مقارنه رقم طبيعي. حل المقارنات من الدرجة الأولى حل نظام المقارنات modulo
![مقارنه رقم طبيعي. حل المقارنات من الدرجة الأولى حل نظام المقارنات modulo](https://i1.wp.com/helpiks.org/helpiksorg/baza6/90407071027.files/image574.gif)
ضع في اعتبارك مقارنة النموذج x 2 ≡أ(عصري صα) ، أين صهو رقم فردي بسيط. كما هو موضح في القسم 4 الفقرة 4 ، يمكن إيجاد حل هذا التطابق من خلال حل التطابق x 2 ≡أ(عصري ص). والمقارنة x 2 ≡أ(عصري صα) سيكون لها حلين إذا أهو مقياس بقايا تربيعية ص.
مثال:
حل المقارنة من الدرجة الثانية x 2 ≡86 (تعديل 125).
125 = 5 3 ، 5 عدد أولي. دعنا نتحقق مما إذا كان الرقم 86 هو مقياس مربع 5.
المقارنة الأصلية لها حلين.
دعنا نجد حلا للمقارنة x 2 ≡86 (نموذج 5).
x 2 ≡1 (نموذج 5).
يمكن حل هذه المقارنة بالطريقة الموضحة في الفقرة السابقة ، لكننا سنستخدم حقيقة أن الجذر التربيعي لـ 1 modulo يساوي ± 1 ، وللمقارنة حلين بالضبط. وبالتالي ، فإن حل المطابقة 5 هو
x≡ ± 1 (تعديل 5) أو خلاف ذلك ، x= ± (1 + 5 ر 1).
استبدل الحل الناتج في مقياس المقارنة 5 2 = 25:
x 2 ≡86 (طراز 25)
x 2 ، 11 (طراز 25)
(1+5ر 1) 2 ≡11 (طراز 25)
1+10ر 1 +25ر 1 2 ≡11 (طراز 25)
10ر 1 10 (طراز 25)
2ر 1 2 (نموذج 5)
ر 1 ≡1 (نموذج 5) ، أو ما يعادله ، ر 1 =1+5ر 2 .
ثم يكون حل المطابقة modulo 25 هو x= ± (1 + 5 (1 + 5 ر 2)) = ± (6 + 25 ر 2). استبدل الحل الناتج في مقياس المقارنة 5 3 = 125:
x 2 ≡86 (تعديل 125)
(6+25ر 2) 2 ≡86 (تعديل 125)
36 + 12 25 ر 2 +625ر 2 2 ≡86 (تعديل 125)
12 25 ر 2 50 (تعديل 125)
12ر 2 ≡2 (نموذج 5)
2ر 2 ≡2 (نموذج 5)
ر 2 ≡1 (نموذج 5) ، أو ر 2 =1+5ر 3 .
ثم حل المقارنة modulo 125 هو x= ± (6 + 25 (1 + 5 ر 3)) = ± (31 + 125 ر 3).
إجابه: x≡ 31 (تعديل 125).
فكر الآن في مقارنة النموذج x 2 ≡أ(mod2α). مثل هذه المقارنة ليس لها دائمًا حلان. لمثل هذه الوحدة ، الحالات التالية ممكنة:
1) α = 1. ثم المقارنة لها حل فقط عندما أ≡1 (تعديل 2) ، والحل هو x≡1 (تعديل 2) (حل واحد).
2) α = 2. المقارنة لها حلول فقط عندما أ≡1 (تعديل 4) ، والحل هو x≡ ± 1 (تعديل 4) (حلين).
3) α≥3. المقارنة لها حلول فقط عندما أ≡1 (تعديل 8) ، وستكون هناك أربعة حلول من هذا القبيل. مقارنة x 2 ≡أ(mod 2 α) لـ α≥3 يتم حلها بنفس طريقة مقارنات النموذج x 2 ≡أ(عصري صα) ، فقط الحلول modulo 8 تعمل كحل أولي: x≡ ± 1 (تعديل 8) و x≡ ± 3 (تعديل 8). يجب مقارنتها بالمقياس 16 ، ثم modulo 32 ، وهكذا حتى modulo 2 α.
مثال:
حل المقارنة x 2 ≡33 (طراز 64)
64 = 26. دعنا نتحقق مما إذا كانت المقارنة الأصلية لها حل. 33≡1 (تعديل 8) ، لذا فإن المقارنة لها 4 حلول.
Modulo 8 ستكون هذه الحلول: x≡ ± 1 (تعديل 8) و x≡ ± 3 (mod 8) ، والتي يمكن تمثيلها على أنها x= ± (1 + 4 رواحد). استبدل هذا التعبير في المقارنة 16
x 2 ≡33 (طراز 16)
(1+4ر 1) 2 × 1 (طراز 16)
1+8ر 1 +16ر 1 2 ≡1 (طراز 16)
8ر 1 ≡0 (طراز 16)
ر 1 ≡0 (تعديل 2)
ثم يأخذ الحل الشكل x= ± (1 + 4 ر 1) = ± (1 + 4 (0 + 2 ر 2)) = ± (1 + 8 ر 2). استبدل الحل الناتج في وحدة التطابق 32:
x 2 ≡33 (طراز 32)
(1+8ر 2) 2 × 1 (طراز 32)
1+16ر 2 +64ر 2 2 1 (طراز 32)
16ر 2 ≡0 (طراز 32)
ر 2 ≡0 (تعديل 2)
ثم يأخذ الحل الشكل x= ± (1 + 8 ر 2) = ± (1 + 8 (0 + 2t 3)) = ± (1 + 16 ر 3). استبدل الحل الناتج في نموذج المقارنة 64:
x 2 ≡33 (طراز 64)
(1+16ر 3) 2 33 (طراز 64)
1+32ر 3 +256ر 3 2 ≡33 (طراز 64)
32ر 3 ≡32 (طراز 64)
ر 3 1 (نموذج 2)
ثم يأخذ الحل الشكل x= ± (1 + 16 ر 3) = ± (1 + 16 (1 + 2t 4)) = ± (17 + 32 رأربعة). إذن ، modulo 64 ، المقارنة الأصلية لها أربعة حلول: x≡ ± 17 (طراز 64) و x≡ ± 49 (طراز 64).
الآن ضع في اعتبارك مقارنة عامة: x 2 ≡أ(عصري م), (أ,م)=1, - التحلل الكنسي للوحدة م. وفقًا للنظرية المأخوذة من البند 4 من الفقرة 4 ، فإن هذه المقارنة تعادل النظام
إذا كانت كل مقارنة بين هذا النظام قابلة للحسم ، فإن النظام بأكمله قابل للتقرير. بعد أن وجدنا حل كل مقارنة لهذا النظام ، نحصل على نظام مقارنات من الدرجة الأولى ، ونحلها ، باستخدام نظرية الباقي الصينية ، نحصل على حل المقارنة الأصلية. علاوة على ذلك ، فإن عدد الحلول المختلفة للمقارنة الأصلية (إذا كانت قابلة للحل) هو 2 ك، إذا كانت α = 1 ، 2 ك+1 إذا كانت α = 2، 2 ك+2 إذا كانت α≥3.
مثال:
حل المقارنة x 2 ≡4 (طراز 21).
مشروع الرياضيات حول الموضوع
"مقارنات Modulo"
زاريبوفا أيسيلو
حي سوفيتسكي بمدينة كازان
MBOU "المدرسة الثانوية رقم 166" ، الصف السابع أ
المستشارة العلمية: Antonova N.A.
جدول المحتويات
مقدمة ________________________________________________________3
ما هي المقارنات ____________________________________________4
مفهوم مقارنات modulo ________________________________4
تاريخ ظهور مفهوم المقارنات modulo _____4
خصائص المقارنة ________________________________________________4
أبسط تطبيق لمقارنات المودولو هو تحديد قابلية القسمة على الأرقام _____________________ 6
مهمة واحدة للمقارنة _______________________________8
استخدام مقارنات modulo في الأنشطة المهنية ___________________________________________9
تطبيق المقارنات لحل المشكلات ______________________6
الخلاصة ___________________________________________________10
قائمة المراجع _____________________________ 11
مقدمة.
R & D: مقارنات Modulo.
المشكلة: يواجه العديد من الطلاب مهامًا استعدادًا للأولمبياد ، حيث يعتمد حلها على معرفة ما تبقى من قسمة الأعداد الصحيحة على عدد طبيعي. كنا مهتمين بمثل هذه المشاكل والطرق الممكنة لحلها. اتضح أنه يمكن حلها باستخدام مقارنات modulo.
الغرض: لتوضيح جوهر مقارنات modulo ، الطرق الرئيسية للعمل مع مقارنات modulo.
المهام: للعثور على المادة النظرية حول هذا الموضوع ، والنظر في المشكلات التي يتم حلها باستخدام مقارنات النماذج ، وإظهار الطرق الأكثر شيوعًا لحل مثل هذه المشكلات ، واستخلاص النتائج.
موضوع الدراسة: نظرية الأعداد.
موضوع البحث: نظرية المقارنات.
ينتمي العمل إلى البحث النظري ويمكن استخدامه في التحضير للأولمبيات في الرياضيات. في محتواه ، يتم الكشف عن المفاهيم الأساسية لمقارنات النماذج وخصائصها الرئيسية ، ويتم تقديم أمثلة لحل المشكلات في هذا الموضوع.
أنا . ما هي المقارنات.
مفهوم مقارنات modulo.
الأرقام ويقال أنها قابلة للمقارنة إذا كانت قابلة للقسمة على ، بمعنى آخر ، أ و ب لهما نفس الباقي عند القسمة على.
تعيين
أمثلة:
12 و 32 مقارنتان 5 ، حيث أن 12 ، عند القسمة على 5 ، بها الباقي 2 ، و 32 ، عند القسمة على 2 ، لديها الباقي 2. مكتوب12 ;
101 و 17 هما المقياس 21 المتطابق ؛
تاريخ مفهوم مقارنات modulo.
إلى حد كبير ، تم إنشاء نظرية القسمة من قبل أويلر. تم صياغة تعريف المقارنة في كتاب CF Gauss "Arithmetic Research". بدأ هذا العمل ، المكتوب باللاتينية ، في الطباعة عام 1797 ، لكن الكتاب نُشر فقط في عام 1801 بسبب حقيقة أن عملية الطباعة في ذلك الوقت كانت شاقة للغاية وطويلة. يسمى القسم الأول من كتاب جاوس "في مقارنة الأرقام". كان غاوس هو الذي اقترح رمزية مقارنات modulo ، والتي تم تأسيسها في الرياضيات.
خصائص المقارنة.
اذا كان
دليل - إثبات:
إذا أضفنا الثانية إلى المعادلة الأولى ، نحصل على
هو مجموع عددين صحيحين ، وبالتالي هو عدد صحيح.
إذا طرحنا الثانية من المعادلة الأولى ، نحصل على
هو الفرق بين عددين صحيحين ، لذلك هو عدد صحيح.
ضع في اعتبارك التعبير:
هو الفرق بين حاصل ضرب الأعداد الصحيحة ، لذلك هو عدد صحيح.
هذا هو نتيجة الخاصية الثالثة للمقارنات.
Q.E.D.
5) اذا كان.
دليل - إثبات: لنجد مجموع هذين التعبيرين:
هو مجموع عددين صحيحين ، وبالتالي هو عدد صحيح.
Q.E.D.
6) إذا كان عددًا صحيحًا ، إذن
الدليل: أينص- عدد صحيح ، اضرب هذه المساواة في ، نحصل على:. منذ ذلك الحين هو نتاج الأعداد الصحيحة ، وهو ما كان مطلوبًا لإثباته.
7) اذا كان
دليل - إثبات: الاستدلال مشابه لإثبات الملكية 6.
8) اذا كان - أعداد أولية نسبيًا ، إذن
دليل - إثبات: ، نقسم هذا التعبير على ، نحصل على: - أرقام coprime ، مما يعني أنها قابلة للقسمة على عدد صحيح ، أي =. وهذا يعني أن المطلوب إثباته.
ثانيًا . تطبيق المقارنات على حل المشكلات.
2.1. أبسط تطبيق لمقارنات النماذج هو تحديد قابلية الأرقام للقسمة.
مثال. أوجد باقي القسمة 2 2009 في 7.
الحل: ضع في اعتبارك صلاحيات 2:
عند رفع المقارنة إلى أس 668 وضربه في الناتج ، نحصل على:.
الجواب: 4.
مثال. أثبت أن 7 + 7 2 +7 3 +…+7 4 ن قابلة للقسمة على 100 لأينمن مجموعة من الأعداد الصحيحة.
الحل: ضع في اعتبارك المقارنات
إلخ. يتم شرح دورية البقايا من خلال قواعد ضرب الأرقام في عمود. بإضافة المقارنات الأربعة الأولى ، نحصل على:
إذن هذا المجموع يقبل القسمة على 100 بدون الباقي. وبالمثل ، بجمع المقارنات التالية حول أربعة ، نجد أن كل مجموع من هذا القبيل يقبل القسمة على 100 بدون الباقي. إذن ، مجموع 4نالشروط قابلة للقسمة على 100 بدون الباقي. Q.E.D.
مثال. حدد بأي قيمةنالتعبير يقبل القسمة على 19 بدون الباقي.
المحلول: .
اضرب هذه المقارنة في 20. نحصل على.
دعنا نضيف المقارنات ، إذن. . وبالتالي ، فإن الجانب الأيمن من المقارنة قابل للقسمة دائمًا على 19 لأي شيء طبيعين، مما يعني أن التعبير الأصلي قابل للقسمة على 19 مع Naturalن.
إجابه ن هو أي عدد طبيعي.
مثال. ما هو الرقم الذي ينتهي به الرقم.
المحلول. لحل هذه المشكلة ، سنتبع الرقم الأخير فقط. ضع في اعتبارك قوى الرقم 14:
يمكن ملاحظة أنه بالنسبة للأس الفردي ، تنتهي قيمة الدرجة بالرقم 4 ، وبالنسبة للأس الزوجي تنتهي بالرقم 6. ثم تنتهي بالرقم 6 ، أي هو رقم زوجي. لذلك سينتهي بالرقم 6.
الجواب 6.
2.2. مهمة واحدة للمقارنة.
تقدم مقالة ن. فيلينكين "المقارنات وفصول المخلفات" مشكلة حلها الفيزيائي الإنجليزي الشهير ديراك في سنوات دراسته.
يوجد أيضًا حل موجز لهذه المشكلة باستخدام مقارنات modulo. لكننا التقينا بعدد من المهام المماثلة. فمثلا.
عثر أحد المارة على مجموعة من التفاح بالقرب من الشجرة حيث كان القرد جالسًا. بعد عدها ، أدرك أنه إذا تم إعطاء تفاحة واحدة لقرد ، فسيتم تقسيم عدد التفاح المتبقي على ن دون أن يترك أثرا. بعد أن أعطى التفاحة الإضافية للقرد ، أخذ 1 / ن المتبقي من التفاح واليسار. اقترب المارة التالي من الكومة لاحقًا ، ثم التالي ، وهكذا دواليك. كل عابر سبيل ، بعد التفاح ، لاحظ أن عددهم عند قسمة ن أعطي الباقي 1 ، وأعطى القرد تفاحة إضافية ، أخذ 1 / ن التفاح المتبقي وانتقل. بعد ترك آخر واحد ن المارة عشر ، عدد التفاحات المتبقية في الكومة يقبل القسمة على ن دون أن يترك أثرا. كم كان عدد التفاح في الكومة في البداية؟
بعد أن نفذنا نفس تفكير ديراك ، حصلنا على صيغة عامة لحل فئة من المشكلات المتشابهة: أينن- عدد طبيعي.
2.3 استخدام مقارنات modulo في الأنشطة المهنية.
تُستخدم نظرية المقارنات في نظرية الترميز ، لذا فإن جميع الأشخاص الذين يختارون مهنة تتعلق بأجهزة الكمبيوتر سوف يدرسون وربما يطبقون المقارنات في أنشطتهم المهنية. على سبيل المثال ، لتطوير خوارزميات تشفير المفتاح العام ، يتم استخدام عدد من مفاهيم نظرية الأرقام ، بما في ذلك مقارنات النماذج.
استنتاج.
تحدد الورقة المفاهيم الأساسية وخصائص مقارنات النماذج ؛ توضح الأمثلة استخدام مقارنات النماذج. يمكن استخدام المواد في التحضير للأولمبياد في الرياضيات وامتحان الدولة الموحد.
تسمح قائمة المراجع أعلاه ، إذا لزم الأمر ، بالنظر في بعض الجوانب الأكثر تعقيدًا لنظرية مقارنات النماذج وتطبيقاتها.
قائمة الأدب المستخدم.
ألفوتوفا ن. الجبر ونظرية الأعداد. / N.B. Alfutova ، AV Ustinov. م: MTSNMO، 2002، 466 ص.
بوخشب أ. نظرية الأعداد. / أ.أ.بوخشتاب. موسكو: التعليم ، 1960.
Vilenkin N. مقارنات وفئات المخلفات. / N.Vilenkin.//Kvant. - 1978 - 10.
فيدوروفا إن. دراسة الجبر والتحليل الرياضي. الصف 10.http:// www. إيجابيات. en/ كتب إلكترونية/ فيدوروفا_ الجبر_10 كوالا لمبور/1/ xht
en. ويكيبيديا. غزاله/ ويكي/ Modulo_comparison.
في n يعطون نفس الباقي.
الصيغ المكافئة: أ و ب modulo قابلة للمقارنةن إذا كان الاختلاف بينهما أ - بيقبل القسمة على n ، أو إذا كان يمكن تمثيل a كـ أ = ب + كن ، أين كهو بعض الأعداد الصحيحة. على سبيل المثال: 32 و 10 هما المقياس 7 المتطابق لأن
العبارة "a و b متطابقتان modulo n" مكتوبة على النحو التالي:
خصائص المساواة في Modulo
علاقة مقارنة modulo لها الخصائص
أي عددين صحيحين أو بهي وحدة قابلة للمقارنة 1.
من أجل الأرقام أو بكانت modulo قابلة للمقارنة ن، من الضروري والكافي أن يكون اختلافهما قابلاً للقسمة على ن.
إذا كانت الأرقام وقابلة للمقارنة الزوجية ن، ثم المبالغ و ، فضلا عن المنتجات وأيضا modulo قابلة للمقارنة ن.
إذا كانت الأرقام أو ب modulo قابلة للمقارنة ن، ثم درجاتهم أ كو ب كهي أيضا modulo قابلة للمقارنة نلأي طبيعي ك.
إذا كانت الأرقام أو ب modulo قابلة للمقارنة ن، و نمقسومة على م، ومن بعد أو ب modulo قابلة للمقارنة م.
من أجل الأرقام أو بكانت modulo قابلة للمقارنة ن، ممثلة تحللها الكنسي إلى عوامل أولية ص أنا
ضرورية وكافية ل
علاقة المقارنة هي علاقة تكافؤ ولها العديد من خصائص المساواة العادية. على سبيل المثال ، يمكن إضافتها وضربها: إذا
المقارنات ، ومع ذلك ، لا يمكن ، بشكل عام ، أن تقسم على بعضها البعض أو بأرقام أخرى. مثال: ومع ذلك ، عند التقليل بمقدار 2 ، نحصل على مقارنة خاطئة:. قواعد التخفيض للمقارنات هي كما يلي.
لا يمكنك أيضًا إجراء عمليات على المقارنات إذا كانت وحداتها النمطية غير متطابقة.
خصائص أخرى:
التعريفات ذات الصلة
فئات الاستقطاع
مجموعة من جميع الأرقام قابلة للمقارنة أمودولو ناتصل فئة الخصم أمودولو ن ، وعادة ما يُرمز إليها بـ [ أ] نأو . وبالتالي ، فإن المقارنة تعادل مساواة فئات المخلفات [أ] ن = [ب] ن .
لأن مقارنة modulo نهي علاقة تكافؤ على مجموعة الأعداد الصحيحة ، ثم وحدات الفئات المتبقية نهي فئات معادلة. عددهم ن. مجموعة جميع فئات المخلفات modulo نيرمز لها أو.
تحفز عمليات الجمع والضرب على العمليات المقابلة على المجموعة:
[أ] ن + [ب] ن = [أ + ب] نفيما يتعلق بهذه العمليات ، فإن المجموعة عبارة عن حلقة محدودة ، وإذا نبسيط - المجال الأخير.
أنظمة الاستقطاع
يتيح لك نظام البقايا إجراء عمليات حسابية على مجموعة محدودة من الأرقام دون تجاوزها. نظام كامل للخصم modulo n هو أي مجموعة من الأعداد الصحيحة n التي لا تضاهى modulo n. عادة ، كنظام كامل لوحدات البقايا n ، يأخذ المرء أصغر البقايا غير السالبة
0,1,...,ن − 1أو مخلفات أصغر تمامًا تتكون من أرقام
,في حالة الغريب نوالأرقام
في حالة حتى ن .
قرار المقارنة
مقارنات من الدرجة الأولى
في نظرية الأعداد والتشفير ومجالات أخرى من العلوم ، غالبًا ما تنشأ مشكلة إيجاد حلول للمقارنة بين الدرجة الأولى من النموذج:
يبدأ حل مثل هذه المقارنة بحساب gcd (أ ، م) = د. في هذه الحالة ، هناك حالتان ممكنتان:
- اذا كان بليس متعدد دثم المقارنة ليس لها حلول.
- اذا كان بمضاعف د، ثم المقارنة لديها نموذج حل فريد م / د، أو ، وهو نفس الشيء ، دحلول modulo م. في هذه الحالة نتيجة تقليص المقارنة الأصلية بمقدار دنتائج المقارنة:
أين أ 1 = أ / د , ب 1 = ب / د و م 1 = م / د هي أعداد صحيحة و أ 1 و م 1 هي جريمة جماعية. لذلك العدد أ 1 يمكن أن يكون مقلوب modulo م 1 ، أي العثور على مثل هذا الرقم جذلك (بمعنى آخر). الآن يمكن إيجاد الحل بضرب المقارنة الناتجة في ج:
حساب القيمة العملية جبطرق مختلفة: باستخدام نظرية أويلر ، وخوارزمية إقليدس ، ونظرية الكسور المستمرة (انظر الخوارزمية) ، وما إلى ذلك. على وجه الخصوص ، تسمح لك نظرية أويلر بكتابة القيمة جكما:
مثال
للمقارنة لدينا د= 2 ، لذا فإن المقياس 22 للمقارنة حلين. دعنا نستبدل 26 بـ 4 ، وهو المقياس 22 القابل للمقارنة ، ثم نلغي جميع الأرقام الثلاثة بمقدار 2:
نظرًا لأن 2 يعد أساسيًا نسبيًا مقارنة بالمقياس 11 ، فيمكننا تقليل الجانبين الأيسر والأيمن بمقدار 2. نتيجة لذلك ، نحصل على حل واحد modulo 11: وهو ما يعادل حلين modulo 22:.
مقارنات من الدرجة الثانية
يتم تقليل حل المقارنات من الدرجة الثانية لمعرفة ما إذا كان رقم معين عبارة عن بقايا تربيعية (باستخدام القانون التربيعي للمعاملة بالمثل) ثم حساب معامل الجذر التربيعي هذا.
قصة
تنص نظرية الباقي الصينية ، المعروفة منذ عدة قرون (في اللغة الرياضية الحديثة) ، على أن نموذج الحلقة المتبقية هو نتاج العديد من أرقام الجريمة.
مقارنة مع واحد غير معروف xلديه الشكل
أين . اذا كان أ ن لا يقبل القسمة على م، ثم يطلق عليه الدرجة العلميةمقارنات.
قرارالمقارنة هي أي عدد صحيح x 0 , لأي منهم
اذا كان X 0 يرضي المقارنة ، إذن ، وفقًا للخاصية 9 للمقارنات ، سترضي هذه المقارنة جميع الأعداد الصحيحة المماثلة x 0 مودولو م. لذلك ، تنتمي جميع حلول المقارنة إلى نفس فئة مخلفات النموذج ر، سنعتبرها حلاً واحدًا. وبالتالي ، فإن المقارنة لها العديد من الحلول مثل عناصر النظام الكامل للمخلفات التي ترضيها.
تسمى المقارنات التي تكون مجموعات حلولها متشابهة ما يعادل.
2.2.1 مقارنات من الدرجة الأولى
مقارنة الدرجة الأولى بأخرى غير معروفة Xلديه الشكل
(2.2)
نظرية 2.4. للمقارنة للحصول على حل واحد على الأقل ، فمن الضروري والكافي أن الرقم ب مقسومة على GCD ( أ, م).
دليل - إثبات.نثبت أولاً الضرورة. يترك د
=
GCD ( أ,
م)
و X 0
- حل المقارنة. ثم ، هذا هو الفرق أوه 0
−
ب
مقسومة على ر.لذلك هناك عدد صحيح ف,
ماذا او ما أوه 0
−
ب
=
qm.
من هنا ب= آه 0
−
qm.
ومنذ ذلك الحين د,
كمقسوم مشترك ، يقسم الأرقام أو رثم يتم تقسيم المطروح والمطروح على د,
وبالتالي ب
مقسومة على د.
الآن دعنا نثبت الاكتفاء. يترك د- القاسم المشترك الأكبر للأرقام أو رو ب مقسومة على د. ثم ، من خلال تعريف القسمة ، هناك أعداد صحيحة أ 1 , ب 1 ، ر 1 , ماذا او ما .
باستخدام خوارزمية إقليدس الموسعة ، نجد تمثيلًا خطيًا للرقم 1 = gcd ( أ 1 , م 1 ):
بالنسبة للبعض x 0 , ذ 0 . نضرب كلا الجزأين من المساواة الأخيرة في ب 1 د:
أو ، وهو نفس الشيء ،
,
وهذا هو ، وهو حل المقارنة. □
المثال 2.10. المقارنة 9 X= 6 (نموذج 12) له حل لأن gcd (9 ، 12) = 3 و 6 يقبل القسمة على 3. □
المثال 2.11. مقارنة 6x= 9 (نموذج 12) ليس له حلول لأن gcd (6 ، 12) = 6 و 9 لا يقبل القسمة على 6. □
نظرية 2.5. دع التطابق (2.2) يكون قابلاً للتقرير و د = GCD ( أ, م). ثم تتكون مجموعة حلول المقارنة (2.2) من د فئات بقايا modulo روهي إذا X 0 أحد الحلول ، ثم كل الحلول الأخرى
دليل - إثبات.يترك X 0
هو حل المقارنة (2.2) ، أي و ,
.
لذلك هناك مثل هذا ف، ماذا او ما أوه 0
−
ب
=
qm.
الاستبدال الآن بالمساواة الأخيرة بدلاً من X 0
حل تعسفي للشكل ، حيث نحصل على التعبير
, يقبل القسمة على م. □
المثال 2.12. المقارنة 9 X= 6 (تعديل 12) له ثلاثة حلول بالضبط منذ gcd (9 ، 12) = 3. هذه الحلول هي: X 0 \ u003d 2 ، × 0 + 4 \ u003d 6 ، X 0 + 2∙4=10.□
المثال 2.13. مقارنة 11 X= 2 (تعديل 15) له حل فريد X 0 = 7 منذ gcd (11،15) = 1. □
دعونا نوضح كيفية حل المقارنة من الدرجة الأولى. دون فقدان العمومية ، سنفترض أن GCD ( أ, ر) = 1. ثم يمكن البحث عن حل التطابق (2.2) ، على سبيل المثال ، باستخدام الخوارزمية الإقليدية. في الواقع ، باستخدام الخوارزمية الإقليدية الموسعة ، نمثل الرقم 1 كمجموعة خطية من الأرقام أو ر:
اضرب طرفي هذه المعادلة في ب, نحن نحصل: ب = أبق + السيد, أين أبق - ب = - السيد, هذا هو أ ∙ (بك) = ب(عصري م) و بكهو حل المقارنة (2.2).
هناك طريقة أخرى لحل هذه المشكلة وهي استخدام نظرية أويلر. مرة أخرى ، نفترض أن GCD (أ ، ر)= 1. نطبق نظرية أويلر: . اضرب طرفي المقارنة بـ ب:
.
إعادة كتابة التعبير الأخير كـ
، نحصل على أن هذا هو حل التطابق (2.2).
دع الآن GCD ( أ, م) = د>1. ثم أ = أرد, م = مرد, أين gcd ( أ 1 , م 1) = 1. بالإضافة إلى ذلك ، من الضروري ب = ب 1 د, لتكون المقارنة قابلة للحل. اذا كان X 0 - حل المقارنة أ 1 x = ب 1 (عصري م 1) ، والوحيد ، لأن GCD ( أ 1 , م 1) = 1 إذن X 0 سيكون القرار والمقارنة أ 1 وجه ضاحك = ديسيبل 1 (عصري م 1), أي المقارنة الأصلية (2.2). راحة د- تم العثور على حلول بواسطة Theorem 2.5.
مقارنة الدرجة الأولى مع مجهول لها الشكل:
F(x) 0 (تعديل م); F(X) = أوه + أ. (1)
حل المقارنةيعني إيجاد جميع قيم x التي تحققها. يتم استدعاء مقارنتين تحققان نفس قيم x ما يعادل.
إذا كانت المقارنة (1) ترضي البعض x = x 1 ، ثم (وفقًا لـ 49) جميع الأرقام قابلة للمقارنة x 1 ، modulo م: x x 1 (تعديل م). هذه الفئة الكاملة من الأرقام تعتبر حل واحد. مع هذا الاتفاق ، يمكن التوصل إلى الاستنتاج التالي.
66. ج محاذاة (1) سيكون لها العديد من الحلول حيث توجد بقايا النظام الكامل الذي يرضيها.
مثال. مقارنة
6x- 4 0 (طراز 8)
من بين الأرقام 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 للنظام الكامل للمخلفات النموذج 8 ، يرضي رقمان: X= 2 و X= 6. لذلك فإن هذه المقارنة لها حلين:
x 2 (mod 8) ، X 6 (تعديل 8).
يمكن اختزال المقارنة بين الدرجة الأولى عن طريق نقل المصطلح المجاني (مع الإشارة المعاكسة) إلى الجانب الأيمن إلى النموذج
فأس ب(عصري م). (2)
ضع في اعتبارك مقارنة تفي بالشرط ( أ, م) = 1.
وفقًا لـ 66 ، تحتوي مقارنتنا على العديد من الحلول مثل بقايا النظام الكامل الذي يرضيها. لكن عندما xيمر من خلال نظام كامل من modulo المخلفات رومن بعد أوهيمر عبر نظام الاستقطاعات الكامل (من 60). لذلك ، لقيمة واحدة فقط X ،مأخوذة من النظام الكامل ، أوهستكون قابلة للمقارنة مع ب.لذا،
67. من أجل (أ ، م) = 1 فأس مقارنة ب(عصري م)حل واحد.
دعنا الآن ( أ, م) = د> 1. ثم ، للمقارنة (2) للحصول على حلول ، من الضروري (من 55) ذلك بمقسمة إلى د،خلاف ذلك المقارنة (2) مستحيل لأي عدد صحيح س . بافتراض ذلك بمضاعف د،هيا نضع أ = أ 1 د, ب = ب 1 د, م = م 1 د.ثم المقارنة (2) ستكون معادلة لهذا (مخففة بـ د): أ 1 x ب 1 (تعديل م), فيه بالفعل ( أ 1 , م 1) = 1, وبالتالي سيكون لها نموذج حل واحد مواحد . يترك X 1 هو أصغر بقايا غير سلبية لهذا المحلول modulo m 1 , ثم كل الأعداد س , يمكن العثور على تشكيل هذا الحل في النموذج
x x 1 (تعديل م 1). (3)
Modulo ، الأرقام (3) لا تشكل حلاً واحدًا ، ولكن أكثر من ذلك ، بالضبط نفس عدد الحلول حيث توجد أرقام (3) في السلسلة 0 ، 1 ، 2 ، ... م 1 أقل معامل بقايا غير سلبية م.لكن الأرقام التالية ستقع هنا (3):
x 1 , x 1 + م 1 , x 1 + 2م 1 , ..., x 1 + (د – 1) م 1 ,
أولئك. المجموع دأرقام (3) ؛ ومن هنا فإن المقارنة (2) لها دحلول.
نحصل على النظرية:
68. دع (أ ، م) = د. مقارنة الفأس ب (عصري م) مستحيل إذا كان ب لا يقبل القسمة على د. عندما تكون b من مضاعفات d ، فإن المقارنة لها حلول d ..
69. طريقة حل مقارنة الدرجة الأولى على أساس نظرية الكسور المستمرة:
نتوسع في النسبة إلى كسر تابع م: أ,
وبالنظر إلى التقاربين الأخيرين:
وفقًا لخصائص الكسور المستمرة (وفقًا لـ 30 ) نملك
لذا فإن المقارنة لها حل
للبحث ، وهو ما يكفي للحساب ص ن- 1 حسب الطريقة المحددة في 30.
مثال. دعنا نحل المقارنة
111x= 75 (تعديل 321). (أربعة)
هنا (111 ، 321) = 3 ، و 75 من مضاعفات 3. لذلك ، المقارنة لها ثلاثة حلول.
بقسمة جزئي المقارنة والمعامل على 3 ، نحصل على المقارنة
37x= 25 (تعديل 107) ، (5)
التي نحتاج إلى أن نقررها أولاً. نملك
ف | |||||
ص 3 |
لذلك ، في هذه الحالة ن = 4, ف ن - 1 = 26, ب= 25 ، ولدينا حل المقارنة (5) بالصورة
x–26 25 99 (طراز 107).
ومن هنا فإن حلول المقارنة (4) تعرض على النحو التالي:
X 99 ؛ 99 + 107 ؛ 99 + 2 107 (طراز 321) ،
Xº99 ؛ 206 ؛ 313 (mod 321).
حساب معامل العنصر المعكوس a معطى
70- إذا كانت الأعداد الصحيحة أو نكوبرايم ، ثم هناك رقم أ'إرضاء المقارنة أ ∙ أ ′ ≡ 1 (تعديل ن). رقم أ'اتصل المعكوس الضربي للمقياس nويتم استخدام الترميز لذلك أ- 1 (تعديل ن).
يمكن حساب معامل المعاملة بالمثل عن طريق حل مقارنة من الدرجة الأولى مع واحد غير معروف ، وفيه xالرقم المقبول أ'.
لإيجاد حل المقارنة
فأس≡ 1 (تعديل م),
أين ( صباحا)= 1,
يمكن للمرء استخدام خوارزمية إقليدس (69) أو نظرية فيرمات أويلر ، والتي تنص على أنه إذا ( صباحا) = 1 ، إذن
أ φ( م) ≡ 1 (تعديل م).
x ≡ أ φ( م) –1 (mod م).
المجموعات وخصائصها
المجموعات هي إحدى الفئات التصنيفية المستخدمة في تصنيف الهياكل الرياضية ذات الخصائص المميزة المشتركة. تتكون المجموعات من مكونين: الكثير من (جي) و عمليات() المعرفة في هذه المجموعة.
مفاهيم المجموعة والعنصر والعضوية هي المفاهيم الأساسية غير المحددة للرياضيات الحديثة. يتم تحديد أي مجموعة من خلال العناصر المضمنة فيها (والتي بدورها يمكن أيضًا أن تكون مجموعات). وبالتالي ، فإننا نقول إن المجموعة محددة أو مُعطاة إذا كان بإمكاننا تحديد أي عنصر ما إذا كان ينتمي إلى هذه المجموعة أم لا.
لمجموعتين أ ، بالسجلات ب أ, ب أ, ب∩ أ, ب أ, ب \ أ, أ × بيعني ، على التوالي ، أن بهي مجموعة فرعية من المجموعة أ(أي أي عنصر من بموجود أيضًا في أ، على سبيل المثال ، مجموعة الأعداد الطبيعية موجودة في مجموعة الأعداد الحقيقية ؛ إلى جانب ذلك ، دائمًا أ أ), بهي مجموعة فرعية مناسبة من المجموعة أ(أولئك. ب أو ب ≠ أ) ، تقاطع العديد بو أ(أي كل هذه العناصر التي تقع في وقت واحد وفي أ، و في ب، على سبيل المثال ، تقاطع الأعداد الصحيحة والأرقام الحقيقية الموجبة هو مجموعة الأعداد الطبيعية) ، اتحاد المجموعات بو أ(أي مجموعة تتكون من عناصر تقع إما في أ، اما في ب) ، اضبط الفرق بو أ(أي مجموعة العناصر التي تكمن فيها بولكن لا تكذب أ) ، المنتج الديكارتي للمجموعات أو ب(أي مجموعة أزواج من النموذج ( أ, ب)، أين أ أ, ب ب). من خلال | أ| دائمًا ما يتم الإشارة إلى أصل المجموعة أ، بمعنى آخر. عدد العناصر في المجموعة أ.
العملية هي قاعدة يتم بموجبها أي عنصرين من مجموعة جي(أو ب) يرتبط بالعنصر الثالث من G: أ ب.
الكثير من العناصر جيمع عملية تسمى مجموعةإذا تم استيفاء الشروط التالية.