Kompleksarvud ja kompleksterminitega jadad. Kompleksarvude koonduvad jadad Absoluutselt koonduvad kompleksarvude jadad
![Kompleksarvud ja kompleksterminitega jadad. Kompleksarvude koonduvad jadad Absoluutselt koonduvad kompleksarvude jadad](https://i1.wp.com/mathprofi.ru/k/slozhnye_ryady_clip_image006.gif)
Standardmeetodid, kuid jõudis teise näitega ummikusse.
Mis on raskus ja kus võib tõrge olla? Paneme kõrvale seebiköie, analüüsime rahulikult põhjuseid ja tutvume praktiliste lahendusmeetoditega.
Esimene ja kõige tähtsam: valdaval enamusel juhtudel on seeria konvergentsi uurimiseks vaja rakendada mõnda tuttavat meetodit, kuid seeria ühine termin on täis nii keerulist täidist, et pole üldse ilmne, mida sellega peale hakata . Ja lähed ringiga ringi: esimene märk ei tööta, teine ei tööta, kolmas, neljas, viies meetod ei tööta, siis visatakse mustandid kõrvale ja kõik algab otsast peale. Tavaliselt on see tingitud kogemuste puudumisest või lünkadest arvutuse teistes osades. Eriti kui jookseb järjestuse piirid ja pealiskaudselt lahti võetud funktsioonide piirangud, siis läheb raskeks.
Ehk siis inimene lihtsalt ei näe teadmiste või kogemuste puudumise tõttu vajalikku lahendust.
Vahel on süüdi ka “varjutus”, kui näiteks seeriate konvergentsi vajalik kriteerium lihtsalt ei täitu, aga teadmatuse, tähelepanematuse või hooletuse tõttu kukub see silma alt ära. Ja tuleb välja nagu sellel rattal, kus matemaatikaprofessor metsikute korduvate jadade ja numbriseeriate abil lasteülesande lahendas =)
Parimate traditsioonide kohaselt kohe elavad näited: read ja nende sugulased - erinevad, kuna teoreetiliselt on see tõestatud järjestuse piirid. Tõenäoliselt lüüakse esimesel semestril 1-2-3 leheküljelise tõestuse eest hingest välja, kuid nüüd piisab täiesti näitamaks, et seeriate ühtlustumise vajalik tingimus pole täidetud, viidates teadaolevatele faktidele. Kuulus? Kui õpilane ei tea, et n-nda astme juur on ülimalt võimas asi, siis ütleme, et seeria
pani ta ummikusse. Kuigi lahendus on nagu kaks ja kaks: , s.t. arusaadavatel põhjustel lähevad mõlemad sarjad lahku. Tagasihoidlik kommentaar “need piirid on teoreetiliselt tõestatud” (või isegi selle puudumine) on tasaarvestuseks täiesti piisav, arvutused on ju üsna rasked ja kindlasti ei kuulu arvridade sektsiooni.
Ja pärast järgmiste näidete uurimist üllatab teid paljude lahenduste lühidus ja läbipaistvus:
Näide 1
Uurige seeria konvergentsi
Lahendus: kõigepealt kontrollige täitmist vajalik lähenemise kriteerium. See pole formaalsus, vaid suurepärane võimalus tegeleda "väikese verevalamise" näitega.
"Stseeni ülevaatus" viitab lahknevale seeriale (üldistatud harmoonilise jada juhtum), kuid taas tekib küsimus, kuidas arvestada lugejas logaritmiga?
Ülesannete ligikaudsed näited tunni lõpus.
Ei ole haruldane, kui peate läbi viima kahepoolse (või isegi kolmepoolse) arutluskäigu:
Näide 6
Uurige seeria konvergentsi
Lahendus: esiteks tegele hoolikalt lugeja jaburusega. Järjestus on piiratud: . Seejärel:
Võrdleme oma seeriat sarjaga . Äsja saadud kahekordse ebavõrdsuse tõttu on see kõigi "en" jaoks tõsi:
Nüüd võrdleme seeriaid lahknevate harmooniliste jadatega.
Murru nimetaja vähem murdosa nimetaja, nii et murdosa ise – rohkem murrud (kui need pole selged, kirjutage paar esimest terminit üles). Seega iga "en" jaoks:
Nii et võrdluseks sari lahkneb koos harmooniliste seeriatega.
Kui nimetajat veidi muuta: , siis on mõttekäigu esimene osa sarnane:
. Kuid seeriate lahknevuse tõestamiseks on juba rakendatav ainult võrdluse piirtest, kuna ebavõrdsus on vale.
Koonduvate seeriatega on olukord “peegel”, see tähendab, et näiteks seeria puhul saab kasutada mõlemat võrdluskriteeriumi (ebavõrdsus on tõene) ja seeria puhul ainult piiravat kriteeriumi (võrratus on väär).
Jätkame safarit läbi metsiku looduse, kus silmapiiril paistis kari graatsilisi ja mahlakaid antiloope:
Näide 7
Uurige seeria konvergentsi
Lahendus: vajalik lähenemiskriteerium on täidetud ja me esitame taas klassikalise küsimuse: mida teha? Meie ees on midagi, mis sarnaneb koonduva jadaga, kuid siin pole selget reeglit - sellised assotsiatsioonid on sageli petlikud.
Sageli, aga mitte seekord. Kasutades Piiratud võrdluskriteerium Võrdleme oma seeriaid koonduvate seeriatega. Limiidi arvutamisel kasutame imeline piir , kus as lõpmatult väike seisab:
koondub koos kõrval .
Selle asemel, et kasutada tavalist kunstlikku korrutamise ja "kolmega jagamise" tehnikat, oli võimalik esialgu võrrelda koonduva jadaga.
Kuid siinkohal on soovitav hoiatus, et üldtermini konstant-kordisti ei mõjuta seeria konvergentsi. Ja just selles stiilis on loodud järgmise näite lahendus:
Näide 8
Uurige seeria konvergentsi
Näidis õppetunni lõpus.
Näide 9
Uurige seeria konvergentsi
Lahendus: eelmistes näidetes kasutasime siinuse piiritust, kuid nüüd on see omadus mängust väljas. Suurema murdosa nimetaja kasvu järjekord kui lugeja, nii et kui siinuse argument ja kogu ühine termin lõputult väike. Nagu te aru saate, on konvergentsi vajalik tingimus täidetud, mis ei võimalda meil tööst kõrvale hiilida.
Luuret viime läbi: vastavalt tähelepanuväärne samaväärsus , visake siinus mõttes ära ja hankige seeria. No midagi sellist….
Otsuse tegemine:
Võrdleme uuritavat seeriat lahknevate seeriatega. Kasutame limiidi võrdluskriteeriumi:
Asendame lõpmatu väikese samaväärsega: for .
Saadakse nullist erinev lõplik arv, mis tähendab, et uuritav seeria lahkneb koos harmooniliste seeriatega.
Näide 10
Uurige seeria konvergentsi
See on tee-seda-ise näide.
Edasiste toimingute kavandamisel sellistes näidetes aitab palju siinuse, arcsinuse, puutuja, arctangensi vaimne tagasilükkamine. Kuid pidage meeles, et see võimalus on olemas ainult siis, kui lõpmatult väike argument, mitte nii kaua aega tagasi sattusin ühe provokatiivse sarja peale:
Näide 11
Uurige seeria konvergentsi .
Lahendus: siin on mõttetu kasutada kaartangensi piiratust ja ka ekvivalentsus ei tööta. Väljund on üllatavalt lihtne:
Õppesari lahkneb, kuna ridade konvergentsi vajalik kriteerium ei ole täidetud.
Teine põhjus"Gag on the work" seisneb tavalise liikme korralikus keerukuses, mis põhjustab tehnilisi raskusi. Jämedalt öeldes, kui eespool käsitletud seeriad kuuluvad kategooriasse "arvate arvud", siis need kuuluvad kategooriasse "sina otsustad". Tegelikult nimetatakse seda keeruliseks "tavalises" tähenduses. Mitte igaüks ei lahenda õigesti mitut savanni faktoriaali, kraadi, juuri ja muid elanikke. Muidugi põhjustavad faktoriaalid kõige rohkem probleeme:
Näide 12
Uurige seeria konvergentsi
Kuidas tõsta faktoriaal võimsuseks? Kergesti. Vastavalt võimsustega toimingute reeglile on vaja toote iga tegur tõsta astmeni:
Ja muidugi tähelepanu ja veel kord tähelepanu, d'Alemberti märk ise töötab traditsiooniliselt:
Seega uuritav sari koondub.
Tuletan teile meelde ebakindluse kõrvaldamise ratsionaalset tehnikat: kui see on selge kasvu järjekord lugeja ja nimetaja - pole üldse vaja kannatada ja sulgusid avada.
Näide 13
Uurige seeria konvergentsi
Metsaline on väga haruldane, kuid teda leitakse ja oleks ebaõiglane temast kaameraobjektiiviga mööda hiilida.
Mis on kahekordse hüüumärgi faktoriaal? Faktoriaal "tuuleb" positiivsete paarisarvude korrutist:
Samamoodi "lõhib" faktoriaal positiivsete paaritute arvude korrutise:
Analüüsige, mis vahe on
Näide 14
Uurige seeria konvergentsi
Ja selles ülesandes proovige mitte kraadidega segi minna, imelised samaväärsused ja imelised piirid.
Lahenduste ja vastuste näidised tunni lõpus.
Kuid õpilane ei saa toita mitte ainult tiigreid - ka kavalad leopardid saavad oma saagile jälile:
Näide 15
Uurige seeria konvergentsi
Lahendus: vajalik lähenemiskriteerium, piirav kriteerium, d'Alemberti ja Cauchy kriteeriumid kaovad peaaegu silmapilkselt. Kuid mis kõige hullem, meid korduvalt päästnud ebavõrdsus on jõuetu. Tõepoolest, võrdlemine lahknevate seeriatega on ebavõrdsuse tõttu võimatu vale - kordaja-logaritm suurendab ainult nimetajat, vähendades murdosa ennast
murdosa suhtes. Ja veel üks globaalne küsimus: miks me oleme alguses kindlad, et meie sari
on kindlasti lahknev ja seda tuleb võrrelda mõne lahkneva seeriaga? Kas ta sobib üldse?
Integreeritud funktsioon? Vale integraal kutsub esile leinava meeleolu. Nüüd, kui meil oleks tüli
… siis jah. Lõpeta! Nii sünnivad ideed. Teeme otsuse kahes etapis:
1) Esiteks uurime ridade konvergentsi . Me kasutame lahutamatu omadus:
Integrand pidev peal
Seega number lahkneb koos vastava ebaõige integraaliga.
2) Võrrelge meie seeriaid lahknevate seeriatega . Kasutame limiidi võrdluskriteeriumi:
Saadakse nullist erinev lõplik arv, mis tähendab, et uuritav seeria lahkneb koos kõrvuti .
Ja sellises otsuses pole midagi ebatavalist ega loomingulist – nii tulebki otsustada!
Teen ettepaneku koostada iseseisvalt järgmine kaks käiku:
Näide 16
Uurige seeria konvergentsi
Mõne kogemusega õpilane näeb enamasti kohe, kas seeria läheneb või lahkneb, kuid juhtub, et kiskja maskeerib end osavalt põõsastesse:
Näide 17
Uurige seeria konvergentsi
Lahendus: esmapilgul pole üldse selge, kuidas see sari käitub. Ja kui meie ees on udu, siis on loogiline alustada seeria konvergentsi vajaliku tingimuse ligikaudse kontrollimisega. Ebakindluse kõrvaldamiseks kasutame uppumatut korrutamise ja jagamise meetod adjunktavaldisega:
Vajalik lähenemise märk ei töötanud, vaid tõi meie Tambovi seltsimehe päevavalgele. Teostatud teisenduste tulemusena saadi samaväärne seeria , mis omakorda meenutab kangesti koonduvat jada .
Kirjutame puhta lahenduse:
Võrrelge seda seeriat koonduvate seeriatega. Kasutame limiidi võrdluskriteeriumi:
Korrutage ja jagage adjoint-avaldisega:
Saadakse nullist erinev lõplik arv, mis tähendab, et uuritav seeria koondub koos kõrval .
Võib-olla on mõnel küsimus, kust hundid meie Aafrika safarilt tulid? Ei tea. Tõenäoliselt tõid nad selle. Saate järgmise trofee naha:
Näide 18
Uurige seeria konvergentsi
Lahendusnäide tunni lõpus
Ja lõpuks veel üks mõte, mis külastab paljusid meeleheitel õpilasi: selle asemel, kas kasutada seeriate konvergentsi jaoks haruldasemat kriteeriumi? Raabe märk, Abeli märk, Gaussi märk, Dirichleti märk ja muud tundmatud loomad. Idee töötab, kuid reaalsetes näidetes rakendatakse seda väga harva. Isiklikult olen kõigi praktikaaastate jooksul ainult 2-3 korda kasutanud Raabe märk kui standardarsenalist ei aidanud midagi. Ma reprodutseerin oma ekstreemse otsingu käigu täielikult:
Näide 19
Uurige seeria konvergentsi
Lahendus: Kahtlemata d'Alemberti märk. Arvutuste käigus kasutan aktiivselt kraadide omadusi, samuti teine imeline piir:
Siin on üks teile. D'Alemberti märk ei andnud vastust, kuigi miski ei ennustanud sellist tulemust.
Pärast juhendi läbimist leidsin vähetuntud piiri, mis on teoorias tõestatud, ja rakendasin tugevamat radikaalset Cauchy kriteeriumi:
Siin on teile kaks. Ja mis kõige tähtsam, pole üldse selge, kas seeria läheneb või lahkneb (minu jaoks äärmiselt harv olukord). Vajalik võrdlusmärk? Ilma suurema lootuseta - isegi kui ma mõtlematul viisil lugeja ja nimetaja kasvujärjekorra välja mõtlen, ei taga see ikkagi tasu.
Täielik d'Alembert, aga kõige hullem on see, et sari vajab lahendamist. Vaja. Lõppude lõpuks on see esimene kord, kui ma alla annan. Ja siis meenus mulle, et tundusid olevat võimsamad märgid. Enne mind polnud ta enam hunt, ei leopard ega tiiger. See oli tohutu elevant, kes lehvitas suure pagasiruumiga. Ma pidin granaadiheitja üles võtma:
Raabe märk
Mõelge positiivsele arvuseeriale.
Kui on piir , siis:
a) järjest lahkneb. Lisaks võib saadud väärtus olla null või negatiivne.
b) järjest koondub. Eelkõige koondub seeria jaoks .
c) Millal Raabe märk vastust ei anna.
Koostame limiidi ja lihtsustame murru hoolikalt:
Jah, pilt on pehmelt öeldes ebameeldiv, aga ma ei imestanud enam. lopitaalsed reeglid, ja esimene mõte, nagu hiljem selgus, osutus õigeks. Esmalt aga keerasin umbes tund aega “tavaliste” meetoditega limiiti, kuid ebakindlus ei tahtnud kuidagi kaduda. Ja ringides kõndimine, nagu kogemus näitab, on tüüpiline märk sellest, et on valitud vale lahendusviis.
Tuli pöörduda vene rahvatarkuse poole: "Kui miski ei aita, lugege juhiseid." Ja kui ma avasin Fichtenholtzi 2. köite, leidsin oma suureks rõõmuks uurimuse ühest identsest sarjast. Ja siis läks lahendus mudeli järgi.
1. Kompleksarvud. Keerulised numbrid nimetatakse vormi numbriteks x+iy, kus X ja y - reaalarvud, i-kujuteldav ühik, määratletud võrdsusega i 2 =-1. Reaalarvud X ja juures nimetatakse vastavalt kehtiv ja kujuteldavad osad kompleksarv z. Nende jaoks võetakse kasutusele märge: x = Rez; y=imz.
Geomeetriliselt iga kompleksarv z=x+iy tähistatud punktiga M (x; y) koordinaattasand xOy(joonis 26). Sel juhul lennuk tere nimetatakse kompleksarvu tasapinnaks või kompleksmuutuja z tasapind.
Polaarkoordinaadid r ja φ punktid M, mis on kompleksarvu z kujutis, nimetatakse moodul ja argument kompleksarv z; nende jaoks võetakse kasutusele märge: r=|z|, φ=Argz.
Kuna igale tasapinna punktile vastab lõpmatu arv polaarnurga väärtusi, mis erinevad üksteisest 2kπ võrra (k on positiivne või negatiivne täisarv), on Arg z-i lõpmatu väärtusega funktsioon.
Polaarnurga väärtuste see φ , mis rahuldab ebavõrdsust –π< φ ≤ π nimetatakse peamine tähtsus argument z ja tähistada arg z.
Järgnevalt tähistus φ salvestada ainult argumendi z põhiväärtuse jaoks , need. paneme φ =argz, kusjuures kõigi teiste argumendi väärtuste jaoks z saame võrdsuse
Arg z = arg z + 2kπ =φ + 2kπ.
Seosed kompleksarvu z mooduli ja argumendi ning selle reaal- ja imaginaarosa vahel määratakse valemitega
x = r cos φ; y = r sin φ.
Argument z saab määrata ka valemiga
arg z = arctg (y / x) + C,
kus FROM= 0 at x > 0, FROM= +π x jaoks<0, juures> 0; C \u003d - π at x < 0, juures< 0.
Asendamine x ja juures kompleksarvude tähistuses z = x+iy nende väljendused läbi r ja φ , saame nn kompleksarvu trigonomeetriline vorm:
Keerulised numbrid z 1 \u003d x 1 + iy 1 ja z 2 \u003d x 2 + iy 2 kaalus võrdne siis ja ainult siis, kui nende tegelik ja mõtteline osa on eraldi võrdsed:
z1 = z2, kui x 1 = x 2, y 1 = y 2 .
Trigonomeetrilisel kujul antud arvude puhul toimub võrdsus, kui nende arvude moodulid on võrdsed ja argumendid erinevad 2π täisarvu kordse võrra:
z 1 = z 2, kui |z 1 | = |z 2 | ja Arg z 1 = Arg z 2 +2kπ.
Kaks kompleksarvu z = x+iy ja z = x -iy võrdsete tegelike ja vastandlike kujuteldavate osadega nimetatakse konjugeeritud. Konjugeeritud kompleksarvude puhul seosed
|z 1 | = |z 2 |; arg z 1 = -arg z 2,
(viimasele võrdsusele võib anda vormi Arg z 1 + Arg z 2 = 2kπ).
Tehted kompleksarvudega on määratletud järgmiste reeglitega.
Lisand. Kui a z 1 \u003d x 1 + iy 1, z 2 \u003d x 2 + iy 2, siis
Kompleksarvude liitmine järgib kommutatiivseid ja assotsiatiivseid seadusi:
Lahutamine. Kui a , siis
Kompleksarvude liitmise ja lahutamise geomeetriliseks selgituseks on kasulik neid esitada mitte tasapinna punktidena z, ja vektorid: arv z = x + iy mida esindab vektor mille algus on punktis O (tasapinna nullpunkt – koordinaatide alguspunkt) ja lõpp punktis M(x; y). Seejärel teostatakse kompleksarvude liitmine ja lahutamine vastavalt vektorite liitmise ja lahutamise reeglile (joonis 27).
Vektorite liitmise ja lahutamise operatsioonide selline geomeetriline tõlgendus võimaldab hõlpsasti luua teoreeme kahe summa ja erinevuse mooduli ning mitme kompleksarvu summa kohta, mida väljendatakse võrratustega:
| |z 1 |-|z 2 | | ≤ |z 1 ±z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 | ,
Lisaks on kasulik seda meeles pidada kahe kompleksarvu erinevuse moodul z1 ja z2 on võrdne nende punktide vahelise kaugusega, mis on nende kujutised z-tasandil:| |z1-z2 |=d(z1,z2) .
Korrutamine. Kui a z 1 \u003d x 1 + iy 1, z 2 \u003d x 2 + iy 2. siis
z 1 z 2 \u003d (x 1 x 2 -y 1 y 2) + i (x 1 y 2 + x 2 y 1).
Seega korrutatakse kompleksarvud binoomidena, kusjuures i 2 asendatakse -1-ga.
Kui siis
Sellel viisil, korrutise moodul on võrdne somnoekteli moodulite korrutisega ja korrutise argument-tegurite argumentide summa. Kompleksarvude korrutamine järgib kommutatiivseid, assotsiatiivseid ja distributiivseid (liitmise suhtes) seadusi:
Jaoskond. Kahe algebralisel kujul antud kompleksarvu jagatise leidmiseks tuleks dividend ja jagaja korrutada jagajaga konjugeeritud arvuga:
" Kui a antud siis trigonomeetrilisel kujul
Sellel viisil, jagatise moodul on võrdne dividendi ja jagaja mooduli jagatisega, a argument privaatne on võrdne dividendi ja jagaja argumentide vahega.
Astendamine. Kui z= , siis on meil Newtoni binoomvalemiga
(P on positiivne täisarv); saadud avaldises on vaja astmed asendada i nende tähendused:
i 2 \u003d -1; i 3 =i; i 4 = 1; i 5 = 1,…
ja üldiselt
i 4k = 1; i 4k+1 =i; i 4k+2 = -1; i 4k+3 = -i .
Kui siis
(siin P võib olla kas positiivne või negatiivne täisarv).
Eriti,
(De Moivre’i valem).
Juure ekstraheerimine. Kui a P on positiivne täisarv, siis kompleksarvu n-s juur z on n erinevat väärtust, mis leitakse valemiga
kus k = 0, 1, 2, ..., n-1.
437.
Leia (z 1 z 2)/z 3, kui z1 = 3 + 5i, z 2 = 2 + 3i, z 3 = 1 + 2i.
∆
438.
number z= 2 + 5i.
∆ Leidke kompleksarvu moodul: . Leidke argumendi peamine väärtus: . Seetõttu ▲
439.
Esitage kompleks trigonomeetrilisel kujul
number
∆ Leia , ; , , st.
440.
Esitada trigonomeetrilises vormis kompleksis
numbrid 1, i, -1, -i.
441.
Esindavad numbreid ,
,
trigonomeetrilisel kujul ja seejärel leida kompleksarv
z 1/(z 2 z 3).
∆ Leia
Järelikult
442. Otsige üles kõik väärtused.
∆ Kompleksarvu kirjutame trigonomeetrilisel kujul. Meil on , , . Järelikult
Järelikult , ,
443. Lahendage binaarvõrrand ω 5 + 32i = 0.
∆ Kirjutame võrrandi ümber kujul ω 5 + 32i = 0. Number -32i esindavad trigonomeetrilisel kujul:
Kui a k = 0 siis üks).
k = 1,(B).
k = 2,(C).
k = 3,(D).
k = 4,(E).
Kaheliikmelise võrrandi juured vastavad raadiusega ringi sisse kirjutatud korrapärase viisnurga tippudele R = 2 tsentreeritud lähtepunktis (joonis 28).
Üldiselt kaheliikmelise võrrandi juured ω n \u003d a, kus a-kompleksarv, vastab regulaarse tippudele n-gon on kantud ringi, mille keskpunkt on alguspunktis ja raadius on võrdne ▲-ga
444. Kasutades De Moivre'i valemit, väljenda cos5φ ja sin5 φ läbi cosφ ja sinφ.
∆ Teisendame võrdsuse vasaku poole Newtoni binoomvalemi järgi:
Jääb võrdsustada võrdsuse tegelik ja kujuteldav osa:
445. Antud kompleksarv z = 2-2i. Otsi Rez, Imz, |z|, argz.
446. z = -12 + 5i.
447 . Arvutage avaldis Moivre'i valemi abil (cos 2° + isin 2°) 45 .
448. Arvutage De Moivre'i valemi abil.
449. Väljendage kompleksarv trigonomeetrilisel kujul
z = 1 + cos 20° + isin 20°.
450. Hinda väljendust (2 + 3i) 3 .
451.
Hinda väljendust
452. Hinda väljendust
453. Väljendage kompleksarv trigonomeetrilisel kujul 5-3i.
454. Väljendage kompleksarv trigonomeetrilisel kujul -1 + i.
455.
Hinda väljendust
456.
Hinda väljendust olles eelnevalt esitanud tegurid lugejas ja nimetajas trigonomeetrilisel kujul.
457. Otsige üles kõik väärtused
458.
Lahendage binaarvõrrand
459. väljendada cos4φ ja sin4φ läbi cosφ ja sinφ.
460. Näita, et punktide vaheline kaugus z1 ja z2 võrdub | z2-z1|.
∆ Meil on z 1 \u003d x 1 + iy 1, z 2 \u003d x 2 + iy 2, z 2 -z 1 \u003d (x 2 -x 1) + i (y 2 -y 1), kus
need. | z2-z1| on võrdne antud punktide vahelise kaugusega. ▲
461. Millist joont kirjeldab punkt z, mis rahuldab võrrandi kus Koos-konstantne kompleksarv ja R>0?
462.
Mis on võrratuste geomeetriline tähendus: 1) | z-c|
463. Mis on võrratuste geomeetriline tähendus: 1) Rez > 0; 2) im z< 0 ?
2. Keeruliste terminitega sari. Mõelge kompleksarvude järjestusele z 1, z 2 , z 3, ..., kus z p \u003d x p + iy p (n \u003d 1, 2, 3, ...). konstantne arv c = a + bi helistas piiri järjestused z 1, z 2 , z 3 , ..., kui mõne suvaliselt väikese arvu korral δ>0 on number N, Mida tähendab z lk numbritega n > N ebavõrdsust rahuldada \z n-koos\< δ . Sel juhul kirjutage .
Kompleksarvude jada piiri olemasolu vajalik ja piisav tingimus on järgmine: arv c=a+bi on kompleksarvude jada piir x 1 + iy 1, x 2 + iy 2, x 3 + iy 3, ... kui ja ainult kui , .
(1)
mille liikmed on kompleksarvud nimetatakse koonduv, kui nth osaline summa seeriast S n for n → ∞ kaldub teatud lõpppiirini. Vastasel juhul nimetatakse seeriat (1). lahknev.
Seeria (1) läheneb siis ja ainult siis, kui reaalväärtustega jada koondub
(2) Uurige ridade konvergentsi See jada, mille liikmed moodustavad lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni, koondub; seetõttu koondub antud keeruliste terminitega jada absoluutselt. ^
474. Leidke seeria konvergentsi ala
Jada piiri (1.5) kontseptsiooni olemasolu võimaldab käsitleda kompleksvaldkonnas jadasid (nii numbrilisi kui ka funktsionaalseid). Arvridade osasummad, absoluutne ja tingimuslik lähenemine on standardselt määratletud. Kus rea lähenemine eeldab kahe rea lähenemist, millest üks koosneb seeria tingimuste tegelikust ja teine kujuteldavatest osadest: Näiteks seeria koondub absoluutselt ja seeria − lahkneb (mõttelise osa tõttu).
Kui seeria tegelik ja kujuteldav osa lähenevad absoluutselt, siis
rida, sest . Tõsi on ka vastupidi: kompleksrea absoluutsest lähenemisest
reaalse ja kujuteldava osa absoluutne lähenemine on järgmine:
Sarnaselt funktsionaalsete seeriatega reaalses domeenis, kompleks
funktsionaalsed seeriad, nende punktipõhise ja ühtlase lähenemise pindala. Ilma muutusteta
sõnastatud ja tõestatud Weierstrassi märkühtlane lähenemine. on päästetud
kõik ühtlaselt koonduvate ridade omadused.
Funktsionaalsete seeriate uurimisel pakuvad erilist huvi võimsus
auastmed: , või pärast : . Nagu päriselt ikka
muutuv, tõsi abeli teoreem : kui (viimane) astmerida koondub punktis ζ 0 ≠ 0, siis see koondub ja absoluutselt iga ζ korral, mis rahuldab ebavõrdsust
Sellel viisil, lähenemispiirkond D see astmerida on ring raadiusega R, mille keskpunkt on lähtepunktis, kus R − lähenemisraadius − väärtuste täpne ülempiir (kust see termin tuli). Algne võimsusseeria koondub omakorda raadiusega ringi R keskusega kl z 0 . Veelgi enam, mis tahes suletud ringis koondub astmerida absoluutselt ja ühtlaselt (viimane väide tuleneb kohe Weierstrassi testist (vt kursust "Seeria").
Näide .
Leidke konvergentsi ring ja uurige konvergentsi tt-s. z 1 ja z 2 võimsusega seeriat Lahendus.
lähenemispiirkond − raadiuse ring R= 2 keskpunktiga t. z 0 = 1 − 2i
. z 1 asub konvergentsiringist väljas ja seeria lahkneb. Lips. punkt asub lähenemisringi piiril. Asendades selle algsesse seeriasse, järeldame:
− jada koondub Leibnizi testi järgi tinglikult.
Kui kõigis piiripunktides jada koondub absoluutselt või lahkneb vastavalt vajalikule kriteeriumile, saab selle kohe kindlaks teha kogu piiri kohta. Selleks asendage järjest
terminite väärtuse moodulitest R avaldise asemel ja uurige saadud seeriat.
Näide. Mõelge viimase näite seeriale, muutes ühte tegurit:
Seeria konvergentsipiirkond jääb samaks: Asendus moodulite seerias
tulenev lähenemisraadius:
Kui tähistame rea summat f(z), st. f(z) = (loomulikult sisse
konvergentsi piirkond), siis nimetatakse seda seeriat taylori lähedal funktsioonid f(z) või funktsiooni laiendamine f(z) Taylori sarjas. Konkreetsel juhul, kui z 0 = 0, nimetatakse seeriat Maclaurini lähedal funktsioonid f(z) .
1.7 Põhiliste elementaarfunktsioonide määratlus. Euleri valem.
Mõelge võimsusseeriale If z on reaalne muutuja, siis see esindab
on Maclaurini seeria funktsiooni laiendus ja seetõttu rahuldab
eksponentsiaalfunktsiooni iseloomulik omadus: , s.t. . See on määramise aluseks eksponentsiaalne funktsioon kompleksi piirkonnas:
Definitsioon 1. .
Funktsioonid on määratletud sarnaselt
2. definitsioon.
Kõik kolm seeriat lähenevad absoluutselt ja ühtlaselt komplekstasandi mis tahes piiratud suletud piirkonnas.
Kolmest saadud valemist tuleneb lihtne asendus Euleri valem:
Siit järgneb see kohe demonstratsioon kompleksarvude tähistus:
Euleri valem loob seose tavalise ja hüperboolse trigonomeetria vahel.
Mõelge näiteks funktsioonile: Ülejäänud suhted saadakse sarnaselt. Niisiis:
Näited. Esitage need väljendid kujul
2. (sulgudes olev avaldis on arv i
, kirjutatud eksponentsiaalsel kujul)
4. Leidke teist järku lineaarse DE lineaarselt sõltumatud lahendid:
Iseloomuliku võrrandi juured on:
Kuna me otsime võrrandile reaalseid lahendusi, võime võtta funktsioonid
Lõpetuseks defineerime kompleksmuutuja logaritmilise funktsiooni. Nagu reaalses domeenis, käsitleme seda eksponentsiaalse pöördväärtusega. Lihtsuse huvides võtame arvesse ainult eksponentsiaalfunktsiooni, s.o. lahenda võrrand jaoks w, mida me nimetame logaritmiliseks funktsiooniks. Selleks võtame võrrandi logaritmi, esitades z eksponentsiaalsel kujul:
Kui arg asemel z kirjuta Arg z(1.2), siis saame lõpmatu väärtusega funktsiooni
1.8 FKP tuletis. Analüütilised funktsioonid. Cauchy-Riemanni tingimused.
Lase w = f(z) on ühe väärtusega funktsioon, mis on määratletud domeenis .
Definitsioon 1. tuletis funktsioonist f (z) punktis nimetatakse funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piiriks, kui viimane kipub olema null:
Funktsioon, millel on punktis tuletis z, kutsutakse eristatav sel hetkel.
Ilmselgelt on kõik tuletiste aritmeetilised omadused täidetud.
Näide .
Newtoni binoomvalemit kasutades järeldatakse samamoodi, et
Eksponenti, siinuse ja koosinuse seeriad vastavad kõigile terminite kaupa eristamise tingimustele. Otsese kontrollimise teel on lihtne teada saada, et:
Kommenteeri. Kuigi FKP tuletise definitsioon kattub formaalselt täielikult FDP definitsiooniga, on see sisuliselt keerulisem (vt märkust punktis 1.5).
2. definitsioon. Funktsioon f(z), mis on domeeni kõigis punktides pidevalt diferentseeritav G, kutsutakse analüütiline või regulaarne selles piirkonnas.
1. teoreem . Kui funktsioon f (z) diferentseeruv kõigis domeeni G punktides, siis on see selles valdkonnas analüütiline. (b/d)
Kommenteeri. Tegelikult kehtestab see teoreem FKP regulaarsuse ja diferentseeritavuse samaväärsuse domeenides.
2. teoreem. Funktsioonil, mis on mõnes domeenis diferentseeruv, on selles valdkonnas lõpmatult palju tuletisi. (b/d. Allpool (jaotis 2.4) tõestatakse seda väidet teatud lisaeeldustel)
Esitame funktsiooni tegelike ja kujuteldavate osade summana: Teoreem 3. ( Cauchy − Riemanni tingimused). Laske funktsioonil f (z) on mingil hetkel eristatav. Siis funktsioonid u(x,y) ja v(x,y) on selles punktis osalised tuletised ja
Ja helistas Cauchy-Riemanni tingimused .
Tõestus . Kuna tuletise väärtus ei sõltu koguse kalduvusest
Nulliks valime järgmise tee: Saame:
Samamoodi, kui meil on:
, mis tõestab teoreemi.
Tõsi on ka vastupidine:
4. teoreem. Kui funktsioonid u (x,y) ja v(x,y) omavad mingil hetkel pidevaid osatuletisi, mis vastavad Cauchy-Riemanni tingimustele, siis funktsioon ise f(z) on sel hetkel eristatav. (b/d)
Teoreemid 1–4 näitavad põhimõttelist erinevust FKP ja FDP vahel.
Teoreem 3 võimaldab teil arvutada funktsiooni tuletise mis tahes järgmise valemi abil:
Samas võib kaaluda X ja juures suvalised kompleksarvud ja arvutage tuletis valemite abil:
Näited. Kontrollige funktsiooni regulaarsust. Kui funktsioon on regulaarne, arvutage selle tuletis.
Definitsioon: Kompleksarvude arvuseeria z 1, z 2, …, z n , … nimetatakse vormi väljenduseks
z 1 + z 2 + …, z n + … = ,(3.1)
kus z n nimetatakse seeria ühiseks liikmeks.
Definitsioon: Number S n \u003d z 1 + z 2 + ..., z n nimetatakse seeria osasummaks.
Definitsioon: Jada (1) nimetatakse koonduvaks, kui selle osasummade jada (S n ) läheneb. Kui osasummade jada lahkneb, nimetatakse jada lahknevateks.
Kui jada koondub, nimetatakse arvu S = jada (3.1) summaks.
z n = x n + iy n,
siis seeria (1) kirjutatakse kui
= + .
Teoreem: Seeria (1) läheneb siis ja ainult siis, kui seeria ja , mis koosneb seeria (3.1) tingimuste tegelikust ja imaginaarsest osast, lähenevad.
See teoreem võimaldab meil reaalterminite kõrval olevad konvergentsikriteeriumid üle kanda keeruliste terminitega jadadesse (vajalik kriteerium, võrdluskriteerium, d'Alembert, Cauchy kriteerium jne).
Definitsioon. Jada (1) nimetatakse absoluutselt koonduvaks, kui selle liikmete moodulitest koosnev jada koondub.
Teoreem. Rea (3.1) absoluutseks konvergentsi jaoks on vajalik ja piisav, et jada ja lähenevad absoluutselt.
Näide 3.1. Uurige välja seeriate lähenemise olemus
Lahendus.
Mõelge sarjale
Näitame, et need seeriad lähenevad absoluutselt. Selleks tõestame, et seeria
Lähenevad.
Kuna , rea asemel võtame rea. Kui viimane seeria koondub, siis seeriad koonduvad ka võrdluses.
Rea ja konvergents on tõestatud integraaltesti abil.
See tähendab, et jada ja koonduvad absoluutselt ning vastavalt viimasele teoreemile koondub algseeria absoluutselt.
4. Keeruliste terminitega jõurida. Abeli astmeridade teoreem. Ring ja lähenemisraadius.
Definitsioon. Jõuseeria on vormi jada
kus … on kompleksarvud, mida nimetatakse jada koefitsientideks.
Rea (4.I) lähenemispiirkond on ring .
Kõiki astmeid sisaldava antud seeria lähenemisraadiuse R leidmiseks kasutatakse üht valemit:
Kui seeria (4.1) ei sisalda kõiki astmeid, siis tuleb selle leidmiseks kasutada otse d'Alemberti või Cauchy testi.
Näide 4.1. Leidke seeria konvergentsi ring:
Lahendus:
a) Selle jada lähenemisraadiuse leidmiseks kasutame valemit
Meie puhul
Seega annab ridade konvergentsiringi ebavõrdsus
b) Rea konvergentsiraadiuse leidmiseks kasutame d'Alemberti testi.
Limiidi arvutamiseks kasutati L'Hopitali reeglit kaks korda.
D'Alemberti testi järgi koondub seeria, kui . Seega on meil ridade konvergentsi ring.
5. Kompleksmuutuja eksponentsiaal- ja trigonomeetrilised funktsioonid.
6. Euleri teoreem. Euleri valemid. Kompleksarvu eksponentsiaalne vorm.
7. Liitmisteoreem. Eksponentfunktsiooni perioodilisus.
Eksponentfunktsioon ja trigonomeetrilised funktsioonid ja on määratletud vastavate astmeridade summadena, nimelt:
Need funktsioonid on seotud Euleri valemitega:
mida nimetatakse vastavalt hüperboolseks koosinusteks ja siinusteks, seostatakse trigonomeetrilise koosinuse ja siinusega valemite abil
Funktsioonid , , , on defineeritud nagu pärisanalüüsis.
Mis tahes kompleksarvude ja liitmisteoreemi puhul kehtib:
Iga kompleksarvu saab kirjutada eksponentsiaalsel kujul:
on tema argument.
Näide 5.1. Otsi
Lahendus.
Näide 5.2. Väljendage arv eksponentsiaalsel kujul.
Lahendus.
Leidke selle arvu moodul ja argument:
Siis saame
8. Kompleksmuutuja funktsioonide piir, pidevus ja ühtlane pidevus.
Lase E on mingi komplekstasandi punktide kogum.
Definitsioon. Seda öeldakse võtteplatsil E funktsioon on antud f kompleksne muutuja z, kui iga punkt z E reegli järgi f on määratud üks või mitu kompleksarvu w(esimesel juhul nimetatakse funktsiooni ühe väärtusega, teisel - mitme väärtusega). Tähistage w = f(z). E on funktsiooni määratluse valdkond.
mis tahes funktsiooni w = f(z) (z = x + iy) saab vormis kirjutada
f(z) = f(x + iy) = U(x, y) + iV(x, y).
U(x, y) = R f(z) nimetatakse funktsiooni reaalosaks ja V(x, y) = Imf(z) on funktsiooni f(z) mõtteline osa.
Definitsioon. Laske funktsioonil w = f(z) on punkti mõnes naabruses määratletud ja ainulaadne z 0, välistades võib-olla selle asja z0. Arvu A nimetatakse funktsiooni piiriks f(z) punktis z0, kui üldse ε > 0, saab määrata arvu δ > 0 nii, et kõigi jaoks z = z0 ja ebavõrdsuse rahuldamine |z – z 0 |< δ , ebavõrdsus | f(z) – A|< ε.
Kirjuta üles
Definitsioonist tuleneb, et z → z0 meelevaldselt.
Teoreem. Funktsiooni piiri olemasolu eest w = f(z) punktis z 0 = x 0 + iy 0 see on vajalik ja piisav, et funktsiooni piirid U(x, y) ja V(x, y) punktis (x0, y0).
Definitsioon. Laske funktsioonil w = f(z) on defineeritud ja ainulaadne mõnes punkti z 0 läheduses, kaasa arvatud see punkt ise. Funktsioon f(z) nimetatakse pidevaks punktis z 0, kui
Teoreem. Funktsiooni pidevuse jaoks punktis z 0 = x 0 + iy 0 see on vajalik ja piisav, et funktsioonid U(x, y) ja V(x, y) punktis (x0, y0).
Teoreemidest järeldub, et kõige lihtsamad reaalmuutujate funktsioonide piiri ja pidevusega seotud omadused kanduvad üle keeruka muutuja funktsioonidele.
Näide 7.1. Eraldage funktsiooni tegelik ja kujuteldav osa.
Lahendus.
Funktsiooni määratlevas valemis asendame
Nulli kahes erinevas suunas, funktsioon U(x, y) on erinevad piirid. See tähendab, et hetkel z = 0 funktsiooni f(z) pole piirangut. Järgmiseks funktsioon f(z) määratletud kohtades, kus .
Lase z 0 = x 0 + iy 0, üks neist punktidest.
See tähendab, et punktides z = x + iy juures y 0 funktsioon on pidev.
9. Kompleksmuutuja funktsioonide jadad ja jadad. Ühtlane lähenemine. Jõuseeria järjepidevus.
Täpselt samal viisil moodustatakse ja tõestatakse ühtlase koondumisega kompleksmuutuja koonduva jada ja koonduvate funktsioonide jada, mis vastab võrdse konvergentsi teooriale, jada piiri pidevus, jada summa. nagu reaalse muutuja funktsioonide jadad ja seeriad.
Toome välja faktid, mis on vajalikud järgnevaks funktsionaalsete seeriate kohta.
Laske piirkonda sisse D defineeritakse kompleksmuutuja (fn (z)) üheväärtuslike funktsioonide jada. Siis sümbol:
helistas funktsionaalne vahemik.
Kui a z0 kuulub D fikseeritud, siis seeria (1) saab olema numbriline.
Definitsioon. Funktsionaalne vahemik (1) nimetatakse piirkonnas konvergentseks D, kui üldse z omandis D, koondub sellele vastav arvuseeria.
Kui rida (1) koondub piirkonnas D, siis saab selles piirkonnas määratleda ühe väärtusega funktsiooni f(z), mille väärtus igas punktis z omandis D on võrdne vastava numbrirea summaga. Seda funktsiooni nimetatakse seeria summa (1) piirkonnas D .
Definitsioon. Kui a
kellelegi z omandis D, kehtib järgmine ebavõrdsus:
siis rida (1) nimetatakse piirkonnas ühtlaselt koonduvaks D.
Keeruliste terminitega sari.
19.3.1. Keeruliste terminitega arvrida. Kõik konvergentsi põhimääratlused, koonduvate ridade omadused, keeruliste ridade konvergentsikriteeriumid ei erine millegi poolest tegelikust juhtumist.
19.3.1.1. Põhimääratlused. Olgu antud kompleksarvude lõpmatu jada. Arvu reaalosa tähistatakse , kujuteldava - (st .
Numbriseeria- vaata rekordit .
Sarja osalised summad:
Definitsioon. Kui on piir S rea osasummade jadad , mis on õige kompleksarv, siis öeldakse, et seeria läheneb; number S nimetatakse seeria summaks ja kirjutage või .
Leidke osasummade reaalne ja mõtteline osa: , kus sümbolid ja tähistage osasumma tegelikku ja mõttelist osa. Arvjada koondub siis ja ainult siis, kui selle reaal- ja kujuteldavatest osadest koosnevad jadad koonduvad. Seega koondub keerukate terminitega jada siis ja ainult siis, kui selle reaal- ja kujuteldavatest osadest moodustatud jada koonduvad.
Näide.
19.3.1.2. Absoluutne lähenemine.
Definitsioon. Rida nimetatakse absoluutselt konvergentne kui seeria läheneb , mis koosneb selle liikmete absoluutväärtustest.
Nii nagu suvaliste terminitega arvuliste reaalridade puhul, saab tõestada, et kui jada koondub, siis seeriad tingimata ühtlustuvad. Kui jada koondub ja seeria lahkneb, siis öeldakse, et seeria on tinglikult koonduv.
Seeria on mittenegatiivsete liikmetega jada, seetõttu saab selle konvergentsi uurimiseks kasutada kõiki teadaolevaid tunnuseid (alates võrdlusteoreemidest kuni Cauchy integraaltestini).
Näide. Uurige seeriat lähenemiseks.
Teeme rea mooduleid (): . See seeria läheneb (Cauchy test ), nii et algseeria läheneb absoluutselt.
19.1.3.4. Konvergentsete ridade omadused. Keeruliste terminitega koonduvate ridade puhul kehtivad kõik reaaltingimustega seeria omadused:
Vajalik kriteerium ridade konvergentsi jaoks. Konvergentse rea ühine liige kipub olema null as.
Kui seeria koondub, siis koondub mis tahes selle jääk. Vastupidi, kui seeria mõni jääk koondub, siis seeria ise läheneb.
Kui seeria läheneb, siis selle jäägi summa pärastn -th liige kipub nulli juures.
Kui koonduva jada kõik liikmed korrutatakse sama arvuga Koos, siis seeria konvergents säilib ja summa korrutatakse arvuga Koos.
Konvergentsed read ( AGA) ja ( AT) saab termini kaupa liita ja lahutada; saadud jada läheneb samuti ja selle summa on võrdne.
Kui koonduvate ridade liikmed on meelevaldselt rühmitatud ja igas sulgudes olevate liikmete summadest moodustatakse uus jada, siis ka see uus jada koondub ja selle summa võrdub algse seeria summaga .
Kui jada läheneb absoluutselt, siis selle liikmete mis tahes permutatsiooni korral konvergents säilib ja summa ei muutu.
Kui read ( AGA) ja ( AT) lähenevad absoluutselt nende summaleja, siis nende korrutis suvalise terminite järjekorra korral läheneb samuti absoluutselt ja selle summa on võrdne.
19.3.2. Võimsuskompleksi seeria.
Definitsioon. Keeruliste terminitega astmerida on vormi jada
kus on konstantsed kompleksarvud (rea koefitsiendid), on fikseeritud kompleksarv (konvergentsiringi keskpunkt). Mis tahes arvväärtuse jaoks z seeria muutub keerukate terminitega, koonduvate või lahknevate arvulisteks jadadeks. Kui seeria ühes punktis koondub z , siis nimetatakse seda punkti seeria konvergentsipunktiks. Astmete ridadel on vähemalt üks lähenemispunkt – punkt . Konvergentsipunktide kogumit nimetatakse jada konvergentsipiirkonnaks.
Mis puudutab reaalterminitega astmerida, siis kogu tähenduslik teave astmerea kohta sisaldub Abeli teoreemis.
Abeli teoreem. Kui astmerida koondub punktis , siis
1. see koondub absoluutselt ringi mis tahes punktis ;
2. Kui see seeria lahkneb punktis , siis lahkneb see mis tahes punktis z
, mis rahuldab ebavõrdsust (st asub punktist kaugemal kui ).
Tõestus kordab sõna-sõnalt lõigu tõestust 18.2.4.2. Abeli teoreem pärisliikmetega sarja jaoks.
Abeli teoreem eeldab sellise mittenegatiivse reaalarvu olemasolu R , et seeria koondub absoluutselt raadiusega ringi mis tahes sisepunktis R tsentreeritud , ja lahkneb mis tahes punktist väljaspool seda ringi. Number R helistas lähenemisraadius, ring - lähenemise ring. Selle ringi piiripunktides - raadiusega ringid R tsentreeritud punkti – seeriad võivad nii läheneda kui ka lahkneda. Nendel punktidel on moodulite seeria vorm . Võimalikud on järgmised juhtumid:
1. Seeria koondub. Sel juhul koondub seeria absoluutselt suvalises ringi punktis.
2. Sari erineb, kuid selle ühine termin . Sel juhul võib seeria mõnes ringi punktis tinglikult läheneda, teistes aga lahkneda, s.t. iga punkt nõuab individuaalset uurimist.
3. Seeria lahkneb ja selle ühine termin ei kipu olema nullis . Sel juhul lahkneb seeria piirringi mis tahes punktis.