Aksjomatyczne metody w matematyce. Aksjomatyczna konstrukcja systemu liczb naturalnych Definicja liczby naturalnej
![Aksjomatyczne metody w matematyce. Aksjomatyczna konstrukcja systemu liczb naturalnych Definicja liczby naturalnej](https://i1.wp.com/kto.guru/uploads/images/ob-aksiomaticheskom-sposobe-postroeniya-teorii_7.gif)
Umowa dotycząca korzystania z materiałów serwisu
Prosimy o korzystanie z prac opublikowanych w serwisie wyłącznie w celach osobistych. Publikowanie materiałów na innych stronach jest zabronione.
Ta praca (i wszystkie inne) jest dostępna do pobrania bezpłatnie. W myślach możesz podziękować jego autorowi i pracownikom serwisu.
Wyślij swoją dobrą pracę w bazie wiedzy jest prosta. Skorzystaj z poniższego formularza
Studenci, doktoranci, młodzi naukowcy, którzy korzystają z bazy wiedzy w swoich studiach i pracy, będą Wam bardzo wdzięczni.
Podobne dokumenty
Dodawanie i mnożenie liczb całkowitych p-adycznych, definiowane jako dodawanie i mnożenie sekwencji. Pierścień liczb całkowitych p-adycznych, badanie właściwości ich dzielenia. Wyjaśnienie tych liczb poprzez wprowadzenie nowych obiektów matematycznych.
praca semestralna, dodano 22.06.2015
Jak ludzie nauczyli się liczyć, pojawienie się liczb, liczb i systemów liczbowych. Tabliczka mnożenia na „palcach”: technika mnożenia dla liczb 9 i 8. Przykłady szybkiego liczenia. Sposoby mnożenia liczby dwucyfrowej przez 11, 111, 1111 itd. i trzycyfrowy numer przez 999.
praca semestralna, dodano 22.10.2011
Nowy sposób mnożenia liczb. Podobieństwo macierzy liczb utworzonej podczas obliczeń z trójkątem jest względne, ale nadal istnieje, zwłaszcza przy mnożeniu liczb trzycyfrowych i wyższych. macierz trójkątna.
artykuł, dodano 02.06.2005
streszczenie, dodano 13.01.2011
Charakterystyka historii badań nad znaczeniem liczb pierwszych w matematyce poprzez opisanie sposobu ich znajdowania. Wkład Pietra Cataldiego w rozwój teorii liczb pierwszych. Metoda Eratostenesa zestawiania tablic liczb pierwszych. Przyjazność liczb naturalnych.
test, dodano 24.12.2010
Zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych jako interpretowany podzbiór R. Podzielność w półgrupach multiplikatywnych. Struktura numerycznych NWD i LCM półgrup. Badanie multiplikatywnych półgrup nieujemnych liczb rzeczywistych z 0 i 1.
praca dyplomowa, dodano 27.05.2008
Własności liczb rzeczywistych, ich rola w rozwoju matematyki. Analiza konstrukcji zbioru liczb rzeczywistych w aspekcie historycznym. Podejścia do konstrukcji teorii liczb rzeczywistych wg Kantora, Weierstrassa, Dedekinda. Ich nauka w kursie szkolnym.
prezentacja, dodano 10.09.2011
Podstawowe elementy matematyki. Własności liczb naturalnych. Pojęcie teorii liczb. Ogólne własności porównań i równań algebraicznych. Operacje arytmetyczne z porównaniami. Podstawowe prawa arytmetyki. Sprawdzanie wyników operacji arytmetycznych.
praca semestralna, dodano 15.05.2015
Polisemia
Polisemia, czyli wieloznaczność słów, wynika z faktu, że język jest systemem ograniczonym w porównaniu z nieskończoną różnorodnością rzeczywistości, tak że, jak mówi akademik Winogradow, „Język jest zmuszony rozpowszechnić niezliczoną ilość znaczeń pod tym czy innym nagłówkiem podstawowych pojęć”. (Winogradow „Język rosyjski” 1947). Konieczne jest rozróżnienie między różnym użyciem słów w jednym wariancie leksyko-semantycznym a rzeczywistą różnicą słowa. Na przykład słowo (das)Ol może oznaczać wiele różnych olejów, z wyjątkiem krowiego (dla którego istnieje słowo masło). Nie wynika jednak z tego, że oznaczając różne oleje, słowo Ol będzie miało za każdym razem inne znaczenie: we wszystkich przypadkach będzie miało to samo znaczenie, a mianowicie olej (wszystko oprócz krowy). Jak również np. znaczenie słowa stół Tischa, niezależnie od tego, jaki stół słowo to oznacza w tym konkretnym przypadku. Inaczej jest, gdy słowo Ol oznacza olej. Tutaj na pierwszy plan wysuwa się już nie podobieństwo oleju pod względem smarności z różnymi gatunkami oleju, ale szczególna jakość oleju - palność. A jednocześnie słowa oznaczające różne rodzaje paliw będą już korelować ze słowem Ol: Kohl, Holz itp. Daje to możliwość wyróżnienia dwóch znaczeń od słowa Ol (lub innymi słowy dwóch wariantów leksykalno-semantycznych): 1) olej (nie zwierzę) 2) olej.
Zwykle nowe znaczenia powstają w wyniku przeniesienia jednego z istniejących słów na nowy przedmiot lub zjawisko. W ten sposób powstają wartości transferu. Opierają się albo na podobieństwie obiektów, albo na połączeniu jednego obiektu z drugim. Znanych jest kilka rodzajów transferów nazw. Najważniejszą z nich jest metafora lub metonimia.
W metaforze przeniesienie opiera się na podobieństwie rzeczy w kolorze, kształcie, ruchu i tak dalej. Przy wszystkich metaforycznych zmianach pozostaje jakiś ślad pierwotnej koncepcji
homonimia
Polisemia wyrazu jest tak dużym i wieloaspektowym problemem, że najrozmaitsze problemy leksykologii są z nią niejako związane. W szczególności problem homonimii styka się z tym problemem w niektórych jego aspektach.
Homonimy to słowa, które brzmią tak samo, ale mają różne znaczenia. Homonimy w niektórych przypadkach wynikają z ich polisemii, która uległa procesowi destrukcji. Ale homonimy mogą również powstać w wyniku przypadkowych zbiegów okoliczności dźwiękowych. Klucz, który otwiera drzwi, i klucz – sprężyna lub kosa – fryzura i kosa – narzędzie rolnicze – te słowa mają różne znaczenia i różne pochodzenie, ale przypadkowo zbiegają się w swoim brzmieniu.
Homonimy rozróżniają leksykalne (odnoszą się do jednej części mowy, np. klucz - otwiera zamek i klucz - sprężyna. źródło) morfologiczne (odnoszą się do różnych części mowy, np. trzy - cyfra, trzy - czasownik w trybie rozkazującym), leksykalno-gramatyczne, które powstają w wyniku konwersji, gdy dany wyraz przechodzi w inną część mowy. na przykład w ang. patrz-patrz i patrz-patrz. W języku angielskim występuje szczególnie wiele homonimów leksykalnych i gramatycznych.
Należy odróżnić homofony i homografy od homonimów. Różne słowa nazywane są homofonami, które różniąc się pisownią, pokrywają się wymową, na przykład: łuk - łąka, Seite - strona i Saite - sznurek.
Homografy to takie różne wyrazy, które zbiegają się w pisowni, choć inaczej się je wymawia (zarówno pod względem kompozycji dźwiękowej, jak i miejsca akcentu w wyrazie), np. Zamek – zamek.
Synonimia
Synonimy mają podobne znaczenie, ale inaczej brzmiące słowa, które wyrażają odcienie tego samego pojęcia.
Istnieją trzy rodzaje synonimów:
1. Konceptualny lub ideograficzny. Różnią się one od siebie znaczeniem leksykalnym. Różnica ta przejawia się w różnym stopniu oznaczanego znaku (mróz – zimny, mocny, potężny, potężny), w charakterze jego oznaczenia (kurtka pikowana – marynarka pikowana – marynarka pikowana), w objętości wyrażonej koncepcji (baner – flaga, bezczelny - pogrubiony), w stopniu powiązania wartości leksykalnych (brązowy - brązowy, czarny - czarny).
2. Synonimy są stylistyczne lub funkcjonalne. Różnią się od siebie sferą użytkowania, na przykład oczy - oczy, twarz - twarz, czoło - czoło. Synonimy emocjonalny - oceniający. Synonimy te otwarcie wyrażają stosunek mówiącego do wskazanej osoby, przedmiotu lub zjawiska. Na przykład dziecko można uroczyście nazwać dzieckiem, pieszczotliwie chłopcem i chłopczykiem, pogardliwie chłopcem i frajerem, a także dobitnie - pogardliwie szczeniakiem, frajerem, palantem.
3. Antonimy - kombinacje słów przeciwstawnych w znaczeniu leksykalnym, na przykład: góra - dół, biały - czarny, mów - milcz, głośno - cicho.
Antonimia
Istnieją trzy rodzaje antonimów:
1. Antonimy stopniowych i skoordynowanych przeciwieństw, na przykład biały - czarny, cichy - głośny, bliski - odległy, miły - zły i tak dalej. Antonimy te mają wspólne znaczenie, co pozwala na ich przeciwstawienie. Tak więc koncepcje czerni i bieli oznaczają przeciwne koncepcje kolorów.
2. Antonimy przeciwieństw dopełniających się i przewrotnych: wojna – pokój, mąż – żona, żonaty – wolny, może – nie może, zamknąć – otworzyć.
3. Antonimy dychotomicznego podziału pojęć. Często są to te same słowa źródłowe: folk - anty-ludzie, legal - nielegalne, humanitarne - nieludzkie.
Odsetki to także tzw. antonimia wewnątrzwyrazowa, kiedy przeciwstawia się znaczenie słów, które mają tę samą powłokę materialną. Na przykład w języku rosyjskim czasownik pożyczyć komuś pieniądze oznacza „pożyczyć”, a pożyczyć pieniądze od kogoś już oznacza pożyczyć pieniądze od kogoś. Wewnątrzwyrazowe przeciwstawienie znaczeń nazywa się enancjozemią.
6. Aksjomatyczna konstrukcja systemu liczb naturalnych. Aksjomatyczna metoda konstruowania teorii matematycznej. Wymagania stawiane systemowi aksjomatów: spójność, niezależność, kompletność. Aksjomatyka Peano. Pojęcie liczby naturalnej z pozycji aksjomatycznych. Modele systemu aksjomatów Peano. Dodawanie i mnożenie liczb naturalnych z pozycji aksjomatycznych. Porządkowanie zbioru liczb naturalnych. Własności zbioru liczb naturalnych. Odejmowanie i dzielenie zbioru liczb naturalnych od pozycji aksjomatycznych. Metoda indukcji matematycznej. Wprowadzenie zera i konstrukcja zbioru liczb całkowitych nieujemnych. Twierdzenie o dzieleniu z resztą.
Podstawowe pojęcia i definicje
Numer - jest to wyrażenie określonej wielkości.
Liczba naturalna element nieskończenie ciągłego ciągu.
Liczby naturalne (liczby naturalne) - liczby, które powstają naturalnie podczas liczenia (zarówno w sensie wyliczania, jak i rachunku różniczkowego).
Istnieją dwa podejścia do definicji liczb naturalnych - liczby używane w:
wyliczanie (numerowanie) pozycji (pierwsza, druga, trzecia, ...);
oznaczenie liczby sztuk (brak sztuk, jedna pozycja, dwie sztuki, ...).
Aksjomat - są to podstawowe punkty wyjścia (oczywiste zasady) określonej teorii, z których na drodze dedukcji, czyli środkami czysto logicznymi, wydobywa się całą pozostałą treść tej teorii.
Liczbę, która ma tylko dwa dzielniki (samą liczbę i jedynkę) nazywamy - prosty numer.
Liczba złożona to liczba, która ma więcej niż dwa dzielniki.
§2. Aksjomatyka liczby naturalnej
Liczby naturalne uzyskuje się przez liczenie obiektów i mierzenie wielkości. Ale jeśli podczas pomiaru pojawią się liczby inne niż naturalne, to wyliczenie prowadzi tylko do liczb naturalnych. Aby móc liczyć, potrzebujesz sekwencji liczb zaczynającej się od jedynki, która pozwala przechodzić od jednej liczby do drugiej tyle razy, ile to konieczne. Innymi słowy, potrzebujemy segmentu szeregu naturalnego. Dlatego przy rozwiązywaniu problemu uzasadnienia systemu liczb naturalnych należało przede wszystkim odpowiedzieć na pytanie, czym jest liczba jako element ciągu naturalnego. Odpowiedź na to pytanie została udzielona w pracach dwóch matematyków - niemiecki Grassmann i włoski Peano. Zaproponowali aksjomat, w którym liczba naturalna została uzasadniona jako element nieskończenie ciągłego ciągu.
Aksjomatyczna konstrukcja systemu liczb naturalnych odbywa się według sformułowanych reguł.
Pięć aksjomatów można postrzegać jako aksjomatyczną definicję podstawowych pojęć:
1 jest liczbą naturalną;
Następna liczba naturalna to liczba naturalna;
1 nie następuje po żadnej liczbie naturalnej;
Jeśli liczba naturalna a następuje po liczbie naturalnej b i dla liczby naturalnej Z, następnie b oraz Z identyczny;
Jeśli jakieś twierdzenie jest udowodnione dla 1 i jeśli z założenia, że jest prawdziwe dla liczby naturalnej n, wynika z tego, że jest to prawdziwe dla następującego n liczba naturalna, to twierdzenie to jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych.
Jednostka jest pierwszą liczbą szeregu naturalnego , a także jedną z cyfr w systemie dziesiętnym.
Uważa się, że oznaczenie jednostki dowolnej kategorii o tym samym znaku (dość zbliżonym do współczesnego) pojawiło się po raz pierwszy w starożytnym Babilonie około 2 tysięcy lat pne. mi.
Starożytni Grecy, którzy za liczby uważali tylko liczby naturalne, uważali każdą z nich za zbiór jednostek. Sama jednostka ma specjalne miejsce: nie była uważana za liczbę.
I. Newton napisał: „… przez liczbę rozumiemy nie tyle zbiór jednostek, ile abstrakcyjny stosunek jednej wielkości do innej wielkości, konwencjonalnie akceptowany przez nas jako jednostka”. W ten sposób jednostka zajęła już należne jej miejsce wśród innych liczb.
Operacje arytmetyczne na liczbach mają różne właściwości. Można je opisać słowami, na przykład: „Suma nie zmienia się od zmiany miejsc wyrazów”. Można zapisać literami: a+b = b+a. Można wyrazić w konkretnych terminach.
Podstawowe prawa arytmetyki stosujemy często z przyzwyczajenia, nie zdając sobie z tego sprawy:
1) prawo przemienności (przemienność), - właściwość dodawania i mnożenia liczb wyrażona tożsamościami:
a+b = b+a a*b = b*a;
2) prawo asocjacyjne (łączność), - właściwość dodawania i mnożenia liczb, wyrażona tożsamościami:
(a+b)+c = a+(b+c) (a*b)*c = a*(b*c);
3) prawo rozdzielności (rozdzielność), - właściwość łącząca dodawanie i mnożenie liczb i wyrażana tożsamościami:
a*(b+c) = a*b+a*c (b+c) *a = b*a+c*a.
Po udowodnieniu praw przemienności, asocjacji i rozdzielności (ze względu na dodawanie) działania mnożenia, dalsza konstrukcja teorii działań arytmetycznych na liczbach naturalnych nie nastręcza zasadniczych trudności.
Obecnie w umyśle lub na kartce wykonujemy tylko najprostsze obliczenia, coraz częściej powierzając bardziej złożone prace obliczeniowe kalkulatorom, komputerom. Jednak działanie wszystkich komputerów – prostych i złożonych – opiera się na najprostszej operacji – dodawaniu liczb naturalnych. Okazuje się, że najbardziej złożone obliczenia można sprowadzić do dodawania, tylko tę operację trzeba wykonać wiele milionów razy.
Aksjomatyczne metody w matematyce
Jedną z głównych przyczyn rozwoju logiki matematycznej jest powszechność metoda aksjomatyczna w konstrukcji różnych teorii matematycznych, przede wszystkim geometrii, a następnie arytmetyki, teorii grup itp. Metoda aksjomatyczna można zdefiniować jako teorię zbudowaną na wybranym z góry systemie niezdefiniowanych pojęć i relacji między nimi.
W aksjomatycznej konstrukcji teorii matematycznej z góry wybiera się pewien system nieokreślonych pojęć i relacji między nimi. Te pojęcia i relacje nazywane są podstawowymi. Przedstawiane są następne aksjomaty tych. główne założenia rozważanej teorii, przyjęte bez dowodu. Cała dalsza treść teorii wywodzi się logicznie z aksjomatów. Po raz pierwszy aksjomatyczna konstrukcja teorii matematycznej została podjęta przez Euklidesa w konstrukcji geometrii.
W aksjomatycznej konstrukcji każdej teorii matematycznej, pewne przepisy prawne:
niektóre koncepcje teorii są wybierane jako główne i przyjmowane bez definicji;
każde pojęcie teorii, którego nie ma na liście podstawowych, ma definicję;
formułowane są aksjomaty - zdania, które są przyjmowane w tej teorii bez dowodu; ujawniają właściwości podstawowych pojęć;
· każde zdanie teorii, którego nie ma na liście aksjomatów, musi zostać udowodnione; twierdzenia takie nazywane są twierdzeniami i są dowodzone na podstawie aksjomatów i teremów.
W aksjomatycznej konstrukcji teorii wszystkie twierdzenia wyprowadzane są z aksjomatów w drodze dowodu.
Dlatego system aksjomatów podlega szczególnemu wymagania:
Spójność (system aksjomatów nazywamy spójnym, jeśli nie można z niego logicznie wyprowadzić dwóch wzajemnie wykluczających się zdań);
niezależność (system aksjomatów nazywamy niezależnym, jeśli żaden z aksjomatów tego systemu nie jest konsekwencją innych aksjomatów).
Zbiór z daną relacją nazywamy modelem danego systemu aksjomatów, jeżeli wszystkie aksjomaty tego systemu są w nim spełnione.
Istnieje wiele sposobów konstruowania systemu aksjomatów dla zbioru liczb naturalnych. Za podstawowe pojęcie można przyjąć na przykład sumę liczb lub relację porządku. W każdym razie konieczne jest określenie systemu aksjomatów opisujących właściwości podstawowych pojęć.
Podajmy system aksjomatów, przyjmując podstawowe pojęcie operacji dodawania.
Niepusty zestaw N nazywamy zbiorem liczb naturalnych, jeśli operacja (a; b) → a + b, zwany dodawaniem i mający właściwości:
1. dodawanie jest przemienne, tj. za + b = b + za.
2. dodawanie jest asocjacyjne, tj. (za + b) + do = za + (b + do).
4. w dowolnym zestawie ALE, który jest podzbiorem zbioru N, gdzie ALE istnieje liczba a taka, że wszystko Ha, są równe a+b, gdzie bN.
Aksjomaty 1 - 4 wystarczą do skonstruowania całej arytmetyki liczb naturalnych. Ale przy takiej konstrukcji nie można już polegać na właściwościach zbiorów skończonych, które nie znajdują odzwierciedlenia w tych aksjomatach.
Za podstawowe pojęcie przyjmijmy relację „bezpośrednio podążaj…” zdefiniowaną na niepustym zbiorze N. Wtedy naturalnym szeregiem liczb będzie zbiór N, w którym zdefiniowana jest relacja „bezpośrednio następująca”, a wszystkie elementy N będą nazwane liczbami naturalnymi i spełnią się następujące warunki: Aksjomaty Peano:
AKJOM 1.
w mnóstwieNistnieje element, który nie następuje bezpośrednio po żadnym elemencie tego zestawu. Nazwiemy to jednostką i oznaczymy symbolem 1.
AKJOM 2.
Dla każdego elementu a zNwystępuje jeden element a bezpośrednio po a.
AKJOM 3.
Dla każdego elementu a zNistnieje co najwyżej jeden element, po którym bezpośrednio występuje a.
AKSOIM 4.
Dowolny podzbiór M zbioruNzbiega się zN, jeśli ma własności: 1) 1 jest zawarte w M; 2) z faktu, że a jest zawarte w M, wynika, że a jest również zawarte w M.
Wiele N, dla elementów, dla których ustanowiona jest relacja „natychmiast po…”, spełniająca aksjomaty 1 - 4, nazywana jest zbiór liczb naturalnych , a jego elementami są liczby naturalne.
Jeśli jako zestaw N wybrać jakiś konkretny zbiór, na którym dana jest określona relacja „bezpośrednio wynika…”, spełniająca aksjomaty 1 - 4, to otrzymujemy różne interpretacje (modele) dany systemy aksjomatów.
Model standardowy systemu aksjomatów Peano to szereg liczb, które powstały w procesie historycznego rozwoju społeczeństwa: 1, 2, 3, 4, 5, ...
Modelem aksjomatów Peano może być dowolny przeliczalny zbiór.
Na przykład I, II, III, III, ...
o o o o o o o...
jeden dwa trzy cztery, …
Rozważ sekwencję zestawów, w której zestaw (oo) jest elementem początkowym, a każdy kolejny zestaw uzyskuje się z poprzedniego poprzez przypisanie jeszcze jednego koła (ryc. 15).
Następnie N jest zbiorem składającym się ze zbiorów o opisanej postaci i jest modelem systemu aksjomatów Peano.
Rzeczywiście, w wielu N istnieje element (oo), który nie następuje bezpośrednio po żadnym elemencie danego zbioru, tj. obowiązuje aksjomat 1. Dla każdego zestawu ALE z rozważanego zestawu, uzyskuje się unikalny zestaw ALE dodając jedno kółko, tj. Zachodzi aksjomat 2. Dla każdego zestawu ALE istnieje co najwyżej jeden zbiór, z którego zbiór jest tworzony ALE dodając jedno kółko, tj. Zachodzi aksjomat 3. Jeżeli MN i wiadomo, że zestaw ALE zawarte w M, wynika z tego zbiór, w którym jest o jedno koło więcej niż w zbiorze ALE, jest również zawarte w M, następnie M =N, co oznacza, że Aksjomat 4 jest spełniony.
W definicji liczby naturalnej nie można pominąć żadnego z aksjomatów.
Ustalmy, który ze zbiorów przedstawionych na rys. 16 to model aksjomatów Peano.
|
![](https://i0.wp.com/kto.guru/uploads/images/ob-aksiomaticheskom-sposobe-postroeniya-teorii_9.gif)
Rozwiązanie. Rysunek 16 a) przedstawia zbiór, w którym spełnione są aksjomaty 2 i 3. Rzeczywiście, dla każdego elementu istnieje unikalny element, który następuje bezpośrednio po nim, i istnieje unikalny element, który następuje po nim. Ale aksjomat 1 nie obowiązuje w tym zbiorze (aksjomat 4 nie ma sensu, ponieważ w zbiorze nie ma elementu, który nie następuje bezpośrednio po żadnym innym). Dlatego ten zbiór nie jest modelem aksjomatów Peano.
Rysunek 16 b) przedstawia zbiór, w którym spełnione są aksjomaty 1, 3 i 4, ale za elementem a natychmiast następują dwa elementy, a nie jeden, jak wymaga tego aksjomat 2. Dlatego ten zbiór nie jest modelem aksjomatów Peano.
na ryc. 16 c) pokazuje zbiór, w którym spełnione są aksjomaty 1, 2, 4, ale element Z bezpośrednio następuje po dwóch elementach. Dlatego ten zbiór nie jest modelem aksjomatów Peano.
na ryc. 16 d) pokazuje zbiór, który spełnia aksjomaty 2, 3, a jeśli jako element początkowy przyjmiemy liczbę 5, to ten zbiór będzie spełniał aksjomaty 1 i 4. Oznacza to, że w tym zbiorze dla każdego elementu od razu jest jeden podąża za nim, i jest jeden element, który następuje. Istnieje również element, który nie następuje bezpośrednio po żadnym elemencie tego zestawu, jest to 5 , tych. Obowiązuje Aksjomat 1. Odpowiednio, obowiązuje również Aksjomat 4. Dlatego ten zestaw jest modelem aksjomatów Peano.
Korzystając z aksjomatów Peano, możemy udowodnić szereg stwierdzeń, np. udowodnić, że dla wszystkich liczb naturalnych nierówność x x.
Dowód. Oznacz przez ALE zbiór liczb naturalnych dla których a. Numer 1 należy ALE, ponieważ nie wynika z żadnej liczby N, a zatem nie następuje samo przez się: 1 1. Wynajmować aa, następnie a. Oznaczać a poprzez b. Na mocy aksjomatu 3, ab, tych. nocleg ze śniadaniem oraz bA.
W aksjomatycznej konstrukcji dowolnej teorii przestrzegane są pewne zasady:
niektóre koncepcje teorii są wybierane jako podstawowy, i są akceptowane bez definicji i nazywane są niezdefiniowanymi.
formułowane są aksjomaty - zdania, które są przyjmowane w tej teorii bez dowodu; ujawniają właściwości podstawowych pojęć;
podane jest każde pojęcie teorii, którego nie ma na liście podstawowych definicja, wyjaśnia jego znaczenie za pomocą pojęć podstawowych i poprzedzających;
każde zdanie teorii, którego nie ma na liście aksjomatów, musi zostać udowodnione; twierdzenia takie nazywane są twierdzeniami i dowodzą ich na podstawie aksjomatów i twierdzeń poprzedzających rozważane.
W aksjomatycznej konstrukcji teorii zasadniczo wszystkie twierdzenia są wyprowadzane przez dowód z aksjomatów. Dlatego na system aksjomatów nakładane są specjalne wymagania. Przede wszystkim musi być spójny i niezależny.
Nazywa się system aksjomatów spójny jeśli nie można z niego logicznie wydedukować dwóch wzajemnie wykluczających się zdań.
Nazywa się spójny system aksjomatów niezależny jeśli żaden z aksjomatów tego systemu nie jest konsekwencją innych aksjomatów tego systemu.
Aksjomaty z reguły są odzwierciedleniem wielowiekowej praktycznej działalności ludzi i to decyduje o ich ważności.
Za podstawowe pojęcie w aksjomatycznej konstrukcji arytmetyki liczb naturalnych przyjmuje się relację „bezpośrednio wynikającą”, daną na zbiorze niepustym N. Znane są również pojęcia zbioru, elementu zbioru i inne koncepcje mnogościowe oraz zasady logiki.
Element bezpośrednio następujący po elemencie a, wyznaczyć a". Istotę relacji „bezpośredniego podążania” ujawniają następujące aksjomaty zaproponowane przez włoskiego matematyka J. Peano w 1891 r.
Aksjomat 1. w mnóstwie N istnieje element, który nie następuje bezpośrednio po żadnym elemencie tego zestawu. Nazywa się to jednostką i jest oznaczane symbolem 1.
Aksjomat 2. Dla każdego elementu a z N jest tylko jeden element a", zaraz po a.
Aksjomat 3. Dla każdego elementu a z N występuje co najwyżej jeden element bezpośrednio po nim a.
Aksjomat 4. (Aksjomat indukcji). Dowolny podzbiór M zestawy N pokrywa się z N, jeśli ma następujące właściwości: 1) 1 jest zawarte w M; 2) z faktu, że dowolny element a zawarte w M, wynika, że i a" zawarte w M.
Sformułowane aksjomaty są często nazywane aksjomatami Peano, a czwarty aksjomat nazywany jest aksjomatem indukcji.
Zapiszmy te aksjomaty w formie symbolicznej.
ALE 1 )( 1 N)( a N)a" 1;
ALE 2 )( a N)( !b N)a"=b
ALE 3 ) ( a,b,Z N)с = a" с = b" a= b;
A4) M N 1 M (a M a" M) M=N
Korzystając z relacji „natychmiastowego podążania” i aksjomatów Peano 1-4, można podać następującą definicję liczby naturalnej.
Definicja 1. Zbiór N., dla którego elementów jest ustalona relacja „natychmiast”, który spełnia aksjomaty 1-4, nazywany jest zbiorem liczb naturalnych, a jego elementy liczby naturalne.
___________________________________________________________________
Definicja 2 . Jeśli liczba naturalnabnastępuje bezpośrednio po liczbie a, to liczba a nazywana jest bezpośrednio poprzedzającą (poprzedzającą) liczbęb.
______________________________________________________________________________________________
Twierdzenie 1. Jednostka nie ma poprzedzającej liczby naturalnej (prawdziwość twierdzenia wynika bezpośrednio z aksjomatu ALE 1 ).
Twierdzenie 2. Każda liczba naturalna a, inny niż jeden ma numer poprzedzający b , taki, że b " = a.
Definicja liczby naturalnej nie mówi nic o naturze elementów zbioru N. Więc może być kimkolwiek. Model standardowy systemu aksjomatów Peano to szereg liczb, które powstały w procesie historycznego rozwoju społeczeństwa:
1, 2, 3, 4, 5 ,..,
Każdy numer tej serii ma swoje własne oznaczenie i nazwę, które uznamy za znane.
Należy zauważyć, że w definicji liczby naturalnej nie można pominąć żadnego z aksjomatów.
1 a b c d
…
b
Ryż. 16 Ryż. 17
Zadanie 1.
Na rysunkach każdy element jest połączony strzałką z elementem następującym po nim.
Określ, które ze zbiorów przedstawionych na rysunkach 15 i 16 są modelami systemu aksjomatów Peano.
1. Na ryc. 16 pokazuje zbiór, w którym aksjomaty 2 i 3 są spełnione, ale aksjomat 1 nie jest spełniony.
Aksjomat 4 nie będzie miał sensu, ponieważ w zbiorze nie ma elementu, który nie następuje bezpośrednio po żadnym innym.
2. na ryc. 17 pokazuje zbiór, w którym spełnione są aksjomaty 1, 2, 3, ale nie jest spełniony aksjomat 4 - zbiór punktów leżących na półprostej zawiera 1, a wraz z każdą liczbą zawiera liczbę bezpośrednio po niej występującą, ale nie pokrywają się z całymi nastawami pokazanymi na rysunku. Wniosek: żaden z zestawów przedstawionych na ryc. 16 i 17 nie mogą być uważane za modele systemu aksjomatów Peano.
Zadanie 2.
Udowodnijmy, że każda liczba naturalna jest różna od następującej bezpośrednio po niej liczby naturalnej, tj. ( X )X X"
Dowód
Korzystamy z aksjomatu indukcji - ALE 4 .
Wynajmować M=(x/x , X X"}, dlatego . X M N.
Dowód składa się z dwóch części.
Udowodnijmy to 1 M, tych. 1 1" . Wynika to z ALE 1 .
Udowodnijmy to X M=> X" M. Wynajmować X M tych. X X". Udowodnijmy to X" M, tj. X" (X")". I aksjomaty ALE 3 powinien X" (X")". Rzeczywiście, wg ALE 3 , jeśli x" = (x")" to x = x" i ponieważ przez twierdzenie indukcyjne x M, wtedy x X", zatem dochodzimy do sprzeczności. Oznacza, X" (X")" , X" M.
Stosuje się tutaj zasadę kontrapozycji (PC), która jest szeroko stosowana w dowodach „przez sprzeczność”.
Więc mamy:
M N (1 M (x M => x " M)) M = N, tj. twierdzenie X x” jest prawdziwe dla dowolnej liczby naturalnej.
Pytania testowe
Jaka jest istota aksjomatycznej konstrukcji teorii?
Jakie są podstawowe pojęcia szkolnego kursu planimetrii. Zapamiętaj system aksjomatów tego kursu. Jakie właściwości pojęć są w nich opisane?
Sformułuj i zapisz w symbolicznej formie aksjomaty Peano. "
Sformułuj aksjomatyczną definicję liczby naturalnej.
Kontynuuj definicję liczby naturalnej: „Liczba naturalna jest elementem zbioru N,... » .
Podaj przykłady z podręczników do matematyki dla szkół podstawowych, w których:
a) nowa (dla uczniów) liczba stanowi kontynuację otrzymanego odcinka ciągu naturalnego;
b) ustalono, że bezpośrednio po każdej liczbie naturalnej występuje tylko jedna inna liczba naturalna.
Ćwiczenia
285. Elementami zbioru są grupy kresek (I, II, III, IIII,...). Czy ten zbiór spełnia aksjomaty Peano? Jak zdefiniowano tutaj, relacja „natychmiast podążać”. Rozważ te same pytania dla zestawu (0, 00, 000, 0000,...).
Ryż. 17
286. Na ryc. 17 a) każdy element jest połączony strzałką z elementem następującym po nim. Czy zbiór można uznać za model systemu aksjomatów Peano? Te same pytania dla zestawów na rysunkach 17 b), c), d).
287. Czy zbiór liczb (1, 2, 3 P, ...), jeśli następująca relacja jest w nim zdefiniowana w ten sposób:
1 3 5 7….
2 4 6 8….
288. Podaj przykłady zadań z podręczników do matematyki dla klas podstawowych, w których poprawność zadań wyjaśniają aksjomaty Peano.
Metoda aksjomatyczna w matematyce.
Podstawowe pojęcia i relacje aksjomatycznej teorii szeregów naturalnych. Definicja liczby naturalnej.
Dodawanie liczb naturalnych.
Mnożenie liczb naturalnych.
Własności zbioru liczb naturalnych
Odejmowanie i dzielenie liczb naturalnych.
Metoda aksjomatyczna w matematyce
W aksjomatycznej konstrukcji dowolnej teorii matematycznej, tzw pewne zasady:
1. Niektóre koncepcje teorii są wybrane jako poważny i akceptowane bez definicji.
2. sformułowane aksjomaty, które w tej teorii są przyjmowane bez dowodu, ujawniają własności podstawowych pojęć.
3. Podano każde pojęcie teorii, którego nie ma na liście podstawowych definicja, wyjaśnia jego znaczenie za pomocą głównego i poprzedzającego to pojęcia.
4. Każde zdanie teorii, którego nie ma na liście aksjomatów, musi zostać udowodnione. Takie propozycje to tzw twierdzenia i udowodnić je na podstawie aksjomatów i twierdzeń poprzedzających rozważane.
System aksjomatów powinien być:
a) spójne: musimy być pewni, że wyciągając wszelkiego rodzaju wnioski z danego systemu aksjomatów, nigdy nie dojdziemy do sprzeczności;
b) niezależny: żaden aksjomat nie powinien być konsekwencją innych aksjomatów tego systemu.
w) kompletny, jeśli w jego ramach zawsze można udowodnić albo dane zdanie, albo jego zaprzeczenie.
Przedstawienie geometrii przez Euklidesa w jego „Elementach” (III wiek pne) można uznać za pierwsze doświadczenie aksjomatycznej konstrukcji teorii. Znaczący wkład w rozwój aksjomatycznej metody konstruowania geometrii i algebry wniósł N.I. Łobaczewskiego i E. Galois. Pod koniec XIX wieku Włoski matematyk Peano opracował system aksjomatów dla arytmetyki.
Podstawowe pojęcia i relacje aksjomatycznej teorii liczb naturalnych. Definicja liczby naturalnej.
Jako pojęcie podstawowe (niezdefiniowane) w pewnym zbiorze N jest wybrany nastawienie , a także koncepcje mnogościowe i reguły logiki.
Element bezpośrednio następujący po elemencie a, wyznaczyć a".
Relacja „natychmiastowego podążania” spełnia następujące aksjomaty:
Aksjomaty Peano:
Aksjomat 1. w mnóstwie N istnieje element, bezpośrednio nie następny dla dowolnego elementu tego zestawu. Zadzwońmy do niego jednostka i symbolizować 1 .
Aksjomat 2. Dla każdego elementu a z N jest tylko jeden element a" zaraz po a .
Aksjomat 3. Dla każdego elementu a z N występuje co najwyżej jeden element bezpośrednio po nim a .
Aksjomat 4. Dowolny podzbiór M zestawy N zbiega się z N , jeśli ma właściwości: 1) 1 zawarte w M ; 2) z czego a zawarte w M , wynika, że i a" zawarte w M.
Definicja 1. Wiele N , dla których elementów ustalana jest zależność „bezpośrednio śledzić» który spełnia aksjomaty 1-4 nazywa się zbiór liczb naturalnych, a jego elementami są liczby naturalne.
Definicja ta nie mówi nic o naturze elementów zbioru N . Więc może być kimkolwiek. Wybór jako zestaw N jakiś szczególny zbiór, dla którego dana jest określona relacja „bezpośredniego naśladowania”, która spełnia aksjomaty 1-4, otrzymujemy model tego systemu aksjomaty.
Standardowym modelem systemu aksjomatów Peano jest szereg liczb, które powstały w procesie historycznego rozwoju społeczeństwa: 1,2,3,4, ... Szereg naturalny zaczyna się od liczby 1 (aksjomat 1); po każdej liczbie naturalnej następuje bezpośrednio pojedyncza liczba naturalna (aksjomat 2); każda liczba naturalna następuje bezpośrednio po najwyżej jednej liczbie naturalnej (aksjomat 3); zaczynając od liczby 1 i przechodząc do następujących po sobie liczb naturalnych, otrzymujemy cały zbiór tych liczb (aksjomat 4).
Rozpoczęliśmy więc aksjomatyczną konstrukcję systemu liczb naturalnych od wyboru głównej relacji „bezpośredniego śledzenia”. i aksjomaty opisujące jego właściwości. Dalsza konstrukcja teorii polega na rozważeniu znanych własności liczb naturalnych i działań na nich. Powinny być one ujawnione w definicjach i twierdzeniach, tj. wyprowadzone w sposób czysto logiczny z relacji „natychmiast następują” oraz aksjomaty 1-4.
Pierwszym pojęciem, które wprowadzamy po definicji liczby naturalnej jest nastawienie „bezpośrednio poprzedza” , który jest często używany przy rozważaniu właściwości szeregu naturalnego.
Definicja 2. Jeśli liczba naturalna b bezpośrednio następuje Liczba naturalna a, ten numer a nazywa Bezpośrednio poprzedzającym(lub poprzedni) liczba B .
Relacja „przed” ma w pobliżu nieruchomości.
Twierdzenie 1. Jeden nie ma poprzedzającej liczby naturalnej.
Twierdzenie 2. Każda liczba naturalna a, inny niż 1, ma jedną poprzedzającą liczbę b, takie że b"= a.
Aksjomatyczna konstrukcja teorii liczb naturalnych nie jest brana pod uwagę ani w szkole podstawowej, ani w szkole średniej. Jednak te właściwości relacji „bezpośredniego naśladowania”, które znajdują odzwierciedlenie w aksjomatach Peano, są przedmiotem badań na początkowym etapie matematyki. Już w pierwszej klasie, biorąc pod uwagę liczby pierwszej dziesiątki, okazuje się, jak można uzyskać każdą liczbę. Stosowane są terminy „podążaj” i „przed”. Każda nowa liczba działa jako kontynuacja badanego odcinka naturalnego szeregu liczb. Uczniowie są przekonani, że po każdej liczbie następuje następna, a ponadto tylko jedna, że naturalny ciąg liczb jest nieskończony.
Dodawanie liczb naturalnych
Zgodnie z zasadami konstruowania teorii aksjomatycznej, definicję dodawania liczb naturalnych należy wprowadzić tylko za pomocą relacji „bezpośrednio śledzić” i koncepcje "Liczba naturalna" oraz „poprzedni numer”.
Przedstawmy definicję dodawania następującymi uwagami. Jeśli dla dowolnej liczby naturalnej a dodaj 1, otrzymamy liczbę a", zaraz po a, tj. a+ 1= za" i stąd otrzymujemy regułę dodawania 1 do dowolnej liczby naturalnej. Ale jak dodać do liczby a Liczba naturalna b, różni się od 1? Skorzystajmy z następującego faktu: jeśli wiadomo, że 2 + 3 = 5, to suma 2 + 4 = 6, która następuje bezpośrednio po liczbie 5. Dzieje się tak, ponieważ w sumie 2 + 4 drugi wyraz jest liczbą bezpośrednio po numerze 3. Więc 2 + 4 = 2 + 3 " =(2+3)". Ogólnie rzecz biorąc, mamy , .
Fakty te leżą u podstaw definicji dodawania liczb naturalnych w teorii aksjomatycznej.
Definicja 3. Dodawanie liczb naturalnych jest operacją algebraiczną, która ma następujące własności:
Numer a + b nazywa suma liczb a oraz b , i same liczby a oraz b - semestry.