Auksinis pjūvis – kas tai? Kas yra Fibonačio skaičiai? Ką bendro turi DNR spiralė, apvalkalas, galaktika ir Egipto piramidės? N-ojo Fibonačio skaičiaus radimas trimis būdais per priimtiną laiką: dinaminio programavimo pagrindai Fibonačio skaitiniai
![Auksinis pjūvis – kas tai? Kas yra Fibonačio skaičiai? Ką bendro turi DNR spiralė, apvalkalas, galaktika ir Egipto piramidės? N-ojo Fibonačio skaičiaus radimas trimis būdais per priimtiną laiką: dinaminio programavimo pagrindai Fibonačio skaitiniai](https://i2.wp.com/syl.ru/misc/i/ai/143607/420887.jpg)
Fibonačio seka, kurią dauguma išgarsino filmas ir knyga „Da Vinčio kodas“, yra skaičių serija, kurią XIII amžiuje išvedė italų matematikas Leonardo iš Pizos, geriau žinomas savo slapyvardžiu Fibonacci. Mokslininko pasekėjai pastebėjo, kad formulė, kuriai pavaldi ši skaičių seka, atsispindi mus supančio pasaulio aplinkoje ir atkartoja kitus matematinius atradimus, taip atverdama mums duris į visatos paslaptis. Šiame straipsnyje mes jums pasakysime, kas yra Fibonačio seka, pažvelgsime į pavyzdžius, kaip šis modelis rodomas gamtoje, ir palyginsime jį su kitomis matematinėmis teorijomis.
Sąvokos formulavimas ir apibrėžimas
Fibonačio serija yra matematinė seka, kurioje kiekvienas elementas yra lygus ankstesnių dviejų sumai. Tam tikrą sekos narį pažymėkime x n. Taigi gauname formulę, kuri galioja visai serijai: x n+2 = x n + x n+1. Šiuo atveju sekos tvarka atrodys taip: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Kitas skaičius bus 55, nes 21 ir 34 suma yra 55. taip ir toliau pagal tą patį principą.
Pavyzdžiai aplinkoje
Jei pažvelgsime į augalą, ypač į lapų vainiką, pastebėsime, kad jie žydi spirale. Tarp gretimų lapų susidaro kampai, kurie savo ruožtu sudaro teisingą matematinę Fibonačio seką. Dėl šios savybės kiekvienas atskiras lapas, augantis ant medžio, gauna maksimalų saulės šviesos ir šilumos kiekį.
Fibonačio matematinė mįslė
Garsus matematikas savo teoriją pateikė mįslės pavidalu. Tai skamba taip. Galite patalpinti porą triušių uždaroje erdvėje, kad sužinotumėte, kiek porų triušių gims per vienerius metus. Atsižvelgiant į šių gyvūnų prigimtį, į tai, kad kiekvieną mėnesį pora gali susilaukti naujos poros, o sulaukę dviejų mėnesių jie tampa pasiruošę daugintis, galiausiai jis gavo savo garsiąją skaičių seriją: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 – tai rodo naujų triušių porų skaičių kiekvieną mėnesį.
Fibonačio seka ir proporcingas ryšys
Ši serija turi keletą matematinių niuansų, į kuriuos reikia atsižvelgti. Vis lėčiau (asimptotiškai) artėjant prie tam tikro proporcinio ryšio. Bet tai neracionalu. Kitaip tariant, tai yra skaičius, kurio trupmeninėje dalyje yra nenuspėjama ir begalinė dešimtainių skaičių seka. Pavyzdžiui, bet kurio serijos elemento santykis svyruoja maždaug 1,618, kartais jį viršija, kartais pasiekia. Kitas pagal analogiją artėja prie 0,618. Kuris yra atvirkščiai proporcingas skaičiui 1,618. Jei elementus padalinsime iš vieneto, gausime 2,618 ir 0,382. Kaip jau supratote, jie taip pat yra atvirkščiai proporcingi. Gauti skaičiai vadinami Fibonačio koeficientais. Dabar paaiškinkime, kodėl atlikome šiuos skaičiavimus.
Auksinis santykis
Visus mus supančius objektus išskiriame pagal tam tikrus kriterijus. Vienas iš jų yra forma. Kai kurie žmonės mus traukia labiau, kiti mažiau, o kai kurie mums visai nepatinka. Pastebėta, kad simetriškas ir proporcingas objektas žmogui yra daug lengviau suvokiamas ir sukelia harmonijos bei grožio jausmą. Pilnas vaizdas visada apima skirtingų dydžių dalis, kurios yra tam tikru santykiu viena su kita. Iš čia seka atsakymas į klausimą, kas vadinama auksiniu santykiu. Ši sąvoka reiškia santykių tarp visumos ir dalių tobulumą gamtoje, moksle, mene ir kt. Matematikos požiūriu apsvarstykite šį pavyzdį. Paimkime bet kokio ilgio atkarpą ir padalinkime ją į dvi dalis taip, kad mažesnė dalis būtų susijusi su didesne, kaip suma (viso atkarpos ilgis) – su didesne. Taigi, paimkime segmentą Su vienai vertei. Jo dalis A bus lygus 0,618, antroji dalis b, pasirodo, yra lygus 0,382. Taigi mes laikomės auksinio santykio sąlygos. Linijos segmentų santykis cĮ a lygus 1,618. Ir dalių santykis c Ir b- 2,618. Gauname jau žinomus Fibonačio koeficientus. Auksinis trikampis, auksinis stačiakampis ir auksinis stačiakampis statomi tuo pačiu principu. Taip pat verta paminėti, kad proporcingas žmogaus kūno dalių santykis yra artimas auksiniam santykiui.
Ar Fibonačio seka yra visko pagrindas?
Pabandykime sujungti Aukso pjūvio teoriją ir garsiąją italų matematiko seriją. Pradėkime nuo dviejų pirmojo dydžio kvadratų. Tada ant viršaus uždėkite kitą antrojo dydžio kvadratą. Šalia nupieškime tą pačią figūrą, kurios kraštinės ilgis lygus dviejų ankstesnių kraštinių sumai. Panašiai nubrėžkite penkių dydžio kvadratą. Ir jūs galite tęsti tai iki begalybės, kol pavargsite. Svarbiausia, kad kiekvieno sekančio kvadrato kraštinės dydis būtų lygus ankstesnių dviejų kraštinių dydžių sumai. Gauname eilę daugiakampių, kurių kraštinių ilgiai yra Fibonačio skaičiai. Šios figūros vadinamos Fibonačio stačiakampiais. Nubrėžkime lygią liniją per savo daugiakampių kampus ir gaukime... Archimedo spiralę! Nurodytos figūros žingsnio padidėjimas, kaip žinoma, visada yra vienodas. Jei pasitelksite savo vaizduotę, gautą piešinį galima susieti su moliusko kiautu. Iš čia galime daryti išvadą, kad Fibonačio seka yra proporcingų, harmoningų elementų santykių aplinkiniame pasaulyje pagrindas.
Matematinė seka ir visata
Atidžiau pažvelgus, Archimedo spiralė (kartais aiškiai, kartais paslėpta) ir, atitinkamai, Fibonačio principas, gali būti atsekami daugelyje pažįstamų gamtos elementų, supančių žmones. Pavyzdžiui, tas pats moliusko lukštas, paprastų brokolių žiedynai, saulėgrąžos žiedas, spygliuočių augalo kūgis ir panašiai. Jei pažvelgsime toliau, pamatysime Fibonačio seką begalinėse galaktikose. Netgi žmogus, įkvėptas gamtos ir perimdamas jos formas, kuria objektus, kuriuose galima atsekti minėtą seriją. Dabar pats laikas prisiminti auksinį santykį. Kartu su Fibonačio modeliu galima atsekti šios teorijos principus. Yra versija, kad Fibonačio seka yra savotiškas gamtos išbandymas prisitaikyti prie tobulesnės ir fundamentalesnės logaritminės Aukso santykio sekos, kuri yra beveik identiška, bet neturi pradžios ir yra begalinė. Gamtos modelis toks, kad turi turėti savo atskaitos tašką, nuo kurio pradėti kurti ką nors naujo. Pirmųjų „Fibonacci“ serijos elementų santykis toli gražu neatitinka „Auksinio santykio“ principų. Tačiau kuo toliau, tuo labiau šis neatitikimas išsilygina. Norėdami nustatyti seką, turite žinoti tris jos elementus, einančius vienas po kito. Auksinei sekai užtenka dviejų. Kadangi tai ir aritmetinė, ir geometrinė progresija.
Išvada
Visgi, remiantis tuo, kas išdėstyta, galima užduoti gana logiškus klausimus: „Iš kur atsirado šie skaičiai? Kas yra viso pasaulio sandaros autorius, kas stengėsi, kad ji būtų ideali? Ar visada viskas buvo taip, kaip jis norėjo? taigi, kodėl įvyko nesėkmė? Kas bus toliau?" Kai randi atsakymą į vieną klausimą, gauni kitą. Išsprendžiau – atsiranda dar du. Išsprendę juos, gausite dar tris. Su jais susidoroję gausite penkis neišspręstus. Tada aštuoni, tada trylika, dvidešimt vienas, trisdešimt keturi, penkiasdešimt penki...
Ar kada nors girdėjote, kad matematika vadinama „visų mokslų karaliene“? Ar sutinkate su šiuo teiginiu? Kol matematika išliks jums nuobodžių uždavinių rinkinyje vadovėlyje, vargu ar patirsite šio mokslo grožį, universalumą ir net humorą.
Tačiau matematikoje yra temų, kurios padeda įdomiai pastebėti mums įprastus dalykus ir reiškinius. Ir netgi pabandykite prasiskverbti pro mūsų Visatos sukūrimo paslapties šydą. Pasaulyje yra įdomių modelių, kuriuos galima apibūdinti naudojant matematiką.
Pristatome Fibonačio skaičius
Fibonačio skaičiai pavadinkite skaičių sekos elementus. Jame kiekvienas sekantis skaičius iš serijos gaunamas susumavus du ankstesnius skaičius.
Pavyzdinė seka: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…
Galite parašyti taip:
F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2
Galite pradėti Fibonačio skaičių seriją su neigiamomis reikšmėmis n. Be to, seka šiuo atveju yra dvikryptė (tai yra, ji apima neigiamus ir teigiamus skaičius) ir linkusi į begalybę abiem kryptimis.
Tokios sekos pavyzdys: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.
Šiuo atveju formulė atrodo taip:
F n = F n+1 – F n+2 arba dar galite tai padaryti: F -n = (-1) n+1 Fn.
Tai, ką dabar vadiname „Fibonačio skaičiais“, senovės Indijos matematikai žinojo dar ilgai prieš pradedant juos naudoti Europoje. Ir šis pavadinimas paprastai yra vienas ištisinis istorinis anekdotas. Pradėkime nuo to, kad pats Fibonačis per savo gyvenimą niekada savęs nevadino Fibonačiu – šis vardas Leonardo iš Pizos pradėtas vadinti tik praėjus keliems šimtmečiams po jo mirties. Bet pakalbėkime apie viską iš eilės.
Leonardo iš Pizos, dar žinomas kaip Fibonacci
Sūnus pirklio, kuris tapo matematiku ir vėliau sulaukė pripažinimo iš palikuonių kaip pirmasis pagrindinis viduramžių Europos matematikas. Ne mažiau svarbu dėl Fibonačio skaičių (kurie, prisiminkime, dar nebuvo taip vadinami). Kurį jis aprašė XIII amžiaus pradžioje savo veikale „Liber abaci“ („Abako knyga“, 1202).
Keliavau su tėvu į Rytus, Leonardo mokėsi matematikos pas arabų mokytojus (o tais laikais jie buvo vieni geriausių šio reikalo ir daugelio kitų mokslų specialistų). Jis skaitė Antikos ir Senovės Indijos matematikų darbus arabiškais vertimais.
Nuodugniai suvokęs viską, ką perskaitė, ir naudodamas savo smalsų protą, Fibonacci parašė keletą mokslinių matematikos traktatų, įskaitant minėtą „Abako knygą“. Be to, aš sukūriau:
- "Practica geometriae" ("Geometrijos praktika", 1220);
- „Flos“ („Gėlė“, 1225 m. – kubinių lygčių studija);
- „Liber quadratorum“ („Kvadratų knyga“, 1225 – neapibrėžtų kvadratinių lygčių uždaviniai).
Jis buvo didelis matematinių turnyrų gerbėjas, todėl savo traktatuose daug dėmesio skyrė įvairių matematinių problemų analizei.
Biografinės informacijos apie Leonardo gyvenimą liko labai mažai. Kalbant apie Fibonačio vardą, kuriuo jis pateko į matematikos istoriją, jis jam buvo priskirtas tik XIX a.
Fibonacci ir jo problemos
Po Fibonačio liko daug problemų, kurios vėlesniais šimtmečiais buvo labai populiarios tarp matematikų. Pažiūrėsime į triušio problemą, kuri išspręsta naudojant Fibonačio skaičius.
Triušiai – ne tik vertingas kailis
Fibonacci iškėlė tokias sąlygas: yra tokios įdomios veislės naujagimių triušių pora (patinas ir patelė), kad jie reguliariai (nuo antro mėnesio) susilaukia palikuonių – visada po vieną naują triušių porą. Taip pat, kaip galima spėti, patinas ir patelė.
Šie sąlyginiai triušiai yra patalpinti į uždarą erdvę ir veisiasi entuziastingai. Taip pat numatyta, kad nuo kokios nors paslaptingos triušių ligos nemiršta nei vienas triušis.
Reikia paskaičiuoti, kiek triušių sulauksime per metus.
- 1 mėnesio pradžioje turime 1 porą triušių. Mėnesio pabaigoje jie poruojasi.
- Antras mėnuo - jau turime 2 poras triušių (pora turi tėvelius + 1 pora jų palikuonys).
- Trečias mėnuo: Pirmoji pora pagimdo naują porą, antroji poruojasi. Iš viso – 3 poros triušių.
- Ketvirtas mėnuo: Pirmoji pora atsiveda naują porą, antroji nešvaisto laiko ir taip pat atsiveda naują porą, trečia pora dar tik poruojasi. Iš viso – 5 poros triušių.
Triušių skaičius n mėnuo = praėjusio mėnesio triušių porų skaičius + naujagimių porų skaičius (triušių porų yra tiek pat, kiek triušių porų buvo prieš 2 mėnesius). Ir visa tai aprašoma formule, kurią jau pateikėme aukščiau: F n = F n-1 + F n-2.
Taigi gauname pasikartojantį (paaiškinimą apie rekursija– žemiau) skaičių seka. Kuriame kiekvienas kitas skaičius yra lygus ankstesnių dviejų sumai:
- 1 + 1 = 2
- 2 + 1 = 3
- 3 + 2 = 5
- 5 + 3 = 8
- 8 + 5 = 13
- 13 + 8 = 21
- 21 + 13 = 34
- 34 + 21 = 55
- 55 + 34 = 89
- 89 + 55 = 144
- 144 + 89 = 233
- 233+ 144 = 377 <…>
Galite tęsti seką ilgą laiką: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. Bet kadangi mes nustatėme konkretų laikotarpį - metus, mus domina rezultatas, gautas 12-uoju „judinimu“. Tie. 13-as sekos narys: 377.
Atsakymas į problemą: jei bus įvykdytos visos nurodytos sąlygos, bus gauti 377 triušiai.
Viena iš Fibonačio skaičių sekos savybių yra labai įdomi. Jei iš serijos paimsite dvi poras iš eilės ir padalysite didesnį skaičių iš mažesnio skaičiaus, rezultatas palaipsniui priartės aukso pjūvis(daugiau apie tai galite perskaityti vėliau straipsnyje).
Kalbant matematine prasme, „Santykių riba a n+1Į a n lygus aukso pjūviui“.
Daugiau skaičių teorijos problemų
- Raskite skaičių, kurį galima padalyti iš 7. Be to, padalijus jį iš 2, 3, 4, 5, 6, likusi dalis bus viena.
- Raskite kvadratinį skaičių. Yra žinoma, kad jei prie jo pridėsite 5 arba atimsite 5, vėl gausite kvadratinį skaičių.
Siūlome patiems ieškoti atsakymų į šias problemas. Galite palikti mums savo parinktis šio straipsnio komentaruose. Ir tada mes jums pasakysime, ar jūsų skaičiavimai buvo teisingi.
Rekursijos paaiškinimas
Rekursija– objekto ar proceso, kuriame yra šis objektas ar procesas, apibrėžimas, aprašymas, vaizdas. Tai reiškia, kad iš esmės objektas ar procesas yra savęs dalis.
Rekursija plačiai naudojama matematikoje ir informatikoje, netgi mene ir populiariojoje kultūroje.
Fibonačio skaičiai nustatomi naudojant pasikartojimo ryšį. Dėl skaičiaus n>2 n- e skaičius yra lygus (n – 1) + (n – 2).
Auksinio pjūvio paaiškinimas
Auksinis santykis- visumos (pavyzdžiui, segmento) padalijimas į dalis, kurios yra susijusios pagal tokį principą: didesnė dalis yra susijusi su mažesne taip pat, kaip ir visa vertė (pavyzdžiui, dviejų segmentų suma) į didesnę dalį.
Pirmasis aukso pjūvio paminėjimas yra Euklidas jo traktate „Elementai“ (apie 300 m. pr. Kr.). Taisyklingo stačiakampio konstravimo kontekste.
Mums žinomą terminą 1835 metais į apyvartą įvedė vokiečių matematikas Martinas Ohmas.
Jei aukso pjūvį apibūdintume apytiksliai, tai proporcingas padalijimas į dvi nelygias dalis: maždaug 62% ir 38%. Skaitmenine išraiška aukso pjūvis yra skaičius 1,6180339887 .
Aukso pjūvis praktiškai pritaikomas vaizduojamajame mene (Leonardo da Vinci ir kitų Renesanso tapytojų paveikslai), architektūroje, kine (S. Esenšteino „Laivas Potiomkinas“) ir kitose srityse. Ilgą laiką buvo manoma, kad aukso pjūvis yra estetiškiausia proporcija. Ši nuomonė yra populiari ir šiandien. Nors, remiantis tyrimų rezultatais, vizualiai dauguma žmonių šios proporcijos nesuvokia kaip sėkmingiausio varianto ir laiko ją pernelyg pailgu (neproporcinga).
- Skyriaus ilgis Su = 1, A = 0,618, b = 0,382.
- Požiūris SuĮ A = 1, 618.
- Požiūris SuĮ b = 2,618
Dabar grįžkime prie Fibonačio skaičių. Paimkime iš jo sekos du iš eilės einančius terminus. Padalinkite didesnį skaičių iš mažesnio skaičiaus ir gaukite maždaug 1,618. O dabar naudojame tą patį didesnį skaičių ir kitą serijos narį (t.y. dar didesnį skaičių) – jų santykis ankstyvas 0,618.
Štai pavyzdys: 144, 233, 377.
233/144 = 1,618 ir 233/377 = 0,618
Beje, jei bandysite tą patį eksperimentą atlikti su skaičiais nuo sekos pradžios (pavyzdžiui, 2, 3, 5), nieko nepavyks. Beveik. Auksinio pjūvio taisyklės vargu ar laikomasi sekos pradžioje. Bet kai judate serijoje ir skaičiai didėja, tai veikia puikiai.
O norint apskaičiuoti visą Fibonačio skaičių seką, pakanka žinoti tris sekos narius, einančius vieną po kito. Tai galite pamatyti patys!
Auksinis stačiakampis ir Fibonačio spiralė
Dar viena įdomi paralelė tarp Fibonačio skaičių ir auksinio pjūvio yra vadinamasis „auksinis stačiakampis“: jo kraštinės yra proporcingos 1,618 su 1. Bet mes jau žinome, kas yra skaičius 1,618, tiesa?
Pavyzdžiui, paimkime du iš eilės einančius Fibonačio serijos narius – 8 ir 13 – ir sukurkime stačiakampį su šiais parametrais: plotis = 8, ilgis = 13.
Ir tada mes padalinsime didelį stačiakampį į mažesnius. Privaloma sąlyga: stačiakampių kraštinių ilgiai turi atitikti Fibonačio skaičius. Tie. Didesnio stačiakampio kraštinių ilgis turi būti lygus dviejų mažesnių stačiakampių kraštinių sumai.
Taip, kaip tai daroma šioje figūroje (patogumo dėlei skaičiai pasirašyti lotyniškomis raidėmis).
Beje, stačiakampius galite kurti atvirkštine tvarka. Tie. pradėkite statyti kvadratais, kurių kraštinė yra 1. Prie kurių, vadovaujantis aukščiau nurodytu principu, užpildomos figūros, kurių kraštinės yra lygios Fibonačio skaičiams. Teoriškai tai galima tęsti neribotą laiką – juk Fibonačio serija formaliai yra begalinė.
Jei paveiksle gautų stačiakampių kampus sujungsime lygia linija, gausime logaritminę spiralę. Tiksliau, jos ypatingas atvejis yra Fibonačio spiralė. Jai ypač būdinga tai, kad ji neturi ribų ir nekeičia formos.
Panaši spiralė dažnai randama gamtoje. Moliuskų kriauklės yra vienas ryškiausių pavyzdžių. Be to, kai kurios galaktikos, kurias galima pamatyti iš Žemės, turi spiralės formą. Jei atkreipiate dėmesį į orų prognozes per televizorių, galbūt pastebėjote, kad ciklonai turi panašią spiralės formą fotografuojant iš palydovų.
Įdomu, kad DNR spiralė taip pat paklūsta aukso pjūvio taisyklei – jos vingių intervaluose matomas atitinkamas raštas.
Tokie nuostabūs „sutapimai“ nežadina protų ir verčia kalbėti apie kažkokį vienintelį algoritmą, kuriam paklūsta visi Visatos gyvenimo reiškiniai. Ar dabar suprantate, kodėl šis straipsnis vadinamas tokiu būdu? O kokius nuostabius pasaulius jums gali atverti matematika?
Fibonačio skaičiai gamtoje
Ryšys tarp Fibonačio skaičių ir aukso pjūvio rodo įdomius modelius. Taip smalsu, kad kyla pagunda gamtoje ir net istorinių įvykių metu pabandyti rasti sekas, panašias į Fibonačio skaičius. Ir gamta iš tiesų sukelia tokias prielaidas. Bet ar viską mūsų gyvenime galima paaiškinti ir aprašyti matematikos pagalba?
Gyvų dalykų, kuriuos galima apibūdinti naudojant Fibonačio seką, pavyzdžiai:
- lapų (ir šakų) išdėstymas augaluose – atstumai tarp jų koreliuoja su Fibonačio skaičiais (filotaksė);
- saulėgrąžų sėklų išdėstymas (sėklos išdėstytos dviem eilėmis spiralių, susuktų į skirtingas puses: viena eilė pagal laikrodžio rodyklę, kita prieš laikrodžio rodyklę);
- kankorėžių žvynų išdėstymas;
- Gėlių žiedlapiai;
- ananasų ląstelės;
- žmogaus rankos pirštų falangų ilgių santykis (apytikslis) ir kt.
Kombinatorikos problemos
Fibonačio skaičiai plačiai naudojami sprendžiant kombinatorikos uždavinius.
Kombinatorika yra matematikos šaka, tirianti tam tikro elementų skaičiaus parinkimą iš nurodytos aibės, surašymą ir kt.
Pažvelkime į kombinatorikos uždavinių, skirtų vidurinės mokyklos lygiui, pavyzdžius (šaltinis - http://www.problems.ru/).
1 užduotis:
Lesha lipa 10 laiptelių laiptais. Vienu metu jis pašoka arba vienu, arba dviem laipteliais aukštyn. Kiek būdų Lesha gali lipti laiptais?
Būdų, kuriais Lesha gali lipti laiptais, skaičius nžingsnius, pažymėkime ir n. Tai seka a 1 = 1, a 2= 2 (juk Lesha peršoka vieną arba du žingsnius).
Taip pat sutarta, kad Lesha užšoka laiptais nuo n> 2 žingsniai. Tarkime, jis pirmą kartą peršoko du žingsnius. Tai reiškia, kad pagal problemos sąlygas jam reikia peršokti kitą n – 2žingsniai. Tada kopimo užbaigimo būdų skaičius apibūdinamas kaip a n-2. Ir jei darysime prielaidą, kad pirmą kartą Lesha šoktelėjo tik vieną žingsnį, tada apibūdinsime būdų, kaip užbaigti kopimą, skaičių kaip a n-1.
Iš čia gauname tokią lygybę: a n = a n–1 + a n–2(atrodo pažįstamas, ar ne?).
Kadangi žinome a 1 Ir a 2 ir atminkite, kad pagal problemos sąlygas yra 10 žingsnių, apskaičiuokite visus iš eilės ir n: a 3 = 3, a 4 = 5, a 5 = 8, a 6 = 13, a 7 = 21, a 8 = 34, a 9 = 55, a 10 = 89.
Atsakymas: 89 būdai.
2 užduotis:
Turite rasti 10 raidžių žodžių, sudarytų tik iš raidžių „a“ ir „b“, skaičių ir neturi būti dviejų raidžių „b“ iš eilės.
Pažymėkime pagal a nžodžių ilgis n raidės, susidedančios tik iš raidžių „a“ ir „b“ ir neturinčios dviejų raidžių „b“ iš eilės. Reiškia, a 1= 2, a 2= 3.
Sekoje a 1, a 2, <…>, a n kiekvieną kitą jo narį išreikšime per ankstesnius. Todėl žodžių ilgis yra n raidės, kuriose taip pat nėra dvigubos raidės „b“ ir prasidedančios raide „a“, yra a n-1. O jei žodis ilgas n raidės prasideda raide „b“, logiška, kad kita tokio žodžio raidė yra „a“ (juk negali būti dviejų „b“ pagal uždavinio sąlygas). Todėl žodžių ilgis yra nšiuo atveju raides žymime kaip a n-2. Pirmuoju ir antruoju atveju bet koks žodis (ilgis n – 1 Ir n – 2 raidės) be dvigubo „b“.
Mes galėjome pagrįsti, kodėl a n = a n–1 + a n–2.
Dabar paskaičiuokime a 3= a 2+ a 1= 3 + 2 = 5, a 4= a 3+ a 2= 5 + 3 = 8, <…>, a 10= a 9+ a 8= 144. Ir gauname pažįstamą Fibonačio seką.
Atsakymas: 144.
3 užduotis:
Įsivaizduokite, kad yra juosta, padalinta į ląsteles. Jis eina į dešinę ir tęsiasi neribotą laiką. Ant pirmojo juostos kvadrato uždėkite žiogą. Kad ir kurioje juostos langelyje jis būtų, jis gali judėti tik į dešinę: arba vieną langelį, arba dvi. Kiek yra būdų, kaip žiogas gali peršokti nuo juostos pradžios iki n- ląstelės?
Pažymėkime būdų, kaip perkelti žiogą išilgai diržo, skaičių n-osios ląstelės kaip a n. Tokiu atveju a 1 = a 2= 1. Taip pat į n+1Žiogas gali patekti į --ąją ląstelę arba iš n-toji ląstelė, arba peršokant ją. Iš čia a n + 1 = a n – 1 + a n. Kur a n = Fn – 1.
Atsakymas: Fn – 1.
Panašias problemas galite susikurti patys ir pabandyti jas išspręsti matematikos pamokose kartu su klasės draugais.
Fibonačio skaičiai populiariojoje kultūroje
Žinoma, toks neįprastas reiškinys kaip Fibonačio skaičiai negali nepatraukti dėmesio. Šiame griežtai patikrintame modelyje vis dar yra kažkas patrauklaus ir net paslaptingo. Nenuostabu, kad Fibonačio seka kažkaip „sužibo“ daugelyje įvairių žanrų šiuolaikinės populiariosios kultūros kūrinių.
Mes jums papasakosime apie kai kuriuos iš jų. Ir vėl bandai ieškoti savęs. Jei radote, pasidalinkite su mumis komentaruose – mums irgi įdomu!
- Fibonačio skaičiai minimi Dano Browno bestseleryje „Da Vinčio kodas“: Fibonačio seka naudojama kaip kodas, kuriuo pagrindiniai knygos veikėjai atidaro seifą.
- 2009 m. amerikiečių filme „Ponas niekas“ viename epizode namo adresas yra Fibonačio sekos dalis – 12358. Be to, kitame epizode pagrindinis veikėjas turi paskambinti telefono numeriu, kuris iš esmės yra tas pats, bet šiek tiek iškraipytas. (papildomas skaitmuo po skaičiaus 5) seka: 123-581-1321.
- 2012 m. serialo „Ryšys“ pagrindinis veikėjas – autizmu sergantis berniukas – geba įžvelgti pasaulyje vykstančių įvykių šablonus. Įskaitant per Fibonačio skaičius. Ir valdykite šiuos įvykius per skaičius.
- Java žaidimo mobiliesiems telefonams „Doom RPG“ kūrėjai viename iš lygių padėjo slaptas duris. Jį atidarantis kodas yra Fibonačio seka.
- 2012 metais rusų roko grupė Splin išleido koncepcinį albumą „Optical Deception“. Aštuntasis takelis vadinasi „Fibonacci“. Grupės lyderio Aleksandro Vasiljevo eilės groja Fibonačio skaičių seka. Kiekvienam iš devynių iš eilės eilučių yra atitinkamas eilučių skaičius (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):
0 Traukinys pajudėjo
1 Nutrūko vienas jungtis
1 Viena rankovė drebėjo
2 Tai viskas, pasiimk daiktus
Tai viskas, pasiimk daiktus
3 Prašymas verdančio vandens
Traukinys važiuoja prie upės
Traukinys važiuoja per taigą<…>.
- Jameso Lyndono „Limerick“ (tam tikros formos trumpas eilėraštis – dažniausiai penkios eilutės, su konkrečia rimo schema, humoristinis turinys, kuriame pirmoji ir paskutinė eilutės kartojasi arba iš dalies dubliuoja viena kitą) Jameso Lyndono taip pat naudoja nuorodą į Fibonacci. seka kaip humoristinis motyvas:
Tankus Fibonačio žmonų maistas
Tai buvo tik jiems naudinga, nieko daugiau.
Pasak gandų, žmonos svėrė
Kiekvienas iš jų yra panašus į du ankstesnius.
Apibendrinkime
Tikimės, kad šiandien galėjome jums pasakyti daug įdomių ir naudingų dalykų. Pavyzdžiui, dabar galite ieškoti Fibonačio spiralės jus supančioje gamtoje. Galbūt jūs būsite tas, kuris sugebės atskleisti „gyvenimo, Visatos ir apskritai paslaptį“.
Spręsdami kombinatorikos uždavinius, naudokite Fibonačio skaičių formulę. Galite pasikliauti šiame straipsnyje aprašytais pavyzdžiais.
blog.site, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.
Fibonačio skaičių seka. Ar pirmą kartą apie tai girdite ir net nežinote, iš kurios žinių srities tai? Pasirodo, gamtos reiškinių dėsningumas, gyvų organizmų struktūra ir įvairovė mūsų planetoje, viskas, kas mus supa, stebina vaizduotę savo harmonija ir tvarkingumu, visatos dėsniai, žmogaus minties judėjimas ir pasiekimai. mokslas – visa tai paaiškinama sumavimu Fibonačio seka.
Amžinas žmogaus noras suprasti save ir jį supantį pasaulį pastūmėjo mokslą į priekį.
Vienas reikšmingiausių matematikos laimėjimų – vietoj romėniškų skaičių įvedimas arabiškus skaitmenis. Jis priklauso vienam žymiausių XII amžiaus mokslininkų Fibonačiui (1175). Kitas jo padarytas atradimas buvo pavadintas jo vardu - sumavimo seka: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,... Tai vadinamieji. Fibonačio skaičiai.
Šis matematikos modelis sudomino kitą viduramžių mokslininką Tomą Akvinietį. Vedamas noro „išmatuoti harmoniją su algebra“, mokslininkas padarė išvadą, kad tarp matematikos ir grožio yra tiesioginis ryšys. Tomas Akvinietis estetinius jausmus, kylančius apmąstant proporcingai gamtos sukurtus harmoningus objektus, aiškino tuo pačiu apibendrinimo sekos principu.
Šis principas paaiškina, kad pradedant nuo 1.1, kitas skaičius bus dviejų ankstesnių skaičių suma. Šis modelis yra labai svarbus.Ši seka yra lėtesnė ir lėtesnė – asimptotiškai – artėja prie tam tikro pastovaus santykio. Tačiau šis ryšys yra neracionalus, tai yra, jo trupmeninėje dalyje yra begalinė ir nenuspėjama skaičių seka. Tiksli jo išraiška neįmanoma. Padalijus bet kurį Fibonačio sekos terminą iš prieš jį esančio termino, gauname reikšmę, kuri svyruoja apie reikšmę 1,61803398875... (neracionali), kuri kiekvieną kartą jos nepasieks arba viršys. Norint tiksliai nustatyti šį santykį, neužtenka net amžinybės. Trumpumo dėlei naudosime jį kaip 1.618.
Viduramžių matematikas Luca Pacioli šį santykį pavadino dieviškuoju santykiu. Kepleris sumavimo seką pavadino „vienu iš geometrijos lobių“. Šiuolaikiniame moksle apibendrinimas Fibonačio seka turi keletą pavadinimų, ne mažiau poetiškų: Besisukančių kvadratų santykis, Auksinis vidurkis, Auksinis santykis. Matematikoje ji žymima graikiška raide phi (Ф=1,618).
Sekos asimptotinis pobūdis, jos svyravimai aplink neracionalų Fibonačio skaičių, kurie linkę blėsti, taps aiškesni, jei atsižvelgsime į pirmųjų šios sekos narių ryšius. Žemiau esančiame pavyzdyje pažvelgsime į Fibonačio skaičius ir pateiksime antrojo ir pirmojo termino santykį, trečiojo su antruoju ir pan.
1:1 = 1,0000, tai yra 0,6180 mažiau nei phi
2:1 = 2,0000, tai yra 0,3820 daugiau nei phi
3:2 = 1,5000, tai yra 0,1180 mažiau nei phi
5:3 = 1,6667, tai yra 0,0486 daugiau nei phi
8:5 = 1,6000, tai yra 0,0180 mažiau nei phi
Judant toliau pagal Fibonačio seką, kiekvienas naujas terminas dalins kitą, vis labiau artėdamas prie nepasiekiamo skaičiaus F.
Vėliau pamatysime, kad kai kurie Fibonačio skaičiai, sudarančios jos sumavimo seką, yra matomos įvairių prekių kainų dinamikoje; tarp Forex naudojami techninės analizės metodai Fibonačio lygiai. Galima aptikti santykio svyravimus, esančius netoli 1,615, vienokiu ar kitokiu dydžiu, kuriame jie atsiranda Alternatyvos taisyklėje. Pasąmoningai kiekvienas žmogus siekia pagarsėjusios dieviškosios proporcijos, kuri yra būtina norint patenkinti komforto troškimą.
Jei kurį nors Fibonačio sekos narį padalinsime iš po jo einančio termino, gausime atvirkštinę 1,618, tai yra 1:1,618. Tai taip pat gana neįprastas reiškinys, galbūt net nuostabus. Pradinis santykis yra begalinė trupmena, todėl šis santykis taip pat turi būti begalinis.
Kitas svarbus faktas yra toks. Bet kurio Fibonačio sekos termino kvadratas yra lygus skaičiui, kuris yra prieš jį sekoje, padaugintam iš skaičiaus, esančio po jo, pliuso arba minuso.
5 2 = (3 x 8) + 1
8 2 = (5 x 13) – 1
13 2 = (8 x 21) + 1
Pliusas ir minusas visada kaitaliojasi, ir tai yra Ellioto bangos teorijos, vadinamos kaitaliojimo taisykle, dalis. Ši taisyklė sako: sudėtingos korekcinio pobūdžio bangos kaitaliojasi su paprastomis, stiprios impulsyvaus pobūdžio bangos – su silpnomis korekcinio pobūdžio bangomis ir pan.
Dieviškosios proporcijos gamtoje apraiškos
Atrasta matematinė seka leidžia apskaičiuoti begalinį skaičių konstantų. Šios sekos nariai visada atsiras begaliniame derinių skaičiuje.
Naudojant nusistovėjusį modelį, pateikiama matematinė gamtos reiškinių interpretacija. Šiuo atžvilgiu matematinės sekos atradimas užima vieną reikšmingiausių istorinių žinių vietų.
Galime remtis daugybe įdomių teorijų, gautų iš matematinės sekos.
Gizos piramidė
Piramidės konstrukcija pagrįsta proporcija Ф=1,618. Šis atradimas buvo atliktas po daugybės bandymų atskleisti šios piramidės paslaptis. Panašu, kad pati piramidė Gizoje yra savotiška žinia palikuonims, siekiant perteikti tam tikras žinias apie matematinės sekos dėsnius. Piramidės statybos metu jos statytojai neturėjo pakankamai galimybių išreikšti jiems žinomus dėsnius. Tuo metu raštas neegzistavo, hieroglifai nebuvo naudojami. Tačiau piramidės kūrėjai sugebėjo, pasitelkę geometrinę savo kūrinio proporciją, perduoti savo žinias apie matematinius raštus ateities kartoms.
Šventyklos žyniai suteikė Herodotui Gizos piramidės paslaptį. Jis pastatytas taip, kad kiekvieno veido plotas būtų lygus šio veido aukščio kvadratui.
Trikampio plotas: 356 x 440 / 2 = 78320
Kvadrato plotas: 280 x 280 = 78400
Gizos piramidės veidas yra 783,3 pėdos (238,7 m) ilgio, o aukštis – 484,4 pėdos (147,6 m). Padalijus veido ilgį iš ūgio, gauname santykį Ф=1,618. 484,4 pėdų aukštis atitinka 5813 colių (5-8-13), o tai yra ne kas kita, kaip Fibonačio eilės numeriai. Visi šie stebėjimai leidžia daryti išvadą, kad visa piramidės konstrukcija yra pagrįsta proporcija Ф = 1,618.
Tai skaičiai iš Fibonačio sekos. Šie įdomūs stebėjimai rodo, kad piramidės dizainas pagrįstas santykiu Ф=1,618.
Ši informacija leidžia manyti, kad tuo metu žinios matematikos ir astrologijos srityse buvo labai išvystytos. Šis didžiausias ne tik žmogaus rankų, bet ir jo proto kūrinys buvo pastatytas griežtai laikantis skaičiaus 1.618. Pačios vidinės ir išorinės piramidės proporcijos, stebimos griežtai laikantis Aukso pjūvio dėsnio, yra žinia mums, palikuonims, iš šimtmečių didžiausių žinių gelmių.
Meksikos piramidės
Nuostabu, kad ir Meksikos piramidės buvo statomos tokiu pačiu principu. Negalima manyti, kad Meksikos piramidės buvo pastatytos tuo pačiu metu kaip ir Egipto piramidės, be to, statytojai žinojo matematinį aukso santykio dėsnį.
Piramidės skerspjūvis atskleidžia laiptų formą. Jo pirmoji pakopa turi 16 žingsnių, antroji – 42, trečioji – 68. Skaičiai pagrįsti Fibnacci seka taip:
16 x 1,618 = 26
16 + 26 = 42
26 x 1,618 = 42
42 + 26 = 68
Skaičius Ф = 1,618 yra Meksikos piramidės proporcijų pagrindas. (
Italų matematikas Leonardo Fibonacci gyveno XIII amžiuje ir vienas pirmųjų Europoje pradėjo naudoti arabiškus (indiškus) skaitmenis. Jis sugalvojo kiek dirbtinę problemą dėl fermoje auginamų triušių, kurie visi laikomi patelėmis, o patinai ignoruojami. Triušiai pradeda veistis sulaukę dviejų mėnesių, o vėliau kas mėnesį atsiveda po triušį. Triušiai niekada nemiršta.
Turime nustatyti, kiek triušių bus ūkyje n mėnesių, jei iš pradžių buvo tik vienas naujagimis triušis.
Akivaizdu, kad ūkininkas pirmą mėnesį turi vieną triušį, o antrą – vieną. Trečią mėnesį bus du triušiai, ketvirtą - trys ir tt. Pažymime triušių skaičių n mėnuo patinka. Taigi, ,
,
,
,
,
…
Galima sukurti algoritmą, kad būtų galima rasti bet kuriuo n.
Pagal problemos teiginį bendras triušių skaičius V n+1 mėnuo yra padalintas į tris komponentus:
vieno mėnesio amžiaus, negalinčių daugintis triušių, kiekiu
;
![](https://i0.wp.com/studfiles.net/html/2706/314/html_Rq5KElOtrW.ucDZ/img-6YJ2Di.png)
Taigi, mes gauname
. (8.1)
Formulė (8.1) leidžia apskaičiuoti skaičių seką: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, . ..
Šios sekos skaičiai vadinami Fibonačio skaičiai .
Jei priimsime Ir
, tada naudodami (8.1) formulę galite nustatyti visus kitus Fibonačio skaičius. Formulė (8.1) vadinama pasikartojantis
formulė ( pasikartojimas
– „grįžimas“ lotyniškai).
8.1 pavyzdys. Tarkime, kad viduje yra laiptai nžingsniai. Galime lipti į jį vieno laiptelio žingsneliais arba dviem žingsniais. Kiek yra skirtingų kėlimo būdų derinių?
Jeigu n= 1, yra tik vienas problemos sprendimas. Dėl n= 2 yra 2 parinktys: du pavieniai žingsniai arba vienas dvigubas. Dėl n= 3 yra 3 variantai: trys pavieniai žingsniai arba vienas vienvietis ir vienas dvivietis, arba vienas dvigubas ir vienas vienvietis.
Tokiu atveju n= 4, turime 5 galimybes (1+1+1+1, 2+1+1, 1+2+1, 1+1+2, 2+2).
Norėdami atsakyti į atsitiktinai užduotą klausimą n, parinkčių skaičių pažymėkime kaip , ir pabandykime nustatyti
pagal žinomą
Ir
. Jei pradedame nuo vieno žingsnio, tada turime
deriniai likusiems nžingsniai. Jei pradedame nuo dvigubo žingsnio, tada turime
deriniai likusiems n– 1 žingsnis. Bendras parinkčių skaičius n+1 žingsnis lygus
. (8.2)
Gauta formulė primena (8.1) formulę kaip dvynį. Tačiau tai neleidžia mums nustatyti derinių skaičiaus su Fibonačio skaičiais
. Pavyzdžiui, matome
, Bet
. Tačiau atsiranda tokia priklausomybė:
.
Tai galioja n= 1, 2 ir taip pat tinka visiems n. Fibonačio skaičiai ir kombinacijų skaičius apskaičiuojami naudojant tą pačią formulę, tačiau pradinės vertės
,
Ir
,
jie skiriasi.
8.2 pavyzdys.Šis pavyzdys turi praktinę reikšmę sprendžiant klaidų taisymo kodavimo problemas. Raskite visų dvejetainių žodžių skaičių n, kuriame nėra kelių nulių iš eilės. Pažymėkime šį skaičių . Akivaizdu,
, o mūsų apribojimą tenkinantys 2 ilgio žodžiai yra: 10, 01, 11, t.y.
. Leisti
– toks žodis iš n personažai. Jei simbolis
, Tai
gali būti savavališkas (
)-pažodinis žodis, kuriame nėra kelių nulių iš eilės. Tai reiškia, kad žodžių, kurie baigiasi vienu, skaičius yra
.
Jei simbolis , tada būtinai
, ir pirmasis
simbolis
gali būti savavališkas, atsižvelgiant į nurodytus apribojimus. Todėl yra
žodžių ilgis
n su nuliu gale. Taigi bendras mus dominančių žodžių skaičius yra lygus
.
Atsižvelgiant į tai Ir
, gauta skaičių seka yra Fibonačio skaičiai.
8.3 pavyzdys. 7.6 pavyzdyje nustatėme, kad pastovaus svorio dvejetainių žodžių skaičius t(ir ilgis k) lygus . Dabar suraskime pastovaus svorio dvejetainių žodžių skaičių t, kuriame nėra kelių nulių iš eilės.
Galite galvoti taip. Leisti nulių skaičius nagrinėjamuose žodžiuose. Bet koks žodis turi
tarpai tarp artimiausių nulių, kurių kiekviename yra vienas ar daugiau vienetų. Manoma, kad
. Priešingu atveju nėra nė vieno žodžio be gretimų nulių.
Jei iš kiekvieno intervalo pašalinsime tiksliai vieną vienetą, gausime ilgio žodį kuriuose yra
nuliai. Bet kurį tokį žodį nurodytu būdu galima gauti iš kai kurių (ir tik vieno) k- pažodinis žodis, kuriame yra
nuliai, iš kurių nėra dviejų gretimų. Tai reiškia, kad reikiamas skaičius sutampa su visų ilgio žodžių skaičiumi
, kuriame tiksliai yra
nuliai, t.y. lygus
.
8.4 pavyzdys.Įrodykime, kad suma lygus Fibonačio skaičiams bet kuriam sveikajam skaičiui
. Simbolis
reiškia mažiausias sveikasis skaičius didesnis arba lygus
. Pavyzdžiui, jei
, Tai
; ir jeigu
, Tai
lubos(„lubos“). Taip pat yra simbolis
, kuris reiškia didžiausias sveikasis skaičius yra mažesnis arba lygus
. Angliškai ši operacija vadinama grindų
(„grindys“).
Jeigu , Tai
. Jeigu
, Tai
. Jeigu
, Tai
.
Taigi nagrinėjamais atvejais suma iš tikrųjų yra lygi Fibonačio skaičiams. Dabar pateikiame bendrojo atvejo įrodymą. Kadangi Fibonačio skaičius gali būti gaunamas naudojant pasikartojimo lygtį (8.1), lygybė turi būti įvykdyta:
.
Ir tai iš tikrųjų veikia:
Čia mes panaudojome anksčiau gautą formulę (4.4): .
Fibonačio skaičių suma
Nustatykime pirmojo sumą n Fibonačio skaičiai.
0+1+1+2+3+5 = 12,
0+1+1+2+3+5+8 = 20,
0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.
Nesunku pastebėti, kad pridėjus po vieną kiekvienos lygties dešinėje pusėje vėl gauname Fibonačio skaičių. Bendra pirmojo sumos nustatymo formulė n Fibonačio skaičiai turi tokią formą:
Įrodykime tai matematinės indukcijos metodu. Norėdami tai padaryti, parašykite:
Ši suma turėtų būti lygi .
Sumažinus kairę ir dešinę lygties puses –1, gauname (6.1) lygtį.
Fibonačio skaičių formulė
8.1 teorema. Fibonačio skaičius gali būti apskaičiuojamas naudojant formulę
.
Įrodymas. Patikrinkime šios formulės pagrįstumą n= 0, 1, tada įrodysime šios formulės pagrįstumą savavališkai n indukcijos būdu. Apskaičiuokime dviejų artimiausių Fibonačio skaičių santykį:
Matome, kad šių skaičių santykis svyruoja apie 1,618 (jei nepaisysime kelių pirmųjų reikšmių). Ši Fibonačio skaičių savybė primena geometrinės progresijos sąlygas. Priimkime ,
(
). Tada išraiška
konvertuoti į
kuris po supaprastinimų atrodo taip
.
Gavome kvadratinę lygtį, kurios šaknys yra lygios:
Dabar galime rašyti:
(Kur c yra konstanta). Abu nariai Ir
nenurodykite, pavyzdžiui, Fibonačio skaičių
, kol
. Tačiau skirtumas
tenkina pasikartojimo lygtį:
Dėl n=0 šis skirtumas suteikia , tai yra:
. Tačiau kai n=1 turime
. Gauti
, turite sutikti:
.
Dabar turime dvi sekas: Ir
, kurios prasideda tais pačiais dviem skaičiais ir atitinka tą pačią pasikartojimo formulę. Jie turi būti vienodi:
. Teorema įrodyta.
Kai didėja n narys tuo metu tampa labai didelis
, ir nario vaidmenį
skirtumas sumažėja. Todėl laisvėje n galime maždaug parašyti
.
Mes ignoruojame 1/2 (nes Fibonačio skaičiai didėja iki begalybės kaip n iki begalybės).
Požiūris paskambino aukso pjūvis, jis naudojamas už matematikos ribų (pavyzdžiui, skulptūroje ir architektūroje). Auksinis pjūvis yra santykis tarp įstrižainės ir kraštinės taisyklingas penkiakampis(8.1 pav.).
Ryžiai. 8.1. Taisyklingas penkiakampis ir jo įstrižainės
Auksiniam pjūviui pažymėti įprasta naudoti raidę garsaus Atėnų skulptoriaus Fidijaus garbei.
pirminiai skaičiai
Visi natūralieji skaičiai, dideli, skirstomi į dvi klases. Pirmasis apima skaičius, turinčius lygiai du natūralius daliklius, vieną ir save, o antrasis apima visus likusius. Skambinami pirmos klasės numeriai paprastas o antrasis - sudėtinis. Pirminiai skaičiai per pirmąsias tris dešimtis: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...
Pirminių skaičių savybes ir ryšį su visais natūraliaisiais skaičiais tyrė Euklidas (III a. pr. Kr.). Jei pirminius skaičius užrašysite iš eilės, pastebėsite, kad jų santykinis tankis mažėja. Pirmajam dešimtukui yra 4, t.y 40%, šimtui – 25, t.y. 25 proc., tūkstančiai – 168, t.y. mažiau nei 17 proc., milijonui – 78498, t.y. mažiau nei 8% ir tt Tačiau bendras jų skaičius yra begalinis.
Tarp pirminių skaičių yra tokių skaičių porų, kurių skirtumas lygus dviem (vad. paprasti dvyniai), tačiau tokių porų baigtinumas ar begalybė neįrodyta.
Euklidas manė, kad akivaizdu, kad padauginus tik pirminius skaičius galima gauti visus natūraliuosius skaičius, o kiekvienas natūralusis skaičius gali būti pavaizduotas kaip pirminių skaičių sandauga unikaliu būdu (iki veiksnių eilės). Taigi pirminiai skaičiai sudaro natūraliosios serijos dauginimo pagrindą.
Pirminių skaičių pasiskirstymo tyrimas leido sukurti algoritmą, leidžiantį gauti pirminių skaičių lenteles. Toks algoritmas yra Eratosteno sietas(III a. pr. Kr.). Šis metodas susideda iš šių tam tikros sekos sveikųjų skaičių pašalinimo (pavyzdžiui, išbraukiant). , kurie dalijasi bent iš vieno pirminio skaičiaus, mažesnio
.
Teorema 8 . 2 . (Euklido teorema). Pirminių skaičių skaičius yra begalinis.
Įrodymas. Euklido teoremą apie pirminių skaičių begalybę įrodysime Leonhardo Eulerio (1707–1783) pasiūlytu metodu. Euleris įvertino sandaugą virš visų pirminių skaičių p:
adresu . Ši sandauga suartėja, o jei ji išplečiama, tai dėl natūraliųjų skaičių skaidymo į pirminius veiksnius unikalumo paaiškėja, kad jis yra lygus eilučių sumai.
, iš kurio išplaukia Eulerio tapatybė:
.
Nuo kada dešinėje esanti serija skiriasi (harmoninė serija), tada Euklido teorema išplaukia iš Eulerio tapatybės.
Rusų matematikas P.L. Čebyševas (1821–1894) išvedė formulę, kuri nustato ribas, kuriose yra pirminių skaičių skaičius. , neviršijantis X:
,
Kur ,
.
Fibonačio skaičiai – Forex – yra matematinis ryšys ir įvairių Forex techninės analizės metodų ir strategijų pagrindas. Šie skaičiai yra daugelio kitų Forex rinkos strategijų pagrindas.
Jo garbei šiek tiek vėliau tokių skaičių sekos buvo pavadintos paties įkūrėjo vardu - “ Fibonačio serija».
Šios knygos pagalba europiečiai išmoko indoarabišką skaičių seką, po kurios romėniški skaitmenys buvo priversti nebenaudoti matematikoje ir geometrijoje. Visi Leonardo Fibonacci darbai, atnešė didžiulę naudą fizikos, matematikos, astronomijos ir. Pati unikali Fibonačio formulė stebėtinai paprasta: 1, 2, 3, 5, 8 (ir taip toliau iki begalybės).
Fibonačio skaičių serija turi labai neįprastų savybių, būtent kiekvienas skaičius yra susijęs su ankstesniu. Sudėjus dviejų gretimų Fibonačio skaičių sumą, gaunamas skaičius, einantis po pirmųjų dviejų. Kaip pavyzdį galime pateikti: 2 + 2 = 4. Bet kurio skaičiaus santykis su ankstesniu skaičiumi turi vertę, artimą aukso viduriui 1,618. Pavyzdžiui: 13: 8 = 1,625; arba 21: 13 = 1,615; ir taip toliau.
Taip pat apsvarstykime kitą Leonardo Fibonacci sekos pavyzdį:
Atkreipkite dėmesį, kaip skaičių santykis svyruoja apie 0,618 reikšmę!
Tiesą sakant, pats Leonardo Fibonacci nėra laikomas pirmuoju šios skaičių serijos atradėju. Nes šio matematinės sąsajos pėdsakų buvo rasta muzikoje, biologijoje ir architektūroje. Netgi planetų ir visos Saulės sistemos išsidėstymas remiasi šiomis taisyklėmis.
Fibonačio skaičius statybose naudojo graikai, statydami Partenoną, o egiptiečiai – statydami garsiąją Gizos piramidę. Unikalias „skaitinio vidurkio“ savybes žinojo ir didžiausi antikos mokslininkai, tokie kaip Platonas, Pitagoras, Archimedas ir Leonardo da Vinci.
Nuostabus Fibonačio skaičių raštas
Leonardo Fibonacci skaičių santykis ir korekcijos lygio procentinis santykis.
Paprastai korekcija visada susideda iš 3 šuolių...
Įprasta korekcija skirstoma į 2 tipus:
- tai zigzagas 5, 3, 5,
- taip pat plokštumos banga 3, 3, 5.
Ketvirtajame dažniausiai susidaro trikampiai, kurie nuolat yra prieš paskutinę suformuotą bangą. Šis formavimas taip pat gali būti korekcinė banga B.
Kiekviena banga yra padalinta į mažesnes ir yra ilgesnės bangos sudedamoji dalis.
Taip atsitinka, kad viena impulsinė banga yra ištempta, o kitos dvi, kaip taisyklė, turėtų būti vienodo dydžio ir susidarymo laiko.
Fibonačio koeficientai ir pataisos dydžių santykiai, gauti naudojant šiuos skaičius, naudojami rasti.
Korekcijos dydžio ir ankstesnio trendo judėjimo santykis dažniausiai yra lygus: 62, 50, 38 proc.
Kaitinimo metodas sako: neturėtumėte laukti to paties kainų dinamikos pasireiškimo 2 kartus iš eilės.
Aktyvi bulių rinka negali nukristi žemiau nei ankstesnės 4 bangos pradžia.
Be to, 4 banga neturėtų susikirsti su pirmąja.
Pagrindiniai Elioto teorijos kriterijai yra šie:
1) bangos forma;
2) jų ilgių santykis;
3) jų raidos laikotarpis.
Be to, kaip jau minėjome, daugelis kitų yra pagrįsti Leonardo Fibonacci sukurta seka, kuri tikrai bus paliesta šios svetainės medžiagoje.