Si të përcaktohet shpejtësia e çdo pike të një figure të rrafshët. Përcaktimi i shpejtësive të pikave të një figure të rrafshët. Lëvizja planare e një trupi të ngurtë
![Si të përcaktohet shpejtësia e çdo pike të një figure të rrafshët. Përcaktimi i shpejtësive të pikave të një figure të rrafshët. Lëvizja planare e një trupi të ngurtë](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/356.png)
Kujtoni se lëvizja e një figure të sheshtë mund të konsiderohet si një shumë e lëvizjes përkthimore së bashku me polin dhe lëvizjen rrotulluese rreth polit.
Sipas kësaj shpejtësia e një pike arbitrare M të një figure të rrafshët është gjeometrikisht shuma e shpejtësisë së një pike A, e marrë si pol, dhe shpejtësisë që pika M merr kur figura rrotullohet rreth këtij poli, dmth.
Në të njëjtën kohë, shpejtësia VMA përkufizohet si shpejtësia e një pike M kur një trup rrotullohet rreth një boshti fiks që kalon nëpër një pikë POR pingul me planin e lëvizjes (shih § 7.2), d.m.th.
Kështu, nëse dihet shpejtësia e polit VA dhe shpejtësia këndore e trupit w, atëherë
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/356.png)
shpejtësia e çdo pike M e trupit përcaktohet në përputhje me barazinë (8.2), diagonalja e paralelgramit të ndërtuar mbi vektorët VA dhe VMA, si në anët (Fig. 8.3), dhe moduli i shpejtësisë V M llogaritur me formulë
ku y është këndi ndërmjet vektorëve VA dhe VMA
Problemi 8.1. Rrota rrotullohet në një sipërfaqe të fiksuar pa rrëshqitur (Fig. 8.4, a). Gjeni pikat e shpejtësisë te dhe D rrotat nëse dihet shpejtësia Vc Rrota qendrore C, rrezja R rrota, distanca COP = b dhe këndi a.
Zgjidhje. 1. Lëvizja e rrotës në shqyrtim është plan-paralele. Marrja e pikës C si pol (pasi shpejtësia e saj dihet), në përputhje me barazinë e përgjithshme (8.2), për pikën te ne mund të shkruajmë
Megjithatë, nuk ka asnjë mënyrë për të përcaktuar vlerën V KC, meqë shpejtësia këndore është e panjohur.
Për të përcaktuar w, merrni parasysh shpejtësinë e një pike tjetër, përkatësisht pikës R duke prekur rrotën në një sipërfaqe fikse (Fig. 8.4, b). Për këtë pikë, mund të shkruajmë barazinë
tipar pikë R është fakti që në këtë moment kohor Vp - 0, pasi rrota rrotullohet pa rrëshqitur. Atëherë barazia (b) merr formën
![](https://i0.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/360.png)
nga ku marrim
Nga këtu rrjedh: 1) vektorët e shpejtësisë V PC dhe Vc duhet të drejtohet në drejtime të kundërta; 2) nga barazia e moduleve V PC - V shek marrim uPC = V c, nga këtu gjejmë w = Vc /PC = Vc /R. Sipas drejtimit të vektorit V PC përcaktoni drejtimin e shigjetës së harkut w dhe tregoni atë në vizatim (Fig. 8.4, b).
Tani kthehemi te përkufizimi V K nga barazia (a). Ne gjejme
Vks \u003d rreth KS - V ^ b / R. Duke ditur drejtimin e shpejtësisë këndore ω, ne përshkruajmë vektorin V KC pingul me segmentin KS dhe kryejnë ndërtimin e një paralelogrami mbi vektorët Vc dhe V KC(Fig. 8.4, në). Meqenëse në këtë rast Vc dhe V KC reciprokisht pingul, më në fund gjejmë
2. Shpejtësia e pikës D në buzën e rrotës, ne përcaktojmë nga barazia V D = V C + V DC . Meqenëse numerikisht VDC - bashkë R - V c , pastaj paralelogrami i ndërtuar mbi vektorët Vc dhe VDC, do të jetë një romb. Këndi ndërmjet Vc dhe VDCështë e barabartë me 2a. Duke përcaktuar V D si gjatësia e diagonales përkatëse të rombit, marrim
Teorema mbi projeksionet e shpejtësive të dy pikave të një trupi të ngurtë
Sipas barazisë (8.2) për dy_ pikë arbitrare POR dhe AT trup i ngurtë barazia V B \u003d V A + V B A, në përputhje me të cilën kryejmë ndërtimin e paraqitur në Fig. 8.5. Projektimi i kësaj barazie në bosht Az, për qëllim A B marrim Mendje + VBAz. Duke qenë se vektori VBA pingul me vijën
A B Gjej
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/366.png)
Ky rezultat shpreh teoremën: projeksionet e shpejtësive të dy pikave të një trupi të ngurtë në boshtin që kalon nëpër këto pika janë të barabarta me njëra-tjetrën.
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/367.png)
Vëmë re se barazia (8.5) pasqyron matematikisht faktin që trupi konsiderohet absolutisht i ngurtë dhe distancën midis pikave POR dhe AT nuk ndryshon. Kjo është arsyeja pse barazia (8.5) plotësohet jo vetëm për plan-paralel, por edhe për çdo lëvizje të një trupi të ngurtë.
Problemi 8.2. Kacavjerrës POR dhe AT, të lidhura me një shufër me menteshat në skajet, ato lëvizen përgjatë udhëzuesve pingulë reciprokisht në rrafshin e vizatimit (Fig. 8.6, a). Përcaktoni në një kënd të caktuar a shpejtësinë e një pike AT, nëse dihet shpejtësia V A.
Zgjidhje. Le të vizatojmë boshtin x nëpër pika POR dhe AT. Duke ditur drejtimin VA,
gjeni projeksionin e këtij vektori në vijë AB: V Ax - V A cos a (në Fig. 8.6, b kjo do të jetë një prerje Ah). Më tej në vizatim nga pika AT shtyj Bb - Aa(për shkak se segmenti Ah e vendosur në boshtin x në të djathtë të pikës POR, pastaj segmenti Bb lënë mënjanë nga pika AT në boshtin x në të djathtë). Ringjallja në pikën b pingul me një vijë AB, gjeni pikën fundore të vektorit V B.
Sipas teoremës së projeksionit VA cos a = K^cosp. Prej këtu (duke marrë parasysh që Р = 90 ° - a) marrim përfundimisht V B = VA cos a/cos(90° - a) ose V B = = VA ctg a.
Përcaktimi i shpejtësive pika duke përdorur qendrën e menjëhershme të shpejtësive
Për të përcaktuar shpejtësinë e pikave të një figure të rrafshët, zgjedhim çdo pikë si pol R. Pastaj, sipas formulës
(8.2), shpejtësia e një pike arbitrare M përkufizohet si shuma e dy vektorëve:
Nëse shpejtësia e shtyllës R në një kohë të caktuar ishte e barabartë me zero, atëherë ana e djathtë e kësaj barazie do të përfaqësohej me një term Në MR dhe shpejtësia e çdo pike do të përkufizohej si shpejtësia e një pike M trupi ndërsa rrotullohet rreth një pol fiks R.
Prandaj, nëse zgjedhim pikën si pol R, shpejtësia e të cilit është zero në një kohë të caktuar, atëherë modulet e shpejtësive të të gjitha pikave të figurës do të jenë proporcionale me largësitë e tyre me polin P, dhe drejtimet e vektorëve të shpejtësisë së të gjitha pikave do të jenë pingul me vijat e drejta që lidhin pikën në shqyrtim dhe polin P. Natyrisht, llogaritja me formula (8.6) është shumë më e thjeshtë se llogaritja me formulën e përgjithshme (8.2).
Pika e një figure të sheshtë, shpejtësia e së cilës në një moment të caktuar kohor është zero, quhet qendra e menjëhershme e shpejtësive (MCS).Është e lehtë të verifikohet se nëse figura lëviz në mënyrë jo përkthimore, atëherë një pikë e tillë ekziston në çdo moment të kohës dhe, për më tepër, është unike. Vini re se qendra e menjëhershme e shpejtësive mund të vendoset si në vetë figurën ashtu edhe në vazhdimin e saj mendor.
Shqyrtoni mënyra për të përcaktuar pozicionin e qendrës së menjëhershme të shpejtësive.
1. Lëreni në momentin e kohës tkërcimi i një figure të rrafshët, shpejtësia e saj këndore ω dhe shpejtësia VA ndonjë nga pikat e tij POR(Fig. 8.7, a). Pastaj zgjidhni një pikë POR si pol,_shpejtësia_e pikës që kërkojmë R mund të përcaktohet me formulë Vp = VA + VpA -
Problemi është të gjesh një pikë të tillë R, në të cilën V P=0, kështu për të V A + U RL=0 dhe kështu Y RA \u003d -Y A. Prandaj, për pikën R shpejtësia Në RA cila pikë R fitohet duke rrotulluar figurën rreth shtyllës POR, dhe shpejtësia A polet POR të barabartë në modul (Y RA = Y A) ose rreth ZAR = U A dhe në drejtim të kundërt. Përveç kësaj, pika R duhet të shtrihet pingul me vektorin Në A. Përcaktimi i pozicionit të një pike R kryhet si më poshtë: nga pika POR(Fig. 8.7, b) vendosni një pingul me vektorin A dhe vendos një distancë mbi të AR = Y A/co në anën tjetër të pikës POR, ku vektori do të "tregojë" Në Dhe, nëse rrotullohet 90 ° në drejtim të shigjetës së harkut bashkë.
Qendra e menjëhershme e shpejtësive është e vetmja pikë në një figurë të rrafshët, shpejtësia e së cilës në një kohë të caktuar është zero.
![](https://i0.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/370.png)
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/371.png)
Në një moment tjetër të kohës, qendra e menjëhershme e shpejtësive mund të jetë tashmë një pikë tjetër e figurës së rrafshët.
2. Le të dihen drejtimet e shpejtësive VA dhe në(Fig. 8.8, a) dy pika POR dhe AT figura e rrafshët (për më tepër, vektorët e shpejtësisë së këtyre pikave nuk janë paralele), ose dihen zhvendosjet elementare të këtyre pikave. Qendra e menjëhershme e shpejtësive do të vendoset në pikën e kryqëzimit të pinguleve të ngritura nga pikat A dhe B me shpejtësitë e këtyre pikave (ose në zhvendosjet elementare të pikave). Një ndërtim i tillë është paraqitur në Fig. 8.8, b. Ajo bazohet në faktin se për çdo pikë A dhe B shifrat e dispozitave të zbatueshme (8.6):
Nga këto barazi rezulton se
Duke ditur pozicionin e MCC dhe shpejtësinë këndore të trupit, duke zbatuar formulat (8.6), është e lehtë të përcaktohet shpejtësia e çdo pike të këtij trupi. Për shembull, për një pikë te(shih fig. 8.8, b) shpejtësia e modulit V K =coKP, vektoriale U të drejtuar pingul me një vijë të drejtë KR në përputhje me
drejtimi i shigjetës së harkut y.
Rrjedhimisht, shpejtësitë e pikave të një figure të sheshtë përcaktohen në një moment të caktuar kohor sikur kjo shifër të rrotullohej rreth qendrës së menjëhershme të shpejtësive.
3. Nëse shpejtësia tregon POR dhe AT figurat e planit janë paralele me njëra-tjetrën, atëherë janë të mundshme tre opsione, të cilat janë paraqitur në Fig. 8.9. Për rastet kur direkt AB pingul me vektorët VA dhe V B(Fig. 8.9, a, b) ndërtimet bazohen në proporcionin (8.7).
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/374.png)
Nëse shpejtësia e pikave Lee V paralele dhe të drejta AB_nt pingul VPOR(Fig. 8.9, në), pastaj pingulet tek U A dhe V B janë paralele dhe qendra e menjëhershme e shpejtësive është në pafundësi (AP= oo); shpejtësia këndore e rrotullimit të figurës w = VJAP=VA/cc= 0. Në këtë rast, shpejtësitë e të gjitha pikave të figurës në një moment të caktuar kohor janë të barabarta me njëra-tjetrën, d.m.th., figura ka një shpërndarje të shpejtësive si në lëvizjen përkthimore. Kjo gjendje e lëvizjes quhet në çast progresive. Vini re se në këtë gjendje, përshpejtimet e të gjitha pikave të trupit nuk do të jenë të njëjta.
4. Nëse lëvizja e rrafshët e trupit kryhet duke u rrotulluar pa rrëshqitur në një sipërfaqe të palëvizshme (Fig. 8.10), atëherë pika e kontaktit R do të jetë qendra e menjëhershme e shpejtësive (shih problemin 8.1).
Problemi 8.3. Mekanizmi i sheshtë përbëhet nga 7 shufra, 2, 3, 4 dhe zvarritës AT(Fig. 8.11), të lidhura me njëri-tjetrin dhe me mbështetëse të fiksuara 0 { dhe 0 2 mentesha; pika Dështë në mes të shufrës AB. Gjatësia e shufrës: / 2 = 0,4 m, / 2 = 1,2 m, / 3 = 0,7 m, / 4 = 0,3 m dhe e drejtuar në drejtim të kundërt të akrepave të orës. Përcaktoni V A , V B , V D , V E , oo 2 , co 3 , në 4 dhe pikë shpejtësinë te në mes të shufrës DE (DK = KE).
Zgjidhje. Në mekanizmin në shqyrtim, shufrat 7, 4 bëni një lëvizje rrotulluese AT- progresive, dhe shufra 2, 3 -
lëvizje plan-paralele.
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/375.png)
Shpejtësia e pikës POR ne përcaktojmë se i përket shufrës 7, e cila kryen një lëvizje rrotulluese:
Merrni parasysh lëvizjen e shufrës 2. Shpejtësia e pikës PORështë përcaktuar, dhe drejtimi i shpejtësisë së pikës AT për faktin se njëkohësisht i takon shufrës 2 dhe gjinia -
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/377.png)
Zun duke lëvizur përgjatë udhërrëfyesve. Tani, duke u rikthyer nga pikat POR dhe AT pingul me A dhe drejtimin e lëvizjes së rrëshqitësit AT, gjeni pozicionin e pikës C 2 - MCS e shufrës 2.
Në drejtim të vektorit U A duke pasur parasysh se në pozicionin e konsideruar të mekanizmit, shufra 2 rrotullohet rreth pikës C 2, ne përcaktojmë drejtimin e shpejtësisë këndore nga 2 shufra 2 dhe gjeni vlerën e saj numerike (o 2 = V a / AC 2 \u003d 0,8 / 1,04 \u003d 0,77 s -1, ku AC 2 - AB mëkati 60 ° \u003d 1,04 m (do të marrim kur marrim parasysh A AC ~, B).
Tani ne përcaktojmë vlerat numerike dhe drejtimet e shpejtësive të pikave AT dhe D kallam 2 (sepse ABDC 2 atëherë barabrinjës BC 2 - DC 2 - - 0,6 m):
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/378.png)
Merrni parasysh lëvizjen e shufrës 3. Shpejtësia e pikës D i njohur. Që nga pika E i takon shufrës në të njëjtën kohë 4, duke rrotulluar rreth një boshti 0 4 , pastaj Y e 10 4 E. Pastaj, duke kaluar nëpër pika D dhe E vija të drejta pingul me shpejtësinë V D w V E , gjeni pozicionin e pikës C 3 - MCS e shufrës
3. Në drejtim të vektorit V D, duke parë nga një pikë fikse С 3 , përcaktojmë drejtimin e shpejtësisë këndore с 3 , dhe gjejmë vlerën numerike të saj (duke përcaktuar më parë nga AZ) C 3 ? segmenti Z)C 3 = DEsin 30 ° \u003d 0,35 m): co 3 \u003d V d / C 3 D \u003d 1,32 s -1.
Për të përcaktuar shpejtësinë e një pike te le të vizatojmë një vijë të drejtë COP 3 dhe duke pasur parasysh atë AR K Nga 3 barabrinjës ( COP 3 = 0,35 m), llogarit Y k \u003d \u003d 0,462 m / s, U në AKS 3.
Konsideroni lëvizjen e shufrës_4 që rrotullohet rreth boshtit 0 4 . Njohja e drejtimit dhe e vlerës numerike V E , gjejmë drejtimin dhe vlerën e shpejtësisë këndore nga 4: nga 4 \u003d V e / 0 4 E - 2.67 s
Përgjigje: VA= 0,8 m/s, V B = V D= 0,462 m/s, V E = 0,8 m / s, co 2 \u003d 0,77 s "1, co 3 \u003d 1,32 s -1, (o 4 \u003d 2,67 s -1, drejtimet e këtyre sasive tregohen në Fig. 8.11.
Shënim.Në një mekanizëm të përbërë nga disa trupa, çdo trup që nuk lëviz në mënyrë të përkthimit në një moment të caktuar kohor ka qendrën e tij të menjëhershme të shpejtësive dhe shpejtësinë e tij këndore.
Problemi 8.4. Mekanizmi i sheshtë përbëhet nga shufra 1, 2, 3 dhe një rul që rrotullohet pa rrëshqitur në një plan fiks (Fig. 8.12, a). Lidhjet e shufrave midis tyre dhe shufrës 3 në pistën e patinazhit në pikë D- i varur. Gjatësia e shufrës: 1 { - 0,4 m, / 2 = 0,6 m, / 3 = 0,8 m Për këndet e dhëna a = 60°, B = 30°, vlerat dhe drejtimet e këndores O shesh patinazhi në akull V0= 0,346 m/s, ZABD= 90°. Përcaktoni shpejtësinë e pikës AT dhe shpejtësia këndore nga 2 .
Zgjidhje. Mekanizmi ka dy shkallë lirie (pozicioni i tij përcaktohet nga dy kënde a dhe p, të pavarur nga njëri-tjetri) dhe shpejtësia e pikës AT(pika e përbashkët e shufrave 2 dhe 3) varet nga shpejtësia e pikave POR dhe D.
Duke marrë parasysh lëvizjen e shufrës /, n gjejmë drejtimin dhe vlerën e shpejtësisë së pikës A: V A= coj/j = 0,8 m/s, V a AjO (A.
Merrni parasysh lëvizjen e rulit. Qendra e tij e menjëhershme e shpejtësive ndodhet në pikën R; pastaj V D gjeni nga proporcioni
Që nga A DOP izosceles dhe këndet akute në të janë të barabartë me 30 °, atëherë PD- 2OP cos 30° = ORl/ 3. Nga barazia (a) gjejmë VD- 0,6 m/s. Vektor V D drejtuar pingul D.P.
Që nga pika AT i përket njëkohësisht shufrave AB dhe BD, atëherë, sipas teoremës së projeksionit të shpejtësisë, duhet të jetë: 1) projeksioni i vektorit. në drejtpërdrejt A B A(segmenti i linjës Ah në fig. 8.12, a), dmth. A cos a = 0,4 m/s; 2) projeksion vektorial në drejtpërdrejt D.B.është e barabartë me projeksionin në këtë vijë të vektorit 0(segmenti i linjës Dd në fig. 8.12, a), dmth. 0 cos y = 0,3 m/s (y = 60°).
Le ta zgjidhim grafikisht. Lini mënjanë nga pika AT prerje në drejtimet përkatëse Bb (= Aa dhe Bb 2 = Dd. Shpejtësia e pikës ATështë e barabartë me shumën e vektorëve V B = Bb + Bbj. Rivendosja nga një pikë b ( pingul me Bb x, dhe nga
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/380.png)
pikë b 2 - pingul me Bb 2. Pika e kryqëzimit të këtyre pingulave përcakton fundin e vektorit të dëshiruar V B.
Që nga drejtimet e segmenteve Bb dhe Bb 2 reciprokisht pingul, atëherë
Ne përcaktojmë nga 2. Në fig. 8.12, b tregohet i ashtuquajturi plan i shpejtësisë, i cili paraqet grafikisht barazinë e vektorit
ku vektorët VA dhe V B të përcaktuara (shih Fig. 8.12, a), dhe drejtimin VBA pingul me shufrën AB. Nga vizatimi (Fig. 8.12, b) Gjej
Tani përcaktojmë me 2 = V ba / AB- 1,66 s -1 (drejtimi nga 2 - në drejtim të kundërt të akrepave të orës).
Përgjigje: VB- 0,5 m / s, co 2 \u003d 1,66 s -1.
U vu re se lëvizja e një figure të sheshtë mund të konsiderohet si një shumë e lëvizjes përkthimore, në të cilën të gjitha pikat e figurës lëvizin me shpejtësinë e polit. POR, dhe nga një lëvizje rrotulluese rreth atij pol. Le të tregojmë se shpejtësia e çdo pike M figurat formohen gjeometrikisht nga shpejtësitë që merr pika në secilën prej këtyre lëvizjeve.
Në të vërtetë, pozicioni i çdo pike M figurat janë të përcaktuara në lidhje me boshtet Ohu vektori i rrezes (Fig. 30), ku është vektori i rrezes së polit POR, - vektor që përcakton pozicionin e pikës M rreth sëpatave që lëvizin me shtyllë POR përkthimore (lëvizja e figurës në lidhje me këto boshte është një rrotullim rreth polit POR). Pastaj
Në barazinë që rezulton, sasia është shpejtësia e polit POR; vlera është e barabartë me shpejtësinë që pika M merr në , d.m.th. rreth boshteve, ose, me fjalë të tjera, kur figura rrotullohet rreth shtyllës POR. Kështu, vërtet rrjedh nga barazia e mëparshme se
pika e shpejtësisë M fitohet duke rrotulluar figurën rreth shtyllës POR:
ku është shpejtësia këndore e figurës.
Pra, shpejtësia e çdo pike M figura e rrafshët është gjeometrikisht e përbërë nga shpejtësia e një pike tjetër POR marrë si pol, dhe shpejtësia që pika M merr kur figura rrotullohet rreth këtij poli. Moduli dhe drejtimi i shpejtësisë gjenden duke ndërtuar paralelogramin përkatës (Fig. 31).
Fig.30 Fig.31
23. Në fakt, ekuacioni i lëvizjes përkthimore të një trupi të ngurtë është ekuacioni i ligjit të dytë të Njutonit: Duke përdorur ekuacionet:
Dhe ne marrim.
24. Në këtë rast, komponentët
- momenti i forcave të jashtme të drejtuara përgjatë x dhe y, kompensohen nga momentet e forcave të reaksionit të fiksimit.
Rrotullimi rreth një boshti z ndodh vetëm nën
6.4 6.5
Lëreni një trup të rrotullohet rreth një boshti z.Merrni ekuacionin e dinamikës për një pikë m i ky trup në distancë R i nga boshti i rrotullimit. Në të njëjtën kohë, mbani mend këtë
Drejtuar gjithmonë përgjatë boshtit të rrotullimit z, kështu që në vijim do të heqim ikonën z.
Meqenëse të gjitha pikat janë të ndryshme, ne prezantojmë vektorin e shpejtësisë këndore dhe
Meqenëse trupi është absolutisht i ngurtë, në procesin e rrotullimit m i dhe R i do të mbetet e pandryshuar. Pastaj:
Shënoni I i – momenti i inercisë pikë në një distancë R nga boshti i rrotullimit:
Meqenëse trupi përbëhet nga një numër i madh pikash dhe të gjitha ato janë në distanca të ndryshme nga boshti i rrotullimit, atëherë momenti i inercisë së trupit është:
ku R- largësia nga boshti z te d m. Siç mund ta shihni, momenti i inercisë Iështë një sasi skalare.
Duke përmbledhur mbi të gjitha i- pikë,
merrni ose - Kjo ekuacioni master
dinamika e një trupi që rrotullohet rreth një boshti fiks.
26) Momenti këndor i një trupi të ngurtë.
Momenti këndor është shuma vektoriale e momentit këndor të të gjitha pikave materiale të trupit në lidhje me boshtin fiks.
Nëse boshti i rrotullimit të një trupi të ngurtë është i fiksuar, atëherë momenti i forcës pingul me këtë bosht () për shkak të forcave të fërkimit në kushineta do të jetë gjithmonë zero.
Shpejtësia e ndryshimit të momentit këndor të një trupi të ngurtë përgjatë boshtit të rrotullimit, i cili është i fiksuar, është i barabartë me momentin rezultues të forcave të jashtme të drejtuara përgjatë këtij boshti.
- Momenti i inercisë.
28) Momenti i forcave të fërkimit të rrotullimit është ligji i Kulombit. Koeficienti i fërkimit të rrotullimit.
Fërkimi i rrotullimit. Ekzistenca e fërkimit të rrotullimit mund të vërtetohet eksperimentalisht, për shembull, kur studiohet rrokullisja e një cilindri të rëndë me rreze në një plan horizontal.
Nëse cilindri dhe rrafshi janë trupa të fortë me sipërfaqe të përafërt (Fig. 55, a), atëherë kontakti i tyre do të ndodhë në një pikë, forca N balancon gravitetin P dhe forca horizontale Q dhe forca e fërkimit F formojnë një çift. të forcave (Q, F) me të cilat cilindri duhet të fillojë të lëvizë në çdo madhësi të forcës Q. Në realitet, cilindri fillon të lëvizë pasi madhësia e forcës Q tejkalon vlerën kufitare Ql.
Ky fakt mund të shpjegohet nëse supozojmë se cilindri dhe rrafshi janë të deformuar. Pastaj kontakti i tyre do të ndodhë përgjatë një zone ose vrime të vogël (në Fig. 55, b, një zonë e vogël tregohet nga seksioni i saj). Ndërsa forca Q rritet, qendra e presionit do të lëvizë nga mesi i seksionit në të djathtë. Si rezultat, formohet një palë forcash (P,N), e cila pengon cilindri të fillojë të lëvizë. Në gjendjen e ekuilibrit limit, një çift forcash (Ql,F) me një moment Ql·r dhe një çift (P,N) që e balancojnë atë me një moment N·δ veprojnë në cilindër, ku δ është vlera e zhvendosja maksimale. Nga barazia e momenteve të çifteve të forcave gjejmë (6)
Ndërsa Q
Zakonisht oriz. 55, b thjeshtohet duke mos paraqitur mbi të zhvendosjen e pikës së aplikimit të reaksionit normal, duke i shtuar forcat në fig. 55, disa forca që parandalojnë rrokullisjen e cilindrit, siç tregohet në fig. 55, f.
Momenti i këtij çifti forcash quhet momenti i fërkimit rrotullues, është i barabartë me momentin e një çifti forcash (P,N): (7)
Vlera e zhvendosjes maksimale të pikës së aplikimit të reaksionit normal të përfshirë në formulat (6) dhe (7) δ quhet koeficienti i fërkimit të rrotullimit. Ka dimensionin e gjatësisë dhe përcaktohet në mënyrë eksperimentale. Këtu janë vlerat e përafërta të këtij koeficienti (në metra) për disa materiale: dru në dru δ = 0,0005-0,0008; çelik i butë në çelik (rrota në hekurudhë) - 0,00005; çelik i ngurtësuar në çelik (mbajtëse topash) - 0,00001.
Raporti δ/r në formulën (6) për shumicën e materialeve është shumë më i vogël se koeficienti i fërkimit statik f0. Prandaj, në teknologji, sa herë që është e mundur, ato tentojnë të zëvendësojnë rrëshqitjen me rrotullim (rrota, rula, kushineta topash, etj.).
Ligji Amonton-Coulomb
Artikulli kryesor: Ligji i Kulombit (mekanika)
Të mos ngatërrohet me ligjin e Kulombit!
Karakteristika kryesore e fërkimit është koeficienti i fërkimit μ, i cili përcaktohet nga materialet nga të cilat janë bërë sipërfaqet e trupave ndërveprues.
Në rastet më të thjeshta, forca e fërkimit F dhe ngarkesa normale (ose forca normale e reagimit) Normale lidhen nga një pabarazi që shndërrohet në barazi vetëm në prani të lëvizjes relative. Ky raport quhet ligji Amonton-Coulomb.
3.5.1. Metoda e poleve
Meqenëse lëvizja e një figure të sheshtë mund të konsiderohet si një përbërje e përkthimit, kur të gjitha pikat e figurës lëvizin në të njëjtën mënyrë si poli POR me shpejtësi , dhe lëvizje rrotulluese rreth polit, pastaj shpejtësia e çdo pike AT shifrat përcaktohen nga shuma vektoriale e shpejtësive (Fig. 23).
, (65)
ku është shpejtësia e polit të pikës POR;
Shpejtësia e pikës AT kur rrotullohet një figurë rreth polit të një pike POR(duke supozuar se është fikse) është numerikisht i barabartë me
AT pingul VA në drejtim të rrotullimit të shpejtësisë këndore (Fig. 23).
Vlera numerike e shpejtësisë së pikës AT përcaktojnë me ligjin e kosinusit
ku është këndi ndërmjet vektorëve dhe , н .
![](https://i2.wp.com/konspekta.net/lektsiiorgimg/baza15/4407252846986.files/image493.jpg)
Barazia e projeksioneve është pasojë e pandryshueshmërisë së distancës ndërmjet pikave POR dhe AT që i përket një trupi të ngurtë, kështu që barazia do të jetë e vërtetë për çdo lëvizje të një trupi të ngurtë.
3.5.2. Metoda e qendrës së menjëhershme të shpejtësive (IMS)
Qendra e menjëhershme e shpejtësive është pika R një figurë e sheshtë, shpejtësia e së cilës në një kohë të caktuar është zero. Shpejtësia e të gjitha pikave të tjera të një figure të sheshtë në një moment të caktuar kohe përcaktohen sikur lëvizja e figurës të ishte rrotulluese në raport me pikën R(Fig. 25).
|
![](https://i0.wp.com/konspekta.net/lektsiiorgimg/baza15/4407252846986.files/image495.jpg)
Sipas metodës së poleve, shpejtësia e pikës AT do të jetë e barabartë me
. (69)
Meqenëse shpejtësia e shtyllës (MCS) pika Rështë e barabartë me zero (), atëherë
Vektori i shpejtësisë drejtohet nga pika AT pingul VR në drejtim të rrotullimit të shpejtësisë këndore w.
Një barazi e ngjashme mund të përfaqësohet për të gjitha pikat e një figure të rrafshët, kështu që shpejtësitë e pikave të një figure të rrafshët janë proporcionale me largësitë e tyre me MCS.
Për të përcaktuar pozicionin (MCS) të një figure të sheshtë, kërkohet të dihet drejtimi i vijave përgjatë të cilave veprojnë vektorët e shpejtësisë së pikave. POR dhe AT(dhe). MCC për këtë figurë do të vendoset në pikën e kryqëzimit të pinguleve të rivendosura në këto vija.
Për të gjetur shpejtësinë e një pike AT, sipas figurës 25, kërkohet të dihet shpejtësia e pikës POR. Atëherë shpejtësia këndore e figurës në një moment të caktuar kohor do të jetë
ku AR– largësia e pikës POR drejt e në temë R, përcaktohet sipas të dhënave fillestare.
Shpejtësia këndore nën veprimin e shpejtësisë në raport me polin e një pike R drejtuar në drejtim të akrepave të orës.
Shpejtësia e pikës AT në këtë moment do të jetë
Vektori i shpejtësisë së pikës AT() drejtuar pingul me vijën RV në drejtim të rrotullimit të shpejtësisë këndore w (Fig. 25).
3.5.2.1. Koncepti i centroideve
Trajektorja që përshkruan MCS së bashku me figurën lëvizëse quhet qendra lëvizëse (për shembull, kur rrota lëviz përgjatë sipërfaqes pa rrëshqitur (Tabela 2), perimetri i jashtëm i rrotës është qendra lëvizëse).
Lokusi gjeometrik i MCS, pozicionet e pikave R në një plan fiks quhet një qendër fikse (kur rrota lëviz në një sipërfaqe pa rrëshqitje (shih tabelën 2), qendra fikse është sipërfaqja fikse mbi të cilën rrotullohet rrota).
3.5.2.2. Raste të veçanta të MCS
Tabela 2.
Lëvizja e menjëhershme përpara e lidhjes AB | Lëvizja e rrotave në sipërfaqe (pa rrëshqitje) | Lëvizja e bllokut në lëvizje |
![]() | ![]() | ![]() |
Pika AT duke lëvizur në vijë të drejtë x-x, pra shpejtësia V B drejtuar përgjatë boshtit, vizatoni një pingul me boshtin x-x. Meqenëse vijat pingule nuk kryqëzohen, lidhja ABështë në lëvizje përkthimore të menjëhershme, shpejtësitë e të gjitha pikave të kësaj lidhjeje janë të barabarta, MCS është në pafundësi, . | MCC ndodhet në pikën ku rrota prek sipërfaqen fikse në të cilën rrotullohet rrota, pikën R. Shpejtësia këndore e rrotës do të jetë ![]() ![]() | MCS (pika R) është në pikën e kryqëzimit të segmentit AB dhe një drejtëz që kalon nëpër skajet e vektorëve dhe . Përcaktimi i pozicionit të një pike R. Blloko shpejtësinë këndore ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
5) Lëvizja përpara. Shembuj.
Përcaktimi i lëvizjes rrotulluese të një trupi rreth një boshti fiks.
Ekuacioni i lëvizjes rrotulluese.
- një lëvizje e tillë në të cilën të gjitha pikat e saj lëvizin në rrafshe pingul me një vijë fikse dhe përshkruajnë rrathë me qendra që shtrihen në këtë vijë, të quajtur bosht rrotullimi.
Lëvizja jepet nga ligji i ndryshimit të këndit dihedral φ (këndi i rrotullimit) i formuar nga rrafshi fiks P që kalon nëpër boshtin e rrotullimit dhe rrafshi Q i lidhur fort me trupin:
Shpejtësia këndore është një vlerë që karakterizon shkallën e ndryshimit në këndin e rrotullimit.
Nxitimi këndor është një sasi që karakterizon shpejtësinë e ndryshimit të shpejtësisë këndore.
Përcaktimi i shpejtësisë së çdo pike të një figure të rrafshët.
1 mënyrë për të përcaktuar shpejtësinë - përmes vektorëve. Shpejtësia e çdo pike të një figure të sheshtë është e barabartë me shumën gjeometrike të shpejtësive të polit dhe shpejtësinë e rrotullimit të kësaj pike rreth polit. Kështu, shpejtësia e pikës B është e barabartë me shumën gjeometrike të shpejtësisë së polit A dhe shpejtësisë rrotulluese të pikës B rreth polit:
Mënyra 2 për të përcaktuar shpejtësinë - përmes projeksionit. (teorema e projeksionit të shpejtësisë) Projeksionet e shpejtësive të pikave të një figure të sheshtë në boshtin që kalon nëpër këto pika janë të barabarta.
3) Formulat për llogaritjen e shpejtësisë dhe nxitimit të një pike me një mënyrë natyrale të vendosjes së lëvizjes së saj.
vektor i shpejtësisë; - Projeksioni i shpejtësisë në një tangjente;
Përbërësit e vektorit të nxitimit; - projeksionet e nxitimit në akset t dhe n;
Kështu, nxitimi total i një pike është shuma vektoriale e dy nxitimeve:
tangjente, e drejtuar në mënyrë tangjenciale në trajektoren në drejtim të rritjes së koordinatës së harkut, nëse (përndryshe - në drejtim të kundërt) dhe
Nxitimi normal i drejtuar përgjatë normales me tangjenten drejt qendrës së lakimit (konkaviteti i trajektores): Moduli i nxitimit total:
4) Formulat për llogaritjen e shpejtësisë dhe nxitimit të një pike me metodën e koordinatave të vendosjes së lëvizjes së saj në koordinatat karteziane.
Përbërësit e vektorit të shpejtësisë: - Projeksionet e shpejtësisë në boshtet koordinative:
-përbërësit e vektorit të nxitimit; -projeksionet e nxitimit në boshtin koordinativ;
5) Lëvizja përpara. Shembuj.
(një rrëshqitës, një piston pompe, një palë rrota të një lokomotivë me avull që lëviz përgjatë një shtegu të drejtë, një kabinë ashensori, një derë ndarjeje, një kabinë me rrota Ferris) - kjo është një lëvizje e tillë në të cilën çdo vijë e drejtë lidhet në mënyrë të ngurtë me trupi mbetet paralel me vetveten. Zakonisht lëvizja përkthimore identifikohet me lëvizjen drejtvizore të pikave të saj, por kjo nuk është kështu. Pikat dhe vetë trupi (qendra e masës së trupit) mund të lëvizin përgjatë trajektoreve të lakuara, shihni, për shembull, lëvizjen e kabinës së rrotës së Ferrisit. Me fjalë të tjera, është lëvizje pa kthesa.
Leksioni 3. Lëvizja plan-paralele e një trupi të ngurtë. Përcaktimi i shpejtësive dhe përshpejtimeve.
Ky leksion mbulon pyetjet e mëposhtme:
1. Lëvizja plan-paralele e një trupi të ngurtë.
2. Ekuacionet e lëvizjes plan-paralele.
3. Zbërthimi i lëvizjes në përkthimore dhe rrotulluese.
4. Përcaktimi i shpejtësive të pikave të një figure të rrafshët.
5. Teorema mbi projeksionet e shpejtësive të dy pikave të trupit.
6. Përcaktimi i shpejtësive të pikave të një figure të rrafshët duke përdorur qendrën e menjëhershme të shpejtësive.
7. Zgjidhja e problemeve për të përcaktuar shpejtësinë.
8. Plani i shpejtësisë.
9. Përcaktimi i nxitimeve të pikave të një figure të rrafshët.
10. Zgjidhja e problemeve të nxitimit.
11. Qendra e menjëhershme e nxitimit.
Studimi i këtyre çështjeve është i domosdoshëm në të ardhmen për dinamikën e një lëvizjeje në rrafsh të një trupi të ngurtë, dinamikën e lëvizjes relative të një pike materiale, për zgjidhjen e problemeve në disiplinat "Teoria e makinave dhe mekanizmave" dhe "Pjesët e makinerisë". ".
Lëvizja plan-paralele e një trupi të ngurtë. Ekuacionet e lëvizjes plan-paralele.
Zbërthimi i lëvizjes në përkthimore dhe rrotulluese
Plani-paralel (ose i sheshtë) është një lëvizje e tillë e një trupi të ngurtë, në të cilin të gjitha pikat e tij lëvizin paralelisht me një plan fiks. P(Fig. 28). Lëvizja në rrafsh kryhet nga shumë pjesë të mekanizmave dhe makinerive, për shembull, një rrotë rrotulluese në një pjesë të drejtë të trasesë, një shufër lidhëse në një mekanizëm rrëshqitës, etj. Një rast i veçantë i lëvizjes plan-paralele është lëvizja rrotulluese. të një trupi të ngurtë rreth një boshti fiks.
Fig.28 Fig.29
Merrni parasysh seksionin S trupat e disa avionëve Oksi, paralel me aeroplanin P(fig.29). Me lëvizje plan-paralele, të gjitha pikat e trupit shtrihen në një vijë të drejtë MM' pingul me rrjedhën S, pra avionë P, lëvizin në mënyrë identike.
Prandaj konkludojmë se për të studiuar lëvizjen e të gjithë trupit, mjafton të studiohet se si ai lëviz në rrafsh. Ohu seksioni S ky trup ose ndonjë figurë e rrafshët S. Prandaj, në të ardhmen, në vend të lëvizjes së rrafshët të trupit, do të shqyrtojmë lëvizjen e një figure të rrafshët. S në rrafshin e saj, d.m.th. në aeroplan Ohu.
Pozicioni i figurës S në aeroplan Ohu përcaktohet nga pozicioni i një segmenti të vizatuar në këtë figurë AB(Fig. 28). Nga ana tjetër, pozicioni i segmentit AB mund të përcaktohet duke ditur koordinatat x A dhe y Një pikë POR dhe këndi i cili është segmenti AB forma me bosht X. Pika POR zgjedhur për të përcaktuar pozicionin e figurës S, tani e tutje do të quhet pol.
Kur lëviz një figurë me madhësi x A dhe y A dhe do të ndryshojë. Të njohë ligjin e lëvizjes, pra pozicionin e figurës në rrafsh Ohu në çdo kohë, ju duhet të dini varësitë
Ekuacionet që përcaktojnë ligjin e lëvizjes së vazhdueshme quhen ekuacione të lëvizjes së një figure të sheshtë në rrafshin e saj. Ato janë gjithashtu ekuacione të lëvizjes plan-paralele të një trupi të ngurtë.
Dy ekuacionet e para të lëvizjes përcaktojnë lëvizjen që do të bënte figura nëse =konst; kjo do të jetë padyshim një lëvizje përkthimore, në të cilën të gjitha pikat e figurës lëvizin në të njëjtën mënyrë si shtylla POR. Ekuacioni i tretë përcakton lëvizjen që do të bënte figura në dhe , d.m.th. kur pol POR i palëvizshëm; kjo do të jetë rrotullimi i figurës rreth polit POR. Nga kjo mund të konkludojmë se, në rastin e përgjithshëm, lëvizja e një figure të sheshtë në rrafshin e saj mund të konsiderohet si një shumë e lëvizjes përkthimore, në të cilën të gjitha pikat e figurës lëvizin në të njëjtën mënyrë si poli POR, dhe nga një lëvizje rrotulluese rreth atij pol.
Karakteristikat kryesore kinematike të lëvizjes në shqyrtim janë shpejtësia dhe nxitimi i lëvizjes përkthimore, e barabartë me shpejtësinë dhe nxitimin e polit, si dhe shpejtësia këndore dhe nxitimi këndor i lëvizjes rrotulluese rreth polit.
Përcaktimi i shpejtësive të pikave të një figure të rrafshët
U vu re se lëvizja e një figure të sheshtë mund të konsiderohet si një shumë e lëvizjes përkthimore, në të cilën të gjitha pikat e figurës lëvizin me shpejtësinë e polit. POR, dhe nga një lëvizje rrotulluese rreth atij pol. Le të tregojmë se shpejtësia e çdo pike M figurat formohen gjeometrikisht nga shpejtësitë që merr pika në secilën prej këtyre lëvizjeve.
Në të vërtetë, pozicioni i çdo pike M figurat janë të përcaktuara në lidhje me boshtet Ohu vektori i rrezes (Fig. 30), ku është vektori i rrezes së polit POR, - vektor që përcakton pozicionin e pikës M rreth sëpatave që lëvizin me shtyllë POR përkthimore (lëvizja e figurës në lidhje me këto boshte është një rrotullim rreth polit POR). Pastaj