Care dintre perechile de drepte din plan sunt paralele. Drepte paralele în plan și în spațiu. Protecția informațiilor personale
![Care dintre perechile de drepte din plan sunt paralele. Drepte paralele în plan și în spațiu. Protecția informațiilor personale](https://i2.wp.com/zaochnik.com/uploads/2018/02/21/image002.png)
Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.
Colectarea și utilizarea informațiilor personale
Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.
Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.
Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.
Ce informații personale colectăm:
- Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.
Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:
- Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
- Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și mesaje importante.
- De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
- Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.
Dezvăluirea către terți
Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.
Excepții:
- În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
- În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.
Protecția informațiilor personale
Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.
Menținerea confidențialității la nivel de companie
Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.
Într-un plan, liniile se numesc paralele dacă nu au puncte comune, adică nu se intersectează. Pentru a indica paralelismul folosiți o pictogramă specială || (linii paralele a || b).
Pentru liniile care se află în spațiu, cerința că nu există puncte comune nu este suficientă - pentru ca acestea să fie paralele în spațiu, trebuie să aparțină aceluiași plan (altfel vor fi înclinate).
Nu trebuie să mergeți departe pentru exemple de linii paralele, ele ne însoțesc peste tot, în cameră sunt liniile de intersecție a peretelui cu tavanul și podeaua, pe foaia de caiet sunt margini opuse etc.
Este destul de evident că, având două linii paralele și o a treia linie paralelă cu una dintre primele două, va fi paralelă cu a doua.
Dreptele paralele din plan sunt legate printr-o afirmație care nu poate fi demonstrată folosind axiomele planimetriei. Se acceptă ca fapt, ca axiomă: pentru orice punct dintr-un plan care nu se află pe o dreaptă, există o singură dreaptă care trece prin el paralelă cu cea dată. Fiecare elev de clasa a șasea cunoaște această axiomă.
Generalizarea sa spațială, adică afirmația că pentru orice punct din spațiu care nu se află pe o dreaptă, există o dreaptă unică care trece prin ea paralelă cu cea dată, este ușor de demonstrat folosind axioma deja cunoscută a paralelismului în avion.
Proprietățile dreptelor paralele
- Dacă oricare dintre cele două linii paralele este paralelă cu a treia, atunci ele sunt reciproc paralele.
Liniile paralele au această proprietate atât în plan cât și în spațiu.
Ca exemplu, luați în considerare justificarea sa în stereometrie.
Fie dreptele b paralele cu dreapta a.
Cazul în care toate liniile se află în același plan va fi lăsat la planimetrie.
Să presupunem că a și b aparțin planului betta, iar gamma este planul căruia îi aparțin a și c (prin definiția paralelismului în spațiu, liniile trebuie să aparțină aceluiași plan).
Dacă presupunem că planurile betta și gamma sunt diferite și marchează un anumit punct B pe linia b din planul betta, atunci planul trasat prin punctul B și linia c trebuie să intersecteze planul betta în linie dreaptă (notăm ea b1).
Dacă linia rezultată b1 intersectează planul gamma, atunci, pe de o parte, punctul de intersecție ar trebui să se afle pe a, deoarece b1 aparține planului betta și, pe de altă parte, trebuie să aparțină și lui c, deoarece b1 aparține celui de-al treilea plan.
Dar dreptele paralele a și c nu trebuie să se intersecteze.
Astfel, dreapta b1 trebuie să aparțină planului betta și, în același timp, să nu aibă puncte comune cu a, prin urmare, conform axiomei paralelismului, coincide cu b.
Am obținut o dreaptă b1 care coincide cu dreapta b, care aparține aceluiași plan cu dreapta c și nu o intersectează, adică b și c sunt paralele
- Printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată paralelă cu dreapta dată poate trece doar o singură linie.
- Două drepte situate pe un plan perpendicular pe al treilea sunt paralele.
- Dacă una dintre cele două drepte paralele intersectează planul, a doua dreaptă intersectează același plan.
- Unghiurile interne corespondente și transversale formate prin intersecția a două linii paralele ale celei de-a treia sunt egale, suma celor interne unilaterale formate în acest caz este de 180 °.
Sunt adevărate și afirmațiile inverse, care pot fi luate ca semne de paralelism a două drepte.
Starea liniilor paralele
Proprietățile și semnele formulate mai sus sunt condițiile paralelismului dreptelor și pot fi dovedite prin metodele geometriei. Cu alte cuvinte, pentru a demonstra paralelismul a două drepte disponibile, este suficient să se demonstreze paralelismul lor cu cea de-a treia dreaptă sau egalitatea unghiurilor, indiferent dacă acestea sunt corespunzătoare sau transversale și așa mai departe.
Pentru demonstrație, ei folosesc în principal metoda „prin contradicție”, adică cu presupunerea că dreptele nu sunt paralele. Pe baza acestei presupuneri, se poate demonstra cu ușurință că, în acest caz, condițiile date sunt încălcate, de exemplu, unghiurile interne încrucișate se dovedesc a fi inegale, ceea ce demonstrează incorectitudinea ipotezei făcute.
Semne de paralelism a două drepte
Teorema 1. Dacă la intersecția a două drepte ale unei secante:
unghiurile situate în diagonală sunt egale sau
unghiurile corespunzătoare sunt egale sau
atunci suma unghiurilor unilaterale este 180°
liniile sunt paralele(Fig. 1).
Dovada. Ne restrângem la proba din cazul 1.
Să presupunem că la intersecția dreptelor a și b cu o secanta AB peste unghiurile situate sunt egale. De exemplu, ∠ 4 = ∠ 6. Să demonstrăm că a || b.
Să presupunem că liniile a și b nu sunt paralele. Apoi se intersectează la un punct M și, în consecință, unul dintre unghiurile 4 sau 6 va fi unghiul exterior al triunghiului ABM. Fie, pentru certitudine, ∠ 4 colțul exterior al triunghiului ABM și ∠ 6 cel interior. Din teorema unghiului exterior al unui triunghi rezultă că ∠ 4 este mai mare decât ∠ 6, iar aceasta contrazice condiția, ceea ce înseamnă că dreptele a și 6 nu se pot intersecta, deci sunt paralele.
Corolarul 1. Două drepte distincte într-un plan perpendicular pe aceeași dreaptă sunt paralele(Fig. 2).
Cometariu. Modul în care tocmai am demonstrat cazul 1 al teoremei 1 se numește metoda demonstrației prin contradicție sau reducere la absurd. Această metodă și-a primit prenumele deoarece la începutul raționamentului se face o presupunere care este opusă (opusă) a ceea ce se cere să fie demonstrat. Se numește reducere la absurd datorită faptului că, argumentând pe baza presupunerii făcute, ajungem la o concluzie absurdă (absurd). Primirea unei astfel de concluzii ne obligă să respingem presupunerea făcută la început și să o acceptăm pe cea care se cerea dovedită.
Sarcina 1. Construiți o dreaptă care trece printr-un punct dat M și paralelă cu o dreaptă dată a, care nu trece prin punctul M.
Soluţie. Desenăm o dreaptă p prin punctul M perpendicular pe dreapta a (Fig. 3).
Apoi trasăm o dreaptă b prin punctul M perpendicular pe dreapta p. Linia b este paralelă cu dreapta a conform corolarului teoremei 1.
Din problema luată în considerare rezultă o concluzie importantă:
Printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, se poate trage întotdeauna o dreaptă paralelă cu dreapta dată..
Proprietatea principală a dreptelor paralele este următoarea.
Axioma dreptelor paralele. Printr-un punct dat, care nu se află pe o dreaptă dată, există o singură linie paralelă cu dreapta dată.
Luați în considerare câteva proprietăți ale dreptelor paralele care decurg din această axiomă.
1) Dacă o dreaptă intersectează una dintre cele două drepte paralele, atunci ea o intersectează pe cealaltă (Fig. 4).
2) Dacă două linii diferite sunt paralele cu a treia linie, atunci ele sunt paralele (Fig. 5).
Următoarea teoremă este de asemenea adevărată.
Teorema 2. Dacă două drepte paralele sunt încrucișate de o secantă, atunci:
unghiurile culcate sunt egale;
unghiurile corespunzătoare sunt egale;
suma unghiurilor unilaterale este de 180°.
Consecința 2. Dacă o dreaptă este perpendiculară pe una dintre cele două drepte paralele, atunci este și perpendiculară pe cealaltă.(vezi Fig.2).
Cometariu. Teorema 2 se numește inversul teoremei 1. Concluzia teoremei 1 este condiția teoremei 2. Și condiția teoremei 1 este concluzia teoremei 2. Nu orice teoremă are o inversă, adică dacă o anumită teoremă este adevărată, atunci teorema inversă poate fi falsă.
Să explicăm acest lucru cu exemplul teoremei unghiurilor verticale. Această teoremă poate fi formulată după cum urmează: dacă două unghiuri sunt verticale, atunci ele sunt egale. Teorema inversă ar fi următoarea: dacă două unghiuri sunt egale, atunci ele sunt verticale. Și acest lucru, desigur, nu este adevărat. Două unghiuri egale nu trebuie să fie deloc verticale.
Exemplul 1 Două linii paralele sunt traversate de o a treia. Se știe că diferența dintre două unghiuri interne unilaterale este de 30°. Găsiți acele unghiuri.
Soluţie. Figura 6 îndeplinește condiția.
În acest articol, vom vorbi despre linii paralele, vom da definiții, vom desemna semnele și condițiile paralelismului. Pentru claritatea materialului teoretic, vom folosi ilustrații și soluția de exemple tipice.
Definiția 1Linii paralele în plan sunt două drepte în plan care nu au puncte comune.
Definiția 2
Linii paralele în spațiul 3D- două drepte în spațiu tridimensional care se află în același plan și nu au puncte comune.
Trebuie remarcat faptul că, pentru a determina drepte paralele în spațiu, clarificarea „în același plan” este extrem de importantă: două drepte în spațiul tridimensional care nu au puncte comune și nu se află în același plan nu sunt paralel, dar care se intersectează.
Pentru a desemna drepte paralele, este obișnuit să folosiți simbolul ∥ . Adică, dacă dreptele date a și b sunt paralele, această condiție trebuie scrisă pe scurt după cum urmează: a ‖ b . Verbal, paralelismul dreptelor este indicat astfel: liniile a și b sunt paralele, sau linia a este paralelă cu dreapta b, sau linia b este paralelă cu dreapta a.
Să formulăm o afirmație care joacă un rol important în tema studiată.
Axiomă
Printr-un punct care nu aparține unei drepte date, există doar o singură dreaptă paralelă cu dreapta dată. Această afirmație nu poate fi dovedită pe baza axiomelor cunoscute ale planimetriei.
În cazul când vine vorba de spațiu, teorema este adevărată:
Teorema 1
Prin orice punct din spațiu care nu aparține unei linii date, va exista doar o singură dreaptă paralelă cu cea dată.
Această teoremă este ușor de demonstrat pe baza axiomei de mai sus (program de geometrie pentru clasele 10-11).
Semnul paralelismului este o condiție suficientă în care sunt garantate liniile paralele. Cu alte cuvinte, îndeplinirea acestei condiții este suficientă pentru a confirma faptul paralelismului.
În special, există condiții necesare și suficiente pentru paralelismul liniilor în plan și în spațiu. Să explicăm: necesar înseamnă condiția a cărei îndeplinire este necesară pentru liniile paralele; dacă nu este satisfăcut, liniile nu sunt paralele.
Rezumând, o condiție necesară și suficientă pentru paralelismul liniilor este o astfel de condiție, a cărei respectare este necesară și suficientă pentru ca liniile să fie paralele între ele. Pe de o parte, acesta este un semn de paralelism, pe de altă parte, o proprietate inerentă liniilor paralele.
Înainte de a da o formulare precisă a condițiilor necesare și suficiente, amintim încă câteva concepte suplimentare.
Definiția 3
linie secanta este o dreaptă care intersectează fiecare dintre cele două drepte necoincidente date.
Intersectând două linii drepte, secantele formează opt unghiuri neexpandite. Pentru a formula condiția necesară și suficientă, vom folosi tipuri de unghiuri precum încrucișate, corespunzătoare și unilaterale. Să le demonstrăm în ilustrație:
Teorema 2
Dacă două drepte dintr-un plan intersectează o secantă, atunci pentru ca dreptele date să fie paralele este necesar și suficient ca unghiurile transversale să fie egale sau unghiurile corespunzătoare să fie egale sau suma unghiurilor unilaterale să fie egală cu 180 grade.
Să ilustrăm grafic condiția necesară și suficientă pentru drepte paralele pe plan:
Dovada acestor condiții este prezentă în programul de geometrie pentru clasele 7-9.
În general, aceste condiții sunt aplicabile și pentru spațiul tridimensional, cu condiția ca cele două drepte și secanta să aparțină aceluiași plan.
Să mai subliniem câteva teoreme care sunt adesea folosite pentru a demonstra faptul că dreptele sunt paralele.
Teorema 3
Într-un plan, două drepte paralele cu o a treia sunt paralele între ele. Această caracteristică este dovedită pe baza axiomei paralelismului menționată mai sus.
Teorema 4
În spațiul tridimensional, două linii paralele cu o a treia sunt paralele între ele.
Dovada atributului este studiată în cadrul programului de geometrie de clasa a X-a.
Oferim o ilustrare a acestor teoreme:
Să mai indicăm o pereche de teoreme care dovedesc paralelismul dreptelor.
Teorema 5
Într-un plan, două drepte perpendiculare pe o a treia sunt paralele între ele.
Să formulăm unul similar pentru un spațiu tridimensional.
Teorema 6
În spațiul tridimensional, două linii perpendiculare pe o treime sunt paralele între ele.
Să ilustrăm:
Toate teoremele, semnele și condițiile de mai sus fac posibilă demonstrarea comodă a paralelismului dreptelor prin metodele geometriei. Adică, pentru a demonstra paralelismul dreptelor, se poate arăta că unghiurile corespunzătoare sunt egale sau se poate demonstra faptul că două drepte date sunt perpendiculare pe a treia și așa mai departe. Dar observăm că de multe ori este mai convenabil să folosiți metoda coordonatelor pentru a demonstra paralelismul dreptelor într-un plan sau în spațiul tridimensional.
Paralelismul dreptelor într-un sistem de coordonate dreptunghiular
Într-un sistem de coordonate dreptunghiular dat, o linie dreaptă este determinată de ecuația unei drepte pe un plan de unul dintre tipurile posibile. În mod similar, o linie dreaptă dată într-un sistem de coordonate dreptunghiular în spațiu tridimensional corespunde unor ecuații ale unei linii drepte în spațiu.
Să scriem condițiile necesare și suficiente pentru paralelismul dreptelor într-un sistem de coordonate dreptunghiular, în funcție de tipul de ecuație care descrie liniile date.
Să începem cu condiția dreptelor paralele în plan. Se bazează pe definițiile vectorului de direcție al dreptei și al vectorului normal al dreptei în plan.
Teorema 7
Pentru ca două drepte necoincidente să fie paralele pe un plan, este necesar și suficient ca vectorii de direcție ai dreptelor date să fie coliniari sau vectorii normali ai dreptelor date să fie coliniari sau vectorul direcției unei drepte să fie perpendicular pe vectorul normal al celeilalte linii.
Devine evident că condiția dreptelor paralele pe plan se bazează pe condiția vectorilor coliniari sau condiția perpendicularității a doi vectori. Adică dacă a → = (a x , a y) și b → = (b x , b y) sunt vectorii de direcție ai dreptelor a și b ;
și n b → = (n b x , n b y) sunt vectori normali ai dreptelor a și b , atunci scriem condiția necesară și suficientă de mai sus astfel: a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y sau n a → = t n b → ⇔ n a x = t n b x n a y = t n b y sau a → , n b → = 0 ⇔ a x n b x + a y n b y = 0 , unde t este un număr real. Coordonatele vectorilor direcți sau direcți sunt determinate de ecuațiile date ale dreptelor. Să luăm în considerare principalele exemple.
- Linia a într-un sistem de coordonate dreptunghiular este determinată de ecuația generală a dreptei: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; linia b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Atunci vectorii normali ai dreptelor date vor avea coordonatele (A 1 , B 1) și respectiv (A 2 , B 2). Scriem condiția paralelismului după cum urmează:
A 1 = t A 2 B 1 = t B 2
- Linia dreaptă a este descrisă de ecuația unei drepte cu panta de forma y = k 1 x + b 1 . Linie dreaptă b - y \u003d k 2 x + b 2. Atunci vectorii normali ai dreptelor date vor avea coordonatele (k 1 , - 1) și respectiv (k 2 , - 1), și scriem condiția de paralelism după cum urmează:
k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2
Astfel, dacă liniile paralele pe un plan dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular sunt date de ecuații cu coeficienți de pantă, atunci coeficienții de pantă ai dreptelor date vor fi egali. Și afirmația inversă este adevărată: dacă liniile necoincidente pe un plan dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular sunt determinate de ecuațiile unei linii cu aceiași coeficienți de pantă, atunci aceste drepte date sunt paralele.
- Dreptele a și b într-un sistem de coordonate dreptunghiular sunt date de ecuațiile canonice ale dreptei pe plan: x - x 1 a x = y - y 1 a y și x - x 2 b x = y - y 2 b y sau ecuațiile parametrice a dreptei pe plan: x = x 1 + λ a x y = y 1 + λ a y și x = x 2 + λ b x y = y 2 + λ b y .
Atunci vectorii de direcție ai dreptelor date vor fi: a x , a y și respectiv b x , b y și vom scrie condiția de paralelism astfel:
a x = t b x a y = t b y
Să ne uităm la exemple.
Exemplul 1
Date două drepte: 2 x - 3 y + 1 = 0 și x 1 2 + y 5 = 1 . Trebuie să determinați dacă sunt paralele.
Soluţie
Scriem ecuația unei drepte în segmente sub forma unei ecuații generale:
x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0
Vedem că n a → = (2 , - 3) este vectorul normal al dreptei 2 x - 3 y + 1 = 0 , iar n b → = 2 , 1 5 este vectorul normal al dreptei x 1 2 + y 5 = 1 .
Vectorii rezultați nu sunt coliniari, deoarece nu există o astfel de valoare a lui t pentru care egalitatea să fie adevărată:
2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5
Astfel, condiția necesară și suficientă a paralelismului dreptelor pe plan nu este îndeplinită, ceea ce înseamnă că dreptele date nu sunt paralele.
Răspuns: liniile date nu sunt paralele.
Exemplul 2
Datele drepte y = 2 x + 1 și x 1 = y - 4 2 . Sunt paralele?
Soluţie
Să transformăm ecuația canonică a dreptei x 1 \u003d y - 4 2 în ecuația unei linii drepte cu pantă:
x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4
Vedem că ecuațiile dreptelor y = 2 x + 1 și y = 2 x + 4 nu sunt aceleași (dacă ar fi altfel, liniile ar fi aceleași) și pantele dreptelor sunt egale, ceea ce înseamnă că liniile date sunt paralele.
Să încercăm să rezolvăm problema altfel. În primul rând, verificăm dacă liniile date coincid. Folosim orice punct al liniei y \u003d 2 x + 1, de exemplu, (0, 1) , coordonatele acestui punct nu corespund ecuației liniei x 1 \u003d y - 4 2, ceea ce înseamnă că liniile nu coincid.
Următorul pas este de a determina îndeplinirea condiției de paralelism pentru liniile date.
Vectorul normal al dreptei y = 2 x + 1 este vectorul n a → = (2 , - 1) , iar vectorul direcție al celei de-a doua linii date este b → = (1 , 2) . Produsul scalar al acestor vectori este zero:
n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0
Astfel, vectorii sunt perpendiculari: aceasta ne demonstrează îndeplinirea condiției necesare și suficiente pentru ca dreptele inițiale să fie paralele. Acestea. liniile date sunt paralele.
Răspuns: aceste linii sunt paralele.
Pentru a demonstra paralelismul liniilor într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional, se utilizează următoarea condiție necesară și suficientă.
Teorema 8
Pentru ca două linii necoincidente din spațiul tridimensional să fie paralele, este necesar și suficient ca vectorii de direcție ai acestor linii să fie coliniari.
Acestea. pentru ecuațiile date de drepte din spațiul tridimensional, răspunsul la întrebarea: sunt paralele sau nu, se găsește prin determinarea coordonatelor vectorilor de direcție ai dreptelor date, precum și prin verificarea stării de coliniaritate a acestora. Cu alte cuvinte, dacă a → = (a x, a y, a z) și b → = (b x, b y, b z) sunt vectorii de direcție ai dreptelor a și, respectiv, b, atunci pentru ca aceștia să fie paraleli, existența a unui astfel de număr real t este necesar, astfel încât egalitatea să fie valabilă:
a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z
Exemplul 3
Drepte date x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 și x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ . Este necesar să se demonstreze paralelismul acestor drepte.
Soluţie
Condițiile problemei sunt ecuațiile canonice ale unei drepte în spațiu și ecuațiile parametrice ale altei drepte în spațiu. Vectori de direcție a → și b → liniile date au coordonatele: (1 , 0 , - 3) și (2 , 0 , - 6) .
1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t - 6 ⇔ t = 1 2 , atunci a → = 1 2 b → .
Prin urmare, condiția necesară și suficientă pentru linii paralele în spațiu este îndeplinită.
Răspuns: se demonstrează paralelismul dreptelor date.
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Nu se intersectează, indiferent cât de mult vor continua. Paralelismul liniilor în scris este indicat după cum urmează: AB|| DINE
Posibilitatea existenței unor astfel de linii este dovedită printr-o teoremă.
Teorema.
Prin orice punct luat în afara unei linii date, se poate trage o paralelă cu această dreaptă..
Lăsa AB această linie și DIN un punct luat în afara lui. Se cere să se demonstreze că DIN poți trage o linie dreaptă paralelAB. Să trecem mai departe AB dintr-un punct DIN perpendicularDINDși atunci vom face DINE^ DIND, ce este posibil. Drept CE paralel AB.
Pentru demonstrație, presupunem contrariul, adică că CE se intersectează AB la un moment dat M. Apoi de la punct M la o linie dreaptă DIND am avea două perpendiculare diferite MDși DOMNIȘOARĂ, ceea ce este imposibil. Mijloace, CE nu se poate intersecta cu AB, adică DINE paralel AB.
Consecinţă.
Două perpendiculare (CEșiD.B.) la o linie dreaptă (СD) sunt paralele.
Axioma dreptelor paralele.
Prin același punct este imposibil să se deseneze două linii diferite paralele cu aceeași linie.
Deci, dacă o linie dreaptă DIND, tras prin punct DIN paralel cu o linie dreaptă AB, apoi orice altă linie DINE prin acelasi punct DIN, nu poate fi paralel AB, adică continuă ea se intersectează Cu AB.
Dovada acestui adevăr nu tocmai evident se dovedește a fi imposibilă. Este acceptată fără dovezi ca o presupunere necesară (postulatum).
Consecințe.
1. Dacă Drept(DINE) se intersectează cu una dintre paralel(SW), apoi se intersectează cu celălalt ( AB), pentru că altfel prin același punct DIN două linii drepte diferite, paralele AB, ceea ce este imposibil.
2. Dacă fiecare dintre cele două direct (AșiB) sunt paralele cu aceeași a treia linie ( DIN) , atunci ei sunt paraleleîntre ei.
Într-adevăr, dacă presupunem că Ași B se intersectează la un moment dat M, apoi două drepte diferite, paralele între ele, ar trece prin acest punct. DIN, ceea ce este imposibil.
Teorema.
În cazul în care un linia dreaptă este perpendiculară pe una dintre drepte paralele, atunci este perpendicular pe cealaltă paralel.
Lăsa AB || DINDși EF ^ AB.Se cere să se demonstreze că EF ^ DIND.
PerpendicularEF, intersectându-se cu AB, cu siguranță se va intersecta și DIND. Fie punctul de intersecție H.
Să presupunem că acum DIND nu perpendicular pe EH. Apoi o altă linie, de exemplu HK, va fi perpendicular pe EHși deci prin același punct H Două drept paralel AB: unu DIND, după condiție, iar cealaltă HK asa cum sa dovedit inainte. Deoarece acest lucru este imposibil, nu se poate presupune că SW nu era perpendicular pe EH.