Cilat nga çiftet e drejtëzave në rrafsh janë paralele. Vijat paralele në rrafsh dhe në hapësirë. Mbrojtja e informacionit personal
![Cilat nga çiftet e drejtëzave në rrafsh janë paralele. Vijat paralele në rrafsh dhe në hapësirë. Mbrojtja e informacionit personal](https://i2.wp.com/zaochnik.com/uploads/2018/02/21/image002.png)
Privatësia juaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi lexoni politikën tonë të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.
Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal
Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.
Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.
Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.
Çfarë informacioni personal mbledhim:
- Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.
Si i përdorim të dhënat tuaja personale:
- Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë dhe t'ju informojmë për ofertat unike, promovimet dhe ngjarjet e tjera dhe ngjarjet e ardhshme.
- Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për t'ju dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
- Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
- Nëse hyni në një tërheqje çmimesh, konkurs ose nxitje të ngjashme, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.
Zbulimi ndaj palëve të treta
Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.
Përjashtimet:
- Në rast se është e nevojshme - në përputhje me ligjin, urdhrin gjyqësor, në procedurat ligjore dhe / ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga organet shtetërore në territorin e Federatës Ruse - zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera të interesit publik.
- Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund të transferojmë informacionin personal që mbledhim te pasardhësi i palës së tretë përkatëse.
Mbrojtja e informacionit personal
Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe nga aksesi, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.
Ruajtja e privatësisë tuaj në nivel kompanie
Për të siguruar që të dhënat tuaja personale të jenë të sigurta, ne u komunikojmë punonjësve tanë praktikat e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.
Në një rrafsh, drejtëzat quhen paralele nëse nuk kanë pika të përbashkëta, domethënë nuk kryqëzohen. Për të treguar paralelizmin përdorni një ikonë të veçantë || (drejtëza paralele a || b).
Për linjat që shtrihen në hapësirë, kërkesa që të mos ketë pika të përbashkëta nuk është e mjaftueshme - që ato të jenë paralele në hapësirë, ato duhet t'i përkasin të njëjtit rrafsh (përndryshe do të jenë të zhdrejtë).
Nuk duhet të shkoni larg për shembujt e vijave paralele, ato na shoqërojnë kudo, në dhomë janë vijat e kryqëzimit të murit me tavanin dhe dyshemenë, në fletën e fletores ka skaje të kundërta, etj.
Është mjaft e qartë se, duke pasur dy drejtëza paralele dhe një vijë të tretë paralele me njërën nga dy të parat, ajo do të jetë paralele me të dytën.
Drejtëzat paralele në rrafsh lidhen me një pohim që nuk mund të vërtetohet duke përdorur aksiomat e planimetrisë. Pranohet si fakt, si aksiomë: për çdo pikë të një rrafshi që nuk shtrihet në një vijë të drejtë, ekziston një drejtëz e vetme që kalon nëpër të paralelisht me atë të dhënë. Çdo nxënës i klasës së gjashtë e di këtë aksiomë.
Përgjithësimi hapësinor i tij, pra pohimi se për çdo pikë të hapësirës që nuk shtrihet në një vijë, ekziston një vijë unike që kalon përmes saj paralelisht me atë të dhënë, vërtetohet lehtësisht duke përdorur aksiomën tashmë të njohur të paralelizmit në aeroplan.
Vetitë e drejtëzave paralele
- Nëse ndonjë nga dy drejtëzat paralele është paralele me të tretën, atëherë ato janë paralele reciprokisht.
Vijat paralele e kanë këtë veti si në rrafsh ashtu edhe në hapësirë.
Si shembull, merrni parasysh justifikimin e tij në stereometri.
Le të jenë drejtëzat b paralele me drejtëzën a.
Rasti kur të gjitha vijat shtrihen në të njëjtin rrafsh do t'i lihet planimetrisë.
Supozoni se a dhe b i përkasin rrafshit betta, dhe gama është rrafshi të cilit i përkasin a dhe c (sipas përkufizimit të paralelizmit në hapësirë, drejtëzat duhet t'i përkasin të njëjtit rrafsh).
Nëse supozojmë se plani betta dhe gama janë të ndryshëm dhe shënojmë një pikë të caktuar B në drejtëzën b nga rrafshi betta, atëherë rrafshi i tërhequr përmes pikës B dhe drejtëzës c duhet të presë rrafshin betta në një vijë të drejtë (shënojmë ajo b1).
Nëse vija rezultuese b1 pret rrafshin gama, atëherë, nga njëra anë, pika e kryqëzimit do të duhej të shtrihej në a, pasi b1 i përket planit betta, dhe nga ana tjetër, duhet t'i përkasë gjithashtu c, pasi b1 i përket rrafshit të tretë.
Por drejtëzat paralele a dhe c nuk duhet të priten.
Kështu, drejtëza b1 duhet t'i përkasë rrafshit betta dhe, në të njëjtën kohë, të mos ketë pika të përbashkëta me a, prandaj, sipas aksiomës së paralelizmit, përkon me b.
Ne kemi marrë një drejtëz b1 që përkon me drejtëzën b, e cila i përket të njëjtit rrafsh me drejtëzën c dhe nuk e pret atë, domethënë b dhe c janë paralele.
- Nëpër një pikë që nuk shtrihet në një drejtëz të caktuar paralel me drejtëzën e dhënë, mund të kalojë vetëm një drejtëz e vetme.
- Dy vija të drejta të shtrira në një rrafsh pingul me të tretën janë paralele.
- Nëse njëra prej dy drejtëzave paralele pret rrafshin, drejtëza e dytë pret të njëjtin rrafsh.
- Këndet e brendshme përkatëse dhe të kryqëzuara të formuara nga kryqëzimi i dy linjave paralele të së tretës janë të barabarta, shuma e atyre të brendshme të njëanshme të formuara në këtë rast është 180 °.
Të vërteta janë edhe pohimet e kundërta, të cilat mund të merren si shenja të paralelizmit të dy drejtëzave.
Gjendja e drejtëzave paralele
Vetitë dhe shenjat e formuluara më sipër janë kushtet për paralelizmin e vijave dhe ato mund të vërtetohen me metodat e gjeometrisë. Me fjalë të tjera, për të vërtetuar paralelizmin e dy drejtëzave të disponueshme, mjafton të vërtetohet paralelizmi i tyre me drejtëzën e tretë ose barazia e këndeve, qofshin ato korresponduese apo shtrirë, e kështu me radhë.
Për vërtetim, ata përdorin kryesisht metodën "me kontradiktë", pra me supozimin se vijat nuk janë paralele. Bazuar në këtë supozim, mund të tregohet lehtësisht se në këtë rast janë shkelur kushtet e dhëna, p.sh., këndet e brendshme të kryqëzuara rezultojnë të pabarabarta, gjë që dëshmon jo korrektësinë e supozimit të bërë.
Shenjat e paralelizmit të dy drejtëzave
Teorema 1. Nëse në kryqëzimin e dy drejtëzave të një sekanti:
këndet e shtrira diagonalisht janë të barabarta, ose
këndet përkatëse janë të barabarta, ose
shuma e këndeve të njëanshme është 180°, atëherë
vijat janë paralele(Fig. 1).
Dëshmi. Ne kufizohemi në provat e rastit 1.
Supozojmë se në kryqëzimin e drejtëzave a dhe b me një sekant AB, këndet e shtrira janë të barabarta. Për shembull, ∠ 4 = ∠ 6. Le të vërtetojmë se a || b.
Supozojmë se drejtëzat a dhe b nuk janë paralele. Pastaj ato kryqëzohen në një pikë M dhe, për rrjedhojë, një nga këndet 4 ose 6 do të jetë këndi i jashtëm i trekëndëshit ABM. Le të jetë, për saktësi, ∠ 4 këndi i jashtëm i trekëndëshit ABM dhe ∠ 6 ai i brendshëm. Nga teorema mbi këndin e jashtëm të një trekëndëshi del se ∠ 4 është më i madh se ∠ 6, dhe kjo bie ndesh me kushtin, që do të thotë se drejtëzat a dhe 6 nuk mund të priten, prandaj janë paralele.
Përfundimi 1. Dy drejtëza të dallueshme në një rrafsh pingul me të njëjtën drejtëz janë paralele(Fig. 2).
Komentoni. Mënyra se si sapo vërtetuam rastin 1 të Teoremës 1 quhet metoda e vërtetimit me kontradiktë ose reduktim në absurditet. Kjo metodë ka marrë emrin e saj të parë sepse në fillim të arsyetimit bëhet një supozim i kundërt (i kundërt) me atë që kërkohet të vërtetohet. Quhet reduktim në absurd për faktin se duke u argumentuar në bazë të supozimit të bërë arrijmë në një përfundim absurd (absurd). Marrja e një përfundimi të tillë na detyron të hedhim poshtë supozimin e bërë në fillim dhe të pranojmë atë që kërkohej të vërtetohej.
Detyra 1. Ndërtoni një drejtëz që kalon nga një pikë e dhënë M dhe paralele me një drejtëz të caktuar a, që nuk kalon nga pika M.
Zgjidhje. Vizatojmë një drejtëz p përmes pikës M pingul me drejtëzën a (Fig. 3).
Pastaj vizatojmë një drejtëz b përmes pikës M pingul me drejtëzën p. Drejtëza b është paralele me drejtëzën a sipas përfundimit të teoremës 1.
Një përfundim i rëndësishëm rrjedh nga problemi i konsideruar:
Përmes një pike jo në një vijë të caktuar, gjithmonë mund të vizatoni një vijë paralele me vijën e dhënë..
Vetia kryesore e drejtëzave paralele është si më poshtë.
Aksioma e drejtëzave paralele. Përmes një pike të caktuar jo në një drejtëz të caktuar, ka vetëm një drejtëz paralele me drejtëzën e dhënë.
Shqyrtoni disa veti të drejtëzave paralele që rrjedhin nga kjo aksiomë.
1) Nëse një drejtëz pret njërën nga dy drejtëzat paralele, atëherë ajo pret tjetrën (Fig. 4).
2) Nëse dy drejtëza të ndryshme janë paralele me vijën e tretë, atëherë ato janë paralele (Fig. 5).
Teorema e mëposhtme është gjithashtu e vërtetë.
Teorema 2. Nëse dy drejtëza paralele kryqëzohen nga një sekant, atëherë:
këndet e shtrira janë të barabarta;
këndet përkatëse janë të barabarta;
shuma e këndeve të njëanshme është 180°.
Pasoja 2. Nëse një drejtëz është pingul me njërën nga dy drejtëzat paralele, atëherë ajo është gjithashtu pingul me tjetrën.(shih Fig.2).
Komentoni. Teorema 2 quhet inversi i Teoremës 1. Përfundimi i Teoremës 1 është kushti i Teoremës 2. Dhe kushti i Teoremës 1 është përfundimi i Teoremës 2. Jo çdo teoremë ka një të kundërt, d.m.th. nëse një teoremë e dhënë është e vërtetë, atëherë teorema e anasjelltë mund të jetë e gabuar.
Le ta shpjegojmë këtë me shembullin e teoremës për këndet vertikale. Kjo teoremë mund të formulohet si më poshtë: nëse dy kënde janë vertikale, atëherë ato janë të barabarta. Teorema e anasjelltë do të ishte kjo: nëse dy kënde janë të barabartë, atëherë ato janë vertikale. Dhe kjo, natyrisht, nuk është e vërtetë. Dy kënde të barabarta nuk duhet të jenë fare vertikale.
Shembulli 1 Dy drejtëza paralele kryqëzohen nga një e tretë. Dihet se ndryshimi midis dy këndeve të brendshme të njëanshme është 30°. Gjeni ato kënde.
Zgjidhje. Lëreni figurën 6 të plotësojë kushtin.
Në këtë artikull, ne do të flasim për linjat paralele, do të japim përkufizime, do të përcaktojmë shenjat dhe kushtet e paralelizmit. Për qartësi të materialit teorik, do të përdorim ilustrime dhe zgjidhje të shembujve tipikë.
Përkufizimi 1Vijat paralele në rrafsh janë dy drejtëza në rrafsh që nuk kanë pika të përbashkëta.
Përkufizimi 2
Linjat paralele në hapësirën 3D- dy vija të drejta në hapësirën tredimensionale që shtrihen në të njëjtin rrafsh dhe nuk kanë pika të përbashkëta.
Duhet të theksohet se për të përcaktuar vijat paralele në hapësirë, sqarimi "i shtrirë në të njëjtin rrafsh" është jashtëzakonisht i rëndësishëm: dy rreshta në hapësirën tredimensionale që nuk kanë pika të përbashkëta dhe nuk shtrihen në të njëjtin rrafsh. paralele, por të kryqëzuara.
Për të treguar vija paralele, është e zakonshme të përdoret simboli ∥ . Kjo do të thotë, nëse drejtëzat e dhëna a dhe b janë paralele, ky kusht duhet të shkruhet shkurtimisht si më poshtë: a ‖ b . Verbalisht, paralelizmi i drejtëzave tregohet si vijon: drejtëzat a dhe b janë paralele, ose drejtëza a është paralele me drejtëzën b, ose drejtëza b është paralele me drejtëzën a.
Le të formulojmë një deklaratë që luan një rol të rëndësishëm në temën në studim.
Aksiomë
Përmes një pike që nuk i përket një drejtëze të caktuar, ka vetëm një drejtëz paralele me drejtëzën e dhënë. Ky pohim nuk mund të vërtetohet në bazë të aksiomave të njohura të planimetrisë.
Në rastin kur bëhet fjalë për hapësirën, teorema është e vërtetë:
Teorema 1
Përmes çdo pike në hapësirë që nuk i përket një drejtëze të caktuar, do të jetë vetëm një drejtëz paralele me atë të dhënë.
Kjo teoremë është e lehtë për t'u vërtetuar në bazë të aksiomës së mësipërme (programi i gjeometrisë për klasat 10-11).
Shenja e paralelizmit është një kusht i mjaftueshëm në të cilin linjat paralele janë të garantuara. Me fjalë të tjera, plotësimi i këtij kushti është i mjaftueshëm për të vërtetuar faktin e paralelizmit.
Në veçanti, ekzistojnë kushte të nevojshme dhe të mjaftueshme për paralelizmin e drejtëzave në rrafsh dhe në hapësirë. Le të shpjegojmë: domosdoshmëri nënkupton kushtin, përmbushja e të cilit është e nevojshme për drejtëzat paralele; nëse nuk është i kënaqur, vijat nuk janë paralele.
Duke përmbledhur, kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për paralelizmin e drejtëzave është një kusht i tillë, respektimi i të cilit është i nevojshëm dhe i mjaftueshëm që drejtëzat të jenë paralele me njëra-tjetrën. Nga njëra anë, kjo është një shenjë e paralelizmit, nga ana tjetër, një pronë e natyrshme në linjat paralele.
Para se të japim një formulim të saktë të kushteve të nevojshme dhe të mjaftueshme, kujtojmë disa koncepte të tjera shtesë.
Përkufizimi 3
vijë sekanteështë një drejtëz që pret secilën nga dy drejtëzat e dhëna që nuk përputhen.
Duke kryqëzuar dy vija të drejta, sekanti formon tetë kënde të pazgjeruara. Për të formuluar gjendjen e nevojshme dhe të mjaftueshme, ne do të përdorim lloje të tilla këndesh si të kryqëzuara, përkatëse dhe të njëanshme. Le t'i demonstrojmë ato në ilustrim:
Teorema 2
Nëse dy drejtëza në një rrafsh kryqëzojnë një sekant, atëherë që drejtëzat e dhëna të jenë paralele është e nevojshme dhe e mjaftueshme që këndet e shtrira në tërthore të jenë të barabarta, ose këndet përkatëse të jenë të barabarta, ose shuma e këndeve të njëanshme të jetë e barabartë me 180. gradë.
Le të ilustrojmë grafikisht kushtin e nevojshëm dhe të mjaftueshëm për vijat paralele në rrafsh:
Vërtetimi i këtyre kushteve është i pranishëm në programin e gjeometrisë për klasat 7-9.
Në përgjithësi, këto kushte janë të zbatueshme edhe për hapësirën tredimensionale, me kusht që të dy linjat dhe sekanti t'i përkasin të njëjtit rrafsh.
Le të theksojmë disa teorema të tjera që përdoren shpesh për të vërtetuar faktin se drejtëzat janë paralele.
Teorema 3
Në një plan, dy drejtëza paralele me një të tretën janë paralele me njëra-tjetrën. Kjo veçori vërtetohet në bazë të aksiomës së paralelizmit të përmendur më sipër.
Teorema 4
Në hapësirën tredimensionale, dy drejtëza paralele me një të tretën janë paralele me njëra-tjetrën.
Vërtetimi i atributit studiohet në programin e gjeometrisë së klasës së 10-të.
Ne japim një ilustrim të këtyre teoremave:
Le të tregojmë edhe një palë teoremash që vërtetojnë paralelizmin e drejtëzave.
Teorema 5
Në një plan, dy drejtëza pingul me një të tretën janë paralele me njëra-tjetrën.
Le të formulojmë një të ngjashme për një hapësirë tre-dimensionale.
Teorema 6
Në hapësirën tredimensionale, dy drejtëza pingul me një të tretën janë paralele me njëra-tjetrën.
Le të ilustrojmë:
Të gjitha teoremat, shenjat dhe kushtet e mësipërme bëjnë të mundur vërtetimin e përshtatshëm të paralelizmit të vijave me metodat e gjeometrisë. Kjo do të thotë, për të vërtetuar paralelizmin e drejtëzave, mund të tregohet se këndet përkatëse janë të barabarta, ose të demonstrohet fakti që dy drejtëza të dhëna janë pingul me të tretën, e kështu me radhë. Por vërejmë se shpesh është më e përshtatshme të përdoret metoda e koordinatave për të vërtetuar paralelizmin e vijave në një plan ose në hapësirën tredimensionale.
Paralelizmi i drejtëzave në një sistem koordinativ drejtkëndor
Në një sistem të caktuar koordinativ drejtkëndor, një vijë e drejtë përcaktohet nga ekuacioni i një vije të drejtë në një plan të një prej llojeve të mundshme. Në mënyrë të ngjashme, një vijë e drejtë e dhënë në një sistem koordinativ drejtkëndor në hapësirën tre-dimensionale korrespondon me disa ekuacione të një vije të drejtë në hapësirë.
Le të shkruajmë kushtet e nevojshme dhe të mjaftueshme për paralelizmin e drejtëzave në një sistem koordinativ drejtkëndor, në varësi të llojit të ekuacionit që përshkruan linjat e dhëna.
Le të fillojmë me gjendjen e drejtëzave paralele në rrafsh. Ai bazohet në përcaktimet e vektorit të drejtimit të drejtëzës dhe vektorit normal të drejtëzës në rrafsh.
Teorema 7
Që dy drejtëza që nuk përputhen të jenë paralele në një rrafsh, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që vektorët e drejtimit të vijave të dhëna të jenë kolinear, ose vektorët normalë të vijave të dhëna të jenë kolinear, ose vektori i drejtimit të njërës drejtëze të jetë pingul me vektori normal i vijës tjetër.
Bëhet e qartë se gjendja e drejtëzave paralele në rrafsh bazohet në gjendjen e vektorëve kolinearë ose në kushtin e pingulitetit të dy vektorëve. Kjo do të thotë, nëse a → = (a x , a y) dhe b → = (b x, b y) janë vektorët e drejtimit të drejtëzave a dhe b ;
dhe n b → = (n b x , n b y) janë vektorë normalë të drejtëzave a dhe b , atëherë shkruajmë kushtin e mësipërm të nevojshëm dhe të mjaftueshëm si më poshtë: a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y ose n a → = t n b → ⇔ n a x = t n b x n a y = t n b y ose a → , n b → = 0 ⇔ a x n b x + a y n b y = 0 , ku t është një numër real. Koordinatat e vektorëve drejtues ose të drejtpërdrejtë përcaktohen nga ekuacionet e dhëna të vijave. Le të shqyrtojmë shembujt kryesorë.
- Drejtëza a në një sistem koordinativ drejtkëndor përcaktohet nga ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; rreshti b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Atëherë vektorët normalë të drejtëzave të dhëna do të kenë përkatësisht koordinata (A 1 , B 1) dhe (A 2 , B 2). Ne shkruajmë kushtin e paralelizmit si më poshtë:
A 1 = t A 2 B 1 = t B 2
- Drejtëza a përshkruhet me ekuacionin e drejtëzës me pjerrësi të formës y = k 1 x + b 1 . Vija e drejtë b - y \u003d k 2 x + b 2. Atëherë vektorët normalë të drejtëzave të dhëna do të kenë koordinata (k 1 , - 1) dhe (k 2 , - 1), përkatësisht, dhe ne shkruajmë kushtin e paralelizmit si më poshtë:
k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2
Kështu, nëse vijat paralele në një plan në një sistem koordinativ drejtkëndor jepen me ekuacione me koeficientë të pjerrësisë, atëherë koeficientët e pjerrësisë së vijave të dhëna do të jenë të barabartë. Dhe pohimi i kundërt është i vërtetë: nëse linjat që nuk përputhen në një rrafsh në një sistem koordinativ drejtkëndor përcaktohen nga ekuacionet e një drejtëze me koeficientë të njëjtë të pjerrësisë, atëherë këto linja të dhëna janë paralele.
- Drejtëzat a dhe b në një sistem koordinativ drejtkëndor jepen nga ekuacionet kanonike të drejtëzës në rrafsh: x - x 1 a x = y - y 1 a y dhe x - x 2 b x = y - y 2 b y ose ekuacionet parametrike të drejtëzës në rrafsh: x = x 1 + λ a x y = y 1 + λ a y dhe x = x 2 + λ b x y = y 2 + λ b y .
Atëherë vektorët e drejtimit të drejtëzave të dhëna do të jenë përkatësisht: a x, a y dhe b x, b y, dhe kushtin e paralelizmit e shkruajmë si më poshtë:
a x = t b x a y = t b y
Le të shohim shembuj.
Shembulli 1
Jepen dy rreshta: 2 x - 3 y + 1 = 0 dhe x 1 2 + y 5 = 1 . Ju duhet të përcaktoni nëse ato janë paralele.
Zgjidhje
Ne shkruajmë ekuacionin e një drejtëze në segmente në formën e një ekuacioni të përgjithshëm:
x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0
Shohim se n a → = (2 , - 3) është vektori normal i drejtëzës 2 x - 3 y + 1 = 0 , dhe n b → = 2 , 1 5 është vektori normal i drejtëzës x 1 2 + y 5 = 1.
Vektorët që rezultojnë nuk janë kolinearë, sepse nuk ka një vlerë të tillë të t për të cilën barazia do të jetë e vërtetë:
2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5
Pra, kushti i nevojshëm dhe i mjaftueshëm i paralelizmit të drejtëzave në rrafsh nuk plotësohet, që do të thotë se drejtëzat e dhëna nuk janë paralele.
Përgjigje: vijat e dhëna nuk janë paralele.
Shembulli 2
Jepen drejtëza y = 2 x + 1 dhe x 1 = y - 4 2 . A janë ato paralele?
Zgjidhje
Le të transformojmë ekuacionin kanonik të vijës së drejtë x 1 \u003d y - 4 2 në ekuacionin e një vije të drejtë me një pjerrësi:
x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4
Shohim që ekuacionet e drejtëzave y = 2 x + 1 dhe y = 2 x + 4 nuk janë të njëjta (nëse do të ishte ndryshe, vijat do të ishin të njëjta) dhe pjerrësia e drejtëzave janë të barabarta, që do të thotë se drejtëzat e dhëna janë paralele.
Le të përpiqemi ta zgjidhim problemin ndryshe. Së pari, kontrollojmë nëse linjat e dhëna përkojnë. Ne përdorim çdo pikë të rreshtit y \u003d 2 x + 1, për shembull, (0, 1) , koordinatat e kësaj pike nuk korrespondojnë me ekuacionin e rreshtit x 1 \u003d y - 4 2, që do të thotë se linjat nuk përkojnë.
Hapi tjetër është përcaktimi i përmbushjes së kushtit të paralelizmit për drejtëzat e dhëna.
Vektori normal i drejtëzës y = 2 x + 1 është vektori n a → = (2 , - 1) , dhe vektori i drejtimit të drejtëzës së dytë të dhënë është b → = (1 , 2) . Produkti skalar i këtyre vektorëve është zero:
n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0
Kështu, vektorët janë pingul: kjo na tregon përmbushjen e kushtit të nevojshëm dhe të mjaftueshëm që vijat origjinale të jenë paralele. Ato. vijat e dhëna janë paralele.
Përgjigje: këto vija janë paralele.
Për të vërtetuar paralelizmin e drejtëzave në një sistem koordinativ drejtkëndor të hapësirës tredimensionale, përdoret kushti i mëposhtëm i nevojshëm dhe i mjaftueshëm.
Teorema 8
Që dy drejtëza që nuk përputhen në hapësirën tredimensionale të jenë paralele, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që vektorët e drejtimit të këtyre vijave të jenë kolinear.
Ato. për ekuacionet e dhëna të drejtëzave në hapësirën tredimensionale, përgjigja e pyetjes: a janë ato paralele apo jo, gjendet duke përcaktuar koordinatat e vektorëve të drejtimit të drejtëzave të dhëna, si dhe duke kontrolluar gjendjen e kolinearitetit të tyre. Me fjalë të tjera, nëse a → = (a x, a y, a z) dhe b → = (b x, b y, b z) janë vektorët e drejtimit të drejtëzave a dhe b, përkatësisht, atëherë në mënyrë që ato të jenë paralele, ekzistenca i një numri të tillë real t është i nevojshëm, në mënyrë që barazia të jetë:
a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z
Shembulli 3
Jepen drejtëza x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 dhe x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ . Është e nevojshme të vërtetohet paralelizmi i këtyre rreshtave.
Zgjidhje
Kushtet e problemit janë ekuacionet kanonike të një drejtëze në hapësirë dhe ekuacionet parametrike të një drejtëze tjetër në hapësirë. Vektorët e drejtimit a → dhe b → drejtëzat e dhëna kanë koordinata: (1 , 0 , - 3) dhe (2 , 0 , - 6) .
1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t - 6 ⇔ t = 1 2 , pastaj a → = 1 2 b → .
Prandaj, plotësohet kushti i nevojshëm dhe i mjaftueshëm për vija paralele në hapësirë.
Përgjigje: vërtetohet paralelizmi i drejtëzave të dhëna.
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
Ata nuk kryqëzohen, pavarësisht sa vazhdojnë. Paralelizmi i rreshtave në shkrim tregohet si më poshtë: AB|| NGAE
Mundësia e ekzistencës së linjave të tilla vërtetohet me një teoremë.
Teorema.
Përmes çdo pike të marrë jashtë një vije të caktuar, mund të vizatoni një paralele me këtë vijë..
Le AB kjo linjë dhe NGA një pikë e marrë jashtë saj. Kërkohet të vërtetohet se NGA mund të vizatoni një vijë të drejtë paraleleAB. Le të ndalemi AB nga një pikë NGA pingulNGAD dhe pastaj do ta bëjmë NGAE^ NGAD, çfarë është e mundur. Drejt CE paralele AB.
Për vërtetim, supozojmë të kundërtën, d.m.th CE kryqëzohet AB në disa pika M. Pastaj nga pika M në një vijë të drejtë NGAD do të kishim dy pingule të ndryshme MD dhe ZNJ, gjë që është e pamundur. Do të thotë, CE nuk mund të ndërpritet me AB, d.m.th. NGAE paralele AB.
Pasoja.
Dy pingule (CEdheD.B.) në një vijë të drejtë (СD) janë paralele.
Aksioma e drejtëzave paralele.
Në të njëjtën pikë është e pamundur të vizatohen dy drejtëza të ndryshme paralele me të njëjtën drejtëz.
Pra, nëse një vijë e drejtë NGAD, vizatuar përmes pikës NGA paralel me një vijë të drejtë AB, pastaj çdo linjë tjetër NGAE nëpër të njëjtën pikë NGA, nuk mund të jetë paralel AB, d.m.th. vazhdon ajo kryqëzohen Me AB.
Prova e kësaj të vërtete jo mjaft të dukshme rezulton të jetë e pamundur. Pranohet pa prova si supozim i domosdoshëm (postulatum).
Pasojat.
1. Nëse drejt(NGAE) kryqëzohet me një nga paralele(JP), pastaj kryqëzohet me tjetrin ( AB), sepse përndryshe përmes të njëjtës pikë NGA dy drejtëza të ndryshme, paralele AB, gjë që është e pamundur.
2. Nëse secili nga të dyja e drejtpërdrejtë (AdheB) janë paralele me të njëjtën linjë të tretë ( NGA) , më pas ata janë paralele mes tyre.
Në të vërtetë, nëse supozojmë se A dhe B kryqëzohen në një moment M, atëherë në këtë pikë do të kalonin dy drejtëza të ndryshme, paralele me njëra-tjetrën. NGA, gjë që është e pamundur.
Teorema.
Nese nje drejtëza është pingul në njërën nga drejtëzat paralele, atëherë ajo është pingul me tjetrën paralele.
Le AB || NGAD dhe EF ^ AB.Kërkohet të vërtetohet se EF ^ NGAD.
pingulEF, duke u kryqëzuar me AB, me siguri do të kryqëzohen dhe NGAD. Le të jetë pika e kryqëzimit H.
Supozoni tani se NGAD jo pingul me EH. Pastaj një linjë tjetër, për shembull HK, do të jetë pingul me EH dhe kështu përmes të njëjtës pikë H dy drejt paralele AB: një NGAD, sipas kushtit, dhe tjetra HK siç është vërtetuar më parë. Meqenëse kjo është e pamundur, nuk mund të supozohet se JP nuk ishte pingul me EH.