Jak wyznaczyć prędkość dowolnego punktu figury płaskiej. Wyznaczanie prędkości punktów figury płaskiej. Ruch płaski ciała sztywnego
![Jak wyznaczyć prędkość dowolnego punktu figury płaskiej. Wyznaczanie prędkości punktów figury płaskiej. Ruch płaski ciała sztywnego](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/356.png)
Przypomnijmy, że ruch figury płaskiej można rozpatrywać jako sumę ruchu postępowego wraz z ruchem bieguna i ruchu obrotowego wokół bieguna.
Według tego prędkość dowolnego punktu M figury płaskiej jest geometrycznie sumą prędkości pewnego punktu A, traktowanego jako biegun, oraz prędkości, jaką uzyskuje punkt M, gdy figura obraca się wokół tego bieguna, tj.
Jednocześnie prędkość VMA zdefiniowana jako prędkość punktu M gdy ciało obraca się wokół ustalonej osi przechodzącej przez punkt ALE prostopadle do płaszczyzny ruchu (patrz § 7.2), tj.
Tak więc, jeśli znana jest prędkość bieguna VA a zatem prędkość kątowa ciała w
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/356.png)
prędkość dowolnego punktu M ciała określa się zgodnie z równością (8.2), przekątną równoległoboku zbudowanego na wektorach VA oraz VMA , jak po bokach (ryc. 8.3) oraz moduł prędkości V M obliczone według wzoru
gdzie y jest kątem między wektorami VA oraz VMA
Zadanie 8.1. Koło toczy się po stałej powierzchni bez poślizgu (ryc. 8.4, a). Znajdź punkty prędkości Do oraz D koła, jeśli prędkość jest znana Vc środek koła C, promień R koła, odległość COP = b i kąt a.
Rozwiązanie. 1. Rozważany ruch koła jest równoległy do płaszczyzny. Biorąc punkt C za biegun (ponieważ jego prędkość jest znana), zgodnie z ogólną równością (8.2), dla punktu Do możemy pisać
Nie ma jednak możliwości ustalenia wartości V KC , ponieważ prędkość kątowa jest nieznana.
Aby określić w, rozważ prędkość innego punktu, a mianowicie punktu R dotknięcie koła o nieruchomą powierzchnię (Rys. 8.4, b). W tym momencie możemy napisać równość
cecha punktowa R jest fakt, że w tym momencie Vp - 0, ponieważ koło toczy się bez poślizgu. Wtedy równość (b) przybiera postać
![](https://i0.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/360.png)
skąd mamy
Wynika stąd: 1) wektory prędkości V PC oraz Vc powinny być skierowane w przeciwnych kierunkach; 2) z równości modułów V PC - V w dostajemy uPC = Vc , stąd znajdujemy w = Vc /PC = Vc /R. Zgodnie z kierunkiem wektora V PC określić kierunek strzałki łuku w i pokazać go na rysunku (ryc. 8.4, b).
Wróćmy teraz do definicji V K przez równość (a). Znaleźliśmy
Vks \u003d o KS - V ^ b / R. Znając kierunek prędkości kątowej ω, przedstawiamy wektor V KC prostopadle do segmentu KS i wykonaj konstrukcję równoległoboku na wektorach Vc oraz V KC(ryc. 8.4, w). Ponieważ w tym przypadku Vc oraz V KC wzajemnie prostopadłe, w końcu znajdujemy
2. Prędkość punktowa D na feldze określamy z równości VD = V C + V DC . Od liczbowo VDC - współ R - V c , następnie równoległobok zbudowany na wektorach Vc oraz VDC, będzie rombem. Kąt między Vc oraz VDC równa się 2a. Po zdefiniowaniu VD jako długość odpowiedniej przekątnej rombu otrzymujemy
Twierdzenie o rzutach prędkości dwóch punktów bryły sztywnej
Zgodnie z równością (8.2) dla dwóch_ dowolnych punktów ALE oraz W ciało sztywne równość V b \u003d V A + V B A, zgodnie z którym wykonujemy konstrukcję pokazaną na ryc. 8.5. Rzutowanie tej równości na oś Az, Celem B dostajemy Umysł + VBAz. Biorąc pod uwagę, że wektor VBA prostopadle do linii
B odnaleźć
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/366.png)
Wynik ten wyraża twierdzenie: rzuty prędkości dwóch punktów bryły sztywnej na oś przechodzącą przez te punkty są sobie równe.
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/367.png)
Zauważmy, że równość (8.5) matematycznie odzwierciedla fakt, że ciało jest uważane za absolutnie sztywne, a odległość między punktami ALE oraz W nie zmienia. Dlatego równość (8.5) jest spełniona nie tylko dla płaszczyzny równoległej, ale także dla dowolnego ruchu ciała sztywnego.
Zadanie 8.2. Foki ALE oraz W, połączone prętem z zawiasami na końcach, poruszają się wzdłuż wzajemnie prostopadłych prowadnic w płaszczyźnie rysunku (ryc. 8.6, a). Wyznacz przy danym kącie prędkość punktu W, jeśli znana jest prędkość V A.
Rozwiązanie. Narysujmy oś x przechodzącą przez punkty ALE oraz W. Znając kierunek VA ,
znajdź rzut tego wektora na prostą AB: V Ax - V A cos a (na ryc. 8.6, b to będzie cięcie Ach). Dalej rysunek z punktu W odłożyć Bb - Aa(ponieważ segment Ach znajduje się na osi x na prawo od punktu ALE, potem odcinek Nocleg ze śniadaniem odłożyć na bok W na osi x po prawej stronie). Zmartwychwstanie w punkcie b prostopadle do linii AB, znajdź punkt końcowy wektora V B.
Zgodnie z twierdzeniem o projekcji VA cos a = K^cosp. Stąd (biorąc pod uwagę, że Р = 90 ° - a) ostatecznie otrzymujemy V B = VA cos a/cos(90° - a) lub V B = = VA ctg a.
Wyznaczanie prędkości punktowych z chwilowego środka prędkości
Aby wyznaczyć prędkości punktów figury płaskiej, wybieramy dowolny punkt jako biegun R. Następnie zgodnie ze wzorem
(8.2), prędkość dowolnego punktu M jest zdefiniowana jako suma dwóch wektorów:
Jeśli prędkość bieguna R w danym momencie była równa zeru, to prawa strona tej równości byłaby reprezentowana przez jeden wyraz w MR a prędkość dowolnego punktu byłaby zdefiniowana jako prędkość punktu M ciało obraca się wokół stałego słupa R.
Dlatego jeśli wybierzemy punkt jako biegun R, którego prędkość w danej chwili wynosi zero moduły prędkości wszystkich punktów figury będą proporcjonalne do ich odległości od bieguna P, a kierunki wektorów prędkości wszystkich punktów będą prostopadłe do prostych łączących rozpatrywany punkt z biegunem P. Oczywiście obliczenie według wzorów (8.6) jest znacznie prostsze niż obliczenie według ogólnego wzoru (8.2).
Punkt płaskiej figury, którego prędkość w danym momencie wynosi zero, nazywany jest chwilowym środkiem prędkości (MCS).Łatwo sprawdzić, że jeśli figura porusza się nieprzesuwnie, to taki punkt istnieje w każdym momencie czasu, a ponadto jest unikalny. Zauważmy, że chwilowy środek prędkości może znajdować się zarówno na samej figurze, jak i na jej mentalnej kontynuacji.
Rozważ sposoby określania położenia chwilowego środka prędkości.
1. Niech w chwili czasu tjum figury płaskiej, jej prędkość kątowa ω i prędkość VA któregoś z jego punktów ALE(ryc. 8.7, a). Następnie wybierając punkt ALE jako biegun,_prędkość_punktu, którego szukamy R można określić za pomocą wzoru Vp = VA + VpA -
Problem polega na znalezieniu takiego punktu R, w którym V P=0, więc dla niej V A + U RL=0 i stąd Y RA \u003d -Y A. Dlatego do rzeczy R prędkość Na RA który punkt R uzyskany przez obrót figury wokół bieguna ALE, i prędkość A słupy ALE równy modulo (Y RA = Y A) lub o ZAR = U A i przeciwnie w kierunku. Poza tym punkt R musi leżeć prostopadle do wektora Na A. Wyznaczanie położenia punktu R odbywa się w następujący sposób: od punktu ALE(ryc. 8.7, b) ustaw prostopadłą do wektora A i nadaj mu dystans AR = Y Klimatyzacja po drugiej stronie punktu ALE, gdzie wektor „pokaże” Na A jeśli jest obrócony o 90 ° w kierunku strzałki łuku co.
Chwilowy środek prędkości jest jedynym punktem na figurze płaskiej, którego prędkość w danym czasie wynosi zero.
![](https://i0.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/370.png)
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/371.png)
W innym momencie chwilowy środek prędkości może już być innym punktem figury płaskiej.
2. Niech znane będą kierunki prędkości VA oraz w(ryc. 8.8, a) dwa punkty ALE oraz W figura płaska (ponadto wektory prędkości tych punktów nie są równoległe) lub znane są elementarne przemieszczenia tych punktów. Chwilowy środek prędkości będzie się znajdował w punkcie przecięcia się prostopadłych postawionych z punktów A i B do prędkości tych punktów (lub do elementarnych przemieszczeń punktów). Taka konstrukcja jest pokazana na rys. 8,8, b. Opiera się na fakcie, że dla dowolnych punktów A i B liczby obowiązujące przepisy (8.6):
Z tych równości wynika, że
Znając położenie MCC i prędkość kątową ciała, stosując wzory (8.6), łatwo jest wyznaczyć prędkość dowolnego punktu tego ciała. Na przykład za punkt Do(patrz rys. 8.8, b) prędkość modułu V K =coKP, wektor Ty też skierowany prostopadle do linii prostej KR zgodnie z
kierunek strzałki łuku y.
W konsekwencji, prędkości punktów figury płaskiej wyznacza się w danej chwili tak, jakby figura ta obracała się wokół chwilowego środka prędkości.
3. Jeśli punkty prędkości ALE oraz W figury płaskie są do siebie równoległe, to możliwe są trzy opcje, które pokazano na ryc. 8.9. W przypadkach, gdy direct AB prostopadłe do wektorów VA oraz V B(ryc. 8.9, a, b) konstrukcje oparte są na proporcji (8.7).
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/374.png)
Jeśli prędkość punktów Lee V równoległe i proste AB_nt prostopadły VALE(ryc. 8.9, w), potem prostopadłe do U A oraz V B są równoległe, a chwilowy środek prędkości znajduje się w nieskończoności (AP= oo); prędkość kątowa obrotu figury w = VJAP=VA/cc= 0. W tym przypadku prędkości wszystkich punktów figury w danym momencie są sobie równe, tj. figura ma rozkład prędkości jak w ruchu postępowym. Ten stan ruchu nazywa się od razu progresywny. Zauważ, że w tym stanie przyspieszenia wszystkich punktów ciała nie będą takie same.
4. Jeżeli płaski ruch ciała odbywa się przez toczenie bez ślizgania się po nieruchomej powierzchni (ryc. 8.10), wówczas punkt styku R będzie chwilowym środkiem prędkości (patrz zadanie 8.1).
Zadanie 8.3. Płaski mechanizm składa się z 7 prętów, 2, 3, 4 i gąsienicowy W(Ryc. 8.11), połączone ze sobą i ze stałymi wspornikami 0 { oraz 0 2 zawiasy; kropka D jest w środku pręta AB. Długości prętów: / 2 = 0,4 m, / 2 = 1,2 m, / 3 = 0,7 m, / 4 = 0,3 m. i skierowane przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Definiować V A , V B , V D , V mi , oo 2 , co 3 , do 4 i prędkość punktowa Do w środku pręta DE (DK = KE).
Rozwiązanie. W rozważanym mechanizmie pręty 7, 4 wykonać ruch obrotowy W- progresywne i pręty 2, 3 -
ruch płasko-równoległy.
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/375.png)
Szybkość punktowa ALE definiujemy jako należące do pręta 7, który wykonuje ruch obrotowy:
Rozważ ruch pręta 2. Szybkość punktowa ALE jest określony, a kierunek prędkości punktu W ze względu na fakt, że jednocześnie należy do pręta 2 i płeć-
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/377.png)
Zun porusza się wzdłuż prowadnic. Teraz przywracanie z punktów ALE oraz W prostopadły do A oraz kierunek ruchu suwaka W, znajdź położenie punktu C 2 - MCS pręta 2.
W kierunku wektora U A biorąc pod uwagę, że w rozważanym położeniu mechanizmu, pręt 2 obraca się wokół punktu C 2, określamy kierunek prędkości kątowej z 2 prętów 2 i znaleźć jego wartość liczbową (o 2 = V a / AC 2 \u003d 0,8 / 1,04 \u003d 0,77 s -1, gdzie AC 2 - AB grzech 60 ° \u003d 1,04 m (otrzymamy, rozważając A AC ~, B).
Teraz określamy wartości liczbowe i kierunki prędkości punktów W oraz D pręt 2 (dlatego ABDC 2 wtedy równoboczny BC 2 - DC 2 - - 0,6m):
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/378.png)
Rozważ ruch pręta 3. Szybkość punktowa D znany. Od punktu mi należy jednocześnie do pręta 4, obracający się wokół osi 0 4 , następnie T e 10 4 E. Następnie przechodząc przez punkty D oraz mi proste prostopadłe do prędkości V D w V E , znajdź położenie punktu C 3 - MCS pręta
3. W kierunku wektora V D , patrząc od stałego punktu С 3 , określamy kierunek prędkości kątowej с 3 i znajdujemy jej wartość liczbową (po wcześniejszym wyznaczeniu z AZ) C 3 ? odcinek Z)C 3 = DEz 30 ° \u003d 0,35 m): co 3 \u003d V d / C 3 D \u003d 1,32 s -1.
Aby określić prędkość punktu Do narysujmy linię prostą COP 3 i biorąc to pod uwagę AR K od 3 równoboczny ( COP 3 = 0,35 m), oblicz Y k \u003d \u003d 0,462 m / s, U do AKS 3.
Rozważmy ruch pręta_4 obracającego się wokół osi 0 4 . Znajomość kierunku i wartości liczbowej VE , znajdujemy kierunek i wartość prędkości kątowej od 4: od 4 \u003d V e / 0 4 E - 2,67 sek
Odpowiadać: VA= 0,8 m/s, V B = V D= 0,462 m/s, V E = 0,8 m / s, co 2 \u003d 0,77 s "1, co 3 \u003d 1,32 s -1, (o 4 \u003d 2,67 s -1, kierunki tych wielkości pokazano na ryc. 8.11.
Notatka.W mechanizmie składającym się z kilku ciał, każde ciało poruszające się nietranslacyjnie w danej chwili ma swoje własne chwilowe centrum prędkości i własną prędkość kątową.
Zadanie 8.4. Płaski mechanizm składa się z prętów 1, 2, 3 oraz wałek toczący się bez poślizgu po ustalonej płaszczyźnie (ryc. 8.12, a). Połączenia prętów między sobą a prętem 3 na lodowisko w tym miejscu D- na zawiasach. Długości prętów: 1 { - 0,4 m, / 2 = 0,6 m, / 3 = 0,8 m. Dla podanych kątów a = 60°, B = 30° wartości i kierunki kąta O lodowisko V0= 0,346 m/s, ZABD= 90°. Wyznacz prędkość punktową W i prędkość kątowa od 2 .
Rozwiązanie. Mechanizm ma dwa stopnie swobody (jego położenie określają dwa niezależne od siebie kąty a i p) oraz prędkość punktu W(punkt wspólny prętów 2 oraz 3) zależy od prędkości punktów ALE oraz D.
Biorąc pod uwagę ruch pręta /, n znajdujemy kierunek i wartość prędkości punktu O: V A= coj/j = 0,8 m/s, V a AjO ( A.
Rozważ ruch rolki. Jej chwilowy środek prędkości znajduje się w punkcie R; następnie VD znaleźć z proporcji
Ponieważ DOP równoramienne i kąty ostre w nim są równe 30 °, a następnie DP- 2OP cos 30° = LUB/ 3. Z równości (a) znajdujemy VD- 0,6 m/s. Wektor VD skierowane prostopadle DP
Od punktu W należy jednocześnie do prętów AB oraz BD, to zgodnie z twierdzeniem o projekcji prędkości powinno to być: 1) rzut wektora w bezpośrednio B A(odcinek Ach na ryc. 8.12, a), tj. A cos a = 0,4 m/s; 2) odwzorowanie wektorowe w bezpośrednio DB jest równy rzutowi na tę linię wektora 0(odcinek Dd na ryc. 8.12, a), tj. 0 cos y = 0,3 m/s (y = 60°).
Rozwiążmy to graficznie. Odłóż na bok W cięcia w odpowiednich kierunkach Bb (= Aa oraz Bb 2 = Dd. Szybkość punktowa W jest równa sumie wektorów V B = Bb + Bbj. Przywracanie z punktu b ( prostopadły do Bb x, i od
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/380.png)
zwrotnica b 2 - prostopadły do Nocleg ze śniadaniem 2. Punkt przecięcia tych prostopadłych określa koniec pożądanego wektora V B.
Ponieważ kierunki segmentów Nocleg ze śniadaniem oraz Bb 2 wtedy wzajemnie prostopadłe
Ustalamy od 2. na ryc. 8.12, b pokazany jest tzw. plan prędkości, który graficznie przedstawia równość wektorów
gdzie wektory VA oraz V B zdefiniowany (patrz ryc. 8.12, a), i kierunek VBA prostopadle do pręta AB. Z rysunku (ryc. 8.12, b) odnaleźć
Teraz definiujemy za pomocą 2 = V ba / AB- 1,66 s -1 (kierunek od 2 - przeciwnie do ruchu wskazówek zegara).
Odpowiadać: VB- 0,5 m / s, co 2 \u003d 1,66 s -1.
Zauważono, że ruch figury płaskiej można rozpatrywać jako sumę ruchu postępowego, w którym wszystkie punkty figury poruszają się z prędkością bieguna ALE, oraz z ruchu obrotowego wokół tego bieguna. Pokażmy, że prędkość dowolnego punktu M figury są tworzone geometrycznie na podstawie prędkości, jakie punkt otrzymuje w każdym z tych ruchów.
Rzeczywiście, położenie dowolnego punktu M figury definiowane są w odniesieniu do osi Ohu wektor promienia (ryc. 30), gdzie jest wektorem promienia bieguna ALE, - wektor określający położenie punktu M o osiach poruszających się wraz z biegunem ALE translacyjnie (ruch figury względem tych osi to obrót wokół bieguna ALE). Następnie
W wynikowej równości ilość jest prędkością bieguna ALE; wartość jest równa prędkości punktu M odbiera w , tj. wokół osi, czyli innymi słowy, gdy figura obraca się wokół bieguna ALE. Tak naprawdę z poprzedniej równości wynika, że
punkt prędkości M uzyskany przez obrót figury wokół bieguna ALE:
gdzie jest prędkością kątową figury.
Więc prędkość dowolnego punktu M figura płaska składa się geometrycznie z prędkości jakiegoś innego punktu ALE jako biegun, a prędkość jako punkt M otrzymuje, gdy postać obraca się wokół tego bieguna. Moduł i kierunek prędkości można znaleźć, konstruując odpowiedni równoległobok (ryc. 31).
Ryc.30 Ryc.31
23. W rzeczywistości równanie ruchu postępowego ciała sztywnego jest równaniem drugiego prawa Newtona: Korzystając z równań:
I dostajemy.
24. W tym przypadku komponenty
- moment sił zewnętrznych skierowanych wzdłuż x oraz y, są kompensowane przez momenty sił reakcji utwierdzania.
Obrót wokół osi z występuje tylko pod
6.4 6.5
Niech jakieś ciało obraca się wokół osi z.Otrzymać równanie dynamiki dla pewnego punktu ja to ciało na odległość R ja od osi obrotu. Jednocześnie pamiętaj o tym
Skierowany zawsze wzdłuż osi obrotu z, więc w dalszej części pominiemy ikonę z.
Ponieważ wszystkie punkty są różne, wprowadzamy wektor prędkości kątowej i
Ponieważ ciało jest absolutnie sztywne, w trakcie obracania się ja oraz R ja pozostanie bez zmian. Następnie:
Oznaczać I i – moment bezwładności zwrotnica z dystansu R od osi obrotu:
Ponieważ ciało składa się z ogromnej liczby punktów i wszystkie znajdują się w różnych odległościach od osi obrotu, to znaczy moment bezwładności ciała wynosi:
gdzie R- odległość od osi z do D m. Jak widać, moment bezwładności I jest wielkością skalarną.
Sumując wszystko i- zwrotnica,
dostać lub - To równanie główne
dynamika ciała obracającego się wokół ustalonej osi.
26) Moment pędu ciała sztywnego.
Moment pędu jest sumą wektorów momentu pędu wszystkich materialnych punktów ciała względem ustalonej osi.
Jeśli oś obrotu sztywnego ciała jest ustalona, \u200b\u200bmoment siły prostopadłej do tej osi () z powodu sił tarcia w łożyskach zawsze będzie wynosił zero.
Szybkość zmiany momentu pędu ciała sztywnego wzdłuż osi obrotu, która jest stała, jest równa wypadkowemu momentowi sił zewnętrznych skierowanych wzdłuż tej osi.
- moment bezwładności.
28) Moment sił tarcia tocznego to prawo Coulomba. Współczynnik tarcia tocznego.
Tarcie toczne. Istnienie tarcia tocznego można ustalić eksperymentalnie, na przykład badając toczenie się ciężkiego walca o promieniu po płaszczyźnie poziomej.
Jeżeli cylinder i płaszczyzna są ciałami stałymi o szorstkich powierzchniach (ryc. 55, a), wówczas ich kontakt nastąpi w punkcie, siła N równoważy grawitację P, a siła pozioma Q i siła tarcia F tworzą parę sił (Q, F), pod jakimi cylinder musi zacząć się poruszać przy dowolnej wartości siły Q. W rzeczywistości walec zaczyna się poruszać, gdy wartość siły Q przekroczy wartość graniczną Ql.
Fakt ten można wyjaśnić, jeśli przyjmiemy, że walec i płaszczyzna są zdeformowane. Wtedy ich kontakt nastąpi wzdłuż małego obszaru lub otworu (na ryc. 55, b, mały obszar jest pokazany przez jego przekrój). Wraz ze wzrostem siły Q środek nacisku przesunie się ze środka przekroju w prawo. W efekcie powstaje para sił (P,N), która uniemożliwia rozpoczęcie ruchu cylindra. W stanie równowagi granicznej na walec działa para sił (Ql,F) o momencie Ql·r i para (P,N) równoważąca go momentem N·δ, gdzie δ jest wartością maksymalne przemieszczenie. Z równości momentów par sił znajdujemy (6)
podczas gdy Q
Zwykle ryż. 55, b upraszcza się, nie przedstawiając na nim przemieszczenia punktu przyłożenia reakcji normalnej, dodając do sił na ryc. 55, kilka sił, które zapobiegają toczeniu się cylindra, jak pokazano na ryc. 55, s.
Nazywa się moment tej pary sił moment tarcia tocznego, jest równy momentowi pary sił (P,N): (7)
Wartość maksymalnego przemieszczenia punktu przyłożenia reakcji normalnej zawartej we wzorach (6) i (7) δ nazywa się współczynnikiem tarcia tocznego. Ma wymiar długości i jest wyznaczany doświadczalnie. Oto przybliżone wartości tego współczynnika (w metrach) dla niektórych materiałów: drewno na drewnie δ = 0,0005-0,0008; stal miękka na stali (koło na szynie) - 0,00005; hartowana stal na stali (łożysko kulkowe) - 0,00001.
Stosunek δ/r we wzorze (6) dla większości materiałów jest znacznie mniejszy niż współczynnik tarcia statycznego f0. Dlatego w technice, gdy tylko jest to możliwe, mają tendencję do zastępowania ślizgania się toczeniem (kółka, rolki, łożyska kulkowe itp.).
Prawo Amontona-Coulomba
Główny artykuł: prawo Coulomba (mechanika)
Nie mylić z prawem Coulomba!
Główną cechą tarcia jest współczynnik tarcia μ, który jest określony przez materiały, z których wykonane są powierzchnie współpracujących ciał.
W najprostszych przypadkach siła tarcia F i obciążenie normalne (lub siła reakcji normalnej) Nnormalne są powiązane nierównością, która zamienia się w równość tylko w obecności ruchu względnego. Ten stosunek nazywa się prawem Amontona-Coulomba.
3.5.1. Metoda Polaka
Ponieważ ruch figury płaskiej można uznać za złożony ruchu postępowego, gdy wszystkie punkty figury poruszają się w taki sam sposób jak biegun ALE z prędkością i ruchem obrotowym wokół bieguna, a następnie z prędkością dowolnego punktu W liczby są określone przez sumę wektorów prędkości (rys. 23).
, (65)
gdzie jest prędkość bieguna punktowego ALE;
Szybkość punktowa W podczas obracania figury wokół bieguna punktu ALE(zakładając, że jest stała) jest liczbowo równa
W prostopadły VA w kierunku obrotu prędkości kątowej (rys. 23).
Wartość liczbowa prędkości punktu W zdefiniować za pomocą twierdzenia cosinusów
gdzie jest kątem między wektorami i , н .
![](https://i2.wp.com/konspekta.net/lektsiiorgimg/baza15/4407252846986.files/image493.jpg)
Równość rzutów jest konsekwencją niezmienności odległości między punktami ALE oraz W należący do ciała sztywnego, więc równość będzie prawdziwa dla każdego ruchu ciała sztywnego.
3.5.2. Metoda chwilowego środka prędkości (IMS)
Punktem odniesienia jest chwilowy środek prędkości R płaska figura, której prędkość w danym momencie wynosi zero. Prędkości wszystkich innych punktów figury płaskiej w danym momencie czasu wyznacza się tak, jakby ruch figury był obrotowy względem punktu R(Rys. 25).
|
![](https://i0.wp.com/konspekta.net/lektsiiorgimg/baza15/4407252846986.files/image495.jpg)
Zgodnie z metodą biegunową prędkość punktowa W będzie równy
. (69)
Ponieważ prędkość bieguna (MCS) wskazuje R jest równe zeru (), wtedy
Wektor prędkości jest skierowany od punktu W prostopadły VR w kierunku obrotu prędkości kątowej w.
Podobną równość można przedstawić dla wszystkich punktów figury płaskiej, a zatem prędkości punktów figury płaskiej są proporcjonalne do ich odległości od MCS.
Do wyznaczenia położenia (MCS) figury płaskiej wymagana jest znajomość kierunku linii, wzdłuż których działają wektory prędkości punktów ALE oraz W( oraz ). MCC dla tej figury będzie znajdować się w punkcie przecięcia prostopadłych przywróconych do tych linii.
Aby znaleźć prędkość punktu W, zgodnie z rys. 25, wymagana jest znajomość prędkości punktu ALE. Wtedy prędkość kątowa figury w danym momencie będzie wynosić
gdzie AR– odległość punktowa ALE do momentu R, określa się na podstawie danych początkowych.
Prędkość kątowa pod działaniem prędkości względem bieguna punktu R skierowany zgodnie z ruchem wskazówek zegara.
Szybkość punktowa W w tym momencie będzie
Wektor prędkości punktowej W() skierowany prostopadle do linii RV w kierunku obrotu prędkości kątowej w (rys. 25).
3.5.2.1. Pojęcie centroidów
Trajektoria, którą MCS opisuje wraz z poruszającą się figurą, nazywana jest ruchomym środkiem ciężkości (na przykład, gdy koło porusza się po powierzchni bez poślizgu (Tabela 2), zewnętrzny obwód koła jest ruchomym środkiem ciężkości).
Miejsce geometryczne MCS, pozycje punktów R na ustalonej płaszczyźnie nazywa się stałym środkiem ciężkości (kiedy koło porusza się po powierzchni bez poślizgu (patrz tabela 2), stały środek ciężkości jest stałą powierzchnią, po której toczy się koło).
3.5.2.2. Szczególne przypadki MCS
Tabela 2.
Natychmiastowy ruch do przodu łącza AB | Ruch kół na powierzchni (bez poślizgu) | Przenoszenie ruchu blokowego |
![]() | ![]() | ![]() |
Kropka W poruszając się po linii prostej x-x, stąd prędkość V B skierowane wzdłuż osi, narysuj prostopadłą do osi x-x. Ponieważ linie prostopadłe się nie przecinają, link AB jest w chwilowym ruchu translacyjnym, prędkości wszystkich punktów tego połączenia są równe, MCS jest w nieskończoności, . | MCC znajduje się w punkcie, w którym koło dotyka nieruchomej powierzchni, po której toczy się koło, punkt R. Prędkość kątowa koła będzie wynosić ![]() ![]() | MCK (pkt R) znajduje się w punkcie przecięcia odcinka AB oraz prostą przechodzącą przez końce wektorów i . Wyznaczanie położenia punktu R. Zablokuj prędkość kątową ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
5) Ruch do przodu. Przykłady.
Wyznaczanie ruchu obrotowego ciała wokół ustalonej osi.
Równanie ruchu obrotowego.
- taki ruch, w którym wszystkie jego punkty poruszają się w płaszczyznach prostopadłych do pewnej ustalonej linii i opisują okręgi o środkach leżących na tej prostej, zwanej osią obrotu.
Ruch jest określony prawem zmiany kąta dwuściennego φ (kąta obrotu) utworzonego przez ustaloną płaszczyznę P przechodzącą przez oś obrotu i płaszczyznę Q sztywno połączoną z ciałem:
Prędkość kątowa to wartość charakteryzująca szybkość zmiany kąta obrotu.
Przyspieszenie kątowe to wielkość charakteryzująca szybkość zmiany prędkości kątowej.
Wyznaczanie prędkości dowolnego punktu figury płaskiej.
1 sposób określania prędkości - za pomocą wektorów. Prędkość dowolnego punktu figury płaskiej jest równa sumie geometrycznej prędkości bieguna i prędkości obrotowej tego punktu wokół bieguna. Zatem prędkość punktu B jest równa sumie geometrycznej prędkości bieguna A i prędkości obrotowej punktu B wokół bieguna:
2 sposób określenia prędkości - poprzez projekcję. (twierdzenie o rzutowaniu prędkości) Rzuty prędkości punktów figury płaskiej na oś przechodzącą przez te punkty są sobie równe.
3) Wzory do obliczania prędkości i przyspieszenia punktu z naturalnym sposobem wyznaczenia jego ruchu.
wektor prędkości; - Rzut prędkości na styczną;
Składowe wektora przyspieszenia; - rzuty przyspieszenia na osie t i n;
Zatem całkowite przyspieszenie punktu jest wektorową sumą dwóch przyspieszeń:
styczna, skierowana stycznie do trajektorii w kierunku zwiększania współrzędnej łuku, jeżeli (w przeciwnym razie - w przeciwnym kierunku) i
przyspieszenie normalne skierowane wzdłuż normalnej do stycznej w kierunku środka krzywizny (wklęsłość trajektorii): Moduł przyspieszenia całkowitego:
4) Wzory do obliczania prędkości i przyspieszenia punktu metodą współrzędnych wyznaczania jego ruchu we współrzędnych kartezjańskich.
Składowe wektora prędkości: - Rzuty prędkości na osie współrzędnych:
-składowe wektora przyspieszenia; -rzuty przyspieszenia na oś współrzędnych;
5) Ruch do przodu. Przykłady.
(suwak, tłok pompy, para kół lokomotywy parowej poruszającej się po torze prostym, kabina windy, drzwi przedziału, kabina diabelskiego młyna) - jest to taki ruch, w którym dowolna prosta sztywno połączona z ciało pozostaje równoległe do siebie. Zwykle ruch postępowy jest utożsamiany z ruchem prostoliniowym jego punktów, ale tak nie jest. Punkty i samo ciało (środek masy ciała) mogą poruszać się po trajektoriach krzywoliniowych, patrz na przykład ruch kabiny diabelskiego młyna. Innymi słowy, jest to ruch bez zakrętów.
Wykład 3. Płasko-równoległy ruch bryły sztywnej. Wyznaczanie prędkości i przyspieszeń.
Ten wykład obejmuje następujące pytania:
1. Płasko-równoległy ruch bryły sztywnej.
2. Równania ruchu płasko-równoległego.
3. Rozkład ruchu na ruch postępowy i obrotowy.
4. Wyznaczanie prędkości punktów figury płaskiej.
5. Twierdzenie o rzutach prędkości dwóch punktów ciała.
6. Wyznaczanie prędkości punktów figury płaskiej za pomocą chwilowego środka prędkości.
7. Rozwiązywanie zadań wyznaczania prędkości.
8. Plan prędkości.
9. Wyznaczanie przyspieszeń punktów figury płaskiej.
10. Rozwiązywanie problemów z przyspieszeniem.
11. Chwilowy środek przyspieszenia.
Badanie tych zagadnień jest niezbędne w przyszłości dla dynamiki ruchu płaskiego ciała sztywnego, dynamiki ruchu względnego punktu materialnego, dla rozwiązywania problemów z dyscyplin „Teoria maszyn i mechanizmów” oraz „Części maszyn ".
Płasko-równoległy ruch bryły sztywnej. Równania ruchu płasko-równoległego.
Rozkład ruchu na ruch postępowy i obrotowy
Płaszczyzna równoległa (lub płaska) to taki ruch ciała sztywnego, przy którym wszystkie jego punkty poruszają się równolegle do pewnej ustalonej płaszczyzny P(Rys. 28). Ruch płaski jest wykonywany przez wiele części mechanizmów i maszyn, np. koło toczące się po prostym odcinku toru, korbowód w mechanizmie korbowo-suwakowym itp. Szczególnym przypadkiem ruchu płasko-równoległego jest ruch obrotowy ciała sztywnego wokół stałej osi.
Ryc.28 Ryc.29
Rozważ sekcję S ciała jakiegoś samolotu oksy, równolegle do płaszczyzny P(rys. 29). Przy ruchu płasko-równoległym wszystkie punkty ciała leżą na linii prostej mm„prostopadle do strumienia”. S, czyli samoloty P, poruszać się identycznie.
Stąd dochodzimy do wniosku, że aby zbadać ruch całego ciała, wystarczy zbadać, jak porusza się ono w płaszczyźnie Ohu Sekcja S to ciało lub jakaś płaska figura S. Dlatego w przyszłości zamiast płaskiego ruchu ciała będziemy rozważać ruch płaskiej figury S w swojej płaszczyźnie, tj. w samolocie Ohu.
Pozycja figury S w samolocie Ohu jest określona przez położenie jakiegoś segmentu narysowanego na tej figurze AB(Rys. 28). Z kolei pozycja segmentu AB można określić znając współrzędne x A i y punkty ALE i kąt, który jest odcinkiem AB formy z osią X. Punkt ALE wybrany w celu określenia położenia figury S, będzie odtąd nazywany biegunem.
Podczas przesuwania liczby wielkości x A i y A i zmieni się. Znać prawo ruchu, czyli położenie figury na płaszczyźnie Ohu w dowolnym momencie musisz znać zależności
Równania, które określają prawo trwającego ruchu, nazywane są równaniami ruchu płaskiej figury w jej płaszczyźnie. Są to również równania ruchu płasko-równoległego ciała sztywnego.
Pierwsze dwa równania ruchu określają ruch, jaki wykonałaby figura, gdyby =const; będzie to oczywiście ruch translacyjny, w którym wszystkie punkty figury poruszają się w taki sam sposób jak biegun ALE. Trzecie równanie określa ruch, jaki wykonałaby figura w punkcie i , tj. kiedy słup ALE bez ruchu; będzie to obrót figury wokół bieguna ALE. Z tego możemy wywnioskować, że w ogólnym przypadku ruch figury płaskiej w jej płaszczyźnie można uważać za sumę ruchu postępowego, w którym wszystkie punkty figury poruszają się w taki sam sposób jak biegun ALE, oraz z ruchu obrotowego wokół tego bieguna.
Głównymi charakterystykami kinematycznymi rozważanego ruchu są prędkość i przyspieszenie ruchu postępowego, równe prędkości i przyspieszeniu bieguna, a także prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe ruchu obrotowego wokół bieguna.
Wyznaczanie prędkości punktów figury płaskiej
Zauważono, że ruch figury płaskiej można rozpatrywać jako sumę ruchu postępowego, w którym wszystkie punkty figury poruszają się z prędkością bieguna ALE, oraz z ruchu obrotowego wokół tego bieguna. Pokażmy, że prędkość dowolnego punktu M figury są tworzone geometrycznie na podstawie prędkości, jakie punkt otrzymuje w każdym z tych ruchów.
Rzeczywiście, położenie dowolnego punktu M figury definiowane są w odniesieniu do osi Ohu wektor promienia (ryc. 30), gdzie jest wektorem promienia bieguna ALE, - wektor określający położenie punktu M o osiach poruszających się wraz z biegunem ALE translacyjnie (ruch figury względem tych osi to obrót wokół bieguna ALE). Następnie