Përcaktimi i shpejtësisë së një pike të figurës në një lëvizje të rrafshët. Përcaktimi i shpejtësisë së çdo pike të një figure të rrafshët. Lëvizja komplekse e pikës
Shpejtësia e pikës arbitrare M shifrat përkufizohen si shuma e shpejtësive që pika merr gjatë lëvizjes përkthimore së bashku me polin dhe lëvizjen rrotulluese rreth polit.
Imagjinoni pozicionin e pikës M si (fig.1.6).
Duke e diferencuar këtë shprehje në lidhje me kohën, marrim:
, sepse
.
Në të njëjtën kohë, shpejtësia kundër MA. cila pikë M fitohet duke rrotulluar figurën rreth shtyllës POR, do të përcaktohet nga shprehja
kundër MA=ω · MA,
ku ω është shpejtësia këndore e figurës së sheshtë.
Çdo shpejtësi pikë M figura e sheshtë është gjeometrikisht e përbërë nga shpejtësia e një pike POR, marrë si shtyllë, dhe shpejtësia, pikë M kur figura rrotullohet rreth shtyllës. Moduli dhe drejtimi i shpejtësisë së kësaj shpejtësie gjenden duke ndërtuar një paralelogram të shpejtësive.
Detyra 1
Përcaktoni shpejtësinë e pikës POR, nëse shpejtësia e qendrës së rulit është 5 m/s, shpejtësia këndore e rulit . Rrezja e rulit r=0.2m, qoshe . Sheshi i patinazhit rrotullohet pa rrëshqitur.
Meqenëse trupi bën një lëvizje plan-paralele, shpejtësia e pikës POR do të përbëhet nga shpejtësia e shtyllës (pika NGA) dhe shpejtësinë e fituar nga pika POR kur rrotullohet rreth shtyllës NGA.
,
Përgjigje:
Teorema mbi projeksionet e shpejtësive të dy pikave të një trupi që lëvizin në mënyrë paralele.
Shqyrtoni disa pika POR dhe AT figurë e sheshtë. Duke marrë një pikë POR për pol (Fig. 1.7), marrim
Prandaj, projektimi i të dy pjesëve të barazisë në boshtin e drejtuar përgjatë AB, dhe duke pasur parasysh se vektori është pingul AB, ne gjejme
v B· cosβ=v A· cosα+ v në A· cos90°.
sepse v Në A· cos90°=0 marrim: projeksionet e shpejtësive të dy pikave të një trupi të ngurtë në boshtin që kalon nëpër këto pika janë të barabarta.
Detyra 1
Kernel AB rrëshqet poshtë një muri të lëmuar dhe një dyshemeje të lëmuar, shpejtësia e pikës A V A \u003d 5m/s, këndi midis dyshemesë dhe shufrës AB barazohet 30 0 . Përcaktoni shpejtësinë e pikës AT.
Përcaktimi i shpejtësive të pikave të një figure të rrafshët duke përdorur qendrën e menjëhershme të shpejtësive
Kur përcaktohen shpejtësitë e pikave të një figure të sheshtë përmes shpejtësisë së polit, shpejtësia e polit dhe shpejtësia e lëvizjes rrotulluese rreth polit mund të jenë të barabarta në madhësi dhe të kundërta në drejtim, dhe ekziston një pikë e tillë P, shpejtësia e së cilës në një moment të caktuar kohor është e barabartë me zero , quhet qendra e menjëhershme e shpejtësive.
Qendra e menjëhershme e shpejtësive Quhet një pikë e lidhur me një figurë të sheshtë, shpejtësia e së cilës në një moment të caktuar kohor është zero.
Shpejtësitë e pikave të një figure të sheshtë përcaktohen në një moment të caktuar kohor sikur lëvizja e figurës të ishte rrotulluese e menjëhershme rreth një boshti që kalon nëpër qendrën e menjëhershme të shpejtësive (Fig. 1.8).
v A=ω · PA; ().
Sepse v B=ω · BP; (), atëherë w= v B/BP=v A/PA
Shpejtësitë e pikave të një figure të sheshtë janë proporcionale me distancat më të shkurtra nga këto pika në qendrën e menjëhershme të shpejtësive.
Rezultatet e marra çojnë në përfundimet e mëposhtme:
1) për të përcaktuar pozicionin e qendrës së menjëhershme të shpejtësive, është e nevojshme të dihet madhësia dhe drejtimi i shpejtësisë dhe drejtimi i shpejtësisë së çdo dy pikash POR dhe AT figurë e sheshtë; qendra e menjëhershme e shpejtësisë Pështë në pikën e prerjes së pingulëve të ndërtuar nga pikat POR dhe AT për shpejtësitë e këtyre pikave;
2) shpejtësia këndore ω figura e planit në një kohë të caktuar është e barabartë me raportin e shpejtësisë me distancën prej saj në qendrën e menjëhershme R shpejtësitë: ω =v A/PA;
3) Shpejtësia e një pike në lidhje me qendrën e menjëhershme të shpejtësive P do të tregojë drejtimin e shpejtësisë këndore w.
4) Shpejtësia e një pike është drejtpërdrejt proporcionale me distancën më të shkurtër nga pika AT në qendrën e menjëhershme të shpejtësisë R v A \u003d ω BP
Detyra 1
Manovra OA gjatë 0.2 m rrotullohet në mënyrë të njëtrajtshme me shpejtësi këndore ω=8 rad/s. Tek shufra lidhëse AB në pikën NGA shufra lidhëse e varur CD. Për një pozicion të caktuar të mekanizmit, përcaktoni shpejtësinë e pikës D rrëshqitës nëse këndi .
Lëvizja me pikë AT i kufizuar nga udhëzuesit horizontalë, rrëshqitësi mund të lëvizë përpara vetëm përgjatë udhëzuesve horizontalë. Shpejtësia e pikës AT drejtuar në të njëjtin drejtim si . Meqenëse dy pika të shufrës lidhëse kanë të njëjtin drejtim të shpejtësive, trupi kryen lëvizje përkthimore të menjëhershme dhe shpejtësitë e të gjitha pikave të shufrës lidhëse kanë të njëjtin drejtim dhe vlerë.
LËVIZJA E RRAFSHËS E NJË TRUPI të ngurtë
Pyetjet e studimit:
1. Ekuacionet e lëvizjes planore të një trupi të ngurtë.
2. Shpejtësia e pikave të një figure të sheshtë
3. Qendra e menjëhershme e shpejtësive
4. Nxitimi i pikave të një figure të rrafshët
1. Ekuacionet e lëvizjes planore të një trupi të ngurtë
Lëvizja planare e një trupi të ngurtëthirre atëlëvizje në të cilën të gjitha pikat e seksionit të trupit lëvizin në rrafshin e tyre.
Lëreni të ngurta 1 bën një lëvizje të sheshtë.
Sekante aeroplan në trup 1 formon një seksion П, i cili lëviz në rrafshin e prerjes .
Nëse është paralel me rrafshin kryeni pjesë të tjera të trupit, për shembull përmes pikave
etj. shtrirë në të njëjtën pingul me seksionet, atëherë të gjitha këto pika dhe të gjitha pjesët e trupit do të lëvizin në të njëjtën mënyrë.
Rrjedhimisht, lëvizja e trupit në këtë rast përcaktohet plotësisht nga lëvizja e një prej seksioneve të tij në cilindo prej planeve paralele, dhe pozicioni i seksionit përcaktohet nga pozicioni i dy pikave të këtij seksioni, p.sh. POR dhe AT.
Pozicioni i seksionit P në aeroplan Ohu përcaktoni pozicionin e segmentit AB, kryhet në këtë seksion. Pozicioni i dy pikave në një plan POR (
)
dhe AT(
)
karakterizohet nga katër parametra (koordinata), mbi të cilat vendoset një kufizim - ekuacioni i komunikimit në formën e gjatësisë së segmentit AB:
Prandaj, pozicioni i seksionit P në aeroplan mund të vendoset tre parametra të pavarur - koordinata
pikëPOR
dhe këndi,
që formon një segment AB me bosht Oh. pikë POR, zgjedhur për të përcaktuar pozicionin e seksionit P, të quajtur POLE.
Kur pjesa e trupit lëviz, parametrat kinematikë të tij janë funksione të kohës
Ekuacionet janë ekuacione kinematike të lëvizjes planore (plan-paralele) të një trupi të ngurtë. Tani do të tregojmë se, në përputhje me ekuacionet e marra, trupi në lëvizje plani kryen lëvizje përkthimore dhe rrotulluese. Lëreni në Fig. seksion i një trupi i dhënë nga një segment
në sistemin e koordinatave Ohu lëvizur nga pozicioni fillestar 1
për të përfunduar pozicionin 2.
Le të tregojmë dy mënyra të zhvendosjes së mundshme të trupit nga pozicioni 1 në pozicionin 2.
Mënyra e parë. Le të marrim një pikë si shtyllë .Lëvizja e segmentit
paralel me vetveten, d.m.th. progresivisht, përgjatë trajektores ,përpara se të përputhen pikët
dhe . Marrja e pozicionit të segmentit .
në cep dhe marrim pozicionin përfundimtar të figurës së sheshtë, të dhënë nga segmenti
.
Mënyra e dytë. Le të marrim një pikë si shtyllë . Lëvizja e segmentit
paralel me vetveten, d.m.th. progresivisht përgjatë trajektores
para se të përputhen pikët dhe .Marrim pozicionin e segmentit
.
Më pas, rrotullojeni këtë segment rreth shtyllës në
qoshe
dhe marrim pozicionin përfundimtar të figurës së sheshtë, të dhënë nga segmenti
.
Le të nxjerrim përfundimet e mëposhtme.
1. Lëvizja në plan, në përputhje të plotë me ekuacionet, është një kombinim i lëvizjeve përkthimore dhe rrotulluese, dhe modeli i lëvizjes planore të një trupi mund të konsiderohet si lëvizje përkthimore e të gjitha pikave të trupit së bashku me polin dhe rrotullimin e trupi në raport me shtyllën.
2. Trajektoret e lëvizjes translatore të trupit varen nga zgjedhja e polit
.
Në fig. 13.3 në rastin e shqyrtuar, shohim se në metodën e parë të lëvizjes, kur një pikë u mor si shtyllë , trajektorja përkthimore dukshëm të ndryshme nga trajektorja
për polin tjetër AT.
3. Rrotullimi i trupit nuk varet nga zgjedhja e shtyllës. Këndi rrotullimi i trupit mbetet konstant në modulin dhe drejtimin e rrotullimit . Në të dyja rastet, të konsideruara në Fig. 13.3, rrotullimi ishte në drejtim të kundërt të akrepave të orës.
Karakteristikat kryesore të trupit në lëvizje në rrafsh janë: trajektorja e polit, këndi i rrotullimit të trupit rreth polit, shpejtësia dhe nxitimi i polit, shpejtësia këndore dhe nxitimi këndor i trupit. Akset shtesë
në lëvizje përkthimore lëvizin me shtyllën POR paralel me akset kryesore Ohu përgjatë rrugës së shtyllës.
Shpejtësia e polit të një figure të sheshtë mund të përcaktohet duke përdorur derivatet kohore të ekuacioneve:
Po kështu përcaktohen karakteristikat këndore të trupit: shpejtësia këndore
;
nxitimi këndor
.
Në fig. në pol POR tregohen projeksionet e vektorit të shpejtësisë në bosht Oh, oh Këndi i rrotullimit të trupit , shpejtësia këndore dhe nxitimi këndor treguar me shigjeta me hark rreth pikës POR. Për shkak të pavarësisë së karakteristikave rrotulluese të lëvizjes nga zgjedhja e polit, karakteristikat këndore ,,mund të tregohet në çdo pikë të një figure të sheshtë me shigjeta harku, për shembull, në pikën B.
Leksioni 3. Lëvizja plan-paralele e një trupi të ngurtë. Përcaktimi i shpejtësive dhe përshpejtimeve.
Ky leksion mbulon pyetjet e mëposhtme:
1. Lëvizja plan-paralele e një trupi të ngurtë.
2. Ekuacionet e lëvizjes plan-paralele.
3. Zbërthimi i lëvizjes në përkthimore dhe rrotulluese.
4. Përcaktimi i shpejtësive të pikave të një figure të rrafshët.
5. Teorema mbi projeksionet e shpejtësive të dy pikave të trupit.
6. Përcaktimi i shpejtësive të pikave të një figure të rrafshët duke përdorur qendrën e menjëhershme të shpejtësive.
7. Zgjidhja e problemeve për të përcaktuar shpejtësinë.
8. Plani i shpejtësisë.
9. Përcaktimi i nxitimeve të pikave të një figure të rrafshët.
10. Zgjidhja e problemeve të nxitimit.
11. Qendra e menjëhershme e nxitimit.
Studimi i këtyre çështjeve është i domosdoshëm në të ardhmen për dinamikën e një lëvizjeje në rrafsh të një trupi të ngurtë, dinamikën e lëvizjes relative të një pike materiale, për zgjidhjen e problemeve në disiplinat "Teoria e makinave dhe mekanizmave" dhe "Pjesët e makinerisë". ".
Lëvizja plan-paralele e një trupi të ngurtë. Ekuacionet e lëvizjes plan-paralele.
Zbërthimi i lëvizjes në përkthimore dhe rrotulluese
Plani-paralel (ose i sheshtë) është një lëvizje e tillë e një trupi të ngurtë, në të cilin të gjitha pikat e tij lëvizin paralelisht me një plan fiks. P(Fig. 28). Lëvizja në rrafsh kryhet nga shumë pjesë të mekanizmave dhe makinerive, për shembull, një rrotë rrotulluese në një pjesë të drejtë të trasesë, një shufër lidhëse në një mekanizëm rrëshqitës, etj. Një rast i veçantë i lëvizjes plan-paralele është lëvizja rrotulluese. të një trupi të ngurtë rreth një boshti fiks.
Fig.28 Fig.29
Merrni parasysh seksionin S trupat e disa avionëve Oksi, paralel me aeroplanin P(fig.29). Me lëvizje plan-paralele, të gjitha pikat e trupit shtrihen në një vijë të drejtë MM' pingul me rrjedhën S, pra avionë P, lëvizin në mënyrë identike.
Prandaj konkludojmë se për të studiuar lëvizjen e të gjithë trupit, mjafton të studiohet se si ai lëviz në rrafsh. Ohu seksioni S ky trup ose ndonjë figurë e rrafshët S. Prandaj, në të ardhmen, në vend të lëvizjes së rrafshët të trupit, do të shqyrtojmë lëvizjen e një figure të rrafshët. S në rrafshin e saj, d.m.th. në aeroplan Ohu.
Pozicioni i figurës S në aeroplan Ohu përcaktohet nga pozicioni i një segmenti të vizatuar në këtë figurë AB(Fig. 28). Nga ana tjetër, pozicioni i segmentit AB mund të përcaktohet duke ditur koordinatat x A dhe y Një pikë POR dhe këndi i cili është segmenti AB forma me bosht X. pikë POR zgjedhur për të përcaktuar pozicionin e figurës S, tani e tutje do të quhet pol.
Kur lëviz një figurë me madhësi x A dhe y A dhe do të ndryshojë. Të njohë ligjin e lëvizjes, pra pozicionin e figurës në rrafsh Ohu në çdo kohë, ju duhet të dini varësitë
Ekuacionet që përcaktojnë ligjin e lëvizjes së vazhdueshme quhen ekuacione të lëvizjes së një figure të sheshtë në rrafshin e saj. Ato janë gjithashtu ekuacione të lëvizjes plan-paralele të një trupi të ngurtë.
Dy ekuacionet e para të lëvizjes përcaktojnë lëvizjen që do të bënte figura nëse =konst; kjo do të jetë padyshim një lëvizje përkthimore, në të cilën të gjitha pikat e figurës lëvizin në të njëjtën mënyrë si shtylla POR. Ekuacioni i tretë përcakton lëvizjen që do të bënte figura në dhe , d.m.th. kur pol POR i palëvizshëm; kjo do të jetë rrotullimi i figurës rreth polit POR. Nga kjo mund të konkludojmë se, në rastin e përgjithshëm, lëvizja e një figure të sheshtë në rrafshin e saj mund të konsiderohet si një shumë e lëvizjes përkthimore, në të cilën të gjitha pikat e figurës lëvizin në të njëjtën mënyrë si poli POR, dhe nga një lëvizje rrotulluese rreth atij pol.
Karakteristikat kryesore kinematike të lëvizjes në shqyrtim janë shpejtësia dhe nxitimi i lëvizjes përkthimore, e barabartë me shpejtësinë dhe nxitimin e polit, si dhe shpejtësia këndore dhe nxitimi këndor i lëvizjes rrotulluese rreth polit.
Përcaktimi i shpejtësive të pikave të një figure të rrafshët
U vu re se lëvizja e një figure të sheshtë mund të konsiderohet si një shumë e lëvizjes përkthimore, në të cilën të gjitha pikat e figurës lëvizin me shpejtësinë e polit. POR, dhe nga një lëvizje rrotulluese rreth atij pol. Le të tregojmë se shpejtësia e çdo pike M figurat formohen gjeometrikisht nga shpejtësitë që merr pika në secilën prej këtyre lëvizjeve.
Në të vërtetë, pozicioni i çdo pike M figurat janë të përcaktuara në lidhje me boshtet Ohu vektori i rrezes (Fig. 30), ku është vektori i rrezes së polit POR, - vektor që përcakton pozicionin e pikës M rreth sëpatave që lëvizin me shtyllë POR përkthimore (lëvizja e figurës në lidhje me këto boshte është një rrotullim rreth polit POR). Pastaj
Kujtoni se lëvizja e një figure të sheshtë mund të konsiderohet si një shumë e lëvizjes përkthimore së bashku me polin dhe lëvizjen rrotulluese rreth polit.
Sipas kësaj shpejtësia e një pike arbitrare M të një figure të rrafshët është gjeometrikisht shuma e shpejtësisë së një pike A, e marrë si pol, dhe shpejtësisë që pika M merr kur figura rrotullohet rreth këtij poli, d.m.th.
Në të njëjtën kohë, shpejtësia VMA përkufizohet si shpejtësia e një pike M kur një trup rrotullohet rreth një boshti fiks që kalon nëpër një pikë POR pingul me planin e lëvizjes (shih § 7.2), d.m.th.
Kështu, nëse dihet shpejtësia e polit VA dhe shpejtësia këndore e trupit w, atëherë
shpejtësia e çdo pike M e trupit përcaktohet në përputhje me barazinë (8.2), diagonalja e paralelgramit të ndërtuar mbi vektorët VA dhe VMA, si në anët (Fig. 8.3), dhe moduli i shpejtësisë V M llogaritur me formulë
ku y është këndi ndërmjet vektorëve VA dhe VMA
Problemi 8.1. Rrota rrotullohet në një sipërfaqe të fiksuar pa rrëshqitur (Fig. 8.4, a). Gjeni pikat e shpejtësisë te dhe D rrotat nëse dihet shpejtësia Vc Rrota qendrore C, rrezja R rrota, distanca COP = b dhe këndi a.
Zgjidhje. 1. Lëvizja e rrotës në shqyrtim është plan-paralele. Marrja e pikës C si pol (pasi shpejtësia e saj dihet), në përputhje me barazinë e përgjithshme (8.2), për pikën te ne mund të shkruajmë
Megjithatë, nuk ka asnjë mënyrë për të përcaktuar vlerën V KC, meqë shpejtësia këndore është e panjohur.
Për të përcaktuar w, merrni parasysh shpejtësinë e një pike tjetër, përkatësisht pikës R duke prekur rrotën në një sipërfaqe fikse (Fig. 8.4, b). Për këtë pikë, mund të shkruajmë barazinë
tipar pikë R është fakti që në këtë moment kohor Vp - 0, pasi rrota rrotullohet pa rrëshqitur. Atëherë barazia (b) merr formën
nga ku marrim
Nga këtu rrjedh: 1) vektorët e shpejtësisë V PC dhe Vc duhet të drejtohet në drejtime të kundërta; 2) nga barazia e moduleve V PC - V shek marrim uPC = V c, nga këtu gjejmë w = Vc /PC = Vc /R. Sipas drejtimit të vektorit V PC përcaktoni drejtimin e shigjetës së harkut w dhe tregoni atë në vizatim (Fig. 8.4, b).
Tani kthehemi te përkufizimi V K nga barazia (a). Ne gjejme
Vks \u003d rreth KS - V ^ b / R. Duke ditur drejtimin e shpejtësisë këndore ω, ne përshkruajmë vektorin V KC pingul me segmentin KS dhe kryejnë ndërtimin e një paralelogrami mbi vektorët Vc dhe V KC(Fig. 8.4, në). Meqenëse në këtë rast Vc dhe V KC reciprokisht pingul, më në fund gjejmë
2. Shpejtësia e pikës D në buzën e rrotës, ne përcaktojmë nga barazia V D = V C + V DC . Meqenëse numerikisht VDC - bashkë R - V c , pastaj paralelogrami i ndërtuar mbi vektorët Vc dhe VDC, do të jetë një romb. Këndi ndërmjet Vc dhe V DCështë e barabartë me 2a. Duke përcaktuar V D si gjatësia e diagonales përkatëse të rombit, marrim
Teorema mbi projeksionet e shpejtësive të dy pikave të një trupi të ngurtë
Sipas barazisë (8.2) për dy_ pikë arbitrare POR dhe AT trup i ngurtë barazia V B \u003d V A + V B A, në përputhje me të cilën kryejmë ndërtimin e paraqitur në Fig. 8.5. Projektimi i kësaj barazie në bosht Az, për qëllim A B marrim Mendje + VBAz. Duke qenë se vektori VBA pingul me vijën
A B Gjej
Ky rezultat shpreh teoremën: projeksionet e shpejtësive të dy pikave të një trupi të ngurtë në boshtin që kalon nëpër këto pika janë të barabarta me njëra-tjetrën.
Vëmë re se barazia (8.5) pasqyron matematikisht faktin që trupi konsiderohet absolutisht i ngurtë dhe distancën midis pikave POR dhe AT nuk ndryshon. Kjo është arsyeja pse barazia (8.5) plotësohet jo vetëm për plan-paralel, por edhe për çdo lëvizje të një trupi të ngurtë.
Problemi 8.2. Kacavjerrës POR dhe AT, të lidhura me një shufër me menteshat në skajet, ato lëvizen përgjatë udhëzuesve pingulë reciprokisht në rrafshin e vizatimit (Fig. 8.6, a). Përcaktoni në një kënd të caktuar a shpejtësinë e një pike AT, nëse dihet shpejtësia V A.
Zgjidhje. Le të vizatojmë boshtin x nëpër pika POR dhe AT. Duke ditur drejtimin VA,
gjeni projeksionin e këtij vektori në vijë AB: V Ax - V A cos a (në Fig. 8.6, b kjo do të jetë një prerje Ah). Më tej në vizatim nga pika AT shtyj Bb - Aa(për shkak se segmenti Ah e vendosur në boshtin x në të djathtë të pikës POR, pastaj segmenti Bb lënë mënjanë nga pika AT në boshtin x në të djathtë). Ringjallja në pikën b pingul me një vijë AB, gjeni pikën fundore të vektorit V B.
Sipas teoremës së projeksionit VA cos a = K^cosp. Prej këtu (duke marrë parasysh që Р = 90 ° - a) marrim përfundimisht V B = VA cos a/cos(90° - a) ose V B = = VA ctg a.
Përcaktimi i shpejtësive pika duke përdorur qendrën e menjëhershme të shpejtësive
Për të përcaktuar shpejtësinë e pikave të një figure të rrafshët, zgjedhim çdo pikë si pol R. Pastaj, sipas formulës
(8.2), shpejtësia e një pike arbitrare M përkufizohet si shuma e dy vektorëve:
Nëse shpejtësia e shtyllës R në një kohë të caktuar ishte e barabartë me zero, atëherë ana e djathtë e kësaj barazie do të përfaqësohej me një term Në MR dhe shpejtësia e çdo pike do të përkufizohej si shpejtësia e një pike M trupi ndërsa rrotullohet rreth një pol fiks R.
Prandaj, nëse zgjedhim pikën si pol R, shpejtësia e të cilit është zero në një kohë të caktuar, atëherë modulet e shpejtësive të të gjitha pikave të figurës do të jenë proporcionale me largësitë e tyre me polin P, dhe drejtimet e vektorëve të shpejtësisë së të gjitha pikave do të jenë pingul me vijat e drejta që lidhin pikën në shqyrtim dhe polin P. Natyrisht, llogaritja me formula (8.6) është shumë më e thjeshtë se llogaritja me formulën e përgjithshme (8.2).
Pika e një figure të sheshtë, shpejtësia e së cilës në një moment të caktuar kohor është zero, quhet qendra e menjëhershme e shpejtësive (MCS).Është e lehtë të verifikohet se nëse figura lëviz në mënyrë jo përkthimore, atëherë një pikë e tillë ekziston në çdo moment të kohës dhe, për më tepër, është unike. Vini re se qendra e menjëhershme e shpejtësive mund të vendoset si në vetë figurën ashtu edhe në vazhdimin e saj mendor.
Shqyrtoni mënyra për të përcaktuar pozicionin e qendrës së menjëhershme të shpejtësive.
1. Lëreni në momentin e kohës tkërcimi i një figure të rrafshët, shpejtësia e saj këndore ω dhe shpejtësia VA ndonjë nga pikat e tij POR(Fig. 8.7, a). Pastaj zgjidhni një pikë POR si pol,_shpejtësia_e pikës që kërkojmë R mund të përcaktohet me formulë Vp = VA + VpA -
Problemi është të gjesh një pikë të tillë R, në të cilën V P=0, kështu për të V A + U RL=0 dhe kështu Y RA \u003d -Y A. Prandaj, për pikën R shpejtësia Në RA cila pikë R fitohet duke rrotulluar figurën rreth shtyllës POR, dhe shpejtësia A polet POR e barabartë në modul (Y RA = Y A) ose rreth ZAR = U A dhe në drejtim të kundërt. Përveç kësaj, pika R duhet të shtrihet pingul me vektorin Në A. Përcaktimi i pozicionit të një pike R kryhet si më poshtë: nga pika POR(Fig. 8.7, b) vendosni një pingul me vektorin A dhe vendos një distancë mbi të AR = Y A/co në anën tjetër të pikës POR, ku vektori do të "tregojë" Në Dhe, nëse rrotullohet 90 ° në drejtim të shigjetës së harkut bashkë.
Qendra e menjëhershme e shpejtësive është e vetmja pikë në një figurë të rrafshët, shpejtësia e së cilës në një kohë të caktuar është zero.
Në një moment tjetër të kohës, qendra e menjëhershme e shpejtësive mund të jetë tashmë një pikë tjetër e figurës së rrafshët.
2. Le të dihen drejtimet e shpejtësive VA dhe në(Fig. 8.8, a) dy pika POR dhe AT figura e rrafshët (për më tepër, vektorët e shpejtësisë së këtyre pikave nuk janë paralele), ose dihen zhvendosjet elementare të këtyre pikave. Qendra e menjëhershme e shpejtësive do të vendoset në pikën e kryqëzimit të pinguleve të ngritura nga pikat A dhe B me shpejtësitë e këtyre pikave (ose në zhvendosjet elementare të pikave). Një ndërtim i tillë është paraqitur në Fig. 8.8, b. Ajo bazohet në faktin se për çdo pikë A dhe B shifrat e dispozitave të zbatueshme (8.6):
Nga këto barazi rezulton se
Duke ditur pozicionin e MCC dhe shpejtësinë këndore të trupit, duke zbatuar formulat (8.6), është e lehtë të përcaktohet shpejtësia e çdo pike të këtij trupi. Për shembull, për një pikë te(shih fig. 8.8, b) shpejtësia e modulit V K =coKP, vektoriale U të drejtuar pingul me një vijë të drejtë KR në përputhje me
drejtimi i shigjetës së harkut y.
Rrjedhimisht, shpejtësitë e pikave të një figure të sheshtë përcaktohen në një moment të caktuar kohor sikur kjo shifër të rrotullohej rreth qendrës së menjëhershme të shpejtësive.
3. Nëse shpejtësia tregon POR dhe AT figurat e planit janë paralele me njëra-tjetrën, atëherë janë të mundshme tre opsione, të cilat janë paraqitur në Fig. 8.9. Për rastet kur direkt AB pingul me vektorët VA dhe V B(Fig. 8.9, a, b) ndërtimet bazohen në proporcionin (8.7).
Nëse shpejtësia e pikave Lee V paralele dhe të drejta AB_nt pingul VPOR(Fig. 8.9, në), pastaj pingulet tek U A dhe V B janë paralele dhe qendra e menjëhershme e shpejtësive është në pafundësi (AP= oo); shpejtësia këndore e rrotullimit të figurës w = VJAP=VA/cc= 0. Në këtë rast, shpejtësitë e të gjitha pikave të figurës në një moment të caktuar kohor janë të barabarta me njëra-tjetrën, d.m.th., figura ka një shpërndarje të shpejtësive si në lëvizjen përkthimore. Kjo gjendje e lëvizjes quhet në çast progresive. Vini re se në këtë gjendje, përshpejtimet e të gjitha pikave të trupit nuk do të jenë të njëjta.
4. Nëse lëvizja e rrafshët e trupit kryhet duke u rrotulluar pa rrëshqitur në një sipërfaqe të palëvizshme (Fig. 8.10), atëherë pika e kontaktit R do të jetë qendra e menjëhershme e shpejtësive (shih problemin 8.1).
Problemi 8.3. Mekanizmi i sheshtë përbëhet nga 7 shufra, 2, 3, 4 dhe zvarritës AT(Fig. 8.11), të lidhura me njëri-tjetrin dhe me mbështetëse të fiksuara 0 { dhe 0 2 mentesha; pika Dështë në mes të shufrës AB. Gjatësia e shufrës: / 2 = 0,4 m, / 2 = 1,2 m, / 3 = 0,7 m, / 4 = 0,3 m dhe e drejtuar në drejtim të kundërt të akrepave të orës. Përcaktoni V A , V B , V D , V E , oo 2 , co 3 , në 4 dhe pikë shpejtësinë te në mes të shufrës DE (DK = KE).
Zgjidhje. Në mekanizmin në shqyrtim, shufrat 7, 4 bëni një lëvizje rrotulluese AT- progresive, dhe shufra 2, 3 -
lëvizja plan-paralele.
Shpejtësia e pikës POR ne përcaktojmë se i përket shufrës 7, e cila kryen një lëvizje rrotulluese:
Merrni parasysh lëvizjen e shufrës 2. Shpejtësia e pikës PORështë përcaktuar, dhe drejtimi i shpejtësisë së pikës AT për faktin se njëkohësisht i takon shufrës 2 dhe gjinia -
Zun duke lëvizur përgjatë udhërrëfyesve. Tani, duke u rikthyer nga pikat POR dhe AT pingul me A dhe drejtimin e lëvizjes së rrëshqitësit AT, gjeni pozicionin e pikës C 2 - MCS e shufrës 2.
Në drejtim të vektorit U A duke pasur parasysh se në pozicionin e konsideruar të mekanizmit, shufra 2 rrotullohet rreth pikës C 2, ne përcaktojmë drejtimin e shpejtësisë këndore nga 2 shufra 2 dhe gjeni vlerën e saj numerike (o 2 = V a / AC 2 \u003d 0,8 / 1,04 \u003d 0,77 s -1, ku AC 2 - AB mëkati 60 ° \u003d 1,04 m (do të marrim kur marrim parasysh A AC ~, B).
Tani ne përcaktojmë vlerat numerike dhe drejtimet e shpejtësive të pikave AT dhe D kallam 2 (sepse ABDC 2 atëherë barabrinjës BC 2 - DC 2 - - 0,6 m):
Merrni parasysh lëvizjen e shufrës 3. Shpejtësia e pikës D i njohur. Që nga pika E i takon shufrës në të njëjtën kohë 4, duke rrotulluar rreth një boshti 0 4 , pastaj Y e 10 4 E. Pastaj, duke kaluar nëpër pika D dhe E vija të drejta pingul me shpejtësinë V D w V E , gjeni pozicionin e pikës C 3 - MCS e shufrës
3. Në drejtim të vektorit V D, duke parë nga një pikë fikse С 3 , përcaktojmë drejtimin e shpejtësisë këndore с 3 , dhe gjejmë vlerën numerike të saj (duke përcaktuar më parë nga AZ) C 3 ? segmenti Z)C 3 = DEsin 30 ° \u003d 0,35 m): co 3 \u003d V d / C 3 D \u003d 1,32 s -1.
Për të përcaktuar shpejtësinë e një pike te le të vizatojmë një vijë të drejtë COP 3 dhe duke pasur parasysh atë AR K Nga 3 barabrinjës ( COP 3 = 0,35 m), llogarit Y k \u003d \u003d 0,462 m / s, U në AKS 3.
Konsideroni lëvizjen e shufrës_4 që rrotullohet rreth boshtit 0 4 . Njohja e drejtimit dhe e vlerës numerike V E , gjejmë drejtimin dhe vlerën e shpejtësisë këndore nga 4: nga 4 \u003d V e / 0 4 E - 2.67 s
Përgjigje: VA= 0,8 m/s, V B = V D= 0,462 m/s, V E = 0,8 m / s, co 2 \u003d 0,77 s "1, co 3 \u003d 1,32 s -1, (o 4 \u003d 2,67 s -1, drejtimet e këtyre sasive tregohen në Fig. 8.11.
Shënim.Në një mekanizëm të përbërë nga disa trupa, çdo trup që nuk lëviz në mënyrë të përkthimit në një moment të caktuar kohor ka qendrën e tij të menjëhershme të shpejtësive dhe shpejtësinë e tij këndore.
Problemi 8.4. Mekanizmi i sheshtë përbëhet nga shufra 1, 2, 3 dhe një rul që rrotullohet pa rrëshqitur në një plan fiks (Fig. 8.12, a). Lidhjet e shufrave midis tyre dhe shufrës 3 në pistën e patinazhit në pikë D- i varur. Gjatësia e shufrës: 1 { - 0,4 m, / 2 = 0,6 m, / 3 = 0,8 m Për këndet e dhëna a = 60°, B = 30°, vlerat dhe drejtimet e këndores O shesh patinazhi në akull V0= 0,346 m/s, ZABD= 90°. Përcaktoni shpejtësinë e pikës AT dhe shpejtësia këndore nga 2 .
Zgjidhje. Mekanizmi ka dy shkallë lirie (pozicioni i tij përcaktohet nga dy kënde a dhe p, të pavarura nga njëri-tjetri) dhe shpejtësia e pikës AT(pika e përbashkët e shufrave 2 dhe 3) varet nga shpejtësia e pikave POR dhe D.
Duke marrë parasysh lëvizjen e shufrës /, n gjejmë drejtimin dhe vlerën e shpejtësisë së pikës A: V A= coj/j = 0,8 m/s, V a AjO (A.
Merrni parasysh lëvizjen e rulit. Qendra e tij e menjëhershme e shpejtësive ndodhet në pikën R; pastaj V D gjeni nga proporcioni
Që nga A DOP izosceles dhe këndet akute në të janë të barabartë me 30 °, atëherë PD- 2OP cos 30° = ORl/ 3. Nga barazia (a) gjejmë VD- 0,6 m/s. Vektor V D drejtuar pingul D.P.
Që nga pika AT i përket njëkohësisht shufrave AB dhe BD, atëherë, sipas teoremës së projeksionit të shpejtësisë, duhet të jetë: 1) projeksioni i vektorit. në drejtpërdrejt A B A(segmenti i linjës Ah në fig. 8.12, a), d.m.th. A cos a = 0,4 m/s; 2) projeksion vektorial në drejtpërdrejt D.B.është e barabartë me projeksionin në këtë vijë të vektorit 0(segmenti i linjës Dd në fig. 8.12, a), d.m.th. 0 cos y = 0,3 m/s (y = 60°).
Le ta zgjidhim grafikisht. Lini mënjanë nga pika AT prerje në drejtimet përkatëse Bb (= Aa dhe Bb 2 = Dd. Shpejtësia e pikës ATështë e barabartë me shumën e vektorëve V B = Bb + Bbj. Rivendosja nga një pikë b ( pingul me Bb x, dhe nga
pikë b 2 - pingul me Bb 2. Pika e kryqëzimit të këtyre pingulave përcakton fundin e vektorit të dëshiruar V B.
Që nga drejtimet e segmenteve Bb dhe Bb 2 reciprokisht pingul, atëherë
Ne përcaktojmë nga 2. Në fig. 8.12, b tregohet i ashtuquajturi plan i shpejtësisë, i cili paraqet grafikisht barazinë e vektorit
ku vektorët VA dhe V B të përcaktuara (shih Fig. 8.12, a), dhe drejtimin VBA pingul me shufrën AB. Nga vizatimi (Fig. 8.12, b) Gjej
Tani përcaktojmë me 2 = V ba / AB- 1,66 s -1 (drejtimi nga 2 - në drejtim të kundërt të akrepave të orës).
Përgjigje: VB- 0,5 m / s, co 2 \u003d 1,66 s -1.
Lëvizja e një figure të sheshtë përbëhet nga lëvizje përkthimore, kur të gjitha pikat e figurës lëvizin me shpejtësinë e polit. POR, dhe nga lëvizja rrotulluese rreth këtij poli (Fig. 3.4). Çdo shpejtësi pikë M figurat formohen gjeometrikisht nga shpejtësitë që merr pika në secilën prej këtyre lëvizjeve.
Figura 3.4
Në të vërtetë, pozicioni i pikës M në raport me akset Ohy përcaktuar nga rrezja - vektori
, ku - vektori i rrezes së polit POR,=
- vektori i rrezes që përcakton pozicionin e pikës M relativisht
duke lëvizur me shtyllë POR në mënyrë progresive. Pastaj
.
është shpejtësia e shtyllës POR,e barabartë me shpejtësinë
, cila pikë M merr në
, d.m.th. në lidhje me sëpatat
, ose, me fjalë të tjera, kur figura rrotullohet rreth polit POR. Kështu rrjedh se
ku ω është shpejtësia këndore e figurës.
Figura 3.5
Në këtë mënyrë, shpejtësia e çdo pike M të një figure të rrafshët është gjeometrikisht shuma e shpejtësisë së një pike tjetër A, e marrë si pol, dhe shpejtësisë që merr pika M kur figura rrotullohet rreth këtij poli. Moduli dhe drejtimi i shpejtësisë gjenden duke ndërtuar paralelogramin përkatës (Fig. 3.5).
10.3. Teorema mbi projeksionet e shpejtësive të dy pikave të trupit
Një nga mënyrat e thjeshta për të përcaktuar shpejtësinë e pikave të një figure të rrafshët (ose të një trupi që lëviz në mënyrë paralele) është teorema: projeksionet e shpejtësive të dy pikave të një trupi të ngurtë në boshtin që kalon nëpër këto pika janë të barabarta me njëra-tjetrën.
Figura 3.6
Shqyrtoni disa pika POR dhe AT figurë (ose trup) e sheshtë (Fig. 3.6). Duke marrë një pikë POR për pol ne e marrim atë
. Prandaj, projektimi i të dy pjesëve të barazisë në boshtin e drejtuar përgjatë AB, dhe duke pasur parasysh se vektori
pingul AB, ne gjejme
, |
dhe teorema vërtetohet. Vini re se ky rezultat është gjithashtu i qartë nga konsideratat thjesht fizike: nëse barazia
nuk do të kryhet, atëherë kur lëviz distancën ndërmjet pikave POR dhe AT duhet të ndryshojë, gjë që është e pamundur - trupi është absolutisht i fortë. Prandaj, kjo barazi plotësohet jo vetëm për planin paralel, por edhe për çdo lëvizje të një trupi të ngurtë.
10.4. Përcaktimi i shpejtësive të pikave të një figure të rrafshët duke përdorur qendrën e menjëhershme të shpejtësive
Një metodë tjetër e thjeshtë dhe ilustruese për përcaktimin e shpejtësive të pikave të një figure të rrafshët (ose të një trupi në lëvizje plani) bazohet në konceptin e qendrës së menjëhershme të shpejtësive.
Qendra e menjëhershme e shpejtësive (ICV) është pika e një figure të sheshtë, shpejtësia e së cilës në një moment të caktuar kohor është e barabartë me zero.
Nëse figura lëviz në mënyrë jo përkthimore, atëherë një pikë e tillë në çdo moment të kohës t ekziston dhe është unike. Lëreni për momentin t pikë POR dhe AT rrafshet e figurës kanë shpejtësi dhe , jo paralele me njëra-tjetrën (Fig. 3.7.). Pastaj pika R i shtrirë në kryqëzimin e pinguleve Ah te vektori dhe ATb te vektori , dhe do të jetë qendra e menjëhershme e shpejtësive, pasi
.
Figura 3.7
Në të vërtetë, nëse
, pastaj nga teorema e projeksionit të shpejtësisë vektori duhet të jetë edhe pingul edhe AR(sepse
), dhe VR(sepse
), gjë që është e pamundur. Nga e njëjta teoremë është e qartë se asnjë pikë tjetër e figurës në këtë moment nuk mund të ketë një shpejtësi të barabartë me zero.
Nëse tani në atë kohë t merr një pikë R për pole. Kjo është shpejtësia e pikës POR do të jetë
,
sepse =0. I njëjti rezultat është marrë për çdo pikë tjetër të figurës. Pastaj, shpejtësitë e pikave të një figure të sheshtë përcaktohen në një moment të caktuar kohor sikur lëvizja e figurës të ishte një rrotullim rreth qendrës së menjëhershme të shpejtësive. ku
( |
dhe kështu me radhë për çdo pikë të figurës.
Nga kjo rezulton gjithashtu se
dhe
, pastaj
=, |
ato. çfarë shpejtësitë e pikave të një figure të rrafshët janë proporcionale me distancën e tyre nga qendra e menjëhershme e shpejtësive.
Rezultatet e marra çojnë në përfundimet e mëposhtme:
1. Për të përcaktuar qendrën e menjëhershme të shpejtësive, është e nevojshme të njihen vetëm drejtimet e shpejtësive, për shembull,dheçdo dy pika A dhe B të një figure të rrafshët.
2. Për të përcaktuar shpejtësinë e çdo pike të një figure të rrafshët, duhet të dini modulin dhe drejtimin e shpejtësisë së cilësdo pikë A të figurës dhe drejtimin e shpejtësisë së pikës tjetër të saj B.
3. Shpejtësia këndoree një figure të sheshtë është e barabartë në çdo moment të kohës me raportin e shpejtësisë së një pike të figurës me distancën e saj nga qendra e menjëhershme e shpejtësive P:
. |
Le të gjejmë një shprehje tjetër për ω
nga barazitë
dhe
vijon se
dhe
, ku
. |
Le të shqyrtojmë disa raste të veçanta të përkufizimit të MCC, të cilat do të ndihmojnë në zgjidhjen e mekanikës teorike.
1. Nëse lëvizja paralele në rrafsh kryhet duke rrokullisur pa rrëshqitje të një trupi cilindrik në sipërfaqen e një trupi tjetër të palëvizshëm, atëherë pika R i një trupi rrotullues që prek një sipërfaqe të palëvizshme (Fig. 3.8), në një moment të caktuar kohor, për shkak të mungesës së rrëshqitjes, ka një shpejtësi të barabartë me zero (
), dhe si rrjedhim është qendra e menjëhershme e shpejtësive.
Figura 3.8
2. Nëse shpejtësia tregon POR dhe AT figura e sheshtë janë paralele me njëra-tjetrën, dhe vija AB jo pingul (Fig. 3.9, a), atëherë qendra e menjëhershme e shpejtësive qëndron në pafundësi dhe shpejtësia e të gjitha pikave // . Në këtë rast, nga teorema e projeksionit të shpejtësisë rrjedh se
, d.m.th.
, në këtë rast figura ka një lëvizje përkthimore të menjëhershme.
3. Nëse shpejtësia tregon POR dhe AT figurë e sheshtë // ndaj njëri-tjetrit dhe në të njëjtën kohë vija AB pingul , pastaj qendra e menjëhershme e shpejtësive R përcaktohet nga konstruksioni (Fig. 3.9, b).
Figura 3.9
Vlefshmëria e konstruksioneve rrjedh nga
. Në këtë rast, ndryshe nga ato të mëparshmet, për të gjetur qendrën R përveç drejtimeve, duhet të njihni edhe modulet e shpejtësive dhe .
4. Nëse vektori i shpejtësisë është i njohur ndonjë pikë AT figura dhe shpejtësia këndore e saj ω
, pastaj pozicioni i qendrës së menjëhershme të shpejtësive R shtrirë pingul me (shih Fig. ?), mund të gjendet nga barazia
, e cila jep
.