ผลรวมของสารตกค้างที่ลดลง โมดูโล n ระบบการถอนเงิน แบบฝึกหัดสำหรับงานอิสระ
หรือติดต่อกัน หน้าตัวเลข
ระบบนี้เรียกว่า ระบบจำนวนเต็มที่ไม่สามารถเปรียบเทียบได้ในโมดูลัส หน้าหรือ โมดูโลตกค้างเต็มระบบ หน้า. เป็นที่ชัดเจนว่าใดๆ หน้าตัวเลขเรียงกันเป็นระบบดังกล่าว
ตัวเลขทั้งหมดที่อยู่ในคลาสเดียวกันมีคุณสมบัติทั่วไปมากมาย ดังนั้นเมื่อเทียบกับโมดูลัส จึงถือเป็นตัวเลขเดียว ตัวเลขแต่ละตัวที่รวมอยู่ในการเปรียบเทียบเป็นผลรวมหรือตัวประกอบสามารถแทนที่ได้โดยไม่ละเมิดการเปรียบเทียบด้วยตัวเลขที่เทียบเคียงได้ เช่น ด้วยเลขที่อยู่ในกลุ่มเดียวกัน
องค์ประกอบอื่นที่ใช้ร่วมกันกับจำนวนทั้งหมดของคลาสที่กำหนดคือตัวหารร่วมมากของแต่ละองค์ประกอบของคลาสและโมดูลนี้ หน้า.
อนุญาต กและ ขโมดูโลเทียบได้ หน้า, แล้ว
ทฤษฎีบท 1. ถ้าใน ขวาน+ขแทน xมาทำให้ทุกอย่างเป็นระเบียบ หน้าสมาชิกของระบบจำนวนเต็ม
ดังนั้นตัวเลขทั้งหมด ขวาน+ข, ที่ไหน x=1,2,...หน้า-1 เทียบไม่ได้กับโมดูโล หน้า(ไม่งั้นเบอร์ 1,2,... หน้า-1 จะเปรียบได้กับโมดูโล หน้า.
หมายเหตุ
1) ในข้อนี้ คำว่า number จะหมายถึงจำนวนเต็ม
วรรณกรรม
- 1. เค. ไอร์แลนด์, เอ็ม. โรเซน บทนำคลาสสิกสู่ทฤษฎีจำนวนสมัยใหม่ - M: Mir, 1987
- 2. จี. ดาเวนพอร์ท. เลขคณิตที่สูงขึ้น - M: Nauka, 1965
- 3. พีจี เลเฌิน ดิริชเล็ต. การบรรยายเกี่ยวกับทฤษฎีจำนวน - มอสโก 2479
โมดูโล่ เรซิดิว ริง นแสดงว่า หรือ . กลุ่มการคูณของมันแสดงแทนในกรณีทั่วไปของกลุ่มขององค์ประกอบที่กลับด้านของวงแหวน ∗ × × .
กรณีที่ง่ายที่สุด
เพื่อทำความเข้าใจโครงสร้างของกลุ่ม เราสามารถพิจารณากรณีพิเศษที่เป็นจำนวนเฉพาะและสรุปได้ พิจารณากรณีที่ง่ายที่สุดเมื่อ นั่นคือ
ทฤษฎีบท: - กลุ่มวัฏจักร
ตัวอย่าง : พิจารณากลุ่ม
= (1,2,4,5,7,8) ตัวสร้างกลุ่มคือหมายเลข 2 ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ อย่างที่คุณเห็น องค์ประกอบใดๆ ของกลุ่มสามารถแสดงเป็น ที่ไหน ≤ℓφ . นั่นคือกลุ่มเป็นวัฏจักรกรณีทั่วไป
ในการพิจารณากรณีทั่วไป จำเป็นต้องกำหนดรากดั้งเดิม โมดูโลรูตดั้งเดิม a ไพรม์คือจำนวนที่เมื่อรวมกับคลาสของเรซิดิวแล้ว ก่อให้เกิดกลุ่ม
ตัวอย่าง: 2 11 ; 8 - โมดูโลรากดั้งเดิม 11 ; 3 ไม่ใช่รูทโมดูโลดั้งเดิม 11 .ในกรณีของโมดูลทั้งหมด คำจำกัดความจะเหมือนกัน
โครงสร้างของกลุ่มถูกกำหนดโดยทฤษฎีบทต่อไปนี้: ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะที่เป็นคี่และ l เป็นจำนวนเต็มบวก แสดงว่ามีโมดูโลรากพื้นฐาน นั่นคือ กลุ่มที่เป็นวัฏจักร
ตัวอย่าง
ระบบโมดูโลของสารตกค้างที่ลดลงประกอบด้วยคลาสของสารตกค้าง: . ในส่วนที่เกี่ยวข้องกับการคูณที่กำหนดไว้สำหรับคลาสที่เหลือ พวกมันสร้างกลุ่ม ยิ่งกว่านั้น และผกผันซึ่งกันและกัน (นั่นคือ ⋅ ) และเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับตนเอง
โครงสร้างกลุ่ม
รายการหมายถึง "กลุ่มวงจรของคำสั่ง n"
× | φ | λ | เครื่องกำเนิดกลุ่ม | × | φ | λ | เครื่องกำเนิดกลุ่ม | × | φ | λ | เครื่องกำเนิดกลุ่ม | × | φ | λ | เครื่องกำเนิดกลุ่ม | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | C1 | 1 | 1 | 0 | 33 | C2×C10 | 20 | 10 | 2, 10 | 65 | C4×C12 | 48 | 12 | 2, 12 | 97 | C96 | 96 | 96 | 5 | |||
2 | C1 | 1 | 1 | 1 | 34 | ซี 16 | 16 | 16 | 3 | 66 | C2×C10 | 20 | 10 | 5, 7 | 98 | C42 | 42 | 42 | 3 | |||
3 | C2 | 2 | 2 | 2 | 35 | C2×C12 | 24 | 12 | 2, 6 | 67 | C66 | 66 | 66 | 2 | 99 | C2×C30 | 60 | 30 | 2, 5 | |||
4 | C2 | 2 | 2 | 3 | 36 | C2×C6 | 12 | 6 | 5, 19 | 68 | C2×C16 | 32 | 16 | 3, 67 | 100 | C2×C20 | 40 | 20 | 3, 99 | |||
5 | C4 | 4 | 4 | 2 | 37 | ค 36 | 36 | 36 | 2 | 69 | C2×C22 | 44 | 22 | 2, 68 | 101 | ซี 100 | 100 | 100 | 2 | |||
6 | C2 | 2 | 2 | 5 | 38 | ซี 18 | 18 | 18 | 3 | 70 | C2×C12 | 24 | 12 | 3, 69 | 102 | C2×C16 | 32 | 16 | 5, 101 | |||
7 | C6 | 6 | 6 | 3 | 39 | C2×C12 | 24 | 12 | 2, 38 | 71 | C70 | 70 | 70 | 7 | 103 | ซี 102 | 102 | 102 | 5 | |||
8 | C2×C2 | 4 | 2 | 3, 5 | 40 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 3, 11, 39 | 72 | C2×C2×C6 | 24 | 6 | 5, 17, 19 | 104 | C2×C2×C12 | 48 | 12 | 3, 5, 103 | |||
9 | C6 | 6 | 6 | 2 | 41 | C40 | 40 | 40 | 6 | 73 | C72 | 72 | 72 | 5 | 105 | C2×C2×C12 | 48 | 12 | 2, 29, 41 | |||
10 | C4 | 4 | 4 | 3 | 42 | C2×C6 | 12 | 6 | 5, 13 | 74 | ค 36 | 36 | 36 | 5 | 106 | ค 52 | 52 | 52 | 3 | |||
11 | ซี 10 | 10 | 10 | 2 | 43 | C42 | 42 | 42 | 3 | 75 | C2×C20 | 40 | 20 | 2, 74 | 107 | ค 106 | 106 | 106 | 2 | |||
12 | C2×C2 | 4 | 2 | 5, 7 | 44 | C2×C10 | 20 | 10 | 3, 43 | 76 | C2×C18 | 36 | 18 | 3, 37 | 108 | C2×C18 | 36 | 18 | 5, 107 | |||
13 | ซี 12 | 12 | 12 | 2 | 45 | C2×C12 | 24 | 12 | 2, 44 | 77 | C2×C30 | 60 | 30 | 2, 76 | 109 | ซี 108 | 108 | 108 | 6 | |||
14 | C6 | 6 | 6 | 3 | 46 | ซี 22 | 22 | 22 | 5 | 78 | C2×C12 | 24 | 12 | 5, 7 | 110 | C2×C20 | 40 | 20 | 3, 109 | |||
15 | C2×C4 | 8 | 4 | 2, 14 | 47 | C46 | 46 | 46 | 5 | 79 | C78 | 78 | 78 | 3 | 111 | ค2×ค36 | 72 | 36 | 2, 110 | |||
16 | C2×C4 | 8 | 4 | 3, 15 | 48 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 5, 7, 47 | 80 | C2×C4×C4 | 32 | 4 | 3, 7, 79 | 112 | C2×C2×C12 | 48 | 12 | 3, 5, 111 | |||
17 | ซี 16 | 16 | 16 | 3 | 49 | C42 | 42 | 42 | 3 | 81 | ค 54 | 54 | 54 | 2 | 113 | ซี 112 | 112 | 112 | 3 | |||
18 | C6 | 6 | 6 | 5 | 50 | ซี 20 | 20 | 20 | 3 | 82 | C40 | 40 | 40 | 7 | 114 | C2×C18 | 36 | 18 | 5, 37 | |||
19 | ซี 18 | 18 | 18 | 2 | 51 | C2×C16 | 32 | 16 | 5, 50 | 83 | C82 | 82 | 82 | 2 | 115 | ค2×ค44 | 88 | 44 | 2, 114 | |||
20 | C2×C4 | 8 | 4 | 3, 19 | 52 | C2×C12 | 24 | 12 | 7, 51 | 84 | C2×C2×C6 | 24 | 6 | 5, 11, 13 | 116 | C2×C28 | 56 | 28 | 3, 115 | |||
21 | C2×C6 | 12 | 6 | 2, 20 | 53 | ค 52 | 52 | 52 | 2 | 85 | C4×C16 | 64 | 16 | 2, 3 | 117 | C6×C12 | 72 | 12 | 2, 17 | |||
22 | ซี 10 | 10 | 10 | 7 | 54 | ซี 18 | 18 | 18 | 5 | 86 | C42 | 42 | 42 | 3 | 118 | ค 58 | 58 | 58 | 11 | |||
23 | ซี 22 | 22 | 22 | 5 | 55 | C2×C20 | 40 | 20 | 2, 21 | 87 | C2×C28 | 56 | 28 | 2, 86 | 119 | ค2×ค48 | 96 | 48 | 3, 118 | |||
24 | C2×C2×C2 | 8 | 2 | 5, 7, 13 | 56 | C2×C2×C6 | 24 | 6 | 3, 13, 29 | 88 | C2×C2×C10 | 40 | 10 | 3, 5, 7 | 120 | C2×C2×C2×C4 | 32 | 4 | 7, 11, 19, 29 | |||
25 | ซี 20 | 20 | 20 | 2 | 57 | C2×C18 | 36 | 18 | 2, 20 | 89 | ค 88 | 88 | 88 | 3 | 121 | ซี 110 | 110 | 110 | 2 | |||
26 | ซี 12 | 12 | 12 | 7 | 58 | ค 28 | 28 | 28 | 3 | 90 | C2×C12 | 24 | 12 | 7, 11 | 122 | C60 | 60 | 60 | 7 | |||
27 | ซี 18 | 18 | 18 | 2 | 59 | ค 58 | 58 | 58 | 2 | 91 | C6×C12 | 72 | 12 | 2, 3 | 123 | C2×C40 | 80 | 40 | 7, 83 | |||
28 | C2×C6 | 12 | 6 | 3, 13 | 60 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 7, 11, 19 | 92 | C2×C22 | 44 | 22 | 3, 91 | 124 | C2×C30 | 60 | 30 | 3, 61 | |||
29 | ค 28 | 28 | 28 | 2 | 61 | C60 | 60 | 60 | 2 | 93 | C2×C30 | 60 | 30 | 11, 61 | 125 | ซี 100 | 100 | 100 | 2 | |||
30 | C2×C4 | 8 | 4 | 7, 11 | 62 | ซี 30 | 30 | 30 | 3 | 94 | C46 | 46 | 46 | 5 | 126 | C6×C6 | 36 | 6 | 5, 13 | |||
31 | ซี 30 | 30 | 30 | 3 | 63 | C6×C6 | 36 | 6 | 2, 5 | 95 | ค2×ค36 | 72 | 36 | 2, 94 | 127 | ค 126 | 126 | 126 | 3 | |||
32 | C2×C8 | 16 | 8 | 3, 31 | 64 | C2×C16 | 32 | 16 | 3, 63 | 96 | C2×C2×C8 | 32 | 8 | 5, 17, 31 | 128 | ค2×ค32 | 64 | 32 | 3, 127 |
แอปพลิเคชัน
ความยากลำบาก ฟาร์ม Hooley . Waring สร้างทฤษฎีบทของ Wilson และ Lagrange ได้พิสูจน์ ออยเลอร์เสนอการมีอยู่ของโมดูโลรากดั้งเดิมเป็นจำนวนเฉพาะ เกาส์ได้พิสูจน์แล้ว อาร์ตินเสนอสมมติฐานของเขาเกี่ยวกับการมีอยู่และการหาปริมาณของโมดูโลจำนวนเฉพาะซึ่งจำนวนเต็มที่กำหนดเป็นรากดั้งเดิม Brouwer สนับสนุนการศึกษาปัญหาของการมีอยู่ของเซตของจำนวนเต็มต่อเนื่องกัน ซึ่งแต่ละชุดคือโมดูโลยกกำลัง k Bielhartz ได้พิสูจน์ความคล้ายคลึงของการคาดเดาของ Artin Hooley พิสูจน์การคาดเดาของ Artin ด้วยสมมติฐานที่ว่าสมมติฐานของ Riemann ที่ขยายออกไปนั้นถูกต้องในช่องจำนวนเชิงพีชคณิต
หมายเหตุ
วรรณกรรม
- ไอร์แลนด์ เค. โรเซน เอ็ม.บทนำคลาสสิกเกี่ยวกับทฤษฎีจำนวนสมัยใหม่ - ม.: มีร์, 2530.
- Alferov A.P. , Zubov A.Yu. , Kuzmin A.S. Cheremushkin A.V.พื้นฐานของการเข้ารหัส - มอสโก: "Helios ARV", 2545
- Rostovtsev A.G. , Makhovenko E.B.การเข้ารหัสเชิงทฤษฎี - เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก: NPO "มืออาชีพ", 2547
ข้อมูลพื้นฐานจากทฤษฎี
6. 1. คำจำกัดความ 1.
คลาสของตัวเลข โมดูโล m คือเซตของจำนวนเต็มทั้งหมดเหล่านั้นและเฉพาะจำนวนเต็มเหล่านั้น ซึ่งเมื่อหารด้วย m แล้ว จะมีเศษเหลือเท่ากัน r นั่นคือ โมดูโล m ที่เทียบเคียงได้ (t Î เอ็น, ที> 1).
การกำหนดคลาสของตัวเลขที่มีเศษเหลือ ร: .
แต่ละหมายเลขจากชั้นเรียน เรียกว่าเรซิดิวโมดูโล m และตัวคลาสเอง เรียกว่าคลาสของเรซิดิวโมดูโล m
6. 2. คุณสมบัติของเซตของคลาสโมดูโลเรซิดิว ที:
1) โมดูโลทั้งหมด ทีจะ ทีคลาสตกค้าง: Z t = { , , , … , };
2) แต่ละคลาสมีชุดจำนวนเต็ม (กาก) ของแบบฟอร์มไม่สิ้นสุด: = ( ก= ตร.ม+ รอบ/คิวÎ ซี 0£ ร< ม}
3) "กÎ : กº ร(ม.สมัย);
4) "ก ขÎ : กº ข(ม.สมัย) นั่นคือ สารตกค้างใดๆ สองตัวที่ถูกถ่าย จากหนึ่งระดับ, เปรียบได้โมดูโล ที;
5) "กÎ , " ขÎ : ก ข(ม.สมัย) นั่นคือไม่มีสองสิ่งตกค้าง ถ่าย จากที่แตกต่างกันชั้นเรียน หาที่เปรียบมิได้โมดูโล ที.
6. 3. นิยาม 3.
ระบบที่สมบูรณ์ของเรซิดิวโมดูโล m คือชุดของตัวเลข m ใดๆ ที่นำมาจากแต่ละคลาสของเรซิดิวโมดูโล m
ตัวอย่าง: ถ้า ม= 5 แล้ว (10, 6, - 3, 28, 44) เป็นระบบโมดูโล 5 ที่เหลือทั้งหมด (ไม่ใช่ระบบเดียว!)
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง,
ชุด (0, 1, 2, 3, … , ม–1) เป็นระบบ ค่าลบที่เล็กที่สุดหัก;
ชุด (1, 2, 3, ... , ม –1, ที) คือระบบ บวกน้อยที่สุดการหักเงิน
6. 4. โปรดทราบว่า:
ถ้า ( เอ็กซ์ 1 , เอ็กซ์ 2 , … , x t) เป็นระบบที่สมบูรณ์ของโมดูโลตกค้าง ที, แล้ว
.
6. 5. ทฤษฎีบท 1.
ถ้า ก {เอ็กซ์ 1 , เอ็กซ์ 2 , … , x t} – ระบบสมบูรณ์ของสารตกค้าง โมดูโล่ ม, "ก ขÎ ซี และ(ที่) = 1, – แล้วระบบตัวเลข {โอ้ 1 +ข, โอ้ 2 + ข, … , อ่า+ข} ยังสร้างระบบที่สมบูรณ์ของสารตกค้างโมดูโล m .
6. 6. ทฤษฎีบท 2
เรซิดิวทั้งหมดของโมดูโลโมดูโลกลุ่มเดียวกันมีตัวหารร่วมมากเท่ากันกับ m: "ก ขÎ Þ ( ก; ที) = (ข; ที).
6. 7. ความหมาย 4.
ชั้นตกค้าง modulo m เรียกว่า coprime กับ modulo m,ถ้าสารตกค้างของคลาสนี้อย่างน้อยหนึ่งรายการเป็นโคไพรม์ด้วย เช่น
โปรดทราบว่าในกรณีนี้โดยทฤษฎีบท 2 ทั้งหมดจำนวนของคลาสนี้จะมีค่าใกล้เคียงกับโมดูลัส ที
6. 8. คำจำกัดความ 5.
ระบบโมดูโลที่ลดลงของสารตกค้างคือระบบของสารตกค้างที่นำมาจากโคไพรม์แต่ละชั้นถึง m
6. 9. โปรดทราบว่า:
1) ลดระบบโมดูโลตกค้าง ทีมีเจ ( ที) ตัวเลข ( เอ็กซ์ 1 , เอ็กซ์ 2 ,…, };
2) : .
3) "x ฉัน : (x ฉัน, ม) = 1;
ตัวอย่าง : ให้โมดูโล ที= 10 มีสารตกค้าง 10 คลาส:
Z 10 = ( , , , , , , , , , ) คือเซตของคลาสเรซิดิวโมดูโล 10 ระบบการหักเงินที่สมบูรณ์แบบตัวอย่างเช่น 10 จะเป็น: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
สารตกค้างหลายประเภท โคไพรม์ด้วยโมดูล เมตร= 10: ( , , , )(ญ(10) = 4).
ระบบการหักเงินที่ลดลงตัวอย่างเช่น โมดูโล 10 จะเป็น
(1, 3, 7, 9) หรือ (11, 43, – 5, 17) หรือ ( – 9, 13, – 5, 77) เป็นต้น (ทุกที่ j(10) = 4 ตัวเลข).
6.10. ในทางปฏิบัติ: เพื่อสร้างหนึ่งในระบบสารตกค้างที่ลดลงที่เป็นไปได้ mod m, จำเป็นต้องเลือกจากระบบที่สมบูรณ์ของสารตกค้าง mod m สารตกค้างที่เป็น coprime กับ m ตัวเลขดังกล่าวจะเป็นเจ ( ที).
6.11. ทฤษฎีบท 3
ถ้า ก{เอ็กซ์ 1 , เอ็กซ์ 2 ,…, } – ระบบลดสารตกค้าง โมดูโล่ มและ
(ก, ม) = 1, – แล้วระบบตัวเลข {โอ้ 1 , โอ้ 2 , … , ขวาน j (t)} แบบฟอร์มด้วย
ระบบลดสารตกค้าง โมดูโล่ ม .
6.12. คำจำกัดความ 6.
ผลรวม( Å ) ชั้นเรียนการหักเงิน และ +b เท่ากับผลรวมของการหักสองครั้งใด ๆ ที่นำมาจากแต่ละชั้นเรียนที่กำหนดและ : Å = , ที่ไหน"กÎ , "ขÎ .
6.13. คำจำกัดความ 7.
งาน( Ä ) ชั้นเรียนการหักเงิน และ โมดูโล m เรียกว่าคลาสเรซิดิว นั่นคือคลาสของสารตกค้างที่ประกอบด้วยตัวเลข a ´ b เท่ากับผลคูณของสารตกค้างสองชนิดใดๆ ที่นำมาทีละชนิดจากแต่ละประเภทที่กำหนด และ : Ä = , ที่ไหน"กÎ , "ขÎ .
ดังนั้นในชุดของโมดูโลคลาสตกค้าง ที: Z t= ( , , ,…, ) กำหนดการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตสองรายการ – "การบวก" และ "การคูณ"
6.14. ทฤษฎีบท 4
เซตของคลาสเรซิดิว Z t โมดูโล t เป็นวงแหวนเชื่อมโยง-สับเปลี่ยนที่มีหน่วย:
< Z t , +, · > = < { , , ,…, }, +, · > – แหวน.
งานทั่วไป
1. โมดูโล่ ที= 9:
1) ระบบที่สมบูรณ์ของสารตกค้างที่เป็นบวกน้อยที่สุด
2) ระบบที่สมบูรณ์ของสารตกค้างที่ไม่เป็นลบน้อยที่สุด
3) ระบบการหักเงินเต็มรูปแบบตามอำเภอใจ;
4) ระบบการหักเงินที่สมบูรณ์น้อยที่สุด
ตอบ:1) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; 2) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
2. รวบรวมระบบโมดูโลสารตกค้างที่ลดลง ที= 12.
วิธีการแก้.
1) สร้างระบบที่สมบูรณ์ของโมดูโลสารตกค้างที่เป็นบวกน้อยที่สุด ที= 12:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12) (รวม ที= 12 ตัวเลข).
2) เราลบตัวเลขที่ไม่ตรงกับหมายเลข 12 ออกจากระบบนี้:
{1, 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9 , 10 , 11, 12 }.
3) จำนวนที่เหลือ coprime กับหมายเลข 12 สร้างระบบโมดูโลตกค้างที่ต้องการ ที= 12 (รวม j( ที) = j(12) = 4 ตัวเลข).
ตอบ:(1, 5, 7, 11) - ลดระบบโมดูโลตกค้าง ที= 12.
130. สร้าง 1) ระบบที่สมบูรณ์ของสารตกค้างที่เป็นบวกน้อยที่สุด 2) ระบบที่สมบูรณ์ของสารตกค้างที่ไม่เป็นลบน้อยที่สุด 3) ระบบการหักเงินตามอำเภอใจ; 4) ระบบที่สมบูรณ์ของการหักเงินสัมบูรณ์ที่น้อยที่สุด 5) ระบบตกค้างที่ลดลง: a) โมดูโล ม= 6; ข) โมดูโล ม = 8.
131. เซต (9, 2, 16, 20, 27, 39, 46, 85) เป็นระบบที่สมบูรณ์ของเรซิดิวโมดูโล 8 หรือไม่?
132 โมดูลัสใดที่กำหนดให้ (20, - 4, 22, 18, - 1) ระบบที่สมบูรณ์ของสารตกค้าง
133. สร้างระบบโมดูโลตกค้างที่ลดลง มถ้าก) ม= 9; ข) ม= 24; ใน) ม= 7. ระบบดังกล่าวควรมีกี่ตัวเลข?
134. กำหนดคุณสมบัติหลักของระบบที่สมบูรณ์ของสารตกค้างและระบบโมดูโลของสารตกค้างที่ลดลง ม .
135. องค์ประกอบใดที่แยกแยะระบบที่ลดลงและสมบูรณ์ของโมดูโลไพรม์ตกค้างน้อยที่สุดที่ไม่เป็นลบ
136. ตัวเลขอยู่ภายใต้เงื่อนไขใด กและ - กอยู่ในกลุ่มโมดูโลตกค้างระดับเดียวกัน ม?
137. โมดูโล 8 ที่ตกค้างอยู่ในคลาสใดที่เป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมด? ร³ 3 ?
138. ชุดของตัวเลข (0, 2 0 , 2 1 , 2 2 , ... , 2 9 ) สร้างระบบโมดูโลตกค้าง 11 ที่สมบูรณ์หรือไม่?
139. สารตกค้างโมดูโล 21 มีกี่คลาสจากสารตกค้างทั้งหมดจากโมดูโล 7 หนึ่งคลาส
140. เซตของจำนวนเต็ม Zแจกแจงโดยคลาสเรซิดิวโมดูโล 5 สร้างตารางการบวกและการคูณในชุดผลลัพธ์ของคลาสเรซิดิว Z 5 . เป็นชุด Z 5: ก) กลุ่มที่มีการดำเนินการเพิ่มชั้นเรียน? b) กลุ่มที่มีการคูณคลาส?
§ 7. ทฤษฎีบทของออยเลอร์ ทฤษฎีบทลิตเติ้ลของแฟร์มาต์
ข้อมูลพื้นฐานจากทฤษฎี
7. 1. ทฤษฎีบท 1.
ถ้า กÎ Z,ทีÎ เอ็น, ที>1 และ(ก;ที) = 1, – จากนั้นในลำดับของพลังที่ไม่สิ้นสุด 1 , ก 2 , ก 3 , ... , กส , … , กเสื้อ, … มีกำลังอย่างน้อยสองตัวที่มีเลขชี้กำลัง s และ t(ส<ที) ดังนั้น . (*)
7. 2. ความคิดเห็น. หมายถึง ที– ส = เค> 0 จาก (*) เราได้: . การยกทั้งสองด้านของการเปรียบเทียบนี้เป็นยกกำลัง นÎ เอ็น, เราได้รับ: (**). หมายความว่าพลังมีมากมายนับไม่ถ้วน กพอใจการเปรียบเทียบ (**). แต่ อย่างไรค้นหาตัวบ่งชี้เหล่านี้หรือไม่ อะไร น้อยที่สุดตัวบ่งชี้ที่ตรงกับการเปรียบเทียบ (**) ? ตอบคำถามแรก ทฤษฎีบทของออยเลอร์(1707 – 1783).
7. 3. ทฤษฎีบทของออยเลอร์
ถ้า กÎ Z,ทีÎ เอ็น, ที>1 และ(ก;ที) = 1, - แล้ว . (13)
ตัวอย่าง. อนุญาต ก = 2,ที = 21, (ก; ที) = (2; 21) = 1 จากนั้น . เนื่องจาก j (21) = 12 ดังนั้น 2 12 º 1(mod 21) แน่นอน: 2 12 = 4096 และ (4096 - 1) 21 จากนั้นจะเห็นได้ชัดว่า 2 24 º 1(mod 21), 2 36 º 1(mod 21) เป็นต้น แต่เป็นเลขชี้กำลังของ 12 - น้อยที่สุดการเปรียบเทียบที่น่าพอใจ2 นº 1 (สมัย 21) ? ปรากฎว่าไม่ ตัวบ่งชี้ที่ต่ำที่สุดจะ พี= 6: 2 6 º 1(mod 21) เนื่องจาก 2 6 – 1 = 63 และ 63 21 โปรดทราบว่า น้อยที่สุดดัชนีที่ต้องการค้นหา เฉพาะในหมู่ตัวหารของจำนวนเท่านั้นเจ ( ที) (ในตัวอย่างนี้ จากตัวหารของจำนวน j(21) = 12)
7. 4. ทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาต์ (1601 - 1665)
สำหรับจำนวนเฉพาะใดๆ p และจำนวน a ใดๆÎ Z, ไม่หารด้วย p, มีการเปรียบเทียบ . (14)
ตัวอย่าง. อนุญาต ก = 3,ร= 5 โดยที่ 3 ไม่ใช่ 5 จากนั้น หรือ .
7. 5. สรุปทฤษฎีบทของแฟร์มาต์
สำหรับจำนวนเฉพาะใดๆ p และจำนวนพล aÎ Z จะถูกเปรียบเทียบ (15)
งานทั่วไป
1. พิสูจน์ว่า 38 73 º 3(mod 35)
วิธีการแก้.
1) ตั้งแต่ (38; 35) = 1 แล้วตามทฤษฎีบทออยเลอร์ ; j(35) = 24 ดังนั้น
(1).
2) จากการเปรียบเทียบ (1) ตามข้อ 2 คุณสมบัติ 5 0 ของการเปรียบเทียบเชิงตัวเลข เราได้:
3) จากการเปรียบเทียบ (2) ตามข้อ 1 ของคุณสมบัติ 5 0 การเปรียบเทียบ: 38 72 ×38 º 1×38 (mod 35) Þ Þ38 73 º38 º 38–35 = 3(mod 35) Þ 38 73 º 3 (mod 35) ซึ่งจะต้องมีการพิสูจน์
2. กำหนด: ก = 4, ที= 15. หาเลขชี้กำลังที่น้อยที่สุด เคพอใจในการเปรียบเทียบ (*)
วิธีการแก้.
1) ตั้งแต่ ( ก; ม) = (4; 25) = 1 แล้วตามทฤษฎีบทออยเลอร์ , j(25) = 20 ดังนั้น .
2) เป็นเลขชี้กำลังที่พบ - จำนวน 20 - น้อยที่สุดจำนวนธรรมชาติที่ตรงกับการเปรียบเทียบ (*)? หากมีเลขชี้กำลังน้อยกว่า 20 จะต้องเป็นตัวหารของ 20 ดังนั้น เลขชี้กำลังขั้นต่ำที่กำหนด เคคุณต้องค้นหาจากตัวเลขจำนวนมาก น= (1, 2, 4, 5, 10, 20) – ตัวหารของ 20
3) เมื่อไหร่ พี = 1: ;
ที่ พี = 2: ;
ที่ พี= 3: (ไม่ต้องพิจารณา);
ที่ พี = 4: ;
ที่ พี = 5: ;
ที่ พี= 6, 7, 8, 9: (ไม่ต้องพิจารณา);
ที่ พี = 10: .
ดังนั้น, น้อยที่สุดเลขยกกำลัง เคการเปรียบเทียบที่น่าพอใจ (*) คือ เค= 10.
ตอบ: .
แบบฝึกหัดสำหรับการทำงานอิสระ
141. โดยทฤษฎีบทของออยเลอร์ . ที่ ก = 3, ที= 6 เรามี: .
เนื่องจาก j(6) = 2 แล้ว 3 2 º1(mod 6) หรือ 9º1(mod 6) จากนั้นตามบทแทรก (9 – 1) 6 หรือ 8 6 (ทั้งหมด!?) ผิดพลาดตรงไหน?
142. พิสูจน์ว่า: a) 23 100 º1(mod 101); ข) 81 40 º 1(mod100); ค) 2 73 º 2 (mod 73)
143. พิสูจน์ว่า ก) 1 16 + 3 16 + 7 16 + 9 16 º 4 (mod 10);
ข) 5 4 พี + 1 + 7 4พี+ 1 หารด้วย 12 ไม่เหลือเศษ
144. พิสูจน์ทฤษฎีบทที่ตรงกันข้ามกับทฤษฎีบทของออยเลอร์: ถ้า กเจ ( ม) º 1(สมัย ม), แล้ว ( เป็น) =1.
145. ค้นหาเลขชี้กำลังที่เล็กที่สุด เคÎ ยังไม่มีข้อความพอใจการเปรียบเทียบนี้: ก) ; ข) ; ใน) ; ช) ;
จ) ; จ) ; และ) ; ชม) .
และ) ; ถึง) ; ล.) ; เมตร) .
146. ค้นหาส่วนที่เหลือของส่วน:
ก) 7,100 สำหรับ 11 คน; ข) 9,900 สำหรับ 5; ค) 5,176 คูณ 7; ง) 2 1999 โดย 5; จ) 8 377 สำหรับ 5;
ฉ) 26 57 คูณ 35; ช) 35 359 สำหรับ 22; ซ) 5,718 ต่อ 103; ฌ) 27,260 สำหรับ 40; ญ) 25 1998 ที่ 62
147*. พิสูจน์ว่า ก 561 º ก(สมัย 11)
148*. ถ้าการสลายตัวตามบัญญัติของจำนวนธรรมชาติ พีไม่มีตัวประกอบ 2 และ 5 ดังนั้นกำลัง 12 ของจำนวนนี้จะลงท้ายด้วย 1 พิสูจน์
149*. พิสูจน์ว่า 2 64 º 16 (mod 360)
150*. พิสูจน์: ถ้า ( ก, 65) =1 , (ข 65) =1 แล้ว ก 12 –ข 12 หารด้วย 65 ลงตัว
บทที่ 3. การประยุกต์ใช้เลขคณิต
ทฤษฎีการเปรียบเทียบเชิงตัวเลข
§ 8. ตัวเลขที่เป็นระบบ
ข้อมูลพื้นฐานจากทฤษฎี
1. ตัวเลขระบบจำนวนเต็ม
8. 1. คำจำกัดความ 1.
ระบบตัวเลขเป็นวิธีการเขียนตัวเลขแบบใดก็ได้ สัญญาณที่เขียนตัวเลขเหล่านี้เรียกว่าตัวเลข
8. 2. คำจำกัดความ 2
จำนวนเต็มไม่เป็นลบในระบบจำนวนที่เขียนในระบบจำนวนตำแหน่ง t-ary เป็นจำนวน n ของรูปแบบ
,ที่ฉัน(ผม = 0,1, 2,…, เค) – จำนวนเต็มจำนวนที่ไม่เป็นลบ - หลัก, และ 0 £ ฉัน £ ที– 1, t เป็นฐานของระบบตัวเลข tÎ ยังไม่มีข้อความ > 1.
ตัวอย่างเช่น สัญลักษณ์ของตัวเลขในระบบ 7-ary คือ: (5603) 7 = 5 × 7 3 + 6 × 7 2 + 0 × 7 1 + 3 ที่นี่ ฉัน- เหล่านี้คือ 5, 6, 0, 3 - ตัวเลข; พวกเขาทั้งหมดเป็นไปตามเงื่อนไข: 0 £ ฉัน£ 6. เมื่อไหร่ ที=10 พูดว่า: หมายเลข นบันทึกไว้ใน ระบบเลขฐานสิบ,และดัชนี เสื้อ= 10 อย่าเขียน
8. 3. ทฤษฎีบท 1.
จำนวนเต็มใดๆ ที่ไม่เป็นลบสามารถแสดงเป็นจำนวนที่เป็นระบบในฐาน t โดยที่ tÎ ยังไม่มีข้อความ > 1.
ตัวอย่าง:(1 3 9) 10 = (3 5 1) 6 = (1 0 2 4) 5 = …
8. 4. โปรดทราบว่า:
1) การกำหนดจำนวนศูนย์ทางด้านซ้ายอย่างเป็นระบบ ไม่เปลี่ยนแปลงหมายเลขนี้:
(3 4) 5 = (0 3 4) 5 .
2) การระบุแหล่งที่มาของตัวเลขที่เป็นระบบ สศูนย์ทางด้านขวามีค่าเท่ากัน การคูณเบอร์นี้สำหรับ ที เอส: (3 4) 5 = 3×5 1 + 4; (3 4 0 0) 5 = 3×5 3 + 4×5 2 + 0×5 1 + 0 = 5 2 ×(3×5 1 + 4).
8. 5. อัลกอริทึมสำหรับการแปลงตัวเลขที่เขียนที ระบบ -ary เป็นทศนิยม:
ตัวอย่าง: (287) 12 = 2×12 2 + 8×12 1 +7×12 0 = 2×144 + 8×12 + 7 = 288 + 96 +7 = (391) 10 .
8. 6. อัลกอริทึมสำหรับการแปลงจำนวนที่เขียนเป็นทศนิยม ระบบในที -ส่วนตัว:
ตัวอย่าง: (3 9 1) 10 = (เอ็กซ์) 12 . หา เอ็กซ์
8. 7. การดำเนินการกับตัวเลขที่เป็นระบบ
2. เศษส่วนที่เป็นระบบ
8. 8. นิยาม 3.
เศษส่วนระบบ t-ary จำกัด ในระบบจำนวนที่มีฐาน t เป็นตัวเลขในรูปแบบหนึ่ง
ที่ไหน ค 0 Î Z, ด้วย i - ตัวเลข– จำนวนเต็มจำนวนที่ไม่เป็นลบ, และ 0 £ กับฉัน£ ที– 1, ทีÎ ยังไม่มีข้อความ > 1, เคÎ เอ็น .
สัญกรณ์: a = ( ค 0 , กับ 1 กับ 2 …กับเค)ที. ที่ ที= 10 เรียกว่าเศษส่วน ทศนิยม.
8. 9. ผลที่ตามมา 1.
เศษส่วนที่เป็นระบบจำกัดทุกจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะที่สามารถแสดงเป็น , ที่ไหนÎ Z,ขÎ เอ็น
ตัวอย่าง. a = (3 1, 2 4) 6 = 3×6 + 1 + =19 + เป็นจำนวนตรรกยะ ข้อความสนทนาไม่เป็นความจริงโดยทั่วไป ตัวอย่างเช่น เศษส่วนไม่สามารถแปลงเป็นเศษส่วนระบบจำกัด (ทศนิยม) ได้
8.10. ความหมาย 4.
เศษส่วนระบบบวกค่า t-ary ที่ไม่สิ้นสุดในระบบจำนวนที่มีฐาน t เป็นจำนวนรูปแบบหนึ่ง
, ที่ไหนจาก 0Î เอ็น, กับฉัน(ผม =1, 2, …, ถึง, …) - ตัวเลข– จำนวนเต็มจำนวนที่ไม่เป็นลบ, และ 0 £ กับฉัน£ ที–1, ทีÎ ยังไม่มีข้อความ > 1, เคÎ เอ็น.
สัญกรณ์: a = ( กับ 0 , กับ 1 กับ 2 … กับเค…) ที. ที่ ที=10 เรียกว่าเศษส่วน ทศนิยม.
8.11. คำจำกัดความ 5.
เศษส่วนระบบอนันต์มีสามประเภท:
ฉัน = ( กับ 0 , )ที= = ทีโดยที่ = = = … ในกรณีนี้หมายเลขก เรียกว่าเศษส่วนไม่สิ้นสุด(กับ 1 กับ 2 … กับเค) – ระยะเวลา, k - จำนวนหลักในช่วงเวลา - ความยาวของช่วงเวลา
II ก = .
ในกรณีนี้ หมายเลข ก เรียกว่า เศษส่วนคาบผสมไม่จำกัด – ก่อนรอบเดือน, () – ระยะเวลา, k - จำนวนหลักในคาบ - ความยาวของคาบ l - จำนวนหลักระหว่างส่วนจำนวนเต็มกับคาบแรก - ความยาวของคาบก่อน
III ก = ( กับ 0 , กับ 1 กับ 2 … กับเค …)ที . ในกรณีนี้หมายเลขก เรียกว่า เศษส่วนอนันต์ที่ไม่ใช่คาบ
งานทั่วไป
1. หมายเลข ( ก) 5 = (2 1 4 3) 5 ที่กำหนดในระบบ 5-ary แปลเป็นระบบ 7-ary นั่นคือค้นหา เอ็กซ์, ถ้า (2 1 4 3) 5 = ( เอ็กซ์) 7 .
วิธีการแก้.
1) แปลงจำนวนที่กำหนด (2 1 4 3) 5 เป็นจำนวน ( ที่) 10 เขียนในระบบเลขฐานสิบ:
2. ทำตามขั้นตอน:
1) (7) 8 + (5) 8 ; 2) (7) 8 × (5) 8 ; 3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6 ;
4) (5 2 3 4) 7 – (2 3 5 1) 7 ; 5) (4 2 3) 5 × (3 2) 5 ; 6) (3 0 1 4 1) 5: (4 2 3) 5 .
วิธีการแก้.
1) (7) 8 + (5) 8 = (7) 10 + (5) 10 = (12) 10 = 1×8 + 4 = (1 4) 8 ;
2) (7) 8 × (5) 8 = (7) 10 × (5) 10 = (35) 10 = 4×8 + 3 = (4 3) 8 ;
3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6 (1 2 4 3 3) 6 | บันทึก: | 4+5 = 9 = 1×6+3 เขียน 3 1 ไปที่หลักถัดไป 6+3+1=10 =1×6+4 เขียน 4 1 ไปที่หลักถัดไป 3+ 4+1= 8 \u003d 1 × 6 + 2 เขียน 2 แล้ว 1 ไปที่หลักถัดไป |
4) (5 2 3 4) 7 – (2 3 5 1) 7 (2 5 5 3) 7 | บันทึก: | "ครอบครอง" หน่วยของอันดับสูงสุด เช่น "1" = 1x7: (3 + 1x7) - 5 = 10 - 5 = 5, (1 + 1x7) - 3 = 8 - 3 = 5 , |
5) (4 2 3) 5 ´ (3 2) 5 (1 4 0 1) 5 + (2 3 2 4) 5__ (3 0 1 4 1) 5 | บันทึก: | เมื่อคูณด้วย 2: 3 × 2 = 6 = 1 × 5 + 1 เราเขียน 1, 1 ไปที่หลักถัดไป, 2 × 2 +1=5 = 1 × 5 +0 เราเขียน 0, 1 ไปที่ หลักถัดไป, 2 ×4 +1=9 = 1×5 +4, 4 เขียนได้, 1 ไปที่หลักถัดไป, เมื่อคูณด้วย 3: 3 ×3 = 9 = 1×5 + 4, 4 เขียนได้, 1 ไปที่หลักถัดไป 3 × 2 +1=7 = 1×5 +2 เขียน 2 1 ไปที่หลักถัดไป 3×4 +1=13=2×5 +3 เขียน 3 2 ไปที่หลักถัดไป |
6) (3 0 1 4 1) 5 | (4 2 3) 5
2 3 2 4 (3 2) 5
1 4 0 1 ตอบ: 1) (1 4) 8 ; 2) (4 3) 8 ; 3) (1 2 4 3 3) 6 ; 4) (2 5 5 3) 7 ;
(0) 5 5) (3 0 1 4 1) 5 ; 6) (3 2) 5 .
แบบฝึกหัดสำหรับการทำงานอิสระ
151. เลขที่ให้ใน ทีระบบ -ary แปลงเป็นระบบทศนิยม:
ก) (2 3 5) 7 ; ข) (2 4 3 1) 5 ; ค) (1 0 0 1 0 1) 2 ; ง) (1 3 ) 15 ;
จ) (2 7) 11; ฉ) (3 2 5 4) 6 ; ช) (1 5 0 1 3) 8 ; ซ) (1 1 0 1 1 0 0 1) 2 ;
ฌ) (7 6 2) 8 ; ญ) (1 1 1 1) 20 .
152. ตัวเลข. กำหนดในระบบเลขฐานสิบ ให้แปลงเป็น ที- ระบบไอซี ตรวจสอบ
ก) (1 3 2) 10 = ( เอ็กซ์) 7 ; ข) (2 9 8) 10 = ( เอ็กซ์) 5 ; ค) (3 7) 10 = ( เอ็กซ์) 2 ; ง) (3 2 4 5) 10 = ( เอ็กซ์) 6 ;
จ) (4 4 4 4) 10 = ( เอ็กซ์) 3 ; ฉ) (5 6 3) 10 = ( เอ็กซ์) 12 ; ช) (5 0 0) 10 = ( เอ็กซ์) แปด ; ซ) (6 0 0) 10 = ( เอ็กซ์) 2 ;
ผม)(1 0 0 1 5) 10 =( เอ็กซ์) ยี่สิบ ; ญ) (9 2 5) 10 = ( เอ็กซ์) แปด ; ฎ) (6 3 3) 10 = ( เอ็กซ์) สิบห้า ; ม.) (1 4 3) 10 = ( เอ็กซ์) 2 .
153. เลขที่ให้ใน ทีระบบ -ary แปลเป็น ถาม-ic system (โดยผ่านระบบทศนิยม).
ก) (3 7) 8 = ( เอ็กซ์) 3 ; ข) (1 1 0 1 1 0) 2 = ( เอ็กซ์) 5 ; ค) ( 6 2) 11 = ( เอ็กซ์) 4 ;
ง) (4 ) 12 = ( เอ็กซ์) 9 . จ) (3 3 1 3 1) 5 = ( เอ็กซ์) 12 .
154. a) ตัวเลข (1 2 3) 5 จะเปลี่ยนไปอย่างไรหากเพิ่มศูนย์ทางด้านขวา?
b) หมายเลข (5 7 6) 8 จะเปลี่ยนไปอย่างไรหากเพิ่มศูนย์สองตัวทางด้านขวา
155. ทำตามขั้นตอนเหล่านี้:
ก) (3 0 2 1) 4 + (1 2 3 3) 4 ; ข) (2 6 5 4) 8 + (7 5 4 3) 8 ; ค) (1 0 1 1 0 1) 2 +(1 1 0 1 10) 2 ;
ง) (5 2 4 7) 9 + (1 3 7 6) 9 ; จ) (4 7 6) 9 - (2 8 7) 9; ฉ) (2 4 5 3) 7 – (1 6 4 5) 7 ;
ช) (8 3) 12 - (5 7 9) 12; ซ) (1 7 5) 11 – ( 6) 11 ; ฌ) (3 6 4 0 1) 7 – (2 6 6 6 3) 7 ;
ญ) (1 0 0 1 0) 2 × (1 1 0 1) 2 ; ฎ) (7 4 1) 8 × (2 6) 8; ม.) (5 3 7 2) 8 × (2 4 6) 8;
ม.) (3 3 2 1) 4 × (2 3 0) 4 ; o) (1 0 2 2 2 2) 3: (1 2 2) 3 ; น) (2 1 0 3 2) 4: (3 2 3) 4 ;
หน้า) (2 6 1 7 4) 8: (5 4 6) 8 ; ค) (4 3 2 0 1) 5: (2 1 4) 5 ; เสื้อ)(1 1 0 1 0 0 1 0) 2:(1 0 1 0 1) 2
ย) (1 1 0 1 1 0) 2: (1 1 1) 2 ; ฉ) (1 1 1 0) 6: (2 1 5) 6 ; x)(3 2 3 8 2 2 1 7 0) 9:(7 6 4 2) 9 .
v) (1 6 3 5) 8 + (7 6 4) 8; ซ) (1 1 1 1) 3 - (2 1 2) 3; ก)(1 2 7) 12 +(9 1 3 5 ) 12b" × ข 1 จากนั้น:
I ถ้าตัวส่วน ข = ข"(มีเฉพาะ "2" และ/หรือ "5") - จากนั้นเศษส่วนจะถูกแปลงเป็น สุดท้ายเศษส่วนทศนิยม จำนวนตำแหน่งทศนิยมจะเท่ากับจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุด ล ลº 0( สมัย ข").
II ถ้าตัวส่วน ข = ข 1(ไม่มี "2" และ "5") จากนั้นเศษส่วนจะถูกแปลงเป็น เป็นระยะอย่างไม่มีที่สิ้นสุดเท่ากับจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุด เค,การเปรียบเทียบที่น่าพอใจ10 เคº 1( สมัย ข 1).
III ถ้าตัวส่วน ข = ข"× ข 1 (มี "2" และ/หรือ "5" รวมทั้งตัวประกอบเฉพาะอื่นๆ) จากนั้นเศษส่วนจะถูกแปลงเป็น คาบผสมไม่สิ้นสุดสิบ-
ฟ้องเศษส่วน
ความยาวของคาบจะเท่ากับจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุด เค,การเปรียบเทียบที่น่าพอใจ10 เคº 1( สมัย ข 1).
ความยาวของคาบก่อนเท่ากับจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุด ล,การเปรียบเทียบที่น่าพอใจ10 ลº 0( สมัย ข").
9. 2. ข้อสรุป
9. 3. โปรดทราบว่า:
จำนวนตรรกยะคือเศษส่วนทศนิยมจำกัดหรือเศษส่วนทศนิยมเป็นจำนวนอนันต์
จำนวนอตรรกยะคือเศษทศนิยมที่ไม่มีจุดเป็นจำนวนอนันต์ใดๆ
งานทั่วไป
1. เศษส่วนทั่วไปเหล่านี้ซึ่งเขียนในระบบทศนิยมจะถูกแปลงเป็น
ทศนิยม, ก่อนหน้านี้มีการกำหนดประเภทของเศษส่วนที่ต้องการ (จำกัดหรืออนันต์ เป็นระยะหรือไม่เป็นคาบ ถ้า - เป็นคาบ ก็เป็นคาบหรือคาบผสมล้วน ๆ ) ในกรณีหลัง ค้นหาล่วงหน้าตัวเลข เค– ระยะเวลาและจำนวนงวด ลคือความยาวของช่วงก่อนระยะเวลา หนึ่ง) ; 2) ; 3).
วิธีการแก้.
1) เศษส่วน = ตัวส่วน - จำนวน ข= 80 = 2 4 × 5 มีเพียง "2" และ "5" ดังนั้นเศษส่วนนี้จะถูกแปลงเป็น สุดท้ายเศษส่วนทศนิยม จำนวนตำแหน่งทศนิยม ฉันชื่อกำหนดจากเงื่อนไข: 10 ลº0(mod80):
2) เศษส่วน = ตัวส่วน - จำนวน ข= 27 = 3 3 ไม่มี "2" และ "5" ดังนั้นเศษส่วนนี้จึงถูกแปลงเป็นอนันต์ เป็นระยะอย่างหมดจดเศษส่วนทศนิยม ระยะเวลา ชื่อเคกำหนดจากเงื่อนไข: 10 เคº1(mod27):
3) เศษส่วน = ตัวส่วน - จำนวน ข= 24 = 2 3 × 3 นั่นคือดูเหมือนว่า: ข = ข"× ข 1 (ยกเว้น "2" หรือ "5" มีปัจจัยอื่น ในกรณีนี้คือเลข 3) ดังนั้นเศษส่วนนี้จึงถูกแปลงเป็นอนันต์ ผสมเป็นระยะเศษส่วนทศนิยม ระยะเวลา ชื่อเคกำหนดจากเงื่อนไข: 10 เคº1(mod3) จากไหน ชื่อเค= 1 นั่นคือความยาวของงวด เค= 1. ความยาวก่อนระยะเวลา ฉันชื่อกำหนดจากเงื่อนไข: 10 ลº0(mod8) ดังนั้น ฉันชื่อ= 3 นั่นคือความยาวของช่วงก่อนระยะเวลา ล = 3.
ตรวจสอบ: หาร "มุม" 5 ด้วย 24 และรับ: = 0, 208 (3)
ตอบ: 1) 0, 0375; 2) 0, (074); 3) 0, 208 (3).
แบบฝึกหัดสำหรับการทำงานอิสระ
156. เศษส่วนธรรมดาเหล่านี้ เขียนในระบบทศนิยม แปลงเป็นเศษส่วนทศนิยม หากทศนิยมเป็นระยะ ก่อนหน้านี้ค้นหาหมายเลข เค- ระยะเวลาและจำนวน ล- ความยาวของช่วงก่อนระยะเวลา
157. เศษส่วนธรรมดาเหล่านี้เขียนในระบบทศนิยม แปลงเป็น ทีเศษส่วนที่เป็นระบบ -ary ค้นหาตัวเลข เค- ระยะเวลาและ ล- ความยาวของช่วงก่อนระยะเวลา
158*. ในระบบตัวเลขใดที่ตัวเลข (4 6) 10 เขียนด้วยตัวเลขเดียวกัน แต่อยู่ใน
สั่งกลับ?
159*. หน่วยของหลักที่ 8 ในระบบเลขฐานสองกับหน่วยของหลักที่ 4 ในระบบเลขฐานแปด สิ่งใดมีค่ามากกว่ากัน
§ 10. ทฤษฎีบทของปาสคาล สัญญาณของการแบ่งแยก
ข้อมูลพื้นฐานจากทฤษฎี
10. 1. ทฤษฎีบทของปาสคาล (1623 – 1662).
จะได้รับจำนวนธรรมชาติ: t > 1และ n เขียนในระบบ t-ary:
,โดยที่ a i เป็นตัวเลข: a iÎ ยังไม่มีข้อความ 0 £ ฉัน £ ที–1 (ผม = 0,1, 2,…, เค), ทีÎ ยังไม่มีข้อความ > 1.
อนุญาต น= (คะ คะ คะ - 1 … ก 1 ก 0) 10 = ก×10 เค +ก - 1×10 k- 1 +…+ก 1×10+ ก 0 , ม=3 และ ม = 9.
1) ค้นหา ข ฉัน: โมดูโลเมตร = 3โมดูลเมตร = 9
10 0 º1(mod3) เช่น ข 0 =1, 10 0 º1(mod9), เช่น ข 0 =1,
10 1 º1(mod3) เช่น ข 1 =1, 10 1 º1(mod9), เช่น ข 1 =1,
10 2 º1(mod3) เช่น ข 2 =1, 10 2 º1(mod9), เช่น ข
ระบบการเรียกเก็บเงินที่สมบูรณ์ ระบบการหักเงินที่กำหนด ระบบการหักเงินที่พบมากที่สุด ได้แก่ บวกน้อยที่สุด ไม่ติดลบน้อยที่สุด น้อยที่สุด ฯลฯ
ทฤษฎีบท 1. คุณสมบัติทำให้ระบบสมบูรณ์และลดการตกค้าง
1° เกณฑ์สำหรับการหักเงินทั้งระบบ การรวมกันของ มจำนวนเต็มที่เป็นโมดูโลหาที่เปรียบมิได้แบบจับคู่ มก่อให้เกิดระบบโมดูโลตกค้างที่สมบูรณ์ ม.
2°. ถ้าตัวเลข x 1 , x 2 , ..., x ม– ระบบโมดูโล่ตกค้างที่สมบูรณ์ ม, (ก, ม) = 1, ขเป็นจำนวนเต็มตามอำเภอใจ แล้วเป็นตัวเลข ขวาน 1 +ข, ขวาน 2 +ข, ..., ขวาน ม+ขยังถือเป็นระบบที่สมบูรณ์ของโมดูโลตกค้างอีกด้วย ม.
3°. หลักเกณฑ์ของระบบการลดหย่อน คอลเลกชันใดๆ ที่ประกอบด้วย j( ม) จำนวนเต็มที่เป็นโมดูโลหาที่เปรียบมิได้แบบจับคู่ มและ coprime กับโมดูลัส ก่อให้เกิดระบบที่ลดลงของโมดูลัสที่ตกค้าง ม.
4°. ถ้าตัวเลข x 1 , x 2 , ..., xเจ ( ม) เป็นระบบที่ลดลงของโมดูโลที่ตกค้าง ม, (ก, ม) = 1 แล้วตามด้วยตัวเลข ขวาน 1 , ขวาน 2 , ..., ก xเจ ( ม) ยังประกอบด้วยระบบที่ลดลงของโมดูโลที่ตกค้าง ม.
ทฤษฎีบท 2ทฤษฎีบทของออยเลอร์
ถ้าตัวเลข กและ มโคไพรม์แล้วล่ะก็ กเจ ( ม) º 1(สมัย ม).
ผลที่ตามมา.
1°. ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ ถ้า ก หน้าเป็นจำนวนเฉพาะและ กไม่หารด้วย หน้า, แล้ว พี–1 º 1(สมัย หน้า).
2°. สรุปทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ ถ้า ก หน้าเป็นจำนวนเฉพาะแล้ว พี º ก(สมัย หน้า) สำหรับใดๆ กÎ Z .
§ สี่ การแก้ปัญหาการเปรียบเทียบกับตัวแปร
การตัดสินใจเปรียบเทียบ ความเท่าเทียมกัน ระดับของการเปรียบเทียบ
ทฤษฎีบท. คุณสมบัติของการแก้ปัญหาของความสอดคล้องกัน
1° คำตอบของความสอดคล้องกันคือสารตกค้างทั้งชั้น
2°. (" เค)(ก º ข(สมัย ม))Ù เค= z ของการเปรียบเทียบ º 0 (mod ม) และ º 0 (ม็อด ม) มีค่าเท่ากัน
3°. หากทั้งสองส่วนของการเปรียบเทียบคูณด้วยจำนวนโคไพรม์ที่มีโมดูลัส จะได้การเปรียบเทียบที่เทียบเท่ากับค่าดั้งเดิม
4°. การเปรียบเทียบโมดูโล a ไพรม์ใดๆ หน้าเทียบเท่ากับการเปรียบเทียบซึ่งระดับไม่เกิน หน้า–1.
5°. การเปรียบเทียบ º 0 (สมัย หน้า), ที่ไหน หน้าเป็นจำนวนเฉพาะ มีมากที่สุด นโซลูชั่นต่างๆ
6°. ทฤษฎีบทของวิลสัน ( น-หนึ่ง)! º –1 (สมัย น) Û นจำนวนเฉพาะ.
§ 5. การแก้การเปรียบเทียบระดับแรก
ขวาน º ข(สมัย ม).
ทฤษฎีบท. 1°. ถ้า ก ( ก, ม) = 1 แล้วการเปรียบเทียบมีคำตอบและจะไม่ซ้ำกัน
2°. ถ้า ก ( ก, ม) = งและ ขไม่หารด้วย งแล้วการเปรียบเทียบไม่มีทางแก้ไข
3°. ถ้า ก ( ก, ม) = งและ ขหารด้วย งแล้วมีการเปรียบเทียบ งสารละลายต่างๆ ที่ประกอบกันเป็นโมดูโลเรซิดิวหนึ่งชั้น
วิธีแก้ปัญหาการเปรียบเทียบ ขวาน º ข(สมัย ม) เมื่อไร ( ก, ม) = 1:
1) การเลือก (การแจงนับองค์ประกอบของระบบการหักเงินที่สมบูรณ์);
2) การใช้ทฤษฎีบทของออยเลอร์;
3) การใช้อัลกอริธึมยุคลิด
4) การแปรผันของค่าสัมประสิทธิ์ (โดยใช้คุณสมบัติ 2° ของระบบสารตกค้างทั้งหมดจากทฤษฎีบท 2.2)
§6. สมการไม่แน่นอนของระดับแรก
ขวาน+โดย = ค.
ทฤษฎีบท. สมการ ขวาน+โดย = คแก้ไขได้ถ้าและเฉพาะในกรณีที่ ค (ก, ข).
เมื่อไร ( ก, ข) = 1 คำตอบทั้งหมดของสมการจะได้รับจากสูตร
ทีÎ Z , ที่ไหน x 0 เป็นวิธีแก้ปัญหาการเปรียบเทียบ
ขวาน º ค(สมัย ข), ย 0 = .
สมการไดโอแฟนไทน์
บทที่ 10. จำนวนเชิงซ้อน
ความหมายของระบบจำนวนเชิงซ้อน การมีอยู่ของระบบจำนวนเชิงซ้อน
ความหมายของระบบจำนวนเชิงซ้อน
ทฤษฎีบท. มีระบบจำนวนเชิงซ้อน
แบบอย่าง: ร 2 พร้อมปฏิบัติการ
(ก, ข)+(ค, ง) = (ก+ค, ข+ง), (ก, ข)×( ค, ง) = (ไฟฟ้ากระแสสลับ–bd, พ.ศ+โฆษณา),
ผม= (0, 1) และการระบุตัวตน ก = (ก, 0).
รูปแบบพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน
การแสดงจำนวนเชิงซ้อนในรูป ซี = ก+ไบ, ที่ไหน ก, ขÎ ร , ผม 2 = -1. ความเป็นเอกลักษณ์ของการเป็นตัวแทนดังกล่าว อีกครั้ง ซี, ฉัน ซี.
กฎสำหรับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพีชคณิต
เลขคณิต นปริภูมิเวกเตอร์มิติ ค น. ระบบสมการเชิงเส้น เมทริกซ์ และดีเทอร์มิแนนต์ ค .
แยกรากที่สองจากจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพีชคณิต
ส่วนหนึ่งของระบบที่เหลือทั้งหมด (ดู ระบบที่สมบูรณ์ของสิ่งตกค้าง) ประกอบด้วยจำนวน coprime กับโมดูลัส ม.ป. ใน. มี φ( ม) ตัวเลข [φ( ม) คือจำนวนของจำนวนที่ใกล้เคียงกัน มและมีขนาดเล็กลง ม]. ใดๆ φ( ม) ตัวเลขที่ไม่สามารถเปรียบเทียบได้ในโมดูโล มและจับคู่กับมันในรูปแบบ P. s ใน. สำหรับโมดูลนี้
- - ดูมวลที่ลดลง...
สารานุกรมกายภาพ
- - ลักษณะตามเงื่อนไขของการกระจายของมวลในกลไกการเคลื่อนที่ หรือระบบผสมแล้วแต่กายภาพ พารามิเตอร์ของระบบและจากกฎการเคลื่อนที่ของมัน...
สารานุกรมกายภาพ
- - โมดูโล m - ชุดของจำนวนเต็มใด ๆ ที่เป็นโมดูโลหนึ่งหาที่เปรียบมิได้ มักจะเป็นพีกับ. ใน. โมดูโล สารตกค้างที่ไม่เป็นลบที่เล็กที่สุด 0, 1, . . ...
สารานุกรมคณิตศาสตร์
- - ผลรวมของพื้นที่ใช้สอยของอาคารอพาร์ตเมนต์เช่นเดียวกับพื้นที่ของ loggias, เฉลียง, ระเบียงที่มีปัจจัยการลดที่สอดคล้องกัน - พื้นที่ทั้งหมดจะได้รับ - přepočtená užitková plocha - Gesamtfläche - fajlagos alapterület - hörvüulsen ...
พจนานุกรมการก่อสร้าง
- - ดูค่าสัมประสิทธิ์ความพรุนของหิน ...
- - อัตราส่วนของปริมาตรรูพรุนของหินต่อปริมาตรของโครงกระดูกหิน โดยปกติจะแสดงเป็นเศษส่วนของหน่วย ...
พจนานุกรมอุทกธรณีวิทยาและธรณีวิทยาวิศวกรรม
- - ดูค่าสัมประสิทธิ์ความพรุน...
พจนานุกรมคำอธิบายปฐพีวิทยา
- - เช่นเดียวกับส่วนฐาน...
- - ลักษณะตามเงื่อนไขของการกระจายของมวลในระบบของวัตถุที่เคลื่อนไหวซึ่งนำมาใช้ในกลศาสตร์เพื่อลดความซับซ้อนของสมการการเคลื่อนที่ของระบบ ...
พจนานุกรมโปลีเทคนิคสารานุกรมขนาดใหญ่
- - ภาษีที่เรียกเก็บจากเงินปันผลหรือรายได้อื่น ๆ ที่ได้รับจากผู้ที่ไม่มีถิ่นที่อยู่ในประเทศ...
คำศัพท์ทางการเงิน
- - ภาษีที่เรียกเก็บจากเงินปันผลหรือรายได้อื่น ๆ ที่ได้รับจากผู้ที่ไม่มีถิ่นที่อยู่ในประเทศ...
คำศัพท์ทางธุรกิจ
- - โมดูโล ม. ชุดของจำนวนเต็มใด ๆ ที่มีตัวเลขหนึ่งตัวจากแต่ละคลาสของตัวเลข โมดูโล ม. เป็นพีด้วย. ใน. ระบบที่ใช้บ่อยที่สุดของสารตกค้างที่เป็นบวกน้อยที่สุด 0, 1, 2,.....
- - ลักษณะตามเงื่อนไขของการกระจายมวลในระบบกลไกเคลื่อนที่หรือระบบผสมขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ทางกายภาพของระบบและกฎการเคลื่อนที่ ...
สารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียตผู้ยิ่งใหญ่
- - มวลที่ลดลง - ลักษณะตามเงื่อนไขของการกระจายมวลในระบบกลไกเคลื่อนที่หรือระบบผสม ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ทางกายภาพของระบบและกฎการเคลื่อนที่ ...
พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่
- - ทั่วไป, ทั้งหมด, สะสม, ...
พจนานุกรมคำพ้อง
- - adj. จำนวนคำพ้องความหมาย: 1 บริสุทธิ์ ...
พจนานุกรมคำพ้อง
"ระบบหักลดหย่อน" ในหนังสือ
มูลค่าปัจจุบันของความสามารถหลักคืออะไร?
จากหนังสือความมั่งคั่งไร้น้ำหนัก กำหนดมูลค่าของบริษัทของคุณในระบบเศรษฐกิจสินทรัพย์ไม่มีตัวตน ผู้เขียน Thyssen Reneมูลค่าปัจจุบันของความสามารถหลักคืออะไร? จากข้อมูลข้างต้น เราสามารถพูดได้ว่ามูลค่าปัจจุบันของความสามารถหลักคำนวณโดยการคูณตัวบ่งชี้ทั้งหมดในช่วงเวลาหนึ่ง โดยคำนึงถึงต้นทุนในการดึงดูด
มูลค่าปัจจุบันสุทธิ (NPV)
จากหนังสือ MBA ใน 10 วัน. หลักสูตรที่สำคัญที่สุดของโรงเรียนธุรกิจชั้นนำของโลก ผู้เขียน ซิลไบเกอร์ สตีเฟ่นมูลค่าปัจจุบันสุทธิ (NPV) การวิเคราะห์มูลค่าปัจจุบัน (NPV) ช่วยในการคำนวณว่าพนักงานต้องลงทุนเท่าไรจึงจะได้รับเงินบำนาญที่เหมาะสมใน 30 ปี แต่การวิเคราะห์นี้ไม่มีประโยชน์ในการประเมินการลงทุนและโครงการในปัจจุบัน การลงทุนจะต้องมีมูลค่าใน
การบัญชีสำหรับรายละเอียดและการหักจากเงินเดือน
จากหนังสือการบัญชี ผู้เขียน Melnikov Ilyaการรับรู้รายละเอียดและการหักเงินจากค่าจ้าง ตามกฎหมาย การหักเงินต่อไปนี้จะทำจากค่าจ้างของพนักงาน: - ภาษีเงินได้ (ภาษีของรัฐ วัตถุประสงค์ของการเก็บภาษี - ค่าจ้าง)
10.6. การบัญชีสำหรับการหักและการหักจากค่าจ้าง
จากหนังสือการบัญชีในการเกษตร ผู้เขียน Bychkova Svetlana Mikhailovna10.6. การบัญชีสำหรับการหักเงินและการหักเงินค่าจ้าง การหักเงินบางส่วนจะทำจากค่าจ้างของพนักงานขององค์กร ซึ่งแบ่งออกเป็นดังนี้ การหักเงินภาคบังคับ (ภาษีจากรายได้ส่วนบุคคล การหักเงินตามคำสั่งบังคับใช้)
จากหนังสือสินทรัพย์ไม่มีตัวตน : การบัญชีและการบัญชีภาษีอากร ผู้เขียน Zakharyin V. R<...>
4.1. ปัญหาทั่วไปของการให้สิทธิลดหย่อนภาษีสังคม
ผู้เขียน มาคุโรว่า ทาเทียน่า4.1. ปัญหาทั่วไปของการหักภาษีสังคม การหักภาษีสังคม (มาตรา 219 ของรหัสภาษี) เช่นเดียวกับการหักทรัพย์สินสำหรับการซื้อที่อยู่อาศัย หมายถึงการลดลงของฐานภาษีตามจำนวนค่าใช้จ่ายทางสังคมที่เกิดขึ้น โดยคำนึงถึง กฎหมาย
4.3. คุณสมบัติของการหักลดหย่อนการศึกษา
จากหนังสือ Self-Tutorial on Personal Income Tax ผู้เขียน มาคุโรว่า ทาเทียน่า4.3. ลักษณะเฉพาะของการให้เงินลดหย่อนการศึกษา 142) ค่าลดหย่อนการศึกษาใดที่สามารถยอมรับได้? การหักเงินเพื่อการศึกษามีขีดจำกัดอะไรบ้าง ต่อไปนี้ เป็นที่ยอมรับสำหรับการหักภาษีสังคมเพื่อการศึกษา: ค่าใช้จ่ายในจำนวนเงินที่ผู้เสียภาษีจ่ายใน
3.4. ปริมาณและความถี่ของการเกิดขึ้นและการใช้สิทธิลดหย่อนภาษี
จากหนังสือ ภาระภาษีขององค์กร: การวิเคราะห์ การคำนวณ การจัดการ ผู้เขียน Chipurenko Elena Viktorovna3.4. ปริมาณและความถี่ของการเกิดและการใช้สิทธิลดหย่อนภาษี 3.4.1. ภาษีมูลค่าเพิ่มเป็นค่าลดหย่อนภาษีที่อาจเกิดขึ้น เมื่อคำนวณภาษีมูลค่าเพิ่ม จำนวนภาษีที่หักจะถูกกำหนดตามข้อมูลของทะเบียนบัญชีภาษีเท่านั้น - หนังสือซื้อ ที่
ระบบการหักเงินที่สมบูรณ์แบบ
จากหนังสือสารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียตผู้ยิ่งใหญ่ (PO) ของผู้แต่ง ส.ส.ทมวลลดลง
ส.ส.ทระบบการหักเงินที่ลดลง
จากหนังสือสารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียตผู้ยิ่งใหญ่ (PR) ของผู้แต่ง ส.ส.ท88. โครงสร้างและรูปแบบที่ลดลงของระบบสมการพร้อมกัน การระบุรุ่น
จากหนังสือเฉลยข้อสอบวิชาเศรษฐมิติ ผู้เขียน Yakovleva Angelina Vitalievna88. โครงสร้างและรูปแบบที่ลดลงของระบบสมการพร้อมกัน การระบุแบบจำลอง สมการโครงสร้างคือสมการที่สร้างระบบเดิมของสมการที่เกิดขึ้นพร้อมกัน ในกรณีนี้ระบบมีรูปแบบโครงสร้าง
จากหนังสือ ใหม่ในรหัสภาษี: คำอธิบายเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงที่มีผลบังคับใช้ในปี 2551 ผู้เขียน ซเรลอฟ อเล็กซานเดอร์ พาฟโลวิชมาตรา 172 ขั้นตอนการขอลดหย่อนภาษี
ผู้เขียน ไม่ทราบผู้เขียนข้อ 172
จากหนังสือรหัสภาษีของสหพันธรัฐรัสเซีย ส่วนที่หนึ่งและสอง ข้อความที่มีการแก้ไขและเพิ่มเติม ณ วันที่ 1 ตุลาคม 2552 ผู้เขียน ไม่ทราบผู้เขียนมาตรา 201 ขั้นตอนการขอลดหย่อนภาษี