Metodat aksiomatike në matematikë. Ndërtimi aksiomatik i një sistemi numrash natyrorë Përkufizimi i një numri natyror
Marrëveshje për përdorimin e materialeve të sitit
Ju lutemi përdorni veprat e publikuara në faqe vetëm për qëllime personale. Publikimi i materialeve në faqe të tjera është i ndaluar.
Kjo punë (dhe të gjitha të tjerat) është në dispozicion për shkarkim pa pagesë. Mendërisht, ju mund të falënderoni autorin e saj dhe stafin e faqes.
Dërgoni punën tuaj të mirë në bazën e njohurive është e thjeshtë. Përdorni formularin e mëposhtëm
Studentët, studentët e diplomuar, shkencëtarët e rinj që përdorin bazën e njohurive në studimet dhe punën e tyre do t'ju jenë shumë mirënjohës.
Dokumente të ngjashme
Mbledhja dhe shumëzimi i numrave të plotë p-adic, i përcaktuar si mbledhje termike dhe shumëzim i sekuencave. Unaza e numrave të plotë p-adic, studimi i vetive të pjesëtimit të tyre. Shpjegimi i këtyre numrave duke paraqitur objekte të reja matematikore.
punim afatshkurtër, shtuar 22.06.2015
Si njerëzit mësuan të numëronin, shfaqja e numrave, numrave dhe sistemeve të numrave. Tabela e shumëzimit në "gishtat": teknika e shumëzimit për numrat 9 dhe 8. Shembuj të numërimit të shpejtë. Mënyrat për të shumëzuar një numër dyshifror me 11, 111, 1111, etj. dhe një numër treshifror me 999.
punim afatshkurtër, shtuar 22.10.2011
Një mënyrë e re për të shumëzuar numrat. Ngjashmëria e matricës së numrave të formuar gjatë llogaritjes me trekëndëshin është relative, por ende ekziston, veçanërisht kur shumëzohen numra treshifrorë dhe më të lartë. matricë trekëndore.
artikull, shtuar 02/06/2005
abstrakt, shtuar më 13.01.2011
Karakterizimi i historisë së studimit të kuptimit të numrave të thjeshtë në matematikë duke përshkruar mënyrën e gjetjes së tyre. Kontributi i Pietro Cataldi në zhvillimin e teorisë së numrave të thjeshtë. Metoda e Eratosthenes për përpilimin e tabelave të numrave të thjeshtë. Miqësia e numrave natyrorë.
test, shtuar më 24.12.2010
Bashkësia e numrave realë jonegativë si një nëngrup i interpretuar i R. Pjesëtueshmëria në gjysmëgrupe shumëzuese. Struktura e GCD numerike dhe LCM e gjysmëgrupeve. Studimi i gjysmëgrupeve shumëzues të numrave realë jonegativë me 0 dhe 1.
tezë, shtuar 27.05.2008
Vetitë e numrave realë, roli i tyre në zhvillimin e matematikës. Analiza e ndërtimit të bashkësisë së numrave realë në aspektin historik. Qasje në ndërtimin e teorisë së numrave realë sipas Kantor, Weierstrass, Dedekind. Studimi i tyre në kursin shkollor.
prezantim, shtuar 10/09/2011
Elementet parësore të matematikës. Vetitë e numrave natyrorë. Koncepti i teorisë së numrave. Vetitë e përgjithshme të krahasimeve dhe ekuacioneve algjebrike. Veprime aritmetike me krahasime. Ligjet bazë të aritmetikës. Kontrollimi i rezultateve të veprimeve aritmetike.
punim afatshkurtër, shtuar 15.05.2015
Polisemia
Polisemia, ose paqartësia e fjalëve, lind nga fakti se gjuha është një sistem i kufizuar në krahasim me shumëllojshmërinë e pafund të realitetit, kështu që, sipas fjalëve të akademikut Vinogradov, "Gjuha është e detyruar të shpërndajë një grup të panumërt të kuptimet nën një titull apo një tjetër të koncepteve bazë." (Vinogradov "Gjuha ruse" 1947). Është e nevojshme të bëhet dallimi midis përdorimit të ndryshëm të fjalëve në një variant leksiko-semantik dhe ndryshimit aktual të fjalës. Kështu, për shembull, fjala (das)Ol mund të tregojë një sërë vajrash të ndryshëm, përveç vajit të lopës (për të cilin ekziston fjala Gjalpë). Sidoqoftë, nga kjo nuk rezulton se, duke treguar vajra të ndryshëm, fjala Ol do të ketë çdo herë një kuptim të ndryshëm: në të gjitha rastet, kuptimi i saj do të jetë i njëjtë, domethënë vaj (çdo gjë përveç lopës). Si dhe, për shembull, kuptimi i fjalës tabelë Tisch, pavarësisht se çfarë lloj tabele tregon fjala në këtë rast të veçantë. Ndryshe është situata kur fjala Ol do të thotë vaj. Këtu nuk del më në pah ngjashmëria e vajit përgjatë vijës së lubrifikimit me lloje të ndryshme vaji, por cilësia e veçantë e vajit - djegshmëria. Dhe në të njëjtën kohë, fjalët që tregojnë lloje të ndryshme të karburantit tashmë do të lidhen me fjalën Ol: Kohl, Holz, etj. Kjo na jep mundësinë të dallojmë dy kuptime nga fjala Ol (ose thënë ndryshe dy variante leksiko-semantike): 1) vaj (jo kafshë) 2) vaj.
Zakonisht kuptimet e reja lindin duke transferuar një nga fjalët ekzistuese në një objekt ose fenomen të ri. Kështu formohen vlerat e transferimit. Ato bazohen ose në ngjashmërinë e objekteve, ose në lidhjen e një objekti me një tjetër. Janë të njohura disa lloje të transferimeve të emrave. Më e rëndësishmja prej tyre është metafora ose metonimia.
Në metaforë, transferimi bazohet në ngjashmërinë e gjërave në ngjyrë, formë, lëvizje etj. Me të gjitha ndryshimet metaforike, mbetet një shenjë e konceptit origjinal
homonimia
Polisemia e një fjale është një problem kaq i madh dhe i shumëanshëm, saqë problemet më të ndryshme të leksikologjisë lidhen disi me të. Në veçanti, problemi i homonimisë bie në kontakt me këtë problem në disa aspekte të tij.
Homonimet janë fjalë që tingëllojnë njësoj, por kanë kuptime të ndryshme. Homonimet në disa raste lindin nga polisemia e tyre, e cila ka pësuar një proces shkatërrimi. Por homonimet mund të lindin edhe si rezultat i rastësive të tingujve të rastësishëm. Çelësi që hap derën, dhe çelësi - një sustë ose një kosë - një model flokësh dhe një kosë - një mjet bujqësor - këto fjalë kanë kuptime të ndryshme dhe origjinë të ndryshme, por rastësisht përkojnë në tingullin e tyre.
Homonimet bëjnë dallimin midis leksikut (referojuni një pjese të të folurit, për shembull, çelësi - për të hapur bllokimin dhe çelësin - një burim. burim) morfologjik (referojuni pjesëve të ndryshme të të folurit, për shembull, tre - numëror, tre - folje në mënyrën urdhërore), leksiko-gramatikore, që krijohen si pasojë e shndërrimit, kur fjala e dhënë kalon në një pjesë tjetër të ligjëratës. për shembull në ing. shiko-shikoj dhe shiko-duke. Ka veçanërisht shumë homonime leksikore dhe gramatikore në gjuhën angleze.
Homofonët dhe homografët duhet të dallohen nga homonimet. Fjalët e ndryshme quhen homofone, të cilat, duke ndryshuar në drejtshkrimin e tyre, përkojnë në shqiptim, për shembull: hark - livadh, Seite - faqe dhe Saite - varg.
Homografët janë fjalë kaq të ndryshme që përkojnë në drejtshkrim, megjithëse shqiptohen ndryshe (si në përbërjen e tingullit ashtu edhe nga vendi i theksit në fjalë), për shembull Kala - kështjellë.
Sinonimi
Sinonimet janë të ngjashme në kuptim, por fjalë me tinguj të ndryshëm që shprehin nuancat e të njëjtit koncept.
Ekzistojnë tre lloje sinonimish:
1. Konceptuale, ose ideografike. Ato ndryshojnë nga njëri-tjetri në kuptimin leksikor. Ky ndryshim manifestohet në shkallë të ndryshme të shenjës së caktuar (acar - i ftohtë, i fortë, i fuqishëm, i fuqishëm), në natyrën e emërtimit të tij (xhaketë me tegela - xhaketë me tegela - xhaketë me tegela), në vëllimin e konceptit të shprehur (banderolë - flamuri, i paturpshëm - i guximshëm), në shkallën e lidhjes së vlerave leksikore (kafe - kafe, e zezë - e zezë).
2. Sinonimet janë stilistike ose funksionale. Ato ndryshojnë nga njëri-tjetri në sferën e përdorimit, për shembull, sy - sy, fytyrë - fytyrë, ballë - ballë. Sinonimet emocionale - vlerësuese. Këto sinonime shprehin hapur qëndrimin e folësit ndaj personit, objektit ose fenomenit të caktuar. Për shembull, një fëmijë mund të quhet solemnisht një fëmijë, me dashuri një djalë dhe një djalë i vogël, me përbuzje një djalë dhe një pinjoll, dhe gjithashtu prerazi - me përbuzje një qenush, një pinjoll, një hov.
3. Antonimet - kombinime fjalësh që janë të kundërta në kuptimin leksikor, p.sh.: lart - poshtë, e bardhë - e zezë, fol - hesht, me zë të lartë - qetë.
Antonimia
Ekzistojnë tre lloje të antonimeve:
1. Antonimet e të kundërtave graduale dhe të koordinuara, për shembull, e bardhë - e zezë, e qetë - me zë të lartë, e afërt - e largët, e mirë - e keqe etj. Këto antonime kanë një kuptim të përbashkët, i cili lejon kundërshtimin e tyre. Pra, konceptet e zezë dhe të bardhë tregojnë koncepte të kundërta të ngjyrave.
2. Antonimet e kundrinave plotësuese dhe konvertuese: luftë - paqe, burrë - grua, i martuar - beqar, mund - nuk mund, mbyll - hap.
3. Antonimet e ndarjes dikotomike të koncepteve. Shpesh janë fjalë të njëjta rrënjësore: popullore - antipopullore, legale - ilegale, humane - çnjerëzore.
Interesi është edhe i ashtuquajturi. antonimi brendafjalës, kur kundërshtohen kuptimet e fjalëve që kanë të njëjtën guaskë materiale. Për shembull, në rusisht, folja për t'i dhënë hua dikujt do të thotë "të japësh hua", dhe të marrësh hua nga dikush tashmë do të thotë të huazosh para nga dikush. Kundërvënia brendafjalore e kuptimeve quhet enantiosemi.
6. Ndërtimi aksiomatik i një sistemi numrash natyrorë. Një metodë aksiomatike për ndërtimin e një teorie matematikore. Kërkesat për sistemin e aksiomave: qëndrueshmëri, pavarësi, plotësi. Aksiomatika e Peanos. Koncepti i një numri natyror nga pozicionet aksiomatike. Modelet e sistemit të aksiomave të Peanos. Mbledhja dhe shumëzimi i numrave natyrorë nga pozicionet aksiomatike. Renditja e bashkësisë së numrave natyrorë. Vetitë e bashkësisë së numrave natyrorë. Zbritja dhe ndarja e bashkësisë së numrave natyrorë nga pozicionet aksiomatike. Metoda e induksionit matematik. Futja e zeros dhe ndërtimi i grupit të numrave të plotë jo negativë. Teorema e pjesëtimit me mbetje.
Konceptet dhe përkufizimet bazë
Numri -është shprehje e një sasie të caktuar.
Numri natyror një element i një sekuence të pacaktuar të vazhdueshme.
Numrat natyrorë (numrat natyrorë) - numra që lindin natyrshëm në numërim (si në kuptimin e numërimit ashtu edhe në kuptimin e llogaritjes).
Ekzistojnë dy qasje për përkufizimin e numrave natyrorë - numrat e përdorur në:
numërimi (numërimi) i artikujve (i pari, i dytë, i tretë, ...);
përcaktimi i numrit të artikujve (pa artikuj, një artikull, dy artikuj, ...).
Aksioma - këto janë pikënisjet themelore (parimet e vetëkuptueshme) të një teorie të caktuar, nga e cila, me deduksion, pra me mjete thjesht logjike, nxirret e gjithë pjesa tjetër e përmbajtjes së kësaj teorie.
Një numër që ka vetëm dy pjesëtues (vetë numri dhe një) quhet - numër i thjeshtë.
Numri i përbërëështë një numër që ka më shumë se dy pjesëtues.
§2. Aksiomatika e një numri natyror
Numrat natyrorë fitohen duke numëruar objektet dhe duke matur sasitë. Por nëse gjatë matjes shfaqen numra të ndryshëm nga ata natyrorë, atëherë llogaritja të çon vetëm në numra natyrorë. Për të mbajtur numërimin, ju nevojitet një sekuencë numrash që fillon me një dhe që ju lejon të lëvizni nga një numër në tjetrin dhe aq herë sa është e nevojshme. Me fjalë të tjera, ne kemi nevojë për një segment të serisë natyrore. Prandaj, gjatë zgjidhjes së problemit të vërtetimit të sistemit të numrave natyrorë, para së gjithash ishte e nevojshme t'i përgjigjemi pyetjes se çfarë është një numër si element i serisë natyrore. Përgjigja për këtë u dha në veprat e dy matematikanëve - gjerman Grassmann dhe italian Peano. Ata propozuan një aksiomatike në të cilën numri natyror justifikohej si element i një sekuence të pacaktuar të vazhdueshme.
Ndërtimi aksiomatik i një sistemi numrash natyrorë kryhet sipas rregullave të formuluara.
Pesë aksiomat mund të shihen si një përkufizim aksiomatik i koncepteve bazë:
1 është një numër natyror;
Numri tjetër natyror është një numër natyror;
1 nuk ndjek asnjë numër natyror;
Nëse një numër natyror a ndjek numrin natyror b dhe për një numër natyror Me, pastaj b dhe Me identike;
Nëse ndonjë propozim vërtetohet për 1 dhe nëse nga supozimi se është i vërtetë për një numër natyror n, rezulton se është e vërtetë për sa vijon n numër natyror, atëherë ky propozim është i vërtetë për të gjithë numrat natyrorë.
Njësiaështë numri i parë i serisë natyrore , si dhe një nga shifrat në sistemin e numrave dhjetorë.
Besohet se përcaktimi i një njësie të çdo kategorie me të njëjtën shenjë (mjaft afër me modernen) u shfaq për herë të parë në Babiloninë e Lashtë afërsisht 2 mijë vjet para Krishtit. e.
Grekët e lashtë, të cilët konsideronin vetëm numrat natyrorë si numra, secilin prej tyre e konsideronin si një koleksion njësish. Vetë njësisë i jepet një vend i veçantë: nuk konsiderohej numër.
I. Newton shkroi: "... me numër nënkuptojmë jo aq shumë një koleksion njësish, por një raport abstrakt të një sasie me një sasi tjetër, të pranuar në mënyrë konvencionale nga ne si njësi." Kështu, njësia tashmë ka zënë vendin e saj të merituar midis numrave të tjerë.
Veprimet aritmetike mbi numrat kanë një sërë veçorish. Ato mund të përshkruhen me fjalë, për shembull: "Shuma nuk ndryshon nga një ndryshim në vendet e termave". Mund të shkruhet me shkronja: a+b = b+a. Mund të shprehet në terma specifikë.
Ne i zbatojmë ligjet bazë të aritmetikës shpesh nga zakoni pa e kuptuar atë:
1) ligji komutativ (komutativiteti), - një veti e mbledhjes dhe shumëzimit të numrave, e shprehur me identitete:
a+b = b+a a*b = b*a;
2) ligji asociativ (asociativiteti), - një veti e mbledhjes dhe shumëzimit të numrave, e shprehur me identitete:
(a+b)+c = a+(b+c) (a*b)*c = a*(b*c);
3) ligji shpërndarës (shpërndarja), - një veti që lidh mbledhjen dhe shumëzimin e numrave dhe shprehet me identitete:
a*(b+c) = a*b+a*c (b+c) *a = b*a+c*a.
Pas vërtetimit të ligjeve komutative, asociative dhe distributive (në lidhje me mbledhjen) të veprimit të shumëzimit, ndërtimi i mëtejshëm i teorisë së veprimeve aritmetike mbi numrat natyrorë nuk paraqet vështirësi themelore.
Aktualisht, në mendje ose në një copë letër, ne bëjmë vetëm llogaritjet më të thjeshta, duke u besuar gjithnjë e më shpesh një punë më komplekse llogaritëse kalkulatorëve, kompjuterëve. Sidoqoftë, funksionimi i të gjithë kompjuterëve - të thjeshtë dhe kompleks - bazohet në veprimin më të thjeshtë - mbledhjen e numrave natyrorë. Rezulton se llogaritjet më komplekse mund të reduktohen në shtim, vetëm ky operacion duhet të bëhet shumë miliona herë.
Metodat aksiomatike në matematikë
Një nga arsyet kryesore për zhvillimin e logjikës matematikore është përhapja e gjerë metodë aksiomatike në ndërtimin e teorive të ndryshme matematikore, në radhë të parë, gjeometrisë, e më pas aritmetikës, teorisë së grupeve etj. Metoda Aksiomatike mund të përkufizohet si një teori që ndërtohet mbi një sistem të parapërzgjedhur konceptesh dhe marrëdhëniesh të papërcaktuara ndërmjet tyre.
Në ndërtimin aksiomatik të një teorie matematikore, paraprakisht zgjidhet një sistem i caktuar konceptesh dhe marrëdhëniesh të papërcaktuara midis tyre. Këto koncepte dhe marrëdhënie quhen themelore. Në vijim prezantohen aksiomat ato. dispozitat kryesore të teorisë në shqyrtim, të pranuara pa prova. E gjithë përmbajtja e mëtejshme e teorisë rrjedh logjikisht nga aksiomat. Për herë të parë, ndërtimi aksiomatik i një teorie matematikore u ndërmor nga Euklidi në ndërtimin e gjeometrisë.
Në ndërtimin aksiomatik të çdo teorie matematikore, të caktuara rregulloret:
disa koncepte të teorisë zgjidhen si kryesore dhe pranohen pa përkufizim;
çdo koncepti të teorisë, i cili nuk përfshihet në listën e atyre bazë, i jepet një përkufizim;
formulohen aksiomat - fjali që pranohen në këtë teori pa prova; ato zbulojnë vetitë e koncepteve bazë;
· Çdo fjali e teorisë që nuk është në listën e aksiomave duhet të vërtetohet; pohime të tilla quhen teorema dhe vërtetohen në bazë të aksiomave dhe termave.
Në ndërtimin aksiomatik të një teorie, të gjitha pohimet rrjedhin nga aksiomat me anë të provës.
Prandaj, sistemi i aksiomave i nënshtrohet të veçantë Kërkesat:
Konsistenca (një sistem aksiomash quhet konsistent nëse është e pamundur të nxirren logjikisht dy fjali reciproke ekskluzive prej tij);
pavarësia (një sistem aksiomash quhet i pavarur nëse asnjë nga aksiomat e këtij sistemi nuk është pasojë e aksiomave të tjera).
Një grup me një relacion të dhënë në të quhet model i një sistemi të caktuar aksiomash nëse në të plotësohen të gjitha aksiomat e këtij sistemi.
Ka shumë mënyra për të ndërtuar një sistem aksiomash për bashkësinë e numrave natyrorë. Për konceptin bazë, mund të merret, për shembull, shuma e numrave ose relacioni i rendit. Në çdo rast, është e nevojshme të specifikohet një sistem aksiomash që përshkruajnë vetitë e koncepteve bazë.
Le të japim një sistem aksiomash, duke adoptuar konceptin bazë të veprimit të mbledhjes.
Komplet jo bosh N quhet bashkësia e numrave natyrorë nëse veprimi (a; b) → a + b, i quajtur shtim dhe që ka vetitë:
1. shtimi është komutativ, d.m.th. a + b = b + a.
2. shtimi është asociativ, d.m.th. (a + b) + c = a + (b + c).
4. në çdo grup POR, e cila është një nëngrup i grupit N, ku POR ka një numër të tillë që të gjithë Ha, janë të barabarta a+b, ku bN.
Aksiomat 1 - 4 janë të mjaftueshme për të ndërtuar të gjithë aritmetikën e numrave natyrorë. Por me një ndërtim të tillë, nuk është më e mundur të mbështetemi në vetitë e grupeve të fundme që nuk pasqyrohen në këto aksioma.
Le të marrim si koncept bazë relacionin “ndiq drejtpërdrejt…” të përcaktuar në një grup jo bosh N. Atëherë seria natyrore e numrave do të jetë bashkësia N, në të cilën përcaktohet relacioni "ndikim drejtpërdrejt" dhe të gjithë elementët e N do të quhen numra natyrorë dhe do të qëndrojë vijues: Aksiomat e Peanos:
AXIOMË 1.
në shumësiNekziston një element që nuk ndjek menjëherë asnjë element të këtij grupi. Do ta quajmë një njësi dhe do ta shënojmë me simbolin 1.
AXIOMË 2.
Për çdo element një prejNekziston një element i vetëm a menjëherë pas a.
AXIOMA 3.
Për çdo element një prejNka më së shumti një element i ndjekur menjëherë nga a.
AXOIM 4.
Çdo nënbashkësi M e bashkësisëNpërkon meN, nëse ka vetitë: 1) 1 përmbahet në M; 2) nga fakti që a përmbahet në M, rrjedh se a përmbahet edhe në M.
Shume nga N, për elementët e të cilave vendoset relacioni "menjëherë pasojnë ...", duke plotësuar aksiomat 1 - 4, quhet grup numrash natyrorë , dhe elementet e tij janë numrat natyrorë.
Nëse si një grup N zgjidhni një grup specifik mbi të cilin jepet një lidhje specifike "ndikim drejtpërdrejt ...", duke përmbushur aksiomat 1 - 4, atëherë marrim të ndryshme interpretime (modele) dhënë sistemet e aksiomave.
Modeli standard i sistemit të aksiomave të Peano është një seri numrash që u ngritën në procesin e zhvillimit historik të shoqërisë: 1, 2, 3, 4, 5, ...
Çdo grup i numërueshëm mund të jetë një model i aksiomave Peano.
Për shembull, I, II, III, III, ...
oh oh oh oh oh...
një dy tre katër, …
Konsideroni një sekuencë grupesh në të cilat grupi (oo) është elementi fillestar, dhe çdo grup i mëpasshëm merret nga ai i mëparshmi duke caktuar një rreth më shumë (Fig. 15).
Pastaj Nështë një grup i përbërë nga grupe të formës së përshkruar dhe është një model i sistemit të aksiomave të Peanos.
Në të vërtetë, në shumë N ekziston një element (oo) që nuk ndjek menjëherë asnjë element të grupit të dhënë, d.m.th. vlen aksioma 1. Për çdo grup POR e grupit në shqyrtim, ekziston një grup unik që merret nga POR duke shtuar një rreth, d.m.th. Vlen aksioma 2. Për çdo grup POR ka më së shumti një grup nga i cili formohet grupi POR duke shtuar një rreth, d.m.th. Vlen aksioma 3. Nëse MN dhe dihet se kompleti POR të përfshira në M, rrjedh se bashkësia në të cilën ka një rreth më shumë se në bashkësinë POR, gjithashtu përmbahet në M, pastaj M =N, që do të thotë se Aksioma 4 është e kënaqur.
Në përkufizimin e një numri natyror, asnjë nga aksiomat nuk mund të hiqet.
Le të përcaktojmë se cili nga grupet e paraqitura në Fig. 16 janë një model i aksiomave të Peanos.
|
Zgjidhje. Figura 16 a) tregon një grup në të cilin plotësohen aksiomat 2 dhe 3. Në të vërtetë, për çdo element ka një element unik që e pason menjëherë dhe ka një element unik që pason. Por aksioma 1 nuk vlen në këtë grup (aksioma 4 nuk ka kuptim, sepse nuk ka asnjë element në grup që nuk pason menjëherë ndonjë tjetër). Prandaj, ky grup nuk është një model i aksiomave të Peanos.
Figura 16 b) tregon grupin në të cilin aksiomat 1, 3 dhe 4 plotësohen, por prapa elementit a dy elemente pasojnë menjëherë, dhe jo një, siç kërkohet në aksiomën 2. Prandaj, ky grup nuk është një model i aksiomave të Peanos.
Në fig. 16 c) tregon një grup në të cilin aksiomat 1, 2, 4 plotësohen, por elementi Me pasojnë menjëherë dy elementë. Prandaj, ky grup nuk është një model i aksiomave të Peanos.
Në fig. 16 d) tregon një grup që plotëson aksiomat 2, 3, dhe nëse marrim numrin 5 si element fillestar, atëherë ky grup do të plotësojë aksiomat 1 dhe 4. Domethënë, në këtë grup për çdo element ka një të vetëm menjëherë duke e ndjekur atë, dhe ka një element të vetëm që ndjek. Ekziston edhe një element që nuk ndjek menjëherë asnjë element të këtij grupi, ky është 5 , ato. Vlen aksioma 1. Përkatësisht vlen edhe aksioma 4. Prandaj, ky grup është një model i aksiomave të Peanos.
Duke përdorur aksiomat Peano, ne mund të vërtetojmë një numër pohimesh, për shembull, vërtetojmë se për të gjithë numrat natyrorë pabarazia x x.
Dëshmi. Shënoni me POR bashkësia e numrave natyrorë për të cilët a a. Numri 1 i përket POR, pasi nuk pason asnjë numër nga N, dhe për këtë arsye nuk vijon vetvetiu: 1 1. Le aa, pastaj a a. Shënoni a përmes b. Në bazë të aksiomës 3, ab, ato. bb dhe bA.
Në ndërtimin aksiomatik të çdo teorie, respektohen disa rregulla:
zgjidhen disa koncepte të teorisë si bazë, dhe pranohen pa përkufizim dhe quhen të papërcaktuara.
formulohen aksiomat - fjali që pranohen në këtë teori pa prova; ato zbulojnë vetitë e koncepteve bazë;
jepet çdo koncept i teorisë, i cili nuk gjendet në listën e atyre bazë përkufizim, e shpjegon kuptimin e saj me ndihmën e koncepteve bazë dhe pararendëse;
çdo fjali e teorisë që nuk përfshihet në listën e aksiomave duhet të vërtetohet; pohime të tilla quhen teorema dhe i vërtetojnë ato në bazë të aksiomave dhe teoremave që i paraprijnë asaj në shqyrtim.
Në ndërtimin aksiomatik të një teorie, në thelb të gjitha pohimet nxirren nga prova nga aksiomat. Prandaj, sistemit të aksiomave i vendosen kërkesa të veçanta. Para së gjithash, ajo duhet të jetë e qëndrueshme dhe e pavarur.
Sistemi i aksiomave quhet konsistente nëse prej saj nuk mund të nxirren logjikisht dy fjali reciproke përjashtuese.
Një sistem konsistent aksiomash quhet të pavarur nëse asnjë nga aksiomat e këtij sistemi nuk është pasojë e aksiomave të tjera të këtij sistemi.
Aksiomat, si rregull, janë një pasqyrim i veprimtarive praktike shekullore të njerëzve, dhe kjo përcakton vlefshmërinë e tyre.
Si koncept bazë në ndërtimin aksiomatik të aritmetikës së numrave natyrorë, merret relacioni "ndikim drejtpërdrejt", i dhënë në një grup jo bosh. N. Njihen gjithashtu konceptet e një grupi, një elementi të një grupi dhe koncepte të tjera teorike të grupeve, si dhe rregullat e logjikës.
Elementi menjëherë pas elementit a, caktoj a". Thelbi i marrëdhënies "ndikim drejtpërdrejt" zbulohet në aksiomat e mëposhtme të propozuara nga matematikani italian J. Peano në 1891.
Aksioma 1. në shumësi N ekziston një element që nuk ndjek menjëherë asnjë element të këtij grupi. Ajo quhet njësi dhe shënohet me simbolin 1.
Aksioma 2. Për çdo element a nga N ka vetëm një element a", menjëherë pas a.
Aksioma 3. Për çdo element një prej N ka më së shumti një element i ndjekur menjëherë nga a.
Aksioma 4. (Aksioma e induksionit).Çdo nëngrup M grupe N përkon me N nëse ka këto veti: 1) 1 përmbahet në M; 2) nga fakti se çdo element a të përfshira në M, rrjedh se dhe a" të përfshira në M.
Aksiomat e formuluara shpesh quhen aksiomat e Peanos, dhe aksioma e katërt quhet aksioma e induksionit.
Le t'i shkruajmë këto aksioma në formë simbolike.
POR 1 )( 1 N)( a N)a" 1;
POR 2 )( a N)( !b N)a"=b
POR 3 ) ( a,b, Me N)с = a" с = b" a= b;
A4) M N 1 M (a M a" M) M=N
Duke përdorur relacionin "menjëherë ndjek" dhe aksiomat 1-4 të Peanos, mund të jepet përkufizimi i mëposhtëm i një numri natyror.
Përkufizimi 1. Bashkësia N. për elementet e së cilës vendoset relacioni "menjëherë pason", që plotëson aksiomat 1-4, quhet bashkësia e numrave natyrorë dhe elementet e saj. numrat natyrorë.
___________________________________________________________________
Përkufizimi 2 . Nëse një numër natyrorbmenjëherë pason numrin a, atëherë numri a quhet menjëherë para (para) numritb.
______________________________________________________________________________________________
Teorema 1. Njësia nuk ka numër natyror të mëparshëm (e vërteta e teoremës rrjedh menjëherë nga aksioma POR 1 ).
Teorema 2.Çdo numër natyror a, përveç njërit ka një numër të mëparshëm b , të tillë që b " = a.
Përkufizimi i një numri natyror nuk thotë asgjë për natyrën e elementeve të grupit N. Pra, ajo mund të jetë çdo gjë. Modeli standard i sistemit të aksiomave të Peano është një seri numrash që u ngritën në procesin e zhvillimit historik të shoqërisë:
1, 2, 3, 4, 5 ,..,
Secili numër i kësaj serie ka përcaktimin dhe emrin e tij, të cilin do ta konsiderojmë të njohur.
Është e rëndësishme të theksohet se në përkufizimin e një numri natyror, asnjë nga aksiomat nuk mund të hiqet.
1 a b c d
…
b
Oriz. 16 Oriz. 17
Detyra 1.
Në figura, çdo element është i lidhur me një shigjetë me elementin pas tij.
Përcaktoni se cilat nga grupet e paraqitura në figurat 15 dhe 16 janë modele të sistemit të aksiomave të Peanos.
1. Në fig. 16 tregon një grup në të cilin aksiomat 2 dhe 3 vlejnë, por aksioma 1 nuk vlen.
Aksioma 4 nuk do të ketë kuptim, pasi nuk ka asnjë element në grup që nuk pason menjëherë ndonjë tjetër.
2. Në fig. 17 tregon grupin në të cilin plotësohen aksiomat 1, 2, 3, por aksioma 4 nuk plotësohet - grupi i pikave që shtrihen në rreze përmban 1, dhe së bashku me secilin numër përmban numrin menjëherë pas tij, por jo përkojnë me të gjitha pikat e vendosura të treguara në figurë. Përfundim: asnjë nga grupet e paraqitura në Fig. 16 dhe 17 nuk mund të konsiderohen modele të sistemit të aksiomave të Peanos.
Detyra 2.
Le të vërtetojmë se çdo numër natyror është i ndryshëm nga numri natyror menjëherë pasues, d.m.th. ( X ) X X"
Dëshmi
Ne përdorim aksiomën e induksionit - POR 4 .
Le M=(x/x , X X"}, sepse . X M N.
Prova përbëhet nga dy pjesë.
Le ta vërtetojmë këtë 1 M, ato. 1 1" . Kjo rrjedh nga POR 1 .
Le ta vërtetojmë këtë X M=> X" M. Le X M ato. X X". Le ta vërtetojmë këtë X" M, d.m.th. X" (X")". Dhe aksiomat POR 3 duhet X" (X")". Në të vërtetë, nga POR 3 , nëse x" = (x")" atëherë x = x", dhe pasi me propozim induksioni x M, pastaj x X", prandaj, arrijmë në një kontradiktë. Do të thotë, X" (X")" , X" M.
Këtu zbatohet rregulli i kundërthënës (PC), i cili përdoret gjerësisht në evidentim “me kontradiktë”.
Kështu që ne morëm:
M N (1 M (x M => x " M)) M = N, d.m.th. pohimi x x" është e vërtetë për çdo numër natyror.
Pyetjet e testit
Cili është thelbi i ndërtimit aksiomatik të teorisë?
Cilat janë konceptet bazë të kursit të planimetrisë shkollore. Mbani mend sistemin e aksiomave të këtij kursi. Cilat veti të koncepteve përshkruhen në to?
Formuloni dhe shkruani në formë simbolike aksiomat e Peanos. "
Formuloni një përkufizim aksiomatik të një numri natyror.
Vazhdo përkufizimin e një numri natyror: “Numri natyror është një element i një bashkësie N,... » .
Jepni shembuj nga tekstet e matematikës së shkollës fillore në të cilat:
a) një numër i ri (për studentët) vepron si vazhdim i segmentit të marrë të serisë natyrore;
b) vërtetohet se çdo numër natyror pasohet menjëherë nga vetëm një numër tjetër natyror.
Ushtrime
285. Elementet e bashkësisë janë grupe vizash (I, II, III, IIII,...). A i plotëson ky grup aksiomat e Peanos? Siç përkufizohet këtu, relacioni "ndiq menjëherë". Konsideroni të njëjtat pyetje për grupin (0, 00, 000, 0000,...).
Oriz. 17
286. Në figurën 17 a), çdo element lidhet me një shigjetë me elementin pas tij. A mund të konsiderohet grupi një model i sistemit të aksiomave të Peanos? Të njëjtat pyetje për grupet në figurat 17 b), c), d).
287. A bën bashkësinë e numrave (1, 2, 3 P, ...), nëse relacioni i mëposhtëm është përcaktuar në të si kjo:
1 3 5 7….
2 4 6 8….
288. Jepni shembuj të detyrave nga tekstet e matematikës për klasat fillore, në të cilat saktësia e detyrave shpjegohet me aksiomat e Peanos.
Metoda aksiomatike në matematikë.
Konceptet bazë dhe marrëdhëniet e teorisë aksiomatike të serive natyrore. Përkufizimi i një numri natyror.
Mbledhja e numrave natyrorë.
Shumëzimi i numrave natyrorë.
Vetitë e bashkësisë së numrave natyrorë
Zbritja dhe pjesëtimi i numrave natyrorë.
Metoda aksiomatike në matematikë
Në ndërtimin aksiomatik të çdo teorie matematikore, the rregulla të caktuara:
1. Disa koncepte të teorisë janë zgjedhur si madhor dhe pranohet pa përkufizim.
2. Formuluar aksiomat, të cilat në këtë teori pranohen pa prova, zbulojnë vetitë e koncepteve bazë.
3. Është dhënë çdo koncept i teorisë, i cili nuk përfshihet në listën e atyre bazë përkufizim, ai shpjegon kuptimin e tij me ndihmën e konceptit kryesor dhe paraardhës.
4. Çdo fjali e teorisë që nuk është në listën e aksiomave duhet të vërtetohet. Propozime të tilla quhen teorema dhe t'i vërtetojë ato në bazë të aksiomave dhe teoremave që i paraprijnë asaj në shqyrtim.
Sistemi i aksiomave duhet të jetë:
a) konsistente: duhet të jemi të sigurt se, duke nxjerrë lloj-lloj përfundimesh nga një sistem i caktuar aksiomash, nuk do të arrijmë kurrë në një kontradiktë;
b) të pavarur: asnjë aksiomë nuk duhet të jetë pasojë e aksiomave të tjera të këtij sistemi.
në) i plotë, nëse brenda kornizës së tij është gjithmonë e mundur të vërtetohet ose pohimi i dhënë ose mohimi i tij.
Paraqitja e gjeometrisë nga Euklidi në "Elementet" e tij (shek. III para Krishtit) mund të konsiderohet përvoja e parë e ndërtimit aksiomatik të një teorie. Një kontribut i rëndësishëm në zhvillimin e metodës aksiomatike për ndërtimin e gjeometrisë dhe algjebrës dha N.I. Lobachevsky dhe E. Galois. Në fund të shekullit të 19-të Matematikani italian Peano zhvilloi një sistem aksiomash për aritmetikën.
Konceptet bazë dhe relacionet e teorisë aksiomatike të numrave natyrorë. Përkufizimi i një numri natyror.
Si koncept bazë (i papërcaktuar) në një grup të caktuar N është zgjedhur qëndrim , si dhe konceptet teorike të bashkësive, si dhe rregullat e logjikës.
Elementi menjëherë pas elementit a, caktoj a".
Marrëdhënia "ndiq menjëherë" plotëson aksiomat e mëposhtme:
Aksiomat e Peanos:
Aksioma 1. në shumësi N ka një element, drejtpërdrejt jo tjetër për çdo element të këtij grupi. Le ta thërrasim atë njësi dhe simbolizojnë 1 .
Aksioma 2. Për çdo element a nga N ka vetëm një element a" menjëherë pas a .
Aksioma 3. Për çdo element a nga N ka më së shumti një element i ndjekur menjëherë nga a .
Aksioma 4.Çdo nëngrup M grupe N përkon me N , nëse ka vetitë: 1) 1 të përfshira në M ; 2) nga çfarë a të përfshira në M , rrjedh se dhe a" të përfshira në M.
Përkufizimi 1. Shume nga N , për elementet e të cilit vendoset marrëdhënia "ndiq direkt» që plotëson aksiomat 1-4 quhet grup numrash natyrorë, dhe elementet e tij janë numrat natyrorë.
Ky përkufizim nuk thotë asgjë për natyrën e elementeve të grupit N . Pra, ajo mund të jetë çdo gjë. Zgjedhja si një grup N një grup i veçantë mbi të cilin është dhënë një lidhje e veçantë "ndiqim drejtpërdrejt" që plotëson aksiomat 1-4, marrim modeli i këtij sistemi aksiomat.
Modeli standard i sistemit të aksiomave të Peanos është një seri numrash që u ngritën në procesin e zhvillimit historik të shoqërisë: 1,2,3,4, ... Seria natyrore fillon me numrin 1 (aksioma 1); çdo numër natyror pasohet menjëherë nga një numër i vetëm natyror (aksioma 2); çdo numër natyror pason menjëherë maksimumi një numër natyror (aksioma 3); duke u nisur nga numri 1 dhe duke lëvizur drejt numrave natyrorë menjëherë pas njëri-tjetrit, fitojmë të gjithë bashkësinë e këtyre numrave (aksioma 4).
Pra, ne filluam ndërtimin aksiomatik të një sistemi numrash natyrorë me zgjedhjen e kryesore marrëdhënien "ndiq drejtpërdrejt". dhe aksiomat që përshkruajnë vetitë e tij. Ndërtimi i mëtejshëm i teorisë përfshin shqyrtimin e vetive të njohura të numrave natyrorë dhe veprimeve mbi to. Ato duhet të shpalosen në përkufizime dhe teorema, d.m.th. rrjedh në një mënyrë thjesht logjike nga relacioni "menjëherë ndjek", dhe aksiomat 1-4.
Koncepti i parë që ne prezantojmë pas përcaktimit të një numri natyror është qëndrim "Menjëherë paraprin" , e cila përdoret shpesh kur merren parasysh vetitë e serisë natyrore.
Përkufizimi 2. Nëse një numër natyror b vijon drejtpërdrejt numri natyror a, atë numër a thirrur menjëherë përpara(ose e mëparshme) numri b .
Marrëdhënia "më parë" ka pranë pronave.
Teorema 1. Njëra nuk ka numër natyror të mëparshëm.
Teorema 2. Çdo numër natyror a, përveç 1, ka një numër të vetëm paraardhës b, sikurse b"= a.
Ndërtimi aksiomatik i teorisë së numrave natyrorë nuk merret parasysh as në shkollën fillore dhe as të mesme. Megjithatë, ato veti të relacionit “ndikim drejtpërdrejt”, të cilat pasqyrohen në aksiomat e Peanos, janë objekt studimi në kursin fillestar të matematikës. Tashmë në klasën e parë, kur merren parasysh numrat e dhjetëshes së parë, rezulton se si mund të merret secili numër. Përdoren termat "ndjek" dhe "përpara". Çdo numër i ri vepron si vazhdim i segmentit të studiuar të serisë natyrore të numrave. Nxënësit janë të bindur se çdo numër pasohet nga tjetri, e për më tepër, vetëm një, se seria natyrore e numrave është e pafundme.
Mbledhja e numrave natyrorë
Sipas rregullave për ndërtimin e një teorie aksiomatike, përkufizimi i mbledhjes së numrave natyrorë duhet të prezantohet duke përdorur vetëm relacionin "ndiq drejtpërdrejt", dhe konceptet "numri natyror" dhe "numri i mëparshëm".
Le të paraprijmë përkufizimin e shtesës me konsideratat e mëposhtme. Nëse për ndonjë numër natyror a shtoni 1, marrim numrin a", menjëherë pas a, d.m.th. a+ 1= a" dhe kështu marrim rregullin e shtimit të 1 në çdo numër natyror. Por si të shtoni në numër a numri natyror b, ndryshe nga 1? Le të përdorim faktin e mëposhtëm: nëse dihet se 2 + 3 = 5, atëherë shuma 2 + 4 = 6, e cila menjëherë pason numrin 5. Kjo ndodh sepse në shumën 2 + 4 termi i dytë është numri menjëherë duke ndjekur numrin 3. Pra 2 + 4 = 2+3 " =(2+3)". Në përgjithësi, ne kemi , .
Këto fakte qëndrojnë në themel të përkufizimit të mbledhjes së numrave natyrorë në teorinë aksiomatike.
Përkufizimi 3. Mbledhja e numrave natyrorëështë një veprim algjebrik që ka këto veti:
Numri a + b thirrur shuma e numrave a dhe b , dhe vetë numrat a dhe b - kushtet.