مفهوم النهاية والاستمرارية للدالة. الحد والاستمرارية. استمرارية دالة عند نقطة وفي فترة
استمرارية الوظيفة. نقاط كسر.
الثور يمشي ، يتأرجح ، يتنهد أثناء التنقل:
- أوه ، اللوحة تنتهي ، الآن سوف أسقط!
في هذا الدرس ، سنحلل مفهوم استمرارية الوظيفة ، وتصنيف نقاط الانقطاع ، والمشكلة العملية الشائعة التحقيق في وظيفة من أجل الاستمرارية. من عنوان الموضوع نفسه ، يخمن الكثيرون بشكل حدسي ما سيتم مناقشته ، ويعتقدون أن المادة بسيطة للغاية. هذا صحيح. لكنها مهام بسيطة يعاقب عليها في الغالب بسبب الإهمال ونهج سطحي لحلها. لذلك ، أوصي بأن تدرس المقالة بعناية وأن تلتقط كل التفاصيل الدقيقة والتقنيات.
ما الذي تريد أن تعرفه وتكون قادرًا على فعله؟ليس كثيرا. للحصول على تجربة تعليمية جيدة ، عليك أن تفهم ماذا حد الوظيفة. بالنسبة للقراء ذوي المستوى المنخفض من الإعداد ، يكفي فهم المقال حدود الوظائف. أمثلة الحلوانظر المعنى الهندسي للحدود في الدليل الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الابتدائية. من المستحسن أيضًا أن تتعرف على التحولات الهندسية للرسوم البيانية، لأن الممارسة في معظم الحالات تنطوي على بناء رسم. الاحتمالات متفائلة للجميع ، وحتى الغلاية الكاملة ستكون قادرة على التعامل مع المهمة بمفردها في الساعة أو الساعتين القادمتين!
استمرارية الوظيفة. نقاط التوقف وتصنيفها
مفهوم استمرارية الوظيفة
ضع في اعتبارك بعض الوظائف المستمرة على الخط الحقيقي بأكمله:
أو ، بشكل أكثر إيجازًا ، وظيفتنا متصلة (مجموعة الأعداد الحقيقية).
ما هو المعيار "الصغير" للاستمرارية؟ من الواضح أنه يمكن رسم الرسم البياني للدالة المستمرة دون رفع القلم الرصاص عن الورقة.
في هذه الحالة ، يجب التمييز بوضوح بين مفهومين بسيطين: نطاق الوظيفةو استمرارية الوظيفة. على العموم انه ليس نفس الشيئ. فمثلا:
يتم تعريف هذه الوظيفة على خط الأعداد بالكامل ، أي لـ كل واحدقيمة "x" لها قيمتها الخاصة "y". على وجه الخصوص ، إذا ، إذن. لاحظ أن النقطة الأخرى مثقوبة ، لأنه من خلال تعريف الوظيفة ، يجب أن تتطابق قيمة الوسيطة الشيء الوحيدقيمة الوظيفة. في هذا الطريق، نطاقميزاتنا:.
لكن هذه الوظيفة ليست مستمرة!من الواضح أنها تتحمل في هذه المرحلة الفارق. المصطلح أيضًا واضح وواضح تمامًا ، في الواقع ، هنا يجب تمزيق قلم الرصاص من الورق على أي حال. بعد ذلك بقليل ، سننظر في تصنيف نقاط التوقف.
استمرارية دالة عند نقطة وفي فترة
في مسألة رياضية معينة ، يمكننا التحدث عن استمرارية دالة عند نقطة ، أو استمرارية دالة على فترة ، أو نصف فترة ، أو استمرارية دالة على مقطع. هذا هو، لا يوجد "استمرارية فقط"- يمكن أن تكون الوظيفة مستمرة في مكان ما. و "اللبنة" الأساسية لكل شيء آخر استمرارية الوظيفة في هذه النقطة .
تحدد نظرية التحليل الرياضي استمرارية الوظيفة عند نقطة ما بمساعدة أحياء "دلتا" و "إبسيلون" ، ولكن من الناحية العملية ، هناك تعريف آخر قيد الاستخدام ، والذي سنولي اهتمامًا وثيقًا له.
دعونا نتذكر أولا حدود من جانب واحدالذين اقتحموا حياتنا في الدرس الأول حول الرسوم البيانية للوظائف. ضع في اعتبارك الموقف اليومي:
إذا اقتربنا على طول المحور إلى النقطة اليسار(السهم الأحمر) ، ثم القيم المقابلة من "الألعاب" سوف تسير على طول المحور إلى النقطة (سهم التوت). رياضيا ، تم إصلاح هذه الحقيقة باستخدام حد اليد اليسرى:
انتبه إلى الإدخال (يقرأ "x تميل إلى ka من اليسار"). يرمز "مضاف" "ناقص صفر" ، وهو ما يعني بشكل أساسي أننا نقترب من الرقم من الجانب الأيسر.
وبالمثل ، إذا اقتربت من النقطة "كا" على اليمين(السهم الأزرق) ، فإن "الألعاب" ستأتي بنفس القيمة ، ولكن على طول السهم الأخضر ، و حد اليد اليمنىسيتم تنسيقه على النحو التالي:
"الملحق" يرمز ، ويقرأ الإدخال على هذا النحو: "x تميل إلى ka من اليمين."
إذا كانت الحدود أحادية الجانب محدودة ومتساوية(كما في حالتنا): ، ثم نقول أن هناك حد عام. الأمر بسيط ، الحد الإجمالي هو "المعتاد" حد الوظيفةيساوي الرقم النهائي.
لاحظ أنه إذا لم يتم تحديد الوظيفة عند (ثقب النقطة السوداء في فرع الرسم البياني) ، فستظل الحسابات المدرجة صالحة. كما لوحظ مرارًا وتكرارًا ، ولا سيما في المقالة حول وظائف متناهية الصغر، التعبيرات تعني أن "x" قريب بلا حدوديقترب من النقطة ، بينما عَرَضِيّما إذا كانت الوظيفة نفسها محددة في نقطة معينة أم لا. سيتم العثور على مثال جيد في القسم التالي ، عندما يتم تحليل الوظيفة.
تعريف: دالة متصلة عند نقطة ما إذا كان حد الوظيفة عند نقطة معينة مساويًا لقيمة الدالة عند تلك النقطة:.
التعريف مفصل في المصطلحات التالية:
1) يجب تحديد الوظيفة عند النقطة ، أي يجب أن تكون القيمة موجودة.
2) يجب أن يكون هناك حد مشترك للوظيفة. كما هو مذكور أعلاه ، هذا يعني وجود ومساواة حدود من جانب واحد: .
3) يجب أن يكون حد الوظيفة عند نقطة معينة مساويًا لقيمة الوظيفة في هذه المرحلة:.
إذا انتهكت مرة على الأقلمن الشروط الثلاثة ، فإن الوظيفة تفقد خاصية الاستمرارية عند النقطة.
استمرارية دالة في فترةتمت صياغته بطريقة ذكية وبسيطة للغاية: تكون الوظيفة متصلة على فترة زمنية إذا كانت متصلة في كل نقطة من الفترة الزمنية المحددة.
على وجه الخصوص ، العديد من الوظائف مستمرة في الفترة اللانهائية ، أي على مجموعة الأعداد الحقيقية. هذه دالة خطية ، كثيرات الحدود ، الأس ، الجيب ، جيب التمام ، إلخ. وبوجه عام ، أي دالة ابتدائيةمستمر على ذلك المجالاتلذلك ، على سبيل المثال ، الدالة اللوغاريتمية مستمرة في الفترة الزمنية. آمل أن تكون لديك الآن فكرة جيدة عما تبدو عليه الرسوم البيانية للوظائف الرئيسية. يمكن الحصول على مزيد من المعلومات التفصيلية حول استمراريتها من رجل طيب اسمه Fichtenholtz.
مع استمرارية الوظيفة في المقطع ونصف الفواصل الزمنية ، كل شيء بسيط أيضًا ، لكن من الأنسب التحدث عن هذا في الدرس على إيجاد القيم الدنيا والقصوى لدالة ما على قطعةحتى ذلك الحين ، دعونا نحافظ على رؤوسنا منخفضة.
تصنيف نقاط الانكسار
الحياة الرائعة للوظائف غنية بجميع أنواع النقاط الخاصة ، ونقاط الانهيار ليست سوى واحدة من صفحات سيرتهم الذاتية.
ملحوظة : فقط في حالة ، سوف أتطرق إلى لحظة أولية: نقطة الانهيار هي دائمًا نقطة واحدة- لا توجد "عدة نقاط فاصل متتالية" ، أي أنه لا يوجد شيء مثل "فاصل فاصل".
وتنقسم هذه النقاط بدورها إلى مجموعتين كبيرتين: فواصل من النوع الأولو فواصل من النوع الثاني. كل نوع من الفجوات له سماته المميزة ، والتي سنلقي نظرة عليها الآن:
نقطة الانقطاع من النوع الأول
إذا تم انتهاك شرط الاستمرارية عند نقطة ما وحدود أحادية الجانب محدود ، ثم يطلق عليه نقطة الانهيار من النوع الأول.
لنبدأ بالحالة الأكثر تفاؤلاً. وفقًا للفكرة الأولية للدرس ، أردت أن أخبر النظرية "بعبارات عامة" ، لكن من أجل إثبات حقيقة المادة ، استقرت على متغير مع ممثلين محددين.
للأسف ، مثل صورة للعروسين على خلفية اللهب الأبدي ، لكن الإطار التالي مقبول بشكل عام. لنرسم رسمًا بيانيًا للوظيفة في الرسم:
هذه الوظيفة متصلة على خط الأعداد بالكامل ، باستثناء النقطة. في الواقع ، لا يمكن أن يكون المقام مساويًا للصفر. ومع ذلك ، وفقا لمعنى الحد - نستطيع قريب بلا حدودتقترب من "الصفر" من اليسار ومن اليمين ، أي أن الحدود أحادية الجانب موجودة ، ومن الواضح أنها تتطابق:
(تم استيفاء شرط الاستمرارية رقم 2).
لكن الوظيفة لم يتم تحديدها عند هذه النقطة ، وبالتالي ، يتم انتهاك الشرط رقم 1 من الاستمرارية ، وتعاني الوظيفة من انقطاع في هذه المرحلة.
كسر من هذا النوع (مع القائمة حد عام) وتسمى فجوة قابلة للإصلاح. لماذا قابلة للإزالة؟ لأن الوظيفة يمكن إعادة تعريفعند نقطة الانهيار:
هل يبدو غريبا؟ يمكن. لكن مثل هذا السجل الوظيفي لا يتعارض مع أي شيء! الآن تم إصلاح الفجوة والجميع سعداء:
لنقم بفحص رسمي:
2) - هناك حد مشترك ؛
3)
وبالتالي ، يتم استيفاء جميع الشروط الثلاثة ، وتكون الوظيفة متصلة عند نقطة من خلال تعريف استمرارية الوظيفة عند نقطة ما.
ومع ذلك ، يمكن لكارهي ماتان إعادة تعريف الوظيفة بطريقة سيئة ، على سبيل المثال :
من الغريب أن أول شرطين من شروط الاستمرارية مستوفيان هنا:
1) - يتم تحديد الوظيفة في نقطة معينة ؛
2) - هناك حد مشترك.
لكن الحد الثالث لم يتم تجاوزه: أي حد الوظيفة عند هذه النقطة غير متساويقيمة الوظيفة المعينة عند نقطة معينة.
وهكذا ، عند نقطة ما ، تعاني الوظيفة من انقطاع.
الحالة الثانية الأكثر حزناً تسمى كسر من النوع الأول بقفزة. والحزن هو الذي يثيره حدود من جانب واحد محدودة ومختلفة. يتم عرض مثال في الرسم الثاني للدرس. عادة ما تحدث هذه الفجوة في متعدد التعريف وظائفسبق ذكره في المقال. حول تحولات الرسم البياني.
ضع في اعتبارك دالة متعددة التعريف وتنفيذ الرسم لها. كيف تبني رسم بياني؟ بسيط جدا. في نصف الفاصل ، نرسم جزءًا من القطع المكافئ (أخضر) ، على الفاصل - مقطع خط مستقيم (أحمر) ، وعلى نصف فاصل - خط مستقيم (أزرق).
في الوقت نفسه ، بسبب عدم المساواة ، يتم تحديد القيمة للدالة التربيعية (النقطة الخضراء) ، وبسبب عدم المساواة ، يتم تحديد القيمة لدالة خطية (النقطة الزرقاء):
في أصعب الحالات ، يجب على المرء أن يلجأ إلى البناء النقطي لكل قطعة من الرسم البياني (انظر الأول درس حول الرسوم البيانية للوظائف).
في الوقت الحالي ، نحن مهتمون فقط بهذه النقطة. دعنا نفحصها من أجل الاستمرارية:
2) احسب الحدود من جانب واحد.
على اليسار لدينا قطعة ذات خط أحمر ، وبالتالي فإن الحد الأيسر هو:
على اليمين يوجد الخط الأزرق المستقيم ، والحد الأيمن:
نتيجة ل، أعداد محدودة، و هم غير متساوي. لأن حدود من جانب واحد محدودة ومختلفة: ، ثم تتأثر وظيفتنا انقطاع من النوع الأول مع قفزة.
من المنطقي أنه لا يمكن القضاء على الفجوة - لا يمكن حقًا تعريف الوظيفة بشكل أكبر و "عدم لصقها معًا" ، كما في المثال السابق.
نقاط الانقطاع من النوع الثاني
عادة ، تُنسب جميع حالات التمزق الأخرى بشكل مكر إلى هذه الفئة. لن أسرد كل شيء ، لأنك ستواجه عمليًا في 99٪ من المهام فجوة لا نهاية لها- عند استخدام اليد اليسرى أو اليمنى ، وفي كثير من الأحيان ، يكون كلا الحدين غير محدود.
وبالطبع ، فإن الصورة الأكثر وضوحًا هي المبالغة عند الصفر. هنا كلا الحدين من جانب واحد لانهائي: لذلك ، فإن الوظيفة تعاني من انقطاع من النوع الثاني عند النقطة.
أحاول ملء مقالاتي بالمحتوى الأكثر تنوعًا ، لذلك دعونا نلقي نظرة على الرسم البياني للوظيفة ، والذي لم يتم رؤيته بعد:
وفقًا للمخطط القياسي:
1) لم يتم تعريف الوظيفة في هذه المرحلة لأن المقام يذهب إلى الصفر.
بالطبع ، يمكن للمرء أن يستنتج على الفور أن الوظيفة تعاني من انقطاع عند النقطة ، ولكن سيكون من الجيد تصنيف طبيعة الفاصل ، والذي غالبًا ما يتطلبه الشرط. لهذا:
أذكرك أن التسجيل يعني عدد سالب متناهي الصغر، وتحت الدخول - عدد موجب متناهي الصغر.
الحدود من جانب واحد لانهائية ، مما يعني أن الوظيفة تعاني من انقطاع من النوع الثاني عند النقطة. المحور ص هو الخط المقارب الرأسيللرسم البياني.
ليس من النادر وجود كلتا الحدين من جانب واحد ، لكن أحدهما فقط لانهائي ، على سبيل المثال:
هذا هو الرسم البياني للدالة.
ندرس نقطة الاستمرارية:
1) الوظيفة غير محددة في هذه المرحلة.
2) احسب الحدود من جانب واحد:
سنتحدث عن منهجية حساب هذه الحدود من جانب واحد في المثالين الأخيرين من المحاضرة ، على الرغم من أن العديد من القراء قد رأوا بالفعل وخمنوا كل شيء.
الحد الأيسر منتهي ويساوي صفرًا ("لا نذهب إلى النقطة نفسها") ، لكن الحد الأيمن لا نهائي والفرع البرتقالي للرسم البياني قريب جدًا من حده الخاص الخط المقارب الرأسيتعطى بالمعادلة (الخط الأسود المتقطع).
وبالتالي ، فإن الوظيفة تعاني كسر من النوع الثانيعند نقطة .
بالنسبة للانقطاع من النوع الأول ، يمكن تحديد وظيفة عند نقطة الانقطاع نفسها. على سبيل المثال ، لدالة متعددة التعريف ضع نقطة سوداء جريئة في الأصل بجرأة. يوجد على اليمين فرع من القطع الزائد ، والنهاية اليمنى لا نهائية. أعتقد أن الجميع تقريبًا تخيل كيف يبدو هذا الرسم البياني.
ما كان يتطلع إليه الجميع:
كيف تتحقق من دالة للاستمرارية؟
تتم دراسة وظيفة الاستمرارية عند نقطة ما وفقًا للمخطط الروتيني الذي تم تدويره بالفعل ، والذي يتكون من التحقق من ثلاثة شروط للاستمرارية:
مثال 1
اكتشف الوظيفة
المحلول:
1) تقع النقطة الوحيدة تحت الأنظار ، حيث لا يتم تحديد الوظيفة.
2) احسب الحدود من جانب واحد:
الحدود من جانب واحد محدودة ومتساوية.
وهكذا ، عند نقطة ما ، تعاني الوظيفة من انقطاع مستمر.
كيف يبدو الرسم البياني لهذه الوظيفة؟
أريد التبسيط ، ويبدو أنه قطع مكافئ عادي. لكنلم يتم تحديد الوظيفة الأصلية عند هذه النقطة ، لذا فإن التحذير التالي مطلوب:
لننفذ الرسم:
إجابه: الوظيفة متصلة على خط الأعداد بالكامل باستثناء النقطة التي تعاني فيها من انقطاع.
يمكن إعادة تعريف الوظيفة بطريقة جيدة أو غير جيدة ، ولكن هذا ليس مطلوبًا من قبل الشرط.
تقول أن المثال بعيد المنال؟ لا على الاطلاق. حدث عشرات المرات في الممارسة. تأتي جميع مهام الموقع تقريبًا من عمل مستقل حقيقي وتحكمي.
دعنا نقسم الوحدات المفضلة لدينا:
مثال 2
اكتشف الوظيفة من أجل الاستمرارية. تحديد طبيعة فواصل الوظيفة ، إن وجدت. تنفيذ الرسم.
المحلول: لسبب ما ، يخاف الطلاب ولا يحبون الوظائف التي تحتوي على وحدة ، على الرغم من عدم وجود شيء معقد فيها. لقد تطرقنا بالفعل إلى مثل هذه الأشياء قليلاً في الدرس. تحولات الرسم الهندسي. نظرًا لأن المعامل غير سالب ، فإنه يتمدد على النحو التالي: ، حيث "alpha" عبارة عن بعض التعبيرات. في هذه الحالة ، يجب أن تشير وظيفتنا متعددة التعريف:
لكن كسور كلتا القطعتين يجب أن تُختزل بمقدار. التخفيض ، كما في المثال السابق ، لن يمر دون عواقب. لم يتم تعريف الوظيفة الأصلية عند النقطة لأن المقام يتلاشى. لذلك ، يجب على النظام تحديد الشرط بالإضافة إلى ذلك ، وجعل المتباينة الأولى صارمة:
الآن من أجل خدعة مفيدة للغاية: قبل الانتهاء من المهمة في المسودة ، من المفيد عمل رسم (بغض النظر عما إذا كان الشرط مطلوبًا أم لا). سيساعد هذا ، أولاً ، على رؤية نقاط الاستمرارية ونقاط الانقطاع على الفور ، وثانيًا ، سيوفر لك 100٪ من الأخطاء عند العثور على حدود من جانب واحد.
لنفعل الحيلة. وفقًا لحساباتنا ، على يسار النقطة ، من الضروري رسم جزء من القطع المكافئ (الأزرق) ، وإلى اليمين - قطعة من القطع المكافئ (الأحمر) ، بينما لم يتم تحديد الوظيفة عند النقطة نفسها :
عندما تكون في شك ، خذ بعض قيم "x" ، واستبدلها في الدالة (تذكر أن الوحدة تدمر علامة ناقص محتملة) وتحقق من الرسم البياني.
نحن نحقق في وظيفة الاستمرارية تحليليًا:
1) لم يتم تحديد الوظيفة عند هذه النقطة ، لذلك يمكننا القول على الفور أنها ليست متصلة بها.
2) دعونا نحدد طبيعة الانقطاع ، ولهذا نحسب الحدود من جانب واحد:
الحدود أحادية الجانب محدودة ومختلفة ، مما يعني أن الوظيفة تعاني من انقطاع من النوع الأول مع قفزة عند النقطة. مرة أخرى ، لاحظ أنه عند إيجاد الحدود ، لا يهم ما إذا كانت الوظيفة عند نقطة الفاصل محددة أم لا.
يبقى الآن نقل الرسم من المسودة (تم إجراؤه ، كما كان ، بمساعدة البحث ؛-)) وإكمال المهمة:
إجابه: الوظيفة متصلة على خط الأعداد بالكامل باستثناء النقطة التي تعاني فيها من انقطاع من النوع الأول مع قفزة.
في بعض الأحيان يكون مطلوبًا الإشارة بشكل إضافي إلى قفزة التوقف. يتم حسابها بشكل أساسي - يجب طرح الحد الأيسر من الحد الأيمن: أي عند نقطة الانقطاع ، قفزت وظيفتنا بمقدار وحدتين إلى الأسفل (وهو ما تخبرنا به علامة الطرح).
مثال 3
اكتشف الوظيفة من أجل الاستمرارية. تحديد طبيعة فواصل الوظيفة ، إن وجدت. جعل الرسم.
هذا مثال على الحل الذاتي ، حل نموذجي في نهاية الدرس.
دعنا ننتقل إلى الإصدار الأكثر شيوعًا والأكثر شيوعًا للمهمة ، عندما تتكون الوظيفة من ثلاث أجزاء:
مثال 4
تحقق من دالة الاستمرارية وارسم الرسم البياني للوظيفة .
المحلول: من الواضح أن جميع الأجزاء الثلاثة للدالة متصلة على الفترات المقابلة ، لذلك يبقى التحقق من نقطتي "تقاطع" فقط بين القطع. أولاً ، دعنا نرسم مسودة ، لقد علقت على تقنية البناء بتفاصيل كافية في الجزء الأول من المقالة. الشيء الوحيد هو اتباع النقاط الفردية بعناية: نظرًا لعدم المساواة ، تنتمي القيمة إلى الخط المستقيم (النقطة الخضراء) ، وبسبب عدم المساواة ، تنتمي القيمة إلى القطع المكافئ (النقطة الحمراء):
حسنًا ، من حيث المبدأ ، كل شيء واضح =) يبقى اتخاذ قرار. لكل من النقطتين "بعقب" ، نتحقق من 3 شروط للاستمرارية كمعيار:
أنا)ندرس نقطة الاستمرارية
1)
الحدود أحادية الجانب محدودة ومختلفة ، مما يعني أن الوظيفة تعاني من انقطاع من النوع الأول مع قفزة عند النقطة.
دعونا نحسب قفزة التوقف على أنها الفرق بين الحدين الأيمن والأيسر:
، أي أن المخطط قفز بمقدار وحدة واحدة.
II)ندرس نقطة الاستمرارية
1) - يتم تحديد الوظيفة عند نقطة معينة.
2) ابحث عن حدود من جانب واحد:
- الحدود أحادية الجانب محدودة ومتساوية ، لذلك هناك حد مشترك.
3) - حدود دالة عند نقطة ما تساوي قيمة هذه الدالة عند نقطة معينة.
في المرحلة النهائية ، ننقل الرسم إلى نسخة نظيفة ، وبعد ذلك نضع الوتر النهائي:
إجابه: الوظيفة متصلة على خط الأعداد بالكامل ، باستثناء النقطة التي تعاني فيها من انقطاع من النوع الأول مع قفزة.
مثال 5
تحقق من دالة للاستمرارية وقم ببناء الرسم البياني الخاص بها .
هذا مثال لحل مستقل ، حل قصير وعينة تقريبية للمشكلة في نهاية الدرس.
قد يكون لدى المرء انطباع بأنه في مرحلة ما يجب بالضرورة أن تكون الوظيفة مستمرة ، وفي نقطة أخرى يجب بالضرورة أن يكون هناك انقطاع. في الممارسة العملية ، هذا ليس هو الحال دائمًا. حاول ألا تهمل الأمثلة المتبقية - سيكون هناك العديد من الميزات المثيرة للاهتمام والمهمة:
مثال 6
إعطاء وظيفة . تحقق من وظيفة الاستمرارية عند النقاط. أنشئ رسمًا بيانيًا.
المحلول: ومرة أخرى نفّذ الرسم على المسودة فورًا:
خصوصية هذا الرسم البياني هي أنه بالنسبة للدالة متعددة التعريف ، يتم الحصول عليها من خلال معادلة محور الإحداثي. هنا ، هذا القسم مرسوم باللون الأخضر ، وعادة ما يتم تمييزه في دفتر ملاحظات بجرأة بقلم رصاص بسيط. وبالطبع ، لا تنسوا خرافنا: تشير القيمة إلى فرع الظل (النقطة الحمراء) ، والقيمة تنتمي إلى الخط المستقيم.
كل شيء واضح من الرسم - الوظيفة مستمرة على خط الأرقام بالكامل ، ويبقى وضع حل يتم إحضاره إلى الأتمتة الكاملة حرفيًا بعد 3-4 أمثلة مماثلة:
أنا)ندرس نقطة الاستمرارية
1) - يتم تحديد الوظيفة عند نقطة معينة.
2) احسب الحدود من جانب واحد:
، لذلك هناك حد مشترك.
فقط لكل رجل إطفاء ، دعني أذكرك بحقيقة تافهة: حد الثابت يساوي الثابت نفسه. في هذه الحالة ، نهاية الصفر تساوي صفرًا نفسها (النهاية اليسرى).
3) - حدود دالة عند نقطة ما تساوي قيمة هذه الدالة عند نقطة معينة.
وبالتالي ، تكون الوظيفة متصلة عند نقطة ما بتعريف الدالة المستمرة عند نقطة ما.
II)ندرس نقطة الاستمرارية
1) - يتم تحديد الوظيفة عند نقطة معينة.
2) ابحث عن حدود من جانب واحد:
وهنا - حد الوحدة يساوي الوحدة نفسها.
- هناك حد مشترك.
3) - حدود دالة عند نقطة ما تساوي قيمة هذه الدالة عند نقطة معينة.
وبالتالي ، تكون الوظيفة متصلة عند نقطة ما بتعريف الدالة المستمرة عند نقطة ما.
كالعادة ، بعد الدراسة ، ننقل رسمنا إلى نسخة نظيفة.
إجابه: الوظيفة مستمرة عند النقاط.
يرجى ملاحظة أنه في حالة عدم سؤالنا عن أي شيء عن دراسة الوظيفة بأكملها من أجل الاستمرارية ، وتعتبر صيغة رياضية جيدة للصياغة دقيق وواضحالإجابة على السؤال المطروح. بالمناسبة ، إذا لم يكن مطلوبًا بناء رسم بياني وفقًا للشرط ، فلديك كل الحق في عدم بنائه (على الرغم من أن المعلم قد يجبرك على القيام بذلك لاحقًا).
"طقطقة" رياضية صغيرة لحل مستقل:
مثال 7
إعطاء وظيفة . تحقق من وظيفة الاستمرارية عند النقاط. تصنيف نقاط التوقف ، إن وجدت. تنفيذ الرسم.
حاول "نطق" كل "الكلمات" بشكل صحيح =) وارسم الرسم البياني بدقة أكبر ، لن يكون الأمر غير ضروري في كل مكان ؛-)
كما تتذكر ، أوصيت بأن ترسم على الفور مسودة ، ولكن من وقت لآخر توجد أمثلة لا يمكنك فيها على الفور معرفة شكل الرسم البياني. لذلك ، في عدد من الحالات ، من المفيد أولاً العثور على حدود من جانب واحد وبعد ذلك فقط ، بناءً على الدراسة ، تصور الفروع. في المثالين الأخيرين ، سنتعلم أيضًا تقنية حساب بعض الحدود من جانب واحد:
المثال 8
تحقق من دالة للاستمرارية وقم ببناء الرسم البياني التخطيطي الخاص بها.
المحلول: النقاط السيئة واضحة: (يحول مقام الأس إلى الصفر) و (يتحول إلى الصفر في مقام الكسر بأكمله). ليس من الواضح كيف يبدو الرسم البياني لهذه الوظيفة ، مما يعني أنه من الأفضل إجراء البحث أولاً.
إذا كانت المجموعة لا تحتوي على عناصر ، فسيتم استدعاؤها مجموعة فارغةومسجلة Ø .
محدد الكم
∃- الكمي الوجودي، بدلاً من عبارة "موجود" ،
"متوفرة". يتم أيضًا استخدام مجموعة الرموز ∃! ، والتي تُقرأ نظرًا لوجود رمز واحد فقط.
قيمه مطلقه
تعريف. القيمة المطلقة (المعامل) للرقم الحقيقي هي رقم غير سالب تحدده الصيغة:
فمثلا،
خصائص الوحدة
إذا كانت هذه الأرقام حقيقية ، فسيتم الاحتفاظ بالمساواة التالية:
دور
علاقة بين كميتين أو أكثر ، حيث ترتبط كل قيمة لكمية واحدة ، تسمى وسيطات دالة ، بقيم كميات أخرى ، تسمى قيم الوظيفة.
نطاق الوظيفة
مجال الوظيفة هو قيم المتغير المستقل x الذي ستكون جميع العمليات المضمنة في الوظيفة قابلة للتنفيذ.
وظيفة مستمرة
الوظيفة f (x) المحددة في بعض المناطق المجاورة للنقطة a تسمى مستمرة عند هذه النقطة إذا
التسلسلات الرقمية
عرض الوظيفة ذ= F(x), xا ن،أين نهي مجموعة الأعداد الطبيعية (أو دالة للحجة الطبيعية) ، يُشار إليها ذ=F(ن)أو ذ 1 ,ذ 2 ,…, ذ ن،…. قيم ذ 1 ,ذ 2 ,ذ 3 ، ... تسمى على التوالي الأول ، والثاني ، والثالث ، ... أعضاء التسلسل.
حد وظيفة الحجة المستمرة
يُطلق على الرقم A حد الدالة y = f (x) لـ x-> x0 ، إذا كانت جميع قيم x التي تختلف قليلاً بشكل كافٍ عن الرقم x0 ، فإن القيم المقابلة للدالة f (x ) تختلف بشكل تعسفي قليلاً عن الرقم أ
دالة متناهية الصغر
دور ص = و (س)اتصل متناهي الصغرفي س → أاو متى x→ ∞ إذا أو ، أي الدالة اللامتناهية في الصغر هي دالة يكون حدها عند نقطة معينة صفرًا.
مفهوم حد التسلسل العددي
دعونا نتذكر أولاً تعريف التسلسل العددي.
التعريف 1
يسمى تعيين مجموعة الأعداد الطبيعية على مجموعة الأعداد الحقيقية التسلسل العددي.
مفهوم حد التسلسل العددي له عدة تعريفات أساسية:
- الرقم الحقيقي $ a $ يسمى حد التسلسل العددي $ (x_n) $ إذا كان لأي $ \ varepsilon> 0 $ يوجد فهرس $ N $ اعتمادًا على $ \ varepsilon $ مثل ذلك لأي فهرس $ n> N $ عدم المساواة $ \ left | x_n-a \ right |
- الرقم الحقيقي $ a $ يسمى حد التسلسل العددي $ (x_n) $ إذا كان أي جوار للنقطة يحتوي $ a $ على جميع أعضاء التسلسل $ (x_n) $ ، مع استثناء محتمل لعدد محدود من أفراد.
ضع في اعتبارك مثالاً لحساب قيمة حد التسلسل الرقمي:
مثال 1
أوجد الحد $ (\ mathop (lim) _ (n \ to \ infty) \ frac (n ^ 2-3n + 2) (2n ^ 2-n-1) \) $
المحلول:
لحل هذه المهمة ، نحتاج أولاً إلى إخراج الأقواس من أعلى درجة متضمنة في التعبير:
$ (\ mathop (lim) _ (n \ to \ infty) \ frac (n ^ 2-3n + 2) (2n ^ 2-n-1) \) = (\ mathop (lim) _ (x \ to \ infty) \ frac (n ^ 2 \ left (1- \ frac (3) (n) + \ frac (2) (n ^ 2) \ right)) (n ^ 2 \ left (2- \ frac (1) (n) - \ frac (1) (n ^ 2) \ right)) \) = (\ mathop (lim) _ (n \ to \ infty) \ frac (1- \ frac (3) (n) + \ frac (2) (n ^ 2)) (2- \ frac (1) (n) - \ frac (1) (n ^ 2)) \) $
إذا كان المقام قيمة كبيرة بشكل لا نهائي ، فإن الحد بأكمله يميل إلى الصفر ، $ \ mathop (lim) _ (n \ to \ infty) \ frac (1) (n) = 0 $ ، باستخدام هذا ، نحصل على:
$ (\ mathop (lim) _ (n \ to \ infty) \ frac (1- \ frac (3) (n) + \ frac (2) (n ^ 2)) (2- \ frac (1) (n ) - \ frac (1) (n ^ 2)) \) = \ frac (1-0 + 0) (2-0-0) = \ frac (1) (2) $
إجابه:$ \ frac (1) (2) $.
مفهوم نهاية دالة عند نقطة
مفهوم حد الوظيفة عند نقطة ما له تعريفان تقليديان:
تعريف مصطلح "حد" حسب كوشي
الرقم الحقيقي $ A $ يسمى حد الوظيفة $ f \ left (x \ right) $ كـ $ x \ إلى $ إذا كان لأي $ varepsilon> 0 $ يوجد $ \ delta> 0 $ اعتمادًا على $ \ varepsilon $ ، بحيث يلبي أي $ x \ في X ^ (\ backslash a) $ عدم المساواة $ \ left | x-a \ right |
تعريف هاينه
الرقم الحقيقي $ A $ يسمى حد الدالة $ f \ left (x \ right) $ لـ $ x \ إلى $ إذا كان لأي تسلسل $ (x_n) \ في X $ المتقاربة إلى $ a $ تسلسل تتقارب قيم $ f (x_n) $ إلى $ A $.
هذان التعريفان مرتبطان.
ملاحظة 1
إن تعريفات كوشي وهاين لحد الوظيفة متكافئة.
بالإضافة إلى الأساليب التقليدية لحساب حدود الدالة ، لنتذكر الصيغ التي يمكن أن تساعد أيضًا في ذلك.
جدول الوظائف المكافئة عندما يكون $ x $ متناهي الصغر (يذهب إلى الصفر)
نهج واحد لحل الحدود هو مبدأ الاستبدال بوظيفة مكافئة. جدول الوظائف المكافئة معروض أدناه ، من أجل استخدامه ، بدلاً من الوظائف الموجودة على اليمين ، استبدل الوظيفة الأولية المقابلة على اليسار في التعبير.
الشكل 1. جدول تكافؤ الوظائف. Author24 - تبادل أوراق الطلاب عبر الإنترنت
أيضًا ، لحل الحدود ، التي يتم تقليل قيمها إلى عدم اليقين ، من الممكن تطبيق قاعدة L'Hospital. في الحالة العامة ، يمكن الكشف عن عدم اليقين بالصيغة $ \ frac (0) (0) $ عن طريق تحليل البسط والمقام إلى عوامل ثم تقليلها. يمكن حل عدم تحديد الشكل $ \ frac (\ infty) (\ infty) $ بعد قسمة التعبيرات في البسط والمقام على المتغير الذي توجد عنده أعلى قوة.
حدود ملحوظة
- الحد الأول الملحوظ:
$ (\ mathop (lim) _ (x \ to 0) \ frac (sinx) (x) \) = 1 $
- الحد الثاني الرائع:
$ \ mathop (lim) _ (x \ to 0) ((1 + x)) ^ (\ frac (1) (x)) = e $
حدود خاصة
- الحد الخاص الأول:
$ \ mathop (lim) _ (x \ to 0) \ frac (((log) _a (1 + x -) \)) (x) = ((log) _a e \) = \ frac (1) (lna ) $
- الحد الخاص الثاني:
$ \ mathop (lim) _ (x \ to 0) \ frac (a ^ x-1) (x) = lna $
- الحد الخاص الثالث:
$ \ mathop (lim) _ (x \ to 0) \ frac (((1 + x)) ^ (\ mu) -1) (x) = \ mu $
استمرارية الوظيفة
التعريف 2
تسمى الدالة $ f (x) $ متصلة عند نقطة $ x = x_0 $ إذا $ \ forall \ varepsilon> (\ rm 0) $ $ \ موجود \ دلتا (\ varepsilon، E_ (0))> (\ rm 0) $ مثل هذا $ \ left | f (x) -f (x_ (0)) \ right |
الدالة $ f (x) $ متصلة عند النقطة $ x = x_0 $ إذا كان $ \ mathop ((\ rm lim \؛)) \ limits _ ((\ rm x) \ to (\ rm x) _ ((\ rm 0)) f (x) = f (x_ (0)) $.
النقطة $ x_0 \ in X $ تسمى نقطة انقطاع من النوع الأول إذا كانت لها حدود محدودة $ (\ mathop (lim) _ (x \ to x_0-0) f (x_0) \) $، $ (\ mathop (ليم) _ (x \ to x_0 + 0) f (x_0) \) $ ، لكن $ (\ mathop (lim) _ (x \ to x_0-0) f (x_0) \) = (\ mathop (lim) _ (x \ to x_0 + 0) f (x_0) \) = f (x_0) $
علاوة على ذلك ، إذا كان $ (\ mathop (lim) _ (x \ to x_0-0) f (x_0) \) = (\ mathop (lim) _ (x \ to x_0 + 0) f (x_0) \) \ ne f (x_0) $ ، فهذه نقطة فاصل ، وإذا كان $ (\ mathop (lim) _ (x \ to x_0-0) f (x_0) \) \ ne (\ mathop (lim) _ (x \ to x_0 + 0) f (x_0) \) $ ، ثم نقطة قفزة الوظيفة.
النقطة $ x_0 \ in X $ تسمى نقطة توقف من النوع الثاني إذا كانت تحتوي على واحد على الأقل من الحدود $ (\ mathop (lim) _ (x \ to x_0-0) f (x_0) \) $، $ (\ mathop (lim) _ (x \ to x_0 + 0) f (x_0) \) $ يمثل اللانهاية أو غير موجود.
مثال 2
ابحث عن الاستمرارية $ y = \ frac (2) (x) $
المحلول:
$ (\ mathop (lim) _ (x \ to 0-0) f (x) \) = (\ mathop (lim) _ (x \ to 0-0) \ frac (2) (x) \) = - \ infty $ - تحتوي الوظيفة على نقطة فاصل من النوع الثاني.
البنيةهو فرع من فروع الرياضيات يتعامل مع دراسة الحدود واستمرارية الوظائف. جنبا إلى جنب مع الجبر ، تشكل الطوبولوجيا الأساس العام للرياضيات.
الفضاء الطوبولوجي أو الشكل -مجموعة فرعية من مساحتنا الإقليدية المتجانسة ، بين النقاط التي تعطى بعض علاقة القرب. لا تعتبر الأشكال هنا أجسامًا صلبة ، ولكن كأشياء مصنوعة ، كما كانت ، من مطاط مرن للغاية ، مما يسمح بالتشوه المستمر ، ويحافظ على خصائصها النوعية.
يسمى التعيين المستمر للأشكال واحد لواحد التماثل. وبعبارة أخرى ، فإن الأرقام متماثل، إذا كان من الممكن تحويل أحدهما إلى آخر عن طريق التشوه المستمر.
أمثلة. الأشكال التالية متماثلة الشكل (الأرقام من مجموعات مختلفة ليست متماثلة الشكل) ، كما هو موضح في الشكل. 2.
1. قطعة ومنحنى بدون تقاطعات ذاتية.
2. دائرة ، مربع من الداخل ، شريط.
3. سطح كروي ومكعب ورباعي السطوح.
4. دائرة ، قطع ناقص ودائرة معقودة.
5. حلقة على مستوى (دائرة بها ثقب) ، حلقة في الفضاء ، حلقة ملتوية مرتين ، السطح الجانبي للأسطوانة.
6. قطاع موبيوس ، أي مرة واحدة حلقة ملتوية ، وحلقة ملتوية ثلاث مرات.
7. سطح طارة (دونات) ، وكرة بمقبض ، وحلقة معقودة.
8. كرة بمقبضين وقطعة بسكويت مملوءة بفتحتين.
في التحليل الرياضي ، تدرس الوظائف بطريقة الحدود. المتغير والحد هي المفاهيم الأساسية.
في ظواهر مختلفة ، تحتفظ بعض الكميات بقيمتها العددية ، بينما يتغير البعض الآخر. تسمى مجموعة كل القيم العددية للمتغير نطاق هذا المتغير.
من بين الطرق المختلفة التي يتصرف بها المتغير ، فإن الأهم هو الطريقة التي يميل فيها المتغير إلى حد معين.
رقم ثابت أاتصل متغير سإذا كانت القيمة المطلقة للفرق بين xو أ() في عملية تغيير المتغير xصغير بشكل تعسفي:
ماذا تعني عبارة "صغيرة بشكل تعسفي"؟ عامل Xيميل إلى الحد الأقصى أ، إذا كان لأي رقم صغير بشكل تعسفي (صغير بشكل تعسفي) هناك لحظة في تغيير المتغير X، بدءا من عدم المساواة .
تعريف النهاية له معنى هندسي بسيط: عدم المساواة يعني أن Xيقع في حي النقطة أ, أولئك. في الفترة .
وبالتالي ، يمكن إعطاء تعريف الحد في شكل هندسي:
رقم أهو حد المتغير X، إذا كان لأي حي صغير تعسفيًا (صغيرًا بشكل تعسفي) من العدد أيمكنك تحديد هذه اللحظة في تغيير المتغير Xتبدأ من حيث تقع جميع قيمها في الحي المحدد للنقطة أ.
تعليق. عامل Xيمكن أن يقترب من حده بطرق مختلفة: البقاء أقل من هذا الحد (على اليسار) ، والمزيد (على اليمين) ، والتأرجح حول قيمة النهاية.
حد التسلسل
دوريسمى القانون (القاعدة) الذي بموجبه كل عنصر xمجموعة بعض Xيطابق عنصرًا واحدًا ذمجموعات ص.
يمكن تحديد الوظيفة على مجموعة من جميع الأعداد الطبيعية:. تسمى هذه الوظيفة دالة الحجة الطبيعيةأو التسلسل العددي.
نظرًا لأن التسلسل ، مثل أي مجموعة لا نهائية ، لا يمكن تحديده عن طريق التعداد ، يتم تحديده بواسطة عضو مشترك: ، أين هو المصطلح الشائع للتسلسل.
المتغير المنفصل هو عضو شائع في التسلسل.
بالنسبة للتسلسل ، فإن الكلمات "بدءًا من نقطة ما" تعني الكلمات "بدءًا من رقم ما".
رقم أيسمى حد التسلسل ، إذا كان لأي رقم صغير تعسفيًا (صغيرًا بشكل تعسفي) يوجد مثل هذا الرقم ن، والتي لجميع أعضاء التسلسل مع الرقم ن>نعدم المساواة .
أو في .
هندسيًا ، يُقصد بتعريف حد التسلسل ما يلي: لأي حي صغير عشوائيًا (صغيرًا عشوائيًا) لرقم أيوجد رقم بحيث تكون جميع شروط التسلسل أكبر من ن، الأرقام ، تقع في هذا الحي. خارج الحي ليس سوى عدد محدود من المصطلحات الأولية للتسلسل. عدد طبيعي نيعتمد على : .