Comparație modulo un număr natural. Rezolvarea comparaţiilor de gradul I Rezolvarea sistemului de comparaţii modulo
![Comparație modulo un număr natural. Rezolvarea comparaţiilor de gradul I Rezolvarea sistemului de comparaţii modulo](https://i1.wp.com/helpiks.org/helpiksorg/baza6/90407071027.files/image574.gif)
Luați în considerare o comparație a formei X 2 ≡A(mod pα), unde p este un simplu număr impar. După cum se arată în Secțiunea 4 §4, soluția acestei congruențe poate fi găsită prin rezolvarea congruenței X 2 ≡A(mod p). Și comparația X 2 ≡A(mod pα) va avea două soluții dacă A este un rest patratic modulo p.
Exemplu:
Rezolvați comparația pătratică X 2 ≡86 (mod 125).
125 = 5 3 , 5 este un număr prim. Să verificăm dacă 86 este un pătrat modulo 5.
Comparația originală are 2 soluții.
Să găsim o soluție de comparație X 2 ≡86(mod 5).
X 2 ≡1(mod 5).
Această comparație ar putea fi rezolvată în modul indicat în paragraful anterior, dar vom folosi faptul că rădăcina pătrată a lui 1 modulo este ±1, iar comparația are exact două soluții. Astfel, soluția congruenței modulo 5 este
X≡±1(mod 5) sau, în caz contrar, X=±(1+5 t 1).
Înlocuiți soluția rezultată în comparație modulo 5 2 =25:
X 2 ≡86 (mod 25)
X 2 ≡11 (mod 25)
(1+5t 1) 2 ≡11 (mod 25)
1+10t 1 +25t 1 2 ≡11 (mod 25)
10t 1 ≡10 (mod 25)
2t 1 ≡2 (mod 5)
t 1 ≡1(mod 5), sau echivalent, t 1 =1+5t 2 .
Atunci soluția congruenței modulo 25 este X=±(1+5(1+5 t 2))=±(6+25 t 2). Înlocuiți soluția rezultată în comparație modulo 5 3 =125:
X 2 ≡86 (mod 125)
(6+25t 2) 2 ≡86 (mod 125)
36+12 25 t 2 +625t 2 2 ≡86 (mod 125)
12 25 t 2 ≡50 (mod 125)
12t 2 ≡2 (mod 5)
2t 2 ≡2 (mod 5)
t 2 ≡1(mod 5), sau t 2 =1+5t 3 .
Atunci soluția la comparația modulo 125 este X=±(6+25(1+5 t 3))=±(31+125 t 3).
Răspuns: X≡±31 (mod 125).
Luați în considerare acum o comparație a formei X 2 ≡A(mod2α). O astfel de comparație nu are întotdeauna două soluții. Pentru un astfel de modul sunt posibile următoarele cazuri:
1) α=1. Atunci comparația are o soluție doar când A≡1(mod 2), iar soluția este X≡1(mod 2) (o soluție).
2) α=2. Comparația are soluții doar când A≡1(mod 4), iar soluția este X≡±1(mod 4) (două soluții).
3) α≥3. Comparația are soluții doar când A≡1(mod 8), și vor exista patru astfel de soluții. Comparaţie X 2 ≡A(mod 2 α) pentru α≥3 se rezolvă în același mod ca și comparațiile de formă X 2 ≡A(mod pα), doar soluțiile modulo 8 acționează ca soluție inițială: X≡±1(mod 8) și X≡±3 (mod 8). Ele ar trebui comparate modulo 16, apoi modulo 32 și așa mai departe până la modulo 2 α .
Exemplu:
Rezolvați comparația X 2 ≡33 (mod 64)
64=26. Să verificăm dacă comparația originală are o soluție. 33≡1(mod 8), deci comparația are 4 soluții.
Modulul 8 aceste soluții vor fi: X≡±1(mod 8) și X≡±3(mod 8), care poate fi reprezentat ca X=±(1+4 t unu). Înlocuiți această expresie în comparație modulo 16
X 2 ≡33 (mod 16)
(1+4t 1) 2 ≡1 (mod 16)
1+8t 1 +16t 1 2 ≡1 (mod 16)
8t 1 ≡0 (mod 16)
t 1 ≡0 (mod 2)
Apoi soluția va lua forma X=±(1+4 t 1)=±(1+4(0+2 t 2))=±(1+8 t 2). Înlocuiți soluția rezultată în congruența modulo 32:
X 2 ≡33(mod 32)
(1+8t 2) 2 ≡1 (mod 32)
1+16t 2 +64t 2 2 ≡1 (mod 32)
16t 2 ≡0 (mod 32)
t 2 ≡0 (mod 2)
Apoi soluția va lua forma X=±(1+8 t 2) =±(1+8(0+2t 3)) =±(1+16 t 3). Înlocuiți soluția rezultată în comparația modulo 64:
X 2 ≡33 (mod 64)
(1+16t 3) 2 ≡33 (mod 64)
1+32t 3 +256t 3 2 ≡33(mod 64)
32t 3 ≡32 (mod 64)
t 3 ≡1 (mod 2)
Apoi soluția va lua forma X=±(1+16 t 3) =±(1+16(1+2t 4)) =±(17+32 t patru). Deci, modulo 64, comparația originală are patru soluții: X≡±17(mod 64)și X≡±49 (mod 64).
Acum luați în considerare o comparație generală: X 2 ≡A(mod m), (A,m)=1, - descompunerea canonică a modulului m. Conform teoremei de la punctul 4 din §4, această comparație este echivalentă cu sistemul
Dacă fiecare comparație a acestui sistem este decidabilă, atunci întregul sistem este decidabil. După ce am găsit soluția fiecărei comparații a acestui sistem, obținem un sistem de comparații de gradul I, rezolvând care, folosind teorema chineză a restului, obținem soluția comparației originale. În plus, numărul de soluții diferite ale comparației inițiale (dacă este rezolvabilă) este 2 k, dacă α=1, 2 k+1 dacă α=2, 2 k+2 dacă α≥3.
Exemplu:
Rezolvați comparația X 2 ≡4(mod 21).
Proiect de matematică pe această temă
„Comparații de modul”
Zaripova Aisylu
Cartierul Sovetsky din orașul Kazan
MBOU „Școala Gimnazială Nr. 166”, Clasa a 7-a
Consilier științific: Antonova N.A.
Cuprins
Introducere ________________________________________________________3
Ce sunt comparațiile _________________________________________________4
Conceptul de comparații modulo ________________________________4
Istoria apariției conceptului de comparații modulo _____4
Proprietăți de comparație ________________________________________________4
Cea mai simplă aplicare a comparațiilor modulo este de a determina divizibilitatea numerelor _____________________6
O sarcină pentru comparație _______________________________8
Utilizarea comparațiilor modulo în activități profesionale ___________________________________________9
Aplicarea comparațiilor la rezolvarea problemelor ______________________6
Concluzie________________________________________________________________10
Lista referințelor _____________________________11
Introducere.
R&D: comparații de module.
Problemă: Mulți studenți se confruntă cu sarcini de pregătire pentru olimpiade, a căror soluție se bazează pe cunoașterea resturilor împărțirii numerelor întregi la un număr natural. Ne-au interesat astfel de probleme și posibilele metode de rezolvare a acestora. Se dovedește că pot fi rezolvate folosind comparații modulo.
Scop: Pentru a clarifica esența comparațiilor modulo, principalele metode de lucru cu comparațiile modulo.
Sarcini: să găsească material teoretic pe această temă, să ia în considerare probleme care se rezolvă folosind comparații modulo, să arate cele mai comune metode de rezolvare a unor astfel de probleme, să tragă concluzii.
Obiect de studiu: teoria numerelor.
Subiect de cercetare: teoria comparațiilor modulo.
Lucrarea aparține cercetării teoretice și poate fi folosită în pregătirea pentru olimpiadele de matematică. În conținutul său, sunt dezvăluite conceptele de bază ale comparațiilor modulo și principalele lor proprietăți, sunt date exemple de rezolvare a problemelor pe această temă.
eu . Ce sunt comparațiile.
Conceptul de comparații modulo.
Numerele și se spune că sunt comparabile modulo dacă sunt divizibile cu, cu alte cuvinte, a și b au același rest atunci când sunt împărțite la.
Desemnare
Exemple:
12 și 32 sunt comparabile modulo 5, deoarece 12, atunci când este împărțit la 5, are un rest de 2, iar 32, atunci când este împărțit la 2, are un rest de 2. Se scrie12 ;
101 și 17 sunt congruente modulo 21;
Istoria conceptului de comparații modulo.
În mare măsură, teoria divizibilității a fost creată de Euler. Definiția comparației a fost formulată în cartea lui C.F. Gauss „Arithmetic Research”. Această lucrare, scrisă în latină, a început să fie tipărită în 1797, dar cartea a fost publicată abia în 1801 datorită faptului că procesul de tipărire la acea vreme era extrem de laborios și îndelungat. Prima secțiune a cărții lui Gauss se numește „Despre comparația numerelor”. Gauss a fost cel care a propus simbolismul comparațiilor modulo, care a fost stabilit în matematică.
Proprietăți de comparație.
În cazul în care un
Dovada:
Dacă o adăugăm pe a doua la prima ecuație, obținem
este suma a două numere întregi, deci este un număr întreg.
Dacă o scădem pe a doua din prima ecuație, obținem
este diferența dintre două numere întregi, așadar este un număr întreg.
Luați în considerare expresia:
este diferența dintre produsele numerelor întregi, așadar este un număr întreg.
Aceasta este o consecință a celei de-a treia proprietăți a comparațiilor.
Q.E.D.
5) În cazul în care un.
Dovada: Să găsim suma acestor două expresii:
este suma a două numere întregi, deci este un număr întreg, deci .
Q.E.D.
6) Dacă este un număr întreg, atunci
Dovada: undep- un număr întreg, înmulțiți această egalitate cu, obținem: . Deoarece este produsul numerelor întregi, ceea ce trebuia să fie demonstrat.
7) În cazul în care un
Dovada: Raționamentul este similar cu dovada proprietății 6.
8) În cazul în care un - numere prime relativ, deci
Dovada: , împărțim această expresie la, obținem: - numere coprime, ceea ce înseamnă că este divizibil cu un număr întreg, adică =. Și asta înseamnă că ceea ce se cerea să fie dovedit.
II . Aplicarea comparațiilor la rezolvarea problemelor.
2.1. Cea mai simplă aplicare a comparațiilor modulo este de a determina divizibilitatea numerelor.
Exemplu. Aflați restul diviziunii 2 2009 la 7.
Soluție: Luați în considerare puterile lui 2:
Ridicând comparația la puterea lui 668 și înmulțind cu, obținem: .
Raspuns: 4.
Exemplu. Demonstrează că 7+7 2 +7 3 +…+7 4 n divizibil cu 100 pentru oricarendintr-un set de numere întregi.
Soluție: Luați în considerare comparațiile
etc. Ciclicitatea reziduurilor este explicată prin regulile de înmulțire a numerelor cu o coloană. Adăugând primele patru comparații, obținem:
Deci această sumă este divizibilă cu 100 fără rest. În mod similar, adunând următoarele comparații aproximativ patru, obținem că fiecare astfel de sumă este divizibilă cu 100 fără rest. Deci întreaga sumă de 4ntermeni este divizibil cu 100 fără rest. Q.E.D.
Exemplu. Stabiliți la ce valoarenexpresia este divizibilă cu 19 fără rest.
Soluție: .
Înmulțiți această comparație cu 20. Obținem.
Să adăugăm comparații, atunci. . Astfel, partea dreaptă a comparației este întotdeauna divizibilă cu 19 pentru orice naturăn, ceea ce înseamnă că expresia originală este divizibilă cu 19 cu naturaln.
Răspuns n este orice număr natural.
Exemplu. Cu ce cifră se termină numărul.
Soluţie. Pentru a rezolva această problemă, vom urmări doar ultima cifră. Luați în considerare puterile numărului 14:
Se poate observa că pentru un exponent impar, valoarea gradului se termină cu 4, iar pentru un exponent par, se termină cu 6. Apoi se termină cu 6, adică. este un număr par. Deci se va termina în 6.
Raspunsul 6.
2.2. O sarcină pentru comparație.
Articolul lui N. Vilenkin „Comparisons and Residue Classes” prezintă o problemă pe care celebrul fizician englez Dirac a rezolvat-o în anii studenției.
Există, de asemenea, o soluție scurtă la această problemă folosind comparații modulo. Dar ne-am întâlnit cu o serie de sarcini similare. De exemplu.
Un trecător a găsit o grămadă de mere lângă copacul unde stătea maimuța. După ce le-a numărat, și-a dat seama că, dacă i se dă 1 măr unei maimuțe, atunci numărul de mere rămase va fi împărțit la n fără urmă. După ce a dat mărul în plus maimuței, a luat 1/ n merele rămase și plecate. Ulterior grămada a fost abordată de următorul trecător, apoi de următorul și așa mai departe. Fiecare trecător următor, numărând merele, a observat că numărul lor, atunci când este împărțit la n dă restul 1 și, dându-i maimuței un măr în plus, a luat 1/ n merele rămase și a mers mai departe. După ce a plecat ultimul n al trecătorului, numărul de mere rămase în grămadă este divizibil cu n fără urmă. Câte mere erau la început în grămadă?
După ce am efectuat același raționament ca și Dirac, am obținut o formulă generală pentru rezolvarea unei clase de probleme similare: , unden- numar natural.
2.3. Utilizarea comparațiilor modulo în activități profesionale.
Teoria comparațiilor este folosită în teoria codificării, astfel că toți cei care aleg o profesie legată de calculatoare vor studia și, eventual, vor aplica comparații în activitățile lor profesionale. De exemplu, pentru a dezvolta algoritmi de criptare cu cheie publică, sunt utilizate o serie de concepte ale teoriei numerelor, inclusiv comparații modulo.
Concluzie.
Lucrarea subliniază conceptele și proprietățile de bază ale comparațiilor modulo; exemplele ilustrează utilizarea comparațiilor modulo. Materialul poate fi folosit în pregătirea pentru olimpiadele de matematică și examenul unificat de stat.
Lista de referințe de mai sus permite, dacă este necesar, să se ia în considerare câteva aspecte mai complexe ale teoriei comparațiilor modulo și ale aplicațiilor acesteia.
Lista literaturii folosite.
Alfutova N.B. Algebră și teoria numerelor./N.B.Alfutova, A.V.Ustinov. M.: MTSNMO, 2002, 466 p.
Bukhshtab A.A. Teoria numerelor. / A.A. Bukhshtab. Moscova: Educație, 1960.
Vilenkin N. Comparații și clase de reziduuri./N.Vilenkin.//Kvant. – 1978.- 10.
Fedorova N.E. Studiul algebrei și al analizei matematice. Clasa 10.http:// www. prosv. ro/ cărți electronice/ Fedorova_ Algebră_10 kl/1/ xht
ro. wikipedia. org/ wiki/Modulo_comparation.
La n dau același rest.
Formulări echivalente: a și b modulo comparabil n dacă diferenţa lor A - b este divizibil cu n, sau dacă a poate fi reprezentat ca A = b + kn , Unde k este un număr întreg. De exemplu: 32 și −10 sunt congruente modulo 7 deoarece
Declarația „a și b sunt congruente modulo n” se scrie astfel:
Proprietăți de egalitate Modulo
Relația de comparație modulo are proprietăți
Oricare două numere întregi Ași b sunt comparabile modulo 1.
În ordinea numerelor Ași b au fost comparabile modulo n, este necesar și suficient ca diferența lor să fie divizibilă cu n.
Dacă numerele și sunt comparabile perechi modulo n, apoi sumele și , precum și produsele și sunt, de asemenea, comparabile modulo n.
Dacă numerele Ași b modulo comparabil n, apoi gradele lor A kși b k sunt de asemenea comparabile modulo n pentru orice firesc k.
Dacă numerele Ași b modulo comparabil n, și n impartit de m, apoi Ași b modulo comparabil m.
În ordinea numerelor Ași b au fost comparabile modulo n, reprezentată ca descompunerea sa canonică în factori primi p i
necesar si suficient pentru a
Relația de comparație este o relație de echivalență și are multe dintre proprietățile egalităților obișnuite. De exemplu, acestea pot fi adunate și înmulțite: dacă
Comparațiile, însă, nu pot fi împărțite, în general, între ele sau cu alte numere. Exemplu: , totuși, reducând cu 2, obținem o comparație eronată: . Regulile de reducere pentru comparații sunt următoarele.
De asemenea, nu puteți efectua operații asupra comparațiilor dacă modulele acestora nu se potrivesc.
Alte proprietăți:
Definiții înrudite
Clase de deducere
Mulțimea tuturor numerelor comparabile cu A modulo n numit clasa deducerii A modulo n , și este de obicei notat cu [ A] n sau . Astfel, comparația este echivalentă cu egalitatea claselor de reziduuri [A] n = [b] n .
Deoarece comparație modulo n este o relație de echivalență pe mulțimea numerelor întregi, apoi clasele de reziduuri modulo n sunt clase de echivalență; numărul lor este n. Mulțimea tuturor claselor de reziduuri modulo n notat cu sau .
Operațiile de adunare și înmulțire pe induc operațiile corespunzătoare pe mulțime:
[A] n + [b] n = [A + b] nÎn ceea ce privește aceste operații, mulțimea este un inel finit, iar dacă n câmp simplu - final .
Sisteme de deducere
Sistemul de reziduuri vă permite să efectuați operații aritmetice pe un set finit de numere fără a depăși el. Sistem complet de deduceri modulo n este orice set de n numere întregi care sunt incomparabile modulo n. De obicei, ca sistem complet de reziduuri modulo n, se iau cele mai mici reziduuri nenegative
0,1,...,n − 1sau absolut cele mai mici reziduuri formate din numere
,în caz de impar n si numere
în caz de chiar n .
Decizia de comparare
Comparații de gradul I
În teoria numerelor, criptografie și alte domenii ale științei, se pune adesea problema găsirii de soluții pentru o comparație a gradului întâi al formei:
Soluția unei astfel de comparații începe cu calculul mcd-ului (a, m)=d. În acest caz, sunt posibile 2 cazuri:
- În cazul în care un b nu un multiplu d, atunci comparația nu are soluții.
- În cazul în care un b multiplu d, atunci comparația are o soluție unică modulo m / d, sau, care este același, d soluții modulo m. În acest caz, ca urmare a reducerii comparației inițiale cu d rezultate comparatie:
Unde A 1 = A / d , b 1 = b / d și m 1 = m / d sunt numere întregi și A 1 și m 1 sunt coprime. Prin urmare, numărul A 1 poate fi inversat modulo m 1, adică găsiți un astfel de număr c că (cu alte cuvinte, ). Acum soluția se găsește înmulțind comparația rezultată cu c:
Calcul practic al valorii c se poate face în diferite moduri: folosind teorema lui Euler, algoritmul lui Euclid, teoria fracțiilor continue (vezi algoritmul), etc. În special, teorema lui Euler vă permite să scrieți valoarea c la fel de:
Exemplu
Pentru comparație, avem d= 2 , deci modulo 22 comparația are două soluții. Să înlocuim 26 cu 4, care este comparabil modulo 22, și apoi să anulăm toate cele 3 numere cu 2:
Deoarece 2 este relativ prim față de modulo 11, putem reduce laturile stângă și dreaptă cu 2. Ca rezultat, obținem o soluție modulo 11: , care este echivalentă cu două soluții modulo 22: .
Comparații de gradul doi
Rezolvarea comparațiilor de gradul doi se reduce la a afla dacă un număr dat este un reziduu pătratic (folosind legea pătratică a reciprocității) și apoi la calcularea rădăcinii pătrate modulo aceasta.
Poveste
Teorema chineză a restului, cunoscută de multe secole, afirmă (în limbajul matematic modern) că inelul de reziduuri modulo produsul mai multor numere coprime este
Comparație cu una necunoscută X are forma
Unde . În cazul în care un A n nedivizibil cu m, atunci se numește grad comparatii.
Decizie comparația este orice număr întreg X 0 , pentru care
În cazul în care un X 0 satisface comparația, atunci, conform proprietății 9 a comparațiilor, această comparație va satisface toate numerele întregi comparabile cu X 0 modulo m. Prin urmare, toate soluțiile de comparație aparțin aceleiași clase de resturi modulo t, vom lua în considerare ca o singură soluție. Astfel, o comparație are atâtea soluții câte elemente sunt din sistemul complet de reziduuri care o satisfac.
Se numesc comparații ale căror seturi de soluții sunt aceleași echivalent.
2.2.1 Comparații de gradul I
Comparația gradului I cu unul necunoscut X are forma
(2.2)
Teorema 2.4. Pentru ca o comparație să aibă cel puțin o soluție, este necesar și suficient ca numărul b împărțit la GCD( A, m).
Dovada. Mai întâi dovedim necesitatea. Lăsa d
=
GCD( A,
m)
și X 0
- solutie de comparatie. Apoi , adică diferența Oh 0
−
b
impartit de t. Deci există un număr întreg q,
ce Oh 0
−
b
=
qm.
De aici b= ah 0
−
qm.
Și de când d,
ca divizor comun, împarte numere Ași t, apoi minuendul și subtrahendul se împart la d,
și, prin urmare b
impartit de d.
Acum să demonstrăm suficiența. Lăsa d- cel mai mare divizor comun al numerelor Ași t,și b impartit de d. Apoi, după definiția divizibilității, există numere întregi A 1 , b 1 ,t 1 , ce .
Folosind algoritmul extins Euclid, găsim o reprezentare liniară a numărului 1 = mcd( A 1 , m 1 ):
pentru unii X 0 , y 0 . Înmulțim ambele părți ale ultimei egalități cu b 1 d:
sau, care este la fel,
,
adică , și este soluția comparației. □
Exemplul 2.10. Comparația 9 X= 6 (mod 12) are o soluție deoarece mcd(9, 12) = 3 și 6 este divizibil cu 3. □
Exemplul 2.11. Comparaţie 6x= 9 (mod 12) nu are soluții deoarece mcd(6, 12) = 6 și 9 nu este divizibil cu 6. □
Teorema 2.5. Fie congruența (2.2) să fie decidabilă și d = GCD( A, m). Atunci setul de soluții de comparație (2.2) este format din d clase de reziduuri modulo t, si anume daca X 0 este una dintre soluții, atunci toate celelalte soluții sunt
Dovada. Lăsa X 0
este soluția de comparație (2.2), adică. și ,
.
Deci există așa ceva q, ce Oh 0
−
b
=
qm.
Înlocuind acum în ultima egalitate în loc de X 0
o soluție arbitrară de forma, unde, obținem expresia
, divizibil cu m. □
Exemplul 2.12. Comparația 9 X=6 (mod 12) are exact trei soluții deoarece mcd(9, 12)=3. Aceste solutii sunt: X 0 \u003d 2, x 0 + 4 \u003d 6, X 0 + 2∙4=10.□
Exemplul 2.13. Comparația 11 X=2 (mod 15) are o soluție unică X 0 = 7 deoarece mcd(11,15)=1.□
Să arătăm cum să rezolvăm comparația de gradul întâi. Fără pierderea generalității, vom presupune că GCD( A, t) = 1. Atunci soluția congruenței (2.2) poate fi căutată, de exemplu, folosind algoritmul euclidian. Într-adevăr, folosind algoritmul euclidian extins, reprezentăm numărul 1 ca o combinație liniară de numere Ași t:
Înmulțiți ambele părți ale acestei ecuații cu b, primim: b = abq + mrb, Unde abq - b = - mrb, acesta este A ∙ (bq) = b(mod m) și bq este soluția de comparație (2.2).
O altă modalitate de a rezolva este să folosiți teorema lui Euler. Din nou, presupunem că GCD(a, t)= 1. Aplicam teorema lui Euler: . Înmulțiți ambele părți ale comparației cu b:
.
Rescrierea ultimei expresii ca
, obținem că este soluția congruenței (2.2).
Lasă acum GCD( A, m) = d>1. Apoi A = Atd, m = mtd, unde gcd( A 1 , m 1) = 1. În plus, este necesar b = b 1 d, pentru ca comparația să fie rezolvabilă. În cazul în care un X 0 - solutie de comparatie A 1 X = b 1 (mod m 1), și singurul, deoarece GCD( A 1 , m 1) = 1, atunci X 0 va fi decizia și comparația A 1 xd = db 1 (mod m 1), adică comparația originală (2.2). Odihnă d- 1 solutii se gasesc prin Teorema 2.5.
O comparație a gradului I cu o necunoscută are forma:
f(X) 0 (mod m); f(X) = Oh + un n. (1)
Rezolvați comparațiaînseamnă a găsi toate valorile lui x care îl satisfac. Se numesc două comparații care satisfac aceleași valori ale lui x echivalent.
Dacă comparația (1) îi satisface pe unii X = X 1, apoi (după 49) toate numerele comparabile cu X 1, modulo m: x x 1 (mod m). Toată această clasă de numere contează ca o singura solutie. Cu acest acord se poate trage următoarea concluzie.
66.C aliniere (1) va avea atâtea soluţii câte reziduuri sunt din sistemul complet care îl satisface.
Exemplu. Comparaţie
6X– 4 0 (mod 8)
dintre numerele 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7 ale sistemului complet de reziduuri modulo 8, două numere satisfac: X= 2 și X= 6. Prin urmare, această comparație are două soluții:
X 2 (modul 8), X 6 (modul 8).
Comparația gradului I prin transferarea termenului liber (cu semnul opus) în partea dreaptă poate fi redusă la forma
topor b(mod m). (2)
Luați în considerare o comparație care îndeplinește condiția ( A, m) = 1.
Conform 66 comparația noastră are atâtea soluții câte reziduuri sunt din sistemul complet care îl satisface. Dar cand X parcurge sistemul complet de reziduuri modulo t, apoi Oh parcurge sistemul complet de deduceri (din 60). Prin urmare, pentru o singură valoare X, luate din sistemul complet, Oh va fi comparabil cu b. Asa de,
67. Pentru (a, m) = 1 ax de comparație b(mod m)are o singura solutie.
Lasă acum ( A, m) = d> 1. Atunci, pentru ca comparația (2) să aibă soluții, este necesar (din 55) ca b divizat in d, altfel compararea (2) este imposibilă pentru orice număr întreg x . Presupunând deci b multiplu d, sa punem A = A 1 d, b = b 1 d, m = m 1 d. Atunci comparația (2) va fi echivalentă cu aceasta (redusă cu d): A 1 X b 1 (mod m), în care deja ( A 1 , m 1) = 1, și prin urmare va avea o soluție modulo m unu . Lăsa X 1 este cel mai mic reziduu nenegativ al acestei soluții modulo m 1 , atunci toate numerele x , formând această soluție se regăsește în formularul
X X 1 (mod m 1). (3)
Modulo, numerele (3) nu formează o soluție, ci mai multe, exact atâtea soluții câte numere (3) sunt în seria 0, 1, 2, ..., m 1 cel mai mic reziduu nenegativ modulo m. Dar următoarele numere vor cădea aici (3):
X 1 , X 1 + m 1 , X 1 + 2m 1 , ..., X 1 + (d – 1) m 1 ,
acestea. Total d numere (3); deci comparația (2) are d solutii.
Obtinem teorema:
68. Fie (a, m) = d. axa de comparație b ( mod m) imposibil dacă b nu este divizibil cu d. Când b este un multiplu al lui d, comparația are d soluții.
69. Metoda de rezolvare a comparației de gradul I, bazată pe teoria fracțiilor continue:
Extinderea într-o fracție continuă a raportului m:a,
și luând în considerare ultimele două convergente:
conform proprietăților fracțiilor continuate (conform 30 ) avem
Deci comparația are o soluție
pentru căutare, care este suficient pentru a calcula P n- 1 conform metodei specificate la 30.
Exemplu. Să rezolvăm comparația
111X= 75 (mod 321). (patru)
Aici (111, 321) = 3, iar 75 este un multiplu al lui 3. Prin urmare, comparația are trei soluții.
Împărțind ambele părți ale comparației și modulul la 3, obținem comparația
37X= 25 (mod 107), (5)
pe care trebuie să o decidem mai întâi. Avem
q | |||||
P 3 |
Deci, în acest caz n = 4, P n - 1 = 26, b= 25, și avem soluția de comparație (5) sub forma
X–26 ∙ 25 99 (mod 107).
Prin urmare, soluțiile comparației (4) sunt prezentate după cum urmează:
X 99; 99 + 107; 99 + 2 ∙ 107 (mod 321),
Xº99; 206; 313 (mod 321).
Calculul elementului invers modulo a dat
70.Dacă numere întregi Ași n coprim, atunci există un număr A', satisfacand comparatia a ∙ a′ ≡ 1 (mod n). Număr A' numit inversul multiplicativ al unui modulo n iar notația este folosită pentru aceasta A- 1 (mod n).
Calcularea reciprocelor modulo unele se poate face prin soluție de comparație de gradul întâi cu o necunoscută, în care X numarul acceptat A'.
Pentru a găsi o soluție de comparație
un x≡ 1(mod m),
Unde ( a.m)= 1,
se poate folosi algoritmul Euclid (69) sau teorema Fermat-Euler, care afirmă că dacă ( a.m) = 1, atunci
A φ( m) ≡ 1(mod m).
X ≡ A φ( m)–1 (mod m).
Grupuri și proprietățile lor
Grupurile sunt una dintre clasele taxonomice utilizate în clasificarea structurilor matematice cu proprietăți caracteristice comune. Grupurile au două componente: Multe (G) și operațiuni() definit pe acest set.
Conceptele de mulțime, element și apartenență sunt conceptele de bază nedefinite ale matematicii moderne. Orice mulțime este definită de elementele incluse în el (care, la rândul lor, pot fi și mulțimi). Astfel, spunem că o mulțime este definită sau dată dacă pentru orice element putem spune dacă aparține sau nu acestei mulțimi.
Pentru două seturi A, Bînregistrări B A, B A, B∩ A, B A, B \ A, A × Bînseamnă, respectiv, că B este un submult al multimii A(adică orice element din B este de asemenea cuprinsă în A, de exemplu, mulțimea numerelor naturale este conținută în mulțimea numerelor reale; în plus, întotdeauna A A), B este un subset propriu al multimii A(acestea. B Ași B ≠ A), intersecția mai multor Bși A(adică toate astfel de elemente care se află simultan și în A, si in B, de exemplu, intersecția numerelor întregi și a numerelor reale pozitive este mulțimea numerelor naturale), uniunea mulțimilor Bși A(adică un set format din elemente care se află fie în A, fie în B), setați diferența Bși A(adică setul de elemente care se află în B, dar nu minți A), produsul cartezian al multimilor Ași B(adică un set de perechi de forma ( A, b), Unde A A, b B). Prin | A| cardinalitatea multimii este intotdeauna notata A, adică numărul de elemente din set A.
O operație este o regulă conform căreia oricare două elemente ale unei mulțimi G(Ași b) este asociat cu al treilea element din G: a b.
O mulțime de elemente G cu o operație numită grup dacă sunt îndeplinite următoarele condiţii.