Które z par prostych na płaszczyźnie są równoległe. Proste równoległe na płaszczyźnie iw przestrzeni. Ochrona danych osobowych
![Które z par prostych na płaszczyźnie są równoległe. Proste równoległe na płaszczyźnie iw przestrzeni. Ochrona danych osobowych](https://i2.wp.com/zaochnik.com/uploads/2018/02/21/image002.png)
Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje informacje. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.
Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych
Dane osobowe odnoszą się do danych, które mogą być wykorzystane do zidentyfikowania lub skontaktowania się z konkretną osobą.
W każdym momencie kontaktu z nami możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych.
Poniżej przedstawiono kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić, oraz sposobów ich wykorzystania.
Jakie dane osobowe zbieramy:
- Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy gromadzić różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.
Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:
- Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach oraz innych wydarzeniach i nadchodzących wydarzeniach.
- Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
- Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różne badania w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawiania rekomendacji dotyczących naszych usług.
- Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.
Ujawnienie osobom trzecim
Nie ujawniamy otrzymanych od Ciebie informacji osobom trzecim.
Wyjątki:
- W przypadku, gdy jest to konieczne - zgodnie z prawem, nakazem sądowym, postępowaniem sądowym i / lub na podstawie publicznych żądań lub żądań organów państwowych na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawnij swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub właściwe ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych względów interesu publicznego.
- W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniemu następcy zewnętrznemu.
Ochrona danych osobowych
Podejmujemy środki ostrożności — w tym administracyjne, techniczne i fizyczne — w celu ochrony danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.
Zachowanie Twojej prywatności na poziomie firmy
Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach w zakresie prywatności i bezpieczeństwa oraz ściśle egzekwujemy praktyki w zakresie prywatności.
Na płaszczyźnie linie nazywamy równoległymi, jeśli nie mają wspólnych punktów, to znaczy nie przecinają się. Aby wskazać równoległość, użyj specjalnej ikony || (linie równoległe a || b).
W przypadku linii leżących w przestrzeni nie wystarczy wymóg braku punktów wspólnych – aby były równoległe w przestrzeni, muszą należeć do tej samej płaszczyzny (inaczej będą skośne).
Po przykłady linii równoległych nie trzeba daleko szukać, towarzyszą nam wszędzie, w pokoju są to linie przecięcia ściany z sufitem i podłogą, na kartce zeszytu są przeciwległe krawędzie itp.
Jest całkiem oczywiste, że mając dwie linie równoległe i trzecią linię równoległą do jednej z dwóch pierwszych, będzie ona równoległa do drugiej.
Proste równoległe na płaszczyźnie są połączone stwierdzeniem, którego nie można udowodnić za pomocą aksjomatów planimetrii. Przyjmuje się to jako fakt, jako aksjomat: dla każdego punktu na płaszczyźnie, który nie leży na linii prostej, istnieje jedna prosta, która przechodzi przez niego równolegle do danej. Każdy szóstoklasista zna ten aksjomat.
Jego uogólnienie przestrzenne, czyli twierdzenie, że dla dowolnego punktu w przestrzeni, który nie leży na prostej, istnieje jedyna prosta, która przechodzi przez niego równolegle do danej, można łatwo udowodnić za pomocą znanego już aksjomatu równoległości w samolot.
Własności prostych równoległych
- Jeżeli którakolwiek z dwóch równoległych prostych jest równoległa do trzeciej, to są one wzajemnie równoległe.
Linie równoległe mają tę właściwość zarówno w płaszczyźnie, jak iw przestrzeni.
Jako przykład rozważmy jego uzasadnienie w stereometrii.
Niech proste b będą równoległe do prostej a.
Przypadek, gdy wszystkie proste leżą w tej samej płaszczyźnie, pozostawimy planimetrii.
Załóżmy, że a i b należą do płaszczyzny betta, a gamma to płaszczyzna, do której należą a i c (z definicji równoległości w przestrzeni proste muszą należeć do tej samej płaszczyzny).
Jeżeli przyjmiemy, że płaszczyzny betta i gamma są różne i wyznaczymy pewien punkt B na prostej b z płaszczyzny betta, to płaszczyzna poprowadzona przez punkt B i prostą c musi przeciąć płaszczyznę betta w linii prostej (oznaczamy to b1).
Gdyby wynikowa prosta b1 przecinała płaszczyznę gamma, to z jednej strony punkt przecięcia musiałby leżeć na a, ponieważ b1 należy do płaszczyzny betta, a z drugiej strony musi również należeć do c, ponieważ b1 należy do trzeciej płaszczyzny.
Ale równoległe linie a i c nie mogą się przecinać.
Zatem prosta b1 musi należeć do płaszczyzny betta i jednocześnie nie mieć punktów wspólnych z a, a więc zgodnie z aksjomatem równoległości pokrywa się z b.
Otrzymaliśmy prostą b1 pokrywającą się z prostą b, która należy do tej samej płaszczyzny co prosta c i jej nie przecina, czyli b i c są równoległe
- Przez punkt, który nie leży na danej prostej równoległej do danej prostej, może przejść tylko jedna pojedyncza prosta.
- Dwie proste leżące na płaszczyźnie prostopadłej do trzeciej są równoległe.
- Jeżeli jedna z dwóch równoległych prostych przecina płaszczyznę, druga prosta przecina tę samą płaszczyznę.
- Odpowiednie i leżące poprzecznie kąty wewnętrzne utworzone przez przecięcie równoległych dwóch linii trzeciej są równe, suma wewnętrznych jednostronnych utworzonych w tym przypadku wynosi 180 °.
Prawdziwe są również zdania odwrotne, które można uznać za oznaki równoległości dwóch linii prostych.
Stan linii równoległych
Sformułowane powyżej własności i znaki są warunkami równoległości prostych i można je udowodnić metodami geometrii. Innymi słowy, aby udowodnić równoległość dwóch dostępnych linii, wystarczy udowodnić ich równoległość do trzeciej linii lub równość kątów, niezależnie od tego, czy są one zgodne, czy leżą naprzeciw, i tak dalej.
Do dowodu używają głównie metody „przez sprzeczność”, czyli przy założeniu, że proste nie są równoległe. Na podstawie tego założenia można łatwo wykazać, że w tym przypadku dane warunki są naruszone, np. kąty wewnętrzne przecinające się okazują się nierówne, co świadczy o błędności przyjętego założenia.
Znaki równoległości dwóch prostych
Twierdzenie 1. Jeżeli na przecięciu dwóch prostych siecznej:
kąty leżące po przekątnej są równe, lub
odpowiednie kąty są równe, lub
więc suma kątów jednostronnych wynosi 180°
linie są równoległe(Rys. 1).
Dowód. Ograniczamy się do dowodu przypadku 1.
Załóżmy, że na przecięciu prostych a i b przez sieczną AB w poprzek kąty leżące są równe. Na przykład ∠ 4 = ∠ 6. Udowodnijmy, że a || b.
Załóżmy, że proste a i b nie są równoległe. Następnie przecinają się one w pewnym punkcie M iw konsekwencji jeden z kątów 4 lub 6 będzie kątem zewnętrznym trójkąta ABM. Niech dla ścisłości ∠ 4 będzie zewnętrznym narożnikiem trójkąta ABM, a ∠ 6 wewnętrznym. Z twierdzenia o kącie zewnętrznym trójkąta wynika, że ∠ 4 jest większe niż ∠ 6, a to jest sprzeczne z warunkiem, że proste a i 6 nie mogą się przecinać, więc są równoległe.
Wniosek 1. Dwie różne proste w płaszczyźnie prostopadłej do tej samej prostej są równoległe(Rys. 2).
Komentarz. Sposób, w jaki właśnie udowodniliśmy przypadek 1 Twierdzenia 1, nazywany jest metodą dowodu przez sprzeczność lub redukcję do absurdu. Ta metoda ma swoją pierwszą nazwę, ponieważ na początku rozumowania przyjmuje się założenie przeciwne (przeciwne) do tego, co należy udowodnić. Nazywa się to redukcją do absurdu, ponieważ argumentując na podstawie przyjętego założenia dochodzimy do wniosku absurdalnego (absurdalnego). Otrzymanie takiego wniosku zmusza nas do odrzucenia przyjętego na początku założenia i przyjęcia tego, które należało udowodnić.
Zadanie 1. Skonstruuj prostą przechodzącą przez dany punkt M i równoległą do danej prostej a, nie przechodzącą przez punkt M.
Rozwiązanie. Rysujemy linię p przechodzącą przez punkt M prostopadle do linii a (ryc. 3).
Następnie rysujemy prostą b przechodzącą przez punkt M prostopadle do prostej p. Prosta b jest równoległa do prostej a zgodnie z wnioskiem z Twierdzenia 1.
Z rozważanego problemu wynika ważny wniosek:
Przez punkt, który nie leży na danej prostej, zawsze można poprowadzić linię równoległą do danej prostej..
Główna właściwość linii równoległych jest następująca.
Aksjomat linii równoległych. Przez dany punkt, który nie leży na danej prostej, przechodzi tylko jedna prosta równoległa do danej prostej.
Rozważ niektóre własności prostych równoległych, które wynikają z tego aksjomatu.
1) Jeśli linia przecina jedną z dwóch równoległych linii, to przecina drugą (ryc. 4).
2) Jeśli dwie różne linie są równoległe do trzeciej linii, to są równoległe (ryc. 5).
Prawdziwe jest również następujące twierdzenie.
Twierdzenie 2. Jeżeli dwie proste równoległe przecina sieczna, to:
kąty leżące są równe;
odpowiednie kąty są równe;
suma kątów jednostronnych wynosi 180°.
Konsekwencja 2. Jeśli prosta jest prostopadła do jednej z dwóch równoległych linii, to jest również prostopadła do drugiej.(patrz ryc. 2).
Komentarz. Twierdzenie 2 nazywa się odwrotnością Twierdzenia 1. Wniosek z Twierdzenia 1 jest warunkiem Twierdzenia 2. A warunkiem Twierdzenia 1 jest wniosek z Twierdzenia 2. Nie każde twierdzenie ma odwrotność, tzn. jeśli dane twierdzenie jest prawdziwe, wtedy twierdzenie odwrotne może być fałszywe.
Wyjaśnijmy to na przykładzie twierdzenia o kątach wierzchołkowych. Twierdzenie to można sformułować w następujący sposób: jeśli dwa kąty są pionowe, to są równe. Twierdzenie odwrotne byłoby następujące: jeśli dwa kąty są równe, to są pionowe. A to oczywiście nie jest prawdą. Dwa równe kąty wcale nie muszą być pionowe.
Przykład 1 Dwie równoległe linie przecina trzecia. Wiadomo, że różnica między dwoma wewnętrznymi kątami jednostronnymi wynosi 30°. Znajdź te kąty.
Rozwiązanie. Niech figura 6 spełni warunek.
W tym artykule porozmawiamy o liniach równoległych, podamy definicje, wyznaczymy znaki i warunki równoległości. Dla jasności materiału teoretycznego użyjemy ilustracji i rozwiązania typowych przykładów.
Definicja 1Linie równoległe w płaszczyźnie to dwie proste na płaszczyźnie, które nie mają punktów wspólnych.
Definicja 2
Linie równoległe w przestrzeni 3D- dwie proste w przestrzeni trójwymiarowej, które leżą w tej samej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych.
Należy zauważyć, że w celu wyznaczenia prostych równoległych w przestrzeni niezwykle ważne jest wyjaśnienie „leżące w tej samej płaszczyźnie”: dwie linie w przestrzeni trójwymiarowej, które nie mają wspólnych punktów i nie leżą w tej samej płaszczyźnie, nie są równoległe, ale przecinające się.
Do oznaczenia linii równoległych często używa się symbolu ∥ . To znaczy, jeśli dane proste aib są równoległe, warunek ten należy krótko zapisać w następujący sposób: a ‖ b . Werbalnie równoległość linii jest wskazywana w następujący sposób: linie a i b są równoległe lub linia a jest równoległa do prostej b lub prosta b jest równoległa do prostej a.
Sformułujmy stwierdzenie, które odgrywa ważną rolę w badanym temacie.
Aksjomat
Przez punkt, który nie należy do danej prostej, przechodzi tylko jedna prosta równoległa do danej prostej. Stwierdzenia tego nie da się udowodnić na podstawie znanych aksjomatów planimetrii.
W przypadku przestrzeni prawdziwe jest twierdzenie:
Twierdzenie 1
Przez dowolny punkt w przestrzeni, który nie należy do danej prostej, będzie przebiegać tylko jedna prosta równoległa do danej.
Twierdzenie to jest łatwe do udowodnienia na podstawie powyższego aksjomatu (program geometrii dla klas 10-11).
Znak równoległości jest warunkiem wystarczającym, aby proste równoległe były gwarantowane. Innymi słowy, spełnienie tego warunku jest wystarczające do potwierdzenia faktu równoległości.
W szczególności istnieją warunki konieczne i wystarczające dla równoległości prostych w płaszczyźnie iw przestrzeni. Wyjaśnijmy: konieczny oznacza warunek, którego spełnienie jest konieczne dla prostych równoległych; jeśli nie jest spełniony, proste nie są równoległe.
Podsumowując, koniecznym i wystarczającym warunkiem równoległości prostych jest taki warunek, którego spełnienie jest konieczne i wystarczające, aby proste były do siebie równoległe. Z jednej strony jest to znak równoległości, z drugiej strony właściwość właściwa liniom równoległym.
Przed precyzyjnym sformułowaniem warunków koniecznych i wystarczających przypomnijmy jeszcze kilka dodatkowych pojęć.
Definicja 3
linia sieczna jest linią, która przecina każdą z dwóch podanych nie pokrywających się linii.
Przecinając dwie proste, sieczna tworzy osiem nierozwiniętych kątów. Do sformułowania warunku koniecznego i wystarczającego użyjemy takich rodzajów kątów, jak przecinający się, odpowiadający i jednostronny. Pokażmy je na ilustracji:
Twierdzenie 2
Jeżeli dwie proste na płaszczyźnie przecinają sieczną, to aby dane proste były równoległe, konieczne i wystarczające jest, aby kąty leżące w poprzek były równe lub odpowiednie kąty były równe, albo suma kątów jednostronnych była równa 180 stopni.
Zilustrujmy graficznie warunek konieczny i wystarczający dla prostych równoległych na płaszczyźnie:
Dowód tych warunków jest obecny w programie geometrii dla klas 7-9.
Ogólnie rzecz biorąc, warunki te mają również zastosowanie do przestrzeni trójwymiarowej, pod warunkiem, że dwie proste i sieczna należą do tej samej płaszczyzny.
Wskażmy jeszcze kilka twierdzeń, które są często używane do udowodnienia faktu, że proste są równoległe.
Twierdzenie 3
Na płaszczyźnie dwie linie równoległe do trzeciej są równoległe do siebie. Cecha ta jest udowodniona na podstawie wspomnianego aksjomatu równoległości.
Twierdzenie 4
W przestrzeni trójwymiarowej dwie linie równoległe do trzeciej są równoległe do siebie.
Dowód atrybutu jest badany w programie geometrii 10. klasy.
Dajemy ilustrację tych twierdzeń:
Wskażmy jeszcze jedną parę twierdzeń dowodzących równoległości prostych.
Twierdzenie 5
Na płaszczyźnie dwie proste prostopadłe do trzeciej są do siebie równoległe.
Sformułujmy podobny dla przestrzeni trójwymiarowej.
Twierdzenie 6
W przestrzeni trójwymiarowej dwie proste prostopadłe do trzeciej są do siebie równoległe.
Zilustrujmy:
Wszystkie powyższe twierdzenia, znaki i warunki umożliwiają wygodny dowód równoległości prostych metodami geometrii. To znaczy, aby udowodnić równoległość prostych, można wykazać, że odpowiadające im kąty są równe, lub wykazać, że dwie dane proste są prostopadłe do trzeciej i tak dalej. Zauważmy jednak, że często wygodniej jest użyć metody współrzędnych, aby udowodnić równoległość linii na płaszczyźnie lub w przestrzeni trójwymiarowej.
Równoległość prostych w prostokątnym układzie współrzędnych
W danym prostokątnym układzie współrzędnych linię prostą wyznacza równanie prostej na płaszczyźnie jednego z możliwych typów. Podobnie prosta dana w prostokątnym układzie współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej odpowiada pewnym równaniom prostej w przestrzeni.
Napiszmy warunki konieczne i wystarczające równoległości prostych w prostokątnym układzie współrzędnych, w zależności od rodzaju równania opisującego dane proste.
Zacznijmy od warunku równoległych linii w płaszczyźnie. Opiera się na definicjach wektora kierunkowego prostej i wektora normalnego prostej w płaszczyźnie.
Twierdzenie 7
Aby dwie nie pokrywające się proste były równoległe na płaszczyźnie, konieczne i wystarczające jest, aby wektory kierunkowe danych prostych były współliniowe lub wektory normalne danych prostych były współliniowe lub wektor kierunkowy jednej prostej był prostopadły do wektor normalny drugiej linii.
Staje się oczywiste, że warunek równoległych prostych na płaszczyźnie jest oparty na warunku wektorów współliniowych lub warunku prostopadłości dwóch wektorów. To znaczy, jeśli a → = (a x , a y) i b → = (b x , b y) są wektorami kierunkowymi prostych a i b ;
oraz n b → = (n b x , n b y) są wektorami normalnymi prostych a i b , to powyższy warunek konieczny i wystarczający zapisujemy następująco: a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y lub n a → = t n b → ⇔ n a x = t n b x n za y = t n b y lub za → , n b → = 0 ⇔ za x n b x + za y n b y = 0 , gdzie t jest pewną liczbą rzeczywistą. Współrzędne wektorów kierunkowych lub prostych są określone przez podane równania prostych. Rozważmy główne przykłady.
- Linia a w prostokątnym układzie współrzędnych jest określona przez ogólne równanie linii: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; linia b - ZA 2 x + b 2 y + do 2 = 0 . Wtedy wektory normalne danych prostych będą miały odpowiednio współrzędne (A 1 , B 1) i (A 2 , B 2). Warunek równoległości piszemy następująco:
ZA 1 = t ZA 2 B 1 = t B 2
- Prosta a jest opisana równaniem prostej o nachyleniu postaci y = k 1 x + b 1 . Linia prosta b - y \u003d k 2 x + b 2. Wtedy wektory normalne danych prostych będą miały odpowiednio współrzędne (k 1 , - 1) i (k 2 , - 1), a warunek równoległości zapiszemy następująco:
k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2
Zatem, jeśli równoległe linie na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych są dane równaniami ze współczynnikami nachylenia, to współczynniki nachylenia danych linii będą równe. I odwrotne stwierdzenie jest prawdziwe: jeśli nie pokrywające się proste na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych są określone przez równania prostej o tych samych współczynnikach nachylenia, to te podane proste są równoległe.
- Proste aib w prostokątnym układzie współrzędnych są dane kanonicznymi równaniami prostej na płaszczyźnie: x - x 1 a x = y - y 1 a y i x - x 2 b x = y - y 2 b y lub równaniami parametrycznymi linii na płaszczyźnie: x = x 1 + λ za x y = y 1 + λ a y oraz x = x 2 + λ b x y = y 2 + λ b y .
Wtedy wektory kierunkowe danych prostych będą miały postać odpowiednio: a x , a y i b x , by y, a warunek równoległości zapiszemy następująco:
za x = t b x za y = t b y
Spójrzmy na przykłady.
Przykład 1
Biorąc pod uwagę dwa proste: 2 x - 3 y + 1 = 0 i x 1 2 + y 5 = 1 . Musisz określić, czy są równoległe.
Rozwiązanie
Piszemy równanie linii prostej w odcinkach w postaci ogólnego równania:
x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0
Widzimy, że n a → = (2 , - 3) jest wektorem normalnym prostej 2 x - 3 y + 1 = 0 , a n b → = 2 , 1 5 jest wektorem normalnym prostej x 1 2 + y 5 = 1 .
Otrzymane wektory nie są współliniowe, ponieważ nie ma takiej wartości t, dla której równość byłaby prawdziwa:
2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5
Zatem warunek konieczny i wystarczający równoległości prostych na płaszczyźnie nie jest spełniony, co oznacza, że dane proste nie są równoległe.
Odpowiadać: podane proste nie są równoległe.
Przykład 2
Dane linie y = 2 x + 1 i x 1 = y - 4 2 . Czy są równoległe?
Rozwiązanie
Przekształćmy kanoniczne równanie prostej x 1 \u003d y - 4 2 do równania prostej o nachyleniu:
x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4
Widzimy, że równania prostych y = 2 x + 1 i y = 2 x + 4 nie są takie same (gdyby było inaczej, proste byłyby takie same), a współczynniki kierunkowe prostych są równe, co oznacza, że podane proste są równoległe.
Spróbujmy rozwiązać problem inaczej. Najpierw sprawdzamy, czy podane proste się pokrywają. Używamy dowolnego punktu linii y \u003d 2 x + 1, na przykład (0, 1) , współrzędne tego punktu nie odpowiadają równaniu linii x 1 \u003d y - 4 2, co oznacza, że linie nie pokrywają się.
Kolejnym krokiem jest określenie spełnienia warunku równoległości dla danych prostych.
Wektor normalny prostej y = 2 x + 1 to wektor n a → = (2 , - 1) , a wektor kierunkowy drugiej danej prostej to b → = (1 , 2) . Iloczyn skalarny tych wektorów wynosi zero:
n za → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0
Zatem wektory są prostopadłe: to pokazuje nam spełnienie warunku koniecznego i wystarczającego, aby pierwotne proste były równoległe. Tych. podane proste są równoległe.
Odpowiadać: te proste są równoległe.
Aby udowodnić równoległość prostych w prostokątnym układzie współrzędnych przestrzeni trójwymiarowej, stosuje się następujący warunek konieczny i wystarczający.
Twierdzenie 8
Aby dwie nie pokrywające się linie w przestrzeni trójwymiarowej były równoległe, konieczne i wystarczające jest, aby wektory kierunkowe tych linii były współliniowe.
Tych. dla danych równań prostych w przestrzeni trójwymiarowej odpowiedź na pytanie, czy są one równoległe, czy nie, uzyskuje się wyznaczając współrzędne wektorów kierunkowych danych prostych, a także sprawdzając warunek ich współliniowości. Innymi słowy, jeśli a → = (a x, a y, a z) i b → = (b x, b y, b z) są wektorami kierunkowymi odpowiednio prostych a i b, to aby były równoległe, istnienie takiej liczby rzeczywistej t jest konieczne, aby zachodziła równość:
za → = t b → ⇔ za x = t b x za y = t b y za z = t b z
Przykład 3
Dane linie x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 i x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ . Konieczne jest udowodnienie równoległości tych prostych.
Rozwiązanie
Warunkiem zadania są równania kanoniczne jednej prostej w przestrzeni i równania parametryczne innej prostej w przestrzeni. Wektory kierunku a → i b → dane proste mają współrzędne: (1 , 0 , - 3) i (2 , 0 , - 6) .
1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t - 6 ⇔ t = 1 2 , wtedy za → = 1 2 b → .
Zatem warunek konieczny i wystarczający dla równoległych linii w przestrzeni jest spełniony.
Odpowiadać: udowodniono równoległość danych prostych.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
Nie przecinają się, bez względu na to, jak długo trwają. Równoległość linii na piśmie jest wskazana w następujący sposób: AB|| Zmi
Możliwość istnienia takich linii jest udowodniona przez twierdzenie.
Twierdzenie.
Przez dowolny punkt wyprowadzony poza daną prostą można poprowadzić równoległość do tej prostej..
Wynajmować AB ta linia i Z jakiś punkt wzięty poza to. Wymagane jest, aby to udowodnić Z możesz narysować linię prostą równoległyAB. Wpadnijmy AB z punktu Z prostopadłyZD a potem będziemy Zmi^ ZD, co jest możliwe. Prosty CE równoległy AB.
Dla dowodu zakładamy coś przeciwnego, tj. że CE przecina się AB w pewnym momencie M. Następnie od punktu M do linii prostej ZD mielibyśmy dwie różne prostopadłe MD oraz SM, co jest niemożliwe. Oznacza, CE nie może się przecinać AB, tj. Zmi równoległy AB.
Konsekwencja.
Dwie prostopadłe (CmiorazDB) do jednej linii prostej (СD) są równoległe.
Aksjomat linii równoległych.
Przez ten sam punkt nie można poprowadzić dwóch różnych linii równoległych do tej samej linii.
Więc jeśli linia prosta ZD, poprowadzona przez punkt Z równolegle do linii prostej AB, a następnie dowolny inny wiersz Zmi przez ten sam punkt Z, nie może być równoległy AB, tj. ona kontynuuje przecinać Z AB.
Dowód tej nie do końca oczywistej prawdy okazuje się niemożliwy. Przyjmuje się ją bez dowodu jako założenie konieczne (postulatum).
Konsekwencje.
1. Jeśli proste(Zmi) przecina się z jednym z równoległy(południowy zachód), to przecina się z drugim ( AB), bo inaczej przez ten sam punkt Z dwie różne linie proste, równoległe AB, co jest niemożliwe.
2. Jeśli każdy z dwóch bezpośredni (AorazB) są równoległe do tej samej trzeciej prostej ( Z) , wtedy oni są równoległe pomiędzy nimi.
Rzeczywiście, jeśli tak założymy A oraz B przecinać się w pewnym punkcie M, to przez ten punkt przechodzą dwie różne proste równoległe do siebie. Z, co jest niemożliwe.
Twierdzenie.
Jeśli prosta jest prostopadła do jednej z prostych równoległych, to jest prostopadła do drugiej równoległy.
Wynajmować AB || ZD oraz EF ^ AB Wymagane jest, aby to udowodnić EF ^ ZD.
ProstopadłymiF, przecinające się z AB, z pewnością przecinają się i ZD. Niech punkt przecięcia będzie H.
Załóżmy teraz, że ZD nie prostopadła do EH. Potem inna linia, np HK, będzie prostopadła do EH a więc przez ten sam punkt H dwa prosta równoległa AB: jeden ZD, pod warunkiem i inne HK jak udowodniono wcześniej. Ponieważ jest to niemożliwe, nie można tego zakładać południowy zachód nie był prostopadły do EH.