Pojęcie granicy i ciągłości funkcji. Granica i ciągłość. Ciągłość funkcji w punkcie i na przedziale
Ciągłość funkcji. Punkty przerwania.
Byk idzie, kołysze się, wzdycha w ruchu:
- Och, plansza się kończy, teraz upadnę!
W tej lekcji przeanalizujemy pojęcie ciągłości funkcji, klasyfikację punktów nieciągłości i powszechny problem praktyczny badanie funkcji na ciągłość. Z samego tytułu tematu wielu intuicyjnie domyśla się, o czym będzie mowa, i uważa, że \u200b\u200bmateriał jest dość prosty. To prawda. Ale to właśnie proste zadania są najczęściej karane za zaniedbanie i powierzchowne podejście do ich rozwiązywania. Dlatego zalecam uważne przestudiowanie artykułu i uchwycenie wszystkich subtelności i technik.
Co musisz wiedzieć i umieć? Nie bardzo. Aby dobrze się uczyć, musisz zrozumieć, co granica funkcji. Czytelnikom o niskim poziomie przygotowania wystarczy zrozumienie artykułu Granice funkcji. Przykłady rozwiązań i zobacz geometryczne znaczenie granicy w instrukcji Wykresy i własności funkcji elementarnych. Wskazane jest również zapoznanie się przekształcenia geometryczne grafów, ponieważ praktyka w większości przypadków polega na konstruowaniu rysunku. Perspektywy dla wszystkich są optymistyczne i nawet pełny czajnik będzie w stanie samodzielnie poradzić sobie z zadaniem w ciągu najbliższej godziny lub dwóch!
Ciągłość funkcji. Punkty przerwania i ich klasyfikacja
Pojęcie ciągłości funkcji
Rozważmy pewną funkcję ciągłą na całej linii rzeczywistej:
Lub, mówiąc bardziej zwięźle, nasza funkcja jest ciągła na (zbiorze liczb rzeczywistych).
Co to jest „filistyńskie” kryterium ciągłości? Jest oczywiste, że wykres funkcji ciągłej można narysować bez odrywania ołówka od kartki.
W takim przypadku należy wyraźnie rozróżnić dwa proste pojęcia: zakres funkcji oraz ciągłość funkcji. Ogólnie to nie to samo. Na przykład:
Ta funkcja jest zdefiniowana na całej osi liczbowej, to znaczy dla każdy wartość „x” ma swoją własną wartość „y”. W szczególności, jeśli , to . Zauważ, że druga kropka jest wykreślona, ponieważ z definicji funkcji wartość argumentu musi być zgodna Jedyną rzeczą wartość funkcji. W ten sposób, domena nasze cechy: .
Jednakże ta funkcja nie działa w sposób ciągły! Jest całkiem oczywiste, że w tym momencie ona wytrzymuje luka. Termin jest również dość zrozumiały i jasny, rzeczywiście, tutaj ołówek i tak trzeba będzie oderwać od papieru. Nieco później rozważymy klasyfikację punktów przerwania.
Ciągłość funkcji w punkcie i na przedziale
W konkretnym problemie matematycznym możemy mówić o ciągłości funkcji w punkcie, ciągłości funkcji na przedziale, półprzedziale lub ciągłości funkcji na odcinku. To znaczy, nie ma „tylko ciągłości”– funkcja może być ciągła GDZIEŚ. A podstawowa „cegła” wszystkiego innego jest ciągłość funkcji w punkcie .
Teoria analizy matematycznej definiuje ciągłość funkcji w punkcie za pomocą sąsiedztwa „delta” i „epsilon”, ale w praktyce stosuje się inną definicję, na którą zwrócimy szczególną uwagę.
Najpierw przypomnijmy jednostronne granice który pojawił się w naszym życiu na pierwszej lekcji o wykresach funkcji. Rozważ codzienną sytuację:
Jeśli zbliżamy się wzdłuż osi do punktu lewy(czerwona strzałka), wówczas odpowiednie wartości „gier” przejdą wzdłuż osi do punktu (strzałka malinowa). Matematycznie fakt ten jest ustalany za pomocą granica lewostronna:
Zwróć uwagę na wpis (jest tam napisane „x zmierza do ka od lewej”). Symbolizuje „dodatek” „minus zero”. , co zasadniczo oznacza, że zbliżamy się do liczby z lewej strony.
Podobnie, jeśli zbliżysz się do punktu „ka” po prawej(niebieska strzałka), wtedy „gry” osiągną tę samą wartość , ale wzdłuż zielonej strzałki i granica prawostronna zostanie sformatowany w następujący sposób:
„Suplement” symbolizuje , a wpis brzmi tak: „x dąży do ka z prawej strony”.
Jeśli granice jednostronne są skończone i równe(jak w naszym przypadku): , to powiemy, że istnieje granica OGÓLNA. To proste, całkowity limit to nasz „zwykły” granica funkcji równa liczbie końcowej.
Zauważ, że jeśli funkcja nie jest zdefiniowana w (wykreślić czarną kropkę na gałęzi wykresu), to wymienione obliczenia zachowują ważność. Jak wielokrotnie zauważono, w szczególności w artykule o funkcjach nieskończenie małych, wyrażenia oznaczają, że „x” nieskończenie blisko zbliża się do punktu , podczas gdy BEZ ZNACZENIA czy sama funkcja jest zdefiniowana w danym punkcie, czy nie. Dobry przykład można znaleźć w następnej sekcji, gdy funkcja jest analizowana.
Definicja: funkcja jest ciągła w punkcie, jeżeli granica funkcji w danym punkcie jest równa wartości funkcji w tym punkcie: .
Definicja jest uszczegółowiona w następujących terminach:
1) Funkcja musi być zdefiniowana w punkcie , czyli wartość musi istnieć.
2) Musi istnieć wspólna granica funkcji. Jak wspomniano powyżej, implikuje to istnienie i równość granic jednostronnych: .
3) Granica funkcji w danym punkcie musi być równa wartości funkcji w tym punkcie: .
Jeśli naruszone przynajmniej jeden trzech warunków, to funkcja traci własność ciągłości w punkcie .
Ciągłość funkcji na przedziale sformułował dowcipnie i bardzo prosto: funkcja jest ciągła na przedziale, jeśli jest ciągła w każdym punkcie danego przedziału.
W szczególności wiele funkcji jest ciągłych na nieskończonym przedziale, to znaczy na zbiorze liczb rzeczywistych. Jest to funkcja liniowa, wielomiany, wykładnik, sinus, cosinus itp. I ogólnie każdy funkcja elementarna ciągły na swoim domeny, więc na przykład funkcja logarytmiczna jest ciągła na przedziale . Mam nadzieję, że już wiesz, jak wyglądają wykresy głównych funkcji. Bardziej szczegółowe informacje na temat ich ciągłości można uzyskać od życzliwego człowieka o nazwisku Fichtenholtz.
Przy ciągłości funkcji na odcinku i półprzedziałach wszystko jest również proste, ale bardziej odpowiednie jest omówienie tego na lekcji na znalezieniu minimalnej i maksymalnej wartości funkcji na segmencie do tego czasu trzymajmy głowy nisko.
Klasyfikacja punktów przerwania
Fascynujące życie funkcji jest bogate w różnego rodzaju punkty szczególne, a punkty przełomowe to tylko jedna ze stron ich biografii.
Notatka : na wszelki wypadek zatrzymam się na elementarnym momencie: punktem krytycznym jest zawsze pojedyńczy punkt- nie ma „kilku punktów przerwania z rzędu”, czyli nie ma czegoś takiego jak „interwał przerwy”.
Punkty te z kolei dzielą się na dwie duże grupy: przerwy pierwszego rodzaju oraz przerwy drugiego rodzaju. Każdy rodzaj luki ma swoje charakterystyczne cechy, którym teraz się przyjrzymy:
Punkt nieciągłości pierwszego rodzaju
Jeśli warunek ciągłości jest w punkcie naruszony i jednostronne ograniczenia skończone , to się nazywa punkt krytyczny pierwszego rodzaju.
Zacznijmy od najbardziej optymistycznego przypadku. Zgodnie z pierwotnym zamysłem lekcji chciałem opowiedzieć teorię „ogólnie”, ale aby pokazać realność materiału, zdecydowałem się na wariant z konkretnymi aktorami.
Niestety niby zdjęcie nowożeńców na tle Wiecznego Płomienia, ale ogólnie przyjmuje się następujący kadr. Narysujmy wykres funkcji na rysunku:
Ta funkcja jest ciągła na całej osi liczbowej, z wyjątkiem punktu. Rzeczywiście, mianownik nie może być równy zeru. Jednak zgodnie ze znaczeniem limitu – możemy nieskończenie blisko zbliżaj się do „zera” zarówno z lewej, jak iz prawej strony, to znaczy istnieją jednostronne granice i oczywiście pokrywają się:
(Spełniony jest warunek ciągłości nr 2).
Ale funkcja nie jest zdefiniowana w punkcie , więc Warunek nr 1 ciągłości jest naruszony, a funkcja w tym punkcie zostaje przerwana.
Zerwanie tego rodzaju (z istniejącym limit ogólny) są nazywane naprawialna szczelina. Dlaczego wymienny? Ponieważ funkcja może przedefiniować w punkcie zerwania:
Czy to wygląda dziwnie? Może. Ale taki zapis funkcji nie zaprzecza niczemu! Teraz różnica jest naprawiona i wszyscy są zadowoleni:
Zróbmy formalną kontrolę:
2) – istnieje wspólna granica;
3)
Zatem wszystkie trzy warunki są spełnione, a funkcja jest ciągła w punkcie zgodnie z definicją ciągłości funkcji w punkcie.
Jednak nienawidzący matan mogą na przykład przedefiniować funkcję w zły sposób :
Co ciekawe, pierwsze dwa warunki ciągłości są tutaj spełnione:
1) - funkcja jest zdefiniowana w zadanym punkcie;
2) – istnieje wspólna granica.
Ale trzecia granica nie została przekroczona: , to znaczy granica funkcji w punkcie nie równe wartość danej funkcji w danym punkcie.
Zatem w pewnym momencie funkcja cierpi na nieciągłość.
Drugi, smutniejszy przypadek to tzw przerwa pierwszego rodzaju ze skokiem. A smutek wywołują jednostronne ograniczenia skończony i różny. Przykład pokazano na drugim rysunku lekcji. Luka ta występuje zwykle w funkcje fragmentaryczne już wspomniano w artykule. o przekształceniach wykresów.
Rozważ funkcję fragmentaryczną i wykonać jej rysunek. Jak zbudować wykres? Bardzo prosta. Na półprzedziale rysujemy fragment paraboli (kolor zielony), na odcinku odcinek prostej (kolor czerwony), a na półprzedziale linię prostą (kolor niebieski).
Jednocześnie ze względu na nierówność wartość określa się dla funkcji kwadratowej (zielona kropka), a ze względu na nierówność wartość określa się dla funkcji liniowej (niebieska kropka):
W najtrudniejszym przypadku należy zastosować konstrukcję punktową każdego fragmentu grafu (patrz pierwszy lekcja o wykresach funkcji).
Na razie interesuje nas tylko punkt. Sprawdźmy to pod kątem ciągłości:
2) Oblicz granice jednostronne.
Po lewej stronie mamy odcinek czerwonej linii, więc granica po lewej stronie to:
Po prawej stronie niebieska linia prosta i granica po prawej stronie:
W rezultacie, liczby skończone, i oni nie równe. Ponieważ jednostronne granice skończony i różny: , wtedy cierpi na tym nasza funkcja nieciągłość pierwszego rodzaju ze skokiem.
Logiczne jest, że luki nie można wyeliminować - funkcji tak naprawdę nie można dalej zdefiniować i „nie skleić”, jak w poprzednim przykładzie.
Punkty nieciągłości drugiego rodzaju
Zwykle wszystkie inne przypadki pęknięcia są sprytnie przypisywane do tej kategorii. Nie wymienię wszystkiego, bo w praktyce w 99% zadań z którymi się spotkasz niekończąca się przepaść- gdy jest leworęczny lub praworęczny, a częściej obie granice są nieskończone.
I, oczywiście, najbardziej oczywistym obrazem jest hiperbola na zero. Tutaj obie jednostronne granice są nieskończone: , dlatego funkcja cierpi na nieciągłość drugiego rodzaju w punkcie .
Staram się wypełniać moje artykuły jak najbardziej różnorodną treścią, więc spójrzmy na wykres funkcji, którego jeszcze nie widzieliśmy:
według standardowego schematu:
1) Funkcja nie jest w tym momencie zdefiniowana, ponieważ mianownik dąży do zera.
Oczywiście od razu można wywnioskować, że funkcja ma przerwę w punkcie , ale dobrze byłoby sklasyfikować charakter przerwy, co często jest wymagane przez warunek. Dla tego:
Przypominam, że zapis oznacza nieskończenie mała liczba ujemna, a pod wpisem - nieskończenie mała liczba dodatnia.
Granice jednostronne są nieskończone, co oznacza, że funkcja cierpi na nieciągłość drugiego rodzaju w punkcie . Oś Y jest pionowa asymptota dla wykresu.
Nierzadko istnieją obie jednostronne granice, ale tylko jedna z nich jest nieskończona, na przykład:
To jest wykres funkcji.
Badamy punkt ciągłości:
1) Funkcja nie jest w tym momencie zdefiniowana.
2) Oblicz granice jednostronne:
O metodologii obliczania takich jednostronnych granic porozmawiamy w dwóch ostatnich przykładach wykładu, chociaż wielu czytelników już wszystko widziało i domyśliło się.
Granica po lewej stronie jest skończona i równa zeru („nie idziemy do samego punktu”), ale granica po prawej stronie jest nieskończona, a pomarańczowa gałąź wykresu jest nieskończenie bliska swojej pionowa asymptota podane równaniem (czarna przerywana linia).
W ten sposób funkcja cierpi przerwa drugiego rodzaju W punkcie .
W przypadku nieciągłości I rodzaju funkcję można zdefiniować w samym punkcie nieciągłości. Na przykład dla funkcji odcinkowej odważnie umieść czarną pogrubioną kropkę na początku. Po prawej stronie znajduje się gałąź hiperboli, a granica po prawej stronie jest nieskończona. Myślę, że prawie każdy wyobrażał sobie, jak wygląda ten wykres.
Na co wszyscy czekali:
Jak zbadać ciągłość funkcji?
Badanie funkcji ciągłości w punkcie odbywa się zgodnie z już zrolowanym rutynowym schematem, który polega na sprawdzeniu trzech warunków ciągłości:
Przykład 1
Eksploruj funkcję
Rozwiązanie:
1) Jedyny punkt znajduje się pod celownikiem, gdzie funkcja nie jest zdefiniowana.
2) Oblicz granice jednostronne:
Granice jednostronne są skończone i równe.
Zatem w pewnym momencie funkcja cierpi na nieciągłość nieciągłą.
Jak wygląda wykres tej funkcji?
Chcę uprościć , i wydaje się, że jest to zwykła parabola. ALE oryginalna funkcja nie jest zdefiniowana w punkcie , więc wymagane jest następujące zastrzeżenie:
Wykonajmy rysunek:
Odpowiadać: funkcja jest ciągła na całej osi liczbowej, z wyjątkiem punktu, w którym występuje nieciągłość.
Funkcję można przedefiniować w dobry lub niezbyt dobry sposób, ale nie jest to wymagane przez warunek.
Mówisz, że przykład jest naciągany? Zupełnie nie. Zdarzyło się to w praktyce dziesiątki razy. Prawie wszystkie zadania strony pochodzą z prawdziwej niezależnej i kontrolnej pracy.
Podzielmy nasze ulubione moduły:
Przykład 2
Eksploruj funkcję dla ciągłości. Określ charakter przerw funkcji, jeśli występują. Wykonaj rysunek.
Rozwiązanie: z jakiegoś powodu uczniowie boją się i nie lubią funkcji z modułem, chociaż nie ma w nich nic skomplikowanego. Dotknęliśmy już takich rzeczy trochę podczas lekcji. Transformacje wykresów geometrycznych. Ponieważ moduł jest nieujemny, rozszerza się w następujący sposób: , gdzie „alfa” to jakieś wyrażenie. W tym przypadku , a nasza funkcja powinna podpisywać się fragmentarycznie:
Ale ułamki obu kawałków należy zmniejszyć o . Redukcja, podobnie jak w poprzednim przykładzie, nie pozostanie bez konsekwencji. Oryginalna funkcja nie jest zdefiniowana w punkcie, ponieważ mianownik znika. Dlatego system powinien dodatkowo określić warunek i uczynić pierwszą nierówność ścisłą:
A teraz BARDZO PRZYDATNA sztuczka: przed sfinalizowaniem zadania na szkicu warto wykonać rysunek (niezależnie od tego, czy wymaga tego warunek, czy nie). Pomoże to, po pierwsze, natychmiast zobaczyć punkty ciągłości i punkty przerwania, a po drugie, w 100% uchroni Cię przed błędami przy znajdowaniu jednostronnych granic.
Zróbmy sztuczkę. Zgodnie z naszymi obliczeniami, na lewo od punktu należy narysować fragment paraboli (kolor niebieski), a na prawo fragment paraboli (kolor czerwony), podczas gdy funkcja nie jest zdefiniowana w samym punkcie :
W razie wątpliwości weź kilka wartości „x” i wstaw je do funkcji (pamiętając, że moduł niszczy ewentualny znak minus) i sprawdź wykres.
Analizujemy ciągłość funkcji analitycznie:
1) Funkcja nie jest zdefiniowana w punkcie , więc od razu możemy powiedzieć, że nie jest w nim ciągła.
2) Ustalmy charakter nieciągłości, w tym celu obliczamy granice jednostronne:
Granice jednostronne są skończone i różne, co oznacza, że funkcja ma nieciągłość I rodzaju ze skokiem w punkcie . Ponownie zauważ, że przy znajdowaniu granic nie ma znaczenia, czy funkcja w punkcie przerwania jest zdefiniowana, czy nie.
Teraz pozostaje przenieść rysunek z szkicu (został wykonany niejako przy pomocy badań ;-)) i wykonać zadanie:
Odpowiadać: funkcja jest ciągła na całej osi liczbowej z wyjątkiem punktu, w którym występuje nieciągłość pierwszego rodzaju ze skokiem.
Czasami wymagane jest dodatkowe wskazanie skoku nieciągłości. Oblicza się elementarnie - lewą granicę należy odjąć od prawej granicy: , czyli w punkcie przerwania nasza funkcja przeskoczyła o 2 jednostki w dół (o czym mówi nam znak minus).
Przykład 3
Eksploruj funkcję dla ciągłości. Określ charakter przerw funkcji, jeśli występują. Narysuj coś.
To jest przykład samodzielnego rozwiązania, przykładowe rozwiązanie na końcu lekcji.
Przejdźmy do najpopularniejszej i najczęściej spotykanej wersji zadania, w której funkcja składa się z trzech elementów:
Przykład 4
Zbadaj ciągłość funkcji i sporządź wykres funkcji .
Rozwiązanie: jest oczywiste, że wszystkie trzy części funkcji są ciągłe w odpowiednich przedziałach, więc pozostaje sprawdzić tylko dwa punkty „przecięcia” między częściami. Najpierw zróbmy rysunek na szkicu, dość szczegółowo skomentowałem technikę budowy w pierwszej części artykułu. Wystarczy uważnie śledzić nasze punkty osobliwe: ze względu na nierówność wartość należy do linii prostej (zielona kropka), a ze względu na nierówność wartość należy do paraboli (czerwona kropka):
Cóż, w zasadzie wszystko jest jasne =) Pozostaje sporządzić decyzję. Standardowo dla każdego z dwóch punktów „stykowych” sprawdzamy 3 warunki ciągłości:
I) Badamy punkt pod kątem ciągłości
1)
Granice jednostronne są skończone i różne, co oznacza, że funkcja ma nieciągłość I rodzaju ze skokiem w punkcie .
Obliczmy skok nieciągłości jako różnicę między prawą a lewą granicą:
, czyli wykres podskoczył o jedną jednostkę w górę.
II) Badamy punkt pod kątem ciągłości
1) – funkcja jest zdefiniowana w zadanym punkcie.
2) Znajdź granice jednostronne:
– granice jednostronne są skończone i równe, więc istnieje granica wspólna.
3) – granica funkcji w punkcie jest równa wartości tej funkcji w danym punkcie.
Na ostatnim etapie przenosimy rysunek na czystą kopię, po czym umieszczamy końcowy akord:
Odpowiadać: funkcja jest ciągła na całej osi liczbowej, z wyjątkiem punktu, w którym występuje nieciągłość pierwszego rodzaju ze skokiem.
Przykład 5
Zbadaj ciągłość funkcji i zbuduj jej wykres .
To jest przykład samodzielnego rozwiązania, krótkie rozwiązanie i przybliżona próbka problemu na końcu lekcji.
Można odnieść wrażenie, że w jednym punkcie funkcja musi być koniecznie ciągła, aw innym musi koniecznie występować nieciągłość. W praktyce nie zawsze tak jest. Staraj się nie zaniedbywać pozostałych przykładów - będzie kilka interesujących i ważnych funkcji:
Przykład 6
Biorąc pod uwagę funkcję . Zbadaj ciągłość funkcji w punktach . Zbuduj wykres.
Rozwiązanie: i ponownie natychmiast wykonaj rysunek na szkicu:
Osobliwością tego wykresu jest to, że dla funkcji odcinkowej dane jest równanie osi odciętych. Tutaj ta sekcja jest narysowana na zielono, aw zeszycie jest zwykle odważnie podkreślona prostym ołówkiem. I oczywiście nie zapomnij o naszych owcach: wartość odnosi się do gałęzi stycznej (czerwona kropka), a wartość należy do linii prostej.
Z rysunku wszystko jest jasne - funkcja jest ciągła na całej osi liczbowej, pozostaje sporządzić rozwiązanie, które zostanie doprowadzone do pełnego automatyzmu dosłownie po 3-4 podobnych przykładach:
I) Badamy punkt pod kątem ciągłości
1) - funkcja jest zdefiniowana w zadanym punkcie.
2) Oblicz granice jednostronne:
, więc istnieje wspólna granica.
Dla każdego strażaka przypomnę banalny fakt: granica stałej jest równa samej stałej. W tym przypadku granica zera jest równa samemu zeru (granica po lewej stronie).
3) – granica funkcji w punkcie jest równa wartości tej funkcji w danym punkcie.
Zatem funkcja jest ciągła w punkcie zgodnie z definicją funkcji ciągłej w punkcie.
II) Badamy punkt pod kątem ciągłości
1) - funkcja jest zdefiniowana w zadanym punkcie.
2) Znajdź granice jednostronne:
I tutaj - granica jednostki jest równa samej jednostce.
– istnieje wspólna granica.
3) – granica funkcji w punkcie jest równa wartości tej funkcji w danym punkcie.
Zatem funkcja jest ciągła w punkcie zgodnie z definicją funkcji ciągłej w punkcie.
Jak zwykle po badaniu przenosimy nasz rysunek na czystą kopię.
Odpowiadać: funkcja jest ciągła w punktach .
Proszę zauważyć, że pod warunkiem, że nie pytano nas o badanie całej funkcji ciągłości, a za dobrą formę matematyczną uważa się formułowanie precyzyjne i jasne odpowiedz na zadane pytanie. Nawiasem mówiąc, jeśli zgodnie z warunkiem nie jest wymagane zbudowanie wykresu, to masz pełne prawo go nie budować (chociaż później nauczyciel może cię do tego zmusić).
Mały matematyczny „wzorzec” dla niezależnego rozwiązania:
Przykład 7
Biorąc pod uwagę funkcję . Zbadaj ciągłość funkcji w punktach . Klasyfikuj punkty przerwania, jeśli istnieją. Wykonaj rysunek.
Spróbuj poprawnie „wymówić” wszystkie „słowa” =) I dokładniej narysuj wykres, dokładność, nie będzie wszędzie zbyteczna ;-)
Jak pamiętacie, zaleciłem natychmiastowe narysowanie szkicu, ale od czasu do czasu zdarzają się takie przykłady, w których nie można od razu zorientować się, jak wygląda wykres. Dlatego w wielu przypadkach korzystne jest najpierw znalezienie granic jednostronnych, a dopiero potem na podstawie badania zobrazowanie gałęzi. W ostatnich dwóch przykładach poznamy również technikę obliczania pewnych granic jednostronnych:
Przykład 8
Zbadaj ciągłość funkcji i zbuduj jej schematyczny wykres.
Rozwiązanie: złe punkty są oczywiste: (obraca mianownik wykładnika do zera) i (obraca do zera mianownik całego ułamka). Nie jest jasne, jak wygląda wykres tej funkcji, co oznacza, że lepiej najpierw przeprowadzić badania.
Jeśli zestaw nie zawiera żadnych elementów, nazywa się go pusty zestaw i nagrany Ø .
Kwantyfikator istnienia
∃- kwantyfikator egzystencjalny, jest używane zamiast słów „istnieje”,
"do dyspozycji". Stosowana jest również kombinacja symboli ∃!, którą odczytuje się, ponieważ jest tylko jedna.
Całkowita wartość
Definicja. Wartość bezwzględna (moduł) liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, którą określa wzór:
Na przykład,
Właściwości modułu
Jeśli i są liczbami rzeczywistymi, to zachodzą następujące równości:
Funkcjonować
związek między dwiema lub więcej wielkościami, w którym każda wartość jednej wielkości, zwana argumentami funkcji, jest powiązana z wartościami innych wielkości, zwanych wartościami funkcji.
Zakres funkcji
Dziedziną funkcji są te wartości zmiennej niezależnej x, dla których wszystkie operacje zawarte w funkcji będą wykonywalne.
funkcja ciągła
Funkcję f(x) zdefiniowaną w jakimś sąsiedztwie punktu a nazywamy ciągłą w tym punkcie if
Sekwencje liczb
funkcja podglądu y= f(x), x O N,gdzie N oznacza zbiór liczb naturalnych (lub funkcję argumentu naturalnego), oznaczony y=f(n)lub y 1 ,y 2 ,…, y n,…. Wartości y 1 ,y 2 ,y 3 , ... nazywane są odpowiednio pierwszym, drugim, trzecim, ... elementem ciągu.
Granica funkcji argumentu ciągłego
Liczbę A nazywamy granicą funkcji y=f(x) dla x->x0, jeżeli dla wszystkich wartości x, które różnią się dostatecznie mało od liczby x0, odpowiednie wartości funkcji f(x ) różnią się arbitralnie niewiele od liczby A
funkcja nieskończenie mała
Funkcjonować y=f(x) nazywa nieskończenie mały w x→a albo kiedy x→∞ jeśli lub , tj. Funkcja nieskończenie mała to funkcja, której granica w danym punkcie wynosi zero.
Pojęcie granicy ciągu liczbowego
Przypomnijmy sobie najpierw definicję ciągu liczbowego.
Definicja 1
Odwzorowanie zbioru liczb naturalnych na zbiór liczb rzeczywistych nazywa się sekwencja numeryczna.
Pojęcie granicy ciągu liczbowego ma kilka podstawowych definicji:
- Liczbę rzeczywistą $a$ nazywamy granicą ciągu liczbowego $(x_n)$ jeśli dla dowolnego $\varepsilon >0$ istnieje indeks $N$ zależny od $\varepsilon$ taki, że dla dowolnego indeksu $n> N $ nierówność $\left|x_n-a\right|
- Liczbę rzeczywistą $a$ nazywamy granicą ciągu liczbowego $(x_n)$, jeśli w dowolnym sąsiedztwie punktu $a$ znajdują się wszystkie elementy ciągu $(x_n)$, z możliwym wyjątkiem skończonej liczby członkowie.
Rozważmy przykład obliczania wartości granicy ciągu liczbowego:
Przykład 1
Znajdź granicę $(\mathop(lim)_(n\to \infty ) \frac(n^2-3n+2)(2n^2-n-1)\ )$
Rozwiązanie:
Aby rozwiązać to zadanie, musimy najpierw usunąć nawiasy najwyższego stopnia zawarte w wyrażeniu:
$(\mathop(lim)_(n\to \infty )\frac(n^2-3n+2)(2n^2-n-1)\ )=(\mathop(lim)_(x\to \ infty ) \frac(n^2\left(1-\frac(3)(n)+\frac(2)(n^2)\right))(n^2\left(2-\frac(1) (n)-\frac(1)(n^2)\right))\ )=(\mathop(lim)_(n\to \infty ) \frac(1-\frac(3)(n)+\ frac(2)(n^2))(2-\frac(1)(n)-\frac(1)(n^2))\ )$
Jeśli mianownik jest nieskończenie dużą wartością, to cała granica dąży do zera, $\mathop(lim)_(n\to \infty )\frac(1)(n)=0$, korzystając z tego otrzymujemy:
$(\mathop(lim)_(n\to \infty ) \frac(1-\frac(3)(n)+\frac(2)(n^2))(2-\frac(1)(n )-\frac(1)(n^2))\ )=\frac(1-0+0)(2-0-0)=\frac(1)(2)$
Odpowiadać:$\frac(1)(2)$.
Pojęcie granicy funkcji w punkcie
Pojęcie granicy funkcji w punkcie ma dwie klasyczne definicje:
Definicja terminu „granica” według Cauchy'ego
Liczbę rzeczywistą $A$ nazywamy granicą funkcji $f\left(x\right)$ jako $x\do a$ jeśli dla dowolnego $\varepsilon > 0$ istnieje $\delta >0$ w zależności od $ \varepsilon $ takie, że dla dowolnego $x\in X^(\backslash a)$ spełniającego nierówność $\left|x-a\right|
Definicja Heinego
Liczbę rzeczywistą $A$ nazywamy granicą funkcji $f\left(x\right)$ dla $x\do a$, jeśli dla dowolnego ciągu $(x_n)\in X$ zbieżnego do $a$ ciąg wartości $f (x_n)$ zbiegają się do $A$.
Te dwie definicje są ze sobą powiązane.
Uwaga 1
Definicje granicy funkcji Cauchy'ego i Heinego są równoważne.
Oprócz klasycznych podejść do obliczania granic funkcji, przypomnijmy sobie wzory, które również mogą w tym pomóc.
Tabela funkcji równoważnych, gdy $x$ jest nieskończenie małe (zmierza do zera)
Jednym ze sposobów rozwiązywania ograniczeń jest zasada zastępowania przez równoważną funkcję. Poniżej przedstawiono tabelę funkcji równoważnych, aby z niej skorzystać, zamiast funkcji po prawej stronie należy wstawić do wyrażenia odpowiednią funkcję elementarną po lewej stronie.
Rysunek 1. Tabela równoważności funkcji. Author24 - internetowa wymiana prac studenckich
Ponadto, aby rozwiązać granice, których wartości są zredukowane do niepewności, można zastosować regułę L'Hospitala. W ogólnym przypadku niepewność postaci $\frac(0)(0)$ można ujawnić rozkładając licznik i mianownik na czynniki, a następnie redukując. Nieoznaczoność postaci $\frac(\infty )(\infty)$ można rozwiązać dzieląc wyrażenia w liczniku i mianowniku przez zmienną, przy której znajduje się największa potęga.
Niezwykłe limity
- Pierwsza godna uwagi granica:
$(\mathop(lim)_(x\do 0) \frac(sinx)(x)\ )=1$
- Drugi niezwykły limit:
$\mathop(lim)_(x\to 0)((1+x))^(\frac(1)(x))=e$
Specjalne limity
- Pierwszy specjalny limit:
$\mathop(lim)_(x\to 0)\frac(((log)_a (1+x-)\ ))(x)=((log)_a e\ )=\frac(1)(lna )$
- Drugi limit specjalny:
$\mathop(lim)_(x\do 0)\frac(a^x-1)(x)=lna$
- Trzeci limit specjalny:
$\mathop(lim)_(x\to 0)\frac(((1+x))^(\mu )-1)(x)=\mu $
Ciągłość funkcji
Definicja 2
Funkcję $f(x)$ nazywamy ciągłą w punkcie $x=x_0$, jeśli $\forall \varepsilon >(\rm 0)$ $\exists \delta (\varepsilon ,E_(0))>(\rm 0) $ takie, że $\left|f(x)-f(x_(0))\right|
Funkcja $f(x)$ jest ciągła w punkcie $x=x_0$, jeśli $\mathop((\rm lim\; ))\limits_((\rm x)\to (\rm x)_((\ rm 0 )) f(x)=f(x_(0))$.
Punkt $x_0\in X$ nazywany jest punktem nieciągłości pierwszego rodzaju, jeśli ma skończone granice $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )$, $(\mathop (lim) _(x\to x_0+0) f(x_0)\ )$, ale $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )=(\mathop(lim) _ (x\do x_0+0) f(x_0)\ )=f(x_0)$
Ponadto, jeśli $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )=(\mathop(lim)_(x\to x_0+0) f(x_0)\ )\ne f (x_0)$, to jest punkt przerwania i jeśli $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )\ne (\mathop(lim)_(x\to x_0+ 0) f(x_0)\ )$, a następnie punkt skoku funkcji.
Punkt $x_0\in X$ nazywany jest punktem nieciągłości drugiego rodzaju, jeśli zawiera przynajmniej jedną z granic $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )$, $(\mathop( lim)_(x\to x_0+0) f(x_0)\ )$ reprezentuje nieskończoność lub nie istnieje.
Przykład 2
Zbadaj ciągłość $y=\frac(2)(x)$
Rozwiązanie:
$(\mathop(lim)_(x\to 0-0) f(x)\ )=(\mathop(lim)_(x\to 0-0) \frac(2)(x)\ )=- \infty $ - funkcja ma punkt przerwania drugiego rodzaju.
Topologia to dział matematyki zajmujący się badaniem granic i ciągłości funkcji. Wraz z algebrą topologia stanowi ogólną podstawę matematyki.
Przestrzeń topologiczna lub figura - podzbiór naszej jednorodnej przestrzeni euklidesowej, między punktami których dana jest pewna relacja bliskości. Tutaj figury są traktowane nie jako sztywne bryły, ale jako przedmioty wykonane niejako z bardzo elastycznej gumy, pozwalającej na ciągłe odkształcanie, zachowującej swoje właściwości jakościowe.
Nazywa się ciągłe odwzorowanie figur jeden do jednego homeomorfizm. Innymi słowy, figury homeomorficzny, jeśli jeden można przekształcić w inny przez ciągłe odkształcanie.
Przykłady. Następujące figury są homeomorficzne (figury z różnych grup nie są homeomorficzne), pokazane na ryc. 2.
1. Segment i krzywa bez samoprzecięć.
2. Koło, kwadrat w środku, taśma.
3. Powierzchnia kuli, sześcianu i czworościanu.
4. Koło, elipsa i koło z węzłami.
5. Pierścień na płaszczyźnie (okrąg z otworem), pierścień w przestrzeni, pierścień dwukrotnie skręcony, powierzchnia boczna walca.
6. Wstęga Mobiusa, tj. raz skręcony pierścień i trzykrotnie skręcony pierścień.
7. Powierzchnia torusa (pączka), kula z uchwytem i torus zawiązany.
8. Kula z dwoma uchwytami i preclem z dwoma otworami.
W analizie matematycznej funkcje bada się metodą granic. Zmienna i granica to podstawowe pojęcia.
W różnych zjawiskach niektóre wielkości zachowują swoją wartość liczbową, inne się zmieniają. Nazywa się zbiór wszystkich wartości liczbowych zmiennej zakres tej zmiennej.
Spośród różnych sposobów zachowania się zmiennej najważniejszy jest ten, w którym zmienna dąży do określonej granicy.
stała liczba a nazywa zmienna x jeśli wartość bezwzględna różnicy między x oraz a() staje się w trakcie zmiany zmiennej x dowolnie małe:
Co oznacza „arbitralnie mały”? zmienny X dąży do granicy a, jeśli dla dowolnej dowolnie małej (arbitralnie małej) liczby istnieje taki moment w zmianie zmiennej X, począwszy od którego nierówność .
Definicja granicy ma proste geometryczne znaczenie: nierówność oznacza, że X znajduje się w sąsiedztwie punktu a, tych. w interwale .
Zatem definicję granicy można podać w postaci geometrycznej:
Numer a jest granicą zmiennej X, jeśli dla dowolnie małego (arbitralnie małego) -sąsiedztwa liczby a możesz określić taki moment przy zmianie zmiennej X, zaczynając od którego wszystkie jego wartości mieszczą się w określonym -sąsiedztwie punktu a.
Komentarz. zmienny X może zbliżać się do swojej granicy na różne sposoby: pozostając poniżej tej granicy (po lewej), bardziej (po prawej), oscylując wokół wartości granicy.
Granica sekwencji
Funkcjonować zwane prawem (regułą), zgodnie z którym każdy element x jakiś zestaw X pasuje do jednego elementu y zestawy Y.
Funkcję można zdefiniować na zbiorze wszystkich liczb naturalnych: . Taka funkcja nazywa się naturalna funkcja argumentu lub sekwencja numeryczna.
Ponieważ sekwencja, jak każdy zbiór nieskończony, nie może być określona przez wyliczenie, jest ona określona przez wspólnego członka: , gdzie jest wyrazem wspólnym ciągu.
Zmienna dyskretna jest wspólnym elementem sekwencji.
W przypadku sekwencji słowa „zaczynając się w pewnym momencie” oznaczają słowa „zaczynając się od pewnej liczby”.
Numer a nazywamy granicą ciągu , jeśli dla dowolnej dowolnie małej (arbitralnie małej) liczby istnieje taka liczba N, co dla wszystkich członków ciągu o numerze n>N nierówność .
lub w .
Geometrycznie definicja granicy ciągu oznacza: dla dowolnie małego (dowolnie małego) - sąsiedztwa liczby a istnieje taka liczba, że wszystkie wyrazy ciągu z większą niż N, liczby, należą do tego sąsiedztwa. Poza sąsiedztwem jest tylko skończona liczba wyrazów początkowych ciągu. Liczba naturalna N zależy od : .