Numere complexe și serii cu termeni complexi. Serii convergente de numere complexe Serii absolut convergente de numere complexe
![Numere complexe și serii cu termeni complexi. Serii convergente de numere complexe Serii absolut convergente de numere complexe](https://i1.wp.com/mathprofi.ru/k/slozhnye_ryady_clip_image006.gif)
Metode standard, dar a ajuns într-o fundătură cu un alt exemplu.
Care este dificultatea și unde poate fi o problemă? Să lăsăm deoparte frânghia cu săpun, să analizăm cu calm motivele și să ne familiarizăm cu metodele practice de soluție.
Primul și cel mai important: în majoritatea covârșitoare a cazurilor, pentru a studia convergența unei serii, este necesar să se aplice o metodă familiară, dar termenul comun al seriei este plin de umplutură atât de complicată încât nu este deloc evident ce să faci cu ea . Și te învârți în cercuri: primul semn nu funcționează, al doilea nu funcționează, a treia, a patra, a cincea metodă nu funcționează, apoi curenții sunt aruncați deoparte și totul începe din nou. Acest lucru se datorează, de obicei, lipsei de experiență sau lipsurilor în alte secțiuni ale calculului. În special, dacă alergi limitele secvențeiși dezasamblat superficial limitele funcției, atunci va fi dificil.
Cu alte cuvinte, o persoană pur și simplu nu vede soluția necesară din cauza lipsei de cunoștințe sau experiență.
Uneori, de vină este și „eclipsa”, atunci când, de exemplu, criteriul necesar pentru convergența seriei pur și simplu nu este îndeplinit, dar din cauza ignoranței, neatenției sau neglijenței, acest lucru scapă din vedere. Și se dovedește ca în acea bicicletă în care profesorul de matematică a rezolvat o problemă a copiilor cu ajutorul unor secvențe sălbatice recurente și serii de numere =)
În cele mai bune tradiții, exemple vii imediat: rânduri și rudele lor - diverg, deoarece în teorie se dovedește limitele secvenței. Cel mai probabil, în primul semestru, vei fi bătut din suflet pentru o dovadă de 1-2-3 pagini, dar acum este suficient să arăți că nu este îndeplinită condiția necesară pentru convergența seriei, referindu-se. la fapte cunoscute. Faimos? Dacă studentul nu știe că rădăcina gradului al n-lea este un lucru extrem de puternic, atunci, să zicem, seria
pune-l într-o rută. Deși soluția este ca două și două: , i.e. din motive evidente, ambele serii diferă. Un comentariu modest „aceste limite au fost dovedite în teorie” (sau chiar absența lui) este destul de suficient pentru compensare, la urma urmei, calculele sunt destul de grele și cu siguranță nu aparțin secțiunii seriilor numerice.
Și după ce ai studiat următoarele exemple, vei fi doar surprins de concizia și transparența multor soluții:
Exemplul 1
Investigați convergența unei serii
Soluţie: in primul rand verificati executia criteriul necesar pentru convergenţă. Aceasta nu este o formalitate, ci o mare șansă de a face față exemplului „mică vărsare de sânge”.
„Inspecția scenei” sugerează o serie divergentă (cazul unei serii armonice generalizate), dar din nou se pune întrebarea, cum să luăm în considerare logaritmul în numărător?
Exemple aproximative de sarcini la sfârșitul lecției.
Nu este neobișnuit când trebuie să efectuați un raționament în două sensuri (sau chiar în trei):
Exemplul 6
Investigați convergența unei serii
Soluţie: mai întâi, ocupă-te cu atenție de galimul numărătorului. Secvența este limitată: . Apoi:
Să comparăm seria noastră cu seria . În virtutea dublei inegalități tocmai obținute, pentru toate „en” va fi adevărat:
Acum să comparăm seria cu seria armonică divergentă.
Numitorul fracției Mai puțin numitorul fracției, deci fracția în sine – Mai mult fracții (notați primii termeni, dacă nu sunt clari). Astfel, pentru orice „ro”:
Deci, prin comparație, serialul divergeîmpreună cu seria armonică.
Dacă schimbăm puțin numitorul: , atunci prima parte a raționamentului va fi similară:
. Dar pentru a demonstra divergența seriei, doar testul limită de comparație este deja aplicabil, deoarece inegalitatea este falsă.
Situația cu serii convergente este „oglindă”, adică, de exemplu, pentru o serie se pot folosi ambele criterii de comparație (inegalitatea este adevărată), iar pentru o serie, doar criteriul limitativ (inegalitatea este falsă).
Ne continuăm safariul prin sălbăticie, unde o turmă de antilope grațioase și suculente se profilează la orizont:
Exemplul 7
Investigați convergența unei serii
Soluţie: este îndeplinit criteriul de convergență necesar și ne punem din nou întrebarea clasică: ce să facem? În fața noastră este ceva asemănător cu o serie convergentă, cu toate acestea, nu există o regulă clară aici - astfel de asociații sunt adesea înșelătoare.
Deseori, dar nu de data aceasta. Prin utilizarea Criteriul de comparare limită Să comparăm seria noastră cu seria convergentă. Când calculăm limita, folosim limita minunata , unde ca infinitezimal standuri:
convergeîmpreună cu lângă .
În loc să se folosească tehnica artificială standard de înmulțire și împărțire cu un „trei”, a fost posibil să se compare inițial cu o serie convergentă.
Dar aici este de dorit o avertizare că multiplicatorul constant al termenului general nu afectează convergența seriei. Și tocmai în acest stil este concepută soluția următorului exemplu:
Exemplul 8
Investigați convergența unei serii
Exemplu la sfârșitul lecției.
Exemplul 9
Investigați convergența unei serii
Soluţie: în exemplele anterioare, am folosit mărginirea sinusului, dar acum această proprietate este în afara jocului. Numitorul unei fracții de o mai mare ordinea de creștere decât numărătorul, deci când argumentul sinusului și întregul termen comun infinit de mici. Condiția necesară pentru convergență, după cum înțelegeți, este îndeplinită, ceea ce nu ne permite să ne sustragem de la muncă.
Vom efectua recunoașteri: în conformitate cu echivalență remarcabilă , aruncați mental sinusul și obțineți o serie. Pai asa ceva....
Luarea unei decizii:
Să comparăm seria studiată cu seria divergentă. Folosim criteriul de comparare a limitelor:
Să înlocuim infinitezimalul cu cel echivalent: pentru .
Se obține un număr finit, altul decât zero, ceea ce înseamnă că seria în studiu divergeîmpreună cu seria armonică.
Exemplul 10
Investigați convergența unei serii
Acesta este un exemplu de do-it-yourself.
Pentru planificarea acțiunilor ulterioare în astfel de exemple, respingerea mentală a sinusului, arcsinusului, tangentei, arctangentei ajută foarte mult. Dar amintiți-vă, această posibilitate există doar atunci când infinitezimal argument, nu cu mult timp în urmă am dat peste o serie provocatoare:
Exemplul 11
Investigați convergența unei serii .
Soluţie: este inutil să folosim aici limitarea arc-tangentei și nici echivalența nu funcționează. Ieșirea este surprinzător de simplă:
Seria de studii diverge, întrucât nu este îndeplinit criteriul necesar pentru convergența seriei.
Al doilea motiv„Gag on the job” constă într-o sofisticare decentă a membrului comun, care provoacă dificultăți de natură tehnică. Aproximativ, dacă seriale discutate mai sus aparțin categoriei „figuri pe care le ghiciți”, atunci acestea aparțin categoriei „tu decizi”. De fapt, aceasta se numește complexitate în sensul „obișnuit”. Nu toată lumea va rezolva corect mai multe factoriale, grade, rădăcini și alți locuitori ai savanei. Desigur, factorialii cauzează cele mai multe probleme:
Exemplul 12
Investigați convergența unei serii
Cum să ridici un factorial la putere? Uşor. Conform regulii operațiunilor cu puteri, este necesar să se ridice fiecare factor al produsului la o putere:
Și, desigur, atenție și încă o dată atenție, semnul d'Alembert în sine funcționează în mod tradițional:
Astfel, seria în studiu converge.
Vă reamintesc de o tehnică rațională de eliminare a incertitudinii: când este clar ordinea de creștere numărător și numitor - nu este deloc necesar să suferiți și să deschideți parantezele.
Exemplul 13
Investigați convergența unei serii
Bestia este foarte rară, dar este găsită și ar fi nedrept să o ocolim cu un obiectiv de cameră.
Ce este factorial de semn dublu de exclamare? Factorialul „desfășoară” produsul numerelor pare pozitive:
În mod similar, factorialul „închide” produsul numerelor impare pozitive:
Analizați care este diferența dintre
Exemplul 14
Investigați convergența unei serii
Și în această sarcină, încercați să nu vă confundați cu diplomele, minunate echivalențeși limite minunate.
Exemple de soluții și răspunsuri la sfârșitul lecției.
Dar elevul ajunge să hrănească nu numai tigri, ci și leoparzii vicleni își urmăresc prada:
Exemplul 15
Investigați convergența unei serii
Soluţie: criteriul necesar de convergenţă, criteriul limitativ, criteriul d'Alembert şi Cauchy dispar aproape instantaneu. Dar cel mai rău dintre toate, trăsătura cu inegalități, care ne-a salvat în mod repetat, este neputincioasă. Într-adevăr, compararea cu o serie divergentă este imposibilă, deoarece inegalitatea incorect - logaritmul multiplicator crește doar numitorul, reducând fracția în sine
în raport cu fracţia. Și încă o întrebare globală: de ce suntem inițial siguri că seria noastră
este obligat să diverge și trebuie comparat cu unele serii divergente? Se potrivește deloc?
Caracteristica integrală? Integrală necorespunzătoare trezește o stare de jale. Acum, dacă am avea o linie
… atunci da. Stop! Așa se nasc ideile. Luăm o decizie în doi pași:
1) În primul rând, studiem convergența seriei . Folosim caracteristică integrală:
Integrand continuu pe
Astfel, un număr diverge împreună cu integrala improprie corespunzătoare.
2) Comparați seria noastră cu seria divergentă . Folosim criteriul de comparare a limitelor:
Se obține un număr finit, altul decât zero, ceea ce înseamnă că seria în studiu divergeîmpreună cu unul lângă altul .
Și nu este nimic neobișnuit sau creativ într-o astfel de decizie - așa ar trebui decis!
Propun să elaborăm în mod independent următoarele două mișcări:
Exemplul 16
Investigați convergența unei serii
Un student cu ceva experiență în cele mai multe cazuri vede imediat dacă seria converge sau diverge, dar se întâmplă ca un prădător să se deghizeze inteligent în tufișuri:
Exemplul 17
Investigați convergența unei serii
Soluţie: la prima vedere, nu este deloc clar cum se comportă această serie. Și dacă avem ceață în fața noastră, atunci este logic să începem cu o verificare brută a condiției necesare pentru convergența seriei. Pentru a elimina incertitudinea, folosim un nescufundabil metoda înmulțirii și împărțirii prin expresie adjunctă:
Semnul necesar de convergență nu a funcționat, dar l-a scos la lumină pe tovarășul nostru de Tambov. În urma transformărilor efectuate s-a obţinut o serie echivalentă , care la rândul său seamănă puternic cu o serie convergentă .
Scriem o soluție curată:
Comparați această serie cu seria convergentă. Folosim criteriul de comparare a limitelor:
Înmulțiți și împărțiți cu expresia adjunctă:
Se obține un număr finit, altul decât zero, ceea ce înseamnă că seria în studiu convergeîmpreună cu lângă .
Poate unii au o întrebare, de unde au venit lupii în safariul nostru african? Nu stiu. Probabil că l-au adus. Veți obține următoarea piele de trofeu:
Exemplul 18
Investigați convergența unei serii
Un exemplu de soluție la sfârșitul lecției
Și, în sfârșit, încă un gând care vizitează mulți studenți în disperare: în loc să folosească un criteriu mai rar pentru convergenţa seriei? Semnul lui Raabe, semnul lui Abel, semnul lui Gauss, semnul lui Dirichlet și alte animale necunoscute. Ideea funcționează, dar în exemple reale este implementată foarte rar. Personal, în toți anii de practică, am apelat doar de 2-3 ori semnul lui Raabe când nimic nu a ajutat cu adevărat din arsenalul standard. Reproduc integral cursul căutării mele extreme:
Exemplul 19
Investigați convergența unei serii
Soluţie: Fără îndoială un semn al lui d'Alembert. În timpul calculelor, folosesc în mod activ proprietățile gradelor, precum și a doua limită minunată:
Iată una pentru tine. Semnul lui D'Alembert nu a dat un răspuns, deși nimic nu prefigura un asemenea rezultat.
După ce am parcurs manualul, am găsit o limită puțin cunoscută dovedită în teorie și am aplicat un criteriu Cauchy radical mai puternic:
Iată două pentru tine. Și, cel mai important, nu este deloc clar dacă seria converge sau diverge (o situație extrem de rară pentru mine). Semn necesar de comparație? Fără prea multe speranțe - chiar dacă într-un mod de neconceput îmi dau seama ordinea de creștere a numărătorului și numitorului, acest lucru totuși nu garantează o recompensă.
Un d'Alembert complet, dar cel mai rău lucru este că seria trebuie rezolvată. Nevoie. La urma urmei, aceasta va fi prima dată când renunț. Și apoi mi-am amintit că păreau să fie niște semne mai puternice. Înaintea mea nu mai era un lup, nici un leopard și nici un tigru. Era un elefant uriaș fluturând o trompa mare. A trebuit să iau un lansator de grenade:
Semnul lui Raabe
Luați în considerare o serie de numere pozitive.
Dacă există o limită , apoi:
a) La un rând diverge. Mai mult, valoarea rezultată poate fi zero sau negativă.
b) La un rând converge. În special, seria converge pentru .
c) Când Semnul lui Raabe nu dă un răspuns.
Compunem limita și simplificăm cu atenție fracția:
Da, poza este, ca să spun ușor, neplăcută, dar nu m-a mai mirat. regulile spitalului, iar primul gând, după cum sa dovedit mai târziu, s-a dovedit a fi corect. Dar mai întâi, timp de aproximativ o oră, am răsucit și am răsucit limita folosind metode „obișnuite”, dar incertitudinea nu a vrut să fie eliminată. Iar mersul în cerc, după cum sugerează experiența, este un semn tipic că a fost ales o modalitate greșită de rezolvare.
A trebuit să apelez la înțelepciunea populară rusă: „Dacă nimic nu ajută, citiți instrucțiunile”. Și când am deschis volumul al 2-lea din Fichtenholtz, spre marea mea bucurie am găsit un studiu dintr-o serie identică. Și apoi soluția a mers conform modelului.
1. Numere complexe. Numere complexe numere numite de forma x+iy, Unde Xși y - numere reale, i-unitate imaginară, definit de egalitate i 2 =-1. Numere reale Xși la sunt numite respectiv valabilși părți imaginare număr complex z. Pentru ei se introduce notația: x=Rez; y=imz.
Geometric, fiecare număr complex z=x+iy reprezentat printr-un punct M (x; y) plan de coordonate xOy(Fig. 26). În acest caz avionul hoy numit planul numeric complex, sau planul variabilei complexe z.
Coordonate polare rși φ puncte M, care este imaginea unui număr complex z, se numesc modulși argument număr complex z; pentru ei se introduce notația: r=|z|, φ=Argz.
Deoarece fiecărui punct al planului îi corespunde un număr infinit de valori ale unghiului polar, care diferă între ele prin 2kπ (k este un întreg pozitiv sau negativ), Arg este o funcție z-infinită cu valoare a lui z.
Cel al valorilor unghiului polar φ , care satisface inegalitatea –π< φ ≤ π se numesc importanta principala argument z și notează arg z.
În cele ce urmează, desemnarea φ salvați numai pentru valoarea principală a argumentului z , acestea. sa punem φ =argz, prin care pentru toate celelalte valori ale argumentului z obținem egalitatea
Arg z = arg z + 2kπ =φ + 2kπ.
Relațiile dintre modulul și argumentul numărului complex z și părțile sale reale și imaginare se stabilesc prin formule
x = r cos φ; y = r sin φ.
Argument z poate fi determinată și prin formulă
arg z = arctg (y/x) + C,
Unde DIN= 0 la x > 0, DIN= +π pentru x<0, la> 0; C \u003d - π la X < 0, la< 0.
Înlocuirea Xși laîn notație cu numere complexe z = x+iy expresiile lor prin rși φ , primim așa-numitul forma trigonometrică a unui număr complex:
Numere complexe z 1 \u003d x 1 + iy 1și z 2 \u003d x 2 + iy 2 considerată egal dacă și numai dacă părțile lor reale și imaginare sunt egale separat:
z1 = z2, dacă x 1 = x 2, y 1 = y 2 .
Pentru numerele date în formă trigonometrică, egalitatea are loc dacă modulele acestor numere sunt egale, iar argumentele diferă cu un multiplu întreg de 2π:
z 1 = z 2, dacă |z 1 | = |z 2 |și Arg z 1 = Arg z 2 +2kπ.
Două numere complexe z = x+iyși z = x -iy cu părți reale egale și opuse imaginare se numesc conjugat. Pentru numerele complexe conjugate, relațiile
|z 1 | = |z 2 |; arg z 1 = -arg z 2,
(ultima egalitate i se poate da forma Arg z 1 + Arg z 2 = 2kπ).
Operațiile pe numere complexe sunt definite de următoarele reguli.
Plus. În cazul în care un z 1 \u003d x 1 + iy 1, z 2 \u003d x 2 + iy 2, apoi
Adunarea numerelor complexe respectă legile comutative și asociative:
Scădere. În cazul în care un , apoi
Pentru o explicație geometrică a adunării și scăderii numerelor complexe, este util să le reprezentați nu ca puncte din plan. z,și vectori: numărul z = x + iy reprezentat prin vector având începutul în punctul O (punctul „zero” al planului - originea coordonatelor) și sfârșitul în punctul M(x; y). Apoi adunarea și scăderea numerelor complexe se efectuează după regula adunării și scăderii vectorilor (Fig. 27).
O astfel de interpretare geometrică a operațiilor de adunare și scădere a vectorilor facilitează stabilirea teoremelor asupra modulului sumei și diferenței a doi și a sumei mai multor numere complexe, exprimate prin inegalități:
| |z 1 |-|z 2 | | ≤ |z 1 ±z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 | ,
În plus, este util să ne amintim că modulul diferenței a două numere complexe z1 și z2 este egală cu distanța dintre punctele care sunt imaginile lor pe planul z:| |z 1 -z 2 |=d(z 1 ,z 2) .
Multiplicare. În cazul în care un z 1 \u003d x 1 + iy 1, z 2 \u003d x 2 + iy 2. apoi
z 1 z 2 \u003d (x 1 x 2 -y 1 y 2) + i (x 1 y 2 + x 2 y 1).
Astfel, numerele complexe sunt înmulțite ca binoame, cu i 2 înlocuit cu -1.
Daca atunci
În acest fel, modulul produsului este egal cu produsul modulelor somnoektelilor, iar argumentul produsului-suma argumentelor factorilor.Înmulțirea numerelor complexe respectă legile comutative, asociative și distributive (în ceea ce privește adunarea):
Divizia. Pentru a găsi câtul a două numere complexe date în formă algebrică, dividendul și divizorul trebuie înmulțite cu numărul conjugat la divizor:
" În cazul în care un dat în formă trigonometrică, atunci
În acest fel, modulul coeficientului este egal cu câtul dintre modulul dividendului și al divizorului, A argument privat este egală cu diferența dintre argumentele dividendului și divizorului.
Exponentiatie. Dacă z= , apoi prin formula binomială Newton avem
(P este un întreg pozitiv); în expresia rezultată este necesară înlocuirea gradelor i semnificațiile lor:
i 2 \u003d -1; i 3 =i; i 4 =1; i 5 =1,...
si, in general,
i 4k = 1; i 4k+1 =i; i 4k+2 = -1; i 4k+3 = -i .
Daca atunci
(Aici P poate fi fie un număr întreg pozitiv, fie un număr întreg negativ).
În special,
(formula lui De Moivre).
Extracția rădăcinilor. În cazul în care un P este un întreg pozitiv, apoi rădăcina a n-a a numărului complex z are n valori diferite, care se găsesc prin formulă
unde k=0, 1, 2, ..., n-1.
437.
Găsiți (z 1 z 2)/z 3 dacă z1 = 3 + 5i, z 2 = 2 + 3i, z 3 = 1+2i.
∆
438.
număr z= 2 + 5i.
∆ Aflați modulul numărului complex: . Găsiți valoarea principală a argumentului: . Prin urmare, ▲
439.
Reprezentați în formă trigonometrică complexul
număr
∆ Găsiți , ; , , adică
440.
Reprezentați în formă trigonometrică complex
numerele 1, i, -1, -i.
441.
Reprezintă numere ,
,
în formă trigonometrică și apoi găsiți numărul complex
z1/(z2z3).
∆ Găsiți
Prin urmare,
442. Găsiți toate valorile.
∆ Scriem numărul complex în formă trigonometrică. Avem , , . Prin urmare,
Prin urmare, , ,
443. Rezolvați o ecuație binară ω 5 + 32i = 0.
∆ Să rescriem ecuația sub forma ω 5 + 32i = 0. Număr -32i reprezintă sub formă trigonometrică:
În cazul în care un k = 0 apoi o).
k=1,(B).
k=2,(C).
k=3,(D).
k=4,(E).
Rădăcinile ecuației cu doi termeni corespund vârfurilor unui pentagon regulat înscris într-un cerc cu rază R=2 centrat la origine (Fig. 28).
În general, rădăcinile unei ecuații cu doi termeni ω n \u003d a, Unde A-număr complex, corespund vârfurilor regulatului n-gon înscris într-un cerc cu centrul la origine și raza egală cu ▲
444. Folosind formula lui De Moivre, exprimați cos5φși sin5 φ prin cosφși sinφ.
∆ Transformăm partea stângă a egalității conform formulei binomiale Newton:
Rămâne să echivalăm părțile reale și imaginare ale egalității:
445. Dat un număr complex z=2-2i. Găsi Rez, Imz, |z|, argz.
446. z = -12 + 5i.
447 . Calculați expresia folosind formula Moivre (cos 2° + isin 2°) 45 .
448. Calculați folosind formula lui De Moivre.
449. Exprimați un număr complex în formă trigonometrică
z = 1 + cos 20° + isin 20°.
450. Evaluați expresia (2 + 3i) 3 .
451.
Evaluați expresia
452. Evaluați expresia
453. Exprimați un număr complex în formă trigonometrică 5-3i.
454. Exprimați un număr complex în formă trigonometrică -1 + i.
455.
Evaluați expresia
456.
Evaluați expresia prezentând anterior factorii la numărător și numitor în formă trigonometrică.
457. Găsiți toate valorile
458.
Rezolvați o ecuație binară
459. expres cos4φși sin4φ prin cosφși sinφ.
460. Arătați că distanța dintre puncte z1și z2 egal cu | z2-z1|.
∆ Avem z 1 \u003d x 1 + iy 1, z 2 \u003d x 2 + iy 2, z 2 -z 1 \u003d (x 2 -x 1) + i (y 2 -y 1), Unde
acestea. | z2-z1| este egală cu distanța dintre punctele date. ▲
461. Care linie este descrisă de punct z, satisfacand ecuatia unde Cu-număr complex constant, iar R>0?
462.
Care este semnificația geometrică a inegalităților: 1) | z-c|
463. Care este semnificația geometrică a inegalităților: 1) Rez > 0; 2) sunt z< 0 ?
2. Serii cu termeni complexi. Luați în considerare șirul numerelor complexe z 1 , z 2 , z 3, ..., unde z p \u003d x p + iy p (n \u003d 1, 2, 3, ...). număr constant c = a + bi numit limită secvente z 1 , z 2 , z 3 , ..., dacă pentru orice număr arbitrar mic δ>0 există un număr N, ce inseamna z p cu numere n > N satisface inegalitatea \z n-Cu\< δ . În acest caz, scrieți .
O condiție necesară și suficientă pentru existența unei limite a unei secvențe de numere complexe este următoarea: numărul c=a+bi este limita succesiunii de numere complexe x 1 + iy 1, x 2 + iy 2, x 3 + iy 3, ... dacă și numai dacă , .
(1)
ai caror membri sunt numere complexe se numeste convergente, dacă al n-lea suma parțială a seriei S n pentru n → ∞ tinde spre o anumită limită finală. În caz contrar, se numește seria (1). divergente.
Seria (1) converge dacă și numai dacă serii cu termeni reali converg
(2) Investigați convergența seriei Această serie, ai cărei termeni formează o progresie geometrică infinit descrescătoare, converge; prin urmare, seria dată cu termeni complexi converge absolut. ^
474. Aflați aria de convergență a unei serii
Existența conceptului de limită a unei secvențe (1.5) ne permite să luăm în considerare serii în domeniul complex (atât numeric, cât și funcțional). Sumele parțiale, convergența absolută și condiționată a seriilor numerice sunt definite standard. în care convergenţa unei serii implică convergenţa a două serii, dintre care una este formată din părțile reale și cealaltă din părțile imaginare ale termenilor seriei: De exemplu, seria converge absolut, iar seria − diverge (datorită părţii imaginare).
Dacă părțile reale și imaginare ale unei serii converg absolut, atunci
rând, pentru că . Este adevărat și invers: de la convergența absolută a seriei complexe
convergența absolută a părților reale și imaginare urmează:
Similar cu seriile funcționale din domeniul real, complexe
serii funcționale, aria convergenței lor punctuale și uniforme. Fără schimbare
formulate si dovedite semn Weierstrass convergenta uniforma. sunt salvati
toate proprietățile serii uniform convergente.
În studiul seriilor funcționale, de interes deosebit sunt putere
ranguri: , sau după înlocuirea : . Ca și în cazul realului
variabil, adevărat teorema abel : dacă (ultima) serie de puteri converge în punctul ζ 0 ≠ 0, atunci converge, și absolut, pentru orice ζ care satisface inegalitatea
În acest fel, regiunea de convergență D acest seria de putere este un cerc cu raza R centrat la origine, Unde R − raza de convergenta − limita superioară exactă a valorilor (de unde provine acest termen). Seria inițială de putere va converge, la rândul său, într-un cerc de rază R cu centrul la z 0 . Mai mult, în orice cerc închis, seria de puteri converge absolut și uniform (ultima afirmație urmează imediat din testul Weierstrass (vezi cursul „Seria”).
Exemplu .
Aflați cercul de convergență și examinați convergența în tt. z 1 și z 2 serii de putere Soluţie.
regiune de convergenţă − cerc de rază R= 2 cu centrul în t. z 0 = 1 − 2i
. z 1 se află în afara cercului de convergență și seria diverge. O cravată. punctul se află la limita cercului de convergență. Înlocuindu-l în seria originală, concluzionăm:
− seria converge conditionat conform testului Leibniz.
Dacă în toate punctele de limită seria converge absolut sau diverge conform criteriului necesar, atunci aceasta poate fi stabilită imediat pentru întreaga limită. Pentru a face acest lucru, înlocuiți pe rând
din module de termeni valoare Rîn loc de o expresie și examinați seria rezultată.
Exemplu. Luați în considerare seria din ultimul exemplu, schimbând un factor:
Regiunea de convergență a seriei rămâne aceeași: Înlocuiți într-o serie de module
raza de convergență rezultată:
Dacă notăm suma seriei prin f(z), adică f(z) = (în mod firesc, în
regiune de convergență), atunci această serie se numește lângă Taylor funcții f(z) sau extinderea funcției f(z) într-o serie Taylor. Într-un caz particular, pentru z 0 = 0, seria este numită lângă Maclaurin funcții f(z) .
1.7 Definirea funcţiilor elementare de bază. Formula lui Euler.
Luați în considerare o serie de puteri Dacă z este o variabilă reală, atunci reprezintă
este extinderea seriei Maclaurin a funcției și, prin urmare, satisface
proprietate caracteristică a funcției exponențiale: , i.e. . Aceasta este baza de determinare functie exponentiala in zona complexa:
Definiția 1. .
Funcțiile sunt definite în mod similar
Definiția 2.
Toate cele trei serii converg absolut și uniform în orice regiune închisă mărginită a planului complex.
Din cele trei formule obtinute se deduce o simpla substitutie Formula lui Euler:
De aici urmează imediat demonstrație notarea numerelor complexe:
Formula lui Euler stabilește o legătură între trigonometria obișnuită și cea hiperbolică.
Luați în considerare, de exemplu, funcția: Restul relațiilor se obțin în mod similar. Asa de:
Exemple. Reprezentați aceste expresii în formă
2. (expresia dintre paranteze este un număr i
, scris în formă exponențială)
4. Găsiți soluții liniar independente ale unui DE liniar de ordinul 2:
Rădăcinile ecuației caracteristice sunt:
Deoarece căutăm soluții reale ale ecuației, putem lua funcțiile
Să definim, în concluzie, funcția logaritmică a unei variabile complexe. Ca și în domeniul real, îl vom considera invers celui exponențial. Pentru simplitate, luăm în considerare doar funcția exponențială, i.e. rezolva ecuatia pentru w, pe care o numim funcție logaritmică. Pentru a face acest lucru, luăm logaritmul ecuației, prezentând z sub forma exponentiala:
Dacă în loc de arg z scrie Arg z(1.2), atunci obținem o funcție cu valoare infinită
1.8 Derivată a FKP. Funcții analitice. Condiții Cauchy-Riemann.
Lăsa w = f(z) este o funcție cu o singură valoare definită în domeniul .
Definiția 1. derivat din functie f (z) la punctul se numește limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului, când acesta din urmă tinde spre zero:
O funcție care are o derivată într-un punct z, se numește diferentiabil în acest moment.
În mod evident, toate proprietățile aritmetice ale derivatelor sunt îndeplinite.
Exemplu .
Folosind formula binomială Newton, se deduce în mod similar că
Serii pentru exponent, sinus și cosinus îndeplinesc toate condițiile pentru diferențierea termen cu termen. Prin verificare directă este ușor de obținut că:
cometariu. Deși definiția derivatului FKP coincide complet cu definiția pentru FDP, este, în esență, mai complicată (a se vedea observația din Secțiunea 1.5).
Definiția 2. Funcţie f(z) , diferențiabil continuu în toate punctele domeniului G, se numește analitic sau regulat în această regiune.
Teorema 1 . Dacă funcția f (z) diferențiabilă în toate punctele domeniului G, atunci este analitic în acest domeniu. (b/d)
cometariu. De fapt, această teoremă stabilește echivalența regularității și diferențiabilitatea FKP pe domenii.
Teorema 2. O funcție care este diferențiabilă într-un anumit domeniu are infinite de derivate în acel domeniu. (b/d. Mai jos (în secțiunea 2.4) această afirmație va fi dovedită în baza anumitor ipoteze suplimentare)
Reprezentăm funcția ca sumă a părților reale și imaginare: Teorema 3. ( Cauchy − Condiții Riemann). Lasă funcția f (z) este diferențiabilă la un moment dat. Apoi funcțiile u(X,y) și v(X,y) au derivate parțiale în acest moment și
Și a sunat Condiții Cauchy-Riemann .
Dovada . Deoarece valoarea derivatei nu depinde de modul în care tinde cantitatea
La zero, alegem următoarea cale: Obținem:
La fel, când avem:
, care demonstrează teorema.
Este adevărat și invers:
Teorema 4. Dacă funcţiile u (X,y) și v(X,y) au derivate parțiale continue la un moment dat care satisfac condițiile Cauchy-Riemann, apoi funcția în sine f(z) este diferențiabilă în acest moment. (b/d)
Teoremele 1 – 4 arată diferența fundamentală dintre FKP și FDP.
Teorema 3 vă permite să calculați derivata unei funcții folosind oricare dintre următoarele formule:
În același timp, se poate lua în considerare Xși la numere complexe arbitrare și calculați derivata folosind formulele:
Exemple. Verificați regularitatea funcției. Dacă funcția este regulată, calculați derivata ei.
Definiție: Serii de numere de numere complexe z 1, z 2, …, z n , … se numește expresie a formei
z 1 + z 2 + …, z n + … = ,(3.1)
unde z n se numește termenul comun al seriei.
Definiție: Număr S n \u003d z 1 + z 2 + ..., z n se numește suma parțială a seriei.
Definiție: Seria (1) se numește convergentă dacă șirul (S n ) a sumelor sale parțiale converge. Dacă succesiunea sumelor parțiale diverge, atunci seria se numește divergentă.
Dacă seria converge, atunci numărul S = se numește suma seriei (3.1).
z n = x n + iy n,
atunci seria (1) se scrie ca
= + .
Teorema: Seria (1) converge dacă și numai dacă seria și , compusă din părțile reale și imaginare ale termenilor seriei (3.1), converg.
Această teoremă ne permite să transferăm criteriile de convergență alături de termeni reali în serii cu termeni complecși (criteriul necesar, criteriul de comparație, criteriul d'Alembert, criteriul Cauchy etc.).
Definiție. Seria (1) se numește absolut convergentă dacă seria formată din modulele membrilor săi converge.
Teorema. Pentru convergența absolută a seriei (3.1), este necesar și suficient ca seria și să converge absolut.
Exemplul 3.1. Aflați natura convergenței seriei
Soluţie.
Luați în considerare serialul
Să arătăm că aceste serii converg absolut. Pentru a face acest lucru, demonstrăm că serialul
Converge.
Din moment ce , în loc de un rând, luăm un rând. Dacă ultima serie converge, atunci seria converge și prin comparație.
Convergenţa seriei şi se dovedeşte cu ajutorul unui criteriu integral.
Aceasta înseamnă că seria și converg absolut și, conform ultimei teoreme, seria inițială converge absolut.
4. Serii de puteri cu termeni complexi. Teorema seriei de puteri a lui Abel. Cercul și raza de convergență.
Definiție. O serie de putere este o serie a formei
unde …, sunt numere complexe, numite coeficienți ai seriei.
Regiunea de convergență a seriei (4.I) este cercul .
Pentru a găsi raza de convergență R a unei serii date care conține toate puterile, se folosește una dintre formulele:
Dacă seria (4.1) nu conține toate puterile lui , atunci pentru a o găsi, trebuie să folosiți direct testul d'Alembert sau Cauchy.
Exemplul 4.1. Aflați cercul de convergență al seriei:
Soluţie:
a) Pentru a afla raza de convergență a acestei serii, folosim formula
În cazul nostru
Prin urmare, cercul de convergență al seriei este dat de inegalitate
b) Pentru a afla raza de convergență a seriei, folosim testul d'Alembert.
Pentru a calcula limita, a fost folosită de două ori regula L'Hopital.
Conform testului d'Alembert, seria va converge dacă . Avem deci cercul de convergență al seriei .
5. Funcții exponențiale și trigonometrice ale unei variabile complexe.
6. Teorema lui Euler. Formule Euler. Forma exponențială a unui număr complex.
7. Teorema adunării. Periodicitatea funcției exponențiale.
Funcția exponențială și funcțiile trigonometrice și sunt definite ca sumele seriei de puteri corespunzătoare, și anume:
Aceste funcții sunt legate prin formulele Euler:
numite, respectiv, cosinus hiperbolic și sinus, sunt legate de cosinusul și sinusul trigonometric prin formulele
Funcțiile , , , sunt definite ca în analiza reală.
Pentru orice numere complexe și teorema adunării este valabilă:
Orice număr complex poate fi scris în formă exponențială:
este argumentul lui.
Exemplul 5.1. Găsi
Soluţie.
Exemplul 5.2. Exprimați numărul în formă exponențială.
Soluţie.
Găsiți modulul și argumentul acestui număr:
Apoi primim
8. Limită, continuitate și continuitate uniformă a funcțiilor unei variabile complexe.
Lăsa E este un set de puncte din planul complex.
Definiție. Ei spun asta pe platou E funcția este dată f variabilă complexă z, dacă fiecare punct z E prin regulă f sunt atribuite unul sau mai multe numere complexe w(în primul caz, funcția se numește cu o singură valoare, în al doilea - multivalorică). Denota w = f(z). E este domeniul definiției funcției.
orice functie w = f(z) (z = x + iy) poate fi scris sub forma
f(z) = f(x + iy) = U(x, y) + iV(x, y).
U(x, y) = R f(z) se numește partea reală a funcției și V(x, y) = Imf(z) este partea imaginară a funcției f(z).
Definiție. Lasă funcția w = f(z) este definită și unică într-o zonă a punctului z 0 , excluzând, poate, chiar ideea z0. Numărul A se numește limita funcției f(z) la punct z0, dacă pentru vreunul ε > 0, se poate specifica un număr δ > 0 astfel încât pentru toate z = z0și satisfacerea inegalității |z – z 0 |< δ , inegalitatea | f(z) – A|< ε.
scrie
Din definiţie rezultă că z→z0 arbitrar.
Teorema. Pentru existenţa limitei funcţiei w = f(z) la punct z 0 = x 0 + iy 0 este necesar şi suficient ca limitele funcţiei U(x, y)și V(x, y) la punct (x0, y0).
Definiție. Lasă funcția w = f(z) este definită și unică într-o vecinătate a punctului z 0 , inclusiv în acest punct însuși. Funcţie f(z) se numeste continuu in punctul z 0 daca
Teorema. Pentru continuitatea unei funcții într-un punct z 0 = x 0 + iy 0 este necesar şi suficient ca funcţiile U(x, y)și V(x, y) la punct (x0, y0).
Din teoreme rezultă că cele mai simple proprietăți legate de limita și continuitatea funcțiilor variabilelor reale se transferă la funcțiile unei variabile complexe.
Exemplul 7.1. Separați părțile reale și imaginare ale funcției.
Soluţie.
În formula care definește funcția, înlocuim
La zero în două direcții diferite, funcția U(x, y) are limite diferite. Aceasta înseamnă că la punct z = 0 funcţie f(z) nu are limita. În continuare, funcția f(z) definite în punctele în care .
Lăsa z 0 = x 0 + iy 0, unul dintre aceste puncte.
Aceasta înseamnă că la puncte z = x + iy la y 0 funcţia este continuă.
9. Secvențe și serii de funcții ale unei variabile complexe. Convergență uniformă. Continuitatea seriei de putere.
Definirea unei secvențe convergente și a unei serii convergente de funcții ale unei variabile complexe de convergență uniformă, corespunzătoare teoriei convergenței egale, continuitatea limitei unei secvențe, suma unei serii se formează și se dovedește exact în același mod. cât pentru secvenţe şi serii de funcţii ale unei variabile reale.
Să prezentăm faptele necesare pentru cele ce urmează referitoare la seriile funcționale.
Lasati in zona D este definită o succesiune de funcții cu o singură valoare ale variabilei complexe (fn (z)). Apoi simbolul:
numit gamă funcțională.
În cazul în care un z0 aparține D fix, apoi seria (1) va fi numeric.
Definiție. Gama funcțională (1) se numește convergent în regiune D, dacă pentru vreunul z Deținut D, seria numerică corespunzătoare acestuia converge.
Dacă rândul (1) converge în regiune D, atunci în această regiune se poate defini o funcție cu o singură valoare f(z), a cărui valoare în fiecare punct z Deținut D este egală cu suma seriei numerice corespunzătoare. Această funcție este numită suma seriei (1) în zona D .
Definiție.În cazul în care un
pentru oricine z Deținut D, este valabilă următoarea inegalitate:
apoi rândul (1) se numește uniform convergent în regiune D.
Serii cu termeni complexi.
19.3.1. Serii numerice cu termeni complexi. Toate definițiile de bază ale convergenței, proprietățile seriei convergente, criteriile de convergență pentru seria complexe nu diferă în niciun fel de cazul real.
19.3.1.1. Definiții de bază. Să fie dată o succesiune infinită de numere complexe. Partea reală a numărului va fi notată cu , imaginarul - (adică .
Seria de numere- vizualizați înregistrarea .
Sumele parțiale ale unei serii:
Definiție. Dacă există o limită S secvențe de sume parțiale ale seriei cu , care este un număr complex propriu, apoi se spune că seria converge; număr S numită suma seriei și scrie sau .
Găsiți părțile reale și imaginare ale sumelor parțiale: , unde simbolurile și denotă părțile reale și imaginare ale sumei parțiale. O secvență numerică converge dacă și numai dacă șirurile compuse din părțile sale reale și imaginare converg. Astfel, o serie cu termeni complecși converge dacă și numai dacă seria formată din părțile sale reale și imaginare converg.
Exemplu.
19.3.1.2. Convergență absolută.
Definiție. Rândul este numit absolut convergente dacă seria converge , compus din valorile absolute ale membrilor săi.
La fel ca și pentru seriile reale numerice cu termeni arbitrari, se poate dovedi că dacă seria converge, atunci seria converge în mod necesar. Dacă seria converge și seria diverge, atunci seria se spune că este convergentă condiționat.
O serie este o serie cu membri nenegativi, prin urmare, pentru a-și studia convergența, pot fi folosite toate caracteristicile cunoscute (de la teoreme de comparație la testul integral Cauchy).
Exemplu. Investigați seria pentru convergență.
Să facem o serie de module (): . Această serie converge (testul Cauchy ), deci seria originală converge absolut.
19.1.3.4. Proprietățile seriei convergente. Pentru seriile convergente cu termeni complecși, toate proprietățile seriei cu termeni reali sunt adevărate:
Un criteriu necesar pentru convergența unei serii. Termenul comun al seriei convergente tinde spre zero ca.
Dacă seria converge, atunci oricare dintre restul ei converge. Dimpotrivă, dacă orice rest al seriei converge, atunci seria în sine converge.
Dacă seria converge, atunci suma restului ei dupăn -al-lea termen tinde spre zero la.
Dacă toți termenii unei serii convergente sunt înmulțiți cu același număr Cu, atunci se păstrează convergența seriei, iar suma se înmulțește cu Cu.
Rânduri convergente ( DAR) și ( LA) se pot adăuga și scădea termen cu termen; seria rezultată va converge și ea, iar suma sa este egală cu.
Dacă termenii seriei convergente sunt grupați în mod arbitrar și o nouă serie este alcătuită din sumele termenilor din fiecare pereche de paranteze, atunci această nouă serie va converge și ea, iar suma ei va fi egală cu suma seriei originale. .
Dacă o serie converge absolut, atunci pentru orice permutare a termenilor ei, convergența este păstrată și suma nu se modifică.
Dacă rândurile ( DAR) și ( LA) converg absolut spre suma lorși, atunci produsul lor pentru o ordine arbitrară de termeni converge și el în mod absolut, iar suma sa este egală cu.
19.3.2. Seria complexă de putere.
Definiție. O serie de puteri cu termeni complexi este o serie a formei
unde sunt numere complexe constante (coeficienții seriei), este un număr complex fix (centrul cercului de convergență). Pentru orice valoare numerică z seria se transformă într-o serie numerică cu termeni complexi, convergenți sau divergenți. Dacă seria converge într-un punct z , atunci acest punct se numește punctul de convergență al seriei. Seria de putere are cel puțin un punct de convergență - punctul . Mulțimea punctelor de convergență se numește regiunea de convergență a seriei.
În ceea ce privește o serie de puteri cu termeni reali, toate informațiile semnificative despre o serie de puteri sunt conținute în teorema lui Abel.
teorema lui Abel. Dacă seria de puteri converge în punctul , atunci
1. converge absolut în orice punct al cercului ;
2. Dacă această serie diverge la , atunci diverge în orice punct z
, satisfacerea inegalitatii (adică, situat mai departe de punct decât ).
Dovada repetă textual proba secțiunii 18.2.4.2. teorema lui Abel pentru un serial cu membri reali.
Teorema lui Abel implică existența unui astfel de număr real nenegativ R , că seria converge absolut în orice punct interior al unui cerc de rază R centrat la , și diverge în orice punct din afara acestui cerc. Număr R numit raza de convergenta, un cerc - cerc de convergenţă. În punctele limitei acestui cerc - cercuri de rază R centrat într-un punct - seria poate atât converge, cât și diverge. În aceste puncte, seria de module are forma . Sunt posibile următoarele cazuri:
1. Seria converge. În acest caz, seria converge absolut în orice punct al cercului.
2. Seria diverge, dar termenul ei comun . În acest caz, seria poate converge în mod condiționat în anumite puncte ale cercului și poate diverge în altele, de exemplu. fiecare punct necesită un studiu individual.
3. Seria diverge, iar termenul său comun nu tinde spre zero la . În acest caz, seria diverge în orice punct al cercului limită.