Suma resturilor reduse modulo n. Sisteme de retragere. Exerciții pentru munca independentă
![Suma resturilor reduse modulo n. Sisteme de retragere. Exerciții pentru munca independentă](https://i2.wp.com/konspekta.net/lektsianew/baza13/30078065046.files/image063.gif)
sau orice consecutiv p numere.
Acest sistem este numit un sistem complet de numere care nu sunt comparabile ca modul p sau sistem complet de reziduuri modulo p. Este evident că oricare p numerele consecutive formează un astfel de sistem.
Toate numerele aparținând aceleiași clase au multe proprietăți comune, prin urmare, în raport cu modulul, pot fi considerate ca un număr. Fiecare număr inclus în comparație ca sumand sau factor poate fi înlocuit, fără a încălca comparația, cu un număr comparabil cu acesta, i.e. cu un număr aparținând aceleiași clase.
Celălalt element care este comun tuturor numerelor unei clase date este cel mai mare divizor comun al fiecărui element din această clasă și modul. p.
Lăsa Ași b modulo comparabil p, apoi
Teorema 1. Dacă în topor+bîn loc de X hai sa punem totul in ordine p membri ai sistemului complet de numere
Prin urmare toate numerele topor+b, Unde X=1,2,...p-1 nu sunt comparabile modulo p(in caz contrar, numerele 1,2,... p-1 ar fi comparabil modulo p.
Note
1) În acest articol, cuvântul număr va însemna un număr întreg.
Literatură
- 1. K. Irlanda, M. Rosen. Introducere clasică în teoria modernă a numerelor. - M: Mir, 1987.
- 2. G. Davenport. Aritmetică superioară. - M: Nauka, 1965.
- 3. P.G. Lejeune Dirichlet. Prelegeri despre teoria numerelor. − Moscova, 1936.
Inel de reziduuri Modulo n denotă sau . Grupul său multiplicativ, ca în cazul general al grupurilor de elemente inversabile ale inelelor, este notat ∗ × × .
Cel mai simplu caz
Pentru a înțelege structura grupului, se poate lua în considerare un caz special în care este un număr prim și se poate generaliza. Luați în considerare cel mai simplu caz când , adică .
Teorema: - grupul ciclic.
Exemplu : Luați în considerare un grup
= (1,2,4,5,7,8) Generatorul de grup este numărul 2. ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ După cum puteți vedea, orice element al grupului poate fi reprezentat ca , unde ≤ℓφ . Adică grupul este ciclic.Caz general
Pentru a considera cazul general, este necesar să se definească o rădăcină primitivă. O rădăcină primitivă modulo un prim este un număr care, împreună cu clasa sa de reziduuri, dă naștere unui grup.
Exemple: 2 11 ; 8 - modulo rădăcină primitivă 11 ; 3 nu este o rădăcină modulo primitivă 11 .În cazul unui modul întreg, definiția este aceeași.
Structura grupului este determinată de următoarea teoremă: Dacă p este un număr prim impar și l este un întreg pozitiv, atunci există rădăcini primitive modulo , adică un grup ciclic.
Exemplu
Sistemul redus de reziduuri modulo este format din clase de reziduuri: . În ceea ce privește înmulțirea definită pentru clasele de reziduuri, acestea formează, în plus, un grup și sunt reciproc inverse (adică ⋅ ) și sunt inverse față de ei înșiși.
Structura grupului
Intrarea înseamnă „grup ciclic de ordin n”.
× | φ | λ | Generator de grup | × | φ | λ | Generator de grup | × | φ | λ | Generator de grup | × | φ | λ | Generator de grup | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | C1 | 1 | 1 | 0 | 33 | C2×C10 | 20 | 10 | 2, 10 | 65 | C4×C12 | 48 | 12 | 2, 12 | 97 | C96 | 96 | 96 | 5 | |||
2 | C1 | 1 | 1 | 1 | 34 | C 16 | 16 | 16 | 3 | 66 | C2×C10 | 20 | 10 | 5, 7 | 98 | C42 | 42 | 42 | 3 | |||
3 | C2 | 2 | 2 | 2 | 35 | C2×C12 | 24 | 12 | 2, 6 | 67 | C66 | 66 | 66 | 2 | 99 | C2×C30 | 60 | 30 | 2, 5 | |||
4 | C2 | 2 | 2 | 3 | 36 | C2×C6 | 12 | 6 | 5, 19 | 68 | C2×C16 | 32 | 16 | 3, 67 | 100 | C2×C20 | 40 | 20 | 3, 99 | |||
5 | C4 | 4 | 4 | 2 | 37 | C 36 | 36 | 36 | 2 | 69 | C2×C22 | 44 | 22 | 2, 68 | 101 | C 100 | 100 | 100 | 2 | |||
6 | C2 | 2 | 2 | 5 | 38 | C 18 | 18 | 18 | 3 | 70 | C2×C12 | 24 | 12 | 3, 69 | 102 | C2×C16 | 32 | 16 | 5, 101 | |||
7 | C6 | 6 | 6 | 3 | 39 | C2×C12 | 24 | 12 | 2, 38 | 71 | C70 | 70 | 70 | 7 | 103 | C 102 | 102 | 102 | 5 | |||
8 | C2×C2 | 4 | 2 | 3, 5 | 40 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 3, 11, 39 | 72 | C2×C2×C6 | 24 | 6 | 5, 17, 19 | 104 | C2×C2×C12 | 48 | 12 | 3, 5, 103 | |||
9 | C6 | 6 | 6 | 2 | 41 | C40 | 40 | 40 | 6 | 73 | C72 | 72 | 72 | 5 | 105 | C2×C2×C12 | 48 | 12 | 2, 29, 41 | |||
10 | C4 | 4 | 4 | 3 | 42 | C2×C6 | 12 | 6 | 5, 13 | 74 | C 36 | 36 | 36 | 5 | 106 | C 52 | 52 | 52 | 3 | |||
11 | C 10 | 10 | 10 | 2 | 43 | C42 | 42 | 42 | 3 | 75 | C2×C20 | 40 | 20 | 2, 74 | 107 | C 106 | 106 | 106 | 2 | |||
12 | C2×C2 | 4 | 2 | 5, 7 | 44 | C2×C10 | 20 | 10 | 3, 43 | 76 | C2×C18 | 36 | 18 | 3, 37 | 108 | C2×C18 | 36 | 18 | 5, 107 | |||
13 | C 12 | 12 | 12 | 2 | 45 | C2×C12 | 24 | 12 | 2, 44 | 77 | C2×C30 | 60 | 30 | 2, 76 | 109 | C 108 | 108 | 108 | 6 | |||
14 | C6 | 6 | 6 | 3 | 46 | C 22 | 22 | 22 | 5 | 78 | C2×C12 | 24 | 12 | 5, 7 | 110 | C2×C20 | 40 | 20 | 3, 109 | |||
15 | C2×C4 | 8 | 4 | 2, 14 | 47 | C46 | 46 | 46 | 5 | 79 | C78 | 78 | 78 | 3 | 111 | C2×C36 | 72 | 36 | 2, 110 | |||
16 | C2×C4 | 8 | 4 | 3, 15 | 48 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 5, 7, 47 | 80 | C2×C4×C4 | 32 | 4 | 3, 7, 79 | 112 | C2×C2×C12 | 48 | 12 | 3, 5, 111 | |||
17 | C 16 | 16 | 16 | 3 | 49 | C42 | 42 | 42 | 3 | 81 | C 54 | 54 | 54 | 2 | 113 | C 112 | 112 | 112 | 3 | |||
18 | C6 | 6 | 6 | 5 | 50 | C 20 | 20 | 20 | 3 | 82 | C40 | 40 | 40 | 7 | 114 | C2×C18 | 36 | 18 | 5, 37 | |||
19 | C 18 | 18 | 18 | 2 | 51 | C2×C16 | 32 | 16 | 5, 50 | 83 | C82 | 82 | 82 | 2 | 115 | C 2 × C 44 | 88 | 44 | 2, 114 | |||
20 | C2×C4 | 8 | 4 | 3, 19 | 52 | C2×C12 | 24 | 12 | 7, 51 | 84 | C2×C2×C6 | 24 | 6 | 5, 11, 13 | 116 | C2×C28 | 56 | 28 | 3, 115 | |||
21 | C2×C6 | 12 | 6 | 2, 20 | 53 | C 52 | 52 | 52 | 2 | 85 | C4×C16 | 64 | 16 | 2, 3 | 117 | C6×C12 | 72 | 12 | 2, 17 | |||
22 | C 10 | 10 | 10 | 7 | 54 | C 18 | 18 | 18 | 5 | 86 | C42 | 42 | 42 | 3 | 118 | C 58 | 58 | 58 | 11 | |||
23 | C 22 | 22 | 22 | 5 | 55 | C2×C20 | 40 | 20 | 2, 21 | 87 | C2×C28 | 56 | 28 | 2, 86 | 119 | C 2 × C 48 | 96 | 48 | 3, 118 | |||
24 | C2×C2×C2 | 8 | 2 | 5, 7, 13 | 56 | C2×C2×C6 | 24 | 6 | 3, 13, 29 | 88 | C2×C2×C10 | 40 | 10 | 3, 5, 7 | 120 | C2×C2×C2×C4 | 32 | 4 | 7, 11, 19, 29 | |||
25 | C 20 | 20 | 20 | 2 | 57 | C2×C18 | 36 | 18 | 2, 20 | 89 | C 88 | 88 | 88 | 3 | 121 | C 110 | 110 | 110 | 2 | |||
26 | C 12 | 12 | 12 | 7 | 58 | C 28 | 28 | 28 | 3 | 90 | C2×C12 | 24 | 12 | 7, 11 | 122 | C60 | 60 | 60 | 7 | |||
27 | C 18 | 18 | 18 | 2 | 59 | C 58 | 58 | 58 | 2 | 91 | C6×C12 | 72 | 12 | 2, 3 | 123 | C2×C40 | 80 | 40 | 7, 83 | |||
28 | C2×C6 | 12 | 6 | 3, 13 | 60 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 7, 11, 19 | 92 | C2×C22 | 44 | 22 | 3, 91 | 124 | C2×C30 | 60 | 30 | 3, 61 | |||
29 | C 28 | 28 | 28 | 2 | 61 | C60 | 60 | 60 | 2 | 93 | C2×C30 | 60 | 30 | 11, 61 | 125 | C 100 | 100 | 100 | 2 | |||
30 | C2×C4 | 8 | 4 | 7, 11 | 62 | C 30 | 30 | 30 | 3 | 94 | C46 | 46 | 46 | 5 | 126 | C6×C6 | 36 | 6 | 5, 13 | |||
31 | C 30 | 30 | 30 | 3 | 63 | C6×C6 | 36 | 6 | 2, 5 | 95 | C2×C36 | 72 | 36 | 2, 94 | 127 | C 126 | 126 | 126 | 3 | |||
32 | C2×C8 | 16 | 8 | 3, 31 | 64 | C2×C16 | 32 | 16 | 3, 63 | 96 | C2×C2×C8 | 32 | 8 | 5, 17, 31 | 128 | C2×C32 | 64 | 32 | 3, 127 |
Aplicație
În dificultate, Farm, Hooley, . Waring a formulat teorema lui Wilson, iar Lagrange a demonstrat-o. Euler a sugerat existența rădăcinilor primitive modulo un număr prim. Gauss a dovedit-o. Artin și-a prezentat ipoteza despre existența și cuantificarea numerelor prime modulo pentru care un întreg dat este o rădăcină primitivă. Brouwer a contribuit la studiul problemei existenței mulțimilor de numere întregi consecutive, fiecare dintre ele fiind puterea k-a modulo p. Bielhartz a dovedit un analog al conjecturii lui Artin. Hooley a dovedit conjectura lui Artin cu presupunerea că ipoteza Riemann extinsă este valabilă în câmpurile numerice algebrice.
Note
Literatură
- Irlanda K., Rosen M. O introducere clasică în teoria numerelor moderne. - M.: Mir, 1987.
- Alferov A.P., Zubov A.Yu., Kuzmin A.S. Cheremushkin A.V. Fundamentele criptografiei. - Moscova: „Helios ARV”, 2002.
- Rostovtsev A.G., Makhovenko E.B. Criptografia teoretică. - Sankt Petersburg: NPO „Profesional”, 2004.
INFORMAȚII DE BAZĂ DIN TEORIE
6. 1. Definiția 1.
Clasa de numere modulo m este mulțimea tuturor acelor și numai acelor numere întregi care, împărțite la m, au același rest r, adică comparabil modulo m (t Î N, t> 1).
Desemnare pentru o clasă de numere cu un rest r: .
Fiecare număr din clasă se numește un reziduu modulo m, iar clasa în sine se numește clasa de reziduuri modulo m.
6. 2. Proprietăți ale mulțimii claselor de reziduuri modulo t:
1) modulo total t va fi t Clase de reziduuri: Z t = { , , , … , };
2) fiecare clasă conține un set infinit de numere întregi (reziduuri) de forma: = ( A= mq+ r/qÎ Z, 0£ r< m}
3) "AÎ : Aº r(mod m);
4) "a, bÎ : Aº b(mod m), adică oricare două reziduuri luate de la unul clasă, comparabil modulo t;
5) "AÎ , " bÎ : A b(mod m), adică nu există două reziduuri; Luat din diferite clase incomparabil modulo t.
6. 3. Definiția 3.
Un sistem complet de reziduuri modulo m este orice set de m numere luate unul și numai unul din fiecare clasă de reziduuri modulo m.
Exemplu: dacă m= 5, atunci (10, 6, - 3, 28, 44) este un sistem complet de reziduuri modulo 5 (și nu singurul!)
În special,
setați (0, 1, 2, 3, … , m–1) este un sistem cel mai mic non-negativ deduceri;
set (1, 2, 3, … , m –1, t) este sistemul cel mai putin pozitiv deduceri.
6. 4. Rețineți că:
dacă ( X 1 , X 2 , … , x t) este sistemul complet de reziduuri modulo t, apoi
.
6. 5. Teorema 1.
În cazul în care un {X 1 , X 2 , … , x t} – sistem complet de reziduuri modulo m, "a, bÎ Z și(a, t) = 1, – apoi sistemul numeric {Oh 1 +b, Oh 2 + b, … , ah t+b} formează de asemenea un sistem complet de reziduuri modulo m .
6. 6. Teorema 2.
Toate reziduurile din aceeași clasă de resturi modulo m au același cel mai mare divizor comun cu m: "a, bÎ Þ ( A; t) = (b; t).
6. 7. Definiția 4.
Clasa reziduurilor modulo m se numește coprim cu modulo m,dacă cel puțin un reziduu din această clasă este coprim cu i.e.
Rețineți că, în acest caz, prin teorema 2 toate numerele acestei clase vor fi coprime cu modulul t.
6. 8. Definiția 5.
Un sistem redus de reziduuri modulo m este un sistem de reziduuri luate unul și numai unul din fiecare clasă coprime la m.
6. 9. Rețineți că:
1) sistem redus de reziduuri modulo t conține j( t) numere ( X 1 , X 2 ,…, };
2) :
.
3) "x i : (x i, m) = 1;
Exemplu : Fie modulo t= 10 există 10 clase de reziduuri:
Z 10 = ( , , , , , , , , , ) este mulțimea claselor de reziduuri modulo 10. Sistem complet de deduceri mod 10 ar fi, de exemplu, acesta: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
Multe clase de reziduuri, coprime cu modul m= 10: ( , , , )(j(10) = 4).
Sistemul redus de deduceri modulo 10 ar fi, de exemplu,
(1, 3, 7, 9) sau (11, 43, – 5, 17) sau ( – 9, 13, – 5, 77), etc. (pretutindeni j(10) = 4 numere).
6.10. Practic: pentru a forma unul dintre posibilele sisteme de reziduuri reduse mod m, este necesar să se aleagă din sistemul complet de reziduuri mod m acele resturi care sunt coprime cu m. Astfel de numere vor fi j( t).
6.11. Teorema 3.
În cazul în care un{X 1 , X 2 ,…, } – sistem redus de reziduuri modulo mși
(A, m) = 1, – apoi sistemul numeric {Oh 1 , Oh 2 , … , ax j (t)} de asemenea forme
sistem redus de reziduuri modulo m .
6.12. Definiția 6.
sumă( Å ) clase de deducere și +b egal cu suma oricăror două deduceri luate câte una din fiecare clasă dată și : Å = , Unde"AÎ , "bÎ .
6.13. Definiția 7.
muncă( Ä ) clase de deducere și modulo m se numește clasa de reziduuri , adică clasa de reziduuri formată din numere a ´ b egal cu produsul dintre oricare două reziduuri luate unul câte unul din fiecare clasă dată și : Ä = , Unde"AÎ , "bÎ .
Astfel, în mulțimea claselor de reziduuri modulo t: Z t= ( , , ,…, ) sunt definite două operații algebrice – „adunare” și „înmulțire”.
6.14. Teorema 4.
Mulțimea claselor de reziduuri Z t modulo t este un inel asociativ-comutativ cu o unitate:
< Z t , +, · > = < { , , ,…, }, +, · > – inel.
SARCINI TIPICE
1. Modulo t= 9:
1) un sistem complet de reziduuri cel mai puțin pozitive;
2) un sistem complet de reziduuri cel puțin nenegative;
3) un sistem complet arbitrar de deduceri;
4) un sistem complet al celor mai puține deducții absolute.
Răspuns:1) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; 2) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
2. Compilați sistemul redus de reziduuri modulo t= 12.
Soluţie.
1) Compuneți un sistem complet de reziduuri cele mai puțin pozitive modulo t= 12:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12) (total t= 12 numere).
2) Ștergem din acest sistem numerele care nu sunt coprime cu numărul 12:
{1, 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9 , 10 , 11, 12 }.
3) Numerele rămase, coprime cu numărul 12, formează sistemul redus de reziduuri dorit modulo t= 12 (total j( t) = j(12) = 4 numere).
Răspuns:(1, 5, 7, 11) - sistem redus de reziduuri modulo t= 12.
130. Realizați 1) un sistem complet al celor mai puțin pozitive reziduuri; 2) un sistem complet de reziduuri cel puțin nenegative; 3) un sistem arbitrar de deduceri; 4) un sistem complet al celor mai mici deduceri absolute; 5) sistemul redus de reziduuri: a) modulo m= 6; b) modulo m = 8.
131. Mulțimea (9, 2, 16, 20, 27, 39, 46, 85) este un sistem complet de reziduuri modulo 8?
132 După ce modul este mulțimea (20, - 4, 22, 18, - 1) un sistem complet de reziduuri?
133. Realizați modul redus sistemul de reziduuri mîn cazul în care un) m= 9; b) m= 24; în) m= 7. Câte numere ar trebui să conțină un astfel de sistem?
134. Formulați principalele proprietăți ale sistemului complet de reziduuri și ale sistemului redus de reziduuri modulo m .
135. Ce elemente disting sistemele reduse și complete ale resturilor minime nenegative modulo prime?
136. În ce condiție sunt numerele Ași - A aparțin aceleiași clase de resturi modulo m?
137. Cărei clase de reziduuri modulo 8 aparțin toate numerele prime? R³ 3 ?
138. Mulțimea numerelor (0, 2 0 , 2 1 , 2 2 , ... , 2 9 ) formează un sistem complet de reziduuri modulo 11?
139. Câte clase de reziduuri modulo 21 aparțin tuturor reziduurilor dintr-o clasă de reziduuri modulo 7?
140. Mulțimea numerelor întregi Z distribuiți după clase de reziduuri modulo 5. Faceți tabele de adunare și înmulțire în setul rezultat de clase de reziduuri Z 5 . Este setul Z 5: a) un grup cu o operație de adunare a clasei? b) o grupă cu operația de înmulțire a clasei?
§ 7. Teorema lui Euler. MICA TEOREMA LUI FERMAT
INFORMAȚII DE BAZĂ DIN TEORIE
7. 1. Teorema 1.
În cazul în care unÎ Z,tÎ N, t>1 și(A;t) = 1, – apoi într-o succesiune infinită de puteri a 1 , A 2 , A 3 , ... , A s, …, A t,… există cel puțin două puteri cu exponenții s și t(s<t) astfel încât . (*)
7. 2. cometariu. Denotand t– s = k> 0, din (*) obținem: . Ridicarea ambelor părți ale acestei comparații la o putere nÎ N, primim:
(**). Aceasta înseamnă că există un număr infinit de puteri A, satisfacând comparația (**). Dar Cum găsiți acești indicatori? Ce cel mai puţin indicator care satisface comparatia (**) ? Raspunde la prima intrebare teorema lui Euler(1707 – 1783).
7. 3. teorema lui Euler.
În cazul în care unÎ Z,tÎ N, t>1 și(A;t) = 1, - apoi . (13)
Exemplu.
Lăsa A = 2,t = 21, (A; t) = (2; 21) = 1. Atunci . Deoarece j (21) = 12, atunci 2 12 º 1(mod 21). Într-adevăr: 2 12 = 4096 și (4096 - 1) 21. Atunci este evident că 2 24 º 1(mod 21), 2 36 º 1(mod 21) și așa mai departe. Dar este exponentul lui 12 - cel mai puţin comparație satisfăcătoare 2 nº 1(mod 21) ? Se dovedește că nu. Cel mai mic indicator va fi P= 6: 2 6 º 1(mod 21), deoarece 2 6 – 1 = 63 și 63 21. Rețineți că cel mai puţin index de căutat numai printre divizorii unui număr j( t) (în acest exemplu, printre divizorii numărului j(21) = 12).
7. 4. Mica Teoremă a lui Fermat (1601 - 1665).
Pentru orice număr prim p și orice număr aÎ Z, nedivizibil cu p, exista o comparatie . (14)
Exemplu.
Lăsa A = 3,R= 5, unde 3 nu este 5. Atunci sau
.
7. 5. Generalizarea teoremei lui Fermat.
Pentru orice număr prim p și număr arbitrar aÎ Z este comparat (15)
SARCINI TIPICE
1. Demonstrați că 38 73 º 3(mod 35).
Soluţie.
1) Deoarece (38; 35) = 1, atunci prin teorema lui Euler ; j(35) = 24, deci
(1).
2) Din comparația (1), după Corolarul 2, proprietățile 5 0 ale comparațiilor numerice, avem:
3) Din comparația (2), după Corolarul 1 al proprietății 5 0 comparații: 38 72 ×38 º 1×38 (mod 35) Þ Þ38 73 º38 º 38–35 = 3(mod 35) Þ 38 73 º 3 (mod 35) , ceea ce urma să fie dovedit.
2. Având în vedere: A = 4, t= 15. Aflați cel mai mic exponent k, satisfacand comparatia (*)
Soluţie.
1) Din moment ce ( A; m) = (4; 25) = 1, apoi după teorema lui Euler , j(25) = 20, deci
.
2) Este exponentul găsit - numărul 20 - cel mai puţin un număr natural care satisface comparația (*)? Dacă există un exponent mai mic de 20, atunci acesta trebuie să fie un divizor de 20. Prin urmare, exponentul minim necesar k trebuie să cauți printre o mulțime de numere n= (1, 2, 4, 5, 10, 20) – divizori ai lui 20.
3) Când P = 1: ;
la P = 2: ;
la P= 3: (nu trebuie luat în considerare);
la P = 4: ;
la P = 5: ;
la P= 6, 7, 8, 9: (nu trebuie luat în considerare);
la P = 10: .
Asa de, cel mai puţin exponent k, comparație satisfăcătoare(*), este k= 10.
Răspuns: .
EXERCIȚII PENTRU MUNCĂ INDEPENDENTĂ
141. Prin teorema lui Euler . La A = 3, t= 6 avem:
.
Deoarece j(6) = 2, atunci 3 2 º1(mod 6), sau 9º1(mod 6), Apoi, după lemă, (9 – 1) 6 sau 8 6 (complet!?). Unde este greseala?
142. Demonstrați că: a) 23 100 º1(mod 101); b) 81 40 º 1(mod100); c) 2 73 º 2 (mod 73).
143. Demonstrați că a) 1 16 + 3 16 + 7 16 + 9 16 º 4 (mod 10);
b) 5 4 P + 1 + 7 4P+ 1 este divizibil cu 12 fără rest.
144. Demonstrați o teoremă inversă cu teorema lui Euler: dacă A j ( m) º 1(mod m), apoi ( a, m) =1.
145. Aflați cel mai mic exponent kÎ N, satisfăcând această comparație: a) ; b)
; în)
; G)
;
e) ; e)
; și)
; h)
.
și) ; la)
; l)
; m)
.
146. Aflați restul împărțirii:
a) 7.100 pentru 11; b) 9.900 pentru 5; c) 5.176 cu 7; d) 2 1999 cu 5; e) 8 377 pentru 5;
f) 26 57 cu 35; g) 35 359 pentru 22; h) 5.718 la 103; i) 27.260 pentru 40; j) 25 1998 la 62.
147*. Demonstrează asta A 561 º A(modul 11).
148*. Dacă descompunerea canonică a unui număr natural P nu conține factorii 2 și 5, atunci puterea a 12-a a acestui număr se termină cu 1. Demonstrați.
149*. Demonstrați că 2 64 º 16 (mod 360).
150*. Demonstrați: dacă ( A, 65) =1 , (b, 65) =1, atunci A 12 –b 12 este divizibil egal cu 65.
Capitolul 3. APLICAȚII ARITMETICE
TEORIILE COMPARAȚIILOR NUMERICE
§ 8. NUMERE SISTEMATICE
INFORMAȚII DE BAZĂ DIN TEORIE
1. NUMERE SISTEMATICE INTEGERE
8. 1. Definiția 1.
Un sistem numeric este orice modalitate de a scrie numere. Semnele cu care sunt scrise aceste numere se numesc numere.
8. 2. Definiția 2.
Un număr întreg nenegativ sistematic scris în sistemul de numere pozițional t-ary este un număr n de forma
,unde un i(i = 0,1, 2,…, k) – numere întregi nenegative - cifre, și 0 £ un i £ t– 1, t este baza sistemului numeric, tÎ N, t > 1.
De exemplu, notația unui număr în sistemul 7-ari este: (5603) 7 = 5 × 7 3 + 6 × 7 2 + 0 × 7 1 + 3. Aici un i- acestea sunt 5, 6, 0, 3 - numere; toate indeplinesc conditia: 0 £ un i£ 6. Când t=10 spune: număr nînregistrat în sistem numeric zecimal, iar indexul t= 10 nu scrie.
8. 3. Teorema 1.
Orice număr întreg nenegativ poate fi reprezentat, și într-un mod unic, ca un număr sistematic în orice bază t, unde tÎ N, t > 1.
Exemplu:(1 3 9) 10 = (3 5 1) 6 = (1 0 2 4) 5 = …
8. 4. Rețineți că:
1) atribuirea numărului sistematic de zerouri din stânga nu se schimba acest număr:
(3 4) 5 = (0 3 4) 5 .
2) atribuirea unui număr sistematic s zerourile din dreapta sunt echivalente multiplicare acest număr pentru t s: (3 4) 5 = 3×5 1 + 4; (3 4 0 0) 5 = 3×5 3 + 4×5 2 + 0×5 1 + 0 = 5 2 ×(3×5 1 + 4).
8. 5. Algoritm pentru conversia unui număr scrist sistem -ary, la zecimal:
Exemplu: (287) 12 = 2×12 2 + 8×12 1 +7×12 0 = 2×144 + 8×12 + 7 = 288 + 96 +7 = (391) 10 .
8. 6. Algoritm pentru conversia unui număr scris în zecimală sistem, înt -personal:
Exemplu: (3 9 1) 10 = (X) 12 . Găsi X.
8. 7. Acțiuni asupra numerelor sistematice
2. FRACȚII SISTEMATICE
8. 8. Definiția 3.
O fracție sistematică t-ară finită într-un sistem numeric cu baza t este un număr de formă
unde c 0 Î Z, cu i - numere– numere întregi nenegative, și 0 £ cu i£ t– 1, tÎ N, t > 1, kÎ N .
Notație: a = ( c 0 , Cu 1 Cu 2 …cu k)t. La t= 10 se numește fracția zecimal.
8. 9. Consecința 1.
Fiecare fracție sistematică finită este un număr rațional care poate fi reprezentat ca , unde unÎ Z,bÎ N.
Exemplu.
a = (3 1, 2 4) 6 = 3×6 + 1 + =19 + este un număr rațional. Afirmația inversă nu este adevărată în general. De exemplu, o fracție nu poate fi convertită într-o fracție sistematică (zecimală) finită.
8.10. Definiția 4.
O fracție sistematică pozitivă infinită într-un sistem numeric cu baza t este un număr de formă
, unde de la 0Î N, cu i(i =1, 2, …, la, …) - numere– numere întregi nenegative, și 0 £ cu i£ t–1, tÎ N, t > 1, kÎ N.
Notație: a = ( Cu 0 , Cu 1 Cu 2 … cu k…) t. La t=10 se numește fracția zecimal.
8.11. Definiția 5.
Există trei tipuri de fracții sistematice infinite:
eu a = ( Cu 0 , )t= =
t, unde =
= = … În acest caz, numărul A se numește o fracție infinită pur periodică,(Cu 1 Cu 2 … cu k) – perioadă, k - numărul de cifre din perioadă - durata perioadei.
II a = .
În acest caz, numărul a se numește fracție periodică mixtă infinită, – preperioada, () – perioadă, k - numărul de cifre din perioadă - lungimea perioadei, l - numărul de cifre dintre partea întreagă și prima perioadă - lungimea preperioadei.
III a = ( Cu 0 , Cu 1 Cu 2 … cu k …)t . În acest caz, numărul A se numește fracție neperiodică infinită.
SARCINI TIPICE
1. Număr ( A) 5 = (2 1 4 3) 5 , dat în sistemul 5-ary, se traduce în sistemul 7-ary, adică găsiți X, dacă (2 1 4 3) 5 = ( X) 7 .
Soluţie.
1) Convertiți numărul dat (2 1 4 3) 5 în numărul ( la) 10 scrise în sistem zecimal:
2. Urmați pașii:
1) (7) 8 + (5) 8; 2) (7) 8 × (5) 8 ; 3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6 ;
4) (5 2 3 4) 7 – (2 3 5 1) 7 ; 5) (4 2 3) 5 × (3 2) 5 ; 6) (3 0 1 4 1) 5: (4 2 3) 5 .
Soluţie.
1) (7) 8 + (5) 8 = (7) 10 + (5) 10 = (12) 10 = 1×8 + 4 = (1 4) 8 ;
2) (7) 8 × (5) 8 = (7) 10 × (5) 10 = (35) 10 = 4×8 + 3 = (4 3) 8 ;
3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6 (1 2 4 3 3) 6 | Notă: | 4+5 = 9 = 1×6+3, 3 se scrie, 1 trece la următoarea cifră, 6+3+1=10 =1×6+4, 4 se scrie, 1 trece la următoarea cifră, 3+ 4+1= 8 \u003d 1 × 6 + 2, se scrie 2, 1 trece la următoarea cifră. |
4) (5 2 3 4) 7 – (2 3 5 1) 7 (2 5 5 3) 7 | Notă: | „ocupă” o unitate de cel mai înalt rang, adică „1” = 1x7: (3 + 1x7) - 5 = 10 - 5 = 5, (1 + 1x7) - 3 = 8 - 3 = 5 , |
5) (4 2 3) 5 ´ (3 2) 5 (1 4 0 1) 5 + (2 3 2 4) 5__ (3 0 1 4 1) 5 | Notă: | Când înmulțim cu 2: 3 × 2 = 6 = 1 × 5 + 1, scriem 1, 1 trece la următoarea cifră, 2 × 2 +1=5 = 1 × 5 +0, scriem 0, 1 trece la următoarea cifră, 2 ×4 +1=9 = 1×5 +4, se scrie 4, 1 trece la următoarea cifră, Când este înmulțit cu 3: 3 ×3 = 9 = 1×5 + 4, se scrie 4, 1 trece la următoarea cifră, 3 × 2 +1=7 = 1×5 +2, se scrie 2, 1 trece la următoarea cifră, 3×4 +1=13=2×5 +3, se scrie 3, 2 trece la următoarea cifră. |
6) (3 0 1 4 1) 5 | (4 2 3) 5
2 3 2 4 (3 2) 5
1 4 0 1 Răspuns: 1) (1 4) 8 ; 2) (4 3) 8 ; 3) (1 2 4 3 3) 6 ; 4) (2 5 5 3) 7 ;
(0) 5 5) (3 0 1 4 1) 5 ; 6) (3 2) 5 .
EXERCIȚII PENTRU MUNCĂ INDEPENDENTĂ
151. Numerele date în t sistem -ary, convertiți în sistem zecimal:
a) (2 3 5) 7 ; b) (2 4 3 1) 5 ; c) (1 0 0 1 0 1) 2 ; d) (1 3 ) 15 ;
e) (2 7) 11; f) (3 2 5 4) 6; g) (1 5 0 1 3) 8; h) (1 1 0 1 1 0 0 1) 2 ;
i) (7 6 2) 8; j) (1 1 1 1) 20 .
152. Numere. dat în sistemul zecimal, convertiți în t-ic sistem. Faceți o verificare.
a) (1 3 2) 10 = ( X) 7 ; b) (2 9 8) 10 = ( X) 5 ; c) (3 7) 10 = ( X) 2 ; d) (3 2 4 5) 10 = ( X) 6 ;
e) (4 4 4 4) 10 = ( X) 3 ; f) (5 6 3) 10 = ( X) 12 ; g) (5 0 0) 10 = ( X) opt ; h) (6 0 0) 10 = ( X) 2 ;
i)(1 0 0 1 5) 10 =( X) douăzeci ; j) (9 2 5) 10 = ( X) opt ; k) (6 3 3) 10 = ( X) cincisprezece ; m) (1 4 3) 10 = ( X) 2 .
153. Numerele date în t-ary system, traduce în q-ic sistem (prin trecerea prin sistemul zecimal).
a) (3 7) 8 = ( X) 3 ; b) (1 1 0 1 1 0) 2 = ( X) 5 ; c) ( 6 2) 11 = ( X) 4 ;
d) (4 ) 12 = ( X) 9 . e) (3 3 1 3 1) 5 = ( X) 12 .
154. a) Cum se va schimba numărul (1 2 3) 5 dacă i se adaugă zero în dreapta?
b) Cum se va schimba numărul (5 7 6) 8 dacă i se adaugă două zerouri în dreapta?
155. Urmați acești pași:
a) (3 0 2 1) 4 + (1 2 3 3) 4 ; b) (2 6 5 4) 8 + (7 5 4 3) 8 ; c) (1 0 1 1 0 1) 2 +(1 1 0 1 10) 2 ;
d) (5 2 4 7) 9 + (1 3 7 6) 9 ; e) (4 7 6) 9 - (2 8 7) 9; f) (2 4 5 3) 7 – (1 6 4 5) 7 ;
g) (8 3) 12 - (5 7 9) 12; h) (1 7 5) 11 – ( 6) 11 ; i) (3 6 4 0 1) 7 – (2 6 6 6 3) 7 ;
j) (1 0 0 1 0) 2 × (1 1 0 1) 2 ; k) (7 4 1) 8 × (2 6) 8; m) (5 3 7 2) 8 × (2 4 6) 8;
m) (3 3 2 1) 4 × (2 3 0) 4 ; o) (1 0 2 2 2 2) 3: (1 2 2) 3 ; n) (2 1 0 3 2) 4: (3 2 3) 4 ;
p) (2 6 1 7 4) 8: (5 4 6) 8 ; c) (4 3 2 0 1) 5: (2 1 4) 5 ; t)(1 1 0 1 0 0 1 0) 2:(1 0 1 0 1) 2
y) (1 1 0 1 1 0) 2: (1 1 1) 2 ; f) (1 1 1 0) 6: (2 1 5) 6 ; x)(3 2 3 8 2 2 1 7 0) 9:(7 6 4 2) 9 .
v) (1 6 3 5) 8 + (7 6 4) 8; h) (1 1 1 1) 3 - (2 1 2) 3; w)(1 2 7) 12 +(9 1 3 5 ) 12b" × b 1 Apoi:
I Dacă numitorul b = b"(conține doar „2” și/sau „5”) - atunci fracția este convertită în final fracție zecimală. Numărul de zecimale este egal cu cel mai mic număr natural l lº 0( mod b").
II Dacă numitorul b = b 1(nu conține „2” și „5”), atunci fracția este convertită în infinit pur periodic este egal cu cel mai mic număr natural k, comparație satisfăcătoare 10 kº 1( mod b 1).
III Dacă numitorul b = b"× b 1 (conține „2” și/sau „5”, precum și alți factori primi), apoi fracția este convertită în periodic mixt infinit zece-
fractie de bifat.
Lungimea perioadei este egală cu cel mai mic număr natural k, comparație satisfăcătoare 10 kº 1( mod b 1).
Lungimea preperioadei este egală cu cel mai mic număr natural l, comparație satisfăcătoare 10 lº 0( mod b").
9. 2. Concluzii.
9. 3. Rețineți că:
un număr rațional este orice fracție zecimală finită sau fracție zecimală periodică infinită;
Un număr irațional este orice fracție zecimală neperiodică infinită.
SARCINI TIPICE
1. Aceste fracții comune, scrise în sistem zecimal, sunt convertite în
zecimal, anterior având determinat tipul fracției dorite (finită sau infinită; periodică sau neperiodică; dacă - periodic, atunci periodic pur sau periodic mixt); în aceste din urmă cazuri pre-găsește număr k– lungimea și numărul perioadei l este lungimea preperioadei. unu) ; 2) ; 3).
Soluţie.
1) Fracție = numitor - număr b= 80 = 2 4 × 5 conține doar „2” și „5”. Prin urmare, această fracție este convertită în final fracție zecimală. Numărul de zecimale eu numele determinată din condiția: 10 lº0(mod80):
2) Fracție = numitor - număr b= 27 = 3 3 nu conține „2” și „5”. Prin urmare, această fracție este convertită într-un infinit pur periodic fracție zecimală. Durata perioadei k nume determinată din condiția: 10 kº1(mod27):
3) Fracție = numitor - număr b= 24 = 2 3 × 3, adică arată astfel: b = b"× b 1 (cu excepția „2” sau „5” conține alți factori, în acest caz numărul 3). Prin urmare, această fracție este convertită într-un infinit periodic mixt fracție zecimală. Durata perioadei k nume determinată din condiția: 10 kº1(mod3), de unde k nume= 1, adică lungimea perioadei k= 1. Lungimea preperioadei eu numele determinată din condiția: 10 lº0(mod8), de unde eu numele= 3, adică lungimea preperioadei l = 3.
Verificați: împărțiți „colțul” 5 la 24 și obțineți: = 0, 208 (3).
Răspuns: 1) 0, 0375; 2) 0, (074); 3) 0, 208 (3).
EXERCIȚII PENTRU MUNCĂ INDEPENDENTĂ
156. Aceste fracții obișnuite, scrise în sistemul zecimal, se convertesc în fracții zecimale. Dacă zecimala este periodică, atunci anterior găsiți numărul k- lungimea și numărul perioadei l- durata preperioadei.
157. Aceste fracții obișnuite, scrise în sistem zecimal, se convertesc în t-fracţii sistematice. Găsiți numerele k- durata perioadei și l- durata preperioadei.
158*. În ce sistem de numere este scris numărul (4 6) 10 cu aceleași numere, dar în
ordine inversă?
159*. Care este mai mare: unitatea de a 8-a cifră în sistemul binar sau unitatea de a 4-a cifră în sistemul octal?
§ 10. TEOREMA LUI PASCAL. SEMNELE DE DIVIZIBILITATE
INFORMAȚII DE BAZĂ DIN TEORIE
10. 1. teorema lui Pascal (1623 – 1662).
Se dau numere naturale: t > 1și n, scris în sistem t-ary:
,unde a i sunt numere: a iÎ N, 0 £ un i £ t–1 (i = 0,1, 2,…, k), tÎ N, t > 1.
Lăsa n= (a k a k - 1 … A 1 A 0) 10 = un k×10 k +a k - 1×10 k- 1 +…+A 1×10+ A 0 , m=3 și m = 9.
1) Găsiți b i: modulom = 3modulom = 9
10 0 º1(mod3), adică b 0 =1, 10 0 º1(mod9), adică. b 0 =1,
10 1 º1(mod3), adică b 1 =1, 10 1 º1(mod9), adică. b 1 =1,
10 2 º1(mod3), adică b 2 =1, 10 2 º1(mod9), adică. b
Sistem complet de facturare. Sistemul dat de deduceri. Cele mai comune sisteme deductive sunt: cel mai puțin pozitiv, cel mai puțin nenegativ, absolut cel puțin etc.
Teorema 1. Proprietăți ale sistemului complet și redus de reziduuri.
1°.Criterii pentru un sistem complet de deduceri. Orice combinație de m numere întregi care sunt modulo incomparabile pe perechi m, formează un sistem complet de reziduuri modulo m.
2°. Dacă numerele X 1 , X 2 , ..., x m– sistem complet de reziduuri modulo m, (A, m) = 1, b este un întreg arbitrar, apoi numerele topor 1 +b, topor 2 +b, ..., topor m+b constituie de asemenea un sistem complet de reziduuri modulo m.
3°. Criteriul sistemului de reducere redusă. Orice colecție constând din j( m) numere întregi care sunt modulo incomparabile pe perechi mși coprim cu modulul, formează un sistem redus de reziduuri modulo m.
4°. Dacă numerele X 1 , X 2 , ..., X j ( m) este sistemul redus de reziduuri modulo m, (A, m) = 1, apoi numerele topor 1 , topor 2 , ..., un x j ( m) constituie de asemenea sistemul redus de reziduuri modulo m.
Teorema 2. teorema lui Euler.
Dacă numerele Ași m coprim, atunci A j ( m) º 1(mod m).
Consecinţă.
1°. teorema lui Fermat. În cazul în care un p este un număr prim și A nedivizibil cu p, apoi a p–1 º 1 (mod p).
2°. Teorema lui Fermat generalizată. În cazul în care un p este un număr prim, atunci a p º A(mod p) pentru orice AÎ Z .
§ patru. Rezolvarea comparațiilor cu o variabilă
Decizia de comparare. Echivalenţă. Gradul de comparație.
Teorema. Proprietăți ale soluțiilor de congruențe.
1° Soluțiile de congruențe sunt clase întregi de reziduuri.
2°. (" k)(un k º b k(mod m))Ù k= z al comparației º 0 (mod m) și º 0 (mod m) sunt echivalente.
3°. Dacă ambele părți ale comparației sunt înmulțite cu un număr coprim cu modulul, atunci se obține o comparație care este echivalentă cu cea inițială.
4°. Orice comparație modulo un prim p echivalează cu o comparație, al cărei grad nu depășește p–1.
5°. Comparație º 0 (mod p), Unde p este un număr prim, are cel mult n diverse solutii.
6°. teorema lui Wilson. ( n-unu)! º –1 (mod n) Û n Număr prim.
§ 5. Rezolvarea comparatiilor de gradul I
topor º b(mod m).
Teorema. 1°. În cazul în care un ( A, m) = 1, atunci comparația are o soluție și este unică.
2°. În cazul în care un ( A, m) = dși b nedivizibil cu d, atunci comparația nu are soluții.
3°. În cazul în care un ( A, m) = dși b impartit de d, atunci comparația are d diferite soluții care alcătuiesc o clasă de resturi modulo.
Modalități de rezolvare a comparațiilor topor º b(mod m) când ( A, m) = 1:
1) selecția (enumerarea elementelor unui sistem complet de deduceri);
2) utilizarea teoremei lui Euler;
3) utilizarea algoritmului Euclid;
4) variația coeficienților (folosind proprietatea 2° a sistemului complet de reziduuri din Teorema 2.2);
§6. Ecuații nedefinite de gradul I
topor+de = c.
Teorema. Ecuația topor+de = c rezolvabil dacă și numai dacă c (A, b).
Cand ( A, b) = 1 toate soluțiile ecuației sunt date prin formule
tÎ Z , Unde X 0 este o soluție de comparație
topor º c(mod b), y 0 = .
Ecuații diofantine.
CAPITOLUL 10. Numere complexe
Definirea unui sistem de numere complexe. Existența unui sistem de numere complexe
Definirea unui sistem de numere complexe.
Teorema. Sistemul de numere complexe există.
Model: R 2 cu operatii
(A, b)+(c, d) = (A+c, b+d), (A, b)×( c, d) = (ac–bd, bc+anunț),
i= (0, 1) și identificare A = (A, 0).
Forma algebrică a unui număr complex
Reprezentarea unui număr complex sub formă z = A+bi, Unde A, bÎ R , i 2 = -1. Unicitatea unei astfel de reprezentări. Re z, Sunt z.
Reguli pentru efectuarea operaţiilor aritmetice asupra numerelor complexe în formă algebrică.
Aritmetic n-spațiu vectorial dimensional C n. Sisteme de ecuații liniare, matrice și determinanți peste C .
Extragerea rădăcinilor pătrate din numere complexe în formă algebrică.
parte a sistemului complet de reziduuri (vezi. Sistem complet de reziduuri), constând din numere coprime cu modul m. P. s. în. conține φ( m) numere [φ( m) este numărul de numere coprime cu m si mai mici m]. Orice φ( m) numere care nu sunt comparabile în modulo mși coprime cu ea, forma P. s. în. pentru acest modul.
- - vezi Masa redusa...
Enciclopedia fizică
- - caracteristică condițională a distribuției maselor într-o mecanică în mișcare. sau sistem mixt, în funcție de fizic. parametrii sistemului și din legea mișcării acestuia...
Enciclopedia fizică
- - modulo m - orice set de numere întregi care sunt incomparabile modulo unu. De obicei ca P. cu. în. modulo cele mai mici reziduuri nenegative 0, 1, . . ...
Enciclopedie matematică
- - suma suprafeței utile a unui bloc de apartamente, precum și a suprafețelor loggiilor, verandelor, balcoanelor cu factorii de reducere corespunzători - se indică suprafața totală - přepočtená užitková plocha - Gesamtfläche -fajlagos alapterület - hörvüulsen...
Dicționar de construcții
- - Vezi coeficientul de porozitate al rocilor...
- - raportul dintre volumul porilor rocii și volumul scheletului de rocă, de obicei exprimat în fracțiuni de unitate...
Dicționar de hidrogeologie și geologie inginerească
- - vezi coeficientul de porozitate...
Dicţionar explicativ al ştiinţei solului
- - la fel ca partea de bază...
- - un caracter condiționat al distribuției maselor într-un sistem de corpuri în mișcare, introdus în mecanică pentru a simplifica ecuațiile de mișcare ale sistemului...
Marele dicționar politehnic enciclopedic
- - Impozit perceput la sursa pe dividende sau alte venituri primite de un nerezident al tarii...
Vocabular financiar
- - Impozit perceput la sursa pe dividende sau alte venituri primite de un nerezident al tarii...
Glosar de termeni de afaceri
- - modulo m, orice colecție de numere întregi care conține un număr din fiecare clasă de numere modulo m. Ca P. cu. în. cel mai des folosit sistem de reziduuri cele mai puțin pozitive 0, 1, 2,.....
- - o caracteristică condiționată a distribuției maselor într-un sistem mecanic sau mixt în mișcare, în funcție de parametrii fizici ai sistemului și de legea mișcării acestuia...
Marea Enciclopedie Sovietică
- - Masă REDUCĂ - o caracteristică condiționată a distribuției maselor într-un sistem mecanic sau mixt în mișcare, în funcție de parametrii fizici ai sistemului și de legea mișcării acestuia ...
Dicționar enciclopedic mare
- - general, toate, cumulative,...
Dicţionar de sinonime
- - adj., număr de sinonime: 1 pur ...
Dicţionar de sinonime
„Sistem redus de deduceri” în cărți
Care este valoarea actuală a competențelor de bază?
Din cartea Bogăție fără greutate. Determinați valoarea companiei dumneavoastră în economia activelor necorporale autorul Thyssen ReneCare este valoarea actuală a competențelor de bază? Pe baza celor de mai sus, putem spune că valoarea actuală a unei competențe de bază se calculează prin înmulțirea tuturor indicatorilor pentru un anumit timp, ținând cont de costul atragerii
Valoarea actuală netă (VAN)
Din cartea de MBA în 10 zile. Cel mai important program al școlilor de afaceri de top din lume autor Silbiger StephenValoarea actuală netă (VAN) Analiza valorii actuale (VAN) ajută la calcularea cât trebuie să investească un angajat pentru a primi o pensie decentă în 30 de ani, dar această analiză nu este utilă în evaluarea investițiilor și proiectelor curente. Investițiile trebuie evaluate în
CONTABILITATE PENTRU DETALII SI DEDUCERI DIN SALARIU
Din cartea Contabilitate autorul Melnikov IlyaRECUNOAȘTEREA DETALIILOR ȘI A REȚINERILOR DIN SALARII În conformitate cu legislația, din salariile salariaților se efectuează următoarele deduceri: - impozit pe venit (impozit de stat, obiect de impozitare - salarii);
10.6. Contabilitatea deducerilor si deducerilor din salarii
Din cartea Contabilitatea în agricultură autor Bychkova Svetlana Mihailovna10.6. Contabilitatea deducerilor și reținerii din salarii Din salariile angajaților întreprinderii se efectuează anumite deduceri, care se împart astfel: deduceri obligatorii (impozit pe venitul personal, deduceri pe titluri executorii);
Din cartea Imobilizari necorporale: Contabilitate si Contabilitate Fiscala autorul Zakharyin V R<...>
4.1. Probleme generale de acordare a deducerilor fiscale sociale
autor Makurova Tatiana4.1. Probleme generale privind acordarea deducerilor fiscale sociale Deducerile fiscale sociale (articolul 219 din Codul fiscal), precum si o deducere imobiliara pentru achizitionarea de locuinte, inseamna o scadere a bazei impozabile cu valoarea cheltuielilor sociale efectuate, tinand cont de legislație
4.3. Caracteristici ale acordării deducerilor educaționale
Din cartea Self-Tutorial on Personal Income Taxes autor Makurova Tatiana4.3. Particularități ale acordării deducerilor educaționale 142) Ce cheltuieli pot fi acceptate ca deducere pentru educație? Care sunt limitele deducerilor educaționale Pentru deducerea impozitului social pentru educație sunt acceptate: cheltuieli în cuantumul plătit de contribuabil în
3.4. Cuantificarea și frecvența de apariție și aplicarea deducerilor fiscale
Din cartea Povara fiscală a unei întreprinderi: analiză, calcul, management autor Cipurenko Elena Viktorovna3.4. Cuantificarea și frecvența de apariție și aplicarea deducerilor fiscale 3.4.1. TVA ca deducere fiscală potențială La calculul TVA, sumele deducerilor fiscale se determină numai în conformitate cu datele registrelor de contabilitate fiscală - carnete de achiziții. La
Sistem complet de deduceri
Din cartea Marea Enciclopedie Sovietică (PO) a autorului TSBMasa redusa
TSBSistemul redus de deduceri
Din cartea Marea Enciclopedie Sovietică (PR) a autorului TSB88. Forme structurale și reduse ale unui sistem de ecuații simultane. Identificarea modelului
Din cartea Answers to Exam Tickets in Econometrics autor Yakovleva Angelina Vitalievna88. Forme structurale și reduse ale unui sistem de ecuații simultane. Identificarea modelului Ecuațiile structurale sunt ecuațiile care alcătuiesc sistemul original de ecuații simultane. În acest caz, sistemul are o formă structurală.Formă structurală
Din cartea Nou în Codul Fiscal: un comentariu asupra modificărilor care au intrat în vigoare în 2008 autor Zrelov Alexandru PavloviciArticolul 172. Procedura de aplicare a deducerilor fiscale
autor autor necunoscutArticolul 172
Din cartea Codul fiscal al Federației Ruse. Părțile unu și doi. Text cu modificări și completări începând cu 1 octombrie 2009 autor autor necunoscutArticolul 201. Procedura de aplicare a deducerilor fiscale