพันธ์เฉพาะ "ติดตามโดยตรง ... " ซึ่งเป็นไปตามสัจพจน์ 1 - 4 จากนั้นเราจะแตกต่างกัน การตีความ (แบบจำลอง) ที่ให้ไว้ ระบบสัจพจน์
แบบจำลองมาตรฐานของระบบสัจพจน์ของ Peano คือชุดของตัวเลขที่เกิดขึ้นในกระบวนการพัฒนาทางประวัติศาสตร์ของสังคม: 1, 2, 3, 4, 5, ...
เซตที่นับได้ใดๆ สามารถเป็นต้นแบบของสัจพจน์พีโนได้
ตัวอย่างเช่น I, II, III, III, ...
โอ โอ โอ โอ โอ โอ...
หนึ่งสองสามสี่, …
พิจารณาลำดับของชุดที่ชุด (oo) เป็นองค์ประกอบเริ่มต้น และแต่ละชุดที่ตามมาจะได้รับจากชุดก่อนหน้าโดยการกำหนดวงกลมอีกหนึ่งวง (รูปที่ 15)
แล้ว เอ็นเป็นชุดที่ประกอบด้วยชุดของรูปแบบที่อธิบายไว้ และเป็นแบบจำลองของระบบสัจพจน์ของพีอาโน
แท้จริงแล้วในหลายๆ เอ็นมีองค์ประกอบ (oo) ที่ไม่ได้ตามหลังองค์ประกอบใด ๆ ของเซตที่กำหนดทันที เช่น สัจพจน์ 1 ถือ สำหรับแต่ละชุด แต่ของชุดที่พิจารณามีชุดเฉพาะที่ได้มาจาก แต่โดยเพิ่มวงกลมหนึ่งวง เช่น สัจพจน์ 2 ถือ สำหรับแต่ละชุด แต่มีมากที่สุดหนึ่งชุดจากชุดที่ก่อตัวขึ้น แต่โดยเพิ่มวงกลมหนึ่งวง เช่น สัจพจน์ 3 ถือ ถ้า มเอ็นและเป็นที่รู้จักกันว่าชุด แต่บรรจุใน เอ็มเป็นไปตามชุดที่มีวงกลมมากกว่าในชุด แต่ยังบรรจุอยู่ใน ม, แล้ว ม =เอ็นซึ่งหมายความว่า Axiom 4 เป็นที่พอใจ
ในนิยามของจำนวนธรรมชาติ ไม่มีสัจพจน์ใดๆ ที่สามารถละเว้นได้
ให้เราพิจารณาว่าชุดใดที่แสดงในรูป 16 เป็นแบบจำลองของสัจพจน์ของพีอาโน
|
![](https://i0.wp.com/kto.guru/uploads/images/ob-aksiomaticheskom-sposobe-postroeniya-teorii_9.gif)
วิธีการแก้.รูปที่ 16 ก) แสดงชุดที่ตรงตามสัจพจน์ 2 และ 3 อันที่จริง สำหรับแต่ละองค์ประกอบจะมีองค์ประกอบเฉพาะที่ตามมาทันทีและมีองค์ประกอบเฉพาะที่ตามมา แต่สัจพจน์ 1 ไม่อยู่ในเซตนี้ (สัจพจน์ 4 ไม่สมเหตุสมผล เพราะไม่มีองค์ประกอบใดในเซตที่ไม่ตามหลังสิ่งอื่นในทันที) ดังนั้น เซตนี้จึงไม่ใช่แบบจำลองสัจพจน์ของพีอาโน
รูปที่ 16 b) แสดงชุดที่ตรงตามสัจพจน์ 1, 3 และ 4 แต่อยู่ด้านหลังองค์ประกอบ กสององค์ประกอบตามมาทันที ไม่ใช่หนึ่ง ตามที่กำหนดในสัจพจน์ 2 ดังนั้น เซตนี้จึงไม่ใช่แบบจำลองของสัจพจน์ของพีอาโน
บนมะเดื่อ 16 c) แสดงเซตที่ตรงตามสัจพจน์ 1, 2, 4 แต่องค์ประกอบ กับติดตามสององค์ประกอบทันที ดังนั้น เซตนี้จึงไม่ใช่แบบจำลองสัจพจน์ของพีอาโน
บนมะเดื่อ 16 ง) แสดงเซตที่ตรงตามสัจพจน์ที่ 2, 3 และถ้าเรานำเลข 5 เป็นองค์ประกอบเริ่มต้น เซตนี้จะตรงตามสัจพจน์ที่ 1 และ 4 นั่นคือ ในเซตนี้สำหรับแต่ละองค์ประกอบจะมีอันเดียวในทันที ตามมาและมีองค์ประกอบเดียวที่ตามมา นอกจากนี้ยังมีองค์ประกอบที่ไม่ได้ตามหลังองค์ประกอบใด ๆ ของชุดนี้ทันที นี่คือ 5 , เหล่านั้น. สัจพจน์ที่ 1 มีอยู่ ความจริงข้อที่ 4 ก็ถือเช่นกัน ดังนั้น เซตนี้จึงเป็นแบบจำลองของสัจพจน์ของพีอาโน
การใช้สัจพจน์ Peano เราสามารถพิสูจน์ข้อความจำนวนหนึ่งได้ ตัวอย่างเช่น เราพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมดอสมการ x x.
การพิสูจน์.แสดงโดย แต่ชุดของจำนวนธรรมชาติที่ ก.ตัวเลข 1 เป็นของ แต่เนื่องจากไม่ได้ติดตามหมายเลขใด ๆ จาก เอ็นจึงไม่ตามมาเอง:1 1. อนุญาต อาแล้ว ก.แสดงว่า กผ่าน ข. โดยอาศัยสัจพจน์ที่ 3 กขเหล่านั้น. BBและ ปริญญาตรี
ในการสร้างความจริงของทฤษฎีใด ๆ มีการปฏิบัติตามกฎบางอย่าง:
แนวคิดของทฤษฎีบางส่วนได้รับการคัดเลือกให้เป็น ขั้นพื้นฐาน,และได้รับการยอมรับโดยไม่มีคำจำกัดความและเรียกว่าไม่ได้กำหนด
มีการกำหนดสัจพจน์ - ประโยคที่ยอมรับในทฤษฎีนี้โดยไม่มีการพิสูจน์ พวกเขาเปิดเผยคุณสมบัติของแนวคิดพื้นฐาน
แต่ละแนวคิดของทฤษฎีซึ่งไม่มีอยู่ในรายการพื้นฐานจะได้รับ คำนิยามมันอธิบายความหมายด้วยความช่วยเหลือของแนวคิดพื้นฐานและแนวคิดก่อนหน้า
ทุกประโยคของทฤษฎีที่ไม่อยู่ในรายการสัจพจน์จะต้องได้รับการพิสูจน์ ประพจน์ดังกล่าวเรียกว่า ทฤษฎีบท และพิสูจน์โดยอาศัยสัจพจน์และทฤษฎีบทก่อนหน้าข้อที่พิจารณา
ในการสร้างสัจพจน์ของทฤษฎี โดยพื้นฐานแล้วข้อความทั้งหมดจะถูกอนุมานโดยการพิสูจน์จากสัจพจน์ ดังนั้นจึงมีการกำหนดข้อกำหนดพิเศษในระบบสัจพจน์ ประการแรกต้องสอดคล้องและเป็นอิสระ
ระบบสัจพจน์เรียกว่า สม่ำเสมอหากไม่สามารถอนุมานสองประโยคที่แยกออกจากกันได้อย่างมีเหตุผล
เรียกว่าระบบสัจพจน์ที่สอดคล้องกัน เป็นอิสระหากไม่มีสัจพจน์ของระบบนี้ที่เป็นผลมาจากสัจพจน์อื่นของระบบนี้
ตามกฎแล้วสัจพจน์เป็นภาพสะท้อนของกิจกรรมภาคปฏิบัติของผู้คนที่มีอายุหลายศตวรรษและสิ่งนี้เป็นตัวกำหนดความถูกต้อง
ในฐานะที่เป็นแนวคิดพื้นฐานในการสร้างสัจพจน์ของเลขคณิตของจำนวนธรรมชาติ ความสัมพันธ์ "ติดตามโดยตรง" จะถูกนำมาใช้ในเซตที่ไม่ว่างเปล่า เอ็นหรือที่เรียกว่าแนวคิดของเซต องค์ประกอบของเซต และแนวคิดเชิงทฤษฎีเซตอื่นๆ ตลอดจนกฎของตรรกศาสตร์
องค์ประกอบต่อจากองค์ประกอบทันที ก,กำหนด ก"สาระสำคัญของความสัมพันธ์แบบ "ติดตามโดยตรง" ถูกเปิดเผยในสัจพจน์ต่อไปนี้ซึ่งเสนอโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี เจ. พีอาโน ในปี พ.ศ. 2434
สัจพจน์ 1ในจำนวนมาก เอ็นมีองค์ประกอบที่ไม่ตามหลังองค์ประกอบใดๆ ของชุดนี้ในทันที เรียกว่าหน่วยและแสดงด้วยสัญลักษณ์ 1
สัจพจน์ 2สำหรับแต่ละองค์ประกอบ กจาก เอ็นมีองค์ประกอบเดียวเท่านั้น ก",ต่อไปทันที ก.
สัจพจน์ 3สำหรับแต่ละองค์ประกอบ a ของ เอ็นมีอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบตามด้วยทันที ก.
สัจพจน์ 4. (สัจพจน์อุปนัย).ส่วนย่อยใดๆ มชุด เอ็นตรงกับ N ถ้ามีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ 1) 1 อยู่ใน ม; 2) จากข้อเท็จจริงที่ว่าองค์ประกอบใดๆ กบรรจุใน เอ็มมันเป็นไปตามนั้นและ ก"บรรจุใน ม.
สัจพจน์ที่กำหนดขึ้นเองมักเรียกว่าสัจพจน์ของพีอาโน และสัจพจน์ที่สี่เรียกว่าสัจพจน์ของการอุปนัย
ให้เราเขียนสัจพจน์เหล่านี้ในรูปแบบสัญลักษณ์
แต่ 1 )( 1 น)( ก น)ก" 1;
แต่ 2 )( ก น)( !ข น)ก"=ข
แต่ 3 ) ( ก,ข,กับ เอ็น)с = ก" с = ข" ก= ข;
A4) ม เอ็น 1 ม (ก ม ก" เอ็ม) ม=น
การใช้ความสัมพันธ์ "ติดตามทันที" และสัจพจน์ของพีอาโน 1-4 สามารถให้คำจำกัดความของจำนวนธรรมชาติได้ดังต่อไปนี้
คำจำกัดความ 1. เซต N สำหรับองค์ประกอบที่มีการสร้างความสัมพันธ์ "ติดตามทันที" ซึ่งเป็นไปตามสัจพจน์ 1-4 เรียกว่า เซตของจำนวนธรรมชาติ และองค์ประกอบของมัน จำนวนธรรมชาติ
___________________________________________________________________
คำจำกัดความ 2 . ถ้าเป็นจำนวนธรรมชาติขตามหลังหมายเลข a ทันที จากนั้นให้เรียกหมายเลข a นำหน้า (นำหน้า) หมายเลขทันทีข.
______________________________________________________________________________________________
ทฤษฎีบท 1. หน่วยนี้ไม่มีจำนวนธรรมชาตินำหน้า (ความจริงของทฤษฎีบทตามมาจากสัจพจน์ทันที แต่ 1 ).
ทฤษฎีบท 2ทุกจำนวนธรรมชาติ ก,นอกเหนือจากหนึ่งมีหมายเลขนำหน้า b , เช่นนั้น ข " = ก.
นิยามของจำนวนธรรมชาติไม่ได้กล่าวถึงธรรมชาติขององค์ประกอบของเซต เอ็นดังนั้นเธอสามารถเป็นอะไรก็ได้ แบบจำลองมาตรฐานของระบบสัจพจน์ของ Peano คือชุดของตัวเลขที่เกิดขึ้นในกระบวนการพัฒนาทางประวัติศาสตร์ของสังคม:
1, 2, 3, 4, 5 ,..,
แต่ละหมายเลขของซีรี่ส์นี้มีการกำหนดและชื่อของตัวเองซึ่งเราจะถือว่าเป็นที่รู้จัก
สิ่งสำคัญคือต้องสังเกตว่าในนิยามของจำนวนธรรมชาติ ไม่มีสัจพจน์ใดๆ ที่สามารถละเว้นได้
1 ก ข ค ง
…
ข
ข้าว. 16 ข้าว. 17
ภารกิจที่ 1
ในรูป แต่ละองค์ประกอบเชื่อมต่อกันด้วยลูกศรไปยังองค์ประกอบที่ตามมา
กำหนดว่าชุดใดที่แสดงในรูปที่ 15 และ 16 เป็นแบบจำลองของระบบสัจพจน์ของพีอาโน
1. ในรูป 16 แสดงเซตที่สัจพจน์ที่ 2 และ 3 มีอยู่ แต่สัจพจน์ที่ 1 ไม่มี
สัจพจน์ 4 จะไม่สมเหตุสมผลเนื่องจากไม่มีองค์ประกอบใดในชุดที่ไม่ตามหลังองค์ประกอบอื่นในทันที
2. บนมะเดื่อ 17 แสดงชุดที่บรรลุสัจพจน์ 1, 2, 3 แต่สัจพจน์ 4 ไม่เป็นที่พอใจ - ชุดของจุดที่อยู่บนรังสีประกอบด้วย 1 และเมื่อรวมกับตัวเลขแต่ละตัวจะมีตัวเลขตามหลังทันที แต่ไม่ได้ ตรงกับจุดที่กำหนดทั้งหมดที่แสดงในรูป สรุป: ไม่มีชุดใดที่แสดงในรูป 16 และ 17 ไม่สามารถพิจารณาแบบจำลองของระบบสัจพจน์ของพีอาโนได้
ภารกิจที่ 2
ให้เราพิสูจน์ว่าจำนวนธรรมชาติใดๆ แตกต่างจากจำนวนธรรมชาติที่อยู่ถัดไปทันที เช่น ( เอ็กซ์ ) X เอ็กซ์"
การพิสูจน์
เราใช้สัจพจน์ของการเหนี่ยวนำ - แต่ 4 .
อนุญาต ม=(x/x , เอ็กซ์ เอ็กซ์"}, เพราะ . เอ็กซ์ ม เอ็น
การพิสูจน์ประกอบด้วยสองส่วน
มาพิสูจน์กัน 1 เอ็มเหล่านั้น. 1 1" . ตามมาจาก แต่ 1 .
มาพิสูจน์กัน เอ็กซ์ ม=> เอ็กซ์" ม.อนุญาต เอ็กซ์ มเหล่านั้น. เอ็กซ์ เอ็กซ์".มาพิสูจน์กัน เอ็กซ์" ม, เช่น. เอ็กซ์" (X")". และสัจพจน์ แต่ 3 ควร เอ็กซ์" (เอ็กซ์")". โดยแท้จริงแล้ว แต่ 3 , ถ้า x" = (x")" แล้ว x = x" และตั้งแต่นั้นมา โดยประพจน์อุปนัย x เอ็มจากนั้น x เอ็กซ์",ดังนั้นเราจึงมาถึงความขัดแย้ง วิธี, เอ็กซ์" (เอ็กซ์")" , เอ็กซ์" ม.
ที่นี่ใช้กฎการโต้แย้ง (PC) ซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในหลักฐาน "โดยความขัดแย้ง"
ดังนั้นเราจึงได้รับ:
ม เอ็น (1 ม (x M => x " M)) ม = N เช่น การยืนยัน x x" เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ
คำถามทดสอบ
สาระสำคัญของการสร้างทฤษฎีตามความเป็นจริงคืออะไร?
แนวคิดพื้นฐานของหลักสูตรแผนภาพของโรงเรียนคืออะไร จำระบบสัจพจน์ของวิชานี้ คุณสมบัติใดของแนวคิดที่อธิบายไว้ในนั้น
กำหนดและเขียนสัจพจน์ของพีอาโนในรูปแบบสัญลักษณ์ "
กำหนดนิยามเชิงสัจพจน์ของจำนวนธรรมชาติ
นิยามของจำนวนธรรมชาติต่อไป: “จำนวนธรรมชาติคือองค์ประกอบของเซต เอ็น,... » .
ยกตัวอย่างจากหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาซึ่ง:
ก) หมายเลขใหม่ (สำหรับนักเรียน) ทำหน้าที่เป็นความต่อเนื่องของส่วนที่ได้รับของชุดธรรมชาติ
b) เป็นที่ทราบกันดีว่าจำนวนธรรมชาติแต่ละตัวตามด้วยจำนวนธรรมชาติอื่นเพียงตัวเดียว
การออกกำลังกาย
285. องค์ประกอบของชุดคือกลุ่มของขีดกลาง (I, II, III, IIII,...) ชุดนี้เป็นไปตามสัจพจน์ของ Peano หรือไม่? ตามที่กำหนดไว้ที่นี่ ความสัมพันธ์ "ติดตามทันที" พิจารณาคำถามเดียวกันสำหรับชุด (0, 00, 000, 0000,...)
ข้าว. 17
286. ในรูปที่ 17 ก) แต่ละองค์ประกอบเชื่อมต่อกันด้วยลูกศรไปยังองค์ประกอบที่ตามมา ชุดนี้สามารถถือเป็นแบบจำลองของระบบสัจพจน์ของ Peano ได้หรือไม่? คำถามเดียวกันสำหรับชุดในรูปที่ 17 b), c), d)
287. ชุดตัวเลข (1, 2, 3 ป, ...),หากความสัมพันธ์ต่อไปนี้ถูกกำหนดในลักษณะนี้:
1 3 5 7….
2 4 6 8….
288. ยกตัวอย่างการมอบหมายงานจากหนังสือเรียนวิชาคณิตศาสตร์สำหรับชั้นประถมศึกษา ซึ่งสัจพจน์ของพีอาโนอธิบายความถูกต้องของงานที่มอบหมาย
วิธีเชิงสัจพจน์ทางคณิตศาสตร์
แนวคิดพื้นฐานและความสัมพันธ์ของทฤษฎีสัจพจน์ของอนุกรมธรรมชาติ นิยามของจำนวนธรรมชาติ
การบวกจำนวนธรรมชาติ.
การคูณจำนวนธรรมชาติ.
คุณสมบัติของเซตของจำนวนธรรมชาติ
การลบและการหารจำนวนธรรมชาติ
วิธีเชิงสัจพจน์ทางคณิตศาสตร์
ในการสร้างความจริงของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ใด ๆ นั้น กฎบางอย่าง:
1. แนวคิดบางทฤษฎีได้รับการคัดเลือกให้เป็น วิชาเอกและยอมรับโดยไม่มีคำจำกัดความ
2. สูตร สัจพจน์ซึ่งในทฤษฎีนี้เป็นที่ยอมรับโดยไม่ต้องพิสูจน์ พวกเขาเปิดเผยคุณสมบัติของแนวคิดพื้นฐาน
3. แต่ละแนวคิดของทฤษฎีซึ่งไม่มีอยู่ในรายการพื้นฐานจะได้รับ คำนิยามมันอธิบายความหมายด้วยความช่วยเหลือของหลักและก่อนหน้าแนวคิดนี้
4. ทุกประโยคของทฤษฎีที่ไม่อยู่ในรายการสัจพจน์จะต้องได้รับการพิสูจน์ ข้อเสนอดังกล่าวเรียกว่า ทฤษฎีบทและพิสูจน์บนพื้นฐานของสัจพจน์และทฤษฎีบทก่อนหน้าข้อที่พิจารณา
ระบบสัจพจน์ควรเป็น:
ก) สม่ำเสมอ:เราต้องแน่ใจว่า การหาข้อสรุปทุกประเภทจากระบบสัจพจน์ที่กำหนด เราจะไม่มีวันขัดแย้งกัน
ข) อิสระ: สัจพจน์ไม่ควรเป็นผลมาจากสัจพจน์อื่น ๆ ของระบบนี้
ใน) เสร็จสิ้นถ้าอยู่ในกรอบของมัน ก็เป็นไปได้เสมอที่จะพิสูจน์ทั้งคำให้การหรือการปฏิเสธของมัน
การนำเสนอรูปทรงเรขาคณิตโดยยุคลิดใน "องค์ประกอบ" ของเขา (ศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช) ถือได้ว่าเป็นประสบการณ์ครั้งแรกของการสร้างทฤษฎีตามความเป็นจริง N.I. มีส่วนสำคัญในการพัฒนาวิธีการเชิงความจริงสำหรับการสร้างเรขาคณิตและพีชคณิต Lobachevsky และ E. Galois ในปลายศตวรรษที่ 19 Peano นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีพัฒนาระบบสัจพจน์สำหรับเลขคณิต
แนวคิดพื้นฐานและความสัมพันธ์ของทฤษฎีสัจพจน์ของจำนวนธรรมชาติ นิยามของจำนวนธรรมชาติ
เป็นแนวคิดพื้นฐาน (ไม่ได้กำหนด) ในชุดหนึ่ง เอ็น ถูกเลือก ทัศนคติ เช่นเดียวกับแนวคิดทฤษฎีเซตและกฎของตรรกะ
องค์ประกอบต่อจากองค์ประกอบทันที ก,กำหนด ก"
ความสัมพันธ์ "ติดตามทันที" เป็นไปตามสัจพจน์ต่อไปนี้:
สัจพจน์ของพีอาโน:
สัจพจน์ 1. ในจำนวนมาก เอ็น มีองค์ประกอบโดยตรง ไม่ต่อไปสำหรับองค์ประกอบใด ๆ ของชุดนี้ โทรหาเขากันเถอะ หน่วยและเป็นสัญลักษณ์ 1 .
สัจพจน์ 2. สำหรับแต่ละองค์ประกอบ ก จาก เอ็น มีองค์ประกอบเดียวเท่านั้น ก" ต่อไปทันที ก .
สัจพจน์ 3. สำหรับแต่ละองค์ประกอบ ก จาก เอ็นมีอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบตามด้วยทันที ก .
สัจพจน์ 4ส่วนย่อยใดๆ ม ชุด เอ็น เกิดขึ้นพร้อมกับ เอ็น , ถ้ามีคุณสมบัติ: 1) 1 บรรจุใน ม ; 2) จากอะไร ก บรรจุใน ม , มันเป็นไปตามนั้นและ ก" บรรจุใน ม.
คำจำกัดความ 1. เยอะ เอ็น สำหรับองค์ประกอบที่สร้างความสัมพันธ์ "ตามตรง» ที่ตรงตามสัจพจน์ข้อ 1-4 เรียกว่า ชุดของจำนวนธรรมชาติและองค์ประกอบของมันคือ จำนวนธรรมชาติ.
คำจำกัดความนี้ไม่ได้กล่าวถึงลักษณะขององค์ประกอบของเซตแต่อย่างใด เอ็น . ดังนั้นเธอสามารถเป็นอะไรก็ได้ เลือกเป็นชุด เอ็น ชุดเฉพาะบางชุดที่ให้ความสัมพันธ์ "ติดตามโดยตรง" โดยเฉพาะซึ่งเป็นไปตามสัจพจน์ 1-4 เราได้รับ รูปแบบของระบบนี้ สัจพจน์
แบบจำลองมาตรฐานของระบบสัจพจน์ของ Peano คือชุดของตัวเลขที่เกิดขึ้นในกระบวนการพัฒนาทางประวัติศาสตร์ของสังคม: 1,2,3,4, ... ชุดธรรมชาติเริ่มต้นด้วยหมายเลข 1 (สัจพจน์ 1); จำนวนธรรมชาติทุกตัวจะตามด้วยจำนวนธรรมชาติเดียวทันที (สัจพจน์ 2); จำนวนธรรมชาติแต่ละจำนวนตามหลังจำนวนธรรมชาติมากที่สุดหนึ่งจำนวนทันที (สัจพจน์ 3); เริ่มจากเลข 1 แล้วเลื่อนเป็นเลขธรรมชาติตามกันทันที จะได้เลขทั้งชุด (สัจพจน์ 4)
ดังนั้นเราจึงเริ่มสร้างจริงของระบบจำนวนธรรมชาติด้วยตัวเลือกหลัก "ติดตามโดยตรง" ความสัมพันธ์และสัจพจน์ที่อธิบายคุณสมบัติของมัน การสร้างทฤษฎีเพิ่มเติมนั้นเกี่ยวข้องกับการพิจารณาคุณสมบัติที่ทราบของจำนวนธรรมชาติและการดำเนินการกับพวกมัน ควรเปิดเผยไว้ในบทนิยามและทฤษฎีบท เช่น ได้รับมาในทางตรรกะล้วน ๆ จากความสัมพันธ์ "ติดตามทันที" และสัจพจน์ 1-4
แนวคิดแรกที่เราแนะนำหลังจากนิยามจำนวนธรรมชาติคือ ทัศนคติ "นำหน้าทันที" , ซึ่งมักใช้เมื่อพิจารณาคุณสมบัติของอนุกรมธรรมชาติ
คำจำกัดความ 2ถ้าเป็นจำนวนธรรมชาติ ข โดยตรงดังนี้จำนวนธรรมชาติ ก, หมายเลขนั้น ก เรียกว่า ก่อนหน้าทันที(หรือก่อนหน้านี้) หมายเลข ข .
ความสัมพันธ์ "ก่อน" มี ใกล้คุณสมบัติ.
ทฤษฎีบทที่ 1 ไม่มีจำนวนธรรมชาตินำหน้า
ทฤษฎีบท 2 จำนวนธรรมชาติทุกตัว กนอกจาก 1 มีเลขนำหน้าตัวเดียว ขดังนั้น ข"= ก.
การสร้างตามความเป็นจริงของทฤษฎีจำนวนธรรมชาติไม่ได้รับการพิจารณาในโรงเรียนประถมศึกษาหรือมัธยมศึกษา อย่างไรก็ตาม คุณสมบัติเหล่านี้ของความสัมพันธ์แบบ "ติดตามโดยตรง" ซึ่งสะท้อนให้เห็นในสัจพจน์ของพีอาโน เป็นเรื่องของการศึกษาในหลักสูตรเริ่มต้นของคณิตศาสตร์ ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 เมื่อพิจารณาตัวเลขของสิบตัวแรกปรากฎว่าสามารถหาตัวเลขแต่ละตัวได้อย่างไร คำว่า "ติดตาม" และ "ก่อน" ถูกนำมาใช้ ตัวเลขใหม่แต่ละตัวทำหน้าที่เป็นความต่อเนื่องของส่วนที่ศึกษาของชุดตัวเลขตามธรรมชาติ นักเรียนมั่นใจว่าตัวเลขแต่ละตัวตามด้วยตัวเลขถัดไป และยิ่งกว่านั้น มีเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้นที่อนุกรมธรรมชาติของตัวเลขนั้นไม่มีที่สิ้นสุด
การบวกจำนวนธรรมชาติ
ตามกฎการสร้างทฤษฎีเชิงสัจพจน์ นิยามของการบวกจำนวนธรรมชาติจะต้องนำเสนอโดยใช้ความสัมพันธ์เท่านั้น "ติดตามโดยตรง"และแนวคิด "จำนวนธรรมชาติ"และ "หมายเลขก่อนหน้า".
ให้เรานำคำจำกัดความของการบวกด้วยข้อพิจารณาต่อไปนี้ ถ้าเป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ กบวก 1 เราจะได้จำนวน ก",ต่อไปทันที ก, เช่น. ก+ 1= ก"และด้วยเหตุนี้เราจึงได้กฎของการบวก 1 กับจำนวนธรรมชาติใดๆ แต่จะบวกเลขยังไง กจำนวนธรรมชาติ ขแตกต่างจาก 1? ขอให้เราใช้ข้อเท็จจริงต่อไปนี้: หากรู้ว่า 2 + 3 = 5 ผลรวม 2 + 4 = 6 ซึ่งตามด้วยหมายเลข 5 ทันที สิ่งนี้เกิดขึ้นเนื่องจากในผลรวม 2 + 4 เทอมที่สองจะเป็นตัวเลขทันที ตามหลังเลข 3 ดังนั้น 2 + 4 = 2+3 " =(2+3)". โดยทั่วไปเรามี , .
ข้อเท็จจริงเหล่านี้สนับสนุนคำจำกัดความของการบวกจำนวนธรรมชาติในทฤษฎีเชิงสัจพจน์
นิยาม 3. การบวกจำนวนธรรมชาติเป็นการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
ตัวเลข เอ + บี เรียกว่า ผลรวมของตัวเลข กและ ข , และตัวเลขเอง กและ ข - ข้อกำหนด.