Prostokąt. Oś symetrii figury. Czy trójkąt ma środek symetrii? Symetria osiowa to ruch
Życie ludzkie jest pełne symetrii. Jest wygodny, piękny, nie trzeba wymyślać nowych standardów. Ale czym ona naprawdę jest i czy jest tak piękna z natury, jak się powszechnie uważa?
Symetria
Od czasów starożytnych ludzie starali się usprawnić otaczający ich świat. Dlatego coś jest uważane za piękne, a coś nie. Z estetycznego punktu widzenia złote i srebrne sekcje są uważane za atrakcyjne, podobnie jak oczywiście symetria. Termin ten jest pochodzenia greckiego i dosłownie oznacza „proporcję”. Oczywiście mówimy nie tylko o zbiegu okoliczności na tej podstawie, ale także na innych. W ogólnym sensie symetria jest taką właściwością obiektu, gdy w wyniku pewnych formacji wynik jest równy pierwotnym danym. Występuje zarówno w przyrodzie ożywionej, jak i nieożywionej, a także w przedmiotach wykonanych przez człowieka.
Przede wszystkim termin „symetria” jest używany w geometrii, ale znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach nauki, a jego znaczenie pozostaje zasadniczo niezmienione. Zjawisko to jest dość powszechne i jest uważane za interesujące, ponieważ kilka jego typów, a także elementów, różni się. Interesujące jest również zastosowanie symetrii, ponieważ występuje ona nie tylko w przyrodzie, ale także w ornamentach na tkaninach, obramowaniach budynków i wielu innych obiektach stworzonych przez człowieka. Warto przyjrzeć się temu zjawisku bardziej szczegółowo, ponieważ jest ono niezwykle ekscytujące.
Użycie tego terminu w innych dziedzinach nauki
W przyszłości symetria będzie rozpatrywana z punktu widzenia geometrii, ale warto wspomnieć, że słowo to jest używane nie tylko tutaj. Biologia, wirusologia, chemia, fizyka, krystalografia - wszystko to jest niepełną listą dziedzin, w których to zjawisko jest badane pod różnymi kątami iw różnych warunkach. Na przykład klasyfikacja zależy od tego, do jakiej nauki odnosi się ten termin. Tak więc podział na typy jest bardzo różny, chociaż być może niektóre podstawowe pozostają wszędzie niezmienione.
Klasyfikacja
Istnieje kilka podstawowych typów symetrii, z których trzy są najczęstsze:
Ponadto w geometrii wyróżnia się również następujące typy, są one znacznie mniej powszechne, ale nie mniej ciekawe:
- przesuwny;
- rotacyjny;
- punkt;
- progresywny;
- śruba;
- fraktal;
- itp.
W biologii wszystkie gatunki nazywane są nieco inaczej, chociaż w rzeczywistości mogą być takie same. Podział na określone grupy następuje na podstawie obecności lub nieobecności, a także liczby określonych elementów, takich jak środki, płaszczyzny i osie symetrii. Należy je rozpatrywać osobno i bardziej szczegółowo.
Podstawowe elementy
W zjawisku wyróżnia się pewne cechy, z których jedna jest koniecznie obecna. Do tak zwanych elementów podstawowych należą płaszczyzny, środki i osie symetrii. Typ jest określany na podstawie ich obecności, nieobecności i ilości.
Środek symetrii nazywany jest punktem wewnątrz figury lub kryształu, w którym linie zbiegają się, łącząc parami wszystkie boki równoległe do siebie. Oczywiście nie zawsze występuje. Jeśli istnieją boki, do których nie ma pary równoległych, to nie można znaleźć takiego punktu, ponieważ go nie ma. Zgodnie z definicją jest oczywiste, że środek symetrii jest tym, przez który figura może zostać odbita sama w sobie. Przykładem jest na przykład okrąg i punkt w jego środku. Element ten jest zwykle określany jako C.
Płaszczyzna symetrii jest oczywiście wyimaginowana, ale to ona dzieli figurę na dwie równe części. Może przechodzić przez jeden lub więcej boków, być do niego równoległy lub może je dzielić. Dla tej samej figury może istnieć jednocześnie kilka płaszczyzn. Elementy te są zwykle określane jako P.
Ale być może najpowszechniejszym jest to, co nazywa się „osiami symetrii”. To częste zjawisko można zaobserwować zarówno w geometrii, jak iw przyrodzie. I zasługuje na osobne rozważenie.
osie
Często element, w odniesieniu do którego figurę można nazwać symetryczną,
jest linią prostą lub odcinkiem. W każdym razie nie mówimy o punkcie ani płaszczyźnie. Następnie liczby są brane pod uwagę. Może ich być wiele i mogą być rozmieszczone w dowolny sposób: podzielić boki lub być do nich równoległe, a także przecinać rogi lub nie. Osie symetrii są zwykle oznaczane jako L.
Przykładami są równoramienne i W pierwszym przypadku będzie pionowa oś symetrii, po obu stronach której znajdują się równe ściany, aw drugim proste przecinają się pod każdym kątem i pokrywają się ze wszystkimi dwusiecznymi, środkowymi i wysokościami. Zwykłe trójkąty go nie mają.
Nawiasem mówiąc, całość wszystkich powyższych elementów w krystalografii i stereometrii nazywa się stopniem symetrii. Wskaźnik ten zależy od liczby osi, płaszczyzn i środków.
Przykłady z geometrii
Warunkowo można podzielić cały zbiór przedmiotów badań matematyków na figury, które mają oś symetrii i te, które jej nie mają. Wszystkie koła, owale, a także niektóre przypadki specjalne automatycznie zaliczają się do pierwszej kategorii, a pozostałe do drugiej.
Podobnie jak w przypadku, gdy mówiono o osi symetrii trójkąta, ten element dla czworoboku nie zawsze istnieje. Dla kwadratu, prostokąta, rombu lub równoległoboku tak, ale dla figury nieregularnej odpowiednio nie. W przypadku koła oś symetrii to zbiór prostych przechodzących przez jego środek.
Ponadto interesujące jest rozważenie liczb wolumetrycznych z tego punktu widzenia. Co najmniej jedna oś symetrii, oprócz wszystkich regularnych wielokątów i kuli, będzie miała kilka stożków, a także ostrosłupy, równoległoboki i kilka innych. Każdy przypadek należy rozpatrywać oddzielnie.
Przykłady w przyrodzie
W życiu nazywa się to dwustronnym, występuje najczęściej
często. Przykładem tego jest każda osoba i bardzo wiele zwierząt. Osiowy nazywa się promieniowym i jest z reguły znacznie mniej powszechny w świecie roślin. A jednak są. Na przykład warto zastanowić się, ile osi symetrii ma gwiazda i czy w ogóle je ma? Oczywiście mówimy o życiu morskim, a nie o przedmiocie badań astronomów. A poprawna odpowiedź byłaby taka: zależy to od liczby promieni gwiazdy, na przykład pięciu, jeśli jest pięcioramienna.
Ponadto wiele kwiatów ma symetrię promieniową: stokrotki, chabry, słoneczniki itp. Istnieje ogromna liczba przykładów, są dosłownie wszędzie.
Niemiarowość
Termin ten przede wszystkim najbardziej kojarzy się z medycyną i kardiologią, jednak początkowo ma nieco inne znaczenie. W tym przypadku synonimem będzie „asymetria”, to znaczy brak lub naruszenie regularności w takiej czy innej formie. Można go znaleźć jako przypadek, a czasem może być pięknym urządzeniem, na przykład w odzieży lub architekturze. Symetrycznych budowli jest przecież sporo, ale ten słynny jest lekko nachylony i choć nie jedyny, to ten jest najbardziej znany. Wiadomo, że stało się to przez przypadek, ale ma to swój urok.
Ponadto oczywiste jest, że twarze i ciała ludzi i zwierząt również nie są całkowicie symetryczne. Były nawet badania, w wyniku których „prawidłowe” twarze uznawano za nieożywione lub po prostu nieatrakcyjne. Jednak postrzeganie symetrii i to zjawisko samo w sobie jest niesamowite i nie zostało jeszcze w pełni zbadane, a przez to niezwykle interesujące.
Istnieją dwa rodzaje symetrii: centralna i osiowa. W przypadku symetrii centralnej każda linia prosta poprowadzona przez środek figury dzieli ją na dwie absolutnie identyczne części, które są całkowicie symetryczne. Mówiąc prościej, są one swoimi lustrzanymi odbiciami. W pobliżu koła można narysować nieskończoną liczbę takich linii, w każdym razie podzielą je na dwie symetryczne części.
Oś symetrii
Większość kształtów geometrycznych nie ma takich cech. W nich można narysować tylko oś symetrii, i to nie dla wszystkich. Oś jest jednocześnie linią prostą, która dzieli figurę na symetryczne części. Ale dla osi symetrii istnieje tylko określone położenie, a jeśli zostanie ono nieznacznie zmienione, symetria zostanie złamana.
Logiczne jest, że każdy kwadrat ma oś symetrii, ponieważ wszystkie jego boki są równe, a każdy kąt ma dziewięćdziesiąt stopni. Trójkąty są różne. Trójkąty, które mają różne boki, nie mogą mieć osi ani środka symetrii. Ale w trójkątach równoramiennych można narysować oś symetrii. Przypomnijmy, że trójkąt z dwoma równymi bokami i odpowiednio dwoma równymi kątami przylegającymi do trzeciego boku, podstawy, jest uważany za równoramienny. W przypadku trójkąta równoramiennego oś będzie linią prostą przechodzącą od góry trójkąta do podstawy. W tym przypadku ta linia będzie zarówno środkową, jak i dwusieczną, ponieważ przecina kąt na pół i sięga dokładnie środka trzeciego boku. Jeśli trójkąt zostanie złożony wzdłuż tej linii prostej, powstałe figury całkowicie się skopiują. Jednak w trójkącie równoramiennym może być tylko jedna oś symetrii. Jeśli inna prosta zostanie poprowadzona przez jego środek, nie podzieli go na dwie symetryczne części.
specjalny trójkąt
Trójkąt równoboczny jest wyjątkowy. Jest to specjalny rodzaj trójkąta, który jest również równoramienny. To prawda, że \u200b\u200bkażdy bok można uznać za podstawę, ponieważ wszystkie jego boki są równe, a każdy kąt ma sześćdziesiąt stopni. Zatem trójkąt równoboczny ma trzy osie symetrii. Linie te zbiegają się w jednym punkcie w środku trójkąta. Ale nawet taka cecha nie zmienia trójkąta równobocznego w figurę o centralnej symetrii. Nawet trójkąt równoboczny nie ma środka symetrii, ponieważ przez wskazany punkt tylko trzy proste dzielą figurę na równe części. Jeśli narysujesz linię prostą w przeciwnym kierunku, trójkąt nie będzie już miał symetrii. Oznacza to, że figury te mają tylko symetrię osiową.
Jeśli czworokąt ma wszystkie kąty proste, nazywa się go prostokątem.
Rysunek 125 przedstawia prostokąt ABCD.
Boki AB i BC mają wspólny wierzchołek B. Nazywają się sąsiedni boki prostokąta ABCD. Sąsiadują też np. boki BC i CD.
Sąsiednie boki prostokąta nazywamy długie oraz szerokość.
Boki AB i CD nie mają wspólnych wierzchołków. Nazywa się je przeciwległymi bokami prostokąta ABCD. Również przeciwne są boki BC i AD.
Przeciwległe boki prostokąta są równe.
Na rysunku 125 AB = CD, BC = AD. Jeśli długość prostokąta to a, a szerokość to b, to jego obwód oblicza się za pomocą znanego już wzoru:
P = 2a + 2b
Nazywa się prostokąt, który ma wszystkie boki równe kwadrat(Ryc. 126).
Narysujmy linię prostą l przechodzącą przez środki dwóch przeciwległych boków prostokąta (ryc. 127). Jeśli kartkę papieru złożymy wzdłuż linii prostej l, to dwie części prostokąta leżące po przeciwnych stronach prostej l pokryją się.
Liczby pokazane na rysunku 128 mają podobną właściwość. Takie figury są tzw symetryczne względem linii prostej . Linia l nazywa się oś symetrii figury .
Zatem prostokąt to figura, która ma oś symetrii. Również oś symetrii ma trójkąt równoramienny (ryc. 129).
Figura może mieć więcej niż jedną oś symetrii. Na przykład prostokąt inny niż kwadrat ma dwie osie symetrii ( rys. 130), a kwadrat ma cztery osie symetrii ( rys. 131). Trójkąt równoboczny ma trzy osie symetrii (ryc. 132).
Badając otaczający nas świat, często napotykamy symetrię. Przykłady symetrii w przyrodzie pokazano na rycinie 133.
Obiekty, które mają oś symetrii, są łatwe do zauważenia i przyjemne dla oka. Nic dziwnego, że w starożytnej Grecji słowo „symetria” służyło jako synonim słów „harmonia”, „piękno”.
Idea symetrii jest szeroko stosowana w sztukach pięknych i architekturze (ryc. 134).
Cele:
- edukacyjny:
- dać wyobrażenie o symetrii;
- przedstawić główne typy symetrii w płaszczyźnie iw przestrzeni;
- rozwinąć silne umiejętności konstruowania figur symetrycznych;
- poszerzyć wyobrażenia o słynnych postaciach, wprowadzając je do właściwości związanych z symetrią;
- pokazać możliwości wykorzystania symetrii w rozwiązywaniu różnych problemów;
- utrwalić zdobytą wiedzę;
- ogólne wykształcenie:
- naucz się ustawiać do pracy;
- uczyć kontroli nad sobą i sąsiadem na biurku;
- nauczyć oceniać siebie i sąsiada na swoim biurku;
- rozwijanie:
- aktywować niezależną działalność;
- rozwijać aktywność poznawczą;
- nauczyć się podsumowywać i systematyzować otrzymane informacje;
- edukacyjny:
- kształcić uczniów "poczucie ramię";
- pielęgnować komunikację;
- zaszczepić kulturę komunikacji.
PODCZAS ZAJĘĆ
Przed każdym leżą nożyczki i kartka papieru.
Ćwiczenie 1(3 minuty).
- Weź kartkę papieru, złóż ją na pół i wytnij figurę. Teraz rozłóż arkusz i spójrz na linię zagięcia.
Pytanie: Jaka jest funkcja tej linii?
Sugerowana odpowiedź: Ta linia dzieli figurę na pół.
Pytanie: W jaki sposób wszystkie punkty figury znajdują się na dwóch powstałych połówkach?
Sugerowana odpowiedź: Wszystkie punkty połówek znajdują się w równej odległości od linii zagięcia i na tym samym poziomie.
- Tak więc linia zagięcia dzieli figurę na pół tak, że 1 połowa jest kopią 2 połówek, tj. ta linia nie jest prosta, ma niezwykłą właściwość (wszystkie punkty względem niej są w tej samej odległości), ta prosta jest osią symetrii.
Zadanie 2 (2 minuty).
- Wytnij płatek śniegu, znajdź oś symetrii, scharakteryzuj go.
Zadanie 3 (5 minut).
- Narysuj koło w zeszycie.
Pytanie: Określ, jak przebiega oś symetrii?
Sugerowana odpowiedź: Różnie.
Pytanie: Ile zatem osi symetrii ma okrąg?
Sugerowana odpowiedź: Dużo.
- Zgadza się, koło ma wiele osi symetrii. Ta sama cudowna figura to piłka (figura przestrzenna)
Pytanie: Jakie inne figury mają więcej niż jedną oś symetrii?
Sugerowana odpowiedź: Kwadrat, prostokąt, równoramienne i trójkąty równoboczne.
– Rozważ figury trójwymiarowe: sześcian, piramidę, stożek, walec itp. Te figury też mają oś symetrii.Wyznacz ile osi symetrii ma kwadrat, prostokąt, trójkąt równoboczny i proponowane figury trójwymiarowe?
Rozdaję uczniom połówki figurek z plasteliny.
Zadanie 4 (3 minuty).
- Korzystając z otrzymanych informacji, dokończ brakującą część rysunku.
Notatka: figurka może być zarówno płaska, jak i trójwymiarowa. Ważne jest, aby uczniowie ustalili, jak przebiega oś symetrii i uzupełnili brakujący element. Poprawność wykonania ocenia sąsiad na biurku, ocenia jak dobrze została wykonana praca.
Linia jest układana z koronki tego samego koloru na pulpicie (zamknięta, otwarta, z samoskrzyżowaniem, bez samoskrzyżowania).
Zadanie 5 (praca w grupach 5 min).
- Wizualnie określ oś symetrii i względem niej uzupełnij drugą część z koronki w innym kolorze.
O poprawności wykonanej pracy decydują sami studenci.
Uczniom prezentowane są elementy rysunków
Zadanie 6 (2 minuty).
Znajdź symetryczne części tych rysunków.
Dla utrwalenia omówionego materiału proponuję następujące zadania przewidziane na 15 minut:
Wymień wszystkie równe elementy trójkąta KOR i KOM. Jakie są rodzaje tych trójkątów?
2. Narysuj w zeszycie kilka trójkątów równoramiennych o wspólnej podstawie równej 6 cm.
3. Narysuj odcinek AB. Skonstruuj prostą prostopadłą do odcinka AB i przechodzącą przez jego środek. Zaznacz na nim punkty C i D tak, aby czworokąt ACBD był symetryczny względem prostej AB.
- Nasze początkowe wyobrażenia o formie pochodzą z bardzo odległej epoki starożytnej epoki kamiennej - paleolitu. Przez setki tysięcy lat tego okresu ludzie żyli w jaskiniach, w warunkach niewiele różniących się od życia zwierząt. Ludzie wytwarzali narzędzia do polowania i łowienia ryb, opracowali język umożliwiający porozumiewanie się między sobą, aw epoce późnego paleolitu upiększali swoją egzystencję, tworząc dzieła sztuki, figurki i rysunki, które ujawniają wspaniałe wyczucie formy.
Kiedy nastąpiło przejście od prostego zbierania żywności do jej aktywnej produkcji, od łowiectwa i rybołówstwa do rolnictwa, ludzkość wkracza w nową epokę kamienia łupanego, neolit.
Człowiek neolitu miał głębokie wyczucie formy geometrycznej. Wypalanie i barwienie glinianych naczyń, produkcja mat trzcinowych, koszy, tkanin, a później obróbka metali rozwinęły idee dotyczące figur płaskich i przestrzennych. Neolityczne zdobienia cieszyły oko, ujawniając równość i symetrię.
Gdzie w przyrodzie występuje symetria?
Sugerowana odpowiedź: skrzydła motyli, chrząszczy, liście drzew…
„Symetrię widać też w architekturze. Podczas konstruowania budynków budowniczowie wyraźnie przestrzegają symetrii.
Dlatego budynki są takie piękne. Również przykładem symetrii jest osoba, zwierzęta.
Praca domowa:
1. Wymyśl własną ozdobę, przedstaw ją na kartce A4 (możesz narysować ją w formie dywanu).
2. Narysuj motyle, zaznacz miejsca, w których znajdują się elementy symetrii.
Symetria osiowa to symetria względem linii.
Niech jakaś linia prosta g.
Skonstruować punkt symetryczny do pewnego punktu A wokół prostej g, niezbędny:
1) Narysuj od punktu A do linii prostej g prostopadłe AO.
2) Na kontynuacji prostopadłej po drugiej stronie linii g odłóż odcinek OA1 równy segmentowi AO: OA1=AO.
Wynikowy punkt A1 jest symetryczny do punktu A względem prostej g.
Prosty g nazywamy osią symetrii.
W ten sposób, punkty A i A1 są symetryczne względem prostej g, jeśli ta prosta przechodzi przez środek odcinka AA1 i jest do niego prostopadła.
Jeśli punkt A leży na prostej g, to punkt symetryczny do niej jest samym punktem A.
Przekształcenie figury F w figurę F1, w której każdy jej punkt A przechodzi w punkt A1, symetryczny względem danej prostej g, nazywa się transformacją symetrii względem prostej g.
Figury F i F1 nazywane są figurami symetrycznymi względem linii prostej. g.
Skonstruować trójkąt symetryczny do zadanego względem prostej g, wystarczy skonstruować punkty symetryczne do wierzchołków trójkąta i połączyć je odcinkami.
Na przykład trójkąty ABC i A1B1C1 są symetryczne względem prostej g.
Jeśli transformacja symetrii wokół linii g bierze figurę w siebie, to taką figurę nazywamy symetryczną względem linii prostej g, a linia prosta g nazywamy jego osią symetrii.
Symetryczna figura jest podzielona przez swoją oś symetrii na dwie równe połowy. Jeśli symetryczna figura zostanie narysowana na papierze, wycięta i zgięta wzdłuż osi symetrii, wówczas te połówki będą pasować.
Przykłady figur symetrycznych względem linii prostej.
1) Prostokąt.
Prostokąt ma 2 osie symetrii: linie proste przechodzące przez punkt przecięcia przekątnych równoległych do boków.
Romb ma dwie osie symetrii:
linie, na których leżą jego przekątne.
3) Kwadrat, podobnie jak romb i prostokąt, ma cztery osie symetrii: proste zawierające jego przekątne oraz proste przechodzące przez punkt przecięcia przekątnych równoległych do boków.
4) Koło.
Okrąg ma nieskończoną liczbę osi symetrii:
każda prosta zawierająca średnicę jest osią symetrii koła.
Linia prosta ma również nieskończoną liczbę osi symetrii: każda prosta prostopadła do niej jest osią symetrii dla danej prostej.
6) Trapez równoramienny.
Trapez równoramienny to figura symetryczna względem prostej prostopadłej do podstaw i przechodzącej przez ich środki.
7) Trójkąt równoramienny.
Trójkąt równoramienny ma jedną oś symetrii:
linia prosta przechodząca przez wysokość (środkową, dwusieczną) poprowadzona do podstawy.
8) Trójkąt równoboczny.
Trójkąt równoboczny ma trzy osie symetrii:
Kąt to figura symetryczna względem prostej zawierającej dwusieczną.
Symetria osiowa to ruch.
Symetria
Od czasów starożytnych ludzie starali się usprawnić otaczający ich świat. Dlatego coś jest uważane za piękne, a coś nie. Z estetycznego punktu widzenia złote i srebrne sekcje są uważane za atrakcyjne, podobnie jak oczywiście symetria. Termin ten jest pochodzenia greckiego i dosłownie oznacza „proporcję”. Oczywiście mówimy nie tylko o zbiegu okoliczności na tej podstawie, ale także na innych. W ogólnym sensie symetria jest taką właściwością obiektu, gdy w wyniku pewnych formacji wynik jest równy pierwotnym danym. Występuje zarówno w przyrodzie ożywionej, jak i nieożywionej, a także w przedmiotach wykonanych przez człowieka.
Przede wszystkim termin „symetria” jest używany w geometrii, ale znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach nauki, a jego znaczenie pozostaje zasadniczo niezmienione. Zjawisko to jest dość powszechne i jest uważane za interesujące, ponieważ kilka jego typów, a także elementów, różni się. Interesujące jest również zastosowanie symetrii, ponieważ występuje ona nie tylko w przyrodzie, ale także w ornamentach na tkaninach, obramowaniach budynków i wielu innych obiektach stworzonych przez człowieka. Warto przyjrzeć się temu zjawisku bardziej szczegółowo, ponieważ jest ono niezwykle ekscytujące.
Użycie tego terminu w innych dziedzinach nauki
W przyszłości symetria będzie rozpatrywana z punktu widzenia geometrii, ale warto wspomnieć, że słowo to jest używane nie tylko tutaj. Biologia, wirusologia, chemia, fizyka, krystalografia - wszystko to jest niepełną listą dziedzin, w których to zjawisko jest badane pod różnymi kątami iw różnych warunkach. Na przykład klasyfikacja zależy od tego, do jakiej nauki odnosi się ten termin. Tak więc podział na typy jest bardzo różny, chociaż być może niektóre podstawowe pozostają wszędzie niezmienione.
Klasyfikacja
Istnieje kilka podstawowych typów symetrii, z których trzy są najczęstsze:
Ponadto w geometrii wyróżnia się również następujące typy, są one znacznie mniej powszechne, ale nie mniej ciekawe:
- przesuwny;
- rotacyjny;
- punkt;
- progresywny;
- śruba;
- fraktal;
- itp.
W biologii wszystkie gatunki nazywane są nieco inaczej, chociaż w rzeczywistości mogą być takie same. Podział na określone grupy następuje na podstawie obecności lub nieobecności, a także liczby określonych elementów, takich jak środki, płaszczyzny i osie symetrii. Należy je rozpatrywać osobno i bardziej szczegółowo.
Podstawowe elementy
W zjawisku wyróżnia się pewne cechy, z których jedna jest koniecznie obecna. Do tak zwanych elementów podstawowych należą płaszczyzny, środki i osie symetrii. Typ jest określany na podstawie ich obecności, nieobecności i ilości.
Środek symetrii nazywany jest punktem wewnątrz figury lub kryształu, w którym linie zbiegają się, łącząc parami wszystkie boki równoległe do siebie. Oczywiście nie zawsze występuje. Jeśli istnieją boki, do których nie ma pary równoległych, to nie można znaleźć takiego punktu, ponieważ go nie ma. Zgodnie z definicją jest oczywiste, że środek symetrii jest tym, przez który figura może odbijać się od siebie. Przykładem jest na przykład okrąg i punkt w jego środku. Element ten jest zwykle określany jako C.
Płaszczyzna symetrii jest oczywiście wyimaginowana, ale to ona dzieli figurę na dwie równe części. Może przechodzić przez jeden lub więcej boków, być do niego równoległy lub może je dzielić. Dla tej samej figury może istnieć jednocześnie kilka płaszczyzn. Elementy te są zwykle określane jako P.
Ale być może najpowszechniejszym jest to, co nazywa się „osiami symetrii”. To częste zjawisko można zaobserwować zarówno w geometrii, jak iw przyrodzie. I zasługuje na osobne rozważenie.
osie
Często element, w odniesieniu do którego figurę można nazwać symetryczną,
jest linią prostą lub odcinkiem. W każdym razie nie mówimy o punkcie ani płaszczyźnie. Następnie brane są pod uwagę osie symetrii figur. Może ich być wiele i mogą być rozmieszczone w dowolny sposób: podzielić boki lub być do nich równoległe, a także przecinać rogi lub nie. Osie symetrii są zwykle oznaczane jako L.
Przykładami są równoramienne i trójkąty równoboczne. W pierwszym przypadku będzie pionowa oś symetrii, po obu stronach której znajdują się równe ściany, aw drugim linie przecinają każdy róg i pokrywają się ze wszystkimi dwusiecznymi, środkowymi i wysokościami. Zwykłe trójkąty go nie mają.
Nawiasem mówiąc, całość wszystkich powyższych elementów w krystalografii i stereometrii nazywa się stopniem symetrii. Wskaźnik ten zależy od liczby osi, płaszczyzn i środków.
Przykłady z geometrii
Warunkowo można podzielić cały zbiór przedmiotów badań matematyków na figury, które mają oś symetrii i te, które jej nie mają. Wszystkie wielokąty foremne, koła, owale, a także niektóre przypadki specjalne automatycznie zaliczają się do pierwszej kategorii, a pozostałe do drugiej.
Podobnie jak w przypadku, gdy mówiono o osi symetrii trójkąta, ten element dla czworoboku nie zawsze istnieje. Dla kwadratu, prostokąta, rombu lub równoległoboku tak, ale dla figury nieregularnej odpowiednio nie. W przypadku koła oś symetrii to zbiór prostych przechodzących przez jego środek.
Ponadto interesujące jest rozważenie liczb wolumetrycznych z tego punktu widzenia. Co najmniej jedna oś symetrii, oprócz wszystkich regularnych wielokątów i kuli, będzie miała kilka stożków, a także ostrosłupy, równoległoboki i kilka innych. Każdy przypadek należy rozpatrywać oddzielnie.
Przykłady w przyrodzie
Lustrzana symetria w życiu nazywana jest dwustronną, jest najbardziej powszechna
często. Przykładem tego jest każda osoba i bardzo wiele zwierząt. Osiowy nazywa się promieniowym i jest z reguły znacznie mniej powszechny w świecie roślin. A jednak są. Na przykład warto zastanowić się, ile osi symetrii ma gwiazda i czy w ogóle je ma? Oczywiście mówimy o życiu morskim, a nie o przedmiocie badań astronomów. A poprawna odpowiedź byłaby taka: zależy to od liczby promieni gwiazdy, na przykład pięciu, jeśli jest pięcioramienna.
Ponadto wiele kwiatów ma symetrię promieniową: stokrotki, chabry, słoneczniki itp. Istnieje ogromna liczba przykładów, są dosłownie wszędzie.
Niemiarowość
Termin ten przede wszystkim najbardziej kojarzy się z medycyną i kardiologią, jednak początkowo ma nieco inne znaczenie. W tym przypadku synonimem będzie „asymetria”, to znaczy brak lub naruszenie regularności w takiej czy innej formie. Można go znaleźć jako przypadek, a czasem może być pięknym urządzeniem, na przykład w odzieży lub architekturze. Symetrycznych budowli jest przecież sporo, ale słynna Krzywa Wieża w Pizie jest lekko pochylona i choć nie jedyna, to ten jest najbardziej znanym przykładem. Wiadomo, że stało się to przez przypadek, ale ma to swój urok.
Ponadto oczywiste jest, że twarze i ciała ludzi i zwierząt również nie są całkowicie symetryczne. Były nawet badania, w wyniku których „prawidłowe” twarze uznawano za nieożywione lub po prostu nieatrakcyjne. Jednak postrzeganie symetrii i to zjawisko samo w sobie jest niesamowite i nie zostało jeszcze w pełni zbadane, a przez to niezwykle interesujące.
symetria geometryczna
W odniesieniu do figury geometrycznej symetria oznacza, że jeśli ta figura zostanie przekształcona - na przykład obrócona - niektóre jej właściwości pozostaną takie same.
Możliwość takich przekształceń różni się w zależności od figury. Na przykład okrąg można dowolnie obracać wokół punktu znajdującego się w jego środku, pozostanie on okręgiem, nic się dla niego nie zmieni.
Pojęcie symetrii można wyjaśnić bez uciekania się do rotacji. Wystarczy narysować linię prostą przechodzącą przez środek okręgu i skonstruować prostopadły do niej odcinek w dowolnym miejscu figury, łączący dwa punkty na okręgu. Punkt przecięcia z linią podzieli dany odcinek na dwie części, które będą sobie równe.
Innymi słowy, linia prosta podzieliła figurę na dwie równe części. Punkty części figury leżące na prostych prostopadłych do danej znajdują się w równej odległości od niej. Ta prosta będzie nazywana osią symetrii. Symetria tego rodzaju - względem linii prostej - nazywana jest symetrią osiową.
Liczba osi symetrii
Różne figury mają różną liczbę osi symetrii. Na przykład koło i kula mają wiele takich osi. W przypadku trójkąta równobocznego oś symetrii będzie prostopadła upuszczona do każdego z boków, dlatego ma trzy osie. Kwadrat i prostokąt mają cztery osie symetrii. Dwa z nich są prostopadłe do boków czworokątów, a dwa pozostałe to przekątne. Ale trójkąt równoramienny ma tylko jedną oś symetrii, znajdującą się między jego równymi bokami.
Symetria osiowa występuje również w przyrodzie. Można go zobaczyć w dwóch wersjach.
Pierwszym typem jest symetria promieniowa, która implikuje obecność kilku osi. Jest to typowe na przykład dla rozgwiazdy. Bardziej rozwinięte organizmy charakteryzują się dwustronną lub dwustronną symetrią, z pojedynczą osią dzielącą ciało na dwie części.
Ciało ludzkie ma również dwustronną symetrię, ale nie można go nazwać idealnym. Nogi, ramiona, oczy, płuca są symetryczne, ale nie serce, wątroba czy śledziona. Odchylenia od dwustronnej symetrii są zauważalne nawet na zewnątrz. Na przykład niezwykle rzadko zdarza się, aby osoba miała identyczne pieprzyki na obu policzkach.