الأعداد المركبة والمتسلسلات ذات الحدود المركبة. سلسلة متقاربة من الأعداد المركبة سلسلة متقاربة تمامًا من الأعداد المركبة
![الأعداد المركبة والمتسلسلات ذات الحدود المركبة. سلسلة متقاربة من الأعداد المركبة سلسلة متقاربة تمامًا من الأعداد المركبة](https://i1.wp.com/mathprofi.ru/k/slozhnye_ryady_clip_image006.gif)
الأساليب القياسية ، لكنها وصلت إلى طريق مسدود بمثال آخر.
ما هي الصعوبة وأين يمكن أن تكون هناك عقبة؟ دعنا نضع حبل الصابون جانبًا ، ونحلل الأسباب بهدوء ونتعرف على الطرق العملية للحل.
الأول والأهم: في الغالبية العظمى من الحالات ، لدراسة تقارب سلسلة ، من الضروري تطبيق طريقة مألوفة ، لكن المصطلح الشائع للمسلسل مليء بحشو صعب لدرجة أنه ليس من الواضح على الإطلاق ما يجب فعله به . وأنت تدور في دوائر: العلامة الأولى لا تعمل ، والثانية لا تعمل ، والطريقة الثالثة والرابعة والخامسة لا تعمل ، ثم تُلقى المسودات جانبًا ويبدأ كل شيء من جديد. هذا عادة ما يكون بسبب نقص الخبرة أو الثغرات في أقسام أخرى من حساب التفاضل والتكامل. على وجه الخصوص ، إذا كان قيد التشغيل حدود التسلسلوتفكيكها بشكل سطحي حدود الوظيفة، فسيكون ذلك صعبًا.
بمعنى آخر ، لا يرى الشخص ببساطة الحل اللازم بسبب نقص المعرفة أو الخبرة.
في بعض الأحيان يقع اللوم أيضًا على "الكسوف" ، عندما ، على سبيل المثال ، لا يتم الوفاء بالمعيار الضروري لتقارب السلسلة ببساطة ، ولكن بسبب الجهل أو الإهمال أو الإهمال ، فإن هذا يقع بعيدًا عن الأنظار. واتضح كما في تلك الدراجة حيث حل أستاذ الرياضيات مشكلة أطفال بمساعدة المتواليات المتكررة والمتسلسلة العددية =)
في أفضل التقاليد أمثلة حية على الفور: الصفوف وأقاربهم - يتباعدون ، لأنه ثبت من الناحية النظرية حدود التسلسل. على الأرجح ، في الفصل الدراسي الأول ، سوف تتعرض للضرب من روحك للحصول على دليل من 1-2-3 صفحات ، ولكن الآن يكفي لإظهار أن الشرط الضروري لتقارب السلسلة لم يتم الوفاء به ، في إشارة إلى للحقائق المعروفة. مشهور؟ إذا كان الطالب لا يعرف أن جذر الدرجة التاسعة هو شيء قوي للغاية ، فلنقل السلسلة
وضعه في شبق. وإن كان الحل كالاثنين والثاني: أي. لأسباب واضحة ، تتباعد كلتا السلسلتين. تعليق متواضع "تم إثبات هذه الحدود من الناحية النظرية" (أو حتى عدم وجودها على الإطلاق) كافٍ تمامًا للإزاحة ، بعد كل شيء ، الحسابات ثقيلة جدًا وهي بالتأكيد لا تنتمي إلى قسم السلاسل العددية.
وبعد دراسة الأمثلة التالية ، سوف تفاجأ فقط باختصار وشفافية العديد من الحلول:
مثال 1
تحقق من تقارب سلسلة
المحلول: أولا وقبل كل شيء ، تحقق من التنفيذ المعيار الضروري للتقارب. هذه ليست إجراء شكلي ، لكنها فرصة كبيرة للتعامل مع مثال "القليل من إراقة الدماء".
يقترح "فحص المشهد" سلسلة متباينة (حالة سلسلة توافقية معممة) ، ولكن السؤال الذي يطرح نفسه مرة أخرى ، كيف نأخذ في الاعتبار اللوغاريتم في البسط؟
أمثلة تقريبية للمهام في نهاية الدرس.
ليس من غير المألوف أن تقوم بمنطق ثنائي الاتجاه (أو حتى ثلاثي الاتجاهات):
مثال 6
تحقق من تقارب سلسلة
المحلول: أولاً ، تعامل بعناية مع هراء البسط. التسلسل محدود:. ثم:
دعنا نقارن سلسلتنا بالسلسلة. بحكم عدم المساواة المزدوجة التي تم الحصول عليها للتو ، سيكون ذلك صحيحًا للجميع "en":
الآن دعونا نقارن المتسلسلة بالسلسلة التوافقية المتباعدة.
مقام الكسر أقلمقام الكسر ، لذلك الكسر نفسه – أكثرالكسور (اكتب الحدود القليلة الأولى ، إن لم تكن واضحة). وبالتالي ، لأي "en":
لذا ، بالمقارنة ، السلسلة يتباعدجنبًا إلى جنب مع السلسلة التوافقية.
إذا غيرنا المقام قليلاً: ، فسيكون الجزء الأول من التفكير مماثلاً:
. ولكن لإثبات اختلاف السلسلة ، فإن اختبار الحد للمقارنة فقط هو القابل للتطبيق بالفعل ، لأن عدم المساواة خاطئة.
الحالة مع السلسلة المتقاربة هي "مرآة" ، أي ، على سبيل المثال ، بالنسبة لسلسلة ، يمكن استخدام كلا معيار المقارنة (عدم المساواة صحيح) ، ولسلسلة ، فقط المعيار المحدد (عدم المساواة خطأ).
نواصل رحلات السفاري عبر البرية ، حيث يلوح في الأفق قطيع من الظباء الرشيقة والعصرية:
مثال 7
تحقق من تقارب سلسلة
المحلول: تم استيفاء معيار التقارب الضروري ، ونطرح مرة أخرى السؤال التقليدي: ماذا نفعل؟ أمامنا شيء يشبه سلسلة متقاربة ، ومع ذلك ، لا توجد قاعدة واضحة هنا - مثل هذه الارتباطات غالبًا ما تكون خادعة.
في كثير من الأحيان ، ولكن ليس هذه المرة. باستخدام معيار المقارنة المحدددعونا نقارن سلسلتنا مع المتسلسلة المتقاربة. عند حساب الحد نستخدم حد رائع ، بينما متناهي الصغرمواقف:
يتقاربمع بجانب.
بدلاً من استخدام الأسلوب الاصطناعي القياسي للضرب والقسمة على "ثلاثة" ، كان من الممكن في البداية المقارنة مع سلسلة متقاربة.
ولكن من المستحسن هنا التحذير من أن المضاعف الثابت للمصطلح العام لا يؤثر على تقارب السلسلة. وفقط في هذا النمط تم تصميم حل المثال التالي:
المثال 8
تحقق من تقارب سلسلة
عينة في نهاية الدرس.
المثال 9
تحقق من تقارب سلسلة
المحلول: في الأمثلة السابقة ، استخدمنا حدود الجيب ، ولكن الآن هذه الخاصية خارج اللعبة. مقام كسر من أعلى ترتيب النمومن البسط ، لذلك عندما تكون سعة الجيب والحد المشترك بأكمله صغير بلا حدود. إن الشرط اللازم للتقارب كما تفهم ، مستوفى ، مما لا يسمح لنا بالتهرب من العمل.
سنجري الاستطلاع: وفقًا لـ تكافؤ رائع ، تجاهل الجيب عقليًا واحصل على سلسلة. حسنًا ، شيء من هذا القبيل….
اتخاذ قرار:
دعونا نقارن السلسلة قيد الدراسة بالسلسلة المتباعدة. نستخدم معيار المقارنة المحدد:
دعونا نستبدل اللامتناهي في الصغر بالمكافئ: for .
يتم الحصول على رقم محدد بخلاف الصفر ، مما يعني أن السلسلة قيد الدراسة يتباعدجنبًا إلى جنب مع السلسلة التوافقية.
المثال 10
تحقق من تقارب سلسلة
هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك".
للتخطيط لمزيد من الإجراءات في مثل هذه الأمثلة ، يساعد الرفض العقلي للجيب ، القوسين ، الظل ، القوسي كثيرًا. لكن تذكر أن هذا الاحتمال موجود فقط عندما متناهي الصغرحجة ، منذ وقت ليس ببعيد صادفت سلسلة استفزازية:
المثال 11
تحقق من تقارب سلسلة .
المحلول: من غير المجدي استخدام محدودية قوس الظل هنا ، ولا يعمل التكافؤ أيضًا. الإخراج بسيط بشكل مدهش:
سلسلة الدراسة يتباعد، حيث لم يتم استيفاء المعيار الضروري لتقارب السلسلة.
السبب الثانيتتكون "الكمامة على الوظيفة" من التطور اللائق للعضو العادي ، مما يسبب صعوبات ذات طبيعة فنية. بشكل تقريبي ، إذا كانت السلسلة التي تمت مناقشتها أعلاه تنتمي إلى فئة "الشخصيات التي تخمنها" ، فإن هؤلاء الأشخاص ينتمون إلى فئة "أنت تقرر". في الواقع ، هذا يسمى التعقيد بالمعنى "المعتاد". لن يحل الجميع بشكل صحيح العديد من العوامل والدرجات والجذور وسكان السافانا الآخرين. بالطبع ، العوامل المسببة لمعظم المشاكل هي:
المثال 12
تحقق من تقارب سلسلة
كيف ترفع عاملي إلى قوة؟ بسهولة. وفقًا لقاعدة العمليات ذات الصلاحيات ، من الضروري رفع كل عامل من المنتج إلى قوة:
وبالطبع ، الانتباه والاهتمام مرة أخرى ، فإن علامة دالمبرت تعمل بشكل تقليدي:
وهكذا ، فإن السلسلة قيد الدراسة يتقارب.
أذكرك بأسلوب عقلاني لإزالة عدم اليقين: عندما يكون واضحًا ترتيب النموالبسط والمقام - ليس من الضروري على الإطلاق أن تعاني وفتح الأقواس.
المثال 13
تحقق من تقارب سلسلة
الوحش نادر جدًا ، لكنه موجود ، وسيكون من غير العدل تجاوزه بعدسة الكاميرا.
ما هو عاملي علامة التعجب المزدوجة؟ عامل "الرياح" هو نتاج الأعداد الزوجية الموجبة:
وبالمثل ، فإن العامل "ينتهي" بحاصل ضرب الأعداد الفردية الموجبة:
حلل ما هو الفرق بين
المثال 14
تحقق من تقارب سلسلة
وفي هذه المهمة ، حاول ألا تخلط بينك وبين الدرجات ، معادلات رائعةو حدود رائعة.
نماذج الحلول والإجابات في نهاية الدرس.
لكن الطالب لا يستطيع إطعام النمور فقط - الفهود الماكرة تتعقب فرائسها:
المثال 15
تحقق من تقارب سلسلة
المحلول: معيار التقارب الضروري ، المعيار المحدود ، معايير دالمبرت وكوشي تختفي على الفور تقريبًا. لكن الأسوأ من ذلك كله ، أن ميزة عدم المساواة ، التي أنقذتنا مرارًا وتكرارًا ، لا حول لها ولا قوة. في الواقع ، المقارنة مع سلسلة متباينة أمر مستحيل ، لأن عدم المساواة غير صحيح - اللوغاريتم المضاعف يزيد المقام فقط ، ويقلل الكسر نفسه
بالنسبة للكسر. وسؤال عالمي آخر: لماذا نحن في البداية على يقين من أن سلسلتنا
لا بد أن تتباعد ويجب مقارنتها ببعض السلاسل المتباينة؟ هل هو ملائم على الإطلاق؟
ميزة متكاملة؟ تكامل غير لائق يثير مزاج حزين. الآن ، إذا كان لدينا خلاف
… ثم نعم. قف! هكذا تولد الأفكار. نتخذ القرار في خطوتين:
1) أولاً ، ندرس تقارب السلسلة . نحن نستخدم ميزة متكاملة:
انتجراند مستمرعلى ال
وبالتالي ، رقم يتباعد مع التكامل غير الصحيح المقابل.
2) قارن سلسلتنا بالسلسلة المتباعدة . نستخدم معيار المقارنة المحدد:
يتم الحصول على رقم محدد بخلاف الصفر ، مما يعني أن السلسلة قيد الدراسة يتباعدجنبًا إلى جنب .
ولا يوجد شيء غير عادي أو إبداعي في مثل هذا القرار - فهذه هي الطريقة التي يجب تحديدها!
أقترح أن أرسم بشكل مستقل الخطوتين التاليتين:
المثال 16
تحقق من تقارب سلسلة
يرى الطالب الذي يتمتع ببعض الخبرة في معظم الحالات على الفور ما إذا كانت السلسلة تتقارب أو تتباعد ، ولكن يحدث أن يتنكر حيوان مفترس بذكاء في الأدغال:
المثال 17
تحقق من تقارب سلسلة
المحلول: للوهلة الأولى ، ليس من الواضح على الإطلاق كيف تتصرف هذه السلسلة. وإذا كان لدينا ضباب أمامنا ، فمن المنطقي أن نبدأ بفحص تقريبي للشرط الضروري لتقارب السلسلة. من أجل القضاء على عدم اليقين ، نستخدم غير قابل للغرق طريقة الضرب والقسمة بالتعبير المساعد:
لم تنجح علامة التقارب الضرورية ، لكنها أبرزت الضوء على رفيق تامبوف. نتيجة للتحولات التي تم إجراؤها ، تم الحصول على سلسلة مكافئة ، والتي بدورها تشبه إلى حد كبير سلسلة متقاربة.
نكتب حلا نظيفا:
قارن هذه السلسلة بالسلسلة المتقاربة. نستخدم معيار المقارنة المحدد:
اضرب واقسم على التعبير المساعد:
يتم الحصول على رقم محدد بخلاف الصفر ، مما يعني أن السلسلة قيد الدراسة يتقاربمع بجانب.
ربما لدى البعض سؤال ، من أين أتت الذئاب في رحلات السفاري الإفريقية؟ لا أعرف. ربما أحضروها. ستحصل على جلد الكأس التالي:
المثال 18
تحقق من تقارب سلسلة
مثال على الحل في نهاية الدرس
وأخيرًا ، فكر آخر يزور العديد من الطلاب في حالة من اليأس: بدلاً من استخدام معيار نادر لتقارب السلسلة؟ علامة رابي ، وعلامة هابيل ، وعلامة غاوس ، وعلامة ديريتشليت وحيوانات أخرى غير معروفة. الفكرة تعمل ، ولكن في الأمثلة الحقيقية نادرًا ما يتم تنفيذها. شخصيا ، في كل سنوات الممارسة ، لقد لجأت إلى 2-3 مرات فقط علامة رابعندما لا شيء يساعد حقًا من الترسانة القياسية. أقوم بإعادة إنتاج مسار مهمتي القصوى بالكامل:
المثال 19
تحقق من تقارب سلسلة
المحلول: بلا شك علامة دالمبرت. في سياق العمليات الحسابية ، أستخدم بنشاط أيضًا خصائص الدرجات الحد الثاني الرائع:
هذا واحد من أجلك. لم تعط علامة دالمبرت إجابة ، على الرغم من أن لا شيء ينذر بمثل هذه النتيجة.
بعد الاطلاع على الدليل ، وجدت حدًا غير معروف تم إثباته من الناحية النظرية وطبقت معيار كوشي الجذري الأقوى:
هنا اثنان من أجلك. والأهم من ذلك ، أنه ليس من الواضح على الإطلاق ما إذا كانت السلسلة تتقارب أو تتباعد (وهي حالة نادرة للغاية بالنسبة لي). علامة المقارنة ضرورية؟ بدون الكثير من الأمل - حتى لو اكتشفت بطريقة لا يمكن تصورها ترتيب نمو البسط والمقام ، فإن هذا لا يزال لا يضمن المكافأة.
دالمبرت كامل ، لكن أسوأ شيء هو أن المسلسل يحتاج إلى حل. بحاجة إلى. بعد كل شيء ، ستكون هذه هي المرة الأولى التي أستسلم فيها. ثم تذكرت أنه يبدو أن هناك بعض العلامات الأكثر قوة. قبلي لم يعد ذئبًا ، وليس نمرًا ولا نمرًا. كان فيل ضخم يلوح بجذع كبير. اضطررت لالتقاط قاذفة قنابل يدوية:
علامة رابي
ضع في اعتبارك سلسلة أعداد موجبة.
إذا كان هناك حد ، ومن بعد:
أ) على التوالي يتباعد. علاوة على ذلك ، يمكن أن تكون القيمة الناتجة صفرًا أو سالبة.
ب) على التوالي يتقارب. على وجه الخصوص ، تتلاقى السلسلة لـ.
ج) متى علامة رابي لا تعطي إجابة.
نؤلف النهاية ونبسط الكسر بعناية:
نعم ، الصورة ، بعبارة ملطفة ، مزعجة ، لكنني لم أعد متفاجئًا. قواعد لوبيتال، والفكرة الأولى ، كما اتضح فيما بعد ، اتضح أنها صحيحة. لكن أولاً ، لمدة ساعة تقريبًا ، قمت بلفّ الحد الأقصى وتحويله باستخدام الأساليب "المعتادة" ، لكن عدم اليقين لم أرغب في التخلص منه. والسير في الدوائر ، كما تشير التجربة ، هو علامة نموذجية على اختيار طريقة خاطئة للحل.
اضطررت إلى اللجوء إلى الحكمة الشعبية الروسية: "إذا لم يساعد شيء ، فاقرأ التعليمات". وعندما فتحت المجلد الثاني من Fichtenholtz ، كان من دواعي سروري الكبير أنني وجدت دراسة لسلسلة متطابقة. ثم ذهب الحل وفقًا للنموذج.
1. الأعداد المركبة. ارقام مركبةتسمى أرقام النموذج x + iy ،أين Xو ص -أرقام حقيقية أنا-وحدة خياليةالتي تحددها المساواة أنا 2 = -1.الأعداد الحقيقية Xو فيتسمى على التوالي صالحو أجزاء خياليةعدد مركب ض.بالنسبة لهم ، يتم تقديم التدوين: س = ريز ؛ y = imz.
هندسيًا ، كل عدد مركب ض = س + أناممثلة بنقطة م (س ؛ ص)خطة تنسيق xOy(الشكل 26). في هذه الحالة الطائرة هوييسمى مستوى العدد المركب ، أو مستوى المتغير المركب z.
الإحداثيات القطبية صو φ نقاط موهي صورة رقم مركب z تسمى وحدةو جدالعدد مركب ض ؛ يتم تقديم التدوين لهم: ص = | ض | ، φ = أرجز.
نظرًا لأن كل نقطة في المستوى تتوافق مع عدد لا حصر له من قيم الزاوية القطبية ، والتي تختلف عن بعضها البعض بمقدار 2kπ (k هو عدد صحيح موجب أو سالب) ، فإن Arg هي دالة z غير محدودة القيمة لـ z.
أن قيم الزاوية القطبية φ ، والذي يرضي عدم المساواة –< φ ≤ π تسمى الأهمية الرئيسيةالحجة z والدلالة على arg z.
في ما يلي التعيين φ حفظ فقط من أجل القيمة الرئيسية للوسيطة z , أولئك. هيا نضع φ =أرجز ،حيث لجميع القيم الأخرى للحجة ضنحصل على المساواة
Arg z = arg z + 2kπ = φ + 2kπ.
يتم إنشاء العلاقات بين مقياس العدد المركب ووسعته z وأجزائه الحقيقية والخيالية بواسطة الصيغ
س = ص كوس φ ؛ y = r sin φ.
جدال حاد ضيمكن أيضًا تحديده من خلال الصيغة
arg z = arctg (ص / س) + ج ،
أين من= 0 في x> 0, من= + π لـ x<0, في> 0 ؛ C \ u003d - π في x < 0, في< 0.
استبدال xو فيفي تدوين العدد المركب ض = س + أناتعابيرهم من خلال صو φ ، نحصل على ما يسمى الشكل المثلثي للعدد المركب:
ارقام مركبة ض 1 \ u003d × 1 + أنا 1و ض 2 \ u003d × 2 + أنا 2يعتبر مساوإذا وفقط إذا كانت أجزائها الحقيقية والخيالية متساوية بشكل منفصل:
z1 = z2، إذا س 1 = س 2, ص 1 = ص 2.
بالنسبة للأرقام الواردة في الشكل المثلثي ، تحدث المساواة إذا كانت الوحدات النمطية لهذه الأرقام متساوية ، وتختلف الوسيطات بعدد صحيح مضاعف لـ 2π:
ض 1 = ض 2 ،إذا | ض 1 | = | z 2 |و Arg z 1 = Arg z 2 + 2kπ.
رقمان مركبان ض = س + أناو ض = س-صمع أجزاء تخيلية متساوية حقيقية ومتقابلة مترافق.بالنسبة للأعداد المركبة المرافقة ، فإن العلاقات
| ض 1 | = | ض 2 | ؛ arg z 1 = -arg z 2 ،
(يمكن إعطاء المساواة الأخيرة بالشكل Arg z 1 + Arg z 2 = 2kπ).
يتم تعريف العمليات على الأعداد المركبة بالقواعد التالية.
إضافة. اذا كان z 1 \ u003d x 1 + iy 1، z 2 \ u003d x 2 + iy 2، ومن بعد
إضافة الأعداد المركبة تخضع لقوانين التبادل والترابط:
الطرح. اذا كان ، ومن بعد
للحصول على شرح هندسي لجمع وطرح الأعداد المركبة ، من المفيد تمثيلها ليس كنقاط على المستوى ض ،والمتجهات: الرقم z = x + iyممثلة بالناقل وجود البداية عند النقطة O (نقطة "الصفر" من المستوى - أصل الإحداثيات) والنهاية عند النقطة م (س ؛ ص).ثم يتم جمع وطرح الأعداد المركبة وفقًا لقاعدة جمع وطرح المتجهات (الشكل 27).
مثل هذا التفسير الهندسي لعمليات الجمع والطرح للمتجهات يجعل من السهل إنشاء نظريات على معامل مجموع وفرق اثنين ومجموع عدة أعداد مركبة ، معبرًا عنها بعدم المساواة:
| | z 1 | - | z 2 | | ≤ | z 1 ± z 2 | ≤ | ض 1 | + | z 2 | و
بالإضافة إلى ذلك ، من المفيد تذكر ذلك معامل الفرق بين عددين مركبين z1 و z2 تساوي المسافة بين النقاط التي تمثل صورهما على المستوى z:| | ض 1-ع 2 | = د (ض 1 ، ض 2).
عمليه الضرب. اذا كان z 1 \ u003d x 1 + iy 1، z 2 \ u003d x 2 + iy 2. ومن بعد
z 1 z 2 \ u003d (x 1 x 2 -y 1 y 2) + i (x 1 y 2 + x 2 y 1).
وبالتالي ، يتم ضرب الأعداد المركبة في صورة ذات حدين ، مع استبدال i 2 بـ -1.
اذا ثم
في هذا الطريق، معامل المنتج يساوي حاصل ضرب وحدات المنوم ، وسعة المنتج-مجموع حجج العوامل.يخضع ضرب الأعداد المركبة للقوانين التبادلية والترابطية والتوزيعية (فيما يتعلق بالإضافة):
قسم.لإيجاد حاصل قسمة عددين مركبين معطى في الصورة الجبرية ، يجب ضرب المقسوم والمقسوم عليه في الرقم المقترن بالمقسوم عليه:
" اذا كان في الشكل المثلثي ، إذن
في هذا الطريق، معامل حاصل القسمة يساوي حاصل قسمة معامل المقسوم والمقسوم عليه ،أ جدالخاص يساوي الفرق بين وسيطات المقسوم والمقسوم عليه.
الأس. إذا كان z = , ثم بصيغة نيوتن ذات الحدين
(صهو عدد صحيح موجب) ؛ في التعبير الناتج ، من الضروري استبدال الدرجات أنامعانيها:
أنا 2 \ u003d -1 ؛ أنا 3 = أنا ؛ أنا 4 = 1 ؛ ط 5 = 1 ، ...
وبشكل عام،
أنا 4k = 1 ؛ أنا 4k + 1 = أنا ؛ أنا 4k + 2 = -1 ؛ أنا 4k + 3 = -i .
اذا ثم
(هنا صيمكن أن يكون عددًا صحيحًا موجبًا أو عددًا صحيحًا سالبًا).
خاصه،
(صيغة دي Moivre).
استخراج الجذر. اذا كان صهو عدد صحيح موجب ، ثم الجذر النوني للعدد المركب ضله قيم n مختلفة ، تم العثور عليها بواسطة الصيغة
حيث ك = 0 ، 1 ، 2 ، ... ، ن -1.
437.
أوجد (z 1 z 2) / z 3 if z1 = 3 + 5i ،ض 2 = 2 + 3 ط ، ع 3 = 1 + 2 ط.
∆
438.
رقم ض= 2 + 5 ط.
∆ أوجد مقياس العدد المركب:. أوجد القيمة الرئيسية للوسيطة:. لذلك ، ▲
439.
تمثل في شكل مثلثي المجمع
رقم
∆ البحث و؛ ، ، بمعنى آخر.
440.
تمثل في شكل معقد مثلثي
الأرقام 1 ، ط ، -1 ، -أنا.
441.
تمثيل الأرقام ,
,
في الصورة المثلثية ثم أوجد العدد المركب
ض 1 / (ض 2 ض 3).
∆ البحث
بالتالي،
442. ابحث عن كل القيم.
∆ نكتب العدد المركب في الصورة المثلثية. نملك ، ، . بالتالي،
بالتالي، ، ،
443. حل معادلة ثنائية ω 5 + 32 ط = 0.
∆ دعونا نعيد كتابة المعادلة بالصيغة ω 5 + 32 ط = 0. رقم -32 طتمثل في الشكل المثلثي:
اذا كان ك = 0ثم).
ك = 1 ،(ب).
ك = 2 ،(ج).
ك = 3 ،(د).
ك = 4 ،(هـ).
تتوافق جذور المعادلة ذات الحدين مع رؤوس خماسي منتظم منقوش في دائرة نصف قطرها ص = 2تتمحور في الأصل (الشكل 28).
بشكل عام ، جذور المعادلة ذات الحدين ω n \ u003d أ ،أين أ-رقم معقد ، يتوافق مع رؤوس النظام العادي ن-درجت في دائرة مركزها عند الأصل ونصف قطرها يساوي
444. باستخدام صيغة De Moivre ، صريح cos5φو الخطيئة 5 φعبر كوسφو sinφ.
∆ نقوم بتحويل الجانب الأيسر من المساواة وفقًا لصيغة نيوتن ذات الحدين:
يبقى أن نساوي بين الأجزاء الحقيقية والخيالية للمساواة:
445. بالنظر إلى عدد مركب ض = 2-2 ط. تجد Rez، Imz، | z |، argz.
446. ض = -12 + 5 ط.
447 . احسب التعبير باستخدام صيغة Moivre (cos 2 ° + isin 2 °) 45.
448. احسب باستخدام صيغة De Moivre.
449. عبر عن عدد مركب في الصورة المثلثية
z = 1 + cos 20 ° + isin 20 °.
450. تقييم التعبير (2 + 3 ط) 3.
451.
تقييم التعبير
452. تقييم التعبير
453. عبر عن عدد مركب في الصورة المثلثية 5-3 ط.
454. عبر عن عدد مركب في الصورة المثلثية -1 + ط.
455.
تقييم التعبير
456.
تقييم التعبير بعد أن قدم سابقاً العوامل في البسط والمقام في شكل مثلث.
457. ابحث عن كل القيم
458.
حل معادلة ثنائية
459. التعبير cos4φو الخطيئةعبر كوسφو sinφ.
460. تبين أن المسافة بين النقاط z1و z2يساوي | z2-z1|.
∆ لدينا z 1 \ u003d x 1 + iy 1، z 2 \ u003d x 2 + iy 2, ض 2 -z 1 \ u003d (س 2-س 1) + أنا (ص 2-ص 1) ،أين
أولئك. | z2-z1| يساوي المسافة بين النقاط المعطاة. ▲
461. أي خط موصوف بالنقطة ض، وتلبية المعادلة حيث مع- عدد مركب ثابت ، و R> 0؟
462.
ما المعنى الهندسي للمتباينات: 1) | ض-ج |
463. ما المعنى الهندسي للتفاوتات: 1) ريز> 0; 2) ايم ض< 0 ?
2. سلسلة ذات شروط معقدة. ضع في اعتبارك تسلسل الأعداد المركبة ض 1 ، ض 2 , ض 3 ، ... ، أين z p \ u003d x p + iy p (n \ u003d 1 ، 2 ، 3 ، ...).رقم ثابت ج = أ + ثنائياتصل حدالتسلسلات ض 1 ، ض 2 , ض 3 ، ... ، إذا كان لأي عدد صغير بشكل تعسفي δ>0 يوجد رقم ن،ما المعنى ض صبالأرقام ن> نإرضاء عدم المساواة \ z n-مع\< δ . في هذه الحالة ، اكتب .
الشرط الضروري والكافي لوجود حد لسلسلة من الأعداد المركبة هو كما يلي: الرقم ج = أ + ثنائيهو حد تسلسل الأعداد المركبة x 1 + iy 1، x 2 + iy 2، x 3 + iy 3، ...إذا وفقط إذا ، .
(1)
أعضائها عبارة عن أرقام معقدة يسمى متقاربةإذا نمجموع جزئي للسلسلة S n لـ ن → ∞يميل إلى حد نهاية معينة. خلاف ذلك ، يتم استدعاء السلسلة (1) متشعب.
تتقارب السلسلة (1) إذا وفقط إذا تقاربت المتسلسلات ذات المصطلحات الحقيقية
(2) تحقق من تقارب السلسلة. تتقارب هذه السلسلة ، التي تشكل شروطها تقدمًا هندسيًا متناقصًا بشكل لا نهائي ؛ لذلك ، فإن السلسلة المعطاة ذات الحدود المعقدة تتقارب بشكل مطلق. ^
474. أوجد منطقة تلاقي سلسلة
يسمح لنا وجود مفهوم حد التسلسل (1.5) بالنظر في السلاسل في المجال المعقد (العددي والوظيفي). يتم تحديد المجاميع الجزئية والتقارب المطلق والمشروط للسلسلة العددية بشكل قياسي. حيث تقارب سلسلة يعني تقارب سلسلتين، أحدهما يتكون من الجزء الحقيقي والآخر من الأجزاء التخيلية لمصطلحات السلسلة: على سبيل المثال ، تتقارب السلسلة تمامًا ، والسلسلة - يتباعد (بسبب الجزء التخيلي).
إذا كانت الأجزاء الحقيقية والخيالية من سلسلة تتقارب بشكل مطلق ، فعندئذٍ
صف ، لأن . والعكس صحيح أيضًا: من التقارب المطلق للسلسلة المعقدة
التقارب المطلق للأجزاء الحقيقية والخيالية يلي:
على غرار السلاسل الوظيفية في المجال الحقيقي ، معقدة
سلسلة وظيفية ، منطقة تقاربها النقطي والموحد. دون تغيير
مصاغة ومثبتة علامة Weierstrassتقارب موحد. يتم حفظها
جميع خصائص سلسلة متقاربة بشكل موحد.
في دراسة السلاسل الوظيفية ، ذات أهمية خاصة قوة
الرتب: ، أو بعد استبدال:. كما في حالة حقيقية
متغير ، صحيح نظرية أبيل : إذا كانت سلسلة الأس (الأخيرة) تتقارب عند النقطة ζ 0 ≠ 0 ، فإنها تتقارب ، وبشكل مطلق ، لأي ζ ترضي المتباينة
في هذا الطريق، منطقة التقارب دهذه سلسلة الطاقة هي دائرة نصف قطرها R تتمحور حول الأصل، أين ص − نصف قطر التقارب - الحد الأعلى الدقيق للقيم (من أين أتى هذا المصطلح). سلسلة القوة الأصلية ، بدورها ، سوف تتقارب في دائرة نصف قطرها صمع المركز في ض 0. علاوة على ذلك ، في أي دائرة مغلقة ، تتقارب سلسلة الطاقة بشكل مطلق وموحد (العبارة الأخيرة تتبع مباشرة من اختبار Weierstrass (انظر الدورة التدريبية "السلسلة")).
مثال .
أوجد دائرة التقارب وافحص التقارب في tt. ض 1 و ض 2 سلسلة الطاقة المحلول.
منطقة التقارب - دائرة نصف القطر ص= 2 مع المركز في t. ض 0 = 1 − 2أنا
. يقع z 1 خارج دائرة التقارب وتتباعد السلسلة. التعادل. النقطة تقع على حدود دائرة التقارب. باستبدالها بالسلسلة الأصلية ، نستنتج:
- تتقارب السلسلة بشكل مشروط وفقًا لمعيار Leibniz.
إذا كانت السلسلة في جميع النقاط الحدودية تتقارب تمامًا أو تتباعد وفقًا للمعيار الضروري ، فيمكن إنشاء ذلك على الفور للحد بأكمله. للقيام بذلك ، استبدل على التوالي
من وحدات من حيث القيمة صبدلاً من التعبير وفحص السلسلة الناتجة.
مثال. ضع في اعتبارك السلسلة من المثال الأخير ، مع تغيير عامل واحد:
تظل منطقة تقارب السلسلة كما هي: استبدل في سلسلة من الوحدات
نصف قطر التقارب الناتج:
إذا أشرنا إلى مجموع المتسلسلة بواسطة F(ض)، بمعنى آخر. F(ض) = (بشكل طبيعي ، في
منطقة التقارب) ، ثم تسمى هذه السلسلة بالقرب من تايلور المهام F(ض) أو توسيع الوظيفة F(ض) في سلسلة تايلور. في حالة معينة ، بالنسبة إلى z 0 = 0 ، يتم استدعاء السلسلة بالقرب من Maclaurin المهام F(ض) .
1.7 تعريف الوظائف الأساسية الأساسية. صيغة أويلر.
ضع في اعتبارك سلسلة الطاقة If ضمتغير حقيقي ، ثم يمثل
هو توسيع سلسلة Maclaurin للوظيفة ، وبالتالي يرضي
خاصية مميزة للدالة الأسية: ، أي . هذا هو أساس التحديد دالة أسيةفي منطقة المجمع:
التعريف 1. .
يتم تعريف الوظائف بشكل مشابه
التعريف 2.
تتلاقى السلاسل الثلاث بشكل مطلق وموحد في أي منطقة مغلقة محدودة من المستوى المعقد.
من الصيغ الثلاث التي تم الحصول عليها ، يستنتج استبدال بسيط صيغة أويلر:
من هنا يتبع على الفور برهنة تدوين الأعداد المركبة:
تؤسس صيغة أويلر علاقة بين حساب المثلثات العادي والقطع الزائدي.
ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، الوظيفة: يتم الحصول على بقية العلاقات بالمثل. لذا:
أمثلة. مثل هذه التعبيرات في النموذج
2. (التعبير الموجود بين قوسين هو رقم أنا
، مكتوبة في شكل أسي)
4. أوجد حلولاً مستقلة خطيًا لـ DE خطي من الرتبة الثانية:
جذور المعادلة المميزة هي:
نظرًا لأننا نبحث عن حلول حقيقية للمعادلة ، يمكننا أخذ الوظائف
دعونا نحدد ، في الختام ، الوظيفة اللوغاريتمية لمتغير معقد. كما هو الحال في المجال الحقيقي ، سوف نعتبره معكوسًا للعدد الأسي. من أجل البساطة ، نأخذ في الاعتبار فقط الوظيفة الأسية ، أي حل المعادلة ل ث، والتي نسميها الوظيفة اللوغاريتمية. للقيام بذلك ، نأخذ لوغاريتم المعادلة ، التقديم ضفي شكل أسي:
إذا بدلا من arg ضكتابة أرج ض(1.2) ، ثم نحصل على دالة ذات قيمة غير محدودة
1.8 مشتق من FKP. وظائف تحليلية. شروط كوشي-ريمان.
يترك ث = F(ض) هي وظيفة ذات قيمة واحدة محددة في المجال.
التعريف 1. المشتق من الوظيفة F (ض) عند النقطة تسمى حد نسبة زيادة الوظيفة إلى زيادة الوسيطة ، عندما تميل الأخيرة إلى الصفر:
دالة لها مشتق عند نقطة ض، يسمى قابل للتفاضل عند هذه النقطة.
من الواضح أن جميع الخصائص الحسابية للمشتقات مُرضية.
مثال .
باستخدام صيغة نيوتن ذات الحدين ، يتم استنتاج ذلك بالمثل
تفي سلسلة الأس وجيب الجيب وجيب التمام بجميع شروط التفاضل شرطًا تلو الآخر. من خلال التحقق المباشر ، من السهل الحصول على ما يلي:
تعليق. على الرغم من أن تعريف مشتق FKP رسميًا يتوافق تمامًا مع تعريف FDP ، إلا أنه في جوهره أكثر تعقيدًا (انظر الملاحظة في القسم 1.5).
التعريف 2.دور F(ض) ، قابلة للتفاضل بشكل مستمر في جميع نقاط المجال جي، يسمى تحليلي أو عادي في هذه المنطقة.
نظرية 1 . إذا كانت الوظيفة f (ض) قابلة للتفاضل في جميع نقاط المجال G, إذن فهو تحليلي في هذا المجال. (ب / د)
تعليق. في الواقع ، تؤسس هذه النظرية تكافؤ الانتظام والتمايز لـ FKP في المجالات.
نظرية 2. الوظيفة التي يمكن اشتقاقها في بعض المجالات لها عدد لا نهائي من المشتقات في هذا المجال. (ب / د. أدناه (في القسم 2.4) سيتم إثبات هذا التأكيد وفقًا لافتراضات إضافية معينة)
نحن نمثل الوظيفة كمجموع الأجزاء الحقيقية والخيالية: نظرية 3. ( شروط كوشي - ريمان). دع الوظيفة F (ض) قابل للتفاضل في مرحلة ما. ثم الوظائف ش(x,ذ) و الخامس(x,ذ) لها مشتقات جزئية في هذه المرحلة ، و
ودعا شروط كوشي-ريمان .
دليل - إثبات . بما أن قيمة المشتق لا تعتمد على الطريقة التي تميل بها الكمية
إلى الصفر ، نختار المسار التالي: نحصل على:
وبالمثل ، عندما نملك:
، مما يثبت النظرية.
والعكس صحيح أيضا:
نظرية 4.إذا كان يعمل ش (x,ذ) و الخامس(x,ذ) لها مشتقات جزئية مستمرة في نقطة ما تلبي شروط كوشي-ريمان ، ثم الوظيفة نفسها F(ض) قابل للتفاضل في هذه المرحلة. (ب / د)
توضح النظريات 1-4 الفرق الأساسي بين FKP و FDP.
تسمح لك النظرية 3 بحساب مشتق دالة باستخدام أي من الصيغ التالية:
في نفس الوقت ، يمكن للمرء أن ينظر Xو فيالأرقام المركبة التعسفية وحساب المشتق باستخدام الصيغ:
أمثلة. تحقق من الانتظام في الوظيفة. إذا كانت الدالة منتظمة ، فاحسب مشتقها.
تعريف:سلسلة عدد من الأعداد المركبة z 1 ، z 2 ، ... ، z n ، ...يسمى تعبير عن النموذج
z 1 + z 2 +…، z n +… =،(3.1)
حيث z n يسمى المصطلح المشترك للسلسلة.
تعريف:رقم S n \ u003d z 1 + z 2 + ... ، z nيسمى المجموع الجزئي للسلسلة.
تعريف:تسمى السلسلة (1) متقاربة إذا تقارب تسلسل (S n) لمجموعها الجزئية. إذا تباعد تسلسل المجاميع الجزئية ، فإن السلسلة تسمى متباعدة.
إذا تقاربت السلسلة ، فإن الرقم S = يسمى مجموع السلسلة (3.1).
ض ن = س ن + أنا ن,
ثم يتم كتابة السلسلة (1) كـ
= + .
النظرية:تتقارب السلسلة (1) إذا وفقط إذا كانت السلسلة تتكون من الأجزاء الحقيقية والخيالية من شروط السلسلة (3.1) ، تتقارب.
تسمح لنا هذه النظرية بنقل معايير التقارب بجانب المصطلحات الحقيقية إلى سلسلة ذات مصطلحات معقدة (المعيار الضروري ، معيار المقارنة ، معيار دالمبرت ، معيار كوشي ، إلخ).
تعريف.تسمى السلسلة (1) متقاربة تمامًا إذا تقاربت السلسلة المكونة من وحدات أعضائها.
نظرية.من أجل التقارب المطلق للسلسلة (3.1) ، من الضروري والكافي أن تتقارب السلسلة وتتقارب بشكل مطلق.
مثال 3.1.اكتشف طبيعة تقارب السلسلة
المحلول.
تأمل السلسلة
دعونا نظهر أن هذه السلسلة تتلاقى تمامًا. للقيام بذلك ، نثبت أن السلسلة
تقارب.
منذ ذلك الحين ، بدلاً من صف واحد ، نأخذ صفًا. إذا تقاربت السلسلة الأخيرة ، فإن السلسلة تتقارب أيضًا بالمقارنة.
تم إثبات تقارب السلسلة بمساعدة اختبار متكامل.
هذا يعني أن السلسلة والتلاقي يتقاربان تمامًا ، ووفقًا للنظرية الأخيرة ، فإن السلسلة الأصلية تتقارب تمامًا.
4. سلسلة الطاقة ذات الشروط المعقدة. نظرية سلسلة قوة هابيل. دائرة ونصف قطر التقارب.
تعريف.سلسلة القوة هي سلسلة من النموذج
حيث ... ، هي الأعداد المركبة ، وتسمى معاملات المتسلسلة.
منطقة التقاء المتسلسلة (4.I) هي الدائرة.
للعثور على نصف قطر التقارب R لسلسلة معينة تحتوي على جميع القوى ، يتم استخدام إحدى الصيغ:
إذا كانت السلسلة (4.1) لا تحتوي على جميع صلاحيات ، فعند العثور عليها ، يجب على المرء استخدام اختبار d'Alembert أو Cauchy مباشرةً.
مثال 4.1.أوجد دائرة تقارب السلسلة:
المحلول:
أ) لإيجاد نصف قطر تقارب هذه السلسلة ، نستخدم الصيغة
في حالتنا هذه
ومن ثم ، فإن دائرة تقارب المتسلسلة تعطى من خلال المتباينة
ب) لإيجاد نصف قطر التقارب للسلسلة ، نستخدم معيار d'Alembert.
لحساب الحد ، تم استخدام قاعدة L'Hopital مرتين.
وفقًا لاختبار d'Alembert ، ستتقارب السلسلة إذا. ومن ثم لدينا دائرة تقارب المتسلسلة.
5. الدوال الأسية والمثلثية لمتغير معقد.
6. نظرية أويلر. صيغ أويلر. الشكل الأسي للعدد المركب.
7. نظرية الجمع. دورية الدالة الأسية.
يتم تعريف الدالة الأسية والوظائف المثلثية على أنها مجموع سلسلة القوة المقابلة ، وهي:
ترتبط هذه الوظائف بصيغ أويلر:
تسمى ، على التوالي ، جيب التمام الزائدي والجيب الزائدي ، وترتبط بجيب التمام المثلثي والجيب بواسطة الصيغ
يتم تعريف الوظائف كما في التحليل الحقيقي.
بالنسبة لأية أعداد مركبة ، فإن نظرية الإضافة تحمل:
يمكن كتابة أي عدد معقد في شكل أسي:
هي حجته.
مثال 5.1.تجد
المحلول.
مثال 5.2.عبر عن الرقم في شكل أسي.
المحلول.
أوجد مقياس هذا العدد وسعته:
ثم نحصل
8. الحد والاستمرارية والاستمرارية المنتظمة لوظائف المتغير المركب.
يترك ههي مجموعة من النقاط في المستوى المركب.
تعريف.يقولون ذلك في المجموعة هيتم إعطاء الوظيفة Fمتغير معقد ض ،إذا كانت كل نقطة ض E بالقاعدة Fيتم تعيين رقم مركب واحد أو أكثر ث(في الحالة الأولى ، تسمى الوظيفة أحادية القيمة ، في الحالة الثانية - متعددة القيم). دل ث = و (ض). ههو مجال تعريف الوظيفة.
أي وظيفة ث = و (ض) (ض = س + أنا)يمكن كتابتها في النموذج
f (z) = f (x + iy) = U (x، y) + iV (x، y).
يو (س ، ص) = ص و (ض)يسمى الجزء الحقيقي من الوظيفة ، و الخامس (س ، ص) = Imf (ض)هو الجزء التخيلي للدالة f (z).
تعريف.دع الوظيفة ث = و (ض)يتم تعريفه وفريده في بعض المناطق المجاورة للنقطة ض 0 ،ربما باستثناء النقطة ذاتها ض 0. الرقم أ يسمى حد الوظيفة و (ض)في هذه النقطة ض 0، إن وجد ε > 0 ، يمكن للمرء تحديد رقم δ> 0 بحيث يكون للجميع ض = z0وإرضاء عدم المساواة | ض - ض 0 |< δ ، عدم المساواة | و (ض) - أ |< ε.
اكتب
يتبع من التعريف أن z → z0على نحو إستبدادي.
نظرية.لوجود حد الوظيفة ث = و (ض)في هذه النقطة z 0 = x 0 + iy 0من الضروري والكافي أن تكون حدود الوظيفة يو (س ، ص)و الخامس (س ، ص)في هذه النقطة (x0 ، y0).
تعريف.دع الوظيفة ث = و (ض)مُعرَّفة وفريدة من نوعها في بعض المناطق المجاورة للنقطة z 0 ، بما في ذلك هذه النقطة نفسها. دور و (ض)يسمى مستمر عند النقطة z 0 إذا
نظرية.لاستمرارية دالة عند نقطة z 0 = x 0 + iy 0فمن الضروري والكافي أن الوظائف يو (س ، ص)و الخامس (س ، ص)في هذه النقطة (x0 ، y0).
ويترتب على النظريات أن أبسط الخصائص المتعلقة بحد واستمرارية وظائف المتغيرات الحقيقية تنتقل إلى وظائف المتغير المعقد.
مثال 7.1.افصل بين الأجزاء الحقيقية والتخيلية للوظيفة.
المحلول.
في الصيغة التي تحدد الدالة ، نعوض بها
لصفر في اتجاهين مختلفين ، الدالة يو (س ، ص)له حدود مختلفة. هذا يعني أن عند هذه النقطة ض = 0وظيفة و (ض)ليس له حدود. بعد ذلك ، الوظيفة و (ض)المحددة في النقاط حيث.
يترك z 0 = x 0 + iy 0، إحدى هذه النقاط.
هذا يعني أن في النقاط ض = س + أنافي y 0 الدالة متصلة.
9. المتتاليات وسلسلة وظائف المتغير المركب. التقارب المنتظم. استمرارية سلسلة الطاقة.
تعريف تسلسل متقارب وسلسلة متقاربة من الوظائف لمتغير معقد للتقارب المنتظم ، يتوافق مع نظرية التقارب المتساوي ، واستمرارية حد التسلسل ، يتم تشكيل مجموع السلسلة وإثباتها بنفس الطريقة تمامًا بالنسبة للتسلسلات وسلسلة وظائف المتغير الحقيقي.
دعونا نقدم الحقائق اللازمة لما يلي فيما يتعلق بالسلسلة الوظيفية.
دع المنطقة ديتم تعريف سلسلة من الوظائف أحادية القيمة للمتغير المعقد (fn (z)). ثم الرمز:
اتصل نطاق وظيفي.
اذا كان ض 0ينتمي دثابت ، ثم السلسلة (1) ستكون رقمية.
تعريف.النطاق الوظيفي (1) يسمى متقارب في المنطقة د، إن وجد ضمملوكة د، سلسلة الأرقام المقابلة لها تتقارب.
إذا كان الصف (1) تتقارب في المنطقة د، ثم في هذه المنطقة يمكن للمرء تحديد وظيفة ذات قيمة واحدة و (ض)، قيمته عند كل نقطة ضمملوكة ديساوي مجموع سلسلة الأرقام المقابلة. هذه الوظيفة تسمى مجموع السلسلة (1) في مجال د .
تعريف.اذا كان
لأي احد ضمملوكة د،تحمل عدم المساواة التالية:
ثم السلسلة (1) يسمى متقارب بشكل موحد في المنطقة د.
سلسلة ذات شروط معقدة.
19.3.1. المتسلسلات العددية ذات المصطلحات المعقدة.جميع التعاريف الأساسية للتقارب ، وخصائص السلاسل المتقاربة ، ومعايير التقارب للسلسلة المعقدة لا تختلف بأي شكل من الأشكال عن الحالة الحقيقية.
19.3.1.1. التعاريف الأساسية. دعنا نعطي سلسلة لا نهائية من الأعداد المركبة. سيتم الإشارة إلى الجزء الحقيقي من الرقم بواسطة التخيل - (أي.
سلسلة رقمية- مشاهدة سجل .
المبالغ الجزئية لسلسلة:
تعريف.إذا كان هناك حد س متواليات مجاميع جزئية من المتسلسلة مع ، وهو رقم مركب مناسب ، يقال إن السلسلة تتقارب ؛ رقم س يسمى مجموع السلسلة واكتب أو.
ابحث عن الأجزاء الحقيقية والخيالية للمجاميع الجزئية: حيث تشير الرموز إلى الأجزاء الحقيقية والخيالية من المجموع الجزئي. يتقارب التسلسل العددي إذا وفقط في حالة تقارب التسلسلات المكونة من أجزائه الحقيقية والخيالية. وهكذا ، فإن السلسلة ذات المصطلحات المعقدة تتقارب إذا وفقط إذا تقاربت السلسلة المكونة من أجزائها الحقيقية والخيالية.
مثال.
19.3.1.2. التقارب المطلق.
تعريف.الصف يسمى متقاربة تماماإذا تقاربت السلسلة تتكون من القيم المطلقة لأعضائها.
تمامًا كما هو الحال بالنسبة للسلسلة الرقمية الحقيقية ذات المصطلحات التعسفية ، يمكن إثبات أنه إذا تقاربت السلسلة ، فإن السلسلة تتقارب بالضرورة. إذا تقاربت السلسلة وتباعدت السلسلة ، فيُقال إن السلسلة متقاربة شرطيًا.
السلسلة عبارة عن سلسلة بها أعضاء غير سالبين ، لذلك ، لدراسة تقاربها ، يمكن استخدام جميع الميزات المعروفة (من نظريات المقارنة إلى اختبار Cauchy المتكامل).
مثال.التحقيق في سلسلة التقارب.
لنصنع سلسلة من الوحدات ():. تتقارب هذه السلسلة (اختبار كوشي ) ، لذا فإن السلسلة الأصلية تتقارب تمامًا.
19.1.3.4. خصائص المتسلسلات المتقاربة.بالنسبة إلى السلاسل المتقاربة ذات المصطلحات المعقدة ، فإن جميع خصائص السلاسل ذات المصطلحات الحقيقية صحيحة:
معيار ضروري لتقارب سلسلة. المصطلح الشائع للسلسلة المتقاربة يميل إلى الصفر.
إذا تقاربت المتسلسلة ، فإن أيًا من باقي المتسلسلة يتقارب ، وبالعكس ، إذا تقارب أي باقي المتسلسلة ، فإن السلسلة نفسها تتقارب.
إذا تقاربت السلسلة ، فسيكون مجموع الباقي بعد ذلكن يميل المصطلح -th إلى الصفر عند.
إذا تم ضرب جميع حدود سلسلة متقاربة في نفس العدد مع، ثم يتم الحفاظ على تقارب السلسلة ، ويتم ضرب المجموع في مع.
صفوف متقاربة ( لكن) و ( في) يمكن إضافة وطرح مصطلح تلو الآخر ؛ سوف تتقارب السلسلة الناتجة أيضًا ، ومجموعها يساوي.
إذا تم تجميع شروط السلسلة المتقاربة بشكل تعسفي وتم تكوين سلسلة جديدة من مجموع المصطلحات في كل زوج من الأقواس ، فإن هذه السلسلة الجديدة ستتقارب أيضًا ، وسيكون مجموعها مساويًا لمجموع السلسلة الأصلية .
إذا تقاربت سلسلة بشكل مطلق ، فعند أي تبديل لشروطها ، يتم الحفاظ على التقارب ولا يتغير المجموع.
إذا كانت الصفوف ( لكن) و ( في) تتلاقى تمامًا مع مجموعهاو، فإن حاصل ضربهم لترتيب تعسفي من المصطلحات يتقارب أيضًا بشكل مطلق ، ومجموعها يساوي.
19.3.2. سلسلة مجمع الطاقة.
تعريف.متسلسلة قوى ذات حدود معقدة هي سلسلة من الشكل
أين هي أرقام معقدة ثابتة (معاملات السلسلة) ، هو رقم مركب ثابت (مركز دائرة التقارب). لأي قيمة عددية ض تتحول السلسلة إلى سلسلة عددية ذات مصطلحات معقدة ، متقاربة أو متباعدة. إذا كانت السلسلة تتقارب عند نقطة ما ض ، ثم تسمى هذه النقطة نقطة التقاء السلسلة. تحتوي سلسلة القوة على نقطة تقارب واحدة على الأقل - النقطة. تسمى مجموعة نقاط التقارب منطقة التقاء المتسلسلة.
أما بالنسبة لسلسلة القوة ذات المصطلحات الحقيقية ، فإن جميع المعلومات ذات المعنى حول سلسلة القوة موجودة في نظرية هابيل.
نظرية هابيل.إذا تقاربت سلسلة القوة عند هذه النقطة ، إذن
1. إنها تتقارب تمامًا في أي نقطة على الدائرة ;
2. إذا تباعدت هذه السلسلة عندها ، فإنها ستتباعد عند أي نقطة ض
، إرضاء عدم المساواة (على سبيل المثال ، يقع بعيدًا عن النقطة).
يكرر الإثبات حرفيًا إثبات المقطع 18.2.4.2. نظرية هابيللسلسلة مع أعضاء حقيقيين.
تشير نظرية هابيل إلى وجود مثل هذا العدد الحقيقي غير السالب ص ، أن السلسلة تتقارب تمامًا عند أي نقطة داخلية لدائرة نصف قطرها ص تتمحور في ، وتتباعد عند أي نقطة خارج هذه الدائرة. رقم ص اتصل نصف قطر التقارب، دائرة - دائرة التقارب. عند نقاط حدود هذه الدائرة - دوائر نصف القطر ص متمركزة في نقطة ما - يمكن أن تتقارب وتتباعد السلسلة. في هذه النقاط ، سلسلة الوحدات لها الشكل. الحالات التالية ممكنة:
1. السلسلة تتقارب. في هذه الحالة ، تتقارب السلسلة تمامًا في أي نقطة على الدائرة.
2. تتباعد السلسلة ، لكن المصطلح المشترك لها . في هذه الحالة ، يمكن أن تتقارب السلسلة بشكل مشروط في بعض نقاط الدائرة ، وتتباعد عند نقاط أخرى ، أي كل نقطة تتطلب دراسة فردية.
3. تتباعد السلسلة ، ومصطلحها الشائع لا يميل إلى الصفر عند. في هذه الحالة ، تتباعد السلسلة عند أي نقطة من الدائرة الحدودية.