Metode axiomatice în matematică. Construcția axiomatică a unui sistem de numere naturale Definiția unui număr natural
![Metode axiomatice în matematică. Construcția axiomatică a unui sistem de numere naturale Definiția unui număr natural](https://i1.wp.com/kto.guru/uploads/images/ob-aksiomaticheskom-sposobe-postroeniya-teorii_7.gif)
Acord privind utilizarea materialelor de șantier
Vă rugăm să utilizați lucrările publicate pe site numai în scopuri personale. Publicarea materialelor pe alte site-uri este interzisă.
Această lucrare (și toate celelalte) este disponibilă pentru descărcare gratuită. Din punct de vedere mental, puteți mulțumi autorului său și personalului site-ului.
Trimiteți-vă munca bună în baza de cunoștințe este simplu. Utilizați formularul de mai jos
Studenții, studenții absolvenți, tinerii oameni de știință care folosesc baza de cunoștințe în studiile și munca lor vă vor fi foarte recunoscători.
Documente similare
Adunarea și înmulțirea numerelor întregi p-adice, definite ca adunare și înmulțire pe termeni a secvențelor. Inelul numerelor p-adice întregi, studiul proprietăților împărțirii lor. Explicarea acestor numere prin introducerea de noi obiecte matematice.
lucrare de termen, adăugată 22.06.2015
Cum au învățat oamenii să numere, apariția numerelor, a numerelor și a sistemelor numerice. Tabelul de înmulțire pe „degete”: tehnica înmulțirii numerelor 9 și 8. Exemple de numărare rapidă. Modalități de a înmulți un număr din două cifre cu 11, 111, 1111 etc. și un număr din trei cifre cu 999.
lucrare de termen, adăugată 22.10.2011
O nouă modalitate de a înmulți numerele. Asemănarea matricei numerelor formate în timpul calculului cu triunghiul este relativă, dar tot acolo, mai ales la înmulțirea numerelor de trei cifre și mai mari. matrice triunghiulară.
articol, adăugat 02.06.2005
rezumat, adăugat 13.01.2011
Caracterizarea istoriei studiului semnificației numerelor prime în matematică prin descrierea modului în care se găsesc. Contribuția lui Pietro Cataldi la dezvoltarea teoriei numerelor prime. Metoda lui Eratostene de alcătuire a tabelelor de numere prime. Amabilitatea numerelor naturale.
test, adaugat 24.12.2010
Mulțimea numerelor reale nenegative ca submulțime interpretată a lui R. Divizibilitatea în semigrupuri multiplicative. Structura MCD și LCM numerică a semigrupurilor. Studiul semigrupurilor multiplicative de numere reale nenegative cu 0 și 1.
teză, adăugată 27.05.2008
Proprietățile numerelor reale, rolul lor în dezvoltarea matematicii. Analiza construcției mulțimii numerelor reale în aspect istoric. Abordări ale construcției teoriei numerelor reale după Kantor, Weierstrass, Dedekind. Studiul lor la cursul școlii.
prezentare, adaugat 10.09.2011
Elemente primare ale matematicii. Proprietățile numerelor naturale. Conceptul de teoria numerelor. Proprietăți generale ale comparațiilor și ecuațiilor algebrice. Operatii aritmetice cu comparatii. Legile de bază ale aritmeticii. Verificarea rezultatelor operațiilor aritmetice.
lucrare de termen, adăugată 15.05.2015
Polisemie
Polisemia, sau ambiguitatea cuvintelor, apare din faptul că limbajul este un sistem limitat în comparație cu varietatea infinită a realității, astfel încât, în cuvintele academicianului Vinogradov, „Limba este obligată să distribuie un set nenumărat de semnificații sub un titlu sau altul al conceptelor de bază.” (Vinogradov „Limba rusă” 1947). Este necesar să se facă distincția între utilizarea diferită a cuvintelor într-o variantă lexico-semantică și diferența reală a cuvântului. Deci, de exemplu, cuvântul (das)Ol poate desemna un număr de uleiuri diferite, cu excepția celor de vacă (pentru care există un cuvânt Unt). Totuși, din aceasta nu rezultă că, desemnând uleiuri diferite, cuvântul Ol va avea de fiecare dată un înțeles diferit: în toate cazurile, înțelesul său va fi același, și anume ulei (orice în afară de vacă). Precum și, de exemplu, sensul cuvântului tabel Tisch, indiferent de ce fel de tabel denotă cuvântul în acest caz particular. Situația este diferită când cuvântul Ol înseamnă ulei. Aici, nu mai apare în prim-plan asemănarea uleiului de-a lungul liniei de lubrifiere cu diferite grade de ulei, ci calitatea specială a uleiului - combustibilitate. Și, în același timp, cuvintele care indică diferite tipuri de combustibil se vor corela deja cu cuvântul Ol: Kohl, Holz etc. Acest lucru ne oferă posibilitatea de a distinge două sensuri de la cuvântul Ol (sau, cu alte cuvinte, două variante lexico-semantice): 1) ulei (nu un animal) 2) ulei.
De obicei, noi semnificații apar prin transferul unuia dintre cuvintele existente la un nou obiect sau fenomen. Așa se formează valorile de transfer. Ele se bazează fie pe asemănarea obiectelor, fie pe legătura unui obiect cu altul. Sunt cunoscute mai multe tipuri de transferuri de nume. Cea mai importantă dintre ele este metafora sau metonimia.
În metaforă, transferul se bazează pe asemănarea lucrurilor în culoare, formă, mișcare și așa mai departe. Cu toate schimbările metaforice, rămâne un semn al conceptului original
omonimie
Polisemia unui cuvânt este o problemă atât de mare și multifațetă încât cele mai diverse probleme ale lexicologiei sunt oarecum legate de ea. În special, problema omonimiei intră în contact și cu această problemă în unele dintre aspectele ei.
Omonimele sunt cuvinte care sună la fel, dar au semnificații diferite. Omonimele în unele cazuri apar din polisemia lor, care a suferit un proces de distrugere. Dar omonimele pot apărea și ca urmare a coincidențelor aleatorii ale sunetului. Cheia care deschide ușa, iar cheia - un izvor sau o coasă - o coafură și o coasă - o unealtă agricolă - aceste cuvinte au semnificații diferite și origini diferite, dar coincid accidental în sunetul lor.
Omonimele disting între lexicale (se referă la o parte a discursului, de exemplu, cheia - pentru a deschide broasca și cheia - un arc. sursă) morfologic (se referă la diferite părți ale discursului, de exemplu, trei - numeral, trei - verb în modul imperativ), lexico-gramatical, care sunt create ca urmare a conversiei, atunci când cuvântul dat trece într-o altă parte de vorbire. de exemplu în ing. uite-uite și uite-uite. Există mai ales multe omonime lexicale și gramaticale în limba engleză.
Omofonele și omografele trebuie să fie distinse de omonime. Cuvintele diferite se numesc homofone, care, diferențiind prin ortografie, coincid în pronunție, de exemplu: arc - luncă, Seite - pagină și Saite - șir.
Omografiile sunt cuvinte atât de diferite care coincid în ortografie, deși sunt pronunțate diferit (atât în ceea ce privește compoziția sunetului, cât și locul accentului în cuvânt), de exemplu Castel - castel.
Sinonimie
Sinonimele au sens similar, dar cuvinte cu sunet diferit care exprimă nuanțe ale aceluiași concept.
Există trei tipuri de sinonime:
1. Conceptual sau ideografic. Ele diferă unele de altele în sensul lexical. Această diferență se manifestă în diferite grade ale semnului desemnat (îngheț - rece, puternic, puternic, puternic), în natura denumirii sale (sacou matlasat - jachetă matlasată - jachetă matlasată), în volumul conceptului exprimat (banner - steag, obscen - bold), în gradul de conectare a valorilor lexicale (maro - maro, negru - negru).
2. Sinonimele sunt stilistice sau funcționale. Ele diferă unele de altele în sfera de utilizare, de exemplu, ochi - ochi, față - față, frunte - frunte. Sinonime emotional - evaluative. Aceste sinonime exprimă în mod deschis atitudinea vorbitorului față de persoana, obiectul sau fenomenul desemnat. De exemplu, un copil poate fi numit solemn copil, cu afecțiune băiat și băiețel, cu dispreț un băiat și un fraier și, de asemenea, cu accent - cu dispreț un cățeluș, un fraier, un ticălos.
3. Antonime - combinații de cuvinte care sunt opuse în sensul lor lexical, de exemplu: sus - jos, alb - negru, vorbește - tace, tare - liniștit.
Antonimie
Există trei tipuri de antonime:
1. Antonime ale contrariilor graduale și coordonate, de exemplu, alb - negru, liniștit - tare, aproape - îndepărtat, amabil - rău și așa mai departe. Aceste antonime au un înțeles comun, care permite opoziția lor. Deci conceptele de alb și negru denotă concepte de culoare opuse.
2. Antonime ale contrariilor complementare și convertibile: război - pace, soț - soție, căsătorit - singur, poate - nu poate, închide - deschide.
3. Antonime ale diviziunii dihotomice a conceptelor. Sunt adesea aceleași cuvinte rădăcină: popular - anti-popor, legal - ilegal, uman - inuman.
Interesul este, de asemenea, așa-numitul. antonimie intra-cuvânt, când semnificațiile cuvintelor care au aceeași înveliș material sunt contrastate. De exemplu, în rusă, verbul a împrumuta bani cuiva înseamnă „a împrumuta”, iar a împrumuta bani de la cineva înseamnă deja a împrumuta bani de la cineva. Opoziția de semnificații intra-cuvânt se numește enantiosemie.
6. Construcția axiomatică a unui sistem de numere naturale. O metodă axiomatică pentru construirea unei teorii matematice. Cerințe pentru sistemul de axiome: consistență, independență, completitudine. Axiomatica lui Peano. Conceptul de număr natural din poziții axiomatice. Modele ale sistemului de axiome lui Peano. Adunarea și înmulțirea numerelor naturale din poziții axiomatice. Ordonarea mulțimii numerelor naturale. Proprietățile mulțimii numerelor naturale. Scăderea și împărțirea mulțimii numerelor naturale din pozițiile axiomatice. Metoda inducției matematice. Introducerea zeroului și construcția mulțimii numerelor întregi nenegative. Teorema împărțirii cu rest.
Concepte de bază și definiții
Număr - este o expresie a unei cantităţi determinate.
Numar natural un element al unei secvențe care continuă nedefinit.
Numere naturale (numere naturale) - numere care apar în mod natural în numărare (atât în sensul de enumerare, cât și în sensul calculului).
Există două abordări ale definiției numerelor naturale - numerele utilizate în:
enumerarea (numerotarea) articolelor (primul, al doilea, al treilea, ...);
desemnarea numărului de articole (nici un articol, un articol, două articole, ...).
Axioma - acestea sunt punctele de plecare de bază (principiile de la sine înțelese) ale unei anumite teorii, din care, prin deducție, adică prin mijloace pur logice, se extrage tot restul conținutului acestei teorii.
Un număr care are doar doi divizori (numărul însuși și unul) se numește - număr simplu.
Numar compus este un număr care are mai mult de doi divizori.
§2. Axiomatica unui număr natural
Numerele naturale se obțin prin numărarea obiectelor și prin măsurarea cantităților. Dar dacă în timpul măsurării apar alte numere decât cele naturale, atunci calculul duce doar la numere naturale. Pentru a tine socoteala, ai nevoie de o succesiune de numere care sa inceapa cu unul si care sa iti permita sa treci de la un numar la altul si de cate ori este nevoie. Cu alte cuvinte, avem nevoie de un segment din seria naturală. Prin urmare, la rezolvarea problemei fundamentarii sistemului numerelor naturale, în primul rând a fost necesar să se răspundă la întrebarea ce este un număr ca element al seriei naturale. Răspunsul la aceasta a fost dat în lucrările a doi matematicieni - germanul Grassmann și italianul Peano. Au propus o axiomatică în care numărul natural a fost justificat ca element al unei secvențe care continuă la nesfârșit.
Construcția axiomatică a unui sistem de numere naturale se realizează după regulile formulate.
Cele cinci axiome pot fi văzute ca o definiție axiomatică a conceptelor de bază:
1 este un număr natural;
Următorul număr natural este un număr natural;
1 nu urmează niciun număr natural;
Dacă un număr natural A urmează numărul natural b iar pentru un număr natural Cu, apoi bși Cu identic;
Dacă se dovedește vreo propoziție pentru 1 și dacă din ipoteza că este adevărată pentru un număr natural n, rezultă că este adevărat pentru următoarele n număr natural, atunci această propoziție este adevărată pentru toate numerele naturale.
Unitate este primul număr al seriei naturale , precum și una dintre cifrele din sistemul numeric zecimal.
Se crede că desemnarea unei unități de orice categorie cu același semn (destul de aproape de modern) a apărut pentru prima dată în Babilonul antic la aproximativ 2 mii de ani î.Hr. e.
Grecii antici, care considerau ca numere doar numerele naturale, considerau fiecare dintre ele ca o colecție de unități. Unitatea în sine are un loc special: nu a fost considerată un număr.
I. Newton scria: „... prin număr înțelegem nu atât o colecție de unități, ci un raport abstract între o cantitate și o altă cantitate, acceptat convențional de noi ca unitate.” Astfel, unitatea și-a luat deja locul cuvenit printre alte numere.
Operațiile aritmetice pe numere au o varietate de proprietăți. Ele pot fi descrise în cuvinte, de exemplu: „Suma nu se modifică de la o schimbare a locurilor termenilor”. Se poate scrie cu litere: a+b = b+a. Poate fi exprimat în termeni specifici.
Aplicăm legile de bază ale aritmeticii adesea din obișnuință fără să ne dăm seama:
1) legea comutativă (comutativitatea), - o proprietate de adunare și înmulțire a numerelor, exprimată prin identități:
a+b = b+a a*b = b*a;
2) legea asociativă (asociativitatea), - o proprietate de adunare și înmulțire a numerelor, exprimată prin identități:
(a+b)+c = a+(b+c) (a*b)*c = a*(b*c);
3) legea distributivă (distributivitatea), - o proprietate care leagă adunarea și înmulțirea numerelor și este exprimată prin identități:
a*(b+c) = a*b+a*c (b+c) *a = b*a+c*a.
După demonstrarea legilor comutative, asociative și distributive (cu privire la adunarea) ale acțiunii înmulțirii, construcția ulterioară a teoriei operațiilor aritmetice asupra numerelor naturale nu prezintă dificultăți fundamentale.
În prezent, în minte sau pe o bucată de hârtie, facem doar cele mai simple calcule, încredințând din ce în ce mai des lucrări de calcul mai complexe calculatoarelor, calculatoarelor. Cu toate acestea, funcționarea tuturor calculatoarelor - simple și complexe - se bazează pe cea mai simplă operație - adunarea numerelor naturale. Rezultă că cele mai complexe calcule pot fi reduse la adunare, doar că această operație trebuie făcută de multe milioane de ori.
Metode axiomatice în matematică
Unul dintre principalele motive pentru dezvoltarea logicii matematice este răspândirea metoda axiomaticaîn construirea diverselor teorii matematice, în primul rând, geometria, iar apoi aritmetica, teoria grupurilor etc. Metoda axiomatică poate fi definită ca o teorie care este construită pe un sistem preselectat de concepte nedefinite și relații dintre ele.
În construcția axiomatică a unei teorii matematice se alege în mod preliminar un anumit sistem de concepte nedefinite și relații dintre ele. Aceste concepte și relații se numesc de bază. În continuare sunt introduse axiome acestea. principalele prevederi ale teoriei luate în considerare, acceptate fără dovezi. Tot conținutul suplimentar al teoriei este derivat logic din axiome. Pentru prima dată, construcția axiomatică a unei teorii matematice a fost întreprinsă de Euclid în construcția geometriei.
În construcția axiomatică a oricărei teorii matematice, sigur reguli:
unele concepte ale teoriei sunt alese ca principale și sunt acceptate fără definiție;
fiecărui concept al teoriei, care nu este cuprins în lista celor de bază, i se dă o definiție;
se formulează axiome - propoziții care sunt acceptate în această teorie fără dovezi; ele dezvăluie proprietățile conceptelor de bază;
· trebuie demonstrată fiecare propoziţie a teoriei care nu este cuprinsă în lista de axiome; astfel de propoziții se numesc teoreme și sunt demonstrate pe baza de axiome și tereme.
În construcția axiomatică a unei teorii, toate afirmațiile sunt derivate din axiome cu titlu de demonstrație.
Prin urmare, sistemul de axiome este supus unor speciale cerinte:
Consecvența (un sistem de axiome se numește consistent dacă este imposibil să derivăm logic două propoziții care se exclud reciproc);
independență (un sistem de axiome se numește independent dacă niciuna dintre axiomele acestui sistem nu este o consecință a altor axiome).
O mulțime cu o relație dată în ea se numește model al unui sistem dat de axiome dacă toate axiomele acestui sistem sunt satisfăcute în ea.
Există multe modalități de a construi un sistem de axiome pentru mulțimea numerelor naturale. Pentru conceptul de bază, se poate lua, de exemplu, suma numerelor sau relația de ordine. În orice caz, este necesar să se precizeze un sistem de axiome care să descrie proprietățile conceptelor de bază.
Să dăm un sistem de axiome, adoptând conceptul de bază al operației de adunare.
Set negol N se numeste multimea numerelor naturale daca operatia (A; b) → a + b, numită adunare și având proprietățile:
1. adunarea este comutativă, adică. a + b = b + a.
2. adunarea este asociativă, adică. (a + b) + c = a + (b + c).
4. în orice set DAR, care este un subset al mulțimii N, Unde DAR există un număr astfel încât toate Ha, sunt egale a+b, Unde bN.
Axiomele 1 - 4 sunt suficiente pentru a construi întreaga aritmetică a numerelor naturale. Dar cu o astfel de construcție, nu se mai poate baza pe proprietățile mulțimilor finite care nu sunt reflectate în aceste axiome.
Să luăm ca concept de bază relația „urmează direct...” definită pe o mulțime nevidă N. Apoi seria naturală de numere va fi mulțimea N, în care este definită relația „urmează direct” și toate elementele lui N se vor numi numere naturale, iar următoarele sunt valabile: Axiomele lui Peano:
AXIOMA 1.
în multitudineNexistă un element care nu urmează imediat niciun element din acest set. O vom numi unitate și o vom desemna prin simbolul 1.
AXIOMA 2.
Pentru fiecare element a dinNexistă un singur element a imediat după a.
AXIOMA 3.
Pentru fiecare element a dinNexistă cel mult un element urmat imediat de a.
AXOIM 4.
Orice submulțime M a mulțimiiNcoincide cuN, dacă are proprietăţile: 1) 1 este cuprins în M; 2) din faptul că a este conținut în M, rezultă că a este conținut și în M.
Multe N, căci elementele cărora se stabilește relația „urmează imediat...”, satisfăcând axiomele 1 - 4, se numește set de numere naturale , iar elementele sale sunt numere naturale.
Dacă ca un set N alegeți o mulțime specifică pe care este dată o relație specifică „urmează direct...”, satisfăcând axiomele 1 - 4, apoi obținem diferite interpretări (modele) dat sisteme de axiome.
Modelul standard al sistemului de axiome lui Peano este o serie de numere care au apărut în procesul dezvoltării istorice a societății: 1, 2, 3, 4, 5, ...
Orice set numărabil poate fi un model al axiomelor Peano.
De exemplu, I, II, III, III, ...
oh oh oh oh...
unu doi trei patru, …
Luați în considerare o succesiune de mulțimi în care mulțimea (oo) este elementul inițial, iar fiecare mulțime ulterioară se obține din cea anterioară prin alocarea unui cerc în plus (Fig. 15).
Apoi N este o mulțime formată din mulțimi de forma descrisă și este un model al sistemului de axiome ale lui Peano.
Într-adevăr, în multe N există un element (oo) care nu urmează imediat niciun element al mulţimii date, adică. este valabilă axioma 1. Pentru fiecare mulţime DAR din multimea luata in considerare, exista o multime unica din care se obtine DAR prin adăugarea unui cerc, adică Este valabilă axioma 2. Pentru fiecare set DAR există cel mult o mulţime din care se formează mulţimea DAR prin adăugarea unui cerc, adică Axioma 3 este valabilă. Dacă MN si se stie ca setul DAR cuprins în M, rezultă că mulţimea în care există un cerc mai mult decât în mulţime DAR, este cuprins și în M, apoi M =N, ceea ce înseamnă că Axioma 4 este satisfăcută.
În definiția unui număr natural, niciuna dintre axiome nu poate fi omisă.
Să stabilim care dintre seturile prezentate în fig. 16 sunt un model al axiomelor lui Peano.
|
![](https://i0.wp.com/kto.guru/uploads/images/ob-aksiomaticheskom-sposobe-postroeniya-teorii_9.gif)
Soluţie. Figura 16 a) prezintă o mulțime în care sunt îndeplinite axiomele 2 și 3. Într-adevăr, pentru fiecare element există un element unic care îl urmează imediat și există un element unic pe care îl urmează. Dar axioma 1 nu se ține în această mulțime (axioma 4 nu are sens, pentru că nu există niciun element în mulțime care să nu urmeze imediat pe altul). Prin urmare, acest set nu este un model al axiomelor lui Peano.
Figura 16 b) prezintă mulțimea în care sunt îndeplinite axiomele 1, 3 și 4, dar în spatele elementului A urmează imediat două elemente, și nu unul, așa cum se cere în axioma 2. Prin urmare, această mulțime nu este un model al axiomelor lui Peano.
Pe fig. 16 c) arată o mulțime în care axiomele 1, 2, 4 sunt îndeplinite, dar elementul Cu urmează imediat două elemente. Prin urmare, acest set nu este un model al axiomelor lui Peano.
Pe fig. 16 d) arată o mulțime care satisface axiomele 2, 3, iar dacă luăm ca element inițial numărul 5, atunci această mulțime va satisface axiomele 1 și 4. Adică în această mulțime pentru fiecare element există imediat unul singur. urmând-o și există un singur element pe care îl urmează. Există, de asemenea, un element care nu urmează imediat niciun element din acest set, acesta este 5 , acestea. Axioma 1 este valabilă. În mod corespunzător, este valabilă și Axioma 4. Prin urmare, această mulțime este un model al axiomelor lui Peano.
Folosind axiomele Peano, putem demonstra o serie de afirmații, de exemplu, demonstrăm că pentru toate numerele naturale inegalitatea x x.
Dovada. Notează prin DAR set de numere naturale pentru care a a. Număr 1 aparține DAR, deoarece nu urmează niciun număr de la N, și, prin urmare, nu urmează de la sine: 1 1. Lăsa aa, apoi a a. Denota A prin b. În virtutea axiomei 3, Ab, acestea. bbși bA.
În construcția axiomatică a oricărei teorii, se respectă anumite reguli:
unele concepte ale teoriei sunt alese ca de bază,și sunt acceptate fără definiție și se numesc nedefinite.
se formulează axiome - propoziții care sunt acceptate în această teorie fără dovezi; ele dezvăluie proprietățile conceptelor de bază;
este dat fiecare concept al teoriei, care nu este cuprins în lista celor de bază definiție, își explică sensul cu ajutorul conceptelor de bază și precedente;
fiecare propoziție a teoriei care nu este cuprinsă în lista de axiome trebuie dovedită; astfel de propoziții se numesc teoreme și le dovedesc pe baza axiomelor și teoremelor premergătoare celei luate în considerare.
În construcția axiomatică a unei teorii, în esență, toate enunțurile sunt deduse prin demonstrație din axiome. Prin urmare, sistemului de axiome sunt impuse cerințe speciale. În primul rând, trebuie să fie consecvent și independent.
Sistemul de axiome se numește consistent dacă nu se pot deduce din ea în mod logic două propoziţii care se exclud reciproc.
Se numește un sistem consistent de axiome independent dacă niciuna dintre axiomele acestui sistem nu este o consecinţă a altor axiome ale acestui sistem.
Axiomele, de regulă, sunt o reflectare a activităților practice vechi de secole ale oamenilor, iar acest lucru determină valabilitatea lor.
Ca concept de bază în construcția axiomatică a aritmeticii numerelor naturale se ia relația „urmează direct”, dată pe o mulțime nevidă. N. De asemenea, sunt cunoscute conceptele de mulțime, un element al unei mulțimi și alte concepte teoretice de mulțimi, precum și regulile logicii.
Elementul imediat care urmează elementului A, desemna A". Esența relației „urmări direct” este dezvăluită în următoarele axiome propuse de matematicianul italian J. Peano în 1891.
Axioma 1.în multitudine N există un element care nu urmează imediat niciun element din acest set. Se numește unitate și este notat cu simbolul 1.
Axioma 2. Pentru fiecare element A din N există un singur element A", imediat după A.
Axioma 3. Pentru fiecare element a din N există cel mult un element urmat imediat de A.
Axioma 4. (Axioma inducției). Orice subset M seturi N coincide cu N dacă are următoarele proprietăți: 1) 1 este conținut în M; 2) din faptul că orice element A cuprins în M, rezultă că şi A" cuprins în M.
Axiomele formulate sunt adesea numite axiomele lui Peano, iar a patra axiomă este numită axioma inducției.
Să scriem aceste axiome în formă simbolică.
DAR 1 )( 1 N)( A N)A" 1;
DAR 2 )( A N)( !b N)A„=b
DAR 3 ) ( A,b,Cu N)с = a" с = b" A= b;
A4) M N 1 M (A M A" M) M=N
Folosind relația „urmări imediat” și axiomele lui Peano 1-4, se poate da următoarea definiție a unui număr natural.
Definiția 1. Mulțimea N. pentru ale cărei elemente se stabilește relația „urmează imediat”, care satisface axiomele 1-4, se numește mulțimea numerelor naturale, iar elementele sale numere naturale.
___________________________________________________________________
Definiția 2 . Dacă un număr naturalburmează imediat numărul a, apoi numărul a este numit imediat precedând (precedând) numărulb.
______________________________________________________________________________________________
Teorema 1. Unitatea nu are un număr natural precedent (adevărul teoremei decurge imediat din axiomă DAR 1 ).
Teorema 2. Fiecare număr natural A, altul decât unul are un număr anterior b , astfel încât b " = A.
Definiția unui număr natural nu spune nimic despre natura elementelor mulțimii N. Deci ea poate fi orice. Modelul standard al sistemului de axiome ale lui Peano este o serie de numere care au apărut în procesul dezvoltării istorice a societății:
1, 2, 3, 4, 5 ,..,
Fiecare număr din această serie are propria denumire și nume, pe care le vom considera cunoscute.
Este important de reținut că în definiția unui număr natural, niciuna dintre axiome nu poate fi omisă.
1 A b c d
…
b
Orez. 16 Orez. 17
Sarcina 1.
În figuri, fiecare element este conectat printr-o săgeată de elementul care îl urmează.
Determinați care dintre mulțimile prezentate în figurile 15 și 16 sunt modele ale sistemului de axiome ale lui Peano.
1. În fig. 16 arată o mulțime în care axiomele 2 și 3 sunt valabile, dar axioma 1 nu este valabilă.
Axioma 4 nu va avea sens, deoarece nu există niciun element în mulțime care să nu urmeze imediat pe altul.
2. Pe fig. 17 arată mulțimea în care axiomele 1, 2, 3 sunt îndeplinite, dar axioma 4 nu este satisfăcută - mulțimea de puncte care se află pe rază conține 1, iar împreună cu fiecare număr conține numărul imediat care îl urmează, dar nu coincide cu toate punctele de referință prezentate în figură. Concluzie: niciunul dintre seturile prezentate în Fig. 16 și 17 nu pot fi considerate modele ale sistemului de axiome ale lui Peano.
Sarcina 2.
Să demonstrăm că orice număr natural este diferit de numărul natural imediat următor, adică. ( X )X X"
Dovada
Folosim axioma inducției - DAR 4 .
Lăsa M=(x/x , X X"}, deoarece . X M N.
Dovada constă din două părți.
Să demonstrăm asta 1 M, acestea. 1 1" . Aceasta rezultă din DAR 1 .
Să demonstrăm asta X M=> X" M. Lăsa X M acestea. X X". Să demonstrăm asta X" M, adică X" (X")". Și axiome DAR 3 ar trebui să X" (X")". Într-adevăr, de către DAR 3 , dacă x" = (x")", atunci x = x", și deoarece prin propoziția de inducție x M, apoi x X", prin urmare, ajungem la o contradicție. Mijloace, X" (X")" , X" M.
Aici se aplică regula contrapoziției (PC), care este folosită pe scară largă în evidență „prin contradicție”.
Deci avem:
M N (1 M (x M => x " M)) M = N, adică afirmatia x x" este adevărată pentru orice număr natural.
Întrebări de testare
Care este esența construcției axiomatice a teoriei?
Care sunt conceptele de bază ale cursului de planimetrie școlară. Amintiți-vă sistemul de axiome al acestui curs. Ce proprietăți ale conceptelor sunt descrise în ele?
Formulați și scrieți în formă simbolică axiomele lui Peano. "
Formulați o definiție axiomatică a unui număr natural.
Continuați definiția unui număr natural: „Un număr natural este un element al unei mulțimi N,... » .
Dați exemple din manualele de matematică din școala primară în care:
a) un număr nou (pentru elevi) acționează ca o continuare a segmentului primit al seriei naturale;
b) se stabilește că fiecare număr natural este urmat imediat de un singur alt număr natural.
Exerciții
285. Elementele unei mulţimi sunt grupuri de liniuţe (I, II, III, IIII,...). Acest set satisface axiomele lui Peano? După cum este definită aici, relația „urmează imediat”. Luați în considerare aceleași întrebări pentru mulțime (0, 00, 000, 0000,...).
Orez. 17
286. În figura 17 a), fiecare element este legat printr-o săgeată de elementul care îl urmează. Mulțimea poate fi considerată un model al sistemului de axiome ale lui Peano? Aceleași întrebări pentru seturile din figurile 17 b), c), d).
287. Are setul de numere (1, 2, 3 P, ...), dacă următoarea relație este definită în ea astfel:
1 3 5 7….
2 4 6 8….
288. Dați exemple de teme din manualele de matematică pentru clasele elementare, în care corectitudinea temelor este explicată prin axiomele lui Peano.
Metoda axiomatică în matematică.
Concepte de bază și relații ale teoriei axiomatice a seriilor naturale. Definiția unui număr natural.
Adunarea numerelor naturale.
Înmulțirea numerelor naturale.
Proprietățile mulțimii numerelor naturale
Scăderea și împărțirea numerelor naturale.
Metoda axiomatică în matematică
În construcția axiomatică a oricărei teorii matematice, cel anumite reguli:
1. Unele concepte ale teoriei sunt alese ca majorși acceptat fără definiție.
2. Formulat axiome, care în această teorie sunt acceptate fără dovezi, ele relevă proprietățile conceptelor de bază.
3. Fiecare concept al teoriei, care nu este cuprins în lista celor de bază, este dat definiție, își explică sensul cu ajutorul acestui concept principal și precedent.
4. Fiecare propoziție a teoriei care nu este cuprinsă în lista de axiome trebuie dovedită. Se numesc astfel de propuneri teoremeși demonstrează-le pe baza axiomelor și teoremelor premergătoare celei luate în considerare.
Sistemul de axiome ar trebui să fie:
a) consistent: trebuie să fim siguri că, trăgând tot felul de concluzii dintr-un sistem dat de axiome, nu vom ajunge niciodată la o contradicţie;
b) independent: nicio axiomă nu ar trebui să fie o consecință a altor axiome ale acestui sistem.
în) complet, dacă în cadrul său este întotdeauna posibil să se dovedească fie afirmația dată, fie negația acesteia.
Prezentarea geometriei de către Euclid în „Elementele” sale (sec. III î.Hr.) poate fi considerată prima experiență a construcției axiomatice a unei teorii. O contribuție semnificativă la dezvoltarea metodei axiomatice de construcție a geometriei și algebrei a avut-o N.I. Lobaciovski și E. Galois. La sfârşitul secolului al XIX-lea Matematicianul italian Peano a dezvoltat un sistem de axiome pentru aritmetică.
Concepte de bază și relații ale teoriei axiomatice a numerelor naturale. Definiția unui număr natural.
Ca un concept de bază (nedefinit) într-un anumit set N Este ales atitudine , precum și conceptele teoretice de mulțimi, precum și regulile logicii.
Elementul imediat care urmează elementului A, desemna A".
Relația „urmărire imediată” satisface următoarele axiome:
Axiomele lui Peano:
Axioma 1. în multitudine N există un element, direct nu următorul pentru orice element al acestui set. Să-l sunăm unitateși simbolizează 1 .
Axioma 2. Pentru fiecare element A din N există un singur element A" imediat după A .
Axioma 3. Pentru fiecare element A din N există cel mult un element urmat imediat de A .
Axioma 4. Orice subset M seturi N coincide cu N , dacă are proprietățile: 1) 1 cuprins în M ; 2) din ce A cuprins în M , rezultă că şi A" cuprins în M.
Definiția 1. Multe N , pentru ale căror elemente se stabilește relația "Urmeaza direct» care satisface axiomele 1-4 se numeste set de numere naturale, iar elementele sale sunt numere naturale.
Această definiție nu spune nimic despre natura elementelor mulțimii N . Deci ea poate fi orice. Alegerea ca set N un anumit set pe care este dată o anumită relație de „urmărire directă” care satisface axiomele 1-4, obținem modelul acestui sistem axiome.
Modelul standard al sistemului de axiome lui Peano este o serie de numere care au apărut în procesul dezvoltării istorice a societăţii: 1,2,3,4, ... Seria naturală începe cu numărul 1 (axioma 1); fiecare număr natural este urmat imediat de un singur număr natural (axioma 2); fiecare număr natural urmează imediat cel mult unui număr natural (axioma 3); plecând de la numărul 1 și trecând în ordinea numerelor naturale imediat ce urmează unul altuia, obținem întreaga mulțime a acestor numere (axioma 4).
Așadar, am început construcția axiomatică a unui sistem de numere naturale cu alegerea principalului „urmări direct” relațieși axiome care îi descriu proprietățile. Construirea ulterioară a teoriei implică luarea în considerare a proprietăților cunoscute ale numerelor naturale și a operațiilor asupra acestora. Ele ar trebui să fie dezvăluite în definiții și teoreme, de ex. derivate într-un mod pur logic din relația „urmează imediat”, și axiomele 1-4.
Primul concept pe care îl introducem după definirea unui număr natural este atitudine "precede imediat" , care este adesea folosit când se consideră proprietățile seriei naturale.
Definiția 2. Dacă un număr natural b urmează direct numar natural A, acel număr A numit imediat precedent(sau anterior) numărul b .
Relația „înainte” are în apropierea proprietăților.
Teorema 1. Unul nu are un număr natural precedent.
Teorema 2. Fiecare număr natural A, altul decât 1, are un singur număr anterior b, astfel încât b"= A.
Construcția axiomatică a teoriei numerelor naturale nu este luată în considerare nici în școala primară, nici în gimnaziu. Cu toate acestea, acele proprietăți ale relației „urmări direct”, care sunt reflectate în axiomele lui Peano, fac obiectul de studiu în cursul inițial de matematică. Deja în clasa întâi, luând în considerare numerele primelor zece, rezultă cum se poate obține fiecare număr. Sunt folosiți termenii „urmează” și „înainte”. Fiecare număr nou acționează ca o continuare a segmentului studiat al seriei naturale de numere. Elevii sunt convinși că fiecare număr este urmat de următorul și, mai mult, doar unul, că seria naturală a numerelor este infinită.
Adunarea numerelor naturale
Conform regulilor de construire a unei teorii axiomatice, definiția adunării numerelor naturale trebuie introdusă folosind doar relația „urmărește direct”, și concepte "numar natural"și "numar anterior".
Să prefațăm definiția adunării cu următoarele considerații. Dacă pentru orice număr natural A adunăm 1, obținem numărul A", imediat după A, adică A+ 1= a"și prin urmare obținem regula de a adăuga 1 la orice număr natural. Dar cum să adaugi la număr A numar natural b, diferit de 1? Să folosim următorul fapt: dacă se știe că 2 + 3 = 5, atunci suma 2 + 4 = 6, care urmează imediat după numărul 5. Acest lucru se întâmplă deoarece în suma 2 + 4 al doilea termen este numărul imediat. urmând numărul 3. Deci 2 + 4 = 2+3 " =(2+3)". În general, avem , .
Aceste fapte stau la baza definiției adunării numerelor naturale în teoria axiomatică.
Definiția 3. Adunarea numerelor naturale este o operație algebrică care are următoarele proprietăți:
Număr a + b numit suma de numere Ași b , și numerele în sine Ași b - termeni.