Determinarea vitezei unui punct figura într-o mișcare plană. Determinarea vitezei oricărui punct al unei figuri plane. Mișcare complexă a punctului
![Determinarea vitezei unui punct figura într-o mișcare plană. Determinarea vitezei oricărui punct al unei figuri plane. Mișcare complexă a punctului](https://i2.wp.com/konspekta.net/studopedianet/baza3/248953001541.files/image295.gif)
Viteza punctului arbitrar M cifrele sunt definite ca suma vitezelor pe care le primește punctul în timpul mișcării de translație împreună cu polul și mișcarea de rotație în jurul polului.
Imaginează-ți poziția punctului M ca (fig.1.6).
Diferențiând această expresie în funcție de timp, obținem:
, deoarece
.
În același timp, viteza v MA. care punct M obţinut prin rotirea figurii în jurul stâlpului DAR, se va determina din expresia
v MA=ω · MA,
Unde ω este viteza unghiulară a figurii plate.
Orice viteza punctuala M figura plată este compusă geometric din viteza unui punct DAR, luat ca stâlp, iar viteza, puncte M când figura se rotește în jurul stâlpului. Modulul și direcția vitezei acestei viteze se găsesc prin construirea unui paralelogram al vitezelor.
Sarcina 1
Determinați viteza punctului DAR, dacă viteza centrului rolei este de 5m/s, viteza unghiulară a rolei . Raza rolei r=0,2m, colt . Patinoarul se rostogolește fără să alunece.
Deoarece corpul face o mișcare plan-paralelă, viteza punctului DAR va consta din viteza polului (punctul DIN) si viteza obtinuta de punct DAR când se rotește în jurul stâlpului DIN.
,
Răspuns:
Teoremă privind proiecțiile vitezelor a două puncte ale unui corp care se mișcă în mod plan-paralel
Luați în considerare câteva puncte DARși LA figură plată. Luând un punct DAR pe stâlp (Fig. 1.7), obținem
Prin urmare, proiectarea ambelor părți ale egalității pe axa direcționată de-a lungul AB, și având în vedere că vectorul este perpendicular AB, găsim
v B· cosβ=v A· cosα+ v în A· cos90°.
deoarece v În A· cos90°=0 obţinem: proiecţiile vitezelor a două puncte ale unui corp rigid pe axa care trece prin aceste puncte sunt egale.
Sarcina 1
Nucleu AB alunecă pe un perete neted și o podea netedă, viteza punctului A V A \u003d 5m / s, unghiul dintre podea și tijă AB egală 30 0 . Determinați viteza punctului LA.
Determinarea vitezelor punctelor unei figuri plane folosind centrul de viteze instantaneu
Când se determină vitezele punctelor unei figuri plate prin viteza polului, viteza polului și viteza mișcării de rotație în jurul polului pot fi egale ca mărime și opuse ca direcție și există un astfel de punct P, viteza a carui la un moment dat de timp este egala cu zero , numiți-l centrul instantaneu al vitezelor.
Centru de viteze instantanee Se numește un punct asociat cu o figură plată, a cărui viteză la un moment dat este zero.
Vitezele punctelor unei figuri plate sunt determinate la un moment dat de timp ca și cum mișcarea figurii ar fi instantaneu de rotație în jurul unei axe care trece prin centrul instantaneu al vitezelor (Fig. 1.8).
v A=ω · PA; ().
pentru că v B=ω · PB; (), apoi w=v B/PB=v A/PA
Vitezele punctelor unei figuri plate sunt proporționale cu cele mai scurte distanțe de la aceste puncte până la centrul instantaneu al vitezelor.
Rezultatele obtinute conduc la urmatoarele concluzii:
1) pentru a determina poziția centrului instantaneu de viteze, este necesar să se cunoască mărimea și direcția vitezei și direcția vitezei oricăror două puncte DARși LA figură plată; centrul de viteză instantaneu P este în punctul de intersecție al perpendicularelor construite din puncte DARși LA la vitezele acestor puncte;
2) viteza unghiulara ω figura plană la un moment dat este egală cu raportul dintre viteză și distanța de la ea la centrul instantaneu R viteze: ω =v A/PA;
3) Viteza unui punct în raport cu centrul instantaneu al vitezelor P va indica direcția vitezei unghiulare w.
4) Viteza unui punct este direct proporțională cu cea mai scurtă distanță de la punct LA la centrul de viteză instantaneu R v A \u003d ω BP
Sarcina 1
Manivelă OA lungime 0,2 m se rotește uniform cu viteza unghiulară ω=8 rad/s. La biela AB la punct DIN biela articulată CD. Pentru o poziție dată a mecanismului, determinați viteza punctului D glisor dacă unghiul .
Mișcarea punctului LA limitat de ghidajele orizontale, glisorul se poate deplasa înainte numai de-a lungul ghidajelor orizontale. Viteza punctului LAîndreptată în aceeaşi direcţie ca . Deoarece două puncte ale bielei au aceeași direcție a vitezelor, corpul efectuează o mișcare de translație instantanee, iar vitezele tuturor punctelor bielei au aceeași direcție și valoare.
MIȘCAREA PLANA A UNUI CORPS RIGID
Întrebări de studiu:
1. Ecuațiile mișcării plane a unui corp rigid.
2. Viteza punctelor unei figuri plate
3. Centru de viteze instantanee
4. Accelerațiile punctelor unei figuri plane
1. Ecuațiile mișcării plane a unui corp rigid
Mișcarea plană a unui corp rigidnumiți-omișcare în care toate punctele secțiunii corpului se mișcă în propriul plan.
Lăsați solidul 1 face o mișcare plată.
Secantă avion
în corp 1
formează o secțiune П, care se deplasează în planul de tăiere
.
Dacă este paralel cu planul efectuați alte secțiuni ale corpului, de exemplu prin puncte
etc. situate pe aceeași perpendiculară pe secțiuni, atunci toate aceste puncte și toate secțiunile corpului se vor mișca în același mod.
În consecință, mișcarea corpului în acest caz este complet determinată de mișcarea uneia dintre secțiunile sale în oricare dintre planurile paralele, iar poziția secțiunii este determinată de poziția a două puncte ale acestei secțiuni, de exemplu DARși LA.
Poziția secțiunii P in avion Ohu determina pozitia segmentului AB, efectuate în această secțiune. Poziția a două puncte pe un plan DAR()
și LA(
)
caracterizat prin patru parametri (coordonate), cărora li se impune o restricție - ecuația de comunicare sub forma lungimii segmentului AB:
Prin urmare, poziția secțiunii P în plan poate fi stabilită trei parametri independenți - coordonate
puncteDAR
și unghi
,
care formează un segment AB cu ax Oh. Punct DAR, ales pentru a determina pozitia sectiunii P, numita STÂLP.
Când secțiunea corpului se mișcă, parametrii săi cinematici sunt funcții de timp
Ecuațiile sunt ecuații cinematice ale mișcării plane (plan-paralele) a unui corp rigid. Acum vom arăta că, în conformitate cu ecuațiile obținute, corpul aflat în mișcare plană realizează mișcări de translație și rotație. Lasă în fig. secţiunea unui corp dată de un segment
în sistemul de coordonate Ohu mutat din poziția inițială 1
pana in pozitia finala 2.
Să arătăm două moduri de posibilă deplasare a corpului din poziție 1 la pozitia 2.
Prima cale. Să luăm un punct drept stâlp .Mutarea segmentului
paralel cu el însuși, adică progresiv, de-a lungul traiectoriei
,
înainte de potrivirea punctelor
și
. Obținerea poziției segmentului
.
in colt
și obținem poziția finală a figurii plate, dată de segment
.
A doua cale. Să luăm un punct drept stâlp . Mutarea segmentului
paralel cu el însuși, adică progresiv de-a lungul traiectoriei
înainte de potrivirea punctelor
și
.Obţinem poziţia segmentului
.
Apoi, rotiți acest segment în jurul stâlpului
pe
colţ
și obținem poziția finală a figurii plate, dată de segment
.
Să facem următoarele concluzii.
1. Mișcarea plană, în deplină conformitate cu ecuațiile, este o combinație de mișcări de translație și rotație, iar modelul mișcării plane a unui corp poate fi considerat ca o mișcare de translație a tuturor punctelor corpului împreună cu polul și rotația lui. corpul relativ la pol.
2. Traiectoriile mișcării de translație a corpului depind de alegerea polului
.
Pe fig. 13.3 în cazul considerat, vedem că în prima metodă de mișcare, când un punct a fost luat drept stâlp , traiectorie de translație
semnificativ diferită de traiectorie
pentru celălalt pol LA.
3. Rotația corpului nu depinde de alegerea stâlpului. Colţ
rotația corpului rămâne constantă în modul și sensul de rotație
. În ambele cazuri, considerate în fig. 13.3, rotația a fost în sens invers acelor de ceasornic.
Principalele caracteristici ale corpului în mișcare plană sunt: traiectoria polului, unghiul de rotație al corpului în jurul polului, viteza și accelerația polului, viteza unghiulară și accelerația unghiulară a corpului. Axe suplimentare
în mişcare de translaţie se mişcă cu polul DAR paralel cu axele principale Ohu de-a lungul traseului stâlpului.
Viteza polului unei figuri plate poate fi determinată folosind derivatele în timp ale ecuațiilor:
În mod similar, se determină caracteristicile unghiulare ale corpului: viteza unghiulară ;
accelerație unghiulară
.
Pe fig. la stâlp DAR sunt prezentate proiecțiile vectorului viteză pe osie Ooh, ooh Unghiul de rotație al corpului
, viteză unghiulară
și accelerația unghiulară
arătate de săgeți arc în jurul punctului DAR. Datorită independenței caracteristicilor de rotație ale mișcării de alegerea stâlpului, caracteristicile unghiulare
,
,
poate fi afișat în orice punct al unei figuri plate cu săgeți arc, de exemplu, în punctul B.
Cursul 3. Mișcarea plan-paralelă a unui corp rigid. Determinarea vitezelor și accelerațiilor.
Această prelegere acoperă următoarele întrebări:
1. Mișcarea plan-paralelă a unui corp rigid.
2. Ecuațiile mișcării plan-paralel.
3. Descompunerea mișcării în translație și rotație.
4. Determinarea vitezelor punctelor unei figuri plane.
5. Teorema privind proiecțiile vitezelor a două puncte ale corpului.
6. Determinarea vitezelor punctelor unei figuri plane folosind centrul de viteze instantaneu.
7. Rezolvarea problemelor pentru determinarea vitezei.
8. Plan de viteză.
9. Determinarea accelerațiilor punctelor unei figuri plane.
10. Rezolvarea problemelor de accelerare.
11. Centru de accelerație instantaneu.
Studierea acestor probleme este necesară în viitor pentru dinamica unei mișcări plane a unui corp rigid, dinamica mișcării relative a unui punct material, pentru rezolvarea problemelor la disciplinele „Teoria mașinilor și mecanismelor” și „Piese de mașini”. ".
Mișcarea plan-paralelă a unui corp rigid. Ecuațiile mișcării plan-paralel.
Descompunerea mișcării în translație și rotație
Plan-paralel (sau plat) este o astfel de mișcare a unui corp rigid, la care toate punctele sale se mișcă paralel cu un plan fix P(Fig. 28). Mișcarea plană este efectuată de multe părți ale mecanismelor și mașinilor, de exemplu, o roată de rulare pe o secțiune dreaptă a căii, o biela într-un mecanism manivelă-glisor etc. Un caz particular de mișcare plan-paralelă este mișcarea de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe fixe.
Fig.28 Fig.29
Luați în considerare secțiunea S corpuri ale unui plan Oxy, paralel cu planul P(fig.29). Cu mișcare plan-paralelă, toate punctele corpului situate pe o linie dreaptă MM’ perpendicular pe curgere S, adică avioane P, mișcă-te identic.
Prin urmare, concluzionăm că pentru a studia mișcarea întregului corp, este suficient să studiem modul în care acesta se mișcă în plan. Ohu secțiune S acest corp sau vreo figură plană S. Prin urmare, în viitor, în loc de mișcarea plană a corpului, vom lua în considerare mișcarea unei figuri plane Sîn planul său, adică in avion Ohu.
Poziția figurii S in avion Ohu este determinată de poziţia unui segment desenat pe această figură AB(Fig. 28). La rândul său, poziția segmentului AB poate fi determinat prin cunoaşterea coordonatelor X A și y A puncte DARși unghiul care este segmentul AB forme cu axa X. Punct DAR selectat pentru a determina poziția figurii S, se va numi de acum înainte un pol.
La mutarea unei figuri de mărime X A și y A și se va schimba. Să cunoască legea mișcării, adică poziția figurii în plan Ohuîn orice moment, trebuie să cunoașteți dependențele
Ecuațiile care determină legea mișcării în curs se numesc ecuații de mișcare a unei figuri plate în planul său. Ele sunt, de asemenea, ecuații ale mișcării plan-paralele a unui corp rigid.
Primele două dintre ecuațiile de mișcare definesc mișcarea pe care figura ar face-o dacă =const; aceasta va fi evident o mișcare de translație, în care toate punctele figurii se mișcă în același mod ca și polul DAR. A treia ecuație determină mișcarea pe care figura ar face-o la și , i.e. când stâlpul DAR nemişcat; aceasta va fi rotirea figurii în jurul stâlpului DAR. De aici putem concluziona că, în cazul general, mișcarea unei figuri plate în planul ei poate fi considerată ca o sumă a mișcării de translație, în care toate punctele figurii se mișcă în același mod ca și polul. DAR, și dintr-o mișcare de rotație în jurul acelui pol.
Principalele caracteristici cinematice ale mișcării luate în considerare sunt viteza și accelerația mișcării de translație, egale cu viteza și accelerația polului, precum și viteza unghiulară și accelerația unghiulară a mișcării de rotație în jurul polului.
Determinarea vitezelor punctelor unei figuri plane
S-a remarcat că mișcarea unei figuri plate poate fi considerată ca o sumă a mișcării de translație, în care toate punctele figurii se mișcă cu viteza polului. DAR, și dintr-o mișcare de rotație în jurul acelui pol. Să arătăm că viteza oricărui punct M figurile sunt formate geometric din vitezele pe care le primește punctul în fiecare dintre aceste mișcări.
Într-adevăr, poziția oricărui punct M figurile sunt definite în raport cu axele Ohu vector rază (Fig. 30), unde este vectorul rază a polului DAR, - vector care definește poziția punctului M despre topoare care se deplasează cu stâlpul DAR translațional (mișcarea figurii în raport cu aceste axe este o rotație în jurul stâlpului DAR). Apoi
Amintiți-vă că mișcarea unei figuri plate poate fi considerată ca o sumă a mișcării de translație împreună cu polul și mișcarea de rotație în jurul polului.
Conform cu aceasta viteza unui punct arbitrar M al unei figuri plane este din punct de vedere geometric suma vitezei unui punct A, luată ca pol, și viteza pe care o primește punctul M atunci când figura se rotește în jurul acestui pol, adică
În același timp, viteza VMA definită ca viteza unui punct M când un corp se rotește în jurul unei axe fixe care trece printr-un punct DAR perpendicular pe planul de mișcare (vezi § 7.2), adică.
Astfel, dacă se cunoaşte viteza stâlpului VA iar viteza unghiulară a corpului w, atunci
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/356.png)
viteza oricărui punct M a corpului se determină în conformitate cu egalitatea (8.2), diagonala paralelgramului construit pe vectori VAși VMA, ca pe laterale (Fig. 8.3), și modulul de viteză V M calculate prin formula
unde y este unghiul dintre vectori VAși VMA
Problema 8.1. Roata se rostogolește pe o suprafață fixă fără alunecare (Fig. 8.4, A). Găsiți puncte de viteză La și D roți dacă viteza este cunoscută Vc roată C centrală, rază R roți, distanță COP = b și unghiul a.
Soluţie. 1. Mișcarea roții luate în considerare este plan-paralelă. Luând punctul C ca pol (deoarece viteza lui este cunoscută), în conformitate cu egalitatea generală (8.2), pentru punctul La putem scrie
Cu toate acestea, nu există nicio modalitate de a determina valoarea V KC , deoarece viteza unghiulară este necunoscută.
Pentru a determina w, luați în considerare viteza altui punct, și anume punctul R atingerea roții pe o suprafață fixă (Fig. 8.4, b). Pentru acest punct, putem scrie egalitatea
caracteristica punctului R este faptul că în acest moment Vp - 0, deoarece roata se rostogolește fără să alunece. Atunci egalitatea (b) ia forma
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/360.png)
de unde ajungem
De aici rezultă: 1) vectori viteză V PCși Vc trebuie îndreptat în direcții opuse; 2) din egalitatea modulelor V PC - V c primim uPC = V c , de aici găsim w = Vc /PC = Vc /R. Conform direcției vectoriale V PC determinați direcția săgeții arcului w și afișați-o în desen (Fig. 8.4, b).
Acum revenim la definiție V K prin egalitate (a). Găsim
Vks \u003d despre KS - V ^ b / R. Cunoscând direcția vitezei unghiulare ω, înfățișăm vectorul V KC perpendicular pe segment KSși se realizează construcția unui paralelogram pe vectori Vcși V KC(Fig. 8.4, în).Întrucât în acest caz Vcși V KC reciproc perpendiculare, găsim în sfârșit
2. Viteza punctului D pe janta, determinăm din egalitate V D = V C + V DC . Din moment ce numeric VDC - co R - V c , apoi paralelogramul construit pe vectori Vcși VDC, va fi un romb. Unghiul dintre Vcși VDC este egal cu 2a. După ce am definit V D ca lungime a diagonalei corespunzătoare a rombului, obținem
Teorema privind proiecțiile vitezelor a două puncte ale unui corp rigid
Conform egalității (8.2) pentru două_ puncte arbitrare DARși LA corp rigid egalitatea V B \u003d V A + V B A,în conformitate cu care executăm construcția prezentată în Fig. 8.5. Proiectând această egalitate pe axă Az, este recomandat pentru A B primim Minte + VBAz. Având în vedere că vectorul VBA perpendicular pe linie
A B găsi
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/366.png)
Acest rezultat exprimă teorema: proiecțiile vitezelor a două puncte ale unui corp rigid pe axa care trece prin aceste puncte sunt egale între ele.
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/367.png)
Observăm că egalitatea (8.5) reflectă matematic faptul că corpul este considerat ca fiind absolut rigid și distanța dintre puncte DARși LA nu se schimba. De aceea egalitatea (8,5) este satisfăcută nu numai pentru plan-paralel, ci și pentru orice mișcare a unui corp rigid.
Problema 8.2. Târâtoare DARși LA, conectate printr-o tijă cu balamale la capete, acestea sunt deplasate de-a lungul unor ghidaje reciproc perpendiculare în planul desenului (Fig. 8.6, A). Determinați la un unghi dat a viteza unui punct LA, dacă viteza este cunoscută V A .
Soluţie. Să desenăm axa x prin puncte DARși LA. Cunoscând direcția VA,
găsiți proiecția acestui vector pe linie AB: V Ax - V A cos a (în Fig. 8.6, b aceasta va fi o tăietură Ah). Mai departe desenul din punct LA amâna Bb - Aa(deoarece segmentul Ah situat pe axa x la dreapta punctului DAR, apoi segmentul Bb pus deoparte din punct LA pe axa x la dreapta). Învierea la punct b perpendicular pe o dreaptă AB, găsiți punctul final al vectorului V B .
Conform teoremei proiecției VA cos a = K^cosp. De aici (ținând cont că Р = 90 ° - a) obținem în sfârșit V B = VA cos a/cos(90° - a) sau V B = = VA ctg a.
Determinarea vitezelor punctuale folosind centrul de viteze instantaneu
Pentru a determina vitezele punctelor unei figuri plane, alegem orice punct ca pol R. Apoi, conform formulei
(8.2), viteza unui punct arbitrar M este definită ca suma a doi vectori:
Dacă viteza stâlpului R la un moment dat a fost egal cu zero, atunci partea dreaptă a acestei egalități ar fi reprezentată de un singur termen La MR iar viteza oricărui punct ar fi definită ca viteza unui punct M corpul în timp ce se rotește în jurul unui stâlp fix R.
Prin urmare, dacă alegem punctul ca pol R, a cărui viteză este zero la un moment dat, atunci modulele vitezelor tuturor punctelor din figură vor fi proporționale cu distanța lor față de polul P, iar direcțiile vectorilor viteză ai tuturor punctelor vor fi perpendiculare pe liniile drepte care leagă punctul în cauză și polul P. Desigur, calculul prin formulele (8.6) este mult mai simplu decât calculul prin formula generală (8.2).
Punctul unei figuri plate, a cărei viteză la un moment dat este zero, se numește centrul instantaneu al vitezelor (MCS). Este ușor de verificat că dacă figura se mișcă netranslațional, atunci un astfel de punct există în fiecare moment de timp și, în plus, este unic. Rețineți că centrul instantaneu al vitezelor poate fi localizat atât pe figură în sine, cât și pe continuarea sa mentală.
Luați în considerare modalități de a determina poziția centrului instantaneu de viteze.
1. Lăsați pe moment tjum al unei figuri plane, viteza ei unghiulară ω și viteza VA oricare dintre punctele sale DAR(Fig. 8.7, A). Apoi alegerea unui punct DAR ca pol,_viteza_punctului pe care îl căutăm R poate fi determinat prin formula Vp = VA + VpA -
Problema este să găsești un astfel de punct R, in care V P=0, deci pentru ea V A + U RL=0 și deci Y RA \u003d -Y A. Prin urmare, pentru idee R viteză La RA care punct R obţinut prin rotirea figurii în jurul stâlpului DAR, si viteza A stâlpi DAR egal în modul (Y RA = Y A) sau despre ZAR = U Ași opus în direcție. În plus, punctul R trebuie să fie perpendicular pe vector La A. Determinarea poziţiei unui punct R se efectuează astfel: din punct DAR(Fig. 8.7, b) stabiliți o perpendiculară pe vector Ași puneți o distanță pe ea AR = Y A/co de cealaltă parte a punctului DAR, unde vectorul va „arata” LaȘi, dacă este rotit cu 90 ° în direcția săgeții arcului co.
Centrul instantaneu de viteze este singurul punct de pe o figură plană a cărui viteză la un moment dat este zero.
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/370.png)
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/371.png)
Într-un alt moment de timp, centrul instantaneu de viteze poate fi deja un alt punct al figurii plane.
2. Fie cunoscute direcțiile vitezelor VAși în(Fig. 8.8, A) două puncte DARși LA figura plană (mai mult, vectorii viteză ai acestor puncte nu sunt paraleli), sau se cunosc deplasările elementare ale acestor puncte. Centrul instantaneu de viteze va fi situat în punctul de intersecție al perpendicularelor ridicate din punctele A și B la vitezele acestor puncte (sau la deplasările elementare ale punctelor). O astfel de construcție este prezentată în Fig. 8.8, b. Se bazează pe faptul că pentru orice puncte A și B cifre prevederi aplicabile (8.6):
Din aceste egalităţi rezultă că
Cunoscând poziția MCC și viteza unghiulară a corpului, aplicând formulele (8.6), este ușor de determinat viteza oricărui punct al acestui corp. De exemplu, pentru un punct La(vezi fig. 8.8, b) viteza modulului V K = coKP, vector si tuîndreptată perpendicular pe o dreaptă KRîn conformitate cu
direcția săgeții arcului y.
Prin urmare, vitezele punctelor unei figuri plate sunt determinate la un moment dat de timp ca și cum această cifră s-ar roti în jurul centrului instantaneu al vitezelor.
3. Dacă viteza indică DARși LA figurile plane sunt paralele între ele, apoi sunt posibile trei opțiuni, care sunt prezentate în Fig. 8.9. Pentru cazurile în care direct AB perpendicular pe vectori VAși V B(Fig. 8.9, a, b) construcţiile se bazează pe proporţia (8.7).
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/374.png)
Dacă viteza punctelor Lee V paralel și drept AB_nt perpendicular VDAR(Fig. 8.9, în), apoi perpendicularele la U Ași V B sunt paralele și centrul instantaneu al vitezelor este la infinit (AP= oo); viteza unghiulara de rotatie a figurii w = VJAP=VA/cc= 0. În acest caz, vitezele tuturor punctelor figurii la un moment dat de timp sunt egale între ele, adică figura are o distribuție a vitezelor ca în mișcarea de translație. Această stare de mișcare se numește progresiv progresiv. Rețineți că în această stare, accelerațiile tuturor punctelor corpului nu vor fi aceleași.
4. Dacă mișcarea plană a corpului se realizează prin rulare fără alunecare pe o suprafață fixă (Fig. 8.10), atunci punctul de contact R va fi centrul instantaneu al vitezelor (vezi problema 8.1).
Problema 8.3. Mecanismul plat este format din 7 tije, 2, 3, 4 si crawler LA(Fig. 8.11), legate între ele și cu suporturi fixe 0 { și 0 2 balamale; punct D este în mijlocul tijei AB. Lungimea tijei: / 2 = 0,4 m, / 2 = 1,2 m, / 3 = 0,7 m, / 4 = 0,3 m. și îndreptată în sens invers acelor de ceasornic. Defini V A , V B , V D , V E , oo 2 , co 3 , la 4 și viteza punctului Laîn mijlocul tijei DE (DK = KE).
Soluţie. În mecanismul luat în considerare, tijele 7, 4 efectuați o mișcare de rotație LA- progresivă, și tije 2, 3 -
miscare plan-paralela.
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/375.png)
Viteza punctului DAR definim ca aparținând tijei 7, care efectuează o mișcare de rotație:
Luați în considerare mișcarea tijei 2. Viteza punctului DAR este definită și direcția vitezei punctului LA datorita faptului ca apartine simultan lansetei 2 și genul-
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/377.png)
Zun deplasându-se de-a lungul ghidurilor. Acum, restabilirea din puncte DARși LA perpendicular pe Ași direcția de mișcare a glisorului LA, găsiți poziția punctului C 2 - MCS-ul tijei 2.
În direcția vectorului U A dat fiind că în poziţia considerată a mecanismului, tija 2 se rotește în jurul punctului C 2, determinăm direcția vitezei unghiulare din 2 tije 2 și găsiți valoarea sa numerică (o 2 = V a / AC 2 \u003d 0,8 / 1,04 \u003d 0,77 s -1, unde AC 2 - AB sin 60 ° \u003d 1,04 m (vom obține când luăm în considerare A AC ~, B).
Acum determinăm valorile numerice și direcțiile vitezelor punctelor LAși D tijă 2 (deoarece ABDC 2 echilateral, atunci BC 2 - DC 2 - - 0,6 m):
![](https://i0.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/378.png)
Luați în considerare mișcarea tijei 3. Viteza punctului D cunoscut. De la punctul E aparține în același timp tijei 4, rotindu-se în jurul unei axe 0 4 , apoi Y e 10 4 E. Apoi, trecând prin puncte Dși E drepte perpendiculare pe viteza V D w V E , găsiți poziția punctului C 3 - MCS-ul tijei
3. În direcția vectorului V D, privind dintr-un punct fix С 3 , determinăm direcția vitezei unghiulare с 3 , și găsim valoarea ei numerică (determinând anterior din AZ) C 3 ? segmentul Z)C 3 = DEsin 30 ° \u003d 0,35 m): co 3 \u003d V d / C 3 D \u003d 1,32 s -1.
Pentru a determina viteza unui punct La hai sa tragem o linie dreapta COP 3 si avand in vedere ca AR K De la 3 echilateral ( COP 3 = 0,35 m), calculați Y k \u003d \u003d 0,462 m / s, U la AKS 3.
Luați în considerare mișcarea tijei_4 care se rotește în jurul axei 0 4 . Cunoașterea direcției și a valorii numerice V E , găsim direcția și valoarea vitezei unghiulare de la 4: de la 4 \u003d V e / 0 4 E - 2,67 s
Răspuns: VA= 0,8 m/s, V B = V D= 0,462 m/s, V E = 0,8 m / s, co 2 \u003d 0,77 s "1, co 3 \u003d 1,32 s -1, (o 4 \u003d 2,67 s -1, direcțiile acestor cantități sunt prezentate în Fig. 8.11.
Notă.Într-un mecanism format din mai multe corpuri, fiecare corp care se mișcă netranslațional la un moment dat de timp are propriul său centru instantaneu de viteze și propria sa viteză unghiulară.
Problema 8.4. Mecanismul plat este format din tije 1, 2, 3 și o rolă care rulează fără alunecare pe un plan fix (Fig. 8.12, A). Conexiuni ale tijelor între ele și tijă 3 la patinoarul din punct D- cu balamale. Lungimea tijei: 1 { - 0,4 m, / 2 = 0,6 m, / 3 = 0,8 m. Pentru unghiurile date a = 60°, B = 30°, valorile și direcțiile unghiului O patinoar V0= 0,346 m/s, ZABD= 90°. Determinați viteza punctului LA iar viteza unghiulara de la 2 .
Soluţie. Mecanismul are două grade de libertate (poziția sa este determinată de două unghiuri a și p, independente unul de celălalt) și viteza punctului LA(punctul comun al tijelor 2 și 3) depinde de vitezele punctelor DARși D.
Având în vedere mișcarea tijei /, n găsim direcția și valoarea vitezei punctului A: V A= coj/j = 0,8 m/s, V a AjO ( A.
Luați în considerare mișcarea rolei. Centrul său instantaneu de viteze este situat în punct R; apoi V D afla din proportie
Din moment ce A DOP Isoscele și unghiurile acute din el sunt egale cu 30 °, atunci DP- 2OP cos 30° = ORl/ 3. Din egalitatea (a) aflăm VD- 0,6 m/s. Vector V D direcționat perpendicular D.P.
De la punctul LA aparține simultan tijelor ABși BD, atunci, conform teoremei proiecției vitezei, ar trebui să fie: 1) proiecția vectorului în direct A B A(segment de linie Ahîn fig. 8.12, A), adică A cos a = 0,4 m/s; 2) proiecție vectorială în direct D.B. este egală cu proiecția pe această linie a vectorului 0(segment de linie Ddîn fig. 8.12, A), adică 0 cos y = 0,3 m/s (y = 60°).
Să o rezolvăm grafic. Lăsați deoparte de punct LA taie in directii corespunzatoare Bb (= Aași Bb 2 = Dd. Viteza punctului LA este egală cu suma vectorilor V B = Bb + Bbj. Restaurarea dintr-un punct b ( perpendicular pe Bb x, iar din
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/380.png)
puncte b 2 - perpendicular pe Bb 2. Punctul de intersecție al acestor perpendiculare determină sfârșitul vectorului dorit V B .
Deoarece direcţiile segmentelor Bbși Bb 2 reciproc perpendiculare, deci
Determinăm din 2 . Pe fig. 8.12, b este prezentat așa-numitul plan de viteză, care înfățișează grafic egalitatea vectorială
unde vectori VAși V B definit (vezi Fig. 8.12, A), si directia VBA perpendicular pe tija AB. Din desen (Fig. 8.12, b) găsi
Acum definim cu 2 = V ba / AB- 1,66 s -1 (direcția de la 2 - în sens invers acelor de ceasornic).
Răspuns: VB- 0,5 m / s, co 2 \u003d 1,66 s -1.
Mișcarea unei figuri plate este compusă din mișcare de translație, când toate punctele figurii se mișcă cu viteza polului DAR, și din mișcarea de rotație în jurul acestui pol (Fig. 3.4). Orice viteza punctuala M figurile sunt formate geometric din vitezele pe care le primește punctul în fiecare dintre aceste mișcări.
Figura 3.4
Într-adevăr, poziția punctului Mîn raport cu axele Ohy determinat de raza - vector , Unde
- vectorul rază al polului DAR,
=
- vector rază care defineşte poziţia punctului M relativ
deplasându-se cu stâlpul DAR progresiv. Apoi
.
este viteza polului DAR,
egal cu viteza
, care punct M primeste la
, adică despre topoare
, sau, cu alte cuvinte, când figura se rotește în jurul stâlpului DAR. Astfel rezultă că
Unde ω este viteza unghiulară a figurii.
Figura 3.5
În acest fel, viteza oricărui punct M al unei figuri plane este din punct de vedere geometric suma vitezei unui alt punct A, luată ca pol, și viteza pe care o primește punctul M atunci când figura se rotește în jurul acestui pol. Modul și direcția vitezei se găsesc prin construirea paralelogramului corespunzător (Fig. 3.5).
10.3. Teorema privind proiecțiile vitezelor a două puncte ale corpului
Una dintre modalitățile simple de a determina vitezele punctelor unei figuri plane (sau a unui corp care se mișcă într-un mod plan-paralel) este teorema: proiecțiile vitezelor a două puncte ale unui corp rigid pe axa care trece prin aceste puncte sunt egale între ele.
Figura 3.6
Luați în considerare câteva puncte DARși LA figură plată (sau corp) (Fig. 3.6). Luând un punct DAR pe stâlp obținem asta . Prin urmare, proiectarea ambelor părți ale egalității pe axa direcționată de-a lungul AB, și având în vedere că vectorul
perpendicular AB, găsim
|
iar teorema este demonstrată. Rețineți că acest rezultat este clar și din considerente pur fizice: dacă egalitatea nu se va efectua, apoi la mutarea distanței dintre puncte DARși LA trebuie să se schimbe, ceea ce este imposibil - corpul este absolut solid. Prin urmare, această egalitate este satisfăcută nu numai pentru plan-paralel, ci și pentru orice mișcare a unui corp rigid.
10.4. Determinarea vitezelor punctelor unei figuri plane folosind centrul de viteze instantaneu
O altă metodă simplă și ilustrativă pentru determinarea vitezelor punctelor unei figuri plane (sau a unui corp într-o mișcare plană) se bazează pe conceptul centrului instantaneu al vitezelor.
Centrul instantaneu de viteze (ICV) este punctul unei figuri plate, a cărei viteză la un moment dat este egală cu zero.
Dacă figura se mișcă netranslațional, atunci un astfel de punct în fiecare moment de timp t există și este unic. Lasă pe moment t puncte DARși LA planurile figurii au viteze și
, neparalele între ele (Fig. 3.7.). Apoi punctul R situată la intersecția perpendicularelor Ah la vector
și LAb la vector
, și va fi centrul instantaneu al vitezelor, deoarece
.
Figura 3.7
Într-adevăr, dacă , apoi prin teorema de proiecție a vitezei vectorul
trebuie să fie atât perpendiculare cât şi AR(deoarece
), și VR(deoarece
), ceea ce este imposibil. Din aceeași teoremă este clar că niciun alt punct al figurii în acest moment de timp nu poate avea o viteză egală cu zero.
Dacă acum la momentul respectiv t ia un punct R pe stâlp. Aceasta este viteza punctului DAR va fi
,
deoarece =0. Același rezultat se obține pentru orice alt punct al figurii. Apoi, vitezele punctelor unei figuri plate sunt determinate la un moment dat de timp ca și cum mișcarea figurii ar fi o rotație în jurul centrului instantaneu al vitezelor.în care
|
și așa mai departe pentru orice punct al figurii.
De asemenea, rezultă din aceasta că și
, apoi
|
acestea. ce vitezele punctelor unei figuri plane sunt proporționale cu distanța lor față de centrul instantaneu al vitezelor.
Rezultatele obtinute conduc la urmatoarele concluzii:
1. Pentru a determina centrul instantaneu al vitezelor, este necesar să se cunoască numai direcțiile vitezelor, de exemplu,și
oricare două puncte A și B ale unei figuri plane.
2. Pentru a determina viteza oricărui punct al unei figuri plane, trebuie să cunoașteți modulul și direcția vitezei oricărui punct A al figurii și direcția vitezei celuilalt punct B al acestuia.
3. Viteză unghiularăa unei figuri plane este egală în fiecare moment de timp cu raportul dintre viteza unui punct al figurii și distanța acestuia de la centrul instantaneu al vitezelor P:
|
Să găsim o altă expresie pentru ω
din egalităţi și
urmează că
și
, Unde
|
Să luăm în considerare câteva cazuri speciale ale definiției MCC, care vor ajuta la rezolvarea mecanicii teoretice.
1. Dacă mișcarea plan-paralelă se realizează prin rularea fără alunecare a unui corp cilindric pe suprafața altuia staționar, atunci punctul R a unui corp rulant care atinge o suprafață fixă (Fig. 3.8), la un moment dat de timp, din cauza absenței alunecării, are o viteză egală cu zero ( ), și deci este centrul instantaneu al vitezelor.
Figura 3.8
2. Dacă viteza indică DARși LA figura plată sunt paralele între ele, iar linia AB nu perpendicular (Fig. 3.9, a), atunci centrul instantaneu al vitezelor se află la infinit și viteza tuturor punctelor //
. În acest caz, din teorema proiecției vitezei rezultă că
, adică
, în acest caz figura are o mișcare de translație instantanee.
3. Dacă viteza indică DARși LA figură plată // unul față de celălalt și în același timp linia AB perpendicular , apoi centrul instantaneu de viteze R este determinată de construcție (Fig. 3.9, b).
Figura 3.9
Valabilitatea construcţiilor decurge din . În acest caz, spre deosebire de cele anterioare, pentru a găsi centrul R pe lângă direcții, trebuie să cunoașteți și modulele de viteze
și
.
4. Dacă vectorul viteză este cunoscut un moment dat LA figura și viteza sa unghiulară ω
, apoi poziția centrului instantaneu de viteze R culcat perpendicular pe
(vezi Fig. ?), poate fi găsit din egalitate
, care dă
.