Porównanie modulo z liczbą naturalną. Rozwiązywanie porównań pierwszego stopnia Rozwiązywanie układu porównań modulo
![Porównanie modulo z liczbą naturalną. Rozwiązywanie porównań pierwszego stopnia Rozwiązywanie układu porównań modulo](https://i1.wp.com/helpiks.org/helpiksorg/baza6/90407071027.files/image574.gif)
Rozważ porównanie formy x 2 ≡a(mod p a), gdzie p jest prostą liczbą nieparzystą. Jak pokazano w sekcji 4 §4, rozwiązanie tej kongruencji można znaleźć, rozwiązując kongruencję x 2 ≡a(mod p). I porównanie x 2 ≡a(mod pα) będzie miał dwa rozwiązania, jeśli a jest kwadratową resztą modulo p.
Przykład:
Rozwiąż porównanie kwadratowe x 2 ≡86 (mod 125).
125 = 5 3 , 5 jest liczbą pierwszą. Sprawdźmy, czy 86 jest kwadratem modulo 5.
Oryginalne porównanie zawiera 2 rozwiązania.
Znajdźmy rozwiązanie porównawcze x 2 ≡86 (mod 5).
x 2 ≡1 (mod 5).
To porównanie można rozwiązać w sposób wskazany w poprzednim akapicie, ale wykorzystamy fakt, że pierwiastek kwadratowy z 1 modulo wynosi ±1, a porównanie ma dokładnie dwa rozwiązania. Zatem rozwiązaniem kongruencji modulo 5 jest
x≡ ± 1 (mod 5) lub inaczej x=±(1+5 t 1).
Podstaw wynikowe rozwiązanie w porównaniu modulo 5 2 =25:
x 2 ≡86 (mod 25)
x 2 ≡11 (mod 25)
(1+5t 1) 2 ≡11 (mod 25)
1+10t 1 +25t 1 2 ≡11 (mod 25)
10t 1 ≡10 (mod 25)
2t 1 ≡2 (mod 5)
t 1 ≡1 (mod 5) lub równoważnie, t 1 =1+5t 2 .
Wtedy rozwiązaniem kongruencji modulo 25 jest x=±(1+5(1+5 t 2))=±(6+25 t 2). Podstaw wynikowe rozwiązanie w porównaniu modulo 5 3 =125:
x 2 ≡86 (mod 125)
(6+25t 2) 2 ≡86 (mod 125)
36+12 25 t 2 +625t 2 2 ≡86 (mod 125)
12 25 t 2 ≡50 (mod 125)
12t 2 ≡2 (mod 5)
2t 2 ≡2 (mod 5)
t 2 ≡1 (mod 5), lub t 2 =1+5t 3 .
Wtedy rozwiązaniem porównania modulo 125 jest x=±(6+25(1+5 t 3))=±(31+125 t 3).
Odpowiadać: x≡ ± 31 (mod 125).
Rozważmy teraz porównanie formy x 2 ≡a(mod2α). Takie porównanie nie zawsze ma dwa rozwiązania. Dla takiego modułu możliwe są następujące przypadki:
1) α=1. Wtedy porównanie ma rozwiązanie tylko wtedy, gdy a≡1 (mod 2), a rozwiązaniem jest x≡1 (mod 2) (jedno rozwiązanie).
2) α=2. Porównanie ma rozwiązania tylko wtedy, gdy a≡1 (mod 4), a rozwiązaniem jest x≡ ± 1 (mod 4) (dwa rozwiązania).
3) α≥3. Porównanie ma rozwiązania tylko wtedy, gdy a≡1(mod 8) i będą cztery takie rozwiązania. Porównanie x 2 ≡a(mod 2 α) dla α≥3 rozwiązuje się w taki sam sposób jak porównania postaci x 2 ≡a(mod pα), tylko rozwiązania modulo 8 działają jako rozwiązanie początkowe: x≡ ± 1 (mod 8) i x≡ ± 3 (mod 8). Należy je porównać modulo 16, następnie modulo 32 i tak dalej, aż do modulo 2 α .
Przykład:
Rozwiąż porównanie x 2 ≡33 (mod 64)
64=26. Sprawdźmy, czy oryginalne porównanie ma rozwiązanie. 33≡1(mod 8), więc porównanie ma 4 rozwiązania.
Modulo 8 tymi rozwiązaniami będą: x≡ ± 1 (mod 8) i x≡ ± 3 (mod 8), co można przedstawić jako x=±(1+4 t jeden). Zastąp to wyrażenie w porównaniu modulo 16
x 2 ≡33 (mod 16)
(1+4t 1) 2 ≡1 (mod 16)
1+8t 1 +16t 1 2 ≡1 (mod 16)
8t 1 ≡0 (mod 16)
t 1 ≡0 (mod 2)
Wtedy rozwiązanie przybierze formę x=±(1+4 t 1)=±(1+4(0+2 t 2))=±(1+8 t 2). Zastąp otrzymane rozwiązanie modulo kongruencji 32:
x 2 ≡33 (mod 32)
(1+8t 2) 2 ≡1 (mod 32)
1+16t 2 +64t 2 2 ≡1 (mod 32)
16t 2 ≡0 (mod 32)
t 2 ≡0 (mod 2)
Wtedy rozwiązanie przybierze formę x=±(1+8 t 2) =±(1+8(0+2t 3)) =±(1+16 t 3). Podstaw wynikowe rozwiązanie w porównaniu modulo 64:
x 2 ≡33 (mod 64)
(1+16t 3) 2 ≡33 (mod 64)
1+32t 3 +256t 3 2 ≡33 (mod 64)
32t 3 ≡32 (mod 64)
t 3 ≡1 (mod 2)
Wtedy rozwiązanie przybierze formę x=±(1+16 t 3) =±(1+16(1+2t 4)) =±(17+32 t cztery). Tak więc, modulo 64, oryginalne porównanie ma cztery rozwiązania: x≡ ± 17 (mod 64) i x≡ ± 49 (mod 64).
Rozważmy teraz ogólne porównanie: x 2 ≡a(mod m), (a,m)=1, - kanoniczna dekompozycja modułu m. Zgodnie z Twierdzeniem z punktu 4 §4 porównanie to jest równoważne systemowi
Jeśli każde porównanie tego systemu jest rozstrzygalne, to cały system jest rozstrzygalny. Po znalezieniu rozwiązania każdego porównania tego układu otrzymujemy układ porównań pierwszego stopnia, rozwiązując go, korzystając z chińskiego twierdzenia o resztach, otrzymujemy rozwiązanie porównania pierwotnego. Co więcej, liczba różnych rozwiązań oryginalnego porównania (jeśli jest rozwiązywalne) wynosi 2 k, jeśli α=1, 2 k+1 jeśli α=2, 2 k+2 jeśli α≥3.
Przykład:
Rozwiąż porównanie x 2 ≡4 (mod 21).
Projekt matematyczny na ten temat
„Porównania modułowe”
Zaripova Aisylu
Rejon Sowiecki w mieście Kazań
MBOU „Liceum nr 166”, klasa 7a
Doradca naukowy: Antonova N.A.
Spis treści
Wstęp ________________________________________________________3
Czym są porównania __________________________________________4
Pojęcie porównań modulo ________________________________4
Historia powstania pojęcia porównań modulo ______4
Porównanie właściwości ________________________________________________4
Najprostszym zastosowaniem porównań modulo jest wyznaczenie podzielności liczb ______________________6
Jedno zadanie dla porównania _______________________________8
Wykorzystanie porównań modulo w czynnościach zawodowych ________________________________________________________9
Zastosowanie porównań do rozwiązywania problemów ______________________6
Podsumowanie______________________________________10
Spis piśmiennictwa _____________________________11
Wstęp.
R&D: Porównania modulo.
Problem: W ramach przygotowań do olimpiady wielu uczniów staje przed zadaniami, których rozwiązanie opiera się na znajomości reszt z dzielenia liczb całkowitych przez liczbę naturalną. Interesowały nas takie problemy i możliwe metody ich rozwiązania. Okazuje się, że można je rozwiązać za pomocą porównań modulo.
Cel: Wyjaśnienie istoty porównań modulo, głównych metod pracy z porównaniami modulo.
Zadania: znaleźć materiał teoretyczny na ten temat, rozważyć problemy rozwiązywane za pomocą porównań modulo, pokazać najczęstsze metody rozwiązywania takich problemów, wyciągnąć wnioski.
Przedmiot studiów: teoria liczb.
Przedmiot badań: teoria porównań modulo.
Praca należy do badań teoretycznych i może być wykorzystana w przygotowaniach do olimpiad matematycznych. W jego treści ujawniono podstawowe pojęcia porównań modulo i ich główne właściwości, podano przykłady rozwiązywania problemów na ten temat.
I . Czym są porównania.
Pojęcie porównań modulo.
O liczbach i mówi się, że są porównywalne modulo, jeśli są podzielne przez, innymi słowy, a i b mają taką samą resztę z dzielenia przez.
Przeznaczenie
Przykłady:
12 i 32 są porównywalne modulo 5, ponieważ 12 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2, a 32 przy dzieleniu przez 2 daje resztę 2. Jest napisane12 ;
101 i 17 są przystającymi modulo 21;
Historia pojęcia porównań modulo.
W dużej mierze teoria podzielności została stworzona przez Eulera. Definicja porównania została sformułowana w książce C.F. Gaussa „Arithmetic Research”. Dzieło to, napisane po łacinie, zaczęto drukować w 1797 r., Ale książka została opublikowana dopiero w 1801 r. Ze względu na fakt, że proces drukowania w tym czasie był niezwykle pracochłonny i długotrwały. Pierwsza część książki Gaussa nosi tytuł „O porównaniu liczb”. To Gauss zaproponował symbolikę porównań modulo, która została ustalona w matematyce.
Porównanie właściwości.
Jeśli
Dowód:
Jeśli dodamy drugi do pierwszego równania, otrzymamy
jest sumą dwóch liczb całkowitych, więc jest liczbą całkowitą, stąd.
Jeśli odejmiemy drugą od pierwszego równania, otrzymamy
jest różnicą dwóch liczb całkowitych, więc jest liczbą całkowitą.
Rozważ wyrażenie:
jest różnicą między iloczynami liczb całkowitych, więc jest liczbą całkowitą.
Wynika to z trzeciej właściwości porównań.
co było do okazania
5) Jeśli.
Dowód: Znajdźmy sumę tych dwóch wyrażeń:
jest sumą dwóch liczb całkowitych, więc jest liczbą całkowitą, stąd .
co było do okazania
6) Jeśli jest liczbą całkowitą, to
Dowód: gdziep- liczba całkowita, pomnóż tę równość przez, otrzymamy: . Ponieważ jest iloczynem liczb całkowitych, co należało udowodnić.
7) Jeśli
Dowód: Rozumowanie jest podobne do dowodu własności 6.
8) Jeśli - względnie pierwsze liczby
Dowód: , dzielimy to wyrażenie przez, otrzymujemy: - liczby względnie pierwsze, co oznacza, że jest podzielna przez liczbę całkowitą, tj. =. A to oznacza, że to, co należało udowodnić.
II . Zastosowanie porównań do rozwiązywania problemów.
2.1. Najprostszym zastosowaniem porównań modulo jest wyznaczenie podzielności liczb.
Przykład. Znajdź resztę z dzielenia 2 2009 w 7.
Rozwiązanie: Rozważ potęgi liczby 2:
Podnosząc porównanie do potęgi 668 i mnożąc przez, otrzymujemy: .
Odpowiedź: 4.
Przykład. Udowodnij, że 7+7 2 +7 3 +…+7 4 n podzielna przez 100 dla dowolnegonze zbioru liczb całkowitych.
Rozwiązanie: Rozważ porównania
itp. Cykliczność reszt wyjaśniają zasady mnożenia liczb przez kolumnę. Dodając pierwsze cztery porównania, otrzymujemy:
Więc ta suma jest podzielna przez 100 bez reszty. Podobnie, dodając kolejne porównania około czterech, otrzymujemy, że każda taka suma jest podzielna przez 100 bez reszty. Więc cała suma 4njest podzielna przez 100 bez reszty. co było do okazania
Przykład. Określ, w jakiej wartościnwyrażenie jest podzielne przez 19 bez reszty.
Rozwiązanie: .
Pomnóż to porównanie przez 20. Otrzymujemy.
Dodajmy zatem porównania. . Zatem prawa strona porównania jest zawsze podzielna przez 19 dla dowolnego naturalnegon, co oznacza, że oryginalne wyrażenie jest podzielne przez 19 z naturalnymn.
Odpowiadać n jest dowolną liczbą naturalną.
Przykład. Na jaką cyfrę kończy się liczba.
Rozwiązanie. Aby rozwiązać ten problem, będziemy śledzić tylko ostatnią cyfrę. Rozważ moce liczby 14:
Można zauważyć, że dla wykładnika nieparzystego wartość stopnia kończy się na 4, a dla wykładnika parzystego na 6. Wtedy kończy się na 6, tj. jest liczbą parzystą. Skończy się więc na 6.
Odpowiedź 6.
2.2. Jedno zadanie dla porównania.
Artykuł N. Vilenkina „Comparisons and Residue Classes” przedstawia problem, który słynny angielski fizyk Dirac rozwiązał w latach studenckich.
Istnieje również krótkie rozwiązanie tego problemu za pomocą porównań modulo. Ale spotkaliśmy się z wieloma podobnymi zadaniami. Na przykład.
Jeden z przechodniów znalazł kiść jabłek w pobliżu drzewa, na którym siedziała małpa. Po ich policzeniu zdał sobie sprawę, że jeśli 1 jabłko zostanie podane małpie, to liczba pozostałych jabłek zostanie podzielona przez n bez śladu. Dawszy małpie dodatkowe jabłko, wziął 1/ n pozostałe jabłka i w lewo. Później do stosu podszedł następny przechodzień, potem następny i tak dalej. Każdy kolejny przechodzień, licząc jabłka, zauważył, że ich liczba po podzieleniu przez n daje resztę 1 i dając małpie dodatkowe jabłko, wzięła 1 / n pozostałe jabłka i ruszyłem dalej. Po odejściu ostatniego n przechodzień, liczba jabłek pozostawionych w stosie jest podzielna przez n bez śladu. Ile jabłek było na początku w stosie?
Przeprowadzając to samo rozumowanie co Dirac, otrzymaliśmy ogólny wzór na rozwiązanie klasy podobnych problemów: , gdzien- Liczba naturalna.
2.3. Wykorzystanie porównań modulo w czynnościach zawodowych.
Teoria porównań jest wykorzystywana w teorii kodowania, więc wszystkie osoby, które wybiorą zawód związany z komputerami, będą studiować i ewentualnie stosować porównania w swojej działalności zawodowej. Na przykład, aby opracować algorytmy szyfrowania klucza publicznego, stosuje się szereg koncepcji teorii liczb, w tym porównania modulo.
Wniosek.
Artykuł przedstawia podstawowe pojęcia i właściwości porównań modulo, przykłady ilustrują zastosowanie porównań modulo. Materiał może być wykorzystany w przygotowaniach do olimpiad matematycznych oraz do Jednolitego Egzaminu Państwowego.
Powyższa lista literatury pozwala w razie potrzeby rozważyć bardziej złożone aspekty teorii porównań modulo i jej zastosowań.
Spis wykorzystanej literatury.
Alfutowa N.B. Algebra i teoria liczb./NBAlfutova, AVUstinov. M.: MTSNMO, 2002, 466 s.
Buksztab AA Teoria liczb. / AA Bukhshtab. Moskwa: Edukacja, 1960.
Vilenkin N. Porównania i klasy pozostałości./N.Vilenkin.//Kvant. – 1978.- 10.
Fiodorowa NE Nauka algebry i analizy matematycznej. klasa 10.http:// www. przysł. en/ ebooki/ Fiodorowa_ Algebra_10 kl/1/ xht
en. wikipedia. org/ wiki/Modulo_comparison.
W n dają taką samą resztę.
Równoważne sformułowania: aib porównywalne modulo n jeśli ich różnica a - b jest podzielna przez n lub jeśli a można przedstawić jako a = b + kn , gdzie k jest pewną liczbą całkowitą. Na przykład: 32 i −10 są przystające modulo 7, ponieważ
Stwierdzenie „a i b są przystające modulo n” jest zapisane jako:
Właściwości równości modulo
Relacja porównania modulo ma właściwości
Dowolne dwie liczby całkowite a oraz b są porównywalne modulo 1.
W kolejności numerów a oraz b były porównywalne modulo n, konieczne i wystarczające jest, aby ich różnica była podzielna przez n.
Jeśli liczby i są porównywalne parami modulo n, to ich sumy i , a także iloczyny i są również porównywalne modulo n.
Jeśli liczby a oraz b porównywalne modulo n, a następnie ich stopnie naukowe a k oraz b k są również porównywalne modulo n dla każdego naturalnego k.
Jeśli liczby a oraz b porównywalne modulo n, oraz n podzielony przez m, następnie a oraz b porównywalne modulo m.
W kolejności numerów a oraz b były porównywalne modulo n, reprezentowany jako jego kanoniczny rozkład na czynniki pierwsze p i
konieczne i wystarczające do
Relacja porównania jest relacją równoważności i ma wiele właściwości zwykłych równości. Na przykład można je dodawać i mnożyć: if
Porównania jednak, ogólnie rzecz biorąc, nie mogą być dzielone przez siebie lub przez inne liczby. Przykład: jednak zmniejszając o 2 otrzymujemy błędne porównanie: . Reguły redukcji dla porównań są następujące.
Nie można również wykonywać operacji na porównaniach, jeśli ich moduły nie są zgodne.
Inne właściwości:
Powiązane definicje
Klasy dedukcji
Zbiór wszystkich liczb porównywalnych do a modulo n nazywa klasa odliczeń a modulo n i jest zwykle oznaczane przez [ a] n lub . Zatem porównanie jest równoważne z równością klas reszt [a] n = [b] n .
Ponieważ porównanie modulo n jest relacją równoważności na zbiorze liczb całkowitych, a następnie klasami reszt modulo n są klasami równoważności; ich liczba to n. Zbiór wszystkich klas reszt modulo n oznaczony przez lub .
Operacje dodawania i mnożenia na indukują odpowiednie operacje na zbiorze:
[a] n + [b] n = [a + b] nW odniesieniu do tych operacji zbiór jest skończonym pierścieniem i jeśli n proste - końcowe pole .
Systemy odliczeń
System reszt umożliwia wykonywanie operacji arytmetycznych na skończonym zbiorze liczb bez wychodzenia poza niego. Kompletny system odliczeń modulo n to dowolny zbiór n liczb całkowitych, które są nieporównywalne modulo n. Zwykle jako kompletny system reszt modulo n przyjmuje się najmniejsze reszty nieujemne
0,1,...,n − 1lub absolutnie najmniejsze reszty składające się z liczb
,w przypadku nieparzystego n i liczby
w przypadku parzystego n .
Decyzja porównawcza
Porównania pierwszego stopnia
W teorii liczb, kryptografii i innych dziedzinach nauki często pojawia się problem znalezienia rozwiązań dla porównania pierwszego stopnia postaci:
Rozwiązanie takiego porównania zaczyna się od obliczenia gcd (a, m)=d. W takim przypadku możliwe są 2 przypadki:
- Jeśli b nie wielokrotność d, to porównanie nie ma rozwiązań.
- Jeśli b wiele d, to porównanie ma unikalne rozwiązanie modulo m / d lub, co jest tym samym, d rozwiązania modulo m. W tym przypadku w wyniku pomniejszenia pierwotnego porównania o d wyniki porównania:
gdzie a 1 = a / d , b 1 = b / d oraz m 1 = m / d są liczbami całkowitymi i a 1 i m 1 są względnie pierwsze. Dlatego liczba a 1 można odwrócić modulo m 1 , czyli znaleźć taką liczbę cże (innymi słowy ). Teraz rozwiązanie można znaleźć, mnożąc wynikowe porównanie przez c:
Kalkulacja wartości praktycznej c można to zrobić na różne sposoby: za pomocą twierdzenia Eulera, algorytmu Euklidesa, teorii ułamków ciągłych (patrz algorytm) itp. W szczególności twierdzenie Eulera pozwala zapisać wartość c jak:
Przykład
Dla porównania mamy d= 2 , więc modulo 22 porównanie ma dwa rozwiązania. Zamieńmy 26 na 4, co jest porównywalnym modulo 22, a następnie anulujmy wszystkie 3 liczby przez 2:
Ponieważ 2 jest względnie pierwsze z modulo 11, możemy zmniejszyć lewy i prawy bok o 2. W rezultacie otrzymujemy jedno rozwiązanie modulo 11: , co odpowiada dwóm rozwiązaniom modulo 22: .
Porównania drugiego stopnia
Rozwiązywanie porównań drugiego stopnia sprowadza się do stwierdzenia, czy dana liczba jest resztą kwadratową (za pomocą kwadratowego prawa wzajemności), a następnie obliczenia pierwiastka kwadratowego modulo this.
Fabuła
Chińskie twierdzenie o resztach, znane od wielu stuleci, stwierdza (we współczesnym języku matematycznym), że reszta pierścieniowa modulo iloczynu kilku liczb względnie pierwszych wynosi
Porównanie z jedną niewiadomą x ma formę
Gdzie . Jeśli a n niepodzielne przez m, to się nazywa stopień porównania.
Decyzja porównanie jest dowolną liczbą całkowitą x 0 , dla którego
Jeśli X 0 spełnia porównanie, to zgodnie z właściwością 9 porównań to porównanie spełni wszystkie liczby całkowite porównywalne z x 0 modulo m. Dlatego wszystkie rozwiązania porównawcze należą do tej samej klasy reszt modulo t, rozważymy jako jedno rozwiązanie. Zatem porównanie ma tyle rozwiązań, ile jest elementów pełnego systemu reszt, które je spełniają.
Nazywamy porównania, których zestawy rozwiązań są takie same równowartość.
2.2.1 Porównania pierwszego stopnia
Porównanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą X ma formę
(2.2)
Twierdzenie 2.4. Aby porównanie miało co najmniej jedno rozwiązanie, konieczna i wystarczająca jest liczba b podzielone przez NWD( a, m).
Dowód. Najpierw udowodnimy konieczność. Wynajmować d
=
NWD( a,
m)
oraz X 0
- rozwiązanie porównawcze. Następnie czyli różnica Oh 0
−
b
podzielony przez t. Istnieje więc liczba całkowita q,
Co Oh 0
−
b
=
qm.
Stąd b= ach 0
−
qm.
I od d,
jako wspólny dzielnik dzieli liczby a oraz t, następnie odliczanie i odejmowanie są dzielone przez d,
i stąd b
podzielony przez d.
Teraz udowodnijmy wystarczalność. Wynajmować d- największy wspólny dzielnik liczb a oraz t, oraz b podzielony przez d. Następnie, zgodnie z definicją podzielności, istnieją liczby całkowite a 1 , b 1 ,t 1 , Co .
Korzystając z rozszerzonego algorytmu Euclida, znajdujemy liniową reprezentację liczby 1 = gcd( a 1 , m 1 ):
dla niektórych x 0 , y 0 . Mnożymy obie części ostatniej równości przez b 1 d:
lub, co jest tym samym,
,
czyli , i jest rozwiązaniem porównania. □
Przykład 2.10. Porównanie 9 X= 6 (mod 12) ma rozwiązanie, ponieważ gcd(9, 12) = 3 i 6 jest podzielne przez 3. □
Przykład 2.11. Porównanie 6x= 9 (mod 12) nie ma rozwiązań, ponieważ gcd(6, 12) = 6 i 9 nie jest podzielne przez 6. □
Twierdzenie 2.5. Niech kongruencja (2.2) będzie rozstrzygalna i d = NWD( a, m). Wtedy zbiór rozwiązań porównania (2.2) składa się z d klasy reszt modulo t, mianowicie, jeśli X 0 jest jednym z rozwiązań, to wszystkie inne rozwiązania są
Dowód. Wynajmować X 0
jest rozwiązaniem porównania (2.2), tj. oraz ,
.
Więc jest taki q, Co Oh 0
−
b
=
qm.
Podstawiając teraz do ostatniej równości zamiast X 0
dowolne rozwiązanie formy, gdzie otrzymujemy wyrażenie
, podzielne przez m. □
Przykład 2.12. Porównanie 9 X=6 (mod 12) ma dokładnie trzy rozwiązania, ponieważ gcd(9, 12)=3. Te rozwiązania to: X 0 \u003d 2, x 0 + 4 \u003d 6, X 0 + 2∙4=10.□
Przykład 2.13. Porównanie 11 X=2 (mod 15) ma unikalne rozwiązanie X 0 = 7, ponieważ NWd(11,15)=1.□
Pokażmy, jak rozwiązać porównanie pierwszego stopnia. Bez utraty ogólności założymy, że NWD( a, t) = 1. Wtedy rozwiązania kongruencji (2.2) można szukać np. za pomocą algorytmu Euklidesa. Rzeczywiście, używając rozszerzonego algorytmu euklidesowego, przedstawiamy liczbę 1 jako liniową kombinację liczb a oraz t:
Pomnóż obie strony tego równania przez b, otrzymujemy: b = abq + mrb, gdzie abq - b = - mrb, to znaczy a ∙ (bq) = b(mod m) oraz bq jest rozwiązaniem porównania (2.2).
Innym sposobem rozwiązania jest użycie twierdzenia Eulera. Ponownie zakładamy, że NWD(a, t)= 1. Stosujemy twierdzenie Eulera: . Pomnóż obie strony porównania przez b:
.
Przepisanie ostatniego wyrażenia jako
, otrzymujemy, że jest to rozwiązanie kongruencji (2.2).
Niech teraz NWD( a, m) = d>1. Następnie a = atd, m = mtd, gdzie gcd( a 1 , m 1) = 1. Ponadto jest to konieczne b = b 1 d, aby porównanie było rozstrzygalne. Jeśli X 0 - rozwiązanie porównawcze a 1 x = b 1 (mod m 1) i jedyny, bo NWD( a 1 , m 1) = 1, zatem X 0 będzie decyzja i porównanie a 1 xdd = baza danych 1 (mod m 1), czyli oryginalne porównanie (2.2). Reszta d- 1 rozwiązania znajdują się na podstawie Twierdzenia 2.5.
Porównanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą ma postać:
f(x) 0 (mod m); f(X) = Oh + jakiś. (1)
Rozwiąż porównanie oznacza znalezienie wszystkich wartości x, które go spełniają. Nazywa się dwa porównania, które spełniają te same wartości x równowartość.
Jeśli porównanie (1) spełnia niektóre x = x 1, to (zgodnie z 49) wszystkie liczby porównywalne z x 1 , modulo m: x x 1 (mod m). Cała ta klasa liczb liczy się jako jedno rozwiązanie. Na podstawie tej umowy można wyciągnąć następujący wniosek.
66.S wyrównanie (1) będzie miał tyle rozwiązań, ile jest pozostałości kompletnego systemu, który go spełnia.
Przykład. Porównanie
6x– 4 0 (mod 8)
spośród liczb 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7 pełnego systemu reszt modulo 8, dwie liczby spełniają: X= 2 i X= 6. Dlatego to porównanie ma dwa rozwiązania:
x 2 (mod 8), X 6 (mod 8).
Porównanie pierwszego stopnia poprzez przeniesienie wyrazu wolnego (o przeciwnym znaku) na prawą stronę można sprowadzić do postaci
topór b(mod m). (2)
Rozważ porównanie, które spełnia warunek ( a, m) = 1.
Według 66 nasze porównanie ma tyle rozwiązań, ile jest pozostałości kompletnego systemu, który je spełnia. Ale kiedy x przebiega przez cały system reszt modulo t, następnie Oh przebiega przez pełny system odliczeń (z 60). Dlatego dla jednej i tylko jednej wartości X, pobierane z całego systemu, Oh będzie porównywalny b. Więc,
67. Dla (a, m) = 1 ax porównania b(mod m)ma jedno rozwiązanie.
Niech teraz ( a, m) = d> 1. Zatem, aby porównanie (2) miało rozwiązania, konieczne jest (spośród 55) to b podzielone na d, w przeciwnym razie porównanie (2) jest niemożliwe dla dowolnej liczby całkowitej x . Zakładając więc b wiele d, włóżmy a = a 1 d, b = b 1 d, m = m 1 d. Wtedy porównanie (2) będzie równoważne temu (pomniejszone o d): a 1 x b 1 (mod m), w którym już ( a 1 , m 1) = 1, a zatem będzie miał jedno rozwiązanie modulo m jeden . Wynajmować X 1 jest najmniejszą nieujemną resztą tego roztworu modulo m 1 , wtedy wszystkie liczby x , tworzące to rozwiązanie można znaleźć w formularzu
x x 1 (mod m 1). (3)
Modulo, liczby (3) tworzą nie jedno rozwiązanie, ale więcej, dokładnie tyle rozwiązań, ile jest liczb (3) w szeregu 0, 1, 2, ..., m 1 najmniejsza nieujemna reszta modulo m. Ale tutaj spadną następujące liczby (3):
x 1 , x 1 + m 1 , x 1 + 2m 1 , ..., x 1 + (d – 1) m 1 ,
tych. Całkowity d liczby (3); stąd porównanie (2) ma d rozwiązania.
Otrzymujemy twierdzenie:
68. Niech (a, m) = d. topór porównawczy b ( mod m) niemożliwe, jeśli b nie jest podzielne przez d. Kiedy b jest wielokrotnością d, porównanie ma d rozwiązań.
69. Metoda rozwiązywania porównania pierwszego stopnia, oparta na teorii ułamków ciągłych:
Rozwinięcie na ułamek ciągły współczynnika mama,
i biorąc pod uwagę dwie ostatnie zbieżności:
według własności ułamków ciągłych (wg 30 ) mamy
Więc porównanie ma rozwiązanie
do wyszukiwania, co wystarczy do obliczenia Pn- 1 zgodnie z metodą określoną w 30.
Przykład. Rozwiążmy porównanie
111x= 75 (mod 321). (cztery)
Tutaj (111, 321) = 3, a 75 jest wielokrotnością 3. Dlatego porównanie ma trzy rozwiązania.
Dzieląc obie części porównania i moduł przez 3, otrzymujemy porównanie
37x= 25 (mod. 107), (5)
które musimy najpierw ustalić. Mamy
q | |||||
P 3 |
Więc w tym przypadku n = 4, P n - 1 = 26, b= 25 i mamy rozwiązanie porównania (5) w postaci
x–26 ∙ 25 99 (mod 107).
Stąd rozwiązania porównania (4) przedstawiają się następująco:
X 99; 99 + 107; 99 + 2 ∙ 107 (mod 321),
Xº99; 206; 313 (model 321).
Obliczanie elementu odwrotnego modulo a danego
70.Jeśli liczby całkowite a oraz n względnie pierwsza, to jest liczba a', spełniające porównanie za ∙ a′ ≡ 1 (mod n). Numer a' nazywa multiplikatywna odwrotność modulo n i służy do tego notacja a- 1 (mod n).
Obliczanie odwrotności modulo some można wykonać za pomocą rozwiązania porównania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, w której x zaakceptowany numer a'.
Aby znaleźć rozwiązanie porównawcze
x≡ 1 (mod m),
gdzie ( jestem)= 1,
można skorzystać z algorytmu Euklidesa (69) lub twierdzenia Fermata-Eulera, które stwierdza, że jeśli ( jestem) = 1, w takim razie
a φ( m) ≡ 1 (mod m).
x ≡ a φ( m)–1 (mod m).
Grupy i ich właściwości
Grupy są jedną z klas taksonomicznych stosowanych w klasyfikacji struktur matematycznych o wspólnych charakterystycznych właściwościach. Grupy mają dwa komponenty: wiele (G) oraz operacje() zdefiniowane w tym zbiorze.
Pojęcia zbioru, elementu i przynależności to podstawowe niezdefiniowane pojęcia współczesnej matematyki. Każdy zestaw jest zdefiniowany przez zawarte w nim elementy (które z kolei mogą być również zbiorami). Mówimy więc, że zbiór jest zdefiniowany lub dany, jeśli dla dowolnego elementu możemy powiedzieć, czy należy on do tego zbioru, czy nie.
Na dwa komplety A, B dokumentacja B A, B A, B∩ A, B A, B \ A, A × B oznaczać odpowiednio, że B jest podzbiorem zbioru A(tj. dowolny element z B zawarta jest również w A np. zbiór liczb naturalnych zawiera się w zbiorze liczb rzeczywistych; poza tym zawsze A A), B jest właściwym podzbiorem zbioru A(tych. B A oraz B ≠ A), przecięcie wielu B oraz A(tj. wszystkie takie elementy, które leżą jednocześnie i w A, i w B, na przykład przecięcie liczb całkowitych i dodatnich liczb rzeczywistych to zbiór liczb naturalnych), suma zbiorów B oraz A(tj. zestaw składający się z elementów, które leżą albo w A, albo w B), ustaw różnicę B oraz A(czyli zestaw elementów, które leżą w B, ale nie kłam A), iloczyn kartezjański zbiorów A oraz B(tj. zestaw par postaci ( a, b), gdzie a A, b B). przez | A| liczność zbioru jest zawsze oznaczona A, tj. ilość elementów w zestawie A.
Operacja to reguła, zgodnie z którą dowolne dwa elementy zbioru G(a oraz b) jest powiązany z trzecim elementem z G: b.
Wiele elementów G z operacją tzw Grupa jeśli spełnione są następujące warunki.