Wyznaczanie prędkości punktu figury w ruchu płaskim. Wyznaczanie prędkości dowolnego punktu figury płaskiej. Złożony ruch punktowy
![Wyznaczanie prędkości punktu figury w ruchu płaskim. Wyznaczanie prędkości dowolnego punktu figury płaskiej. Złożony ruch punktowy](https://i2.wp.com/konspekta.net/studopedianet/baza3/248953001541.files/image295.gif)
Dowolna prędkość punktowa M liczby są definiowane jako suma prędkości, jakie otrzymuje punkt podczas ruchu postępowego wraz z biegunem i ruchu obrotowego wokół bieguna.
Wyobraź sobie położenie punktu M jak (rys. 1.6).
Różniczkując to wyrażenie względem czasu, otrzymujemy:
, dlatego
.
Jednocześnie prędkość v MA. który punkt M uzyskany przez obrót figury wokół bieguna ALE, zostanie określone na podstawie wyrażenia
v MA=ω · MAMA,
gdzie ω jest prędkością kątową figury płaskiej.
Dowolna prędkość punktowa M figura płaska składa się geometrycznie z prędkości punktu ALE, traktowane jako biegun, a prędkość, punkty M gdy postać obraca się wokół bieguna. Moduł i kierunek prędkości tej prędkości można znaleźć, konstruując równoległobok prędkości.
Zadanie 1
Wyznacz prędkość punktową ALE, jeżeli prędkość środka rolki wynosi 5m/s, to jest to prędkość kątowa rolki . Promień rolki r=0,2m, narożnik . Lodowisko toczy się bez poślizgu.
Ponieważ ciało wykonuje ruch płasko-równoległy, prędkość punktu ALE składać się będzie z prędkości bieguna (pkt Z) i prędkość uzyskana przez punkt ALE podczas obracania się wokół bieguna Z.
,
Odpowiadać:
Twierdzenie o rzutach prędkości dwóch punktów ciała poruszającego się w płaszczyźnie równoległej
Rozważ dwa punkty ALE oraz W płaska postać. Biorąc punkt ALE na biegun (ryc. 1.7), otrzymujemy
Stąd rzutowanie obu części równości na oś skierowaną wzdłuż AB i biorąc pod uwagę, że wektor jest prostopadły AB, znaleźliśmy
v B· cosβ=v A· cosα+ v w A· cos90°.
dlatego v W A· cos90°=0 otrzymujemy: rzuty prędkości dwóch punktów bryły sztywnej na oś przechodzącą przez te punkty są równe.
Zadanie 1
Jądro ABślizga się po gładkiej ścianie i gładkiej podłodze, punktowa prędkość A V A \u003d 5 m / s, kąt między podłogą a prętem AB równa się 30 0 . Wyznacz prędkość punktową W.
Wyznaczanie prędkości punktów figury płaskiej za pomocą chwilowego środka prędkości
Przy określaniu prędkości punktów płaskiej figury przez prędkość bieguna, prędkość bieguna i prędkość ruchu obrotowego wokół bieguna mogą być równe co do wielkości i przeciwne w kierunku, i istnieje taki punkt P, którego prędkość w danym momencie czasu jest równa zeru , nazwijmy to chwilowym środkiem prędkości.
Natychmiastowe centrum prędkości Nazywa się punkt powiązany z figurą płaską, której prędkość w danym momencie wynosi zero.
Prędkości punktów figury płaskiej wyznacza się w danej chwili tak, jakby ruch figury odbywał się w sposób chwilowy wokół osi przechodzącej przez chwilowy środek prędkości (rys. 1.8).
v A=ω · ROCZNIE; ().
Dlatego v B=ω · PB; (), następnie w=vB/PB=v A/ROCZNIE
Prędkości punktów figury płaskiej są proporcjonalne do najkrótszych odległości od tych punktów do chwilowego środka prędkości.
Uzyskane wyniki prowadzą do następujących wniosków:
1) do wyznaczenia położenia chwilowego środka prędkości konieczna jest znajomość wielkości i kierunku prędkości oraz kierunku prędkości dowolnych dwóch punktów ALE oraz W płaska sylwetka; chwilowe centrum prędkości P jest w punkcie przecięcia prostopadłych zbudowanych z punktów ALE oraz W do prędkości tych punktów;
2) prędkość kątowa ω figura płaska w danym czasie jest równa stosunkowi prędkości do odległości od niej do chwilowego środka R prędkości: ω =v A/ROCZNIE;
3) Prędkość punktu względem chwilowego środka prędkości P będzie wskazywać kierunek prędkości kątowej w.
4) Prędkość punktu jest wprost proporcjonalna do najmniejszej odległości od punktu W do chwilowego środka prędkości R v ZA \u003d ω BP
Zadanie 1
Korba OO długość 0,2m obraca się jednostajnie z prędkością kątową ω=8 rad/s. Do korbowodu AB w punkcie Z przegubowy korbowód PŁYTA CD. Dla zadanego położenia mechanizmu wyznacz prędkość punktu D suwak, jeśli kąt .
Ruch punktowy W ograniczony przez poziome prowadnice, suwak może poruszać się tylko do przodu wzdłuż poziomych prowadnic. Szybkość punktowa W skierowany w tym samym kierunku co . Ponieważ dwa punkty korbowodu mają ten sam kierunek prędkości, ciało wykonuje natychmiastowy ruch postępowy, a prędkości wszystkich punktów korbowodu mają ten sam kierunek i wartość.
RUCH PŁASKI CIAŁA SZTYWNEGO
Pytania do nauki:
1. Równania ruchu płaskiego bryły sztywnej.
2. Szybkość punktów płaskiej figury
3. Chwilowe środki prędkości
4. Przyspieszenia punktów figury płaskiej
1. Równania ruchu płaskiego bryły sztywnej
Ruch płaski ciała sztywnegonazwaćruch, w którym wszystkie punkty przekroju ciała poruszają się we własnej płaszczyźnie.
Niech ciało stałe 1 wykonuje płaski ruch.
Sieczna samolot
w ciele 1
tworzy przekrój П, który porusza się w płaszczyźnie cięcia
.
Jeśli równolegle do płaszczyzny wykonuj inne sekcje ciała, na przykład przez punkty
itp. leżących na tej samej prostopadłej do sekcji, wtedy wszystkie te punkty i wszystkie sekcje ciała będą się poruszać w ten sam sposób.
W związku z tym ruch ciała w tym przypadku jest całkowicie określony przez ruch jednej z jego sekcji w dowolnej z równoległych płaszczyzn, a położenie sekcji jest określone przez położenie dwóch punktów tej sekcji, na przykład ALE oraz W.
Pozycja sekcji P w samolocie Ohu określić położenie segmentu AB, przeprowadzone w tej sekcji. Położenie dwóch punktów na płaszczyźnie ALE()
oraz W(
)
charakteryzuje się czterema parametrami (współrzędnymi), na które nałożone jest jedno ograniczenie – równanie komunikacji w postaci długości odcinka AB:
W ten sposób można ustawić położenie przekroju P w płaszczyźnie trzy niezależne parametry - współrzędne
zwrotnicaALE
i kąt
,
który tworzy odcinek AB z osią Oh. Punkt ALE, dobrany do określenia położenia odcinka P, tzw POLAK.
Gdy sekcja ciała się porusza, jej parametry kinematyczne są funkcjami czasu
Równania te są równaniami kinematycznymi ruchu płaskiego (płasko-równoległego) ciała sztywnego. Teraz pokażemy, że zgodnie z otrzymanymi równaniami ciało w ruchu płaskim wykonuje ruchy postępowe i obrotowe. Niech na ryc. przekrój ciała określony przez segment
w układzie współrzędnych Ohu przeniesiony z pozycji startowej 1
do położenia końcowego 2.
Pokażmy dwa sposoby możliwego przesunięcia ciała z pozycji 1 do pozycji 2.
Pierwszy sposób. Weźmy punkt jako biegun .Przesuwanie segmentu
równolegle do siebie, tj. stopniowo, wzdłuż trajektorii
,
przed dopasowaniem punktów
oraz
. Uzyskanie pozycji segmentu
.
na rogu
i otrzymujemy końcową pozycję płaskiej figury, określoną przez odcinek
.
Drugi sposób. Weźmy punkt jako biegun . Przesuwanie segmentu
równolegle do siebie, tj. stopniowo wzdłuż trajektorii
przed dopasowaniem punktów
oraz
.Otrzymujemy pozycję segmentu
.
Następnie obróć ten segment wokół słupa
na
narożnik
i otrzymujemy końcową pozycję płaskiej figury, określoną przez odcinek
.
Wyciągnijmy następujące wnioski.
1. Ruch płaski, w pełnej zgodzie z równaniami, jest połączeniem ruchu postępowego i obrotowego, a model płaskiego ruchu ciała można uznać za ruch postępowy wszystkich punktów ciała wraz z biegunem i obrotem ciało względem bieguna.
2. Trajektorie ruchu postępowego ciała zależą od wyboru bieguna
.
na ryc. 13.3 w rozpatrywanym przypadku widzimy, że w pierwszej metodzie ruchu, gdy jako biegun przyjęto punkt , trajektoria translacyjna
znacznie różni się od trajektorii
dla drugiego bieguna W.
3. Obrót ciała nie zależy od wyboru kija. Narożnik
obrót ciała pozostaje stały pod względem modułu i kierunku obrotu
. W obu przypadkach, rozpatrywanych na rys. 13.3 obrót był przeciwny do ruchu wskazówek zegara.
Główne cechy ciała w ruchu poziomym to: trajektoria bieguna, kąt obrotu ciała wokół bieguna, prędkość i przyspieszenie bieguna, prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe ciała. Dodatkowe osie
w ruchu translacyjnym poruszają się razem z biegunem ALE równolegle do głównych osi Ohu wzdłuż ścieżki bieguna.
Prędkość bieguna płaskiej figury można wyznaczyć za pomocą pochodnych czasowych równań:
Podobnie określa się charakterystykę kątową ciała: prędkość kątową ;
przyspieszenie kątowe
.
na ryc. na biegunie ALE pokazane są rzuty wektora prędkości na osi OOH Ooh Kąt obrotu ciała
, prędkość kątowa
i przyspieszenie kątowe
pokazane przez strzałki łukowe wokół punktu ALE. Ze względu na niezależność charakterystyki ruchu obrotowego od wyboru bieguna, charakterystyki kątowe
,
,
można pokazać w dowolnym punkcie płaskiej figury za pomocą strzałek łukowych, na przykład w punkcie B.
Wykład 3. Płasko-równoległy ruch bryły sztywnej. Wyznaczanie prędkości i przyspieszeń.
Ten wykład obejmuje następujące pytania:
1. Płasko-równoległy ruch bryły sztywnej.
2. Równania ruchu płasko-równoległego.
3. Rozkład ruchu na ruch postępowy i obrotowy.
4. Wyznaczanie prędkości punktów figury płaskiej.
5. Twierdzenie o rzutach prędkości dwóch punktów ciała.
6. Wyznaczanie prędkości punktów figury płaskiej za pomocą chwilowego środka prędkości.
7. Rozwiązywanie zadań wyznaczania prędkości.
8. Plan prędkości.
9. Wyznaczanie przyspieszeń punktów figury płaskiej.
10. Rozwiązywanie problemów z przyspieszeniem.
11. Chwilowy środek przyspieszenia.
Badanie tych zagadnień jest niezbędne w przyszłości dla dynamiki ruchu płaskiego ciała sztywnego, dynamiki ruchu względnego punktu materialnego, dla rozwiązywania problemów z dyscyplin „Teoria maszyn i mechanizmów” oraz „Części maszyn ".
Płasko-równoległy ruch bryły sztywnej. Równania ruchu płasko-równoległego.
Rozkład ruchu na ruch postępowy i obrotowy
Płaszczyzna równoległa (lub płaska) to taki ruch ciała sztywnego, przy którym wszystkie jego punkty poruszają się równolegle do pewnej ustalonej płaszczyzny P(Rys. 28). Ruch płaski jest wykonywany przez wiele części mechanizmów i maszyn, np. koło toczące się po prostym odcinku toru, korbowód w mechanizmie korbowo-suwakowym itp. Szczególnym przypadkiem ruchu płasko-równoległego jest ruch obrotowy ciała sztywnego wokół stałej osi.
Ryc.28 Ryc.29
Rozważ sekcję S ciała jakiegoś samolotu oksy, równolegle do płaszczyzny P(rys. 29). Przy ruchu płasko-równoległym wszystkie punkty ciała leżą na linii prostej mm„prostopadle do strumienia”. S, czyli samoloty P, poruszać się identycznie.
Stąd dochodzimy do wniosku, że aby zbadać ruch całego ciała, wystarczy zbadać, jak porusza się ono w płaszczyźnie Ohu Sekcja S to ciało lub jakaś płaska figura S. Dlatego w przyszłości zamiast płaskiego ruchu ciała będziemy rozważać ruch płaskiej figury S w swojej płaszczyźnie, tj. w samolocie Ohu.
Pozycja figury S w samolocie Ohu jest określona przez położenie jakiegoś segmentu narysowanego na tej figurze AB(Rys. 28). Z kolei pozycja segmentu AB można określić znając współrzędne x A i y punkty ALE i kąt, który jest odcinkiem AB formy z osią X. punkt ALE wybrany w celu określenia położenia figury S, będzie odtąd nazywany biegunem.
Podczas przesuwania liczby wielkości x A i y A i zmieni się. Znać prawo ruchu, czyli położenie figury na płaszczyźnie Ohu w dowolnym momencie musisz znać zależności
Równania, które określają prawo trwającego ruchu, nazywane są równaniami ruchu płaskiej figury w jej płaszczyźnie. Są to również równania ruchu płasko-równoległego ciała sztywnego.
Pierwsze dwa równania ruchu określają ruch, jaki wykonałaby figura, gdyby =const; będzie to oczywiście ruch translacyjny, w którym wszystkie punkty figury poruszają się w taki sam sposób jak biegun ALE. Trzecie równanie określa ruch, jaki wykonałaby figura w punkcie i , tj. kiedy słup ALE bez ruchu; będzie to obrót figury wokół bieguna ALE. Z tego możemy wywnioskować, że w ogólnym przypadku ruch figury płaskiej w jej płaszczyźnie można uważać za sumę ruchu postępowego, w którym wszystkie punkty figury poruszają się w taki sam sposób jak biegun ALE, oraz z ruchu obrotowego wokół tego bieguna.
Głównymi charakterystykami kinematycznymi rozważanego ruchu są prędkość i przyspieszenie ruchu postępowego, równe prędkości i przyspieszeniu bieguna, a także prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe ruchu obrotowego wokół bieguna.
Wyznaczanie prędkości punktów figury płaskiej
Zauważono, że ruch figury płaskiej można rozpatrywać jako sumę ruchu postępowego, w którym wszystkie punkty figury poruszają się z prędkością bieguna ALE, oraz z ruchu obrotowego wokół tego bieguna. Pokażmy, że prędkość dowolnego punktu M figury są tworzone geometrycznie na podstawie prędkości, jakie punkt otrzymuje w każdym z tych ruchów.
Rzeczywiście, położenie dowolnego punktu M figury definiowane są w odniesieniu do osi Ohu wektor promienia (ryc. 30), gdzie jest wektorem promienia bieguna ALE, - wektor określający położenie punktu M o osiach poruszających się wraz z biegunem ALE translacyjnie (ruch figury względem tych osi to obrót wokół bieguna ALE). Następnie
Przypomnijmy, że ruch figury płaskiej można rozpatrywać jako sumę ruchu postępowego wraz z ruchem bieguna i ruchu obrotowego wokół bieguna.
Według tego prędkość dowolnego punktu M figury płaskiej jest geometrycznie sumą prędkości pewnego punktu A, traktowanego jako biegun, oraz prędkości, jaką uzyskuje punkt M, gdy figura obraca się wokół tego bieguna, tj.
Jednocześnie prędkość VMA zdefiniowana jako prędkość punktu M gdy ciało obraca się wokół ustalonej osi przechodzącej przez punkt ALE prostopadle do płaszczyzny ruchu (patrz § 7.2), tj.
Tak więc, jeśli znana jest prędkość bieguna VA a zatem prędkość kątowa ciała w
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/356.png)
prędkość dowolnego punktu M ciała określa się zgodnie z równością (8.2), przekątną równoległoboku zbudowanego na wektorach VA oraz VMA , jak po bokach (ryc. 8.3) oraz moduł prędkości V M obliczone według wzoru
gdzie y jest kątem między wektorami VA oraz VMA
Zadanie 8.1. Koło toczy się po stałej powierzchni bez poślizgu (ryc. 8.4, a). Znajdź punkty prędkości Do oraz D koła, jeśli prędkość jest znana Vc środek koła C, promień R koła, odległość COP = b i kąt a.
Rozwiązanie. 1. Rozważany ruch koła jest równoległy do płaszczyzny. Biorąc punkt C za biegun (ponieważ jego prędkość jest znana), zgodnie z ogólną równością (8.2), dla punktu Do możemy pisać
Nie ma jednak możliwości ustalenia wartości V KC , ponieważ prędkość kątowa jest nieznana.
Aby określić w, rozważ prędkość innego punktu, a mianowicie punktu R dotknięcie koła o nieruchomą powierzchnię (Rys. 8.4, b). W tym momencie możemy napisać równość
cecha punktowa R jest fakt, że w tym momencie Vp - 0, ponieważ koło toczy się bez poślizgu. Wtedy równość (b) przybiera postać
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/360.png)
skąd mamy
Wynika stąd: 1) wektory prędkości V PC oraz Vc powinny być skierowane w przeciwnych kierunkach; 2) z równości modułów V PC - V w dostajemy uPC = Vc , stąd znajdujemy w = Vc /PC = Vc /R. Zgodnie z kierunkiem wektora V PC określić kierunek strzałki łuku w i pokazać go na rysunku (ryc. 8.4, b).
Wróćmy teraz do definicji V K przez równość (a). Znaleźliśmy
Vks \u003d o KS - V ^ b / R. Znając kierunek prędkości kątowej ω, przedstawiamy wektor V KC prostopadle do segmentu KS i wykonaj konstrukcję równoległoboku na wektorach Vc oraz V KC(ryc. 8.4, w). Ponieważ w tym przypadku Vc oraz V KC wzajemnie prostopadłe, w końcu znajdujemy
2. Prędkość punktowa D na feldze określamy z równości VD = V C + V DC . Od liczbowo VDC - współ R - V c , następnie równoległobok zbudowany na wektorach Vc oraz VDC, będzie rombem. Kąt między Vc oraz V DC równa się 2a. Po zdefiniowaniu VD jako długość odpowiedniej przekątnej rombu otrzymujemy
Twierdzenie o rzutach prędkości dwóch punktów bryły sztywnej
Zgodnie z równością (8.2) dla dwóch_ dowolnych punktów ALE oraz W ciało sztywne równość V b \u003d V A + V B A, zgodnie z którym wykonujemy konstrukcję pokazaną na ryc. 8.5. Rzutowanie tej równości na oś Az, Celem B dostajemy Umysł + VBAz. Biorąc pod uwagę, że wektor VBA prostopadle do linii
B odnaleźć
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/366.png)
Wynik ten wyraża twierdzenie: rzuty prędkości dwóch punktów bryły sztywnej na oś przechodzącą przez te punkty są sobie równe.
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/367.png)
Zauważmy, że równość (8.5) matematycznie odzwierciedla fakt, że ciało jest uważane za absolutnie sztywne, a odległość między punktami ALE oraz W nie zmienia. Dlatego równość (8.5) jest spełniona nie tylko dla płaszczyzny równoległej, ale także dla dowolnego ruchu ciała sztywnego.
Zadanie 8.2. Foki ALE oraz W, połączone prętem z zawiasami na końcach, poruszają się wzdłuż wzajemnie prostopadłych prowadnic w płaszczyźnie rysunku (ryc. 8.6, a). Wyznacz przy danym kącie prędkość punktu W, jeśli znana jest prędkość V A.
Rozwiązanie. Narysujmy oś x przechodzącą przez punkty ALE oraz W. Znając kierunek VA ,
znajdź rzut tego wektora na prostą AB: V Ax - V A cos a (na ryc. 8.6, b to będzie cięcie Ach). Dalej rysunek z punktu W odłożyć Bb - Aa(ponieważ segment Ach znajduje się na osi x na prawo od punktu ALE, potem odcinek Nocleg ze śniadaniem odłożyć na bok W na osi x po prawej stronie). Zmartwychwstanie w punkcie b prostopadle do linii AB, znajdź punkt końcowy wektora V B.
Zgodnie z twierdzeniem o projekcji VA cos a = K^cosp. Stąd (biorąc pod uwagę, że Р = 90 ° - a) ostatecznie otrzymujemy V B = VA cos a/cos(90° - a) lub V B = = VA ctg a.
Wyznaczanie prędkości punktowych z chwilowego środka prędkości
Aby wyznaczyć prędkości punktów figury płaskiej, wybieramy dowolny punkt jako biegun R. Następnie zgodnie ze wzorem
(8.2), prędkość dowolnego punktu M jest zdefiniowana jako suma dwóch wektorów:
Jeśli prędkość bieguna R w danym momencie była równa zeru, to prawa strona tej równości byłaby reprezentowana przez jeden wyraz w MR a prędkość dowolnego punktu byłaby zdefiniowana jako prędkość punktu M ciało obraca się wokół stałego słupa R.
Dlatego jeśli wybierzemy punkt jako biegun R, którego prędkość w danej chwili wynosi zero moduły prędkości wszystkich punktów figury będą proporcjonalne do ich odległości od bieguna P, a kierunki wektorów prędkości wszystkich punktów będą prostopadłe do prostych łączących rozpatrywany punkt z biegunem P. Oczywiście obliczenie według wzorów (8.6) jest znacznie prostsze niż obliczenie według ogólnego wzoru (8.2).
Punkt płaskiej figury, którego prędkość w danym momencie wynosi zero, nazywany jest chwilowym środkiem prędkości (MCS).Łatwo sprawdzić, że jeśli figura porusza się nieprzesuwnie, to taki punkt istnieje w każdym momencie czasu, a ponadto jest unikalny. Zauważmy, że chwilowy środek prędkości może znajdować się zarówno na samej figurze, jak i na jej mentalnej kontynuacji.
Rozważ sposoby określania położenia chwilowego środka prędkości.
1. Niech w chwili czasu tjum figury płaskiej, jej prędkość kątowa ω i prędkość VA któregoś z jego punktów ALE(ryc. 8.7, a). Następnie wybierając punkt ALE jako biegun,_prędkość_punktu, którego szukamy R można określić za pomocą wzoru Vp = VA + VpA -
Problem polega na znalezieniu takiego punktu R, w którym V P=0, więc dla niej V A + U RL=0 i stąd Y RA \u003d -Y A. Dlatego do rzeczy R prędkość Na RA który punkt R uzyskany przez obrót figury wokół bieguna ALE, i prędkość A słupy ALE równy modulo (Y RA = Y A) lub o ZAR = U A i przeciwnie w kierunku. Poza tym punkt R musi leżeć prostopadle do wektora Na A. Wyznaczanie położenia punktu R odbywa się w następujący sposób: od punktu ALE(ryc. 8.7, b) ustaw prostopadłą do wektora A i nadaj mu dystans AR = Y Klimatyzacja po drugiej stronie punktu ALE, gdzie wektor „pokaże” Na A jeśli jest obrócony o 90 ° w kierunku strzałki łuku co.
Chwilowy środek prędkości jest jedynym punktem na figurze płaskiej, którego prędkość w danym czasie wynosi zero.
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/370.png)
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/371.png)
W innym momencie chwilowy środek prędkości może już być innym punktem figury płaskiej.
2. Niech znane będą kierunki prędkości VA oraz w(ryc. 8.8, a) dwa punkty ALE oraz W figura płaska (ponadto wektory prędkości tych punktów nie są równoległe) lub znane są elementarne przemieszczenia tych punktów. Chwilowy środek prędkości będzie się znajdował w punkcie przecięcia się prostopadłych postawionych z punktów A i B do prędkości tych punktów (lub do elementarnych przemieszczeń punktów). Taka konstrukcja jest pokazana na rys. 8,8, b. Opiera się na fakcie, że dla dowolnych punktów A i B liczby obowiązujące przepisy (8.6):
Z tych równości wynika, że
Znając położenie MCC i prędkość kątową ciała, stosując wzory (8.6), łatwo jest wyznaczyć prędkość dowolnego punktu tego ciała. Na przykład za punkt Do(patrz rys. 8.8, b) prędkość modułu V K =coKP, wektor Ty też skierowany prostopadle do linii prostej KR zgodnie z
kierunek strzałki łuku y.
W konsekwencji, prędkości punktów figury płaskiej wyznacza się w danej chwili tak, jakby figura ta obracała się wokół chwilowego środka prędkości.
3. Jeśli punkty prędkości ALE oraz W figury płaskie są do siebie równoległe, to możliwe są trzy opcje, które pokazano na ryc. 8.9. W przypadkach, gdy direct AB prostopadłe do wektorów VA oraz V B(ryc. 8.9, a, b) konstrukcje oparte są na proporcji (8.7).
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/374.png)
Jeśli prędkość punktów Lee V równoległe i proste AB_nt prostopadły VALE(ryc. 8.9, w), potem prostopadłe do U A oraz V B są równoległe, a chwilowy środek prędkości znajduje się w nieskończoności (AP= oo); prędkość kątowa obrotu figury w = VJAP=VA/cc= 0. W tym przypadku prędkości wszystkich punktów figury w danym momencie są sobie równe, tj. figura ma rozkład prędkości jak w ruchu postępowym. Ten stan ruchu nazywa się od razu progresywny. Zauważ, że w tym stanie przyspieszenia wszystkich punktów ciała nie będą takie same.
4. Jeżeli płaski ruch ciała odbywa się przez toczenie bez ślizgania się po nieruchomej powierzchni (ryc. 8.10), wówczas punkt styku R będzie chwilowym środkiem prędkości (patrz zadanie 8.1).
Zadanie 8.3. Płaski mechanizm składa się z 7 prętów, 2, 3, 4 i gąsienicowy W(Ryc. 8.11), połączone ze sobą i ze stałymi wspornikami 0 { oraz 0 2 zawiasy; kropka D jest w środku pręta AB. Długości prętów: / 2 = 0,4 m, / 2 = 1,2 m, / 3 = 0,7 m, / 4 = 0,3 m. i skierowane przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Definiować V A , V B , V D , V mi , oo 2 , co 3 , do 4 i prędkość punktowa Do w środku pręta DE (DK = KE).
Rozwiązanie. W rozważanym mechanizmie pręty 7, 4 wykonać ruch obrotowy W- progresywne i pręty 2, 3 -
ruch płasko-równoległy.
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/375.png)
Szybkość punktowa ALE definiujemy jako należące do pręta 7, który wykonuje ruch obrotowy:
Rozważ ruch pręta 2. Szybkość punktowa ALE jest określony, a kierunek prędkości punktu W ze względu na fakt, że jednocześnie należy do pręta 2 i płeć-
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/377.png)
Zun porusza się wzdłuż prowadnic. Teraz przywracanie z punktów ALE oraz W prostopadły do A oraz kierunek ruchu suwaka W, znajdź położenie punktu C 2 - MCS pręta 2.
W kierunku wektora U A biorąc pod uwagę, że w rozważanym położeniu mechanizmu, pręt 2 obraca się wokół punktu C 2, określamy kierunek prędkości kątowej z 2 prętów 2 i znaleźć jego wartość liczbową (o 2 = V a / AC 2 \u003d 0,8 / 1,04 \u003d 0,77 s -1, gdzie AC 2 - AB grzech 60 ° \u003d 1,04 m (otrzymamy, rozważając A AC ~, B).
Teraz określamy wartości liczbowe i kierunki prędkości punktów W oraz D pręt 2 (dlatego ABDC 2 wtedy równoboczny BC 2 - DC 2 - - 0,6m):
![](https://i0.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/378.png)
Rozważ ruch pręta 3. Szybkość punktowa D znany. Od punktu mi należy jednocześnie do pręta 4, obracający się wokół osi 0 4 , następnie T e 10 4 E. Następnie przechodząc przez punkty D oraz mi proste prostopadłe do prędkości V D w V E , znajdź położenie punktu C 3 - MCS pręta
3. W kierunku wektora V D , patrząc od stałego punktu С 3 , określamy kierunek prędkości kątowej с 3 i znajdujemy jej wartość liczbową (po wcześniejszym wyznaczeniu z AZ) C 3 ? odcinek Z)C 3 = DEz 30 ° \u003d 0,35 m): co 3 \u003d V d / C 3 D \u003d 1,32 s -1.
Aby określić prędkość punktu Do narysujmy linię prostą COP 3 i biorąc to pod uwagę AR K od 3 równoboczny ( COP 3 = 0,35 m), oblicz Y k \u003d \u003d 0,462 m / s, U do AKS 3.
Rozważmy ruch pręta_4 obracającego się wokół osi 0 4 . Znajomość kierunku i wartości liczbowej VE , znajdujemy kierunek i wartość prędkości kątowej od 4: od 4 \u003d V e / 0 4 E - 2,67 sek
Odpowiadać: VA= 0,8 m/s, V B = V D= 0,462 m/s, V E = 0,8 m / s, co 2 \u003d 0,77 s "1, co 3 \u003d 1,32 s -1, (o 4 \u003d 2,67 s -1, kierunki tych wielkości pokazano na ryc. 8.11.
Notatka.W mechanizmie składającym się z kilku ciał, każde ciało poruszające się nietranslacyjnie w danej chwili ma swoje własne chwilowe centrum prędkości i własną prędkość kątową.
Zadanie 8.4. Płaski mechanizm składa się z prętów 1, 2, 3 oraz wałek toczący się bez poślizgu po ustalonej płaszczyźnie (ryc. 8.12, a). Połączenia prętów między sobą a prętem 3 na lodowisko w tym miejscu D- na zawiasach. Długości prętów: 1 { - 0,4 m, / 2 = 0,6 m, / 3 = 0,8 m. Dla podanych kątów a = 60°, B = 30° wartości i kierunki kąta O lodowisko V0= 0,346 m/s, ZABD= 90°. Wyznacz prędkość punktową W i prędkość kątowa od 2 .
Rozwiązanie. Mechanizm ma dwa stopnie swobody (jego położenie określają dwa niezależne od siebie kąty a i p) oraz prędkość punktu W(punkt wspólny prętów 2 oraz 3) zależy od prędkości punktów ALE oraz D.
Biorąc pod uwagę ruch pręta /, n znajdujemy kierunek i wartość prędkości punktu O: V A= coj/j = 0,8 m/s, V a AjO ( A.
Rozważ ruch rolki. Jej chwilowy środek prędkości znajduje się w punkcie R; następnie VD znaleźć z proporcji
Ponieważ DOP równoramienne i kąty ostre w nim są równe 30 °, a następnie DP- 2OP cos 30° = LUB/ 3. Z równości (a) znajdujemy VD- 0,6 m/s. Wektor VD skierowane prostopadle DP
Od punktu W należy jednocześnie do prętów AB oraz BD, to zgodnie z twierdzeniem o projekcji prędkości powinno to być: 1) rzut wektora w bezpośrednio B A(odcinek Ach na ryc. 8.12, a), tj. A cos a = 0,4 m/s; 2) odwzorowanie wektorowe w bezpośrednio DB jest równy rzutowi na tę linię wektora 0(odcinek Dd na ryc. 8.12, a), tj. 0 cos y = 0,3 m/s (y = 60°).
Rozwiążmy to graficznie. Odłóż na bok W cięcia w odpowiednich kierunkach Bb (= Aa oraz Bb 2 = Dd. Szybkość punktowa W jest równa sumie wektorów V B = Bb + Bbj. Przywracanie z punktu b ( prostopadły do Bb x, i od
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/380.png)
zwrotnica b 2 - prostopadły do Nocleg ze śniadaniem 2. Punkt przecięcia tych prostopadłych określa koniec pożądanego wektora V B.
Ponieważ kierunki segmentów Nocleg ze śniadaniem oraz Bb 2 wtedy wzajemnie prostopadłe
Ustalamy od 2. na ryc. 8.12, b pokazany jest tzw. plan prędkości, który graficznie przedstawia równość wektorów
gdzie wektory VA oraz V B zdefiniowany (patrz ryc. 8.12, a), i kierunek VBA prostopadle do pręta AB. Z rysunku (ryc. 8.12, b) odnaleźć
Teraz definiujemy za pomocą 2 = V ba / AB- 1,66 s -1 (kierunek od 2 - przeciwnie do ruchu wskazówek zegara).
Odpowiadać: VB- 0,5 m / s, co 2 \u003d 1,66 s -1.
Ruch figury płaskiej składa się z ruchu postępowego, gdy wszystkie punkty figury poruszają się z prędkością bieguna ALE, oraz od ruchu obrotowego wokół tego bieguna (Rys. 3.4). Dowolna prędkość punktowa M figury są tworzone geometrycznie na podstawie prędkości, jakie punkt otrzymuje w każdym z tych ruchów.
Rysunek 3.4
Rzeczywiście, pozycja punktu M w stosunku do osi Ohy określony przez promień - wektor , gdzie
- wektor promienia bieguna ALE,
=
- wektor promienia określający położenie punktu M stosunkowo
poruszając się z kijem ALE stopniowo. Następnie
.
jest prędkością bieguna ALE,
równa prędkości
, który punkt M odbiera o godz
, tj. o osiach
, czyli innymi słowy, gdy postać obraca się wokół bieguna ALE. Z tego wynika
gdzie ω jest prędkością kątową figury.
Rysunek 3.5
W ten sposób, prędkość dowolnego punktu M figury płaskiej jest geometrycznie sumą prędkości innego punktu A, traktowanego jako biegun, oraz prędkości, jaką uzyskuje punkt M, gdy figura obraca się wokół tego bieguna. Moduł i kierunek prędkości można znaleźć, konstruując odpowiedni równoległobok (ryc. 3.5).
10.3. Twierdzenie o rzutach prędkości dwóch punktów ciała
Jednym z prostych sposobów wyznaczenia prędkości punktów figury płaskiej (lub ciała poruszającego się w sposób równoległy do płaszczyzny) jest twierdzenie: rzuty prędkości dwóch punktów bryły sztywnej na oś przechodzącą przez te punkty są sobie równe.
Rysunek 3.6
Rozważ dwa punkty ALE oraz W płaska sylwetka (lub ciało) (ryc. 3.6). Biorąc punkt ALE za biegun otrzymujemy to . Stąd rzutowanie obu części równości na oś skierowaną wzdłuż AB, i biorąc pod uwagę, że wektor
prostopadły AB, znaleźliśmy
|
i twierdzenie jest udowodnione. Należy zauważyć, że wynik ten jest również jasny z czysto fizycznych względów: jeśli równość nie zostanie wykonana, to przy przesunięciu odległości między punktami ALE oraz W musi się zmienić, co jest niemożliwe – ciało jest absolutnie solidne. Dlatego ta równość jest spełniona nie tylko dla płaszczyzny równoległej, ale także dla dowolnego ruchu ciała sztywnego.
10.4. Wyznaczanie prędkości punktów figury płaskiej za pomocą chwilowego środka prędkości
Inna prosta i ilustracyjna metoda wyznaczania prędkości punktów figury płaskiej (lub ciała w ruchu płaskim) opiera się na koncepcji chwilowego środka prędkości.
Chwilowy środek prędkości (ICV) to punkt figury płaskiej, której prędkość w danej chwili jest równa zeru.
Jeśli figura porusza się nieprzesuwnie, to taki punkt w każdym momencie czasu t istnieje i jest niepowtarzalny. Niech w tej chwili t zwrotnica ALE oraz W płaszczyzny figury mają prędkości oraz
, nierównoległe do siebie (rys. 3.7.). Następnie punkt R leży na przecięciu prostopadłych Ach do wektora
oraz Wb do wektora
, i będzie chwilowym środkiem prędkości, ponieważ
.
Rysunek 3.7
Rzeczywiście, jeśli , a następnie z twierdzenia o projekcji prędkości wektor
musi być zarówno prostopadła, jak i AR(dlatego
), oraz ciśnienie krwi(dlatego
), co jest niemożliwe. Z tego samego twierdzenia jasno wynika, że żaden inny punkt figury w tym momencie nie może mieć prędkości równej zeru.
Jeśli teraz w tym czasie t weź punkt R na biegun. To jest prędkość punktu ALE będzie
,
dlatego =0. Ten sam wynik uzyskuje się dla każdego innego punktu figury. Następnie, prędkości punktów figury płaskiej są wyznaczane w danym momencie czasu, tak jakby ruch figury był ruchem obrotowym wokół chwilowego środka prędkości. W którym
|
i tak dalej dla dowolnego punktu figury.
Z tego też wynika, że oraz
, następnie
|
tych. Co prędkości punktów figury płaskiej są proporcjonalne do ich odległości od chwilowego środka prędkości.
Uzyskane wyniki prowadzą do następujących wniosków:
1. Aby wyznaczyć chwilowe środki prędkości, wystarczy znać tylko kierunki prędkości, np.oraz
dowolne dwa punkty A i B figury płaskiej.
2. Aby określić prędkość dowolnego punktu figury płaskiej, musisz znać moduł i kierunek prędkości dowolnego punktu A figury oraz kierunek prędkości jej drugiego punktu B.
3. Prędkość kątowapłaskiej figury jest w każdym momencie czasu równy stosunkowi prędkości pewnego punktu figury do jego odległości od chwilowego środka prędkości P:
|
Znajdźmy inne wyrażenie dla ω
od równości oraz
wynika z tego
oraz
, gdzie
|
Rozważmy kilka szczególnych przypadków definicji MCC, które pomogą rozwiązać mechanikę teoretyczną.
1. Jeżeli ruch płasko-równoległy jest wykonywany przez toczenie bez ślizgania się jednego cylindrycznego korpusu po powierzchni innego stacjonarnego, wówczas punkt R toczącego się ciała stykającego się z powierzchnią nieruchomą (rys. 3.8), w danej chwili, ze względu na brak poślizgu, ma prędkość równą zeru ( ), a zatem jest chwilowym środkiem prędkości.
Rysunek 3.8
2. Jeśli punkty prędkości ALE oraz W płaska figura są równoległe do siebie i linii AB nie prostopadłe (ryc. 3.9, a), wówczas chwilowe centrum prędkości leży w nieskończoności, a prędkość wszystkich punktów //
. W tym przypadku z twierdzenia o projekcji prędkości wynika, że
, tj.
, w tym przypadku figura wykonuje natychmiastowy ruch translacyjny.
3. Jeśli punkty prędkości ALE oraz W płaska figura // do siebie i jednocześnie do linii AB prostopadły , to chwilowe środki prędkości R zależy od konstrukcji (ryc. 3.9, b).
Rysunek 3.9
Ważność konstrukcji wynika z . W tym przypadku, w przeciwieństwie do poprzednich, aby znaleźć centrum R oprócz wskazówek musisz znać również moduły prędkości
oraz
.
4. Jeżeli znany jest wektor prędkości jakiś punkt W figura i jej prędkość kątowa ω
, to położenie chwilowego środka prędkości R leżąc prostopadle do
(patrz ryc.?), można znaleźć z równości
, co daje
.