Koncepti i kufirit dhe vazhdimësisë së një funksioni. Kufiri dhe vazhdimësia. Vazhdimësia e një funksioni në një pikë dhe në një interval
![Koncepti i kufirit dhe vazhdimësisë së një funksioni. Kufiri dhe vazhdimësia. Vazhdimësia e një funksioni në një pikë dhe në një interval](https://i0.wp.com/mathprofi.ru/i/nepreryvnost_funkcii_i_tochki_razryva_clip_image004.jpg)
Vazhdimësia e funksionit. Pikat e pushimit.
Një dem po ecën, lëkundet, psherëtin në lëvizje:
- Oh, bordi po mbaron, tani do të rrëzohem!
Në këtë mësim, ne do të analizojmë konceptin e vazhdimësisë së një funksioni, klasifikimin e pikave të ndërprerjes dhe një problem praktik të përbashkët. hetimi i një funksioni për vazhdimësi. Nga vetë titulli i temës, shumë intuitivisht marrin me mend se çfarë do të diskutohet dhe mendojnë se materiali është mjaft i thjeshtë. Kjo eshte e vertetë. Por janë detyra të thjeshta që më së shpeshti dënohen për neglizhencë dhe një qasje sipërfaqësore për zgjidhjen e tyre. Prandaj, ju rekomandoj që të studioni me kujdes artikullin dhe të kapni të gjitha hollësitë dhe teknikat.
Çfarë duhet të dini dhe të jeni në gjendje të bëni? Jo shumë. Për një përvojë të mirë mësimore, duhet të kuptoni se çfarë kufiri i funksionit. Për lexuesit me nivel të ulët përgatitjeje, mjafton të kuptojnë artikullin Kufijtë e funksioneve. Shembuj zgjidhjesh dhe shikoni kuptimin gjeometrik të kufirit në manual Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare. Këshillohet gjithashtu që të njiheni me shndërrimet gjeometrike të grafikëve, pasi praktika në shumicën e rasteve përfshin ndërtimin e një vizatimi. Perspektivat janë optimiste për të gjithë, dhe madje edhe një kazan i plotë do të jetë në gjendje të përballojë detyrën më vete në një ose dy orë të ardhshme!
Vazhdimësia e funksionit. Pikat e ndërprerjes dhe klasifikimi i tyre
Koncepti i vazhdimësisë së një funksioni
Konsideroni disa funksione të vazhdueshme në të gjithë vijën reale:
Ose, më shkurt, funksioni ynë është i vazhdueshëm në (bashkësia e numrave realë).
Cili është kriteri “filist” i vazhdimësisë? Është e qartë se grafiku i një funksioni të vazhdueshëm mund të vizatohet pa e hequr lapsin nga letra.
Në këtë rast, duhet të dallohen qartë dy koncepte të thjeshta: fushëveprimi i funksionit dhe vazhdimësia e funksionit. Në përgjithësi nuk është e njejta. Për shembull:
Ky funksion përcaktohet në të gjithë vijën numerike, domethënë për të gjithë vlera e "x" ka vlerën e vet të "y". Në veçanti, nëse , atëherë . Vini re se pika tjetër është hequr, sepse sipas përcaktimit të funksionit, vlera e argumentit duhet të përputhet e vetmja gjë vlera e funksionit. Në këtë mënyrë, domain karakteristikat tona: .
Megjithatë ky funksion nuk është i vazhdueshëm aktiv!Është mjaft e qartë se në atë pikë ajo duron boshllëk. Termi është gjithashtu mjaft i kuptueshëm dhe i qartë, me të vërtetë, këtu lapsi do të duhet të hiqet gjithsesi nga letra. Pak më vonë, ne do të shqyrtojmë klasifikimin e pikave të ndërprerjes.
Vazhdimësia e një funksioni në një pikë dhe në një interval
Në një problem të veçantë matematikor, mund të flasim për vazhdimësinë e një funksioni në një pikë, vazhdimësinë e një funksioni në një interval, gjysmë-interval ose vazhdimësinë e një funksioni në një segment. Kjo eshte, nuk ka "vetëm vazhdimësi"– funksioni mund të jetë i vazhdueshëm DIKU. Dhe "tulla" themelore e gjithçkaje tjetër është vazhdimësia e funksionit në pikën .
Teoria e analizës matematikore përcakton vazhdimësinë e një funksioni në një pikë me ndihmën e lagjeve "delta" dhe "epsilon", por në praktikë është në përdorim një përkufizim tjetër, të cilit do t'i kushtojmë vëmendje.
Le të kujtojmë së pari kufijtë e njëanshëm që shpërtheu në jetën tonë në mësimin e parë rreth grafikëve të funksioneve. Konsideroni një situatë të përditshme:
Nëse afrohemi përgjatë boshtit në pikën majtas(shigjeta e kuqe), atëherë vlerat përkatëse të "lojërave" do të shkojnë përgjatë boshtit deri në pikën (shigjeta e mjedrës). Matematikisht, ky fakt është fiksuar duke përdorur kufiri i dorës së majtë:
Kushtojini vëmendje hyrjes (ajo lexon "x tenton të ka nga e majta"). "Aditiv" "minus zero" simbolizon , që në thelb do të thotë se po i afrohemi numrit nga ana e majtë.
Në mënyrë të ngjashme, nëse i afroheni pikës "ka" në të djathtë(shigjeta blu), atëherë "lojërat" do të vijnë në të njëjtën vlerë, por përgjatë shigjetës së gjelbër, dhe kufiri i dorës së djathtë do të formatohet si më poshtë:
"Suplementi" simbolizon , dhe hyrja lexohet kështu: "x tenton të ka nga e djathta."
Nëse kufijtë e njëanshëm janë të fundëm dhe të barabartë(si në rastin tonë): , atëherë do të themi se ka një kufi të PËRGJITHSHËM . Është e thjeshtë, kufiri total është "i zakonshëm" ynë kufiri i funksionit e barabartë me numrin përfundimtar.
Vini re se nëse funksioni nuk është përcaktuar në (shponi pikën e zezë në degën e grafikut), atëherë llogaritjet e listuara mbeten të vlefshme. Siç është theksuar në mënyrë të përsëritur, veçanërisht në artikull rreth funksioneve infiniteminale, shprehjet nënkuptojnë se "x" pafundësisht afër i afrohet pikës , ndërsa PA RELEVANTE nëse vetë funksioni është i përcaktuar në pikën e caktuar apo jo. Një shembull i mirë do të gjendet në pjesën tjetër, kur të analizohet funksioni.
Përkufizimi: një funksion është i vazhdueshëm në një pikë nëse kufiri i funksionit në një pikë të caktuar është i barabartë me vlerën e funksionit në atë pikë: .
Përkufizimi është i detajuar në termat e mëposhtëm:
1) Funksioni duhet të përcaktohet në pikën , domethënë vlera duhet të ekzistojë.
2) Duhet të ketë një kufi të përbashkët të funksionit. Siç u përmend më lart, kjo nënkupton ekzistencën dhe barazinë e kufijve të njëanshëm: .
3) Kufiri i funksionit në një pikë të caktuar duhet të jetë i barabartë me vlerën e funksionit në këtë pikë: .
Nëse shkelet të paktën një nga tre kushtet, atëherë funksioni humbet vetinë e vazhdimësisë në pikën .
Vazhdimësia e një funksioni në një interval i formuluar me zgjuarsi dhe shumë thjesht: një funksion është i vazhdueshëm në një interval nëse është i vazhdueshëm në çdo pikë të intervalit të dhënë.
Në veçanti, shumë funksione janë të vazhdueshme në intervalin e pafund, domethënë në grupin e numrave realë. Ky është një funksion linear, polinome, eksponent, sinus, kosinus, etj. Dhe në përgjithësi, çdo funksioni elementar e vazhdueshme në të domenet, pra, për shembull, funksioni logaritmik është i vazhdueshëm në intervalin . Shpresoj që deri tani të keni një ide të mirë se si duken grafikët e funksioneve kryesore. Informacion më të detajuar për vazhdimësinë e tyre mund të merret nga një burrë i sjellshëm i quajtur Fichtenholtz.
Me vazhdimësinë e funksionit në segment dhe gjysmë-intervale, gjithçka është gjithashtu e thjeshtë, por është më e përshtatshme të flasim për këtë në mësim. për gjetjen e vlerave minimale dhe maksimale të një funksioni në një segment deri atëherë, le të mbajmë kokën ulur.
Klasifikimi i pikave të thyerjes
Jeta magjepsëse e funksioneve është e pasur me të gjitha llojet e pikave të veçanta, dhe pikat e thyerjes janë vetëm një nga faqet e biografisë së tyre.
shënim : për çdo rast, do të ndalem në një moment elementar: pika e thyerjes është gjithmonë pikë e vetme- nuk ka "disa pika pushimi me radhë", domethënë nuk ekziston një gjë e tillë si "interval pushimi".
Këto pika, nga ana tjetër, ndahen në dy grupe të mëdha: thyerje të llojit të parë dhe thyerje të llojit të dytë. Çdo lloj hendeku ka veçoritë e veta karakteristike, të cilat do t'i shikojmë tani:
Pika e ndërprerjes së llojit të parë
Nëse në një pikë cenohet kushti i vazhdimësisë dhe kufijtë e njëanshëm të fundme , atëherë quhet pika e thyerjes së llojit të parë.
Le të fillojmë me rastin më optimist. Sipas idesë fillestare të mësimit, doja të tregoja teorinë "në terma të përgjithshëm", por për të demonstruar realitetin e materialit, u vendosa në një variant me aktorë të veçantë.
Mjerisht, si një foto e porsamartuarve në sfondin e Flakës së Përjetshme, por korniza e mëposhtme pranohet përgjithësisht. Le të vizatojmë një grafik të funksionit në vizatim:
Ky funksion është i vazhdueshëm në të gjithë vijën numerike, përveç pikës. Në të vërtetë, emëruesi nuk mund të jetë i barabartë me zero. Sidoqoftë, në përputhje me kuptimin e kufirit - ne mundemi pafundësisht afër afrohuni "zeros" si nga e majta ashtu edhe nga e djathta, domethënë ekzistojnë kufij të njëanshëm dhe, padyshim, përkojnë: (Kushti i vazhdimësisë nr. 2 plotësohet).
Por funksioni nuk është i përcaktuar në pikën, prandaj, gjendja nr. 1 e vazhdimësisë është shkelur dhe funksioni pëson një ndërprerje në këtë pikë.
Një thyerje e këtij lloji (me ekzistuesen kufiri i përgjithshëm) quhen boshllëk i riparueshëm. Pse e lëvizshme? Sepse funksioni mund ripërcaktoje në pikën e thyerjes:
A duket e çuditshme? Ndoshta. Por një rekord i tillë funksioni nuk kundërshton asgjë! Tani hendeku është rregulluar dhe të gjithë janë të lumtur:
Le të bëjmë një kontroll zyrtar:
2) – ekziston një kufi i përbashkët;
3)
Kështu, të tre kushtet plotësohen, dhe funksioni është i vazhdueshëm në një pikë nga përcaktimi i vazhdimësisë së një funksioni në një pikë.
Megjithatë, ata që urrejnë matan mund të ripërcaktojnë funksionin në një mënyrë të keqe, për shembull :
Çuditërisht, dy kushtet e para të vazhdimësisë plotësohen këtu:
1) - funksioni është përcaktuar në një pikë të caktuar;
2) - ekziston një kufi i përbashkët.
Por kufiri i tretë nuk është kaluar: , pra kufiri i funksionit në pikë jo të barabartë vlera e funksionit të dhënë në pikën e caktuar.
Kështu, në një pikë, funksioni pëson një ndërprerje.
Rasti i dytë, më i trishtuar quhet thyerje e llojit të parë me një kërcim. Dhe trishtimi ngjallet nga kufijtë e njëanshëm që të fundme dhe të ndryshme. Një shembull tregohet në vizatimin e dytë të mësimit. Ky hendek zakonisht ndodh në funksionet pjesë-pjesë përmendur tashmë në artikull. rreth transformimeve të grafikut.
Konsideroni një funksion pjesë-pjesë dhe ekzekutoni vizatimin e saj. Si të ndërtoni një grafik? Shume e thjeshte. Në gjysmë-interval vizatojmë një fragment të parabolës (jeshile), në interval - një segment të vijës së drejtë (e kuqe), dhe në gjysmë-interval - një vijë të drejtë (blu).
Në të njëjtën kohë, për shkak të pabarazisë, vlera përcaktohet për një funksion kuadratik (pika e gjelbër), dhe për shkak të pabarazisë, vlera përcaktohet për një funksion linear (pika blu):
Në rastin më të vështirë, duhet të përdoret ndërtimi pikësor i secilës pjesë të grafikut (shih të parën mësim rreth grafikëve të funksioneve).
Tani për tani, ne jemi të interesuar vetëm për pikën. Le ta shqyrtojmë atë për vazhdimësi:
2) Llogaritni kufijtë e njëanshëm.
Në të majtë kemi një segment të vijës së kuqe, kështu që kufiri në të majtë është:
Në të djathtë është vija e drejtë blu dhe kufiri në të djathtë:
Si rezultat, numrat e fundëm, dhe ata jo të barabartë. Sepse kufijtë e njëanshëm të fundme dhe të ndryshme: , atëherë funksioni ynë vuan ndërprerje e llojit të parë me kërcim.
Është logjike që hendeku nuk mund të eliminohet - funksioni nuk mund të përcaktohet më tej dhe "të mos ngjitet së bashku", si në shembullin e mëparshëm.
Pikat e ndërprerjes së llojit të dytë
Zakonisht, të gjitha rastet e tjera të këputjes i atribuohen me dinakëri kësaj kategorie. Unë nuk do të listoj gjithçka, sepse në praktikë në 99% të detyrave do të hasni hendek i pafund- kur është mëngjarash ose djathtas, dhe më shpesh, të dy kufijtë janë të pafund.
Dhe, sigurisht, fotografia më e dukshme është një hiperbolë në zero. Këtu të dy kufijtë e njëanshëm janë të pafund: , pra, funksioni pëson një ndërprerje të llojit të dytë në pikën .
Përpiqem t'i mbush artikujt e mi me përmbajtjen më të larmishme, kështu që le të shohim grafikun e funksionit, i cili ende nuk është parë:
sipas skemës standarde:
1) Funksioni nuk është përcaktuar në këtë pikë sepse emëruesi shkon në zero.
Sigurisht, mund të konkludohet menjëherë se funksioni pëson një ndërprerje në pikën , por do të ishte mirë të klasifikohej natyra e thyerjes, e cila shpesh kërkohet nga kushtet. Për këtë:
Ju kujtoj se një rekord do të thotë numër negativ pafundësisht i vogël, dhe nën hyrje - numër pozitiv pafundësisht i vogël.
Kufijtë e njëanshëm janë të pafund, që do të thotë se funksioni pëson një ndërprerje të llojit të dytë në pikën . Boshti y është asimptotë vertikale për grafikun.
Nuk është e rrallë që ekzistojnë të dy kufijtë e njëanshëm, por vetëm njëri prej tyre është i pafund, për shembull:
Ky është grafiku i funksionit.
Ne shqyrtojmë pikën për vazhdimësi:
1) Funksioni nuk është i përcaktuar në këtë pikë.
2) Llogaritni kufijtë e njëanshëm:
Ne do të flasim për metodologjinë për llogaritjen e kufijve të tillë të njëanshëm në dy shembujt e fundit të leksionit, megjithëse shumë lexues tashmë kanë parë dhe hamendësuar gjithçka.
Kufiri i majtë është i fundëm dhe është i barabartë me zero (ne "nuk shkojmë në vetë pikën"), por kufiri i djathtë është i pafund dhe dega portokalli e grafikut është pafundësisht afër saj. asimptotë vertikale dhënë nga ekuacioni (vijë e zezë e ndërprerë).
Kështu, funksioni vuan thyerje e llojit të dytë në pikën.
Për sa i përket një ndërprerjeje të llojit të parë, një funksion mund të përcaktohet në vetë pikën e ndërprerjes. Për shembull, për një funksion pjesë-pjesë vendosni me guxim një pikë të zezë të theksuar në origjinë. Në të djathtë është një degë e hiperbolës, dhe kufiri në të djathtë është i pafund. Unë mendoj se pothuajse të gjithë imagjinuan se si duket ky grafik.
Ajo që të gjithë prisnin me padurim:
Si të hulumtohet një funksion për vazhdimësi?
Studimi i funksionit të vazhdimësisë në një pikë kryhet sipas skemës rutinë të mbështjellë tashmë, e cila konsiston në kontrollimin e tre kushteve të vazhdimësisë:
Shembulli 1
Funksioni i eksplorimit
Zgjidhje:
1) E vetmja pikë bie nën pamje, ku funksioni nuk është i përcaktuar.
2) Llogaritni kufijtë e njëanshëm:
Kufijtë e njëanshëm janë të fundëm dhe të barabartë.
Kështu, në një pikë, funksioni pëson një ndërprerje të ndërprerë.
Si duket grafiku i këtij funksioni?
Unë dua të thjeshtoj , dhe duket se është një parabolë e zakonshme. POR funksioni origjinal nuk është përcaktuar në pikën, kështu që kërkohet paralajmërimi i mëposhtëm:
Le të ekzekutojmë vizatimin:
Përgjigju: funksioni është i vazhdueshëm në të gjithë vijën numerike me përjashtim të pikës ku pëson një ndërprerje.
Funksioni mund të ripërcaktohet në një mënyrë të mirë ose jo aq të mirë, por kjo nuk kërkohet nga kushti.
Ju thoni që shembulli është i largët? Aspak. Ka ndodhur dhjetëra herë në praktikë. Pothuajse të gjitha detyrat e faqes vijnë nga puna reale e pavarur dhe kontrolluese.
Le të zbërthejmë modulet tona të preferuara:
Shembulli 2
Funksioni i eksplorimit për vazhdimësi. Përcaktoni natyrën e ndërprerjeve të funksionit, nëse ka. Ekzekutoni vizatimin.
Zgjidhje: për disa arsye, studentët kanë frikë dhe nuk u pëlqejnë funksionet me një modul, megjithëse nuk ka asgjë të komplikuar në to. Këto gjëra tashmë i kemi prekur pak në mësim. Transformimet e Komplotit Gjeometrik. Meqenëse moduli është jo negativ, ai zgjerohet si më poshtë: , ku "alfa" është një shprehje. Në këtë rast, , dhe funksioni ynë duhet të nënshkruajë pjesë-pjesë:
Por fraksionet e të dy pjesëve duhet të reduktohen me . Reduktimi, si në shembullin e mëparshëm, nuk do të kalojë pa pasoja. Funksioni origjinal nuk përcaktohet në pikë sepse emëruesi zhduket. Prandaj, sistemi duhet të specifikojë gjithashtu kushtin dhe të bëjë të rreptë pabarazinë e parë:
Tani për një truk shumë të dobishëm: përpara se të përfundoni detyrën në një draft, është e dobishme të bëni një vizatim (pavarësisht nëse kërkohet nga kushti apo jo). Kjo do të ndihmojë, së pari, për të parë menjëherë pikat e vazhdimësisë dhe pikat e ndërprerjes, dhe së dyti, do t'ju shpëtojë 100% nga gabimet kur gjeni kufij të njëanshëm.
Le të bëjmë trukun. Në përputhje me llogaritjet tona, në të majtë të pikës është e nevojshme të vizatoni një fragment të një parabole (blu), dhe në të djathtë - një pjesë të një parabole (e kuqe), ndërsa funksioni nuk përcaktohet në vetë pikën. :
Kur jeni në dyshim, merrni disa vlera "x", zëvendësojini ato në funksion (duke kujtuar se moduli shkatërron një shenjë të mundshme minus) dhe kontrolloni grafikun.
Ne hetojmë funksionin për vazhdimësi në mënyrë analitike:
1) Funksioni nuk është i përcaktuar në pikën , kështu që menjëherë mund të themi se nuk është i vazhdueshëm në të.
2) Le të përcaktojmë natyrën e ndërprerjes, për këtë ne llogarisim kufijtë e njëanshëm:
Kufijtë e njëanshëm janë të fundëm dhe të ndryshëm, që do të thotë se funksioni pëson një ndërprerje të llojit të parë me një kërcim në pikën . Edhe një herë, vini re se kur gjeni kufijtë, nuk ka rëndësi nëse funksioni në pikën e ndërprerjes është i përcaktuar apo jo.
Tani mbetet për të transferuar vizatimin nga drafti (ai u bë, si të thuash, me ndihmën e kërkimit ;-)) dhe të përfundoni detyrën:
Përgjigju: funksioni është i vazhdueshëm në të gjithë vijën numerike me përjashtim të pikës ku pëson një ndërprerje të llojit të parë me një kërcim.
Ndonjëherë kërkohet të tregohet gjithashtu kërcimi i ndërprerjes. Ai llogaritet në mënyrë elementare - kufiri i majtë duhet të zbritet nga kufiri i djathtë: d.m.th., në pikën e thyerjes, funksioni ynë u hodh 2 njësi poshtë (për të cilën na tregon shenja minus).
Shembulli 3
Funksioni i eksplorimit për vazhdimësi. Përcaktoni natyrën e ndërprerjeve të funksionit, nëse ka. Bëni një vizatim.
Ky është një shembull për vetë-zgjidhje, një shembull zgjidhjeje në fund të orës së mësimit.
Le të kalojmë në versionin më të njohur dhe më të zakonshëm të detyrës, kur funksioni përbëhet nga tre pjesë:
Shembulli 4
Hetoni funksionin për vazhdimësi dhe vizatoni grafikun e funksionit .
Zgjidhje: është e qartë se të tre pjesët e funksionit janë të vazhdueshme në intervalet përkatëse, kështu që mbetet të kontrollohen vetëm dy pika "bashkimi" midis pjesëve. Së pari, le të bëjmë një vizatim në një draft, unë komentova teknikën e ndërtimit në detaje të mjaftueshme në pjesën e parë të artikullit. E vetmja gjë është të ndjekim me kujdes pikat tona njëjës: për shkak të pabarazisë, vlera i përket vijës së drejtë (pika e gjelbër), dhe për shkak të pabarazisë, vlera i përket parabolës (pika e kuqe):
Epo, në parim, gjithçka është e qartë =) Mbetet për të hartuar një vendim. Për secilën nga dy pikat "prapa", ne kontrollojmë 3 kushte vazhdimësie si standard:
I) Ne shqyrtojmë pikën për vazhdimësi
1)
Kufijtë e njëanshëm janë të fundëm dhe të ndryshëm, që do të thotë se funksioni pëson një ndërprerje të llojit të parë me një kërcim në pikën .
Le të llogarisim kërcimin e ndërprerjes si diferencë midis kufirit të djathtë dhe të majtë:
, domethënë, grafiku u hodh një njësi lart.
II) Ne shqyrtojmë pikën për vazhdimësi
1) – funksioni përcaktohet në pikën e dhënë.
2) Gjeni kufijtë e njëanshëm:
– kufijtë e njëanshëm janë të fundëm dhe të barabartë, pra ekziston një kufi i përbashkët.
3) – kufiri i një funksioni në një pikë është i barabartë me vlerën e këtij funksioni në një pikë të caktuar.
Në fazën përfundimtare, ne e transferojmë vizatimin në një kopje të pastër, pas së cilës vendosim akordin përfundimtar:
Përgjigju: funksioni është i vazhdueshëm në të gjithë vijën numerike, me përjashtim të pikës ku pëson një ndërprerje të llojit të parë me një kërcim.
Shembulli 5
Hulumtoni një funksion për vazhdimësinë dhe ndërtoni grafikun e tij .
Ky është një shembull për një zgjidhje të pavarur, një zgjidhje të shkurtër dhe një mostër të përafërt të problemit në fund të mësimit.
Mund të krijohet përshtypja se në një moment funksioni duhet të jetë domosdoshmërisht i vazhdueshëm, dhe në një pikë tjetër duhet të ketë domosdoshmërisht një ndërprerje. Në praktikë, kjo nuk është gjithmonë rasti. Mundohuni të mos neglizhoni shembujt e mbetur - do të ketë disa veçori interesante dhe të rëndësishme:
Shembulli 6
Jepet një funksion . Hulumtoni funksionin për vazhdimësinë në pikat . Ndërtoni një grafik.
Zgjidhje: dhe përsëri ekzekutoni menjëherë vizatimin në draft:
E veçanta e këtij grafiku është se për funksionin pjesë-pjesë jepet ekuacioni i boshtit të abshisës. Këtu, ky seksion vizatohet në të gjelbër, dhe në një fletore zakonisht theksohet me guxim me një laps të thjeshtë. Dhe, natyrisht, mos harroni për delet tona: vlera i referohet degës tangjente (pika e kuqe), dhe vlera i përket vijës së drejtë.
Gjithçka është e qartë nga vizatimi - funksioni është i vazhdueshëm në të gjithë vijën e numrave, mbetet për të hartuar një zgjidhje që është sjellë në automatizëm të plotë fjalë për fjalë pas 3-4 shembujve të ngjashëm:
I) Ne shqyrtojmë pikën për vazhdimësi
1) - funksioni përcaktohet në një pikë të caktuar.
2) Llogaritni kufijtë e njëanshëm:
, kështu që ekziston një kufi i përbashkët.
Vetëm për çdo zjarrfikës, më lejoni t'ju kujtoj një fakt të parëndësishëm: kufiri i një konstante është i barabartë me vetë konstantën. Në këtë rast, kufiri i zeros është i barabartë me vetë zeron (kufiri i majtë).
3) – kufiri i një funksioni në një pikë është i barabartë me vlerën e këtij funksioni në një pikë të caktuar.
Kështu, një funksion është i vazhdueshëm në një pikë sipas përcaktimit të një funksioni të vazhdueshëm në një pikë.
II) Ne shqyrtojmë pikën për vazhdimësi
1) - funksioni përcaktohet në një pikë të caktuar.
2) Gjeni kufijtë e njëanshëm:
Dhe këtu - kufiri i njësisë është i barabartë me vetë njësinë.
- ekziston një kufi i përbashkët.
3) – kufiri i një funksioni në një pikë është i barabartë me vlerën e këtij funksioni në një pikë të caktuar.
Kështu, një funksion është i vazhdueshëm në një pikë sipas përcaktimit të një funksioni të vazhdueshëm në një pikë.
Si zakonisht, pas studimit, ne e transferojmë vizatimin tonë në një kopje të pastër.
Përgjigju: funksioni është i vazhdueshëm në pikat .
Ju lutemi vini re se në gjendjen nuk na pyetën asgjë për studimin e të gjithë funksionit për vazhdimësi dhe konsiderohet formë e mirë matematikore për të formuluar i saktë dhe i qartë përgjigje për pyetjen e parashtruar. Meqë ra fjala, nëse sipas kushtit nuk kërkohet të ndërtoni një grafik, atëherë keni të drejtë të mos e ndërtoni (edhe pse më vonë mësuesi mund t'ju detyrojë ta bëni këtë).
Një "model" i vogël matematikor për një zgjidhje të pavarur:
Shembulli 7
Jepet një funksion . Hulumtoni funksionin për vazhdimësinë në pikat . Klasifikoni pikat e ndërprerjes, nëse ka. Ekzekutoni vizatimin.
Mundohuni të "shqiptoni" saktë të gjitha "fjalët" =) Dhe vizatoni grafikun më saktë, saktësinë, nuk do të jetë e tepërt kudo ;-)
Siç e mbani mend, ju rekomandova që menjëherë të vizatoni një draft, por herë pas here ka shembuj të tillë ku nuk mund të kuptoni menjëherë se si duket grafiku. Prandaj, në një numër rastesh, është e dobishme që së pari të gjenden kufijtë e njëanshëm dhe vetëm atëherë, në bazë të studimit, të përshkruhen degët. Në dy shembujt e fundit, do të mësojmë gjithashtu teknikën e llogaritjes së disa kufijve të njëanshëm:
Shembulli 8
Hulumtoni funksionin për vazhdimësi dhe ndërtoni grafikun e tij skematik.
Zgjidhje: pikat e këqija janë të dukshme: (e kthen emëruesin e eksponentit në zero) dhe (e kthen në zero emëruesin e të gjithë thyesës). Nuk është e qartë se si duket grafiku i këtij funksioni, që do të thotë se është më mirë të bësh kërkime fillimisht.
Nëse një grup nuk përmban elemente, atëherë thirret grup bosh dhe të regjistruara Ø .
Kuantifikues i ekzistencës
∃- sasior ekzistencial, përdoret në vend të fjalëve "ekziston",
"në dispozicion". Përdoret edhe kombinimi i simboleve ∃!, i cili lexohet se ka vetëm një.
Vlere absolute
Përkufizimi. Vlera absolute (moduli) i një numri real është një numër jo negativ, i cili përcaktohet nga formula:
Për shembull,
Karakteristikat e modulit
Nëse dhe janë numra realë, atëherë vlejnë barazitë e mëposhtme:
Funksioni
një marrëdhënie midis dy ose më shumë sasive, në të cilën çdo vlerë e një sasie, të quajtur argumentet e një funksioni, shoqërohet me vlerat e sasive të tjera, të quajtura vlerat e funksionit.
Shtrirja e funksionit
Domeni i një funksioni janë ato vlera të ndryshores së pavarur x për të cilat të gjitha operacionet e përfshira në funksion do të jenë të ekzekutueshme.
funksion të vazhdueshëm
Një funksion f (x) i përcaktuar në një fqinjësi të një pike a quhet i vazhdueshëm në këtë pikë nëse
![]() |
Sekuencat e numrave
funksionin e pamjes y= f(x), x O N, ku Nështë bashkësia e numrave natyrorë (ose një funksion i një argumenti natyror), i shënuar y=f(n) ose y 1 ,y 2 ,…, y n,…. vlerat y 1 ,y 2 ,y 3 , ... quhen përkatësisht anëtarët e parë, të dytë, të tretë, ... të sekuencës.
Kufiri i funksionit të argumentit të vazhdueshëm
Numri A quhet kufiri i funksionit y=f(x) për x->x0, nëse për të gjitha vlerat e x që ndryshojnë mjaft pak nga numri x0, vlerat përkatëse të funksionit f(x ) ndryshojnë në mënyrë arbitrare pak nga numri A
funksion pafundësisht i vogël
Funksioni y=f(x) thirrur pafundësisht i vogël në x→a ose kur x→∞ nëse ose , d.m.th. Një funksion infinite vogël është një funksion, kufiri i të cilit në një pikë të caktuar është zero.
![]() |
Koncepti i kufirit të një sekuence numerike
Le të kujtojmë fillimisht përkufizimin e një sekuence numerike.
Përkufizimi 1
Hartëzimi i bashkësisë së numrave natyrorë në bashkësinë e numrave realë quhet sekuencë numerike.
Koncepti i kufirit të një sekuence numerike ka disa përkufizime themelore:
- Një numër real $a$ quhet kufiri i një sekuence numerike $(x_n)$ nëse për çdo $\varepsilon >0$ ekziston një indeks $N$ në varësi të $\varepsilon$ i tillë që për çdo indeks $n> N $ pabarazia $\left|x_n-a\djathtas|
- Një numër real $a$ quhet kufiri i një sekuence numerike $(x_n)$ nëse ndonjë fqinjësi e pikës $a$ përmban të gjithë anëtarët e sekuencës $(x_n)$, me përjashtim të mundshëm të një numri të fundëm të anëtarët.
Konsideroni një shembull të llogaritjes së vlerës së kufirit të një sekuence numerike:
Shembulli 1
Gjeni kufirin $(\mathop(lim)_(n\to \infty ) \frac(n^2-3n+2)(2n^2-n-1)\ )$
Zgjidhja:
Për të zgjidhur këtë detyrë, së pari duhet të nxjerrim kllapat e shkallës më të lartë të përfshira në shprehjen:
$(\mathop(lim)_(n\to \infty ) \frac(n^2-3n+2)(2n^2-n-1)\ )=(\mathop(lim)_(x\to \ infty ) \frac(n^2\left(1-\frac(3)(n)+\frac(2)(n^2)\djathtas))(n^2\left(2-\frac(1) (n)-\frac(1)(n^2)\djathtas))\ )=(\mathop(lim)_(n\to \infty) \frac(1-\frac(3)(n)+\ frac(2)(n^2))(2-\frac(1)(n)-\frac(1)(n^2))\ )$
Nëse emëruesi është një vlerë pafundësisht e madhe, atëherë i gjithë kufiri tenton në zero, $\mathop(lim)_(n\to \infty )\frac(1)(n)=0$, duke përdorur këtë, marrim:
$(\mathop(lim)_(n\to \infty ) \frac(1-\frac(3)(n)+\frac(2)(n^2))(2-\frac(1)(n )-\frac(1)(n^2))\ )=\frac(1-0+0)(2-0-0)=\frac(1)(2)$
Përgjigje:$\frac(1)(2)$.
Koncepti i kufirit të një funksioni në një pikë
Koncepti i kufirit të një funksioni në një pikë ka dy përkufizime klasike:
Përkufizimi i termit "kufi" sipas Cauchy
Një numër real $A$ quhet kufiri i funksionit $f\left(x\right)$ si $x\në a$ nëse për çdo $\varepsilon > 0$ ekziston $\delta >0$ në varësi të $ \varepsilon $, e tillë që për çdo $x\në X^(\backslash a)$ që plotëson pabarazinë $\left|x-a\right|
Përkufizimi i Heine
Një numër real $A$ quhet kufiri i funksionit $f\left(x\right)$ për $x\në a$ nëse për çdo sekuencë $(x_n)\në X$ konvergjent në $a$ sekuenca e vlerat $f (x_n)$ konvergjon në $A$.
Këto dy përkufizime janë të lidhura.
Vërejtje 1
Përkufizimet e Cauchy dhe Heine të kufirit të një funksioni janë ekuivalente.
Përveç qasjeve klasike për llogaritjen e kufijve të një funksioni, le të kujtojmë formulat që gjithashtu mund të ndihmojnë në këtë.
Tabela e funksioneve ekuivalente kur $x$ është infinite vogël (shkon në zero)
Një qasje për zgjidhjen e kufijve është parimi i zëvendësimit nga një funksion ekuivalent. Tabela e funksioneve ekuivalente është paraqitur më poshtë, për ta përdorur atë, në vend të funksioneve në të djathtë, zëvendësoni funksionin elementar përkatës në të majtë në shprehje.
Figura 1. Tabela e ekuivalencës së funksionit. Autor24 - shkëmbim online i punimeve të studentëve
Gjithashtu, për të zgjidhur kufijtë, vlerat e të cilave janë reduktuar në pasiguri, është e mundur të zbatohet rregulli L'Hospital. Në rastin e përgjithshëm, pasiguria e formës $\frac(0)(0)$ mund të zbulohet duke faktorizuar numëruesin dhe emëruesin dhe më pas duke reduktuar. Një papërcaktueshmëri e formës $\frac(\infty )(\infty)$ mund të zgjidhet pas pjesëtimit të shprehjeve në numërues dhe emërues me variablin në të cilin gjendet fuqia më e lartë.
Kufij të shquar
- Kufiri i parë i shquar:
$(\mathop(lim)_(x\në 0) \frac(sinx)(x)\ )=1$
- Kufiri i dytë i shquar:
$\mathop(lim)_(x\në 0)((1+x))^(\frac(1)(x))=e$
Kufijtë e Veçantë
- Kufiri i parë special:
$\mathop(lim)_(x\to 0)\frac(((log)_a (1+x-)\ ))(x)=((log)_a e\ )=\frac(1)(lna ) $
- Kufiri i dytë i veçantë:
$\mathop(lim)_(x\në 0)\frac(a^x-1)(x)=lna$
- Kufiri i tretë special:
$\mathop(lim)_(x\në 0)\frac(((1+x))^(\mu)-1)(x)=\mu $
Vazhdimësia e funksionit
Përkufizimi 2
Një funksion $f(x)$ quhet i vazhdueshëm në një pikë $x=x_0$ nëse $\forall \varepsilon >(\rm 0)$ $\exists \delta (\varepsilon ,E_(0))>(\rm 0) $ në mënyrë që $\left|f(x)-f(x_(0))\djathtas|
Funksioni $f(x)$ është i vazhdueshëm në pikën $x=x_0$ nëse $\mathop((\rm lim\; ))\limits_((\rm x)\to (\rm x)_((\ rm 0 )) f(x)=f(x_(0))$.
Një pikë $x_0\në X$ quhet pikë ndërprerjeje e llojit të parë nëse ka kufij të fundëm $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )$, $(\mathop (lim) _(x\në x_0+0) f(x_0)\ )$, por $(\mathop(lim)_(x\në x_0-0) f(x_0)\ )=(\mathop(lim) _ (x\në x_0+0) f(x_0)\ )=f(x_0)$
Për më tepër, nëse $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )=(\mathop(lim)_(x\to x_0+0) f(x_0)\ )\ne f (x_0)$, atëherë kjo është një pikë pushimi, dhe nëse $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )\ne (\mathop(lim)_(x\në x_0+ 0) f(x_0)\ )$, pastaj pika e kërcimit të funksionit.
Një pikë $x_0\në X$ quhet pikë ndërprerjeje e llojit të dytë nëse përmban të paktën një nga kufijtë $(\mathop(lim)_(x\në x_0-0) f(x_0)\ )$, $(\mathop( lim)_(x\to x_0+0) f(x_0)\ )$ përfaqëson pafundësinë ose nuk ekziston.
Shembulli 2
Hetoni për vazhdimësinë $y=\frac(2)(x)$
Zgjidhja:
$(\mathop(lim)_(x\to 0-0) f(x)\ )=(\mathop(lim)_(x\to 0-0) \frac(2)(x)\ )=- \infty $ - funksioni ka një pikë pushimi të llojit të dytë.
Topologjiaështë një degë e matematikës që merret me studimin e kufijve dhe vazhdimësinë e funksioneve. Së bashku me algjebrën, topologjia përbën bazën e përgjithshme të matematikës.
Hapësira topologjike ose figura - një nëngrup i hapësirës sonë homogjene Euklidiane, midis pikave të së cilës është dhënë një lidhje afërsie. Këtu figurat konsiderohen jo si trupa të ngurtë, por si objekte të bëra, si të thuash, prej gome shumë elastike, duke lejuar deformime të vazhdueshme, duke ruajtur vetitë e tyre cilësore.
Një hartë e vazhdueshme një-për-një e figurave quhet homeomorfizmi. Me fjalë të tjera, shifrat homeomorfike, nëse njëra mund të shndërrohet në një tjetër me deformim të vazhdueshëm.
Shembuj. Shifrat e mëposhtme janë homeomorfe (figurat nga grupe të ndryshme nuk janë homeomorfe), të paraqitura në Fig. 2.
1. Segmento dhe lakor pa vetëkryqëzime.
2. Rreth, brenda katror, shirit.
3. Sipërfaqja e sferës, kubit dhe katërkëndëshit.
4. Rreth, elips dhe rreth me nyjë.
5. Një unazë në një plan (një rreth me një vrimë), një unazë në hapësirë, një unazë e përdredhur dy herë, sipërfaqja anësore e një cilindri.
6. Shirit Mobius, d.m.th. një herë unazë e përdredhur, dhe tre herë unazë e përdredhur.
7. Sipërfaqja e një torusi (donuti), e një sfere me dorezë dhe e një torusi me nyjë.
8. Sferë me dy doreza dhe një gjevrek me dy vrima.
Në analizën matematikore, funksionet studiohen me metodën e limiteve. Variabli dhe kufiri janë konceptet bazë.
Në dukuri të ndryshme, disa sasi ruajnë vlerën e tyre numerike, të tjera ndryshojnë. Bashkësia e të gjitha vlerave numerike të një ndryshoreje quhet shtrirjen e kësaj variabël.
Nga mënyrat e ndryshme në të cilat sillet një variabël, më e rëndësishmja është ajo në të cilën ndryshorja priret në një kufi të caktuar.
numër konstant a thirrur ndryshorja x nëse vlera absolute e diferencës ndërmjet x dhe a() bëhet në procesin e ndryshimit të ndryshores x në mënyrë arbitrare të vogla:
Çfarë do të thotë "arbitrarisht i vogël"? e ndryshueshme X priret në kufi a, nëse për ndonjë numër arbitrarisht të vogël (arbitrarisht të vogël) ka një moment të tillë në ndryshimin e ndryshores X, duke u nisur nga e cila pabarazia .
Përkufizimi i një kufiri ka një kuptim të thjeshtë gjeometrik: pabarazinë do të thotë se Xështë në -lagja e pikës a,
ato. në interval
.
Kështu, përkufizimi i kufirit mund të jepet në formë gjeometrike:
Numri aështë kufiri i ndryshores X, nëse për ndonjë arbitrarisht të vogël (arbitrarisht të vogël) -lagja e numrit a mund të specifikoni një moment të tillë në ndryshimin e ndryshores X, duke filluar nga e cila të gjitha vlerat e saj bien në lagjen e specifikuar të pikës a.
Koment. e ndryshueshme X mund t'i afrohet kufirit të tij në mënyra të ndryshme: duke mbetur më pak se ky kufi (në të majtë), më shumë (në të djathtë), duke u luhatur rreth vlerës së kufirit.
Kufiri i sekuencës
Funksioni quhet ligji (rregulli) sipas të cilit çdo element x disa grupe X përputhet me një element të vetëm y grupe Y.
Funksioni mund të përcaktohet në bashkësinë e të gjithë numrave natyrorë: . Një funksion i tillë quhet funksioni i argumentit natyror ose sekuencë numerike.
Meqenëse sekuenca, si çdo grup i pafundëm, nuk mund të specifikohet me numërim, ajo specifikohet nga një anëtar i përbashkët: , ku është termi i përbashkët i sekuencës.
Një variabël diskrete është një anëtar i zakonshëm i një sekuence.
Për një sekuencë, fjalët "duke filluar në një moment" nënkuptojnë fjalët "duke filluar nga një numër".
Numri a quhet kufiri i sekuencës , nëse për ndonjë numër arbitrarisht të vogël (arbitrarisht të vogël) ekziston një numër i tillë N, e cila për të gjithë anëtarët e vargut me numër n>N pabarazia
.
ose
në
.
Gjeometrikisht, përcaktimi i kufirit të një sekuence nënkupton sa më poshtë: për çdo afërsi arbitrare të vogël (arbitrarisht të vogël) - fqinjësi të një numri a ka një numër të tillë që të gjithë termat e sekuencës me më të madhe se N, numrat, bien në këtë lagje. Jashtë lagjes është vetëm një numër i kufizuar i termave fillestarë të sekuencës. Numri natyror N varet nga : .