Otwarte wydarzenie z matematyki. Zagadki matematyczne Rozwiązywanie zadań do samodzielnej pracy
![Otwarte wydarzenie z matematyki. Zagadki matematyczne Rozwiązywanie zadań do samodzielnej pracy](https://i1.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_1.jpg)
podróż matematyczna
Oto pomysły i zadania,
Gry, żarty, wszystko dla Ciebie!
Życzymy powodzenia
Do pracy, baw się dobrze!
![](https://i1.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_1.jpg)
Do czapli siwej po lekcję Przybył 7 czterdzieści, I mają tylko 3 sroki przygotowane lekcje. Ile mokasynów - czterdzieści Przybyłeś na lekcję?
Dali dzieciom lekcję w szkole: Skakanie w terenie 40 czterdzieści, Dziesięciu wystartowało Usiadł na jodle. Ilu zostało w polu czterdziestu?
![](https://i2.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_2.jpg)
Jesteśmy dużą rodziną
Bardzo junior to ja.
Nie licz nas od razu:
Manya jest i Wania jest,
Jura, Szura, Klasza, Sasza
A Natasza też jest nasza.
Idziemy ulicą
Mówią, że to sierociniec.
Licz szybko
Ilu z nas jest dziećmi w rodzinie.
Mama pozwoli dzisiaj
Po szkole idę na spacer.
Nie jestem ani za dużo, ani za mało
Zostałem oznaczony...
![](https://i0.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_3.jpg)
Jest długi odcinek, jest krótszy,
Nawiasem mówiąc, rysujemy to za pomocą linijki.
Centymetry pięć - rozmiar,
To jest nazwane...
Składa się z punktu i linii.
Cóż, zgadnij, kim on jest?
Zdarza się, że w deszczu przebija się przez chmury.
Teraz zgadnij co? To...
![](https://i1.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_4.jpg)
Jeśli dwa obiekty są daleko od siebie,
Z łatwością obliczymy kilometry między nimi.
Szybkość, czas - znamy wartości,
Teraz mnożymy ich wartości.
Wynik całej naszej wiedzy -
policzone...
Jest dwunożny, ale kulawy
Rysuje tylko jedną nogą.
Stań na środku z drugą nogą,
Aby koło krzywej nie wyszło.
![](https://i1.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_5.jpg)
![](https://i0.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_6.jpg)
![](https://i0.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_7.jpg)
![](https://i0.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_8.jpg)
Metagramy
Pewne słowo jest zaszyfrowane w metagramie. Trzeba się domyślić. Następnie w odszyfrowanym słowie jedną ze wskazanych liter należy zastąpić inną literą, a znaczenie słowa ulegnie zmianie.
Nie jest bardzo małym gryzoniem,
Za trochę więcej wiewiórek.
I zamień „U” na „O” -
To będzie okrągła liczba.
Odpowiadać: Z w skała - z o głaz.
Z „Sh” - muszę policzyć,
Z „M” - przestępcy są okropni!
Odpowiadać: w jest - m jest
![](https://i1.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_9.jpg)
![](https://i2.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_10.jpg)
informacje wiedzą wszystko
Teraz niech wszyscy wiedzą Kto jest najmądrzejszy? Kto jest bardziej oczytany, mądrzejszy - Wygraj ten konkurs!
![](https://i1.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_11.jpg)
Stacja
"Musical"
![](https://i0.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_12.jpg)
Stacja
„Wyścigi matematyczne”
![](https://i0.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_13.jpg)
![](https://i0.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_14.jpg)
NAGRODZENIE
DZIĘKUJĘ WAM WSZYSTKIM! JESTEŚ WSPANIAŁY!
Powiedzmy, że nasze ciała poruszają się w tym samym kierunku. Jak myślisz, ile przypadków może dotyczyć takiego stanu? Właśnie, dwa.
Dlaczego tak jest? Jestem pewien, że po wszystkich przykładach łatwo dowiesz się, jak wyprowadzić te wzory.
Rozumiem? Bardzo dobrze! Czas rozwiązać problem.
Czwarte zadanie
Kola jedzie do pracy samochodem z prędkością km/h. Kolega Kola Wowa jedzie z prędkością km/h. Kolya mieszka w odległości km od Vova.
Ile czasu zajmie Vova wyprzedzenie Kolyi, jeśli opuszczą dom w tym samym czasie?
policzyłeś? Porównajmy odpowiedzi - okazało się, że Wowa dogoni Kolę w ciągu kilku godzin lub minut.
Porównajmy nasze rozwiązania...
Rysunek wygląda tak:
Podobny do twojego? Bardzo dobrze!
Ponieważ problem dotyczy tego, jak długo faceci spotkali się i wyjechali w tym samym czasie, czas podróży będzie taki sam, podobnie jak miejsce spotkania (na rysunku jest to zaznaczone kropką). Tworzenie równań, poświęć trochę czasu.
Więc Vova udał się na miejsce spotkania. Kolya udał się na miejsce spotkania. To jest jasne. Teraz mamy do czynienia z osią ruchu.
Zacznijmy od ścieżki, którą przeszedł Kolya. Jego ścieżka () jest pokazana jako segment na rysunku. A z czego składa się ścieżka Vova ()? Zgadza się, z sumy segmentów i, gdzie jest początkowa odległość między chłopakami, i jest równa ścieżce, którą zrobił Kolya.
Na podstawie tych wniosków otrzymujemy równanie:
Rozumiem? Jeśli nie, po prostu przeczytaj to równanie jeszcze raz i spójrz na punkty zaznaczone na osi. Rysowanie pomaga, prawda?
godziny lub minuty minuty.
Mam nadzieję, że w tym przykładzie rozumiesz, jak ważna jest rola dobrze wykonany rysunek!
I płynnie przechodzimy dalej, a raczej już przeszliśmy do kolejnego kroku w naszym algorytmie – sprowadzenia wszystkich wielkości do tego samego wymiaru.
Zasada trzech „P” – wymiar, rozsądek, kalkulacja.
Wymiar.
Nie zawsze w zadaniach podawany jest ten sam wymiar dla każdego uczestnika ruchu (jak to było w naszych zadaniach łatwych).
Na przykład można spotkać zadania, w których mówi się, że ciała poruszały się przez określoną liczbę minut, a prędkość ich ruchu jest wskazywana w km / h.
Nie możemy po prostu wziąć i podstawić wartości we wzorze - odpowiedź będzie błędna. Nawet jeśli chodzi o jednostki miary, nasza odpowiedź „nie przejdzie” testu na racjonalność. Porównywać:
Widzieć? Przy odpowiednim mnożeniu zmniejszamy również jednostki miary i odpowiednio otrzymujemy rozsądny i poprawny wynik.
A co się stanie, jeśli nie przełożymy na jeden system miar? Odpowiedź ma dziwny wymiar, a % to niepoprawny wynik.
Tak na wszelki wypadek przypomnę znaczenie podstawowych jednostek miary długości i czasu.
Jednostki długości:
centymetr = milimetry
decymetr = centymetry = milimetry
metr = decymetry = centymetry = milimetry
kilometr = metry
Jednostki czasu:
minuta = sekundy
godzina = minuty = sekundy
dni = godziny = minuty = sekundy
Rada: Przeliczając jednostki miary związane z czasem (minuty na godziny, godziny na sekundy itp.), wyobraź sobie tarczę zegara w swojej głowie. Gołym okiem widać, że minuty to jedna czwarta tarczy, tj. godziny, minuty to jedna trzecia tarczy, tj. godziny, a minuta to godzina.
A teraz bardzo proste zadanie:
Masza jechała na rowerze z domu do wsi z prędkością km/h przez kilka minut. Jaka jest odległość między domem samochodowym a wioską?
policzyłeś? Prawidłowa odpowiedź to km.
minuty to godzina, a kolejna minuta od godziny (mentalnie wyobraziłem sobie tarczę zegara i powiedziałem, że minuty to kwadrans), odpowiednio - min \u003d h.
Inteligencja.
Czy rozumiesz, że prędkość samochodu nie może wynosić km/h, chyba że mówimy oczywiście o samochodzie sportowym? Tym bardziej, że nie może być ujemna, prawda? Więc, rozsądek, o to chodzi)
Obliczenie.
Sprawdź, czy Twoje rozwiązanie „przechodzi” wymiar i sensowność, a dopiero potem sprawdź obliczenia. To jest logiczne - jeśli jest niezgodność z wymiarem i zasadnością, to łatwiej wszystko skreślić i zacząć szukać błędów logicznych i matematycznych.
„Miłość do stołów” lub „kiedy rysowanie to za mało”
Nie zawsze zadania związane z ruchem są tak proste, jak rozwiązaliśmy wcześniej. Bardzo często, aby poprawnie rozwiązać problem, trzeba nie tylko narysuj kompetentny rysunek, ale także zrób tabelę ze wszystkimi podanymi nam warunkami.
Pierwsze zadanie
Z punktu do punktu, którego odległość wynosi km, rowerzysta i motocyklista wyruszyli w tym samym czasie. Wiadomo, że motocyklista pokonuje więcej mil na godzinę niż rowerzysta.
Wyznacz prędkość rowerzysty, jeśli wiadomo, że dotarł do punktu minutę później niż motocyklista.
Oto takie zadanie. Weź się w garść i przeczytaj kilka razy. Czytać? Zacznij rysować - linia prosta, punkt, punkt, dwie strzałki ...
Ogólnie narysuj, a teraz porównajmy, co masz.
Trochę pusto, prawda? Rysujemy tabelę.
Jak pamiętacie, wszystkie zadania ruchowe składają się z komponentów: prędkość, czas i droga. To z tych wykresów będzie się składać każda tabela w takich problemach.
To prawda, dodamy jeszcze jedną kolumnę - Nazwa o którym piszemy informacje - motocyklista i rowerzysta.
Wskaż również w nagłówku wymiar, w którym wprowadzisz tam wartości. Pamiętasz, jakie to ważne, prawda?
Masz taki stół?
Teraz przeanalizujmy wszystko, co mamy, i równolegle wprowadźmy dane do tabeli i do rysunku.
Pierwszą rzeczą, którą mamy, jest ścieżka, którą przebył rowerzysta i motocyklista. Jest taki sam i równy km. Wprowadzamy!
Przyjmijmy prędkość rowerzysty jako, wtedy prędkość motocyklisty będzie ...
Jeśli rozwiązanie problemu nie działa z taką zmienną, to nic nie szkodzi, bierzemy kolejną, aż dojdziemy do zwycięskiej. Tak się dzieje, najważniejsze jest, aby się nie denerwować!
Stół się zmienił. Zostawiliśmy nie wypełnioną tylko jedną kolumnę - czas. Jak znaleźć czas, gdy istnieje droga i prędkość?
Zgadza się, podziel ścieżkę przez prędkość. Wpisz go do tabeli.
Tak więc nasza tabela została wypełniona, teraz możesz wprowadzić dane do rysunku.
Nad czym możemy się nad tym zastanowić?
Bardzo dobrze. Szybkość poruszania się motocyklisty i rowerzysty.
Przeczytajmy ponownie problem, spójrzmy na rysunek i wypełnioną tabelę.
Jakich danych nie ma w tabeli lub na rysunku?
Prawidłowy. Czas, o który motocyklista przybył wcześniej niż rowerzysta. Wiemy, że różnica czasu wynosi minuty.
Co powinniśmy zrobić dalej? Zgadza się, przelicz podany nam czas z minut na godziny, bo prędkość jest nam podawana w km/h.
Magia formuł: pisanie i rozwiązywanie równań - manipulacje prowadzące do jedynej poprawnej odpowiedzi.
Więc, jak już się domyśliłeś, teraz to zrobimy makijaż równanie.
Kompilacja równania:
Spójrz na swoją tabelę, na ostatni warunek, który nie został w niej uwzględniony, i zastanów się, jaki jest związek między tym, co i co możemy umieścić w równaniu?
Prawidłowo. Możemy ułożyć równanie na podstawie różnicy czasu!
Czy to logiczne? Rowerzysta przejechał więcej, jeśli od jego czasu odejmiemy czas motocyklisty, otrzymamy po prostu podaną nam różnicę.
To równanie jest racjonalne. Jeśli nie wiesz, co to jest, przeczytaj temat „”.
Sprowadzamy terminy do wspólnego mianownika:
Otwórzmy nawiasy i podaj podobne terminy: Uff! Rozumiem? Spróbuj swoich sił w kolejnym zadaniu.
Rozwiązanie równania:
Z tego równania otrzymujemy:
Otwórzmy nawiasy i przenieśmy wszystko na lewą stronę równania:
Voila! Mamy proste równanie kwadratowe. My decydujemy!
Otrzymaliśmy dwie odpowiedzi. Zobacz, po co mamy? Zgadza się, prędkość rowerzysty.
Przypominamy zasadę „3P”, a dokładniej „racjonalność”. Rozumiesz co mam na myśli? Dokładnie! Prędkość nie może być ujemna, więc naszą odpowiedzią jest km/h.
Drugie zadanie
Dwóch rowerzystów wyruszyło jednocześnie na 1-kilometrowy bieg. Pierwszy jechał z prędkością o 1 km/h większą od drugiego i dotarł do mety kilka godzin wcześniej niż drugi. Znajdź prędkość kolarza, który dojechał do mety jako drugi. Podaj odpowiedź w km/h.
Przypominam algorytm rozwiązania:
- Przeczytaj problem kilka razy - poznaj wszystkie szczegóły. Rozumiem?
- Zacznij rysować rysunek - w jakim kierunku się poruszają? jak daleko podróżowali? rysowałeś?
- Sprawdź, czy wszystkie wielkości, które posiadasz, są tego samego wymiaru i zacznij krótko zapisywać stan zadania, tworząc tabelę (pamiętasz, jakie tam są kolumny?).
- Pisząc to wszystko, zastanów się, za co się zabrać? Wybrałeś? Rekord w tabeli! Cóż, teraz to proste: tworzymy równanie i rozwiązujemy je. Tak, i wreszcie - pamiętaj o „3P”!
- Zrobiłem wszystko? Bardzo dobrze! Okazało się, że prędkość rowerzysty wynosi km/h.
-"Jakiego koloru jest twój samochód?" - "Ona jest piękna!" Poprawne odpowiedzi na pytania
Kontynuujmy naszą rozmowę. Jaka jest więc prędkość pierwszego rowerzysty? km/h? Naprawdę mam nadzieję, że nie kiwasz teraz twierdząco głową!
Przeczytaj uważnie pytanie: „Jaka jest prędkość pierwszy rowerzysta?
Rozumiem, co mam na myśli?
Dokładnie! Otrzymano jest nie zawsze odpowiedź na pytanie!
Przeczytaj uważnie pytania - być może po znalezieniu będziesz musiał wykonać jeszcze kilka manipulacji, na przykład dodać km / h, jak w naszym zadaniu.
Kolejna kwestia - często w zadaniach wszystko jest podawane w godzinach, a odpowiedź jest prośba o wyrażenie w minutach lub wszystkie dane są podawane w km, a odpowiedź jest prośba o zapisanie w metrach.
Spójrz na wymiar nie tylko podczas samego rozwiązania, ale także podczas zapisywania odpowiedzi.
Zadania do poruszania się w kole
Ciała w zadaniach niekoniecznie muszą poruszać się po linii prostej, ale także po okręgu, np. rowerzyści mogą jechać po torze okrężnym. Przyjrzyjmy się temu problemowi.
Zadanie 1
Rowerzysta opuścił punkt toru okrężnego. W ciągu kilku minut nie wrócił jeszcze do punktu kontrolnego, a motocyklista podążał za nim od punktu kontrolnego. Kilka minut po odjeździe dogonił kolarza po raz pierwszy, a kilka minut później dogonił go po raz drugi.
Znajdź prędkość rowerzysty, jeśli długość toru wynosi km. Podaj odpowiedź w km/h.
Rozwiązanie problemu nr 1
Spróbuj narysować ten problem i uzupełnij tabelę. Oto, co mi się przydarzyło:
Pomiędzy spotkaniami kolarz pokonywał dystans, a motocyklista -.
Ale w tym samym czasie motocyklista przejechał dokładnie jedno okrążenie więcej, co widać na rysunku:
Mam nadzieję, że rozumiecie, że tak naprawdę nie poruszali się po spirali – spirala tylko schematycznie pokazuje, że poruszają się po okręgu, mijając kilka razy te same punkty toru.
Rozumiem? Spróbuj samodzielnie rozwiązać następujące problemy:
Zadania do samodzielnej pracy:
- Dwa mo-to-tsik-li-setki start-to-tu-yut jeden-ale-czas-mężczyźni-ale w jednym-prawym-le-ni z dwóch dia-met-ral-ale pro-ty-w-po - fałszywe punkty trasy okrężnej, długość roju jest równa km. Po ilu minutach listy cykli po raz pierwszy są równe, jeśli prędkość jednego z nich jest o km / h większa niż prędkość drugiego?
- Z jednego punktu okrążenia autostrady długość jakiegoś roju jest równa km, w tym samym czasie w jednym prawym-le-ni jedzie dwóch motocyklistów. Prędkość pierwszego motocykla to km/h, a kilka minut po starcie wyprzedził drugiego motocykla o jedno okrążenie. Znajdź prędkość drugiego motocykla. Podaj odpowiedź w km/h.
Rozwiązywanie problemów do samodzielnej pracy:
- Niech km/h będzie prędkością pierwszej moto-do-cyklu-li-setki, to prędkość drugiego moto-do-cyklu-li-setki to km/h. Niech pierwsze listy cykli po raz pierwszy będą równe godzinom. Aby mo-the-cycle-li-stas było równe, należy je szybciej pokonać z dystansu początkowego, równego w lo-vi-nie długości trasy.
Otrzymujemy, że czas jest równy godzina = minuty.
- Niech prędkość drugiego motocykla wyniesie km/h. W ciągu godziny pierwszy motocykl przejechał odpowiednio o kilometr więcej niż drugi rój, otrzymujemy równanie:
Prędkość drugiego motocyklisty wynosi km/h.
Zadania na kurs
Skoro już jesteś dobry w rozwiązywaniu problemów „na lądzie”, przejdźmy do wody i przyjrzyjmy się strasznym problemom związanym z prądem.
Wyobraź sobie, że masz tratwę i spuszczasz ją do jeziora. Co się z nim dzieje? Prawidłowo. Stoi, bo jezioro, staw, kałuża to przecież woda stojąca.
Obecna prędkość w jeziorze wynosi .
Tratwa przesunie się tylko wtedy, gdy sam zaczniesz wiosłować. Szybkość, którą zyska, będzie własną prędkość tratwy. Bez względu na to, gdzie płyniesz - w lewo, w prawo, tratwa będzie poruszać się z taką samą prędkością, z jaką wiosłujesz. To jest jasne? To logiczne.
Teraz wyobraź sobie, że opuszczasz tratwę na rzekę, odwracasz się, żeby wziąć linę…, odwróć się, a on… odpłynął…
Dzieje się tak, ponieważ rzeka ma natężenie przepływu, który niesie twoją tratwę zgodnie z kierunkiem prądu.
Jednocześnie jego prędkość jest równa zeru (stoisz w szoku na brzegu i nie wiosłujesz) - porusza się z prędkością prądu.
Rozumiem?
Następnie odpowiedz na pytanie: „Jak szybko tratwa będzie płynąć po rzece, jeśli usiądziesz i wiosłujesz?” Myślący?
Możliwe są tu dwie opcje.
Opcja 1 - płyniesz z prądem.
A potem płyniesz z własną prędkością + prędkość prądu. Wydaje się, że prąd pomaga ci iść do przodu.
2. opcja - t Płyniesz pod prąd.
Ciężko? Zgadza się, ponieważ prąd próbuje cię „odrzucić”. Coraz bardziej starasz się przynajmniej pływać metrów, odpowiednio, prędkość, z jaką się poruszasz, jest równa twojej własnej prędkości - prędkości prądu.
Powiedzmy, że musisz przepłynąć milę. Kiedy pokonasz ten dystans szybciej? Kiedy pójdziesz z prądem lub pod prąd?
Rozwiążmy problem i sprawdźmy.
Dodajmy do naszej trasy dane o prędkości prądu - km/h oraz o prędkości własnej tratwy - km/h. Ile czasu spędzisz poruszając się z prądem i pod prąd?
Oczywiście łatwo poradziłeś sobie z tym zadaniem! W dół – godzinę, a pod prąd aż godzinę!
To jest cała esencja zadań na płynąć z prądem.
Skomplikujmy trochę zadanie.
Zadanie 1
Łódź z silnikiem przepłynęła z punktu do punktu w godzinę iz powrotem w godzinę.
Znajdź prędkość prądu, jeśli prędkość łodzi na stojącej wodzie wynosi km/h
Rozwiązanie problemu nr 1
Oznaczmy odległość między punktami jako, a prędkość prądu jako.
Ścieżka S | prędkość v, km/godz |
czas t, godziny |
|
A -> B (w górę rzeki) | 3 | ||
B -> A (w dół) | 2 |
Widzimy, że łódź porusza się odpowiednio po tej samej ścieżce:
Za co zapłaciliśmy?
Prędkość przepływu. Wtedy będzie odpowiedź :)
Prędkość prądu wynosi km/h.
Zadanie nr 2
Kajak płynął z punktu do punktu oddalonego o kilometr. Po godzinie postoju w punkcie kajak wyruszył i wrócił do punktu c.
Wyznacz (w km/h) prędkość własną kajaka, jeśli wiadomo, że prędkość rzeki wynosi km/h.
Rozwiązanie problemu nr 2
Więc zacznijmy. Przeczytaj kilka razy problem i narysuj obrazek. Myślę, że bez problemu poradzisz sobie z tym samodzielnie.
Czy wszystkie wielkości są wyrażone w tej samej formie? Nie. Czas odpoczynku podawany jest zarówno w godzinach, jak iw minutach.
Przeliczając to na godziny:
godziny minuty = godz.
Teraz wszystkie wielkości są wyrażone w jednej formie. Zacznijmy wypełniać tabelę i szukać tego, za co weźmiemy.
Niech będzie własną prędkością kajaka. Wtedy prędkość kajaka w dół jest równa i pod prąd jest równa.
Zapiszmy te dane, a także ścieżkę (jak rozumiesz, jest taka sama) i czas wyrażony jako droga i prędkość w tabeli:
Ścieżka S | prędkość v, km/godz |
czas t, godziny |
|
Pod prąd | 26 | ||
Z prądem | 26 |
Obliczmy, ile czasu kajak spędził na spływie:
Czy pływała przez całą dobę? Ponowne odczytanie zadania.
Nie, nie wszystkie. Odpoczynek miała odpowiednio godzinę minut, od której odejmujemy czas odpoczynku, który już przełożyliśmy na godziny:
h kajak naprawdę pływał.
Sprowadźmy wszystkie terminy do wspólnego mianownika:
Otwieramy nawiasy i podajemy podobne wyrazy. Następnie rozwiązujemy wynikowe równanie kwadratowe.
Dzięki temu myślę, że możesz sobie z tym poradzić samodzielnie. Jaką odpowiedź otrzymałeś? mam km/godz.
Podsumowując
![](https://i1.wp.com/youclever.org/book/website/youclever/var/custom/file/2014/06/241z-2.png)
POZIOM ZAAWANSOWANY
Zadania ruchowe. Przykłady
Rozważać przykłady z rozwiązaniamidla każdego rodzaju zadania.
poruszając się z prądem
Jedno z najprostszych zadań zadania dla ruchu na rzece. Cała ich istota jest następująca:
- jeśli poruszamy się z prądem, prędkość prądu jest dodawana do naszej prędkości;
- jeśli poruszamy się pod prąd, prędkość prądu jest odejmowana od naszej prędkości.
Przykład 1:
Łódź przepłynęła z punktu A do punktu B w ciągu kilku godzin iz powrotem w ciągu kilku godzin. Znajdź prędkość prądu, jeśli prędkość łodzi na stojącej wodzie wynosi km/h.
Rozwiązanie nr 1:
Oznaczmy odległość między punktami jako AB, a prędkość prądu jako.
Wszystkie dane z warunku wpiszemy do tabeli:
Ścieżka S | prędkość v, km/godz |
Czas t, godziny | |
A -> B (w górę rzeki) | AB | 50s | 5 |
B -> A (w dół) | AB | 50+x | 3 |
Dla każdego wiersza tej tabeli musisz napisać formułę:
W rzeczywistości nie musisz pisać równań dla każdego z wierszy w tabeli. Widzimy, że odległość przebyta przez łódź tam iz powrotem jest taka sama.
Możemy więc zrównać odległość. Aby to zrobić, natychmiast używamy formuła odległości:
Często konieczne jest użycie wzór na czas:
Przykład nr 2:
Łódź pokonuje odległość w km pod prąd o godzinę dłużej niż z prądem. Znajdź prędkość łodzi na stojącej wodzie, jeśli prędkość prądu wynosi km/h.
Rozwiązanie nr 2:
Spróbujmy napisać równanie. Czas w górę rzeki jest o godzinę dłuższy niż czas w dole rzeki.
Jest napisane tak:
Teraz zamiast za każdym razem podstawiamy formułę:
Otrzymaliśmy zwykłe racjonalne równanie, rozwiązujemy je:
Oczywiście prędkość nie może być liczbą ujemną, więc odpowiedzią jest km/h.
Ruch względny
Jeśli niektóre ciała poruszają się względem siebie, często przydatne jest obliczenie ich względnej prędkości. jest równe:
- suma prędkości, jeśli ciała zbliżają się do siebie;
- różnica prędkości, jeśli ciała poruszają się w tym samym kierunku.
Przykład 1
Z punktów A i B dwa samochody wyjechały jednocześnie naprzeciw siebie z prędkościami km/h i km/h. Za ile minut się spotkają? Jeśli odległość między punktami wynosi km?
I sposób rozwiązania:
Względna prędkość samochodów km/h. Oznacza to, że jeśli siedzimy w pierwszym samochodzie, to wydaje się on nieruchomy, ale drugi samochód zbliża się do nas z prędkością km/h. Ponieważ odległość między samochodami wynosi początkowo km, czas, po którym drugi samochód minie pierwszy:
Rozwiązanie 2:
Czas od rozpoczęcia ruchu do spotkania przy samochodach jest oczywiście taki sam. Wyznaczmy to. Potem pierwszy samochód przejechał drogę, a drugi -.
W sumie przejechali całe km. Oznacza,
Inne zadania ruchowe
Przykład 1:
Samochód wyjechał z punktu A do punktu B. Równocześnie z nim wyjechał inny samochód, który przejechał dokładnie połowę drogi z prędkością o km/h mniejszą niż pierwszy, a drugą połowę drogi przejechał z prędkością km/h.
W rezultacie samochody dojechały do punktu B w tym samym czasie.
Znajdź prędkość pierwszego samochodu, jeśli wiadomo, że jest większa niż km/h.
Rozwiązanie nr 1:
Po lewej stronie znaku równości piszemy czas pierwszego samochodu, a po prawej - drugiego:
Uprość wyrażenie po prawej stronie:
Każdy wyraz dzielimy przez AB:
Okazało się, że zwykłe racjonalne równanie. Rozwiązując go, otrzymujemy dwa pierwiastki:
Spośród nich tylko jeden jest większy.
Odpowiedź: km/godz.
Przykład nr 2
Rowerzysta opuścił punkt A toru okrężnego. Po kilku minutach nie wrócił jeszcze do punktu A, a z punktu A jechał za nim motocyklista. Kilka minut po odjeździe dogonił kolarza po raz pierwszy, a kilka minut później dogonił go po raz drugi. Znajdź prędkość rowerzysty, jeśli długość toru wynosi km. Podaj odpowiedź w km/h.
Rozwiązanie:
Tutaj zrównamy odległość.
Niech prędkość rowerzysty będzie, a prędkość motocyklisty -. Do momentu pierwszego spotkania rowerzysta był na drodze przez kilka minut, a motocyklista -.
W ten sposób pokonali równe odległości:
Pomiędzy spotkaniami kolarz pokonywał dystans, a motocyklista -. Ale w tym samym czasie motocyklista przejechał dokładnie jedno okrążenie więcej, co widać na rysunku:
Mam nadzieję, że rozumiecie, że tak naprawdę nie poruszali się po spirali – spirala tylko schematycznie pokazuje, że poruszają się po okręgu, mijając kilka razy te same punkty toru.
Otrzymane równania rozwiązujemy w układzie:
PODSUMOWANIE I PODSTAWOWA FORMUŁA
1. Podstawowa formuła
2. Ruch względny
- Jest to suma prędkości, jeśli ciała zbliżają się do siebie;
- różnica prędkości, jeśli ciała poruszają się w tym samym kierunku.
3. Poruszaj się z prądem:
- Jeśli poruszamy się z prądem, prędkość prądu jest dodawana do naszej prędkości;
- jeśli poruszamy się pod prąd, prędkość prądu jest odejmowana od prędkości.
Pomogliśmy Ci uporać się z zadaniami ruchu...
Teraz twoja kolej...
Jeśli dokładnie przeczytałeś tekst i sam rozwiązałeś wszystkie przykłady, jesteśmy gotowi argumentować, że wszystko zrozumiałeś.
A to już połowa drogi.
Napisz poniżej w komentarzach, czy wymyśliłeś zadania do ruchu?
Które sprawiają największą trudność?
Czy rozumiesz, że zadania do „pracy” to prawie to samo?
Napisz do nas i powodzenia na egzaminach!
Niech ruch pierwszego ciała będzie scharakteryzowany wartościami s 1 , v 1 , t 1 , a ruch drugiego ciała - s 2 , v 2 , t 2 . Taki ruch można przedstawić na schematycznym rysunku: v 1, t 1 t wbudowany. v2, t2
Jeśli dwa obiekty zaczną się jednocześnie zbliżać do siebie, to każdy z nich spędza tyle samo czasu od momentu ruchu do spotkania - czas spotkania, tj. t 1= t 2= t całk.
Nazywa się odległość, na jaką poruszające się obiekty zbliżają się do siebie w jednostce czasu prędkość zbliżania się, tych. v b. \u003d v 1 + v 2.
Odległość między ciałami można wyrazić następująco: s=s 1 + s 2.
Całkowitą drogę przebytą przez poruszające się ciała w nadjeżdżającym ruchu można obliczyć ze wzoru: s=v sbl. t int. .
Przykład. Rozwiążmy problem: „Dwóch pieszych jednocześnie wyszło naprzeciw siebie z dwóch punktów oddalonych od siebie o 18 km. Prędkość jednego z nich wynosi 5 km/h, drugiego 4 km/h. Za ile godzin się spotkają?
Rozwiązanie: Problem dotyczy ruchu w kierunku spotkania dwóch pieszych. Jeden jedzie z prędkością 5 km/h, drugi z prędkością 4 km/h. Trasa, którą mają do pokonania, wynosi 18 km. Należy znaleźć czas, po którym się spotkają, rozpoczynając ruch w tym samym czasie.
Członkowie ruchu | Prędkość | Czas | Dystans |
Pierwszy pieszy | 5km/godz | ?h - to samo | 18 km |
Drugi pieszy | 4km/godz |
Ponieważ znane są prędkości pieszych, możemy znaleźć ich prędkość zbliżania się: 5+4=9(km/h). Następnie, znając prędkość zbliżania się i odległość, jaką muszą pokonać, możesz znaleźć czas, po którym piesi się spotkają: 189=2(h).
Problemy ruchu dwóch ciał w tym samym kierunku.
Rozróżnia się dwa rodzaje takich zadań: 1) ruch rozpoczyna się jednocześnie z różnych punktów; 2) ruch rozpoczyna się w danym momencie od jednego punktu.
Niech ruch pierwszego ciała będzie scharakteryzowany wartościami s 1 , v 1 , t 1 , a ruch drugiego ciała - s 2 , v 2 , t 2 . Taki ruch można przedstawić na schematycznym rysunku:
v 1 , t 1 v 2 , t 2 t
Jeśli podczas ruchu w jednym kierunku pierwsze ciało dogania drugie, to v 1 v 2, dodatkowo w jednostce czasu pierwszy obiekt zbliża się do drugiego na odległość v 1 -v 2 . Ta odległość nazywa się prędkość zbliżania się: v sbl. =v 1 -v 2 .
Odległość między ciałami można wyrazić wzorami: s= s 1 - s 2 i s= v sbl. t int.
Przykład. Rozwiążmy problem: „Z dwóch punktów oddalonych od siebie o 30 km. Prędkość jednego wynosi 40 km/h, a drugiego 50 km/h. Po ilu godzinach drugi zawodnik wyprzedzi pierwszego?
Rozwiązanie: Problem dotyczy ruchu dwóch motocyklistów. Wyruszyli w tym samym czasie z różnych punktów oddalonych o 30 km.Prędkość jednego to 40 km/h, drugiego 50 km/h. Należy dowiedzieć się, za ile godzin drugi motocyklista dogoni pierwszego.
Modele pomocnicze mogą być różne - schematyczny rysunek (patrz wyżej) i tabela:
Znając prędkość obu motocyklistów, możesz poznać ich prędkość zbliżania się: 50-40=10(km/h). Następnie, znając prędkość zbliżania się i odległość między motocyklistami, obliczymy, w jakim czasie drugi motocyklista wyprzedzi pierwszego: 3010=3(h).
Podajmy przykład problemu opisującego drugą sytuację ruchu dwóch ciał w tym samym kierunku.
Przykład. Rozwiążmy problem: „Pociąg wyjechał z Moskwy o godzinie 7 z prędkością 60 km/h. O godzinie 13:00 następnego dnia samolot wystartował w tym samym kierunku z prędkością 780 km/h. Po jakim czasie samolot wyprzedzi pociąg?
Rozwiązanie: Problem dotyczy ruchu pociągu i samolotu w tym samym kierunku z tego samego punktu, ale w różnym czasie. Wiadomo, że prędkość pociągu to 60 km/h, prędkość samolotu to 780 km/h; pociąg odjeżdża o 7:00, a samolot o 13:00 następnego dnia. Należy dowiedzieć się, ile czasu zajmie samolotowi wyprzedzenie pociągu.
Z warunków zadania wynika, że do czasu startu samolotu pociąg przejechał pewną odległość. Jeśli zostanie znaleziony, to zadanie staje się podobne do poprzedniego zadania.
Aby znaleźć tę odległość, musisz obliczyć, jak długo pociąg był w drodze: 24-7 + 13 = 30 (h). Znając prędkość pociągu i czas, jaki był w drodze przed odlotem samolotu, można obliczyć odległość między pociągiem a samolotem: 6030=1800(km). Następnie znajdujemy prędkość zbliżania się pociągu i samolotu: 780-60=720(km/h). I dalej czas, po którym samolot dogoni pociąg: 1800720=2,5(h).
Zadania poruszania się ku sobie (nadjeżdżający ruch) to jeden z trzech głównych rodzajów zadań poruszania się.
Jeśli dwa obiekty zbliżają się do siebie, to zbliżają się do siebie:
Aby znaleźć prędkość zbliżania się dwóch obiektów zbliżających się do siebie, należy dodać ich prędkości:
Szybkość zbieżności jest większa niż prędkość każdego z nich.
Prędkość, czas i odległość są ze sobą powiązane:
Rozważmy kilka zadań dla nadjeżdżającego ruchu.
Zadanie 1
Dwóch rowerzystów jechało w swoją stronę. Prędkość jednego z dna wynosi 12 km/h, a drugiego 10 km/h. Po 3 godzinach spotkali się. Jaka była odległość między nimi na początku podróży?
Stan zadań dla ruchu jest wygodnie przedstawiony w formie tabeli:
1) 12+10=22 (km/h) prędkość zbliżania się rowerzysty
2) 22∙3=66 (km) znajdowało się między kolarzami na początku podróży.
Odpowiedź: 66 km.
Zadanie 2
Dwa pociągi jadą naprzeciw siebie. Prędkość jednego z nich wynosi 50 km/h, drugiego 60 km/h. Teraz między nimi 440 km. Za ile godzin się spotkają?
1) 60+50=110 (km/h) prędkość zbliżania się pociągu
2) 440:110=4 (h) czas, po którym pociągi się spotkają.
Odpowiedź: po 4 godzinach.
Zadanie 3.
Dwóch pieszych znajdowało się w odległości 20 km od siebie. Wyszli w tym samym czasie do siebie i spotkali się po 2 godzinach. Prędkość jednego pieszego wynosi 6 km/h. Znajdź prędkość innego pieszego.
ja pieszy |
|||
II pieszy |
1) 20:2=10 (km/h) prędkość zbliżania się pieszego
2) 10-6=4 (km/h) prędkość innego pieszego.
Odpowiedź: 4 km/h.