Cum se determină viteza oricărui punct al unei figuri plane. Determinarea vitezelor punctelor unei figuri plane. Mișcarea plană a unui corp rigid
![Cum se determină viteza oricărui punct al unei figuri plane. Determinarea vitezelor punctelor unei figuri plane. Mișcarea plană a unui corp rigid](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/356.png)
Amintiți-vă că mișcarea unei figuri plate poate fi considerată ca o sumă a mișcării de translație împreună cu polul și mișcarea de rotație în jurul polului.
Conform cu aceasta viteza unui punct arbitrar M al unei figuri plane este din punct de vedere geometric suma vitezei unui punct A, luată ca pol, și viteza pe care o primește punctul M atunci când figura se rotește în jurul acestui pol, adică
În același timp, viteza VMA definită ca viteza unui punct M când un corp se rotește în jurul unei axe fixe care trece printr-un punct DAR perpendicular pe planul de mișcare (vezi § 7.2), adică.
Astfel, dacă se cunoaşte viteza stâlpului VA iar viteza unghiulară a corpului w, atunci
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/356.png)
viteza oricărui punct M a corpului se determină în conformitate cu egalitatea (8.2), diagonala paralelgramului construit pe vectori VAși VMA, ca pe laterale (Fig. 8.3), și modulul de viteză V M calculate prin formula
unde y este unghiul dintre vectori VAși VMA
Problema 8.1. Roata se rostogolește pe o suprafață fixă fără alunecare (Fig. 8.4, A). Găsiți puncte de viteză La și D roți dacă viteza este cunoscută Vc roată C centrală, rază R roți, distanță COP = b și unghiul a.
Soluţie. 1. Mișcarea roții luate în considerare este plan-paralelă. Luând punctul C ca pol (deoarece viteza lui este cunoscută), în conformitate cu egalitatea generală (8.2), pentru punctul La putem scrie
Cu toate acestea, nu există nicio modalitate de a determina valoarea V KC , deoarece viteza unghiulară este necunoscută.
Pentru a determina w, luați în considerare viteza altui punct, și anume punctul R atingerea roții pe o suprafață fixă (Fig. 8.4, b). Pentru acest punct, putem scrie egalitatea
caracteristica punctului R este faptul că în acest moment Vp - 0, deoarece roata se rostogolește fără să alunece. Atunci egalitatea (b) ia forma
![](https://i0.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/360.png)
de unde ajungem
De aici rezultă: 1) vectori viteză V PCși Vc trebuie îndreptat în direcții opuse; 2) din egalitatea modulelor V PC - V c primim uPC = V c , de aici găsim w = Vc /PC = Vc /R. Conform direcției vectoriale V PC determinați direcția săgeții arcului w și afișați-o în desen (Fig. 8.4, b).
Acum revenim la definiție V K prin egalitate (a). Găsim
Vks \u003d despre KS - V ^ b / R. Cunoscând direcția vitezei unghiulare ω, înfățișăm vectorul V KC perpendicular pe segment KSși se realizează construcția unui paralelogram pe vectori Vcși V KC(Fig. 8.4, în).Întrucât în acest caz Vcși V KC reciproc perpendiculare, găsim în sfârșit
2. Viteza punctului D pe janta, determinăm din egalitate VD = V C + V DC . Din moment ce numeric VDC - co R - V c , apoi paralelogramul construit pe vectori Vcși VDC, va fi un romb. Unghiul dintre Vcși V DC este egal cu 2a. După ce am definit VD ca lungime a diagonalei corespunzătoare a rombului, obținem
Teorema privind proiecțiile vitezelor a două puncte ale unui corp rigid
Conform egalității (8.2) pentru două_ puncte arbitrare DARși LA corp rigid egalitatea V B \u003d V A + V B A,în conformitate cu care executăm construcția prezentată în Fig. 8.5. Proiectând această egalitate pe axă Az, este recomandat pentru A B primim Minte + VBAz. Având în vedere că vectorul VBA perpendicular pe linie
A B găsi
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/366.png)
Acest rezultat exprimă teorema: proiecțiile vitezelor a două puncte ale unui corp rigid pe axa care trece prin aceste puncte sunt egale între ele.
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/367.png)
Observăm că egalitatea (8.5) reflectă matematic faptul că corpul este considerat ca fiind absolut rigid și distanța dintre puncte DARși LA nu se schimba. De aceea egalitatea (8,5) este satisfăcută nu numai pentru plan-paralel, ci și pentru orice mișcare a unui corp rigid.
Problema 8.2. Târâtoare DARși LA, conectate printr-o tijă cu balamale la capete, acestea sunt deplasate de-a lungul unor ghidaje reciproc perpendiculare în planul desenului (Fig. 8.6, A). Determinați la un unghi dat a viteza unui punct LA, dacă viteza este cunoscută V A .
Soluţie. Să desenăm axa x prin puncte DARși LA. Cunoscând direcția VA,
găsiți proiecția acestui vector pe linie AB: V Ax - V A cos a (în Fig. 8.6, b aceasta va fi o tăietură Ah). Mai departe desenul din punct LA amâna Bb - Aa(deoarece segmentul Ah situat pe axa x la dreapta punctului DAR, apoi segmentul Bb pus deoparte din punct LA pe axa x la dreapta). Învierea la punct b perpendicular pe o dreaptă AB, găsiți punctul final al vectorului V B .
Conform teoremei proiecției VA cos a = K^cosp. De aici (ținând cont că Р = 90 ° - a) obținem în sfârșit V B = VA cos a/cos(90° - a) sau V B = = VA ctg a.
Determinarea vitezelor punctuale folosind centrul de viteze instantaneu
Pentru a determina vitezele punctelor unei figuri plane, alegem orice punct ca pol R. Apoi, conform formulei
(8.2), viteza unui punct arbitrar M este definită ca suma a doi vectori:
Dacă viteza stâlpului R la un moment dat a fost egal cu zero, atunci partea dreaptă a acestei egalități ar fi reprezentată de un singur termen La MR iar viteza oricărui punct ar fi definită ca viteza unui punct M corpul în timp ce se rotește în jurul unui stâlp fix R.
Prin urmare, dacă alegem punctul ca pol R, a cărui viteză este zero la un moment dat, atunci modulele vitezelor tuturor punctelor din figură vor fi proporționale cu distanța lor față de polul P, iar direcțiile vectorilor viteză ai tuturor punctelor vor fi perpendiculare pe liniile drepte care leagă punctul în cauză și polul P. Desigur, calculul prin formulele (8.6) este mult mai simplu decât calculul prin formula generală (8.2).
Punctul unei figuri plate, a cărei viteză la un moment dat este zero, se numește centrul instantaneu al vitezelor (MCS). Este ușor de verificat că dacă figura se mișcă netranslațional, atunci un astfel de punct există în fiecare moment de timp și, în plus, este unic. Rețineți că centrul instantaneu al vitezelor poate fi localizat atât pe figură în sine, cât și pe continuarea sa mentală.
Luați în considerare modalități de a determina poziția centrului instantaneu de viteze.
1. Lăsați pe moment tjum al unei figuri plane, viteza ei unghiulară ω și viteza VA oricare dintre punctele sale DAR(Fig. 8.7, A). Apoi alegerea unui punct DAR ca pol,_viteza_punctului pe care îl căutăm R poate fi determinat prin formula Vp = VA + VpA -
Problema este să găsești un astfel de punct R, in care V P=0, deci pentru ea V A + U RL=0 și deci Y RA \u003d -Y A. Prin urmare, pentru idee R viteză La RA care punct R obţinut prin rotirea figurii în jurul stâlpului DAR, si viteza A stâlpi DAR egal în modulo (Y RA = Y A) sau despre ZAR = U Ași opus în direcție. În plus, punctul R trebuie să fie perpendicular pe vector La A. Determinarea poziţiei unui punct R se efectuează astfel: din punct DAR(Fig. 8.7, b) stabiliți o perpendiculară pe vector Ași puneți o distanță pe ea AR = Y A/co de cealaltă parte a punctului DAR, unde vectorul va "arata" LaȘi, dacă este rotit cu 90 ° în direcția săgeții arcului co.
Centrul instantaneu de viteze este singurul punct de pe o figură plană a cărui viteză la un moment dat este zero.
![](https://i0.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/370.png)
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/371.png)
Într-un alt moment de timp, centrul instantaneu de viteze poate fi deja un alt punct al figurii plane.
2. Fie cunoscute direcțiile vitezelor VAși în(Fig. 8.8, A) două puncte DARși LA figura plană (mai mult, vectorii viteză ai acestor puncte nu sunt paraleli), sau se cunosc deplasările elementare ale acestor puncte. Centrul instantaneu de viteze va fi situat în punctul de intersecție al perpendicularelor ridicate din punctele A și B la vitezele acestor puncte (sau la deplasările elementare ale punctelor). O astfel de construcție este prezentată în Fig. 8.8, b. Se bazează pe faptul că pentru orice puncte A și B cifre prevederi aplicabile (8.6):
Din aceste egalităţi rezultă că
Cunoscând poziția MCC și viteza unghiulară a corpului, aplicând formulele (8.6), este ușor de determinat viteza oricărui punct al acestui corp. De exemplu, pentru un punct La(vezi fig. 8.8, b) viteza modulului V K = coKP, vector si tuîndreptată perpendicular pe o dreaptă KRîn conformitate cu
direcția săgeții arcului y.
Prin urmare, vitezele punctelor unei figuri plate sunt determinate la un moment dat de timp ca și cum această cifră s-ar roti în jurul centrului instantaneu al vitezelor.
3. Dacă viteza indică DARși LA figurile plane sunt paralele între ele, apoi sunt posibile trei opțiuni, care sunt prezentate în Fig. 8.9. Pentru cazurile în care direct AB perpendicular pe vectori VAși V B(Fig. 8.9, a, b) construcţiile se bazează pe proporţia (8.7).
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/374.png)
Dacă viteza punctelor Lee V paralel și drept AB_nt perpendicular VDAR(Fig. 8.9, în), apoi perpendicularele la U Ași V B sunt paralele și centrul instantaneu al vitezelor este la infinit (AP= oo); viteza unghiulara de rotatie a figurii w = VJAP=VA/cc= 0. În acest caz, vitezele tuturor punctelor figurii la un moment dat de timp sunt egale între ele, adică figura are o distribuție a vitezelor ca în mișcarea de translație. Această stare de mișcare se numește progresiv progresiv. Rețineți că în această stare, accelerațiile tuturor punctelor corpului nu vor fi aceleași.
4. Dacă mișcarea plană a corpului se realizează prin rulare fără alunecare pe o suprafață fixă (Fig. 8.10), atunci punctul de contact R va fi centrul instantaneu al vitezelor (vezi problema 8.1).
Problema 8.3. Mecanismul plat este format din 7 tije, 2, 3, 4 si crawler LA(Fig. 8.11), legate între ele și cu suporturi fixe 0 { și 0 2 balamale; punct D este în mijlocul tijei AB. Lungimea tijei: / 2 = 0,4 m, / 2 = 1,2 m, / 3 = 0,7 m, / 4 = 0,3 m. și îndreptată în sens invers acelor de ceasornic. Defini V A , V B , V D , V E , oo 2 , co 3 , la 4 și viteza punctului Laîn mijlocul tijei DE (DK = KE).
Soluţie. În mecanismul luat în considerare, tijele 7, 4 efectuați o mișcare de rotație LA- progresivă, și tije 2, 3 -
miscare plan-paralela.
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/375.png)
Viteza punctului DAR definim ca aparținând tijei 7, care efectuează o mișcare de rotație:
Luați în considerare mișcarea tijei 2. Viteza punctului DAR este definită și direcția vitezei punctului LA datorita faptului ca apartine simultan lansetei 2 și genul-
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/377.png)
Zun deplasându-se de-a lungul ghidurilor. Acum, restabilirea din puncte DARși LA perpendicular pe Ași direcția de mișcare a glisorului LA, găsiți poziția punctului C 2 - MCS-ul tijei 2.
În direcția vectorului U A dat fiind că în poziţia considerată a mecanismului, tija 2 se rotește în jurul punctului C 2, determinăm direcția vitezei unghiulare din 2 tije 2 și găsiți valoarea sa numerică (o 2 = V a / AC 2 \u003d 0,8 / 1,04 \u003d 0,77 s -1, unde AC 2 - AB sin 60 ° \u003d 1,04 m (vom obține când luăm în considerare A AC ~, B).
Acum determinăm valorile numerice și direcțiile vitezelor punctelor LAși D tijă 2 (deoarece ABDC 2 echilateral, atunci BC 2 - DC 2 - - 0,6 m):
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/378.png)
Luați în considerare mișcarea tijei 3. Viteza punctului D cunoscut. De la punctul E aparține în același timp tijei 4, rotindu-se în jurul unei axe 0 4 , apoi Y e 10 4 E. Apoi, trecând prin puncte Dși E drepte perpendiculare pe viteza V D w V E , găsiți poziția punctului C 3 - MCS-ul tijei
3. În direcția vectorului V D, privind dintr-un punct fix С 3 , determinăm direcția vitezei unghiulare с 3 , și găsim valoarea sa numerică (determinând anterior din AZ) C 3 ? segmentul Z)C 3 = DEsin 30 ° \u003d 0,35 m): co 3 \u003d V d / C 3 D \u003d 1,32 s -1.
Pentru a determina viteza unui punct La hai sa tragem o linie dreapta COP 3 si avand in vedere ca AR K De la 3 echilateral ( COP 3 = 0,35 m), calculați Y k \u003d \u003d 0,462 m / s, U la AKS 3.
Luați în considerare mișcarea tijei_4 care se rotește în jurul axei 0 4 . Cunoașterea direcției și a valorii numerice V E , găsim direcția și valoarea vitezei unghiulare de la 4: de la 4 \u003d V e / 0 4 E - 2,67 s
Răspuns: VA= 0,8 m/s, V B = V D= 0,462 m/s, V E = 0,8 m / s, co 2 \u003d 0,77 s "1, co 3 \u003d 1,32 s -1, (o 4 \u003d 2,67 s -1, direcțiile acestor cantități sunt prezentate în Fig. 8.11.
Notă.Într-un mecanism format din mai multe corpuri, fiecare corp care se mișcă netranslațional la un moment dat de timp are propriul său centru instantaneu de viteze și propria sa viteză unghiulară.
Problema 8.4. Mecanismul plat este format din tije 1, 2, 3 și o rolă care rulează fără alunecare pe un plan fix (Fig. 8.12, A). Conexiuni ale tijelor între ele și tijă 3 la patinoarul din punct D- cu balamale. Lungimea tijei: 1 { - 0,4 m, / 2 = 0,6 m, / 3 = 0,8 m. Pentru unghiurile date a = 60°, B = 30°, valorile și direcțiile unghiului O patinoar V0= 0,346 m/s, ZABD= 90°. Determinați viteza punctului LA iar viteza unghiulara de la 2 .
Soluţie. Mecanismul are două grade de libertate (poziția sa este determinată de două unghiuri a și p, independente unul de celălalt) și viteza punctului LA(punctul comun al tijelor 2 și 3) depinde de vitezele punctelor DARși D.
Având în vedere mișcarea tijei /, n găsim direcția și valoarea vitezei punctului A: V A= coj/j = 0,8 m/s, V a AjO ( A.
Luați în considerare mișcarea rolei. Centrul său instantaneu de viteze este situat în punct R; apoi VD afla din proportie
Din moment ce A DOP Isoscele și unghiurile acute din el sunt egale cu 30 °, atunci DP- 2OP cos 30° = ORl/ 3. Din egalitatea (a) aflăm VD- 0,6 m/s. Vector VD direcționat perpendicular D.P.
De la punctul LA aparține simultan tijelor ABși BD, atunci, conform teoremei proiecției vitezei, ar trebui să fie: 1) proiecția vectorului în direct A B A(segment de linie Ahîn fig. 8.12, A), adică A cos a = 0,4 m/s; 2) proiecție vectorială în direct D.B. este egală cu proiecția pe această linie a vectorului 0(segment de linie Ddîn fig. 8.12, A), adică 0 cos y = 0,3 m/s (y = 60°).
Să o rezolvăm grafic. Lăsați deoparte de punct LA taie in directii corespunzatoare Bb (= Aași Bb 2 = Dd. Viteza punctului LA este egală cu suma vectorilor V B = Bb + Bbj. Restaurarea dintr-un punct b ( perpendicular pe Bb x, iar din
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/380.png)
puncte b 2 - perpendicular pe Bb 2. Punctul de intersecție al acestor perpendiculare determină sfârșitul vectorului dorit V B .
Deoarece direcţiile segmentelor Bbși Bb 2 reciproc perpendiculare, deci
Determinăm din 2 . Pe fig. 8.12, b este prezentat așa-numitul plan de viteză, care înfățișează grafic egalitatea vectorială
unde vectori VAși V B definit (vezi Fig. 8.12, A), si directia VBA perpendicular pe tija AB. Din desen (Fig. 8.12, b) găsi
Acum definim cu 2 = V ba / AB- 1,66 s -1 (direcția de la 2 - în sens invers acelor de ceasornic).
Răspuns: VB- 0,5 m / s, co 2 \u003d 1,66 s -1.
S-a remarcat că mișcarea unei figuri plate poate fi considerată ca o sumă a mișcării de translație, în care toate punctele figurii se mișcă cu viteza polului. DAR, și dintr-o mișcare de rotație în jurul acelui pol. Să arătăm că viteza oricărui punct M figurile sunt formate geometric din vitezele pe care le primește punctul în fiecare dintre aceste mișcări.
Într-adevăr, poziția oricărui punct M figurile sunt definite în raport cu axele Ohu vector rază (Fig. 30), unde este vectorul rază a polului DAR, - vector care definește poziția punctului M despre topoare care se deplasează cu stâlpul DAR translațional (mișcarea figurii în raport cu aceste axe este o rotație în jurul stâlpului DAR). Apoi
În egalitatea rezultată, mărimea este viteza polului DAR; valoarea este egală cu viteza cu care punctul M primește la , adică despre axe sau, cu alte cuvinte, când figura se rotește în jurul stâlpului DAR. Astfel, din egalitatea anterioară rezultă într-adevăr că
punct de viteza M obţinut prin rotirea figurii în jurul stâlpului DAR:
unde este viteza unghiulară a figurii.
Deci viteza oricărui punct M figura plană este compusă geometric din viteza unui alt punct DAR luat ca un stâlp, și viteza cu care punctul M primește atunci când figura se rotește în jurul acestui pol. Modulul și direcția vitezei se găsesc prin construirea paralelogramului corespunzător (Fig. 31).
Fig.30 Fig.31
23. De fapt, ecuația mișcării de translație a unui corp rigid este ecuația celei de-a doua legi a lui Newton: Folosind ecuațiile:
Și primim.
24. În acest caz, componentele
- momentul forţelor exterioare direcţionate de-a lungul Xși y, sunt compensate de momentele de forţe ale reacţiei de fixare.
Rotație în jurul unei axe z apare numai sub
6.4 6.5
Lasă un corp să se rotească în jurul unei axe z.Obţineţi ecuaţia dinamicii pentru un anumit punct m i acest corp la distanță R i din axa de rotație. În același timp, amintiți-vă că
Dirijată întotdeauna de-a lungul axei de rotație z, deci în cele ce urmează vom omite icoana z.
Deoarece toate punctele sunt diferite, introducem vectorul vitezei unghiulare și
Deoarece corpul este absolut rigid, în proces de rotație m iși R i va rămâne neschimbat. Apoi:
Denota I i – moment de inerție puncte de la distanță R din axa de rotație:
Deoarece corpul este format dintr-un număr mare de puncte și toate se află la distanțe diferite de axa de rotație, atunci momentul de inerție al corpului este:
Unde R- distanta fata de axa z la d m. După cum puteți vedea, momentul de inerție eu este o valoare scalară.
Însumând peste toate eu- puncte,
obține sau - Asta ecuația principală
dinamica unui corp care se rotește în jurul unei axe fixe.
26) Momentul unghiular al unui corp rigid.
Momentul unghiular este suma vectorială a momentului unghiular al tuturor punctelor materiale ale corpului în raport cu axa fixă.
Dacă axa de rotație a unui corp rigid este fixă, atunci momentul forței perpendicular pe această axă () din cauza forțelor de frecare din lagăre va fi întotdeauna zero.
Rata de modificare a momentului unghiular al unui corp rigid de-a lungul axei de rotație, care este fixă, este egală cu momentul rezultat al forțelor externe îndreptate de-a lungul acestei axe.
- moment de inerție.
28) Momentul forțelor de frecare de rulare este legea lui Coulomb. Coeficientul de frecare la rulare.
Frecare de rulare. Existența frecării de rulare poate fi stabilită experimental, de exemplu, când se studiază rularea unui cilindru greu de rază pe un plan orizontal.
Dacă cilindrul și planul sunt corpuri solide cu suprafețe rugoase (Fig. 55, a), atunci contactul lor va avea loc într-un punct, forța N echilibrează gravitația P, iar forța orizontală Q și forța de frecare F formează o pereche. de forțe (Q, F) sub care cilindrul trebuie să înceapă să se miște la orice mărime a forței Q. În realitate, cilindrul începe să se miște după ce mărimea forței Q depășește valoarea limită Ql.
Acest fapt poate fi explicat dacă presupunem că cilindrul și planul sunt deformate. Apoi contactul lor va avea loc de-a lungul unei zone sau găuri mici (în Fig. 55, b, o zonă mică este arătată de secțiunea sa). Pe măsură ce forța Q crește, centrul de presiune se va deplasa de la mijlocul secțiunii la dreapta. Ca urmare, se formează o pereche de forțe (P,N), care împiedică cilindrul să înceapă să se miște. În starea de echilibru limită, asupra cilindrului acţionează o pereche de forţe (Ql,F) cu un moment Ql·r şi o pereche (P,N) care o echilibrează cu un moment N·δ, unde δ este valoarea deplasare maximă. Din egalitatea momentelor perechilor de forțe găsim (6)
În timp ce Q
De obicei orez. 55, b se simplifică prin neînfățișarea pe ea a deplasării punctului de aplicare a reacției normale, adăugându-se la forțele din fig. 55, câteva forțe care împiedică rularea cilindrului, așa cum se arată în fig. 55, p.
Momentul acestei perechi de forțe se numește moment de frecare de rulare, este egal cu momentul unei perechi de forțe (P,N): (7)
Valoarea deplasării maxime a punctului de aplicare a reacției normale inclusă în formulele (6) și (7) δ se numește coeficient de frecare la rulare. Are dimensiunea lungimii și se determină experimental. Iată valorile aproximative ale acestui coeficient (în metri) pentru unele materiale: lemn pe lemn δ = 0,0005-0,0008; oțel moale pe oțel (roată pe șină) - 0,00005; oțel călit pe oțel (rulment cu bile) - 0,00001.
Raportul δ/r din formula (6) pentru majoritatea materialelor este mult mai mic decât coeficientul de frecare statică f0. Prin urmare, în tehnologie, ori de câte ori este posibil, acestea tind să înlocuiască alunecarea prin rulare (roți, role, rulmenți cu bile etc.).
Legea Amonton-Coulomb
Articolul principal: legea lui Coulomb (mecanica)
A nu se confunda cu legea lui Coulomb!
Caracteristica principală a frecării este coeficientul de frecare μ, care este determinat de materialele din care sunt realizate suprafețele corpurilor care interacționează.
În cele mai simple cazuri, forța de frecare F și sarcina normală (sau forța normală de reacție) Nnormal sunt legate printr-o inegalitate care se transformă în egalitate doar în prezența mișcării relative. Acest raport se numește legea Amonton-Coulomb.
3.5.1. Metoda Polului
Deoarece mișcarea unei figuri plate poate fi considerată un compus al translației, atunci când toate punctele figurii se mișcă în același mod ca și polul DAR cu viteza și mișcarea de rotație în jurul polului, apoi viteza oricărui punct LA cifrele sunt definite de suma vectorială a vitezelor (Fig. 23).
, (65)
unde este viteza polului punctual DAR;
Viteza punctului LA la rotirea unei figuri în jurul polului unui punct DAR(presupunând că este fix) este numeric egal cu
LA perpendicular VAîn sensul de rotaţie al vitezei unghiulare (Fig. 23).
Valoarea numerică a vitezei punctului LA definite prin legea cosinusurilor
unde este unghiul dintre vectori și , н .
![](https://i2.wp.com/konspekta.net/lektsiiorgimg/baza15/4407252846986.files/image493.jpg)
Egalitatea proiecțiilor este o consecință a invarianței distanței dintre puncte DARși LA aparținând unui corp rigid, deci egalitatea va fi adevărată pentru orice mișcare a unui corp rigid.
3.5.2. Metoda centrului instantaneu de viteze (IMS)
Centrul instantaneu de viteze este punctul R o figură plată a cărei viteză la un moment dat este zero. Vitezele tuturor celorlalte puncte ale unei figuri plate la un moment dat de timp sunt determinate ca și cum mișcarea figurii ar fi de rotație față de punct R(Fig. 25).
|
![](https://i0.wp.com/konspekta.net/lektsiiorgimg/baza15/4407252846986.files/image495.jpg)
Conform metodei polului viteza punctului LA va fi egal cu
. (69)
Deoarece viteza polului (MCS) puncte R este egal cu zero (), atunci
Vectorul viteză este direcționat din punct LA perpendicular VRîn sensul de rotație al vitezei unghiulare w.
O egalitate similară poate fi reprezentată pentru toate punctele unei figuri plane, astfel încât vitezele punctelor unei figuri plane sunt proporționale cu distanța lor față de MCS.
Pentru a determina poziția (MCS) a unei figuri plate, este necesar să se cunoască direcția liniilor de-a lungul cărora acționează vectorii viteză ai punctelor. DARși LA( și ). MCC pentru această cifră va fi situat în punctul de intersecție al perpendicularelor restaurate pe aceste linii.
Pentru a afla viteza unui punct LA, conform Fig. 25, se cere cunoasterea vitezei punctului DAR. Atunci viteza unghiulară a figurii la un moment dat de timp va fi
Unde AR- distanta punctuala DAR până la punctul R, se determină în funcție de datele inițiale.
Viteza unghiulara sub actiunea vitezei fata de polul unui punct Rîndreptată în sensul acelor de ceasornic.
Viteza punctului LAîn acest moment va fi
Vector viteza punctului LA() îndreptată perpendicular pe linie RVîn sensul de rotaţie al vitezei unghiulare w (fig. 25).
3.5.2.1. Conceptul de centroizi
Traiectoria pe care o descrie MCS împreună cu figura în mișcare se numește centroidul în mișcare (de exemplu, când roata se mișcă de-a lungul suprafeței fără alunecare (Tabelul 2), circumferința exterioară a roții este centroidul în mișcare).
Locul geometric al MCS, pozițiile punctului R pe un plan fix se numește centroid fix (când roata se mișcă pe o suprafață fără alunecare (vezi Tabelul 2), centroidul fix este suprafața fixă pe care roata se rostogolește).
3.5.2.2. Cazuri speciale de MCS
Masa 2.
Mișcarea instantanee înainte a legăturii AB | Mișcarea roții la suprafață (fără alunecare) | Mișcarea blocului în mișcare |
![]() | ![]() | ![]() |
Punct LA deplasându-se în linie dreaptă x-x, de aici viteza V B direcționat de-a lungul axei, trageți o perpendiculară pe axă x-x. Deoarece liniile perpendiculare nu se intersectează, legătura AB este în mișcare de translație instantanee, vitezele tuturor punctelor acestei legături sunt egale, MCS este la infinit, . | MCC este situat în punctul în care roata atinge suprafața fixă pe care se rostogolește roata, punctul R. Viteza unghiulară a roții va fi ![]() ![]() | MCS (punctul R) se află în punctul de intersecție al segmentului ABşi o dreaptă care trece prin capetele vectorilor şi . Determinarea poziției unui punct R. Blocați viteza unghiulară ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
5) Mișcarea înainte. Exemple.
Determinarea mișcării de rotație a unui corp în jurul unei axe fixe.
Ecuația mișcării de rotație.
- o astfel de mișcare în care toate punctele sale se mișcă în planuri perpendiculare pe o dreaptă fixă și descriu cercuri cu centrele situate pe această dreaptă, numite axa de rotație.
Mișcarea este dată de legea modificării unghiului diedric φ (unghiul de rotație) format de planul fix P care trece prin axa de rotație și planul Q legat rigid de corp:
Viteza unghiulară este o valoare care caracterizează viteza de schimbare a unghiului de rotație.
Accelerația unghiulară este o mărime care caracterizează viteza de schimbare a vitezei unghiulare.
Determinarea vitezei oricărui punct al unei figuri plane.
1 mod de a determina viteze - prin vectori. Viteza oricărui punct al unei figuri plate este egală cu suma geometrică a vitezelor polului și a vitezei de rotație a acestui punct în jurul polului. Astfel, viteza punctului B este egală cu suma geometrică a vitezei polului A și a vitezei de rotație a punctului B în jurul polului:
2 moduri de a determina viteza - prin proiecție. (teorema proiecției vitezei) Proiecțiile vitezelor punctelor unei figuri plate de pe axa care trece prin aceste puncte sunt egale.
3) Formule pentru calcularea vitezei și accelerației unui punct cu un mod natural de stabilire a mișcării acestuia.
Vector viteză; - Proiecția vitezei pe o tangentă;
Componentele vectorului de accelerație; - proiecţii ale acceleraţiei pe axele t şi n;
Astfel, accelerația totală a unui punct este suma vectorială a două accelerații:
tangentă, direcționată tangențial la traiectorie în direcția de creștere a coordonatei arcului, dacă (în caz contrar - în sens opus) și
accelerație normală îndreptată de-a lungul normalei la tangentei către centrul de curbură (concavitatea traiectoriei): modulul de accelerație totală:
4) Formule de calcul a vitezei și accelerației unui punct cu metoda coordonatelor de stabilire a mișcării acestuia în coordonate carteziene.
Componentele vectorului viteză: - Proiecții viteze pe axele de coordonate:
-componentele vectorului acceleratie; -proiecţii ale acceleraţiei pe axa de coordonate;
5) Mișcarea înainte. Exemple.
(un glisor, un piston de pompă, o pereche de roți ale unei locomotive cu abur care se deplasează de-a lungul unei căi drepte, o cabină de lift, o ușă de compartiment, o cabină cu roată Ferris) - aceasta este o astfel de mișcare în care orice linie dreaptă conectată rigid la corpul rămâne paralel cu el însuși. De obicei, mișcarea de translație este identificată cu mișcarea rectilinie a punctelor sale, dar nu este așa. Punctele și corpul însuși (centrul de masă al corpului) se pot deplasa de-a lungul traiectorilor curbilinii, vezi, de exemplu, mișcarea cabinei roții Ferris. Cu alte cuvinte, este mișcare fără viraje.
Cursul 3. Mișcarea plan-paralelă a unui corp rigid. Determinarea vitezelor și accelerațiilor.
Această prelegere acoperă următoarele întrebări:
1. Mișcarea plan-paralelă a unui corp rigid.
2. Ecuațiile mișcării plan-paralel.
3. Descompunerea mișcării în translație și rotație.
4. Determinarea vitezelor punctelor unei figuri plane.
5. Teorema privind proiecțiile vitezelor a două puncte ale corpului.
6. Determinarea vitezelor punctelor unei figuri plane folosind centrul de viteze instantaneu.
7. Rezolvarea problemelor pentru determinarea vitezei.
8. Plan de viteză.
9. Determinarea accelerațiilor punctelor unei figuri plane.
10. Rezolvarea problemelor de accelerare.
11. Centru de accelerație instantaneu.
Studierea acestor probleme este necesară în viitor pentru dinamica unei mișcări plane a unui corp rigid, dinamica mișcării relative a unui punct material, pentru rezolvarea problemelor la disciplinele „Teoria mașinilor și mecanismelor” și „Piese de mașini”. ".
Mișcarea plan-paralelă a unui corp rigid. Ecuațiile mișcării plan-paralel.
Descompunerea mișcării în translație și rotație
Plan-paralel (sau plat) este o astfel de mișcare a unui corp rigid, la care toate punctele sale se mișcă paralel cu un plan fix P(Fig. 28). Mișcarea plană este efectuată de multe părți ale mecanismelor și mașinilor, de exemplu, o roată de rulare pe o secțiune dreaptă a căii, o biela într-un mecanism manivelă-glisor etc. Un caz particular de mișcare plan-paralelă este mișcarea de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe fixe.
Fig.28 Fig.29
Luați în considerare secțiunea S corpuri ale unui plan Oxy, paralel cu planul P(fig.29). Cu mișcare plan-paralelă, toate punctele corpului situate pe o linie dreaptă MM’ perpendicular pe curgere S, adică avioane P, mișcă-te identic.
Prin urmare, concluzionăm că pentru a studia mișcarea întregului corp, este suficient să studiem modul în care acesta se mișcă în plan. Ohu secțiune S acest corp sau vreo figură plană S. Prin urmare, în viitor, în loc de mișcarea plană a corpului, vom lua în considerare mișcarea unei figuri plane Sîn planul său, adică in avion Ohu.
Poziția figurii S in avion Ohu este determinată de poziţia unui segment desenat pe această figură AB(Fig. 28). La rândul său, poziția segmentului AB poate fi determinat prin cunoaşterea coordonatelor X A și y A puncte DARși unghiul care este segmentul AB forme cu axa X. punct DAR selectat pentru a determina poziția figurii S, se va numi de acum înainte un pol.
La mutarea unei figuri de mărime X A și y A și se va schimba. Să cunoască legea mișcării, adică poziția figurii în plan Ohuîn orice moment, trebuie să cunoașteți dependențele
Ecuațiile care determină legea mișcării în curs se numesc ecuații de mișcare a unei figuri plate în planul său. Ele sunt, de asemenea, ecuații ale mișcării plan-paralele a unui corp rigid.
Primele două dintre ecuațiile de mișcare definesc mișcarea pe care figura ar face-o dacă =const; aceasta va fi evident o mișcare de translație, în care toate punctele figurii se mișcă în același mod ca și polul DAR. A treia ecuație determină mișcarea pe care figura ar face-o la și , i.e. când stâlpul DAR nemişcat; aceasta va fi rotirea figurii în jurul stâlpului DAR. De aici putem concluziona că, în cazul general, mișcarea unei figuri plate în planul său poate fi considerată ca o sumă a mișcării de translație, în care toate punctele figurii se mișcă în același mod ca și polul. DAR, și dintr-o mișcare de rotație în jurul acelui pol.
Principalele caracteristici cinematice ale mișcării luate în considerare sunt viteza și accelerația mișcării de translație, egale cu viteza și accelerația polului, precum și viteza unghiulară și accelerația unghiulară a mișcării de rotație în jurul polului.
Determinarea vitezelor punctelor unei figuri plane
S-a remarcat că mișcarea unei figuri plate poate fi considerată ca o sumă a mișcării de translație, în care toate punctele figurii se mișcă cu viteza polului. DAR, și dintr-o mișcare de rotație în jurul acelui pol. Să arătăm că viteza oricărui punct M figurile sunt formate geometric din vitezele pe care le primește punctul în fiecare dintre aceste mișcări.
Într-adevăr, poziția oricărui punct M figurile sunt definite în raport cu axele Ohu vector rază (Fig. 30), unde este vectorul rază a polului DAR, - vector care definește poziția punctului M despre topoare care se deplasează cu stâlpul DAR translațional (mișcarea figurii în raport cu aceste axe este o rotație în jurul stâlpului DAR). Apoi