طرق بديهية في الرياضيات. بناء بديهي لنظام الأعداد الطبيعية. تعريف العدد الطبيعي
![طرق بديهية في الرياضيات. بناء بديهي لنظام الأعداد الطبيعية. تعريف العدد الطبيعي](https://i1.wp.com/kto.guru/uploads/images/ob-aksiomaticheskom-sposobe-postroeniya-teorii_7.gif)
الاتفاق على استخدام مواد الموقع
يرجى استخدام الأعمال المنشورة على الموقع للأغراض الشخصية فقط. يحظر نشر المواد على مواقع أخرى.
هذا العمل (وجميع الأعمال الأخرى) متاح للتنزيل مجانًا. من الناحية الذهنية ، يمكنك أن تشكر مؤلفها وطاقم الموقع.
إرسال عملك الجيد في قاعدة المعرفة أمر بسيط. استخدم النموذج أدناه
سيكون الطلاب وطلاب الدراسات العليا والعلماء الشباب الذين يستخدمون قاعدة المعرفة في دراساتهم وعملهم ممتنين جدًا لك.
وثائق مماثلة
إضافة وضرب الأعداد الصحيحة p-adic ، والتي تُعرّف على أنها إضافة حدية ومضاعفة المتواليات. حلقة الأعداد الصحيحة p-adic ، دراسة خصائص تقسيمهم. شرح هذه الأرقام بإدخال أشياء رياضية جديدة.
ورقة المصطلح ، تمت إضافة 2015/06/22
كيف تعلم الناس العد ، وظهور الأعداد والأرقام وأنظمة الأرقام. جدول الضرب على "الأصابع": أسلوب الضرب للأرقام 9 و 8. أمثلة على العد السريع. طرق ضرب رقم مكون من رقمين في 11 ، 111 ، 1111 ، إلخ. وعدد من ثلاثة أرقام في 999.
ورقة المصطلح ، تمت إضافة 10/22/2011
طريقة جديدة لمضاعفة الأعداد. إن تشابه مصفوفة الأرقام التي تشكلت أثناء الحساب مع المثلث نسبي ، لكنه لا يزال موجودًا ، خاصة عند ضرب الأرقام المكونة من ثلاثة أرقام وأعلى. مصفوفة مثلثة.
تمت إضافة المقال في 02/06/2005
الملخص ، تمت الإضافة في 01/13/2011
توصيف تاريخ دراسة معنى الأعداد الأولية في الرياضيات من خلال وصف كيفية العثور عليها. مساهمة بيترو كاتالدي في تطوير نظرية الأعداد الأولية. طريقة إراتوستينس في تجميع جداول الأعداد الأولية. صداقة الأعداد الطبيعية.
الاختبار ، تمت إضافة 12/24/2010
مجموعة الأعداد الحقيقية غير السالبة كمجموعة فرعية مفسرة من R. القسمة في مجموعات شبه مضاعفة. هيكل GCD العددي و LCM لشبه المجموعات. دراسة المجموعات شبه المضاعفة للأعداد الحقيقية غير السالبة ب 0 و 1.
أطروحة تمت الإضافة في 05/27/2008
خصائص الأعداد الحقيقية ودورها في تطوير الرياضيات. تحليل بناء مجموعة الأعداد الحقيقية في الناحية التاريخية. مقاربات لبناء نظرية الأعداد الحقيقية وفقًا لـ Kantor و Weierstrass و Dedekind. دراستهم في الدورة المدرسية.
العرض التقديمي ، تمت إضافة 10/09/2011
العناصر الأساسية للرياضيات. خصائص الأعداد الطبيعية. مفهوم نظرية الأعداد. الخصائص العامة للمقارنات والمعادلات الجبرية. العمليات الحسابية مع المقارنات. قوانين الحساب الأساسية. التحقق من نتائج العمليات الحسابية.
ورقة مصطلح ، تمت الإضافة 15/05/2015
تعدد المعاني
ينشأ تعدد المعاني ، أو غموض الكلمات ، من حقيقة أن اللغة نظام محدود بالمقارنة مع التنوع اللامتناهي للواقع ، لذلك ، على حد تعبير الأكاديمي فينوغرادوف ، "تُجبر اللغة على توزيع مجموعة لا حصر لها من معاني تحت عنوان أو آخر من المفاهيم الأساسية ". (فينوغرادوف "اللغة الروسية" 1947). من الضروري التمييز بين الاستخدام المختلف للكلمات في متغير معجمي دلالي واحد والاختلاف الفعلي للكلمة. لذلك ، على سبيل المثال ، يمكن أن تشير كلمة (das) Ol إلى عدد من الزيوت المختلفة ، باستثناء زيوت البقر (التي توجد لها كلمة زبدة). ومع ذلك ، لا يترتب على ذلك أنه عند الإشارة إلى زيوت مختلفة ، سيكون لكلمة Ol في كل مرة معنى مختلف: في جميع الحالات ، سيكون معناها واحدًا ، أي الزيت (أي شيء ما عدا البقرة). وكذلك ، على سبيل المثال ، معنى كلمة Tisch table ، بغض النظر عن نوع الجدول الذي تشير إليه الكلمة في هذه الحالة بالذات. يختلف الوضع عندما تعني كلمة Ol النفط. هنا ، لم يعد تشابه الزيت على طول خط التشحيم مع درجات مختلفة من الزيت هو الذي يأتي في المقدمة ، ولكن الجودة الخاصة للزيت - قابلية الاحتراق. وفي الوقت نفسه ، فإن الكلمات التي تشير إلى أنواع مختلفة من الوقود سترتبط بالفعل بكلمة Ol: Kohl ، Holz ، إلخ. يمنحنا هذا الفرصة لتمييز معنيين عن كلمة Ol (أو ، بعبارة أخرى ، متغيران معجميان- دلاليان): 1) زيت (ليس حيوانًا) 2) زيت.
عادة ما تنشأ معاني جديدة عن طريق نقل إحدى الكلمات الموجودة إلى كائن أو ظاهرة جديدة. هذه هي الطريقة التي تتشكل بها قيم التحويل. إنها تستند إما إلى تشابه الكائنات ، أو اتصال كائن بآخر. هناك عدة أنواع من عمليات نقل الأسماء معروفة. وأهمها الاستعارة أو الكناية.
في الاستعارة ، يعتمد النقل على تشابه الأشياء في اللون والشكل والحركة وما إلى ذلك. مع كل التغييرات المجازية ، تبقى بعض علامات المفهوم الأصلي قائمة
تجانس
تعد تعدد المعاني في كلمة ما مشكلة كبيرة ومتعددة الأوجه بحيث ترتبط بها بشكل أو بآخر المشكلات الأكثر تنوعًا في علم المعاجم. على وجه الخصوص ، تتلامس مشكلة homonymy أيضًا مع هذه المشكلة في بعض جوانبها.
المترادفات هي الكلمات التي تبدو متشابهة ولكن لها معاني مختلفة. تنشأ المترادفات في بعض الحالات من تعدد المعاني ، الذي خضع لعملية تدمير. ولكن يمكن أيضًا أن تنشأ المترادفات نتيجة للمصادفات الصوتية العشوائية. المفتاح الذي يفتح الباب ، والمفتاح - زنبرك أو منجل - تسريحة شعر ومنجل - أداة زراعية - هذه الكلمات لها معاني مختلفة وأصول مختلفة ، ولكنها تتزامن عرضًا في صوتها.
تميز المرادفات المتشابهة بين المعجمية (تشير إلى جزء واحد من الكلام ، على سبيل المثال ، المفتاح - لفتح القفل والمفتاح - الربيع. المصدر) الصرفي (الرجوع إلى أجزاء مختلفة من الكلام ، على سبيل المثال ، ثلاثة - رقمي ، ثلاثة - فعل في الحالة المزاجية الحتمية) ، المعجمية النحوية ، التي تم إنشاؤها نتيجة التحويل ، عندما تنتقل الكلمة المعطاة إلى جزء آخر من الكلام. على سبيل المثال في المهندس. المظهر والمظهر. هناك العديد من المرادفات المعجمية والنحوية بشكل خاص في اللغة الإنجليزية.
يجب التمييز بين المتجانسات والمتجانسات والمتجانسات. يطلق على الكلمات المختلفة اسم homophones ، والتي تختلف في تهجئتها وتتطابق في النطق ، على سبيل المثال: bow - meadow، Seite - Page and Saite - string.
الكلمات المتجانسة هي كلمات مختلفة تتطابق في التهجئة ، على الرغم من نطقها بشكل مختلف (سواء من حيث تكوين الصوت ومكان الضغط في الكلمة) ، على سبيل المثال Castle - Castle.
مرادف
المرادفات متشابهة في المعنى ، لكنها كلمات مختلفة الصوت تعبر عن ظلال من نفس المفهوم.
هناك ثلاثة أنواع من المرادفات:
1. مفاهيمي أو إيديوغرامي. إنها تختلف عن بعضها البعض في المعنى المعجمي. يتجلى هذا الاختلاف بدرجات متفاوتة من العلامة المعينة (صقيع - بارد ، قوي ، قوي ، عظيم) ، في طبيعة تسميته (سترة مبطن - سترة مبطن - سترة مبطن) ، في حجم المفهوم المعبر عنه (لافتة - علم ، وقح - عريض) ، في درجة ترابط القيم المعجمية (بني - بني ، أسود - أسود).
2. المرادفات أسلوبية أو وظيفية. وهي تختلف عن بعضها البعض في مجال الاستخدام ، على سبيل المثال ، العيون - العيون ، الوجه - الوجه ، الجبين - الجبين. مرادفات عاطفية - تقييمية. تعبر هذه المرادفات صراحةً عن موقف المتحدث تجاه الشخص المحدد أو الشيء أو الظاهرة. على سبيل المثال ، يمكن تسمية الطفل رسميًا بالطفل ، ولطيفًا ولدًا وصبيًا صغيرًا ، وباحتقار فتى وماص ، وأيضًا بشكل قاطع - بازدراء جرو ، مصاصة ، رعشة.
3. المتضادات - مجموعات من الكلمات المتناقضة في معناها المعجمي ، على سبيل المثال: أعلى - أسفل ، أبيض - أسود ، تكلم - كن صامتًا ، بصوت عالٍ - بهدوء.
علم المعاكسات اللغوية
هناك ثلاثة أنواع من المتضادات:
1. متضادات الأضداد التدريجية والمنسقة ، على سبيل المثال ، أبيض - أسود ، هادئ - مرتفع ، قريب - بعيد ، لطيف - شر ، وما إلى ذلك. هذه المتضادات لها معنى مشترك ، مما يسمح بمعارضتها. لذا فإن مفاهيم الأسود والأبيض تدل على مفاهيم لونية معاكسة.
2. أضداد الأضداد التكميلية والمتحولة: الحرب - السلام ، الزوج - الزوجة ، متزوج - أعزب ، يستطيع - لا يستطيع - يغلق - يفتح.
3. أضداد تقسيم المفاهيم ثنائي التفرع. غالبًا ما تكون نفس الكلمات الجذرية: قوم - معادون للناس ، قانوني - غير قانوني ، إنساني - غير إنساني.
الفائدة أيضا ما يسمى ب. تضاد داخل الكلمة ، عندما تتناقض معاني الكلمات التي لها نفس الغلاف المادي. على سبيل المثال ، في اللغة الروسية ، فإن فعل إقراض المال لشخص ما يعني "الإقراض" ، واقتراض المال من شخص ما يعني بالفعل اقتراض المال من شخص ما. يسمى معارضة المعاني داخل الكلمة enantiosemy.
6. البناء البديهي لنظام الأعداد الطبيعية. طريقة بديهية لبناء نظرية رياضية. متطلبات نظام البديهيات: الاتساق ، والاستقلالية ، والاكتمال. بديهيات بينو. مفهوم العدد الطبيعي من المواقف البديهية. نماذج لنظام بديهيات بينو. جمع وضرب الأعداد الطبيعية من مواضع بديهية. ترتيب مجموعة الأعداد الطبيعية. خصائص مجموعة الأعداد الطبيعية. طرح وقسمة مجموعة الأعداد الطبيعية من مواضع بديهية. طريقة الاستقراء الرياضي. إدخال الصفر وبناء مجموعة الأعداد الصحيحة غير السالبة. نظرية القسمة مع الباقي.
المفاهيم والتعاريف الأساسية
رقم -إنه تعبير عن كمية محددة.
عدد طبيعيعنصر تسلسل مستمر إلى أجل غير مسمى.
الأعداد الطبيعية (الأعداد الطبيعية) -الأرقام التي تنشأ بشكل طبيعي في العد (سواء بمعنى العد أو بمعنى حساب التفاضل والتكامل).
هناك طريقتان لتعريف الأعداد الطبيعية - الأرقام المستخدمة في:
تعداد (ترقيم) العناصر (الأول ، الثاني ، الثالث ، ...) ؛
تحديد عدد العناصر (لا توجد عناصر ، عنصر واحد ، عنصران ، ...).
اكسيوم -هذه هي نقاط البداية الأساسية (مبادئ بديهية) لنظرية معينة ، والتي ، من خلال الاستنتاج ، أي بالوسائل المنطقية البحتة ، يتم استخراج كل ما تبقى من محتوى هذه النظرية.
الرقم الذي يحتوي على قسمين فقط (الرقم نفسه وواحد) يسمى - رقم بسيط.
عدد مركبهو رقم يحتوي على أكثر من اثنين من قواسمه.
§2. بديهيات للعدد الطبيعي
يتم الحصول على الأعداد الطبيعية عن طريق عد الأشياء وقياس الكميات. ولكن إذا ظهرت أثناء القياس أرقام غير طبيعية ، فإن الحساب يؤدي فقط إلى أرقام طبيعية. للاحتفاظ بالعد ، تحتاج إلى تسلسل من الأرقام يبدأ برقم ويسمح لك بالانتقال من رقم إلى آخر وعدة مرات حسب الضرورة. بعبارة أخرى ، نحتاج إلى جزء من المتسلسلة الطبيعية. لذلك ، عند حل مشكلة إثبات نظام الأعداد الطبيعية ، كان من الضروري أولاً الإجابة عن السؤال حول ماهية الرقم كعنصر من عناصر السلسلة الطبيعية. تم الرد على هذا في أعمال اثنين من علماء الرياضيات - الألمانية Grassmann و Peano الإيطالي.اقترحوا بديهي فيها تم تبرير العدد الطبيعي كعنصر في تسلسل مستمر إلى أجل غير مسمى.
يتم تنفيذ البناء البديهي لنظام الأعداد الطبيعية وفقًا للقواعد المصاغة.
يمكن النظر إلى البديهيات الخمس على أنها تعريف بديهي للمفاهيم الأساسية:
1 عدد طبيعي ؛
الرقم الطبيعي التالي هو رقم طبيعي ؛
1 لا يتبع أي رقم طبيعي ؛
إذا كان عددًا طبيعيًا أيتبع العدد الطبيعي بوللعدد الطبيعي مع، ومن بعد بو معمطابق؛
إذا تم إثبات أي اقتراح لـ 1 وإذا كان من الافتراض أنه صحيح بالنسبة لعدد طبيعي ن، يترتب على ذلك صحة ما يلي نالعدد الطبيعي ، إذن هذا الطرح صحيح لجميع الأعداد الطبيعية.
وحدةهو الرقم الأول من المتسلسلة الطبيعية , بالإضافة إلى أحد الأرقام في نظام الأرقام العشري.
يُعتقد أن تسمية وحدة من أي فئة تحمل نفس العلامة (قريبة جدًا من الحديثة) ظهرت لأول مرة في بابل القديمة حوالي ألفي عام قبل الميلاد. ه.
الإغريق القدماء ، الذين اعتبروا الأعداد الطبيعية فقط كأرقام ، اعتبروا كل واحد منهم مجموعة من الوحدات. تُمنح الوحدة نفسها مكانًا خاصًا: لم يتم اعتبارها رقمًا.
كتب نيوتن: "... لا نعني بالعدد مجموعة من الوحدات ، بل نعني النسبة المجردة لكمية ما إلى كمية أخرى ، نقبلها تقليديًا كوحدة." وبالتالي ، فقد اتخذت الوحدة بالفعل مكانها الصحيح بين أرقام أخرى.
العمليات الحسابية على الأرقام لها مجموعة متنوعة من الخصائص. يمكن وصفها بالكلمات ، على سبيل المثال: "المجموع لا يتغير من تغيير في مواضع المصطلحات". يمكن كتابتها بالأحرف: أ + ب = ب + أ. يمكن التعبير عنها بعبارات محددة.
نحن نطبق قوانين الحساب الأساسية غالبًا بدافع العادة دون أن ندرك ذلك:
1) القانون التبادلي (التبادلية) ، - خاصية إضافة ومضاعفة الأرقام ، معبراً عنها بالهويات:
أ + ب = ب + أ أ * ب = ب * أ ؛
2) القانون الترابطي (الترابطية) - خاصية جمع ومضاعفة الأعداد ، معبراً عنها بالهويات:
(أ + ب) + ج = أ + (ب + ج) (أ * ب) * ج = أ * (ب * ج) ؛
3) قانون التوزيع (التوزيع) - خاصية تربط بين جمع ومضاعفة الأرقام ويتم التعبير عنها بالهويات:
أ * (ب + ج) = أ * ب + أ * ج (ب + ج) * أ = ب * أ + ج * أ.
بعد إثبات القوانين التبادلية والترابطية والتوزيعية (فيما يتعلق بالإضافة) لعمل الضرب ، فإن البناء الإضافي لنظرية العمليات الحسابية على الأعداد الطبيعية لا يمثل أي صعوبات أساسية.
في الوقت الحاضر ، في العقل أو على قطعة من الورق ، نقوم فقط بأبسط العمليات الحسابية ، وفي كثير من الأحيان نعهد بأعمال حسابية أكثر تعقيدًا إلى الآلات الحاسبة وأجهزة الكمبيوتر. ومع ذلك ، فإن تشغيل جميع أجهزة الكمبيوتر - البسيطة والمعقدة - يعتمد على أبسط عملية - إضافة الأعداد الطبيعية. اتضح أنه يمكن اختزال أكثر الحسابات تعقيدًا إلى الإضافة ، فقط هذه العملية يجب أن تتم عدة ملايين من المرات.
طرق بديهية في الرياضيات
أحد الأسباب الرئيسية لتطوير المنطق الرياضي هو الانتشار الواسع طريقة بديهيةفي بناء العديد من النظريات الرياضية ، أولاً وقبل كل شيء ، الهندسة ، ثم الحساب ، ونظرية المجموعة ، إلخ. طريقة بديهيةيمكن تعريفها على أنها نظرية مبنية على نظام محدد مسبقًا للمفاهيم غير المحددة والعلاقات فيما بينها.
في البناء البدهي للنظرية الرياضية ، يتم اختيار نظام معين من المفاهيم والعلاقات غير المحددة بشكل مبدئي. تسمى هذه المفاهيم والعلاقات الأساسية. يتم تقديم التالي البديهياتأولئك. الأحكام الرئيسية للنظرية قيد النظر ، مقبولة بدون دليل. كل المحتوى الإضافي للنظرية مشتق منطقيًا من البديهيات. لأول مرة ، قام إقليدس بالبناء البديهي للنظرية الرياضية في بناء الهندسة.
في البناء البدهي لأي نظرية رياضية ، أكيد أنظمة:
يتم اختيار بعض مفاهيم النظرية باعتبارها المفاهيم الرئيسية ويتم قبولها بدون تعريف ؛
يتم إعطاء تعريف لكل مفهوم للنظرية ، غير وارد في قائمة المفاهيم الأساسية ؛
تمت صياغة البديهيات - الجمل التي يتم قبولها في هذه النظرية دون دليل ؛ يكشفون عن خصائص المفاهيم الأساسية ؛
· يجب إثبات كل جملة في النظرية غير واردة في قائمة البديهيات. تسمى هذه الافتراضات بالنظريات ويتم إثباتها على أساس البديهيات والتريمات.
في البناء البدهي للنظرية ، تُشتق جميع العبارات من البديهيات على سبيل الإثبات.
لذلك ، فإن نظام البديهيات يخضع لخاصية المتطلبات:
الاتساق (يسمى نظام البديهيات متسقًا إذا كان من المستحيل استنباط جملتين متعارضتين منه منطقيًا) ؛
الاستقلال (يسمى نظام البديهيات مستقلاً إذا لم تكن أي من بديهيات هذا النظام نتيجة لبديهيات أخرى).
تسمى المجموعة ذات العلاقة الواردة فيها نموذجًا لنظام معين من البديهيات إذا كانت جميع البديهيات في هذا النظام راضية عنها.
توجد طرق عديدة لبناء نظام من البديهيات لمجموعة الأعداد الطبيعية. بالنسبة للمفهوم الأساسي ، يمكن للمرء أن يأخذ ، على سبيل المثال ، مجموع الأرقام أو علاقة الترتيب. على أي حال ، من الضروري تحديد نظام من البديهيات يصف خصائص المفاهيم الأساسية.
دعونا نعطي نظامًا من البديهيات ، معتمدين على المفهوم الأساسي لعملية الإضافة.
مجموعة غير فارغة نتسمى مجموعة الأعداد الطبيعية إذا كانت العملية (أ؛ ب) → أ + بتسمى إضافة ولها الخصائص:
1. الإضافة تبادلية ، أي أ + ب = ب + أ.
2. الإضافة ترابطية ، أي (أ + ب) + ج = أ + (ب + ج).
4. في أي مجموعة لكن، وهي مجموعة فرعية من المجموعة ن، أين لكنهناك رقم مثل هذا كل شيء ها، متساوية أ + ب، أين بن.
البديهيات 1-4 تكفي لبناء العمليات الحسابية الكاملة للأعداد الطبيعية. ولكن مع مثل هذا البناء ، لم يعد من الممكن الاعتماد على خصائص المجموعات المحدودة التي لا تنعكس في هذه البديهيات.
لنأخذ كمفهوم أساسي العلاقة "اتبع مباشرة ..." المعرفة في مجموعة غير فارغة ن. ثم ستكون السلسلة الطبيعية للأرقام هي المجموعة N ، حيث يتم تحديد العلاقة "تتبع مباشر" ، وسيتم استدعاء جميع عناصر N أعدادًا طبيعية ، والتعليق التالي: بديهيات بينو:
أكسيوم 1.
في وفرةنهناك عنصر لا يتبع على الفور أي عنصر من هذه المجموعة. سوف نسميها وحدة ، ونشير إليها بالرمز 1.
أكسيوم 2.
لكل عنصر مننهناك عنصر واحد يليه مباشرة a.
أكسيوم 3.
لكل عنصر مننيوجد عنصر واحد على الأكثر متبوعًا مباشرة بـ a.
AXOIM 4.
أي مجموعة فرعية M من المجموعةنيتزامن معن، إذا كان لها الخصائص: 1) 1 موجود في M ؛ 2) من حقيقة أن a موجود في M ، فإنه يترتب على ذلك أن a موجود أيضًا في M.
الكثير من ن،بالنسبة للعناصر التي يتم تأسيس العلاقة "يتبعها على الفور ..." ، يتم استدعاء البديهيات المرضية من 1 إلى 4 مجموعة من الأعداد الطبيعية ، وعناصرها الأعداد الطبيعية.
إذا كمجموعة ناختر مجموعة معينة يتم فيها تقديم علاقة معينة "تتبع مباشرة ..." ، مرضية البديهيات 1-4 ، ثم نختلف تفسيرات (نماذج) معطى أنظمة أكسيوم.
النموذج القياسي لنظام بديهيات بينو هو سلسلة من الأرقام التي نشأت في عملية التطور التاريخي للمجتمع: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، ...
يمكن أن تكون أي مجموعة قابلة للعد نموذجًا لبديهيات Peano.
على سبيل المثال ، الأول ، الثاني ، الثالث ، الثالث ، ...
أوه أوه أوه أوه أوه...
واحد إثنان ثلاثة أربعة، …
ضع في اعتبارك سلسلة من المجموعات التي تكون فيها المجموعة (oo) هي العنصر الأولي ، ويتم الحصول على كل مجموعة لاحقة من المجموعة السابقة عن طريق تخصيص دائرة أخرى (الشكل 15).
ثم نهي مجموعة تتكون من مجموعات من الشكل الموصوف ، وهي نموذج لنظام بديهيات بينو.
في الواقع ، في كثير نهناك عنصر (oo) لا يتبع على الفور أي عنصر في المجموعة المحددة ، أي يحمل البديهية 1. لكل مجموعة لكنمن المجموعة قيد النظر ، هناك مجموعة فريدة يتم الحصول عليها من لكنبإضافة دائرة واحدة ، أي اكسيوم يحمل 2. لكل مجموعة لكنهناك مجموعة واحدة على الأكثر تتكون منها المجموعة لكنبإضافة دائرة واحدة ، أي اكسيوم 3. يحمل إذا منومن المعروف أن المجموعة لكنالواردة في مويترتب على ذلك أن المجموعة التي يوجد فيها دائرة واحدة أكثر من المجموعة لكن، موجود أيضًا في م، ومن بعد م =ن، مما يعني أن اكسيوم 4 راضٍ.
في تعريف العدد الطبيعي ، لا يمكن حذف أي من البديهيات.
دعونا نحدد أي من المجموعات الموضحة في الشكل. 16 نموذجًا لبديهيات بينو.
|
![](https://i0.wp.com/kto.guru/uploads/images/ob-aksiomaticheskom-sposobe-postroeniya-teorii_9.gif)
المحلول.يوضح الشكل 16 أ) مجموعة يتم فيها استيفاء البديهيات 2 و 3 ، وفي الواقع يوجد لكل عنصر عنصر فريد يتبعه مباشرة ويتبعه عنصر فريد. لكن البديهية 1 لا تصمد في هذه المجموعة (البديهية 4 لا معنى لها ، لأنه لا يوجد عنصر في المجموعة لا يتبع أي عنصر آخر على الفور). لذلك ، هذه المجموعة ليست نموذجًا لبديهيات بينو.
يوضح الشكل 16 ب) المجموعة التي يتم فيها استيفاء البديهيات 1 و 3 و 4 ، ولكن خلف العنصر أيتبع عنصران على الفور ، وليس عنصرًا واحدًا ، كما هو مطلوب في البديهية 2. لذلك ، هذه المجموعة ليست نموذجًا لبديهيات Peano.
على التين. 16 ج) يظهر مجموعة يتم فيها استيفاء البديهيات 1 ، 2 ، 4 ، ولكن العنصر معيتبع على الفور عنصرين. لذلك ، هذه المجموعة ليست نموذجًا لبديهيات بينو.
على التين. 16 د) يُظهر مجموعة تُرضي البديهيات 2 ، 3 ، وإذا أخذنا الرقم 5 كعنصر أولي ، فإن هذه المجموعة سوف ترضي البديهيات 1 و 4. أي أنه في هذه المجموعة لكل عنصر يوجد واحد على الفور يتبعه ، ويتبعه عنصر واحد. هناك أيضًا عنصر لا يتبع على الفور أي عنصر من هذه المجموعة ، وهو 5 , أولئك. يحمل اكسيوم 1. في المقابل ، اكسيوم 4. تعتبر هذه المجموعة نموذجًا لبديهيات بينو.
باستخدام بديهيات Peano ، يمكننا إثبات عدد من العبارات. على سبيل المثال ، نثبت أن المتباينة لجميع الأعداد الطبيعية x x.
دليل - إثبات.للدلالة به لكنمجموعة من الأعداد الطبيعية التي ا.رقم 1 ينتمي لكن، لأنه لا يتبع أي رقم من ن، وبالتالي لا تتبع من تلقاء نفسها: 1 1. يترك أأومن بعد ا.دل أعبر ب. بحكم البديهية 3 ، أب،أولئك. بو با.
في البناء البدهي لأي نظرية ، يتم ملاحظة قواعد معينة:
يتم اختيار بعض مفاهيم النظرية على النحو التالي أساسي،ويتم قبولها بدون تعريف وتسمى غير محدد.
تمت صياغة البديهيات - الجمل التي يتم قبولها في هذه النظرية دون دليل ؛ يكشفون عن خصائص المفاهيم الأساسية ؛
يتم إعطاء كل مفهوم للنظرية ، والذي لم يرد في قائمة المفاهيم الأساسية تعريفيشرح معناها بمساعدة المفاهيم الأساسية والسابقة ؛
يجب إثبات كل جملة في النظرية غير واردة في قائمة البديهيات ؛ تسمى هذه الافتراضات بالنظريات وتثبتها على أساس البديهيات والنظريات التي تسبق ما هو قيد الدراسة.
في البناء البدهي للنظرية ، يتم استنتاج جميع العبارات بشكل أساسي من خلال إثبات من البديهيات. لذلك ، يتم فرض متطلبات خاصة على نظام البديهيات. بادئ ذي بدء ، يجب أن تكون متسقة ومستقلة.
يسمى نظام البديهيات ثابتةإذا كان لا يمكن استنتاج جملتين متعارضتين منه منطقيًا.
يسمى نظام ثابت من البديهيات لا يعتمدإذا لم تكن أي من بديهيات هذا النظام نتيجة لبديهيات أخرى لهذا النظام.
البديهيات ، كقاعدة عامة ، هي انعكاس للأنشطة العملية للناس منذ قرون ، وهذا يحدد صلاحيتها.
كمفهوم أساسي في البناء البديهي لحساب الأعداد الطبيعية ، تؤخذ العلاقة "متابعة مباشرة" ، على مجموعة غير فارغة ن.ومن المعروف أيضًا مفاهيم المجموعة ، وعنصر المجموعة ، ومفاهيم نظرية المجموعات الأخرى ، فضلاً عن قواعد المنطق.
العنصر الذي يلي العنصر مباشرة أ،عين أ".تم الكشف عن جوهر علاقة "المتابعة المباشرة" في البديهيات التالية التي اقترحها عالم الرياضيات الإيطالي جي بينو في عام 1891.
اكسيوم 1.في وفرة نهناك عنصر لا يتبع على الفور أي عنصر من هذه المجموعة. تسمى وحدة ويشار إليها بالرمز 1.
اكسيوم 2.لكل عنصر أمن نهناك عنصر واحد فقط أ"،متابعة فورية أ.
اكسيوم 3.لكل عنصر من عناصر نيوجد عنصر واحد على الأكثر يتبعه مباشرة أ.
اكسيوم 4. (بديهية الاستقراء).أي مجموعة فرعية ممجموعات نيتطابق مع N إذا كان يحتوي على الخصائص التالية: 1) 1 متضمن في م ؛ 2) من كون أي عنصر أالواردة في ميتبع ذلك و أ"الواردة في م.
غالبًا ما تسمى البديهيات المصاغة بديهيات Peano ، وتسمى البديهية الرابعة بديهية الاستقراء.
دعونا نكتب هذه البديهيات في شكل رمزي.
لكن 1 )( 1 ن)( أ ن)أ" 1;
لكن 2 )( أ ن)( !ب ن)أ"= ب
لكن 3 ) ( أ،ب،مع ن) с = أ "с = ب" أ= ب ؛
A4) م ن 1 م (أ م أ" م) م = ن
باستخدام علاقة "المتابعة الفورية" وبديهيات Peano 1-4 ، يمكن إعطاء التعريف التالي للعدد الطبيعي.
التعريف 1. المجموعة N. الخاصة بعناصرها ، يتم إنشاء العلاقة "مباشرة" ، والتي تفي بالبديهيات 1-4 ، تسمى مجموعة الأعداد الطبيعية ، وعناصرها الأعداد الطبيعية.
___________________________________________________________________
التعريف 2 . إذا كان عددًا طبيعيًابيتبع الرقم أ مباشرة ، ثم يتم استدعاء الرقم أ الذي يسبق (يسبق) الرقم مباشرةب.
______________________________________________________________________________________________
نظرية 1. لا تحتوي الوحدة على عدد طبيعي سابق (تتبع حقيقة النظرية مباشرة من البديهية لكن 1 ).
نظرية 2.كل رقم طبيعي أ،غير واحد له رقم سابق ب , مثل هذا ب " = أ.
لا يقول تعريف العدد الطبيعي شيئًا عن طبيعة عناصر المجموعة ن.لذلك يمكن أن تكون أي شيء. النموذج القياسي لنظام بديهيات بينو هو سلسلة من الأرقام التي نشأت في عملية التطور التاريخي للمجتمع:
1, 2, 3, 4, 5 ,..,
كل رقم من هذه السلسلة له تسميته واسمه الخاص ، والذي سنعتبره معروفًا.
من المهم ملاحظة أنه في تعريف العدد الطبيعي ، لا يمكن حذف أي من البديهيات.
1 أ ب ج د
…
ب
أرز. 16 أرز. 17
مهمة 1.
في الأشكال ، يرتبط كل عنصر بسهم بالعنصر الذي يليه.
حدد أي من المجموعات الموضحة في الشكلين 15 و 16 هي نماذج لنظام بديهيات بينو.
1. في التين. يظهر الرقم 16 مجموعة يتم فيها تثبيت البديهيات 2 و 3 ، لكن البديهية 1 لا تصمد.
لن يكون أكسيوم 4 منطقيًا ، حيث لا يوجد عنصر في المجموعة لا يتبع أي عنصر آخر على الفور.
2. على التين. يوضح الشكل 17 المجموعة التي تتحقق فيها البديهيات 1 ، 2 ، 3 ، لكن البديهية 4 غير راضية - مجموعة النقاط الموجودة على الشعاع تحتوي على 1 ، ومع كل رقم تحتوي على الرقم الذي يليها مباشرة ، لكنها لا تتطابق مع نقاط المجموعة الكاملة الموضحة في الشكل. الخلاصة: أيا من المجموعات الموضحة في الشكل. لا يمكن اعتبار 16 و 17 نماذج لنظام بديهيات بينو.
المهمة 2.
دعنا نثبت أن أي رقم طبيعي يختلف عن العدد الطبيعي التالي مباشرة ، أي ( X ) X X "
دليل - إثبات
نحن نستخدم بديهية الاستقراء - لكن 4 .
يترك م =(س / س ، X X "}, لان . X م ن.
يتكون الدليل من قسمين.
دعنا نثبت ذلك 1 مأولئك. 1 1" . هذا يتبع من لكن 1 .
دعنا نثبت ذلك X م=> X " م.يترك X مأولئك. X X ".دعنا نثبت ذلك X " م، بمعنى آخر. X " (X ")". والبديهيات لكن 3 ينبغي X " (X ")". في الواقع ، من خلال لكن 3 , إذا كانت x "= (x") "ثم x = x" ، ومنذ ذلك الحين عن طريق الاستقراء x مثم س X "،لذلك ، نصل إلى تناقض. وسائل، X " (X ")" , X " م.
هنا يتم تطبيق قاعدة التناقض (PC) ، والتي تستخدم على نطاق واسع في الأدلة "بالتناقض".
لذلك حصلنا على:
م ن (1 م (س م => س " م)) م = N ، أي التأكيد x x "صحيح لأي عدد طبيعي.
أسئلة الاختبار
ما هو جوهر البناء البدهي للنظرية؟
ما هي المفاهيم الأساسية لمقرر التخطيط المدرسي. تذكر نظام البديهيات في هذه الدورة. ما هي خصائص المفاهيم الموصوفة فيها؟
صياغة وكتابة في شكل رمزي بديهيات بينو. "
صياغة تعريف بديهي للعدد الطبيعي.
تابع تعريف العدد الطبيعي: "الرقم الطبيعي هو عنصر من عناصر المجموعة ن,... » .
أعط أمثلة من كتب الرياضيات المدرسية في المدرسة الابتدائية حيث:
أ) رقم جديد (للطلاب) يعمل بمثابة استمرار للجزء المستلم من السلسلة الطبيعية ؛
ب) ثبت أن كل رقم طبيعي يتبعه مباشرة رقم طبيعي واحد آخر.
تمارين
285. عناصر المجموعة هي مجموعات من الشرطات (الأول ، الثاني ، الثالث ، الثالث ، ...). هل ترضي هذه المجموعة بديهيات بينو؟ كما هو محدد هنا ، فإن العلاقة "تتبع على الفور". ضع في اعتبارك نفس الأسئلة للمجموعة (0 ، 00 ، 000 ، 0000 ، ...).
أرز. 17
286. في الشكل 17 أ) ، يتم توصيل كل عنصر بواسطة سهم بالعنصر الذي يليه. هل يمكن اعتبار المجموعة نموذجًا لنظام بديهيات بينو؟ نفس الأسئلة للمجموعات في الأشكال 17 ب) ، ج) ، د).
287- هل مجموعة الأعداد (1 ، 2 ، 3 P ، ...) ،إذا تم تعريف العلاقة التالية فيه على النحو التالي:
1 3 5 7….
2 4 6 8….
288. أعط أمثلة على التخصيصات من كتب الرياضيات المدرسية للصفوف الابتدائية ، حيث يتم شرح صحة الواجبات من خلال مسلمات بينو.
طريقة بديهية في الرياضيات.
المفاهيم الأساسية وعلاقات نظرية المسلسلات الطبيعية. تعريف العدد الطبيعي.
جمع الأعداد الطبيعية.
ضرب الأعداد الطبيعية.
خصائص مجموعة الأعداد الطبيعية
طرح وقسمة الأعداد الطبيعية.
طريقة بديهية في الرياضيات
في البناء البدهي لأي نظرية رياضية ، فإن قواعد معينة:
1. يتم اختيار بعض مفاهيم النظرية على أنها رائدوقبلت بدون تعريف.
2. تمت صياغته البديهيات، والتي يتم قبولها في هذه النظرية دون إثبات ، فإنها تكشف عن خصائص المفاهيم الأساسية.
3. يتم تقديم كل مفهوم للنظرية ، والذي لم يرد في قائمة المفاهيم الأساسية تعريفيشرح معناها بمساعدة المفهوم الرئيسي والسابق.
4. يجب إثبات كل جملة في النظرية غير واردة في قائمة البديهيات. تسمى هذه المقترحات النظرياتوإثباتها على أساس البديهيات والنظريات السابقة على ما هو قيد الدراسة.
يجب أن يكون نظام البديهيات:
أ) متسقة:يجب أن نكون على يقين من أننا ، باستخلاص كل أنواع الاستنتاجات من نظام معين من البديهيات ، لن نصل أبدًا إلى تناقض ؛
ب) مستقل: لا ينبغي أن تكون البديهية نتيجة لبديهيات أخرى لهذا النظام.
في) مكتمل، إذا كان من الممكن دائمًا في إطارها إثبات البيان المعطى أو نفيه.
يمكن اعتبار عرض الهندسة من قبل إقليدس في "العناصر" (القرن الثالث قبل الميلاد) أول تجربة للبناء البدهي للنظرية. تم تقديم مساهمة كبيرة في تطوير الطريقة البديهية لبناء الهندسة والجبر بواسطة N.I. Lobachevsky و E. Galois. في نهاية القرن التاسع عشر طور عالم الرياضيات الإيطالي بينو نظامًا من البديهيات للحساب.
المفاهيم الأساسية وعلاقات النظرية البديهية للأعداد الطبيعية. تعريف العدد الطبيعي.
كمفهوم أساسي (غير محدد) في مجموعة معينة ن مختار موقف سلوك ، وكذلك المفاهيم النظرية وقواعد المنطق.
العنصر الذي يلي العنصر مباشرة أ،عين أ".
علاقة "المتابعة الفورية" تستوفي البديهيات التالية:
بديهيات بينو:
اكسيوم 1. في وفرة ن هناك عنصر بشكل مباشر ليس بعد ذلكلأي عنصر من هذه المجموعة. دعنا نتصل به وحدةوترمز 1 .
اكسيوم 2. لكل عنصر أ من ن هناك عنصر واحد فقط أ" متابعة فورية أ .
اكسيوم 3. لكل عنصر أ من نيوجد عنصر واحد على الأكثر يتبعه مباشرة أ .
اكسيوم 4.أي مجموعة فرعية م مجموعات ن يتزامن مع ن ، إذا كانت لها الخصائص: 1) 1 الواردة في م ; 2) من ماذا أ الواردة في م , يتبع ذلك و أ" الواردة في م.
التعريف 1. الكثير من ن ، الذي تم إنشاء العلاقة لعناصره "متابعة مباشرة»الذي يرضي البديهيات 1-4 يسمى مجموعة من الأعداد الطبيعية، وعناصرها الأعداد الطبيعية.
هذا التعريف لا يقول أي شيء عن طبيعة عناصر المجموعة ن . لذلك يمكن أن تكون أي شيء. اختيار كمجموعة ن بعض المجموعات الخاصة التي يتم فيها إعطاء علاقة "متابعة مباشرة" والتي ترضي البديهيات 1-4 ، نحصل عليها نموذج لهذا النظام البديهيات.
النموذج القياسي لنظام بديهيات بينو هو سلسلة من الأرقام التي نشأت في عملية التطور التاريخي للمجتمع: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ... تبدأ السلسلة الطبيعية بالرقم 1 (البديهية 1) ؛ كل رقم طبيعي يتبعه مباشرة رقم طبيعي واحد (بديهية 2) ؛ يتبع كل رقم طبيعي مباشرة رقمًا طبيعيًا واحدًا على الأكثر (البديهية 3) ؛ بدءًا من الرقم 1 والانتقال إلى الأعداد الطبيعية التي تلي بعضها مباشرة ، نحصل على المجموعة الكاملة من هذه الأرقام (بديهية 4).
لذلك ، بدأنا البناء البديهي لنظام الأعداد الطبيعية باختيار الرئيسي علاقة "المتابعة المباشرة"والبديهيات التي تصف خصائصه. يتضمن البناء الإضافي للنظرية النظر في الخصائص المعروفة للأعداد الطبيعية والعمليات عليها. يجب الكشف عنها في التعريفات والنظريات ، أي مشتق بطريقة منطقية بحتة من العلاقة "اتبع مباشرة" ، والبديهيات 1-4.
المفهوم الأول الذي نقدمه بعد تعريف العدد الطبيعي هو موقف سلوك "يسبق مباشرة" , والتي تستخدم غالبًا عند النظر في خصائص السلسلة الطبيعية.
التعريف 2.إذا كان عددًا طبيعيًا ب يتبع مباشرةعدد طبيعي أ, هذا الرقم أ اتصل السابقة مباشرة(أو السابق) رقم ب .
العلاقة "قبل" لها بالقرب من العقارات.
النظرية 1. ليس لدى المرء عدد طبيعي سابق.
نظرية 2. كل عدد طبيعي أ، بخلاف 1 ، له رقم واحد سابق ب،مثل ذلك ب"= أ.
لا يعتبر البناء البدهي لنظرية الأعداد الطبيعية في المدرسة الابتدائية أو الثانوية. ومع ذلك ، فإن خصائص علاقة "المتابعة المباشرة" ، والتي تنعكس في بديهيات بينو ، هي موضوع الدراسة في المسار الأولي للرياضيات. بالفعل في الصف الأول ، عند النظر في أرقام العشرة الأولى ، اتضح كيف يمكن الحصول على كل رقم. يتم استخدام المصطلحين "متابعة" و "قبل". يعمل كل رقم جديد كاستمرار للجزء المدروس من سلسلة الأرقام الطبيعية. الطلاب مقتنعون بأن كل رقم يتبعه الرقم التالي ، وعلاوة على ذلك ، واحد فقط ، أن السلسلة الطبيعية للأرقام لا نهائية.
جمع الأعداد الطبيعية
وفقًا لقواعد بناء نظرية بديهية ، يجب تقديم تعريف إضافة الأعداد الطبيعية باستخدام العلاقة فقط "متابعة مباشرة"والمفاهيم "عدد طبيعي"و "الرقم السابق".
دعونا نستهل تعريف الإضافة بالاعتبارات التالية. إذا كان لأي عدد طبيعي أأضف 1 ، نحصل على الرقم أ"،متابعة فورية أ، بمعنى آخر. أ+ 1= أ "ومن هنا نحصل على قاعدة إضافة 1 إلى أي عدد طبيعي. ولكن كيف نضيف إلى الرقم أعدد طبيعي ب،يختلف عن 1؟ دعونا نستخدم الحقيقة التالية: إذا كان من المعروف أن 2 + 3 = 5 ، فإن المجموع 2 + 4 = 6 ، والذي يتبع الرقم 5. يحدث هذا لأنه في المجموع 2 + 4 ، يكون المصطلح الثاني هو الرقم على الفور بعد الرقم 3. إذن 2 + 4 = 2 + 3 " =(2+3)". بشكل عام ، لدينا , .
هذه الحقائق تكمن وراء تعريف إضافة الأعداد الطبيعية في النظرية البديهية.
التعريف 3. جمع الأعداد الطبيعيةهي عملية جبرية لها الخصائص التالية:
رقم أ + ب اتصل مجموع الأرقام أو ب , والأرقام نفسها أو ب - مصلحات.