Shuma e mbetjeve të reduktuara modulo n. Sistemet e tërheqjes. Ushtrime për punë të pavarur
![Shuma e mbetjeve të reduktuara modulo n. Sistemet e tërheqjes. Ushtrime për punë të pavarur](https://i2.wp.com/konspekta.net/lektsianew/baza13/30078065046.files/image063.gif)
ose ndonjë të njëpasnjëshme fq numrat.
Ky sistem quhet një sistem i plotë numrash që nuk janë të krahasueshëm në modul fq ose sistemi i plotë i modulit të mbetjeve fq. Është e qartë se çdo fq numrat e njëpasnjëshëm formojnë një sistem të tillë.
Të gjithë numrat që i përkasin të njëjtës klasë kanë shumë veti të përbashkëta, prandaj, në lidhje me modulin, ata mund të konsiderohen si një numër. Çdo numër i përfshirë në krahasim si përmbledhje ose faktor mund të zëvendësohet, pa cenuar krahasimin, me një numër të krahasueshëm me të, d.m.th. me një numër që i përket së njëjtës klasë.
Elementi tjetër që është i përbashkët për të gjithë numrat e një klase të caktuar është pjesëtuesi më i madh i përbashkët i secilit element të kësaj klase dhe moduli. fq.
Le a dhe b modul i krahasueshëm fq, pastaj
Teorema 1. Nëse në sëpatë+b në vend të x le të vendosim gjithçka në rregull fq anëtarë të sistemit të plotë të numrave
Prandaj të gjithë numrat sëpatë+b, ku x=1,2,...fq-1 nuk janë modulë të krahasueshëm fq(përndryshe, numrat 1,2,... fq-1 do të ishte modul i krahasueshëm fq.
Shënime
1) Në këtë artikull, fjala numër do të thotë një numër i plotë.
Letërsia
- 1. K. Irlandë, M. Rosen. Hyrje klasike në teorinë moderne të numrave - M: Mir, 1987.
- 2. G. Davenport. Aritmetika më e lartë - M: Nauka, 1965.
- 3. P.G. Lejeune Dirichlet. Leksione mbi teorinë e numrave. - Moskë, 1936.
Unaza e mbetjeve të modulit n tregojnë ose . Grupi i tij shumëzues, si në rastin e përgjithshëm të grupeve të elementëve të kthyeshëm të unazave, shënohet ∗ × × .
Rasti më i thjeshtë
Për të kuptuar strukturën e grupit, mund të shqyrtojmë një rast të veçantë ku është një numër i thjeshtë dhe ta përgjithësojmë atë. Konsideroni rastin më të thjeshtë kur , që është .
Teorema: - grup ciklik.
Shembull : Konsideroni një grup
= (1,2,4,5,7,8) Gjeneruesi i grupit është numri 2. ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ Siç mund ta shihni, çdo element i grupit mund të përfaqësohet si , ku ≤ℓφ . Kjo do të thotë, grupi është ciklik.Rasti i përgjithshëm
Për të shqyrtuar rastin e përgjithshëm, është e nevojshme të përcaktohet një rrënjë primitive. Një modul i rrënjës primitive a prime është një numër i cili, së bashku me klasën e tij të mbetjes, krijon një grup.
Shembuj: 2 11 ; 8 - moduli i rrënjës primitive 11 ; 3 nuk është një rrënjë modul primitive 11 .Në rastin e një moduli të tërë, përkufizimi është i njëjtë.
Struktura e grupit përcaktohet nga teorema e mëposhtme: Nëse p është një numër i thjeshtë tek dhe l është një numër i plotë pozitiv, atëherë ka rrënjë primitive modulo , domethënë një grup ciklik.
Shembull
Sistemi i reduktuar i modulit të mbetjeve përbëhet nga klasat e mbetjeve: . Në lidhje me shumëzimin e përcaktuar për klasat e mbetjeve, ato formojnë një grup, për më tepër, dhe janë reciprokisht të anasjellta (d.m.th. ⋅ ) dhe janë të anasjellta me vetveten.
Struktura e grupit
Hyrja do të thotë "grup ciklik i rendit n".
× | φ | λ | Gjenerator grupi | × | φ | λ | Gjenerator grupi | × | φ | λ | Gjenerator grupi | × | φ | λ | Gjenerator grupi | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | C1 | 1 | 1 | 0 | 33 | C2×C10 | 20 | 10 | 2, 10 | 65 | C4×C12 | 48 | 12 | 2, 12 | 97 | C96 | 96 | 96 | 5 | |||
2 | C1 | 1 | 1 | 1 | 34 | C 16 | 16 | 16 | 3 | 66 | C2×C10 | 20 | 10 | 5, 7 | 98 | C42 | 42 | 42 | 3 | |||
3 | C2 | 2 | 2 | 2 | 35 | C2×C12 | 24 | 12 | 2, 6 | 67 | C66 | 66 | 66 | 2 | 99 | C2×C30 | 60 | 30 | 2, 5 | |||
4 | C2 | 2 | 2 | 3 | 36 | C2×C6 | 12 | 6 | 5, 19 | 68 | C2×C16 | 32 | 16 | 3, 67 | 100 | C2×C20 | 40 | 20 | 3, 99 | |||
5 | C4 | 4 | 4 | 2 | 37 | C 36 | 36 | 36 | 2 | 69 | C2×C22 | 44 | 22 | 2, 68 | 101 | C 100 | 100 | 100 | 2 | |||
6 | C2 | 2 | 2 | 5 | 38 | C 18 | 18 | 18 | 3 | 70 | C2×C12 | 24 | 12 | 3, 69 | 102 | C2×C16 | 32 | 16 | 5, 101 | |||
7 | C6 | 6 | 6 | 3 | 39 | C2×C12 | 24 | 12 | 2, 38 | 71 | C70 | 70 | 70 | 7 | 103 | C 102 | 102 | 102 | 5 | |||
8 | C2×C2 | 4 | 2 | 3, 5 | 40 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 3, 11, 39 | 72 | C2×C2×C6 | 24 | 6 | 5, 17, 19 | 104 | C2×C2×C12 | 48 | 12 | 3, 5, 103 | |||
9 | C6 | 6 | 6 | 2 | 41 | C40 | 40 | 40 | 6 | 73 | C72 | 72 | 72 | 5 | 105 | C2×C2×C12 | 48 | 12 | 2, 29, 41 | |||
10 | C4 | 4 | 4 | 3 | 42 | C2×C6 | 12 | 6 | 5, 13 | 74 | C 36 | 36 | 36 | 5 | 106 | C 52 | 52 | 52 | 3 | |||
11 | C 10 | 10 | 10 | 2 | 43 | C42 | 42 | 42 | 3 | 75 | C2×C20 | 40 | 20 | 2, 74 | 107 | C 106 | 106 | 106 | 2 | |||
12 | C2×C2 | 4 | 2 | 5, 7 | 44 | C2×C10 | 20 | 10 | 3, 43 | 76 | C2×C18 | 36 | 18 | 3, 37 | 108 | C2×C18 | 36 | 18 | 5, 107 | |||
13 | C 12 | 12 | 12 | 2 | 45 | C2×C12 | 24 | 12 | 2, 44 | 77 | C2×C30 | 60 | 30 | 2, 76 | 109 | C 108 | 108 | 108 | 6 | |||
14 | C6 | 6 | 6 | 3 | 46 | C 22 | 22 | 22 | 5 | 78 | C2×C12 | 24 | 12 | 5, 7 | 110 | C2×C20 | 40 | 20 | 3, 109 | |||
15 | C2×C4 | 8 | 4 | 2, 14 | 47 | C46 | 46 | 46 | 5 | 79 | C78 | 78 | 78 | 3 | 111 | C 2×C 36 | 72 | 36 | 2, 110 | |||
16 | C2×C4 | 8 | 4 | 3, 15 | 48 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 5, 7, 47 | 80 | C2×C4×C4 | 32 | 4 | 3, 7, 79 | 112 | C2×C2×C12 | 48 | 12 | 3, 5, 111 | |||
17 | C 16 | 16 | 16 | 3 | 49 | C42 | 42 | 42 | 3 | 81 | C 54 | 54 | 54 | 2 | 113 | C 112 | 112 | 112 | 3 | |||
18 | C6 | 6 | 6 | 5 | 50 | C 20 | 20 | 20 | 3 | 82 | C40 | 40 | 40 | 7 | 114 | C2×C18 | 36 | 18 | 5, 37 | |||
19 | C 18 | 18 | 18 | 2 | 51 | C2×C16 | 32 | 16 | 5, 50 | 83 | C82 | 82 | 82 | 2 | 115 | C 2×C 44 | 88 | 44 | 2, 114 | |||
20 | C2×C4 | 8 | 4 | 3, 19 | 52 | C2×C12 | 24 | 12 | 7, 51 | 84 | C2×C2×C6 | 24 | 6 | 5, 11, 13 | 116 | C2×C28 | 56 | 28 | 3, 115 | |||
21 | C2×C6 | 12 | 6 | 2, 20 | 53 | C 52 | 52 | 52 | 2 | 85 | C4×C16 | 64 | 16 | 2, 3 | 117 | C6×C12 | 72 | 12 | 2, 17 | |||
22 | C 10 | 10 | 10 | 7 | 54 | C 18 | 18 | 18 | 5 | 86 | C42 | 42 | 42 | 3 | 118 | C 58 | 58 | 58 | 11 | |||
23 | C 22 | 22 | 22 | 5 | 55 | C2×C20 | 40 | 20 | 2, 21 | 87 | C2×C28 | 56 | 28 | 2, 86 | 119 | C 2×C 48 | 96 | 48 | 3, 118 | |||
24 | C2×C2×C2 | 8 | 2 | 5, 7, 13 | 56 | C2×C2×C6 | 24 | 6 | 3, 13, 29 | 88 | C2×C2×C10 | 40 | 10 | 3, 5, 7 | 120 | C2×C2×C2×C4 | 32 | 4 | 7, 11, 19, 29 | |||
25 | C 20 | 20 | 20 | 2 | 57 | C2×C18 | 36 | 18 | 2, 20 | 89 | C 88 | 88 | 88 | 3 | 121 | C 110 | 110 | 110 | 2 | |||
26 | C 12 | 12 | 12 | 7 | 58 | C 28 | 28 | 28 | 3 | 90 | C2×C12 | 24 | 12 | 7, 11 | 122 | C60 | 60 | 60 | 7 | |||
27 | C 18 | 18 | 18 | 2 | 59 | C 58 | 58 | 58 | 2 | 91 | C6×C12 | 72 | 12 | 2, 3 | 123 | C2×C40 | 80 | 40 | 7, 83 | |||
28 | C2×C6 | 12 | 6 | 3, 13 | 60 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 7, 11, 19 | 92 | C2×C22 | 44 | 22 | 3, 91 | 124 | C2×C30 | 60 | 30 | 3, 61 | |||
29 | C 28 | 28 | 28 | 2 | 61 | C60 | 60 | 60 | 2 | 93 | C2×C30 | 60 | 30 | 11, 61 | 125 | C 100 | 100 | 100 | 2 | |||
30 | C2×C4 | 8 | 4 | 7, 11 | 62 | C 30 | 30 | 30 | 3 | 94 | C46 | 46 | 46 | 5 | 126 | C6×C6 | 36 | 6 | 5, 13 | |||
31 | C 30 | 30 | 30 | 3 | 63 | C6×C6 | 36 | 6 | 2, 5 | 95 | C 2×C 36 | 72 | 36 | 2, 94 | 127 | C 126 | 126 | 126 | 3 | |||
32 | C2×C8 | 16 | 8 | 3, 31 | 64 | C2×C16 | 32 | 16 | 3, 63 | 96 | C2×C2×C8 | 32 | 8 | 5, 17, 31 | 128 | C 2×C 32 | 64 | 32 | 3, 127 |
Aplikacion
Në vështirësi, Farm, Hooley, . Waring formuloi teoremën e Wilson-it dhe Lagranzhi e vërtetoi atë. Euler sugjeroi ekzistencën e rrënjëve primitive që modulojnë një numër të thjeshtë. Gauss e vërtetoi këtë. Artin parashtroi hipotezën e tij për ekzistencën dhe përcaktimin sasior të modulit të numrave të thjeshtë që një numër i plotë i dhënë është një rrënjë primitive. Brouwer kontribuoi në studimin e problemit të ekzistencës së grupeve të numrave të plotë të njëpasnjëshëm, secila prej të cilave është moduli i fuqisë kth p. Bielhartz provoi një analog të hamendjes së Artinit. Hooley vërtetoi hamendjen e Artinit me supozimin se hipoteza e zgjeruar e Riemann-it është e vlefshme në fushat e numrave algjebrikë.
Shënime
Letërsia
- Irlanda K., Rosen M. Një hyrje klasike në teorinë moderne të numrave. - M.: Mir, 1987.
- Alferov A.P., Zubov A.Yu., Kuzmin A.S. Cheremushkin A.V. Bazat e kriptografisë. - Moskë: "Helios ARV", 2002.
- Rostovtsev A.G., Makhovenko E.B. Kriptografia teorike. - Shën Petersburg: OJF "Profesionist", 2004.
INFORMACION BAZË NGA TEORIA
6. 1. Përkufizimi 1.
Klasa e numrave modul m është bashkësia e të gjithë atyre dhe vetëm atyre numrave të plotë që, kur ndahet me m, kanë të njëjtën mbetje r, domethënë modulin m të krahasueshëm (t Î N, t> 1).
Përcaktimi për një klasë numrash me një mbetje r: .
Çdo numër nga klasa quhet një modul mbetje m, dhe vetë klasa quhet klasa e mbetjeve modulo m.
6. 2. Vetitë e grupit të klasave të mbetjeve të modulit t:
1) moduli total t do të jetë t Klasat e mbetjeve: Z t = { , , , … , };
2) çdo klasë përmban një grup të pafund numrash të plotë (mbetje) të formës: = ( a= mq+ r/qÎ Z, 0£ r< m}
3) "aÎ : aº r(mod m);
4) "a, bÎ : aº b(mod m), domethënë, çdo dy mbetje të marra nga një klasë, të krahasueshme modul t;
5) "aÎ , " bÎ : a b(mod m), domethënë nuk ka dy mbetje; marrë nga të ndryshme klasat i pakrahasueshëm modul t.
6. 3. Përkufizimi 3.
Një sistem i plotë i mbetjeve modul m është çdo grup m numrash të marrë një dhe vetëm një nga çdo klasë e mbetjeve modul m.
Shembull: nëse m= 5, atëherë (10, 6, - 3, 28, 44) është një sistem i plotë i mbetjeve moduli 5 (dhe jo i vetmi!)
Veçanërisht,
grup (0, 1, 2, 3, ... , m–1) është një sistem jonegativi më i vogël zbritjet;
grup (1, 2, 3, ... , m –1, t) është sistemi më pak pozitive zbritjet.
6. 4. Vini re se:
nese ( X 1 , X 2 , … , x t) është sistemi i plotë i modulit të mbetjeve t, pastaj
.
6. 5. Teorema 1.
Nese nje {X 1 , X 2 , … , x t} – sistem i plotë i mbetjeve modulo m, "a, bÎ Z dhe(a, t) = 1, – pastaj sistemi i numrave {Oh 1 +b, Oh 2 + b, … , ah t+b} gjithashtu formon një sistem të plotë mbetjesh modulo m .
6. 6. Teorema 2.
Të gjitha mbetjet e së njëjtës klasë të mbetjeve modulo m kanë të njëjtin pjesëtues më të madh të përbashkët me m: "a, bÎ Þ ( a; t) = (b; t).
6. 7. Përkufizimi 4.
Klasa e mbetjeve moduli m quhet coprime me modul m,nëse të paktën një mbetje e kësaj klase është bashkëprim me d.m.th.
Vini re se në këtë rast, nga Teorema 2 të gjitha numrat e kësaj klase do të jenë të dyfishtë me modulin t.
6. 8. Përkufizimi 5.
Një sistem i reduktuar i mbetjeve modulo m është një sistem mbetjesh të marra një dhe vetëm një nga çdo klasë coprime në m.
6. 9. Vini re se:
1) sistemi i reduktuar i modulit të mbetjeve t permban j( t) numrat ( X 1 , X 2 ,…, };
2) :
.
3) "x i : (x i, m) = 1;
Shembull : Le modulo t= 10 ka 10 klasa mbetjesh:
Z 10 = ( , , , , , , , , , ) është bashkësia e klasave të mbetjeve moduli 10. Sistemi i plotë i zbritjeve mod 10 do të ishte, për shembull, kjo: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
Shumë klasa mbetjesh, coprime me modul m= 10: ( , , , )(j(10) = 4).
Sistemi i reduktuar i zbritjeve moduli 10 do të ishte, për shembull,
(1, 3, 7, 9), ose (11, 43, – 5, 17), ose ( – 9, 13, – 5, 77), etj. (gjithkund j(10) = 4 numra).
6.10. Praktikisht: për të formuar një nga sistemet e mundshme të mbetjeve të reduktuara mod m, është e nevojshme të zgjidhen nga sistemi i plotë i mbetjeve mod m ato mbetje që janë të dyfishta me m. Numra të tillë do të jenë j( t).
6.11. Teorema 3.
Nese nje{X 1 , X 2 ,…, } – sistem i reduktuar i mbetjeve modulo m dhe
(a, m) = 1, – pastaj sistemi i numrave {Oh 1 , Oh 2 , … , sëpatë j (t)} edhe forma
sistem i reduktuar i mbetjeve modulo m .
6.12. Përkufizimi 6.
shuma( Å ) klasat e zbritjes dhe +b e barabartë me shumën e çdo dy zbritjeje të marra nga një nga secila klasë e dhënë dhe : Å = , ku"aÎ , "bÎ .
6.13. Përkufizimi 7.
puna( Ä ) klasat e zbritjes dhe moduli m quhet klasa e mbetjes , pra, klasa e mbetjeve e përbërë nga numrat a ´ b e barabartë me produktin e çdo dy mbetjesh të marra një nga një nga çdo klasë e dhënë dhe : Ä = , ku"aÎ , "bÎ .
Kështu, në grupin e klasave të mbetjeve modul t: Z t= ( , , ,…, ) përcaktohen dy veprime algjebrike – “mbledhja” dhe “shumëzimi”.
6.14. Teorema 4.
Bashkësia e klasave të mbetjeve Z t modulo t është një unazë asociative-komutative me një njësi:
< Z t , +, · > = < { , , ,…, }, +, · > – unazë.
DETYRAT TIPIKE
1. Modulo t= 9:
1) një sistem i plotë i mbetjeve më pak pozitive;
2) një sistem i plotë i mbetjeve më pak jo negative;
3) një sistem i plotë arbitrar i zbritjeve;
4) një sistem i plotë i zbritjeve më pak absolute.
Përgjigju:1) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; 2) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
2. Përpiloni modulin e sistemit të reduktuar të mbetjeve t= 12.
Zgjidhje.
1) Hartoni një sistem të plotë të modulit të mbetjeve më pak pozitive t= 12:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12) (gjithsej t= 12 numra).
2) Ne fshijmë nga ky sistem numrat që nuk janë të dyfishtë me numrin 12:
{1, 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9 , 10 , 11, 12 }.
3) Numrat e mbetur, të bashkuar me numrin 12, formojnë sistemin e dëshiruar të reduktuar të modulit të mbetjeve t= 12 (gjithsej j( t) = j(12) = 4 numra).
Përgjigje:(1, 5, 7, 11) - sistem i reduktuar i modulit të mbetjeve t= 12.
130. Bëni 1) një sistem të plotë të mbetjeve më pak pozitive; 2) një sistem i plotë i mbetjeve më pak jo negative; 3) një sistem arbitrar të zbritjeve; 4) një sistem i plotë i zbritjeve absolute më të vogla; 5) sistemi i reduktuar i mbetjeve: a) modul m= 6; b) modul m = 8.
131. A është grupi (9, 2, 16, 20, 27, 39, 46, 85) një sistem i plotë i mbetjeve moduli 8?
132 Me çfarë moduli grupi (20, - 4, 22, 18, - 1) është një sistem i plotë mbetjesh?
133. Bëni modul sistemin e reduktuar të mbetjeve m nese nje) m= 9; b) m= 24; në) m= 7. Sa numra duhet të përmbajë një sistem i tillë?
134. Formuloni vetitë kryesore të sistemit të plotë të mbetjeve dhe modulit të sistemit të reduktuar të mbetjeve m .
135. Cilat elemente dallojnë sistemet e reduktuara dhe të plota të mbetjeve më pak jo negative modulo prime?
136. Në çfarë kushti janë numrat a dhe - a i përkasin të njëjtës klasë të mbetjeve të modulit m?
137. Cilat klasa të mbetjeve moduli 8 i përkasin të gjithë numrat e thjeshtë? R³ 3 ?
138. A formon bashkësia e numrave (0, 2 0 , 2 1 , 2 2 , ... , 2 9 ) një sistem të plotë të mbetjeve moduli 11?
139. Sa klasa të mbetjeve moduli 21 i përkasin të gjitha mbetjeve nga një klasë e mbetjeve moduli 7?
140. Bashkësia e numrave të plotë Z shpërndani sipas klasave të mbetjeve moduli 5. Bëni tabelat e mbledhjes dhe shumëzimit në grupin rezultues të klasave të mbetjeve Z 5 . Është kompleti Z 5: a) një grup me një veprim të mbledhjes së klasës? b) një grup me veprimin e shumëzimit të klasës?
§ 7. Teorema e Euler-it. TEOREMA E VOGËL E FERMATIT
INFORMACION BAZË NGA TEORIA
7. 1. Teorema 1.
Nese njeÎ Z,tÎ N, t>1 dhe(a;t) = 1, – atëherë në një sekuencë të pafund fuqish a 1 , a 2 , a 3 , ... , a s,…, a t,… ka të paktën dy fuqi me eksponentë s dhe t(s<t) sikurse . (*)
7. 2. Komentoni. Duke treguar t– s = k> 0, nga (*) marrim: . Duke i ngritur të dyja anët e këtij krahasimi në një fuqi nÎ N, marrim:
(**). Kjo do të thotë se ka një numër të pafund fuqish a, duke e kënaqur krahasimin (**). Por si gjeni këta tregues? Çfarë më së paku tregues që plotëson krahasimin (**) ? I përgjigjet pyetjes së parë Teorema e Euler-it(1707 – 1783).
7. 3. Teorema e Euler-it.
Nese njeÎ Z,tÎ N, t>1 dhe(a;t) = 1, - atëherë . (13)
Shembull.
Le a = 2,t = 21, (a; t) = (2; 21) = 1. Pastaj . Meqenëse j (21) = 12, atëherë 2 12 º 1 (mod 21). Në të vërtetë: 2 12 = 4096 dhe (4096 - 1) 21. Atëherë është e qartë se 2 24 º 1 (mod 21), 2 36 º 1 (mod 21) e kështu me radhë. Por a është eksponenti i 12 - më së paku krahasim i kënaqshëm 2 nº 1 (mod 21) ? Rezulton se jo. Treguesi më i ulët do të jetë P= 6: 2 6 º 1 (mod 21), pasi 2 6 – 1 = 63 dhe 63 21. Vini re se më së paku indeksi për t'u kërkuar vetëm midis pjesëtuesve të një numri j( t) (në këtë shembull, midis pjesëtuesve të numrit j(21) = 12).
7. 4. Teorema e vogël e Fermatit (1601 - 1665).
Për çdo numër të thjeshtë p dhe çdo numër aÎ Z, e papjestueshme me p, ka një krahasim . (14)
Shembull.
Le a = 3,R= 5, ku 3 nuk është 5. Atëherë ose
.
7. 5. Përgjithësim i teoremës së Fermatit.
Për çdo numër të thjeshtë p dhe numër arbitrar aÎ Z krahasohet (15)
DETYRAT TIPIKE
1. Vërtetoni se 38 73 º 3 (mod 35).
Zgjidhje.
1) Meqenëse (38; 35) = 1, atëherë nga teorema e Euler-it ; j(35) = 24, pra
(1).
2) Nga krahasimi (1), nga përfundimi 2, vetitë 5 0 të krahasimeve numerike, kemi:
3) Nga krahasimi (2), nga përfundimi 1 i vetive 5 0 krahasime: 38 72 ×38 º 1×38 (mod 35) Þ 38 73 º38 º 38–35 = 3 (mod 35) Þ 38 73 º 3 (d 35), gjë që duhej vërtetuar.
2. Duke pasur parasysh: a = 4, t= 15. Gjeni eksponentin më të vogël k, duke e kenaqur krahasimin (*)
Zgjidhje.
1) Që nga ( a; m) = (4; 25) = 1, pastaj nga teorema e Euler-it , j(25) = 20, pra
.
2) A është eksponenti i gjetur - numri 20 - më së paku një numër natyror që plotëson krahasimin (*)? Nëse ka një eksponent më të vogël se 20, atëherë ai duhet të jetë pjesëtues i 20. Prandaj, eksponenti minimal i kërkuar k ju duhet të kërkoni mes shumë numrave n= (1, 2, 4, 5, 10, 20) - pjesëtuesit e 20.
3) Kur P = 1: ;
në P = 2: ;
në P= 3: (nuk ka nevojë të merret parasysh);
në P = 4: ;
në P = 5: ;
në P= 6, 7, 8, 9: (nuk ka nevojë të merret parasysh);
në P = 10: .
Kështu që, më së paku eksponent k, krahasimi i kënaqshëm(*), është k= 10.
Përgjigje: .
USHTRIME PËR PUNË TË PAVARUR
141. Nga teorema e Euler-it . Në a = 3, t= 6 kemi:
.
Meqenëse j(6) = 2, atëherë 3 2 º1 (mod 6), ose 9º1 (mod 6), Pastaj, sipas lemës, (9 – 1) 6 ose 8 6 (plotësisht!?). Ku eshte gabimi?
142. Vërtetoni se: a) 23 100 º1 (mod 101); b) 81 40 º 1 (mod100); c) 2 73 º 2 (mod 73).
143. Vërtetoni se a) 1 16 + 3 16 + 7 16 + 9 16 º 4 (mod 10);
b) 5 4 P + 1 + 7 4P+ 1 pjesëtohet me 12 pa mbetje.
144. Vërtetoni një teoremë të kundërt me teoremën e Ojlerit: nëse a j ( m) º 1 (mod m), pastaj ( jam) =1.
145. Gjeni eksponentin më të vogël kÎ N, duke e kënaqur këtë krahasim: a) ; b)
; në)
; G)
;
e) ; e)
; dhe)
; h)
.
dhe) ; te)
; l)
; m)
.
146. Gjeni pjesën e mbetur të pjesëtimit:
a) 7100 për 11; b) 9,900 për 5; c) 5,176 nga 7; d) 2 1999 nga 5; e) 8 377 për 5;
f) 26 57 me 35; g) 35 359 për 22; h) 5,718 për 103; i) 27,260 për 40; j) 25 1998 në 62.
147*. Vërtetoni këtë a 561 º a(modifikimi 11).
148*. Nëse zbërthimi kanonik i një numri natyror P nuk përmban faktorët 2 dhe 5, atëherë fuqia e 12-të e këtij numri përfundon me 1. Vërtetoni.
149*. Vërtetoni se 2 64 º 16 (mod 360).
150*. Vërtetoni: nëse ( a, 65) =1 , (b, 65) =1, atëherë a 12 –b 12 pjesëtohet në mënyrë të barabartë me 65.
Kapitulli 3. ZBATIMET ARITHMETIKE
TEORITË E KRAHASIMET NUMERIKE
§ 8. NUMRAT SISTEMATIK
INFORMACION BAZË NGA TEORIA
1. NUMRAT SISTEMATIK TË PLOTË
8. 1. Përkufizimi 1.
Një sistem numrash është çdo mënyrë për të shkruar numra. Shenjat me të cilat shkruhen këta numra quhen numra.
8. 2. Përkufizimi 2.
Një numër i plotë sistematik jo-negativ i shkruar në sistemin e numrave pozicional t-ary është një numër n i formës
,ku një i(i = 0,1, 2,…, k) – numra të plotë jo negativ - shifra, dhe 0 £ a i £ t– 1, t është baza e sistemit të numrave, tÎ N, t > 1.
Për shembull, shënimi i një numri në sistemin 7-ar është: (5603) 7 = 5 × 7 3 + 6 × 7 2 + 0 × 7 1 + 3. Këtu a i- këto janë 5, 6, 0, 3 - numra; të gjitha plotësojnë kushtin: 0 £ a i£ 6. Kur t=10 thuaj: numër n regjistruar në sistemi i numrave dhjetorë, dhe indeksi t= 10 mos shkruaj.
8. 3. Teorema 1.
Çdo numër i plotë jo negativ mund të përfaqësohet, dhe në një mënyrë unike, si një numër sistematik në çdo bazë t, ku tÎ N, t > 1.
Shembull:(1 3 9) 10 = (3 5 1) 6 = (1 0 2 4) 5 = …
8. 4. Vini re se:
1) caktimi i numrit sistematik të zeros në të majtë nuk ndryshon ky numër:
(3 4) 5 = (0 3 4) 5 .
2) atribuimi në një numër sistematik s zero në të djathtë është ekuivalente shumëzimi këtë numër për t s: (3 4) 5 = 3×5 1 + 4; (3 4 0 0) 5 = 3×5 3 + 4×5 2 + 0×5 1 + 0 = 5 2 ×(3×5 1 + 4).
8. 5. Algoritmi për konvertimin e një numri të shkruar nët - sistemi ary, në dhjetor:
Shembull: (287) 12 = 2×12 2 + 8×12 1 +7×12 0 = 2×144 + 8×12 + 7 = 288 + 96 +7 = (391) 10 .
8. 6. Algoritmi për konvertimin e një numri të shkruar në dhjetor sistem, nët -personale:
Shembull: (3 9 1) 10 = (X) 12 . Gjej X.
8. 7. Veprimet mbi numrat sistematikë
2. THYESAT SISTEMATIKE
8. 8. Përkufizimi 3.
Një thyesë sistematike e fundme t-ary në një sistem numrash me bazë t është një numër i formës
ku c 0 Î Z, me i - numra– numra të plotë jo negativë, dhe 0 £ me i£ t– 1, tÎ N, t > 1, kÎ N .
Shënimi: a = ( c 0 , Me 1 Me 2 …me k)t. Në t= 10 thirret thyesa dhjetore.
8. 9. Pasoja 1.
Çdo thyesë sistematike e fundme është një numër racional që mund të paraqitet si , ku aÎ Z,bÎ N.
Shembull.
a = (3 1, 2 4) 6 = 3×6 + 1 + =19 + është një numër racional. Pohimi i kundërt nuk është i vërtetë në përgjithësi. Për shembull, një thyesë nuk mund të shndërrohet në një fraksion të fundëm sistematik (decimal).
8.10. Përkufizimi 4.
Një thyesë sistematike pozitive t-ary e pafundme në një sistem numrash me bazë t është një numër i formës
, ku nga 0Î N, me i(i =1, 2, …, te, …) - numrat– numra të plotë jo negativë, dhe 0 £ me i£ t–1, tÎ N, t > 1, kÎ N.
Shënimi: a = ( Me 0 , Me 1 Me 2 … me k…) t. Në t=10 thirret thyesa dhjetore.
8.11. Përkufizimi 5.
Ekzistojnë tre lloje të thyesave sistematike të pafundme:
une a = ( Me 0 , )t= =
t, ku =
= = … Në këtë rast, numri a quhet një thyesë e pafundme e pastër periodike,(Me 1 Me 2 … me k) – periudhë, k - numri i shifrave në periudhë - gjatësia e periudhës.
II a = .
Në këtë rast, numri a quhet një fraksion periodik i përzier i pafund, – para-periudha, () – periudhë, k - numri i shifrave në periudhë - gjatësia e periudhës, l - numri i shifrave midis pjesës së numrit të plotë dhe periodës së parë - gjatësia e paraperiudhës.
III a = ( Me 0 , Me 1 Me 2 … me k …)t . Në këtë rast, numri a quhet thyesë e pafundme jo periodike.
DETYRAT TIPIKE
1. Numri ( a) 5 = (2 1 4 3) 5, e dhënë në sistemin 5-ar, përkthehet në sistemin 7-ar, domethënë gjeni X, nëse (2 1 4 3) 5 = ( X) 7 .
Zgjidhje.
1) Shndërroni numrin e dhënë (2 1 4 3) 5 në numër ( në) 10 e shkruar në sistemin dhjetor:
2. Ndiqni hapat:
1) (7) 8 + (5) 8 ; 2) (7) 8 × (5) 8 ; 3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6 ;
4) (5 2 3 4) 7 – (2 3 5 1) 7 ; 5) (4 2 3) 5 × (3 2) 5 ; 6) (3 0 1 4 1) 5: (4 2 3) 5 .
Zgjidhje.
1) (7) 8 + (5) 8 = (7) 10 + (5) 10 = (12) 10 = 1×8 + 4 = (1 4) 8 ;
2) (7) 8 × (5) 8 = (7) 10 × (5) 10 = (35) 10 = 4×8 + 3 = (4 3) 8 ;
3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6 (1 2 4 3 3) 6 | Shënim: | 4+5 = 9 = 1×6+3, shkruhet 3, 1 shkon në shifrën tjetër, 6+3+1=10 =1×6+4, shkruhet 4, 1 shkon në shifrën tjetër, 3+ 4+1= 8 \u003d 1 × 6 + 2, shkruhet 2, 1 shkon në shifrën tjetër. |
4) (5 2 3 4) 7 – (2 3 5 1) 7 (2 5 5 3) 7 | Shënim: | "zënë" një njësi të gradës më të lartë, d.m.th. "1" = 1x7: (3 + 1x7) - 5 = 10 - 5 = 5, (1 + 1x7) - 3 = 8 - 3 = 5 , |
5) (4 2 3) 5 ´ (3 2) 5 (1 4 0 1) 5 + (2 3 2 4) 5__ (3 0 1 4 1) 5 | Shënim: | Kur shumëzojmë me 2: 3 × 2 = 6 = 1 × 5 + 1, shkruajmë 1, 1 shkon në shifrën tjetër, 2 × 2 +1=5 = 1 × 5 +0, shkruajmë 0, 1 shkon në shifrën tjetër. shifra tjetër, 2 ×4 +1=9 = 1×5 +4, shkruhet 4, 1 shkon në shifrën tjetër, Kur shumëzohet me 3: 3 ×3 = 9 = 1×5 + 4, shkruhet 4, 1. shkon në shifrën tjetër, 3 × 2 +1=7 = 1×5 +2, shkruhet 2, në shifrën tjetër shkon 1, 3×4 +1=13=2×5 +3, shkruhet 3, 2 shkon në shifrën tjetër. |
6) (3 0 1 4 1) 5 | (4 2 3) 5
2 3 2 4 (3 2) 5
1 4 0 1 Përgjigje: 1) (1 4) 8 ; 2) (4 3) 8 ; 3) (1 2 4 3 3) 6 ; 4) (2 5 5 3) 7 ;
(0) 5 5) (3 0 1 4 1) 5 ; 6) (3 2) 5 .
USHTRIME PËR PUNË TË PAVARUR
151. Numrat e dhënë në t-sistemi ary, konvertohet në sistem dhjetor:
a) (2 3 5) 7 ; b) (2 4 3 1) 5 ; c) (1 0 0 1 0 1) 2 ; d) (1 3 ) 15 ;
e) (2 7) 11; f) (3 2 5 4) 6 ; g) (1 5 0 1 3) 8 ; h) (1 1 0 1 1 0 0 1) 2 ;
i) (7 6 2) 8 ; j) (1 1 1 1) 20 .
152. Numrat. dhënë në sistemin dhjetor, konvertohet në t sistemi -ic. Bëni një kontroll.
a) (1 3 2) 10 = ( X) 7 ; b) (2 9 8) 10 = ( X) 5 ; c) (3 7) 10 = ( X) 2 ; d) (3 2 4 5) 10 = ( X) 6 ;
e) (4 4 4 4) 10 = ( X) 3 ; f) (5 6 3) 10 = ( X) 12 ; g) (5 0 0) 10 = ( X) tetë ; h) (6 0 0) 10 = ( X) 2 ;
i)(1 0 0 1 5) 10 =( X) njëzet; j) (9 2 5) 10 = ( X) tetë ; k) (6 3 3) 10 = ( X) pesëmbëdhjetë; m) (1 4 3) 10 = ( X) 2 .
153. Numrat e dhënë në t-ary system, translate into q sistemi -ic (duke kaluar nëpër sistemin dhjetor).
a) (3 7) 8 = ( X) 3 ; b) (1 1 0 1 1 0) 2 = ( X) 5 ; c) ( 6 2) 11 = ( X) 4 ;
d) (4 ) 12 = ( X) 9. e) (3 3 1 3 1) 5 = ( X) 12 .
154. a) Si do të ndryshojë numri (1 2 3) 5 nëse në të djathtë i shtohet zero?
b) Si do të ndryshojë numri (5 7 6) 8 nëse i shtohen dy zero në të djathtë?
155. Ndiqni këto hapa:
a) (3 0 2 1) 4 + (1 2 3 3) 4 ; b) (2 6 5 4) 8 + (7 5 4 3) 8 ; c) (1 0 1 1 0 1) 2 +(1 1 0 1 10) 2 ;
d) (5 2 4 7) 9 + (1 3 7 6) 9 ; e) (4 7 6) 9 - (2 8 7) 9; f) (2 4 5 3) 7 – (1 6 4 5) 7 ;
g) (8 3) 12 - (5 7 9) 12; h) (1 7 5) 11 - ( 6) 11 ; i) (3 6 4 0 1) 7 – (2 6 6 6 3) 7 ;
j) (1 0 0 1 0) 2 × (1 1 0 1) 2 ; k) (7 4 1) 8 × (2 6) 8; m) (5 3 7 2) 8 × (2 4 6) 8;
m) (3 3 2 1) 4 × (2 3 0) 4 ; o) (1 0 2 2 2 2) 3: (1 2 2) 3 ; n) (2 1 0 3 2) 4: (3 2 3) 4 ;
p) (2 6 1 7 4) 8: (5 4 6) 8 ; c) (4 3 2 0 1) 5: (2 1 4) 5 ; t)(1 1 0 1 0 0 1 0) 2: (1 0 1 0 1) 2
y) (1 1 0 1 1 0) 2: (1 1 1) 2 ; f) (1 1 1 0) 6: (2 1 5) 6 ; x) (3 2 3 8 2 2 1 7 0) 9: (7 6 4 2) 9 .
v) (1 6 3 5) 8 + (7 6 4) 8; h) (1 1 1 1) 3 - (2 1 2) 3; w)(1 2 7) 12 +(9 1 3 5 ) 12b" × b 1 Pastaj:
I Nëse emëruesi b = b"(përmban vetëm "2" dhe/ose "5") - atëherë fraksioni konvertohet në final thyesë dhjetore. Numri i numrave dhjetorë është i barabartë me numrin më të vogël natyror l lº 0( mod b").
II Nëse emëruesi b = b 1(nuk përmban "2" dhe "5"), atëherë thyesa konvertohet në e pafundme thjesht periodikeështë e barabartë me numrin më të vogël natyror k, krahasim i kënaqshëm 10 kº 1 ( mod b 1).
III Nëse emëruesi b = b"× b 1 (përmban "2" dhe / ose "5", si dhe faktorë të tjerë kryesorë), atëherë fraksioni shndërrohet në periodik i përzier i pafund dhjetë-
thyesë tik-takuese.
Gjatësia e periudhës është e barabartë me numrin më të vogël natyror k, krahasim i kënaqshëm 10 kº 1 ( mod b 1).
Gjatësia e paraperiudhës është e barabartë me numrin më të vogël natyror l, krahasim i kënaqshëm 10 lº 0( mod b").
9. 2. konkluzione.
9. 3. Vini re se:
një numër racional është çdo thyesë dhjetore e fundme ose thyesë dhjetore periodike e pafundme;
Një numër irracional është çdo thyesë dhjetore e pafundme jo periodike.
DETYRAT TIPIKE
1. Këto thyesa të zakonshme, të shkruara në sistemin dhjetor, shndërrohen në
dhjetore, më parë pasi të keni përcaktuar llojin e fraksionit të dëshiruar (i fundëm ose i pafundëm; periodik ose jo periodik; nëse - periodik, atëherë periodik thjesht periodik ose i përzier); në rastet e fundit para-gjen numri k- gjatësia dhe numri i periudhës lështë gjatësia e paraperiudhës. një); 2) ; 3).
Zgjidhje.
1) Thyesë = emërues - numër b= 80 = 2 4 × 5 përmban vetëm "2" dhe "5". Prandaj, kjo fraksion konvertohet në final thyesë dhjetore. Numri i numrave dhjetorë emri im përcaktohet nga kushti: 10 lº0 (mod.80):
2) Thyesë = emërues - numër b= 27 = 3 3 nuk përmban "2" dhe "5". Prandaj, kjo thyesë shndërrohet në një të pafundme thjesht periodike thyesë dhjetore. Gjatësia e periudhës k emri përcaktohet nga kushti: 10 kº1 (mod27):
3) Thyesë = emërues - numër b= 24 = 2 3 × 3, domethënë, duket si: b = b"× b 1 (përveç "2" ose "5" përmban faktorë të tjerë, në këtë rast numrin 3). Prandaj, kjo thyesë shndërrohet në një të pafundme periodike të përziera thyesë dhjetore. Gjatësia e periudhës k emri përcaktohet nga kushti: 10 kº1 (mod3), prej nga k emri= 1, domethënë gjatësia e periudhës k= 1. Gjatësia e para-periudhës emri im përcaktohet nga kushti: 10 lº0 (mod8), prej nga emri im= 3, domethënë gjatësia e periudhës paraprake l = 3.
Kontrolloni: ndani "këndin" 5 me 24 dhe merrni: = 0, 208 (3).
Përgjigje: 1) 0, 0375; 2) 0, (074); 3) 0, 208 (3).
USHTRIME PËR PUNË TË PAVARUR
156. Këto thyesa të zakonshme, të shkruara në sistemin dhjetor, shndërrohen në thyesa dhjetore. Nëse numri dhjetor është periodik, atëherë më parë gjeni numrin k- gjatësia dhe numri i periudhës l- kohëzgjatja e paraperiudhës.
157. Këto thyesa të zakonshme, të shkruara në sistemin dhjetor, shndërrohen në t-thyesat sistematike ari. Gjeni numrat k- gjatësia e periudhës dhe l- kohëzgjatja e paraperiudhës.
158*. Në cilin sistem numrash shkruhet numri (4 6) 10 në të njëjtët numra, por në
rendi i kundërt?
159*. Cila është më e madhe: njësia e shifrës së 8-të në sistemin binar apo njësia e shifrës së katërt në sistemin oktal?
§ 10. TEOREMA E PASCALIT. SHENJAT E PJETUESISË
INFORMACION BAZË NGA TEORIA
10. 1. Teorema e Paskalit (1623 – 1662).
Janë dhënë numra natyrorë: t > 1dhe n, të shkruar në sistemin t-ary:
,ku a i janë numrat: a iÎ N, 0 £ a i £ t–1 (i = 0,1, 2,…, k), tÎ N, t > 1.
Le n= (a k a k - 1 … a 1 a 0) 10 = një k× 10 k +nje k - 1×10 k- 1 +…+a 1×10+ a 0 , m=3 dhe m = 9.
1) Gjeni b i: modulm = 3 modulm = 9
10 0 º1 (mod3), d.m.th. b 0 =1, 10 0 º1 (mod9), d.m.th. b 0 =1,
10 1 º1 (mod3), d.m.th. b 1 =1, 10 1 º1 (mod9), d.m.th. b 1 =1,
10 2 º1 (mod3), d.m.th. b 2 =1, 10 2 º1 (mod9), d.m.th. b
Sistemi i plotë i faturimit. Sistemi i dhënë i zbritjeve. Sistemet më të zakonshme të deduksionit janë: më pak pozitive, më pak jo negative, absolutisht më pak, etj.
Teorema 1. Vetitë e sistemit të plotë dhe të reduktuar të mbetjeve.
1° Kriteret për një sistem të plotë zbritjesh. Çdo kombinim i m numra të plotë që janë modulë të pakrahasueshëm në çift m, formon një sistem të plotë të modulit të mbetjeve m.
2°. Nëse numrat x 1 , x 2 , ..., x m– sistem i plotë i modulit të mbetjeve m, (a, m) = 1, bështë një numër i plotë arbitrar, pastaj numrat sëpatë 1 +b, sëpatë 2 +b, ..., sëpatë m+b gjithashtu përbëjnë një sistem të plotë të modulit të mbetjeve m.
3°. Kriteri i Sistemit të Reduktimit të Reduktuar. Çdo koleksion i përbërë nga j( m) numra të plotë që janë modulë të pakrahasueshëm në çift m dhe coprime me modulin, formon një sistem të reduktuar të modulit të mbetjeve m.
4°. Nëse numrat x 1 , x 2 , ..., x j ( m) është sistemi i reduktuar i modulit të mbetjeve m, (a, m) = 1, pastaj numrat sëpatë 1 , sëpatë 2 , ..., një x j ( m) përbëjnë gjithashtu sistemin e reduktuar të modulit të mbetjeve m.
Teorema 2. Teorema e Euler-it.
Nëse numrat a dhe m coprime, atëherë a j ( m) º 1 (mod m).
Pasoja.
1°. Teorema e Fermatit. Nese nje fqështë një numër i thjeshtë dhe a nuk ndahet me fq, pastaj një fq–1 º 1 (mod fq).
2°. Teorema e përgjithësuar e Fermatit. Nese nje fq atëherë është një numër i thjeshtë një fq º a(mod fq) për çdo aÎ Z .
§ katër. Zgjidhja e krahasimeve me një ndryshore
Vendimi krahasues. Ekuivalenca. Shkalla e krahasimit.
Teorema. Vetitë e zgjidhjeve të kongruencave.
1° Zgjidhjet e kongruencave janë klasa të tëra mbetjesh.
2°. (" k)(një k º b k(mod m))Ù k= z i krahasimit º 0 (mod m) dhe º 0 (mod m) janë ekuivalente.
3°. Nëse të dyja pjesët e krahasimit shumëzohen me një numër koprim me modulin, atëherë fitohet një krahasim që është ekuivalent me atë origjinal.
4°. Çdo modul krahasimi një kryeministër fqështë e barabartë me një krahasim, shkalla e të cilit nuk e kalon fq–1.
5°. Krahasimi º 0 (mod fq), ku fqështë një numër i thjeshtë, ka më së shumti n zgjidhje të ndryshme.
6°. Teorema e Wilsonit. ( n-një)! º -1 (mod n) Û n Numri kryesor.
§ 5. Zgjidhja e krahasimeve të shkallës së parë
sëpatë º b(mod m).
Teorema. 1°. Nese nje ( a, m) = 1, atëherë krahasimi ka një zgjidhje dhe është unike.
2°. Nese nje ( a, m) = d dhe b nuk ndahet me d, atëherë krahasimi nuk ka zgjidhje.
3°. Nese nje ( a, m) = d dhe b i ndarë nga d, atëherë krahasimi ka d zgjidhje të ndryshme që përbëjnë një klasë të mbetjeve të modulit.
Mënyrat për të zgjidhur krahasimet sëpatë º b(mod m) kur ( a, m) = 1:
1) përzgjedhja (numërimi i elementeve të një sistemi të plotë të zbritjeve);
2) përdorimi i teoremës së Euler-it;
3) përdorimi i algoritmit të Euklidit;
4) ndryshimi i koeficientëve (duke përdorur vetinë 2° të sistemit të plotë të mbetjeve nga teorema 2.2);
§6. Ekuacionet e pacaktuara të shkallës së parë
sëpatë+nga = c.
Teorema. Ekuacioni sëpatë+nga = c i zgjidhshëm nëse dhe vetëm nëse c (a, b).
Kur ( a, b) = 1 të gjitha zgjidhjet e ekuacionit jepen me formula
tÎ Z , ku x 0 është një zgjidhje krahasimi
sëpatë º c(mod b), y 0 = .
Ekuacionet diofantine.
KAPITULLI 10. Numrat kompleks
Përkufizimi i një sistemi numrash kompleksë. Ekzistenca e një sistemi numrash kompleksë
Përkufizimi i një sistemi numrash kompleksë.
Teorema. Ekziston sistemi i numrave kompleks.
Modeli: R 2 me operacione
(a, b)+(c, d) = (a+c, b+d), (a, b)×( c, d) = (ac–bd, para Krishtit+ad),
i= (0, 1) dhe identifikimi a = (a, 0).
Forma algjebrike e një numri kompleks
Paraqitja e një numri kompleks në formë z = a+bi, ku a, bÎ R , i 2 = -1. Veçantia e një përfaqësimi të tillë. Re z, Une jam z.
Rregullat për kryerjen e veprimeve aritmetike mbi numrat kompleks në formë algjebrike.
Aritmetike n-hapësirë vektoriale dimensionale C n. Sistemet e ekuacioneve lineare, matricave dhe përcaktuesve mbi C .
Nxjerrja e rrënjëve katrore nga numrat kompleks në formë algjebrike.
pjesë e sistemit të plotë të mbetjeve (Shih. Sistemi i plotë i mbetjeve), i përbërë nga numra koprim me modulin m. P. s. në. përmban φ( m) numrat [φ( m) është numri i numrave të dyfishtë me të m dhe më të vogla m]. Çdo φ( m) numra që nuk janë të krahasueshëm në modul m dhe bashkoprim me të, nga P. s. në. për këtë modul.
- - shiko Masën e reduktuar...
Enciklopedia Fizike
- - karakteristikë e kushtëzuar e shpërndarjes së masave në një mekanik lëvizës. ose sistem i përzier, në varësi të fizikës. parametrat e sistemit dhe nga ligji i levizjes se tij...
Enciklopedia Fizike
- - modulo m - çdo grup i numrave të plotë që janë të pakrahasueshëm modulo një. Zakonisht si P. me. në. moduloni mbetjet më të vogla jo negative 0, 1, . . ...
Enciklopedia Matematikore
- - shuma e sipërfaqes së shfrytëzueshme të një ndërtese apartamentesh, si dhe sipërfaqet e lozhave, verandave, ballkoneve me faktorët përkatës të reduktimit - jepet sipërfaqja totale - přepočtená užitková plocha - Gesamtfläche - fajlagos alapterület - hörvüulsen ...
Fjalori i ndërtimit
- - Shihni koeficientin e porozitetit të shkëmbinjve ...
- - raporti i vëllimit të poreve të shkëmbit me vëllimin e skeletit të shkëmbit, zakonisht i shprehur në fraksione të një njësie ...
Fjalor i hidrogjeologjisë dhe gjeologjisë inxhinierike
- - shih koeficientin e porozitetit...
Fjalor shpjegues i shkencës së tokës
- - njësoj si pjesa bazë...
- - një karakter i kushtëzuar i shpërndarjes së masave në një sistem trupash lëvizës, i futur në mekanikë për të thjeshtuar ekuacionet e lëvizjes së sistemit ...
Fjalor i madh enciklopedik politeknik
- - Taksa e vënë në burim mbi dividentët ose të ardhurat e tjera të marra nga një jorezident i vendit...
Fjalori financiar
- - Taksa e vënë në burim mbi dividentët ose të ardhurat e tjera të marra nga një jorezident i vendit...
Fjalor i termave të biznesit
- - modulo m, çdo koleksion numrash të plotë që përmban një numër nga çdo klasë numrash modulo m. Si P. me. në. sistemi më i përdorur i mbetjeve më pak pozitive 0, 1, 2,.....
- - një karakteristikë e kushtëzuar e shpërndarjes së masave në një sistem mekanik ose të përzier në lëvizje, në varësi të parametrave fizikë të sistemit dhe ligjit të lëvizjes së tij ...
Enciklopedia e Madhe Sovjetike
- - Masa e reduktuar - një karakteristikë e kushtëzuar e shpërndarjes së masave në një sistem mekanik ose të përzier në lëvizje, në varësi të parametrave fizikë të sistemit dhe ligjit të lëvizjes së tij ...
Fjalor i madh enciklopedik
- - të përgjithshme, të gjitha, kumulative, ...
Fjalor sinonimik
- - adj., numri i sinonimeve: 1 i pastër ...
Fjalor sinonimik
"Sistemi i reduktuar i zbritjeve" në libra
Cila është vlera aktuale e kompetencave bazë?
Nga libri Weightless Wealth. Përcaktoni vlerën e kompanisë suaj në ekonominë e aseteve jo-materiale autor Thyssen ReneCila është vlera aktuale e kompetencave bazë? Bazuar në sa më sipër, mund të themi se vlera aktuale e një kompetence bazë llogaritet duke shumëzuar të gjithë treguesit për një kohë të caktuar, duke marrë parasysh koston e tërheqjes.
Vlera aktuale neto (NPV)
Nga libri MBA në 10 ditë. Programi më i rëndësishëm i shkollave kryesore të biznesit në botë autor Silbiger StephenVlera aktuale neto (NPV) Analiza e vlerës aktuale (NPV) ndihmon për të llogaritur se sa duhet të investojë një punonjës për të marrë një pension të mirë në 30 vjet, por kjo analizë nuk është e dobishme në vlerësimin e investimeve dhe projekteve aktuale. Investimet duhet të vlerësohen
KONTABILITETI PER DETAJE DHE ZBRITJE NGA PAGA
Nga libri Kontabiliteti autor Melnikov IlyaNJOHJA E DETAJEVE DHE ZBRITJEVE NGA PAGA Në përputhje me legjislacionin, nga pagat e punonjësve bëhen këto zbritje: - tatimi mbi të ardhurat (tatimi shtetëror, objekt tatimi - paga);
10.6. Kontabiliteti për zbritjet dhe zbritjet nga pagat
Nga libri Kontabiliteti në bujqësi autor Bychkova Svetlana Mikhailovna10.6. Kontabiliteti i zbritjeve dhe zbritjeve nga paga Nga pagat e punonjësve të ndërmarrjes bëhen zbritje të caktuara, të cilat ndahen si më poshtë: zbritjet e detyrueshme (tatimi mbi të ardhurat personale, zbritjet në urdhrat e përmbarimit);
Nga libri Pasuritë jomateriale: Kontabiliteti dhe Kontabiliteti Tatimor autori Zakharyin V R<...>
4.1. Çështje të përgjithshme të dhënies së zbritjeve të taksave sociale
autor Makurova Tatiana4.1. Çështjet e përgjithshme të dhënies së zbritjeve të taksave sociale Zbritjet e taksave sociale (neni 219 i Kodit Tatimor), si dhe një zbritje e pasurisë për blerjen e banesave, nënkuptojnë një ulje të bazës së tatueshme nga shuma e shpenzimeve sociale të bëra, duke marrë parasysh legjislacioni
4.3. Karakteristikat e ofrimit të zbritjeve arsimore
Nga libri Vetë-Tutorial mbi tatimet mbi të ardhurat personale autor Makurova Tatiana4.3. Veçoritë e dhënies së zbritjeve arsimore 142) Cilat shpenzime mund të pranohen si zbritje për arsimin? Cilat janë kufijtë e zbritjeve arsimore Për zbritjen e tatimit social për arsimin pranohen: shpenzimet në shumën e paguar nga tatimpaguesi në
3.4. Kuantifikimi dhe shpeshtësia e shfaqjes dhe aplikimi i zbritjeve tatimore
Nga libri Barra tatimore e një ndërmarrje: analizë, llogaritje, menaxhim autor Chipurenko Elena Viktorovna3.4. Kuantifikimi dhe shpeshtësia e shfaqjes dhe aplikimi i zbritjeve tatimore 3.4.1. TVSH-ja si zbritje e mundshme tatimore Gjatë llogaritjes së TVSH-së, shumat e zbritjeve tatimore përcaktohen vetëm në përputhje me të dhënat e regjistrave të kontabilitetit tatimor - librat e blerjeve. Në
Sistemi i plotë i zbritjeve
Nga libri Enciklopedia e Madhe Sovjetike (PO) e autorit TSBMasa e reduktuar
TSBSistemi i reduktuar i zbritjeve
Nga libri Enciklopedia e Madhe Sovjetike (PR) e autorit TSB88. Format strukturore dhe të reduktuara të një sistemi ekuacionesh të njëkohshme. Identifikimi i modelit
Nga libri Përgjigjet e biletave të provimeve në Ekonometri autor Yakovleva Angelina Vitalievna88. Format strukturore dhe të reduktuara të një sistemi ekuacionesh të njëkohshme. Identifikimi i modelit Ekuacionet strukturore janë ekuacionet që përbëjnë sistemin origjinal të ekuacioneve të njëkohshme. Në këtë rast sistemi ka një formë strukturore.Formë strukturore
Nga libri i Ri në Kodin Tatimor: një koment mbi ndryshimet që hynë në fuqi në 2008 autor Zrelov Alexander PavlovichNeni 172. Procedura e aplikimit të zbritjeve tatimore
autor autor i panjohurNeni 172
Nga libri Kodi Tatimor i Federatës Ruse. Pjesa e parë dhe e dytë. Teksti me ndryshime dhe shtesa më 1 tetor 2009 autor autor i panjohurNeni 201. Procedura e aplikimit të zbritjeve tatimore