Suma zredukowanych reszt modulo n. Systemy wypłat. Ćwiczenia do samodzielnej pracy
lub dowolny kolejny p liczby.
System ten nazywa się kompletny system liczb, które nie są porównywalne pod względem modułu p lub kompletny system reszt modulo p. Wiadomo, że jakikolwiek p kolejne liczby tworzą taki system.
Wszystkie liczby należące do tej samej klasy mają wiele wspólnych właściwości, dlatego w odniesieniu do modułu można je uznać za jedną liczbę. Każdą liczbę uwzględnioną w porównaniu jako sumę lub czynnik można zastąpić, nie naruszając porównania, liczbą do niej porównywalną, tj. z numerem należącym do tej samej klasy.
Drugim elementem wspólnym dla wszystkich liczb danej klasy jest największy wspólny dzielnik każdego elementu tej klasy i modułu p.
Wynajmować a oraz b porównywalne modulo p, następnie
Twierdzenie 1. jeśli w topór+b zamiast x uporządkujmy wszystko p członków pełnego systemu liczb
Dlatego wszystkie liczby topór+b, gdzie x=1,2,...p-1 nie są porównywalne modulo p(w przeciwnym razie numery 1,2,... p-1 byłoby porównywalne modulo p.
Notatki
1) W tym artykule słowo liczba będzie oznaczać liczbę całkowitą.
Literatura
- 1. K. Irlandia, M. Rosen. Klasyczne wprowadzenie do współczesnej teorii liczb - M: Mir, 1987.
- 2. G. Davenport. Wyższa arytmetyka - M: Nauka, 1965.
- 3. PG Lejeune Dirichlet. Wykłady z teorii liczb. − Moskwa, 1936.
Pierścień pozostałości modulo n oznaczać lub . Oznaczono jej grupę multiplikatywną, podobnie jak w ogólnym przypadku grup elementów odwracalnych pierścieni ∗ × × .
Najprostszy przypadek
Aby zrozumieć strukturę grupy, możemy rozważyć szczególny przypadek, w którym jest liczbą pierwszą i uogólnić go. Rozważmy najprostszy przypadek, gdy , czyli .
Twierdzenie: - grupa cykliczna.
Przykład : Rozważ grupę
= (1,2,4,5,7,8) Generatorem grup jest liczba 2. ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ Jak widać, każdy element grupy można przedstawić jako , gdzie ≤ℓφ . Oznacza to, że grupa jest cykliczna.Sprawa ogólna
Aby rozważyć ogólny przypadek, konieczne jest zdefiniowanie pierwiastka pierwotnego. Prymitywny pierwiastek modulo liczba pierwsza to liczba, która wraz z klasą reszty daje początek grupie.
Przykłady: 2 11 ; 8 - pierwiastek pierwotny modulo 11 ; 3 nie jest pierwotnym pierwiastkiem modulo 11 .W przypadku całego modułu definicja jest taka sama.
Strukturę grupy określa następujące twierdzenie: Jeśli p jest nieparzystą liczbą pierwszą, a l jest dodatnią liczbą całkowitą, to istnieją pierwiastki pierwotne modulo, czyli grupa cykliczna.
Przykład
Zredukowany system reszt modulo składa się z klas reszt: . Ze względu na mnożenie określone dla klas reszt tworzą one ponadto grupę i są wzajemnie odwrotne (tzn. ⋅ ) i są odwrotne do siebie.
Struktura grupy
Wpis oznacza „grupę cykliczną rzędu n”.
× | φ | λ | Generator grup | × | φ | λ | Generator grup | × | φ | λ | Generator grup | × | φ | λ | Generator grup | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | C1 | 1 | 1 | 0 | 33 | C2×C10 | 20 | 10 | 2, 10 | 65 | C4×C12 | 48 | 12 | 2, 12 | 97 | C96 | 96 | 96 | 5 | |||
2 | C1 | 1 | 1 | 1 | 34 | C 16 | 16 | 16 | 3 | 66 | C2×C10 | 20 | 10 | 5, 7 | 98 | C42 | 42 | 42 | 3 | |||
3 | C2 | 2 | 2 | 2 | 35 | C2×C12 | 24 | 12 | 2, 6 | 67 | C66 | 66 | 66 | 2 | 99 | C2×C30 | 60 | 30 | 2, 5 | |||
4 | C2 | 2 | 2 | 3 | 36 | C2×C6 | 12 | 6 | 5, 19 | 68 | C2×C16 | 32 | 16 | 3, 67 | 100 | C2×C20 | 40 | 20 | 3, 99 | |||
5 | C4 | 4 | 4 | 2 | 37 | C 36 | 36 | 36 | 2 | 69 | C2×C22 | 44 | 22 | 2, 68 | 101 | C 100 | 100 | 100 | 2 | |||
6 | C2 | 2 | 2 | 5 | 38 | C 18 | 18 | 18 | 3 | 70 | C2×C12 | 24 | 12 | 3, 69 | 102 | C2×C16 | 32 | 16 | 5, 101 | |||
7 | C6 | 6 | 6 | 3 | 39 | C2×C12 | 24 | 12 | 2, 38 | 71 | C70 | 70 | 70 | 7 | 103 | C 102 | 102 | 102 | 5 | |||
8 | C2×C2 | 4 | 2 | 3, 5 | 40 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 3, 11, 39 | 72 | C2×C2×C6 | 24 | 6 | 5, 17, 19 | 104 | C2×C2×C12 | 48 | 12 | 3, 5, 103 | |||
9 | C6 | 6 | 6 | 2 | 41 | C40 | 40 | 40 | 6 | 73 | C72 | 72 | 72 | 5 | 105 | C2×C2×C12 | 48 | 12 | 2, 29, 41 | |||
10 | C4 | 4 | 4 | 3 | 42 | C2×C6 | 12 | 6 | 5, 13 | 74 | C 36 | 36 | 36 | 5 | 106 | C 52 | 52 | 52 | 3 | |||
11 | C 10 | 10 | 10 | 2 | 43 | C42 | 42 | 42 | 3 | 75 | C2×C20 | 40 | 20 | 2, 74 | 107 | C 106 | 106 | 106 | 2 | |||
12 | C2×C2 | 4 | 2 | 5, 7 | 44 | C2×C10 | 20 | 10 | 3, 43 | 76 | C2×C18 | 36 | 18 | 3, 37 | 108 | C2×C18 | 36 | 18 | 5, 107 | |||
13 | C 12 | 12 | 12 | 2 | 45 | C2×C12 | 24 | 12 | 2, 44 | 77 | C2×C30 | 60 | 30 | 2, 76 | 109 | C 108 | 108 | 108 | 6 | |||
14 | C6 | 6 | 6 | 3 | 46 | C 22 | 22 | 22 | 5 | 78 | C2×C12 | 24 | 12 | 5, 7 | 110 | C2×C20 | 40 | 20 | 3, 109 | |||
15 | C2×C4 | 8 | 4 | 2, 14 | 47 | C46 | 46 | 46 | 5 | 79 | C78 | 78 | 78 | 3 | 111 | C2×C36 | 72 | 36 | 2, 110 | |||
16 | C2×C4 | 8 | 4 | 3, 15 | 48 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 5, 7, 47 | 80 | C2×C4×C4 | 32 | 4 | 3, 7, 79 | 112 | C2×C2×C12 | 48 | 12 | 3, 5, 111 | |||
17 | C 16 | 16 | 16 | 3 | 49 | C42 | 42 | 42 | 3 | 81 | C 54 | 54 | 54 | 2 | 113 | C 112 | 112 | 112 | 3 | |||
18 | C6 | 6 | 6 | 5 | 50 | C 20 | 20 | 20 | 3 | 82 | C40 | 40 | 40 | 7 | 114 | C2×C18 | 36 | 18 | 5, 37 | |||
19 | C 18 | 18 | 18 | 2 | 51 | C2×C16 | 32 | 16 | 5, 50 | 83 | C82 | 82 | 82 | 2 | 115 | C2×C44 | 88 | 44 | 2, 114 | |||
20 | C2×C4 | 8 | 4 | 3, 19 | 52 | C2×C12 | 24 | 12 | 7, 51 | 84 | C2×C2×C6 | 24 | 6 | 5, 11, 13 | 116 | C2×C28 | 56 | 28 | 3, 115 | |||
21 | C2×C6 | 12 | 6 | 2, 20 | 53 | C 52 | 52 | 52 | 2 | 85 | C4×C16 | 64 | 16 | 2, 3 | 117 | C6×C12 | 72 | 12 | 2, 17 | |||
22 | C 10 | 10 | 10 | 7 | 54 | C 18 | 18 | 18 | 5 | 86 | C42 | 42 | 42 | 3 | 118 | C 58 | 58 | 58 | 11 | |||
23 | C 22 | 22 | 22 | 5 | 55 | C2×C20 | 40 | 20 | 2, 21 | 87 | C2×C28 | 56 | 28 | 2, 86 | 119 | C2×C48 | 96 | 48 | 3, 118 | |||
24 | C2×C2×C2 | 8 | 2 | 5, 7, 13 | 56 | C2×C2×C6 | 24 | 6 | 3, 13, 29 | 88 | C2×C2×C10 | 40 | 10 | 3, 5, 7 | 120 | C2×C2×C2×C4 | 32 | 4 | 7, 11, 19, 29 | |||
25 | C 20 | 20 | 20 | 2 | 57 | C2×C18 | 36 | 18 | 2, 20 | 89 | C 88 | 88 | 88 | 3 | 121 | C 110 | 110 | 110 | 2 | |||
26 | C 12 | 12 | 12 | 7 | 58 | C 28 | 28 | 28 | 3 | 90 | C2×C12 | 24 | 12 | 7, 11 | 122 | C60 | 60 | 60 | 7 | |||
27 | C 18 | 18 | 18 | 2 | 59 | C 58 | 58 | 58 | 2 | 91 | C6×C12 | 72 | 12 | 2, 3 | 123 | C2×C40 | 80 | 40 | 7, 83 | |||
28 | C2×C6 | 12 | 6 | 3, 13 | 60 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 7, 11, 19 | 92 | C2×C22 | 44 | 22 | 3, 91 | 124 | C2×C30 | 60 | 30 | 3, 61 | |||
29 | C 28 | 28 | 28 | 2 | 61 | C60 | 60 | 60 | 2 | 93 | C2×C30 | 60 | 30 | 11, 61 | 125 | C 100 | 100 | 100 | 2 | |||
30 | C2×C4 | 8 | 4 | 7, 11 | 62 | C 30 | 30 | 30 | 3 | 94 | C46 | 46 | 46 | 5 | 126 | C6×C6 | 36 | 6 | 5, 13 | |||
31 | C 30 | 30 | 30 | 3 | 63 | C6×C6 | 36 | 6 | 2, 5 | 95 | C2×C36 | 72 | 36 | 2, 94 | 127 | C 126 | 126 | 126 | 3 | |||
32 | C2×C8 | 16 | 8 | 3, 31 | 64 | C2×C16 | 32 | 16 | 3, 63 | 96 | C2×C2×C8 | 32 | 8 | 5, 17, 31 | 128 | C2×C32 | 64 | 32 | 3, 127 |
Aplikacja
Na poziomie trudności, Farma, Hooley, . Waring sformułował twierdzenie Wilsona, a Lagrange to udowodnił. Euler zasugerował istnienie pierwiastków pierwotnych modulo liczba pierwsza. Gauss to udowodnił. Artin wysunął swoją hipotezę o istnieniu i kwantyfikowaniu liczb pierwszych modulo, których dana liczba całkowita jest pierwiastkiem pierwotnym. Brouwer przyczynił się do zbadania problemu istnienia zbiorów kolejnych liczb całkowitych, z których każda jest k-tą potęgą modulo p. Bielhartz udowodnił analogię przypuszczenia Artina. Hooley udowodnił hipotezę Artina, zakładając, że rozszerzona hipoteza Riemanna jest ważna w algebraicznych ciałach liczbowych.
Notatki
Literatura
- Irlandia K., Rosen M. Klasyczne wprowadzenie do współczesnej teorii liczb. - M.: Mir, 1987.
- Alferov AP, Zubov A.Yu, Kuzmin A.S. Czeremuszkin A.V. Podstawy kryptografii. - Moskwa: "Helios ARV", 2002.
- Rostovtsev A.G., Makhovenko E.B. Kryptografia teoretyczna. - Petersburg: NPO „Professional”, 2004.
PODSTAWOWE INFORMACJE Z TEORII
6. 1. Definicja 1.
Klasa liczb modulo m jest zbiorem wszystkich tych i tylko tych liczb całkowitych, które przy dzieleniu przez m mają taką samą resztę r, czyli porównywalne modulo m (t Î N, t> 1).
Oznaczenie klasy liczb z resztą r: .
Każdy numer z klasy nazywa się resztą modulo m, a samą klasą nazywamy klasą reszt modulo m.
6. 2. Własności zbioru klas reszt modulo t:
1) moduł całkowity t będzie t Klasy pozostałości: Zt = { , , , … , };
2) każda klasa zawiera nieskończony zbiór liczb całkowitych (reszt) postaci: = ( a= mkw+ r/qÎ Z, 0£ r< m}
3) "aÎ : aº r(moda m);
4) "a, bÎ : aº b(moda m), to znaczy dowolne dwie reszty wzięte od jednego klasa, porównywalny modulo t;
5) "aÎ , " bÎ : a b(moda m), to znaczy nie ma dwóch reszt; zajęty z innego zajęcia niezrównany modulo t.
6. 3. Definicja 3.
Kompletny system reszt modulo m to dowolny zbiór m liczb wziętych po jednej i tylko jednej z każdej klasy reszt modulo m.
Przykład: jeśli m= 5, to (10, 6, - 3, 28, 44) jest kompletnym układem reszt modulo 5 (i nie jedynym!)
W szczególności,
zestaw (0, 1, 2, 3, … , m–1) jest systemem najmniejszy nieujemny odliczenia;
zestaw (1, 2, 3, … , m –1, t) jest układem najmniej pozytywne potrącenia.
6. 4. Pamiętaj, że:
jeśli ( X 1 , X 2 , … , x t) jest kompletnym systemem reszt modulo t, następnie
.
6. 5. Twierdzenie 1.
Jeśli {X 1 , X 2 , … , x t} – kompletny system reszt modulo m, "a, bÎ Z i(w) = 1, – następnie system liczbowy {Oh 1 +b, Oh 2 + b, … , ah t+b} tworzy również kompletny system reszt modulo m .
6. 6. Twierdzenie 2.
Wszystkie reszty tej samej klasy reszt modulo m mają ten sam największy wspólny dzielnik z m: "a, bÎ Þ ( a; t) = (b; t).
6. 7. Definicja 4.
Klasa pozostałości modulo m nazywa się względnie pierwszą z modulo m,jeśli co najmniej jedna reszta tej klasy jest względnie pierwsza z tj.
Zauważ, że w tym przypadku, zgodnie z Twierdzeniem 2 wszystko liczby tej klasy będą względnie pierwsze z modułem t.
6. 8. Definicja 5.
Zredukowany układ reszt modulo m to układ reszt wziętych tylko po jednej z każdej klasy względnie pierwszej do m.
6. 9. Pamiętaj, że:
1) zredukowany układ reszt modulo t zawiera j( t) liczby ( X 1 , X 2 ,…, };
2) : .
3) "x ja : (x ja, m) = 1;
Przykład : Niech modulo t= 10 istnieje 10 klas reszt:
Z 10 = ( , , , , , , , , , ) to zbiór klas reszt modulo 10. Kompletny system odliczeń mod 10 to na przykład to: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
Wiele klas pozostałości, względnie pierwsze z modułem m= 10: ( , , , )(j(10) = 4).
Zredukowany system odliczeń modulo 10 to np.
(1, 3, 7, 9) lub (11, 43, – 5, 17), lub ( – 9, 13, – 5, 77) itd. (wszędzie j(10) = 4 liczby).
6.10. Praktycznie: tworząc jeden z możliwych układów zredukowanych pozostałości mod m, konieczne jest wybranie z pełnego systemu reszt mod m tych reszt, które są względnie pierwsze z m. Takie liczby będą j( t).
6.11. Twierdzenie 3.
Jeśli{X 1 , X 2 ,…, } – zredukowany układ reszt modulo m oraz
(a, m) = 1, – następnie system liczbowy {Oh 1 , Oh 2 , … , topór j (t)} również formy
zredukowany układ reszt modulo m .
6.12. Definicja 6.
suma( Å ) klasy odliczeń oraz +b równe sumie dowolnych dwóch odliczeń pobranych po jednym z każdej danej klasy i : Å = , gdzie"aÎ , "bÎ .
6.13. Definicja 7.
praca( Ä ) klasy odliczeń oraz modulo m nazywa się klasą pozostałości , czyli klasa reszt składająca się z liczb a ´ b równy iloczynowi dowolnych dwóch reszt wziętych jedna po drugiej z każdej danej klasy i : Ä = , gdzie"aÎ , "bÎ .
Zatem w zbiorze klas reszt modulo t: Zt= ( , , ,…, ) zdefiniowane są dwie operacje algebraiczne – „dodawanie” i „mnożenie”.
6.14. Twierdzenie 4.
Zbiór klas reszt Z t modulo t jest pierścieniem asocjacyjno-przemiennym o jednostce:
< Zt , +, · > = < { , , ,…, }, +, · > – dzwonić.
TYPOWE ZADANIA
1. Moduł t= 9:
1) kompletny system najmniej dodatnich reszt;
2) kompletny system najmniejszych reszt nieujemnych;
3) dowolny pełny system potrąceń;
4) pełny system odliczeń najmniejszych bezwzględnych.
Odpowiadać:1) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; 2) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
2. Skompiluj zredukowany system reszt modulo t= 12.
Rozwiązanie.
1) Skomponuj kompletny system najmniej dodatnich reszt modulo t= 12:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12) (ogółem t= 12 liczb).
2) Usuwamy z tego systemu liczby, które nie są względnie pierwsze z liczbą 12:
{1, 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9 , 10 , 11, 12 }.
3) Pozostałe liczby, względnie pierwsze z liczbą 12, tworzą pożądany zredukowany układ reszt modulo t= 12 (całkowity j( t) = j(12) = 4 liczby).
Odpowiadać:(1, 5, 7, 11) - zredukowany układ reszt modulo t= 12.
130. Utwórz 1) kompletny system najmniej dodatnich reszt; 2) kompletny system najmniejszych reszt nieujemnych; 3) arbitralny system potrąceń; 4) kompletny system najmniejszych potrąceń bezwzględnych; 5) zredukowany układ reszt: a) modulo m= 6; b) modulo m = 8.
131. Czy zbiór (9, 2, 16, 20, 27, 39, 46, 85) jest zupełnym układem reszt modulo 8?
132 Według jakiego modułu zbiór (20, - 4, 22, 18, - 1) jest kompletnym systemem reszt?
133. Stwórz zredukowany układ reszt modulo m Jeśli) m= 9; b) m= 24; w) m= 7. Ile liczb powinien zawierać taki układ?
134. Sformułuj główne własności kompletnego układu reszt i zredukowanego układu reszt modulo m .
135. Jakie elementy wyróżniają systemy zredukowane i kompletne o najmniejszych resztach nieujemnych modulo prim?
136. Pod jakim warunkiem są liczby a oraz - a należą do tej samej klasy reszt modulo m?
137. Do jakich klas reszt modulo 8 należą wszystkie liczby pierwsze? R³ 3 ?
138. Czy zbiór liczb (0, 2 0 , 2 1 , 2 2 , ... , 2 9 ) tworzy kompletny system reszt modulo 11?
139. Ile klas reszt modulo 21 należy do wszystkich reszt z jednej klasy reszt modulo 7?
140. Zbiór liczb całkowitych Z rozłóż według klas reszt modulo 5. Utwórz tablice dodawania i mnożenia w otrzymanym zbiorze klas reszt Z 5. Czy zestaw Z 5: a) grupa z operacją dodawania klas? b) grupa z operacją mnożenia klas?
§ 7. Twierdzenie Eulera. MAŁE TWIERDZENIE FERMATA
PODSTAWOWE INFORMACJE Z TEORII
7. 1. Twierdzenie 1.
JeśliÎ Z,tÎ N, t>1 oraz(a;t) = 1, – to w nieskończonym ciągu potęg a 1 , a 2 , a 3 , ... , a s , … , a t, … istnieją co najmniej dwie potęgi o wykładnikach s i t(s<t) takie że . (*)
7. 2. Komentarz. Oznaczanie t– s = k> 0, z (*) otrzymujemy: . Podniesienie obu stron tego porównania do potęgi nÎ N, otrzymujemy: (**). Oznacza to, że istnieje nieskończona liczba potęg a, spełniając porównanie (**). Ale Jak znaleźć te wskaźniki? Co najmniej wskaźnik spełniający kryterium porównania (**) ? Odpowiada na pierwsze pytanie Twierdzenie Eulera(1707 – 1783).
7. 3. Twierdzenie Eulera.
JeśliÎ Z,tÎ N, t>1 oraz(a;t) = 1, - następnie . (13)
Przykład. Wynajmować a = 2,t = 21, (a; t) = (2; 21) = 1. Wtedy . Skoro j (21) = 12, to 2 12 º 1(mod 21). Rzeczywiście: 2 12 = 4096 i (4096 - 1) 21. Wtedy jest oczywiste, że 2 24 º 1 (mod 21), 2 36 º 1 (mod 21) i tak dalej. Ale czy wykładnik 12 - najmniej satysfakcjonujące porównanie 2 nº 1 (mod 21) ? Okazuje się, że nie. Najniższy wskaźnik będzie P= 6: 2 6 º 1 (mod 21), ponieważ 2 6 – 1 = 63 i 63 21. Zauważ, że najmniej indeks, którego należy szukać tylko wśród dzielników liczby j( t) (w tym przykładzie wśród dzielników liczby j(21) = 12).
7. 4. Małe twierdzenie Fermata (1601 - 1665).
Dla dowolnej liczby pierwszej p i dowolnej liczby aÎ Z, niepodzielne przez p, jest porównanie . (14)
Przykład. Wynajmować a = 3,R= 5, gdzie 3 nie jest 5. Wtedy lub .
7. 5. Uogólnienie twierdzenia Fermata.
Dla dowolnej liczby pierwszej p i dowolnej liczby aÎ porównuje się Z (15)
TYPOWE ZADANIA
1. Udowodnij, że 38 73 º 3(mod 35).
Rozwiązanie.
1) Skoro (38; 35) = 1, to z twierdzenia Eulera ; j(35) = 24, więc
(1).
2) Z porównania (1), z Wniosku 2, właściwości 5 0 porównań numerycznych, mamy:
3) Z porównania (2), przez Wniosek 1 własności 5 0 porównań: 38 72 × 38 º 1 × 38 (mod 35) Þ Þ 38 73 º 38 º 38–35 = 3 (mod 35) Þ 38 73 º 3 (mod 35), co należało udowodnić.
2. Biorąc pod uwagę: a = 4, t= 15. Znajdź najmniejszy wykładnik k, spełniające porównanie (*)
Rozwiązanie.
1) Ponieważ ( a; m) = (4; 25) = 1, a następnie z twierdzenia Eulera , j(25) = 20, więc .
2) Czy znaleziony wykładnik - liczba 20 - najmniej liczba naturalna, która spełnia porównanie (*)? Jeśli istnieje wykładnik mniejszy niż 20, to musi to być dzielnik 20. Stąd wymagany minimalny wykładnik k musisz szukać wśród wielu numerów n= (1, 2, 4, 5, 10, 20) – dzielniki 20.
3) Kiedy P = 1: ;
w P = 2: ;
w P= 3: (nie trzeba brać pod uwagę);
w P = 4: ;
w P = 5: ;
w P= 6, 7, 8, 9: (nie trzeba brać pod uwagę);
w P = 10: .
Więc, najmniej wykładnik potęgowy k, satysfakcjonujące porównanie (*), jest k= 10.
Odpowiadać: .
ĆWICZENIA DO PRACY SAMODZIELNEJ
141. Z twierdzenia Eulera . Na a = 3, t= 6 mamy: .
Skoro j(6) = 2, to 3 2 º1(mod 6) lub 9º1(mod 6), Wtedy, zgodnie z lematem, (9 – 1) 6 lub 8 6 (całkowicie!?). Gdzie jest błąd?
142. Wykaż, że: a) 23 100 º1(mod 101); b) 81 40º 1(mod100); c) 2 73 º 2 (mod 73).
143. Udowodnij, że a) 1 16 + 3 16 + 7 16 + 9 16 º 4 (mod 10);
b) 5 4 P + 1 + 7 4P+ 1 dzieli się przez 12 bez reszty.
144. Udowodnij twierdzenie odwrotne do twierdzenia Eulera: jeśli a j ( m) º 1 (mod m), następnie ( jestem) =1.
145. Znajdź najmniejszy wykładnik kÎ N, spełniające to porównanie: a) ; b) ; w) ; G) ;
mi) ; mi) ; oraz) ; h) .
oraz) ; do) ; l) ; m) .
146. Znajdź resztę z dzielenia:
a) 7100 za 11; b) 9900 za 5; c) 5176 na 7; d) 2 1999 o 5; e) 8 377 za 5;
f) 26 57 na 35; g) 35 359 za 22; h) 5718 na 103; i) 27 260 do 40; j) 25 1998 w wieku 62 lat.
147*. Udowodnij to a 561 º a(moda 11).
148*. Jeśli rozkład kanoniczny liczby naturalnej P nie zawiera czynników 2 i 5, to dwunasta potęga tej liczby kończy się na 1. Udowodnij.
149*. Udowodnij, że 2 64 º 16 (mod 360).
150*. Udowodnij: jeśli ( a, 65) =1 , (b, 65) = 1, zatem a 12 –b 12 jest równo podzielne przez 65.
Rozdział 3. APLIKACJE ARYTMETYCZNE
TEORIE PORÓWNAŃ LICZBOWYCH
§ 8. LICZBY SYSTEMATYCZNE
PODSTAWOWE INFORMACJE Z TEORII
1. LICZBY SYSTEMATYCZNE CAŁKOWITE
8. 1. Definicja 1.
System liczbowy to dowolny sposób zapisu liczb. Znaki, którymi zapisywane są te liczby, nazywane są liczbami.
8. 2. Definicja 2.
Liczba całkowita nieujemna systematyczna zapisana w systemie liczb pozycyjnych t jest liczbą n postaci
,gdzie ja(i = 0,1, 2,…, k) – liczby całkowite nieujemne - cyfry, oraz 0 £ ja £ t– 1, t jest podstawą systemu liczbowego, tÎ N, t > 1.
Na przykład zapis liczby w systemie 7-argumentowym to: (5603) 7 = 5 × 7 3 + 6 × 7 2 + 0 × 7 1 + 3. Tutaj ja- są to 5, 6, 0, 3 - liczby; wszystkie spełniają warunek: 0 £ ja£ 6. Kiedy t=10 powiedz: liczba n nagrane w dziesiętny system liczbowy, i indeks t= 10 nie pisz.
8. 3. Twierdzenie 1.
Dowolną nieujemną liczbę całkowitą można przedstawić w unikalny sposób jako liczbę systematyczną o dowolnej podstawie t, gdzie tÎ N, t > 1.
Przykład:(1 3 9) 10 = (3 5 1) 6 = (1 0 2 4) 5 = …
8. 4. Pamiętaj, że:
1) przypisanie do systematycznej liczby zer po lewej stronie nie zmienia ten numer:
(3 4) 5 = (0 3 4) 5 .
2) przypisanie do numeru systematycznego s zera po prawej stronie są równoważne mnożenie ten numer za ts: (3 4) 5 = 3×5 1 + 4; (3 4 0 0) 5 = 3 × 5 3 + 4 × 5 2 + 0 × 5 1 + 0 = 5 2 × (3 × 5 1 + 4).
8. 5. Algorytm konwersji liczby zapisanej wt system -ary, do dziesiętnego:
Przykład: (287) 12 = 2×12 2 + 8×12 1 +7×12 0 = 2×144 + 8×12 + 7 = 288 + 96 +7 = (391) 10 .
8. 6. Algorytm konwersji liczby zapisanej w systemie dziesiętnym systemem, wt -osobisty:
Przykład: (3 9 1) 10 = (X) 12 . Odnaleźć X.
8. 7. Działania na liczbach systematycznych
2. UDZIAŁY SYSTEMATYCZNE
8. 8. Definicja 3.
Skończony t-arny ułamek systematyczny w systemie liczbowym o podstawie t jest liczbą postaci
gdzie C 0 Î Z, z i - liczbami– liczby całkowite nieujemne, oraz 0 £ z ja£ t– 1, tÎ N, t > 1, kÎ N .
Notacja: a = ( c 0 , Z 1 Z 2 …z k)t. Na t= 10 nazywamy ułamek dziesiętny.
8. 9. Konsekwencja 1.
Każdy skończony ułamek systematyczny jest liczbą wymierną, którą można przedstawić jako , gdzieÎ Z, urÎ N.
Przykład. za = (3 1, 2 4) 6 = 3×6 + 1 + =19 + jest liczbą wymierną. Odwrotne stwierdzenie nie jest generalnie prawdziwe. Na przykład ułamek nie może zostać przekształcony w skończony ułamek systematyczny (dziesiętny).
8.10. Definicja 4.
Nieskończony t-ary dodatni ułamek systematyczny w systemie liczbowym o podstawie t jest liczbą postaci
, skąd od 0Î N, z ja(i =1, 2, …, do, …) - liczby– liczby całkowite nieujemne, oraz 0 £ z ja£ t–1, tÎ N, t > 1, kÎ N.
Notacja: a = ( Z 0 , Z 1 Z 2 … z k…) t. Na t=10 nazywamy ułamek dziesiętny.
8.11. Definicja 5.
Istnieją trzy rodzaje nieskończonych ułamków systematycznych:
ja = ( Z 0 , )t= = t, gdzie = = = … W tym przypadku numer a nazywa się nieskończonym ułamkiem czysto okresowym,(Z 1 Z 2 … z k) – Kropka, k - liczba cyfr w okresie - długość okresu.
II a = .
W tym przypadku liczba a nazywa się nieskończonym mieszanym ułamkiem okresowym, – przed okresem, () – Kropka, k - liczba cyfr w okresie - długość okresu, l - liczba cyfr między częścią całkowitą a pierwszym okresem - długość przedokresu.
III a = ( Z 0 , Z 1 Z 2 … z k …)t . W tym przypadku numer a nazywa się nieskończonym ułamkiem nieokresowym.
TYPOWE ZADANIA
1. Numer ( a) 5 = (2 1 4 3) 5 , podane w systemie 5-arkowym, przełożyć na system 7-arkowy, czyli znaleźć X, jeśli (2 1 4 3) 5 = ( X) 7 .
Rozwiązanie.
1) Zamień podaną liczbę (2 1 4 3) 5 na liczbę ( w) 10 zapisane w systemie dziesiętnym:
2. Postępuj zgodnie z instrukcjami:
1) (7) 8 + (5) 8 ; 2) (7) 8 × (5) 8 ; 3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6 ;
4) (5 2 3 4) 7 – (2 3 5 1) 7 ; 5) (4 2 3) 5 × (3 2) 5 ; 6) (3 0 1 4 1) 5: (4 2 3) 5 .
Rozwiązanie.
1) (7) 8 + (5) 8 = (7) 10 + (5) 10 = (12) 10 = 1×8 + 4 = (1 4) 8 ;
2) (7) 8 × (5) 8 = (7) 10 × (5) 10 = (35) 10 = 4 × 8 + 3 = (4 · 3) 8 ;
3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6 (1 2 4 3 3) 6 | Notatka: | 4+5 = 9 = 1×6+3, 3 jest zapisywana, 1 przechodzi do następnej cyfry, 6+3+1=10 =1×6+4, 4 jest zapisywana, 1 przechodzi do następnej cyfry, 3+ 4+1= 8 \u003d 1 × 6 + 2, 2 jest zapisane, 1 przechodzi do następnej cyfry. |
4) (5 2 3 4) 7 – (2 3 5 1) 7 (2 5 5 3) 7 | Notatka: | „zajmują” jednostkę najwyższej rangi, czyli „1” = 1x7: (3 + 1x7) - 5 = 10 - 5 = 5, (1 + 1x7) - 3 = 8 - 3 = 5 , |
5) (4 2 3) 5 ´ (3 2) 5 (1 4 0 1) 5 + (2 3 2 4) 5__ (3 0 1 4 1) 5 | Notatka: | Mnożąc przez 2: 3 × 2 = 6 = 1 × 5 + 1 zapisujemy 1, 1 idzie do następnej cyfry, 2 × 2 +1=5 = 1 × 5 +0, zapisujemy 0, 1 idzie do następna cyfra, 2 × 4 +1=9 = 1×5 +4, zapisujemy 4, 1 przechodzi do następnej cyfry, pomnożone przez 3: 3 × 3 = 9 = 1×5 + 4, zapisujemy 4, 1 przechodzi do następnej cyfry, 3 × 2 +1=7 = 1×5 +2, zapisujemy 2, 1 przechodzi do następnej cyfry, 3×4 +1=13=2×5 +3, zapisujemy 3, 2 przechodzi do następnej cyfry. |
6) (3 0 1 4 1) 5 | (4 2 3) 5
2 3 2 4 (3 2) 5
1 4 0 1 Odpowiadać: 1) (1 4) 8 ; 2) (4 3) 8 ; 3) (1 2 4 3 3) 6 ; 4) (2 5 5 3) 7 ;
(0) 5 5) (3 0 1 4 1) 5 ; 6) (3 2) 5 .
ĆWICZENIA DO PRACY SAMODZIELNEJ
151. Liczby podane w t system -ary, przelicz na system dziesiętny:
a) (2 3 5) 7 ; b) (2 4 3 1) 5 ; c) (1 0 0 1 0 1) 2 ; d) (1 3 ) 15 ;
e) (2 7) 11; f) (3 2 5 4) 6 ; g) (1 5 0 1 3) 8 ; h) (1 1 0 1 1 0 0 1) 2 ;
i) (7 6 2) 8 ; j) (1 1 1 1) 20 .
152. Liczby. podane w systemie dziesiętnym, przelicz na t-ic systemu. Sprawdź.
a) (1 3 2) 10 = ( X) 7 ; b) (2 9 8) 10 = ( X) 5 ; c) (3 7) 10 = ( X) 2 ; d) (3 2 4 5) 10 = ( X) 6 ;
e) (4 4 4 4) 10 = ( X) 3 ; f) (5 6 3) 10 = ( X) 12 ; g) (5 0 0) 10 = ( X) osiem ; h) (6 0 0) 10 = ( X) 2 ;
ja)(1 0 0 1 5) 10 = ( X) 20 ; j) (9 2 5) 10 = ( X) osiem ; k) (6 3 3) 10 = ( X) piętnaście ; m) (1 4 3) 10 = ( X) 2 .
153. Liczby podane w t-ary system, przetłumaczyć na q-ic system (przechodząc przez system dziesiętny).
a) (3 7) 8 = ( X) 3 ; b) (1 1 0 1 1 0) 2 = ( X) 5 ; c) ( 6 2) 11 = ( X) 4 ;
d) (4 ) 12 = ( X) 9 . e) (3 3 1 3 1) 5 = ( X) 12 .
154. a) Jak zmieni się liczba (1 2 3) 5, jeśli dodamy do niej zero po prawej stronie?
b) Jak zmieni się liczba (5 7 6) 8, jeśli dodamy do niej dwa zera po prawej stronie?
155. Wykonaj następujące kroki:
a) (3 0 2 1) 4 + (1 2 3 3) 4 ; b) (2 6 5 4) 8 + (7 5 4 3) 8 ; c) (1 0 1 1 0 1) 2 + (1 1 0 1 10) 2 ;
d) (5 2 4 7) 9 + (1 3 7 6) 9 ; e) (4 7 6) 9 - (2 8 7) 9; f) (2 4 5 3) 7 – (1 6 4 5) 7 ;
g) (8 3) 12 - (5 7 9) 12; h) (1 7 5) 11 – ( 6) 11 ; i) (3 6 4 0 1) 7 – (2 6 6 6 3) 7 ;
j) (1 0 0 1 0) 2 × (1 1 0 1) 2 ; k) (7 4 1) 8 × (2 6) 8; m) (5 3 7 2) 8 × (2 4 6) 8;
m) (3 3 2 1) 4 × (2 3 0) 4 ; o) (1 0 2 2 2 2) 3: (1 2 2) 3 ; n) (2 1 0 3 2) 4: (3 2 3) 4 ;
p) (2 6 1 7 4) 8: (5 4 6) 8 ; c) (4 3 2 0 1) 5: (2 1 4) 5 ; t)(1 1 0 1 0 0 1 0) 2:(1 0 1 0 1) 2
y) (1 1 0 1 1 0) 2: (1 1 1) 2 ; f) (1 1 1 0) 6: (2 1 5) 6 ; x)(3 2 3 8 2 2 1 7 0) 9:(7 6 4 2) 9 .
v) (1 6 3 5) 8 + (7 6 4) 8; h) (1 1 1 1) 3 - (2 1 2) 3; w)(1 2 7) 12 +(9 1 3 5 ) 12b" × b 1 Następnie:
I Jeśli mianownik b = b"(zawiera tylko „2” i/lub „5”) - wtedy ułamek jest konwertowany na finał Ułamek dziesiętny. Liczba miejsc po przecinku jest równa najmniejszej liczbie naturalnej l lº 0( mod b").
II Jeśli mianownik b = b1(nie zawiera „2” i „5”), to ułamek jest konwertowany na nieskończony czysto okresowy jest równa najmniejszej liczbie naturalnej k, satysfakcjonujące porównanie 10 kº 1( mod b 1).
III Jeśli mianownik b = b"× b 1 (zawiera „2” i/lub „5”, a także inne czynniki pierwsze), to ułamek jest zamieniany na nieskończony okres mieszany dziesięć-
tykający ułamek.
Długość okresu jest równa najmniejszej liczbie naturalnej k, satysfakcjonujące porównanie 10 kº 1( moda b 1).
Długość przedokresu jest równa najmniejszej liczbie naturalnej l, satysfakcjonujące porównanie 10 lº 0( mod b").
9. 2. Wnioski.
9. 3. Pamiętaj, że:
liczba wymierna to dowolny skończony ułamek dziesiętny lub nieskończony okresowy ułamek dziesiętny;
Liczba niewymierna to dowolny nieokresowy ułamek dziesiętny o nieskończoności.
TYPOWE ZADANIA
1. Te ułamki zwykłe, zapisane w systemie dziesiętnym, są konwertowane na
dziesiętny, poprzednio po określeniu rodzaju pożądanego ułamka (skończony lub nieskończony; okresowy lub nieokresowy; jeśli - okresowy, to czysto okresowy lub mieszany okresowy); w tych ostatnich przypadkach wstępnie znaleźć numer k– długość i numer okresu l jest długością przedokresu. jeden) ; 2) ; 3).
Rozwiązanie.
1) Ułamek = mianownik - liczba b= 80 = 2 4 × 5 zawiera tylko „2” i „5”. Dlatego ten ułamek jest konwertowany na finał Ułamek dziesiętny. Liczba miejsc dziesiętnych Imię wyznaczona z warunku: 10 lº0 (mod80):
2) Ułamek = mianownik - liczba b= 27 = 3 3 nie zawiera „2” i „5”. Dlatego ten ułamek jest konwertowany na nieskończoność czysto okresowe Ułamek dziesiętny. Długość okresu imię k wyznaczona z warunku: 10 kº1 (mod27):
3) Ułamek = mianownik - liczba b= 24 = 2 3 × 3, czyli wygląda to tak: b = b"× b 1 (z wyjątkiem „2” lub „5” zawiera inne czynniki, w tym przypadku cyfrę 3). Dlatego ten ułamek jest konwertowany na nieskończoność okresowe mieszane Ułamek dziesiętny. Długość okresu imię k wyznaczona z warunku: 10 kº1(mod3), skąd imię k= 1, czyli długość okresu k= 1. Długość przedokresowa Imię wyznaczona z warunku: 10 lº0(mod8), skąd Imię= 3, czyli długość przedokresu l = 3.
Sprawdź: podziel „róg” 5 przez 24 i uzyskaj: = 0, 208 (3).
Odpowiadać: 1) 0, 0375; 2) 0, (074); 3) 0, 208 (3).
ĆWICZENIA DO PRACY SAMODZIELNEJ
156. Te ułamki zwykłe, zapisane w systemie dziesiętnym, zamieniają się na ułamki dziesiętne. Jeśli ułamek dziesiętny jest okresowy, to poprzednio znajdź numer k- długość i numer okresu l- długość przedokresu.
157. Te ułamki zwykłe, zapisane w systemie dziesiętnym, zamieniają się na t-ary systematyczne ułamki. Znajdź liczby k- długość okresu i l- długość przedokresu.
158*. W jakim systemie liczbowym liczba (4 6) 10 jest zapisana tymi samymi liczbami, ale w
Odwrotna kolejność?
159*. Co jest większe: jednostka ósmej cyfry w systemie dwójkowym czy jednostka czwartej cyfry w systemie ósemkowym?
§ 10. TWIERDZENIE PASCALA. ZNAKI PODZIELNOŚCI
PODSTAWOWE INFORMACJE Z TEORII
10. 1. Twierdzenie Pascala (1623 – 1662).
Dane są liczby naturalne: t > 1i n, zapisane w systemie t-arowym:
,gdzie a i to liczby: a iÎ N, 0 £ ja £ t–1 (i = 0,1, 2,…, k), tÎ N, t > 1.
Wynajmować n= (a k a k - 1 … a 1 a 0) 10 = k×10 k +k- 1×10 k- 1 +…+a 1×10+ a 0 , m=3 i m = 9.
1) Znajdź b ja: modulom = 3 modułym = 9
10 0 º1(mod3), tj. b 0 =1, 10 0 º1(mod9), tj. b 0 =1,
10 1 º1(mod3), tj. b 1 =1, 10 1 º1(mod9), tj. b 1 =1,
10 2 º1(mod3), tj. b 2 =1, 10 2 º1(mod9), tj. b
Kompletny system rozliczeniowy. Dany system odliczeń. Najpopularniejsze systemy dedukcji to: najmniej dodatni, najmniej nieujemny, absolutnie najmniejszy itp.
Twierdzenie 1. Własności kompletnego i zredukowanego układu reszt.
1° Kryteria pełnego systemu odliczeń. Dowolna kombinacja m liczby całkowite, które są parami nieporównywalne modulo m, tworzy kompletny system reszt modulo m.
2°. Jeśli liczby x 1 , x 2 , ..., x m– kompletny system reszt modulo m, (a, m) = 1, b jest dowolną liczbą całkowitą, a następnie liczbami topór 1 +b, topór 2 +b, ..., topór m+b również stanowią kompletny system reszt modulo m.
3°. Kryterium systemu redukcji redukcji. Dowolna kolekcja składająca się z j( m) liczby całkowite, które są parami nieporównywalne modulo m i względnie pierwsza z modułem, tworzy zredukowany układ reszt modulo m.
4°. Jeśli liczby x 1 , x 2 , ..., x j ( m) jest zredukowanym systemem reszt modulo m, (a, m) = 1, a następnie liczby topór 1 , topór 2 , ..., x j ( m) również stanowią zredukowany układ reszt modulo m.
Twierdzenie 2. Twierdzenie Eulera.
Jeśli liczby a oraz m względnie pierwsze, w takim razie a j ( m) º 1 (mod m).
Konsekwencja.
1°. Twierdzenie Fermata. Jeśli p jest liczbą pierwszą i a niepodzielne przez p, następnie str–1 º 1 (mod p).
2°. Uogólnione twierdzenie Fermata. Jeśli p jest więc liczbą pierwszą str º a(mod p) dla każdego aÎ Z .
§ cztery. Rozwiązywanie porównań ze zmienną
Decyzja porównawcza. Równorzędność. Stopień porównania.
Twierdzenie. Własności rozwiązań kongruencji.
1° Rozwiązaniami kongruencji są całe klasy reszt.
2°. (" k)(k º b k(mod m))Ù k= z porównania º 0 (mod m) i º 0 (mod m) są równoważne.
3°. Jeżeli obie części porównania pomnożymy przez liczbę względnie pierwszą z modułem, otrzymamy porównanie równoważne z pierwotnym.
4°. Dowolne porównanie modulo liczba pierwsza p jest równoważne z porównaniem, którego stopień nie przekracza p–1.
5°. Porównanie º 0 (mod p), gdzie p jest liczbą pierwszą, ma co najwyżej n różne rozwiązania.
6°. Twierdzenie Wilsona. ( n-jeden)! º –1 (mod n) Û n Liczba pierwsza.
§ 5. Rozwiązywanie porównań pierwszego stopnia
topór º b(mod m).
Twierdzenie. 1°. Jeśli ( a, m) = 1, to porównanie ma rozwiązanie i jest unikalne.
2°. Jeśli ( a, m) = d oraz b niepodzielne przez d, to porównanie nie ma rozwiązań.
3°. Jeśli ( a, m) = d oraz b podzielony przez d, to porównanie ma d różne rozwiązania, które składają się na jedną klasę reszt modulo.
Sposoby rozwiązywania porównań topór º b(mod m) gdy ( a, m) = 1:
1) selekcja (wyliczenie elementów pełnego systemu odliczeń);
2) wykorzystanie twierdzenia Eulera;
3) wykorzystanie algorytmu Euclid;
4) zmienność współczynników (wykorzystując własność 2° pełnego układu reszt z Twierdzenia 2.2);
§6. Równania nieoznaczone pierwszego stopnia
topór+za pomocą = c.
Twierdzenie. Równanie topór+za pomocą = c rozwiązywalne wtedy i tylko wtedy, gdy c (a, b).
Kiedy ( a, b) = 1 wszystkie rozwiązania równania dane są wzorami
tÎ Z , gdzie x 0 to jakieś rozwiązanie porównawcze
topór º c(mod b), y 0 = .
Równania diofantyczne.
ROZDZIAŁ 10. Liczby zespolone
Definicja układu liczb zespolonych. Istnienie systemu liczb zespolonych
Definicja układu liczb zespolonych.
Twierdzenie. Istnieje system liczb zespolonych.
Model: R 2 z operacjami
(a, b)+(c, d) = (a+c, b+d), (a, b)×( c, d) = (ak–bd, pne+ogłoszenie),
i= (0, 1) i identyfikacja a = (a, 0).
Postać algebraiczna liczby zespolonej
Reprezentacja liczby zespolonej w postaci z = a+bi, gdzie a, bÎ R , i 2 = -1. Wyjątkowość takiej reprezentacji. Odnośnie z, Jestem z.
Zasady wykonywania działań arytmetycznych na liczbach zespolonych w postaci algebraicznej.
Arytmetyka n-wymiarowa przestrzeń wektorowa C n. Układy równań liniowych, macierze i wyznaczniki pow C .
Wyciąganie pierwiastków kwadratowych z liczb zespolonych w postaci algebraicznej.
część kompletnego systemu reszt (patrz. Kompletny system reszt), składający się z liczb względnie pierwszych z modułem m. ps. w. zawiera φ( m) liczby [φ( m) to liczba liczb względnie pierwszych m i mniejsze m]. dowolne φ( m) liczby, które nie są porównywalne in modulo m i względnie pierwsze z nim, tworzą P. s. w. dla tego modułu.
- - patrz Masa zredukowana...
Encyklopedia fizyczna
- - warunkowa charakterystyka rozkładu mas w ruchu mechanicznym. lub system mieszany, w zależności od fizyczności. parametrów układu i prawa jego ruchu...
Encyklopedia fizyczna
- - modulo m - dowolny zbiór liczb całkowitych, które są nieporównywalne modulo jeden. Zwykle jak P. z. w. modulo najmniejszych nieujemnych reszt 0, 1, . . ...
Encyklopedia matematyczna
- - suma powierzchni użytkowej budynku mieszkalnego, a także powierzchni loggii, werand, balkonów z odpowiednimi współczynnikami redukcji - podana jest powierzchnia całkowita - přepočtená užitková plocha - Gesamtfläche - fajlagos alapterület - hörvüulsen ...
Słownik budowlany
- - Zobacz współczynnik porowatości skał...
- - stosunek objętości porów skały do objętości szkieletu skalnego, zwykle wyrażany w ułamkach jednostki...
Słownik hydrogeologii i geologii inżynierskiej
- - patrz współczynnik porowatości...
Słownik wyjaśniający gleboznawstwo
- - to samo co część bazowa...
- - warunkowy charakter rozkładu mas w układzie poruszających się ciał, wprowadzony w mechanice w celu uproszczenia równań ruchu układu...
Duży encyklopedyczny słownik politechniczny
- - Podatek pobierany u źródła od dywidend lub innych dochodów uzyskanych przez osobę niebędącą rezydentem kraju...
Słownictwo finansowe
- - Podatek pobierany u źródła od dywidend lub innych dochodów uzyskanych przez osobę niebędącą rezydentem kraju...
Słowniczek terminów biznesowych
- - modulo m, dowolny zbiór liczb całkowitych zawierający po jednej liczbie z każdej klasy liczb modulo m. Jak P. z. w. najczęściej stosowany system najmniej dodatnich reszt 0, 1, 2,.....
- - warunkowa charakterystyka rozkładu mas w ruchomym układzie mechanicznym lub mieszanym, w zależności od parametrów fizycznych układu i prawa jego ruchu ...
Wielka radziecka encyklopedia
- - MASA ZREDUKOWANA - warunkowa charakterystyka rozkładu mas w poruszającym się układzie mechanicznym lub mieszanym, w zależności od parametrów fizycznych układu i od prawa jego ruchu...
Duży słownik encyklopedyczny
- - ogólne, wszystkie, łączne, ...
Słownik synonimów
- - przym., liczba synonimów: 1 czysty ...
Słownik synonimów
„Zredukowany system odliczeń” w książkach
Jaka jest obecna wartość kluczowych kompetencji?
Z książki Nieważkie bogactwo. Określ wartość swojej firmy w gospodarce wartościami niematerialnymi Autor Thyssen ReneJaka jest obecna wartość kluczowych kompetencji? Na podstawie powyższego można powiedzieć, że wartość bieżąca kompetencji kluczowej jest obliczana poprzez pomnożenie wszystkich wskaźników przez określony czas, z uwzględnieniem kosztu pozyskania
Wartość bieżąca netto (NPV)
Z książki MBA w 10 dni. Najważniejszy program wiodących światowych szkół biznesu autor Silbiger StephenWartość bieżąca netto (NPV) Analiza wartości bieżącej (NPV) pomaga obliczyć, ile pracownik musi zainwestować, aby otrzymać godziwą emeryturę za 30 lat, ale ta analiza nie jest przydatna w ocenie bieżących inwestycji i projektów. Inwestycje muszą być wycenione
ROZLICZENIE SZCZEGÓŁÓW I POTRĄCENIA Z WYNAGRODZENIA
Z książki Rachunkowość autor Melnikov IlyaUZNAWANIE SZCZEGÓŁÓW I POTRĄCENIA Z WYNAGRODZENIA Zgodnie z przepisami z wynagrodzenia pracowników dokonuje się potrąceń: - podatek dochodowy (podatek państwowy, przedmiot opodatkowania - wynagrodzenie);
10.6. Rozliczanie potrąceń i potrąceń z wynagrodzenia
Z książki Rachunkowość w rolnictwie autor Byczkowa Swietłana Michajłowna10.6. Rozliczanie potrąceń i potrąceń z wynagrodzenia Pewne potrącenia są dokonywane z wynagrodzeń pracowników przedsiębiorstwa, które są podzielone w następujący sposób: obowiązkowe potrącenia (podatek od dochodów osobistych, potrącenia z tytułów egzekucyjnych);
Z książki Wartości niematerialne: rachunkowość i rachunkowość podatkowa autor Zacharyin V R<...>
4.1. Ogólne zagadnienia przyznawania ulg socjalnych
autor Makurowa Tatiana4.1. Ogólne kwestie udzielania ulg socjalnych Odliczenia podatkowe socjalne (art. 219 Ordynacji podatkowej), a także odliczenia majątkowe na zakup mieszkania, oznaczają pomniejszenie podstawy opodatkowania o kwotę poniesionych wydatków socjalnych, z uwzględnieniem ustawodawstwo
4.3. Cechy świadczenia potrąceń edukacyjnych
Z książki Samouczek dotyczący podatków dochodowych od osób fizycznych autor Makurowa Tatiana4.3. Specyfika przyznawania odliczeń edukacyjnych 142) Jakie wydatki można zaliczyć do odpisów na kształcenie? Jakie są granice odliczeń oświatowych Do odliczeń socjalnych z tytułu oświaty dopuszcza się: wydatki w wysokości zapłaconej przez podatnika w
3.4. Kwantyfikacja i częstość występowania oraz stosowanie odliczeń podatkowych
Z książki Obciążenia podatkowe przedsiębiorstwa: analiza, kalkulacja, zarządzanie autor Czipurenko Jelena Wiktorowna3.4. Kwantyfikacja i częstotliwość występowania oraz stosowanie ulg podatkowych 3.4.1. VAT jako potencjalne odliczenie podatku Przy obliczaniu podatku VAT kwoty odliczeń ustalane są wyłącznie na podstawie danych ewidencji podatkowej - ksiąg zakupów. Na
Kompletny system odliczeń
Z książki Wielka radziecka encyklopedia (PO) autora TSBZredukowana masa
TSBZredukowany system odliczeń
Z książki Wielka radziecka encyklopedia (PR) autora TSB88. Postacie strukturalne i zredukowane układu równań równoczesnych. Identyfikacja modelu
Z książki Odpowiedzi na bilety egzaminacyjne z ekonometrii autor Jakowlewa Angelina Witalijewna88. Postacie strukturalne i zredukowane układu równań równoczesnych. Identyfikacja modelu Równania strukturalne to równania tworzące pierwotny układ równań równoczesnych. W tym przypadku system ma formę strukturalną.Formę strukturalną
Z książki Nowości w Ordynacji podatkowej: komentarz do zmian, które weszły w życie w 2008 roku autor Zrełow Aleksander PawłowiczArt. 172. Tryb stosowania ulg podatkowych
autor Autor nieznanyArtykuł 172
Z książki Kodeks podatkowy Federacji Rosyjskiej. Część pierwsza i druga. Tekst ze zmianami i uzupełnieniami z dnia 1 października 2009 r autor Autor nieznanyArt. 201. Tryb stosowania ulg podatkowych