Funktsiooni piiri ja pidevuse mõiste. Piir ja järjepidevus. Funktsiooni pidevus punktis ja intervallil
![Funktsiooni piiri ja pidevuse mõiste. Piir ja järjepidevus. Funktsiooni pidevus punktis ja intervallil](https://i0.wp.com/mathprofi.ru/i/nepreryvnost_funkcii_i_tochki_razryva_clip_image004.jpg)
Funktsioonide järjepidevus. Murdepunktid.
Sõnn kõnnib, õõtsub, ohkab liikvel olles:
- Oh, tahvel on lõppemas, nüüd ma kukun!
Selles tunnis analüüsime funktsiooni pidevuse mõistet, katkestuspunktide klassifikatsiooni ja levinud praktilist probleemi funktsiooni järjepidevuse uurimine. Juba teema pealkirja järgi arvavad paljud intuitiivselt, mida arutatakse, ja arvavad, et materjal on üsna lihtne. See on tõsi. Kuid hooletusse jätmise ja pealiskaudse lähenemise eest karistatakse kõige sagedamini just lihtsaid ülesandeid. Seetõttu soovitan teil artiklit hoolikalt uurida ja mõista kõiki peensusi ja tehnikaid.
Mida pead teadma ja oskama? Mitte väga. Hea õppimiskogemuse saamiseks peate mõistma, mida funktsiooni piirang. Madala ettevalmistustasemega lugejatele piisab artiklist aru saamisest Funktsioonide piirangud. Lahendusnäited ja vaadake juhendist piiri geomeetrilist tähendust Elementaarfunktsioonide graafikud ja omadused. Samuti on soovitatav end kurssi viia graafikute geomeetrilised teisendused, kuna praktika hõlmab enamikul juhtudel joonise koostamist. Väljavaated on kõigi jaoks optimistlikud ja isegi täis veekeetja saab järgmise tunni või paari jooksul ülesandega iseseisvalt hakkama!
Funktsioonide järjepidevus. Katkestuspunktid ja nende klassifikatsioon
Funktsiooni pidevuse mõiste
Vaatleme mõnda funktsiooni, mis on pidev kogu reaalreal:
Või lühidalt öeldes on meie funktsioon pidev sees (reaalarvude hulk).
Mis on järjepidevuse "filisti" kriteerium? On ilmne, et pideva funktsiooni graafikut saab joonistada ilma pliiatsit paberilt tõstmata.
Sel juhul tuleks selgelt eristada kahte lihtsat mõistet: funktsiooni ulatus ja funktsiooni järjepidevus. Üldiselt see pole sama. Näiteks:
See funktsioon on määratletud tervel arvureal, st jaoks kõik"x" väärtusel on oma "y" väärtus. Eelkõige, kui , siis . Pange tähele, et teine punkt on välja löödud, sest funktsiooni definitsiooni järgi peab argumendi väärtus ühtima ainuke asi funktsiooni väärtus. Sellel viisil, domeeni meie omadused: .
Kuid see funktsioon ei ole pidevalt sisse lülitatud! On üsna ilmne, et hetkel ta peab vastu lõhe. Termin on ka üsna arusaadav ja selge, tõepoolest, siin tuleb pliiats nagunii paberilt maha rebida. Veidi hiljem käsitleme murdepunktide klassifikatsiooni.
Funktsiooni pidevus punktis ja intervallil
Konkreetse matemaatilise ülesande puhul saame rääkida funktsiooni pidevusest punktis, funktsiooni pidevusest intervallil, poolintervallil või funktsiooni pidevusest segmendil. See on, pole "lihtsalt järjepidevust"– funktsioon võib KUSALIKULT olla pidev. Ja kõige muu põhiline "telliskivi" on funktsiooni järjepidevus punktis .
Matemaatilise analüüsi teooria defineerib funktsiooni pidevuse punktis "delta" ja "epsilon" naabruskonna abil, kuid praktikas on kasutusel teine definitsioon, millele pöörame suurt tähelepanu.
Meenutagem kõigepealt ühepoolsed piirangud kes tungisid meie ellu esimesel õppetunnil funktsioonigraafikute kohta. Mõelge igapäevasele olukorrale:
Kui läheneme piki telge punktile vasakule(punane nool), siis lähevad "mängude" vastavad väärtused piki telge punktini (vaarikanool). Matemaatiliselt fikseeritakse see fakt kasutades vasakpoolne piirang:
Pöörake tähelepanu kirjele (selles on kirjas "x kipub vasakult ka-le"). "Lisaaine" "miinus null" sümboliseerib , mis sisuliselt tähendab, et läheneme numbrile vasakult poolt.
Samamoodi, kui lähenete punktile "ka" paremal(sinine nool), siis on „mängud” sama väärtusega , kuid mööda rohelist noolt ja parema käe piir vormindatakse järgmiselt:
"Täiendus" sümboliseerib , ja kirje kõlab järgmiselt: "x kipub ka paremalt."
Kui ühepoolsed piirid on lõplikud ja võrdsed(nagu meie puhul): , siis ütleme, et on ÜLDpiirang. See on lihtne, kogulimiit on meie "tavaline" funktsiooni piirang võrdne lõpliku arvuga.
Pange tähele, et kui funktsioon ei ole defineeritud (tõmmake graafiku harule must täpp välja), jäävad loetletud arvutused kehtima. Nagu on korduvalt märgitud, eriti artiklis lõpmata väikeste funktsioonide kohta, väljendid tähendavad, et "x" lõpmatult lähedal läheneb punktile , samas EBAASJAOLU kas funktsioon ise on antud punktis defineeritud või mitte. Hea näide on järgmises jaotises, kus funktsiooni analüüsitakse.
Definitsioon: funktsioon on punktis pidev, kui funktsiooni piir antud punktis on võrdne funktsiooni väärtusega selles punktis: .
Määratlus on üksikasjalikult kirjeldatud järgmistes mõistetes:
1) Funktsioon peab olema defineeritud punktis , see tähendab, et väärtus peab eksisteerima.
2) Funktsioonil peab olema ühine piirmäär. Nagu eespool märgitud, tähendab see ühekülgsete piiride olemasolu ja võrdsust: .
3) Funktsiooni piirväärtus antud punktis peab olema võrdne funktsiooni väärtusega selles punktis: .
Kui rikutakse vähemalt üks kolmest tingimusest, siis funktsioon kaotab pidevuse omaduse punktis .
Funktsiooni pidevus intervallil sõnastatud vaimukalt ja väga lihtsalt: funktsioon on intervallil pidev, kui ta on pidev antud intervalli igas punktis.
Eelkõige on paljud funktsioonid pidevad lõpmatul intervallil, st reaalarvude hulgal. See on lineaarne funktsioon, polünoomid, astendaja, siinus, koosinus jne. Ja üldiselt mis tahes elementaarne funktsioon pidev selle peal domeenid, seega on näiteks logaritmiline funktsioon intervallil pidev. Loodan, et nüüdseks on teil peamiste funktsioonide graafikud hea ettekujutus. Täpsemat infot nende järjepidevuse kohta saab lahkelt Fichtenholtzilt.
Funktsiooni järjepidevusega segmendil ja poolintervallidel on kõik samuti lihtne, kuid õigem on sellest õppetükis rääkida funktsiooni minimaalse ja maksimaalse väärtuse leidmisel segmendis seni hoidkem pead maas.
Murdepunktide klassifikatsioon
Funktsioonide põnev elukäik on rikas kõikvõimalike eripunktide poolest ning murdepunktid on vaid üks lehekülg nende eluloost.
Märge : igaks juhuks peatun elementaarsel hetkel: murdepunkt on alati üks punkt- pole olemas "mitu murdepunkti järjest", see tähendab, et pole olemas sellist asja nagu "vaheaeg".
Need punktid jagunevad omakorda kahte suurde rühma: esimest tüüpi pausid ja teist tüüpi pausid. Igal lõhe tüübil on oma iseloomulikud tunnused, mida me praegu vaatame:
Esimest tüüpi katkestuspunkt
Kui järjepidevuse tingimust mingis punktis rikutakse ja ühepoolsed piirangud lõplik , siis nimetatakse seda esimest tüüpi murdepunkt.
Alustame kõige optimistlikuma juhtumiga. Tunni esialgse idee kohaselt tahtsin teooriat rääkida "üldiselt", kuid materjali reaalsuse demonstreerimiseks otsustasin konkreetsete näitlejatega variandiga.
Kahjuks nagu foto noorpaaridest igavese leegi taustal, kuid järgmine kaader on üldiselt aktsepteeritud. Joonistame joonisel oleva funktsiooni graafiku:
See funktsioon on pidev kogu arvureal, välja arvatud punkt. Tõepoolest, nimetaja ei saa olla võrdne nulliga. Siiski, vastavalt piiri tähendusele - saame lõpmatult lähedal läheneda nullile nii vasakult kui ka paremalt, see tähendab, et ühepoolsed piirid on olemas ja ilmselgelt langevad kokku: (Järjepidevuse tingimus nr 2 on täidetud).
Kuid funktsioon ei ole punktis defineeritud, seetõttu rikutakse järjepidevuse tingimust nr 1 ja selles punktis funktsioon katkeb.
Selline paus (koos olemasolevaga üldine piirmäär) kutsutakse parandatav vahe. Miks eemaldatav? Kuna funktsioon saab uuesti määratleda murdepunktis:
Kas see näeb imelik välja? Võib olla. Aga selline funktsiooni rekord ei räägi millegi vastu! Nüüd on vahe parandatud ja kõik on rahul:
Teeme ametliku kontrolli:
2) – on olemas ühine piirmäär;
3)
Seega on kõik kolm tingimust täidetud ja funktsioon on punktis pidev vastavalt funktsiooni pidevuse punktis määratlusele.
Matani vihkajad võivad aga funktsiooni halvasti ümber defineerida näiteks :
Kummalisel kombel on siin täidetud kaks esimest järjepidevuse tingimust:
1) - funktsioon on defineeritud antud punktis;
2) – on ühine piirmäär.
Kuid kolmas piir ei ole ületatud: st funktsiooni piir punktis pole võrdne antud funktsiooni väärtus antud punktis.
Seega esineb teatud punktis funktsiooni katkestus.
Teist, kurvemat juhtumit nimetatakse esimest tüüpi paus hüppega. Ja kurbust kutsuvad esile ühekülgsed piirid, mis piiratud ja erinev. Näide on toodud õppetunni teisel joonisel. See lõhe tekib tavaliselt sisse osade kaupa funktsioone artiklis juba mainitud. diagrammi teisenduste kohta.
Mõelge tükipõhisele funktsioonile ja teostada tema joonistus. Kuidas graafikut koostada? Väga lihtne. Poolintervallile joonistame parabooli fragmendi (roheline), intervallile - sirgjoone segmendi (punane) ja poolintervallile - sirge (sinine).
Samal ajal määratakse ebavõrdsuse tõttu väärtus ruutfunktsiooni jaoks (roheline punkt) ja ebavõrdsuse tõttu lineaarse funktsiooni jaoks (sinine punkt):
Kõige keerulisemal juhul tuleks kasutada iga graafiku osa punkt-konstrueerimist (vt esimest õppetund funktsioonide graafikute kohta).
Praegu huvitab meid ainult punkt . Uurime seda järjepidevuse tagamiseks:
2) Arvuta ühepoolsed piirid.
Vasakul on punane joon, seega vasakpoolne piirang on:
Paremal on sinine sirgjoon ja parempoolne piir:
Tulemusena, lõplikud arvud, ja nemad pole võrdne. Sest ühekülgsed piirid piiratud ja erinev: , siis meie funktsioon kannatab esimest tüüpi katkestus hüppega.
On loogiline, et tühimikku ei saa kõrvaldada - funktsiooni ei saa tegelikult täpsemalt määratleda ja "mitte kokku liimida", nagu eelmises näites.
Teist tüüpi katkestuspunktid
Tavaliselt omistatakse kõik muud rebenemise juhtumid kavalalt sellesse kategooriasse. Ma ei loetle kõike, sest praktikas kohtate 99% ülesannetest lõputu vahe- kui olete vasaku- või paremakäeline, ja sagedamini, on mõlemad piirid lõpmatud.
Ja muidugi kõige ilmsem pilt on hüperbool nullis. Siin on mõlemad ühepoolsed piirid lõpmatud: , seetõttu kannatab funktsioon punktis teist tüüpi katkestus.
Püüan oma artikleid täita võimalikult mitmekesise sisuga, nii et vaatame funktsiooni graafikut, mida pole veel nähtud:
vastavalt standardskeemile:
1) Funktsioon pole praegu määratletud, kuna nimetaja läheb nulli.
Muidugi võib kohe järeldada, et funktsioon katkeb punktis , kuid tore oleks liigitada katkestuse olemust, mida sageli tingimus nõuab. Selle jaoks:
Tuletan meelde, et rekord tähendab lõpmata väike negatiivne arv ja kirje all - lõpmata väike positiivne arv.
Ühepoolsed piirid on lõpmatud, mis tähendab, et funktsioonil esineb punktis 2. tüüpi katkestus. Y-telg on vertikaalne asümptoot diagrammi jaoks.
Pole haruldane, et mõlemad ühepoolsed piirid on olemas, kuid ainult üks neist on lõpmatu, näiteks:
See on funktsiooni graafik.
Uurime järjepidevuse punkti:
1) Funktsioon pole praegu määratletud.
2) Arvutage ühepoolsed piirid:
Selliste ühekülgsete piiride arvutamise metoodikast räägime loengu kahes viimases näites, kuigi paljud lugejad on kõike juba näinud ja ära arvanud.
Vasakpoolne piir on lõplik ja võrdub nulliga (me “ei lähe punkti enda juurde”), aga parempoolne piir on lõpmatu ja graafi oranž haru on lõpmatult lähedal omale vertikaalne asümptoot võrrandiga antud (must katkendjoon).
Seega funktsioon kannatab teist tüüpi paus punktis .
Mis puutub esimest tüüpi katkestustesse, siis funktsiooni saab määratleda katkestuspunktis endas. Näiteks tükipõhise funktsiooni jaoks pange päritolule julgelt must paks punkt. Paremal on hüperbooli haru ja parempoolne piir on lõpmatu. Ma arvan, et peaaegu kõik kujutasid ette, kuidas see graafik välja näeb.
Mida kõik ootasid:
Kuidas uurida funktsiooni järjepidevuse jaoks?
Punkti järjepidevuse funktsiooni uurimine viiakse läbi juba valtsitud rutiinskeemi järgi, mis seisneb kolme järjepidevuse tingimuse kontrollimises:
Näide 1
Uurige funktsiooni
Lahendus:
1) Ainus punkt jääb sihiku alla, kus funktsioon pole defineeritud.
2) Arvutage ühepoolsed piirid:
Ühepoolsed piirid on lõplikud ja võrdsed.
Seega kannatab funktsioon teatud punktis katkematu katkestuse all.
Kuidas selle funktsiooni graafik välja näeb?
Ma tahan lihtsustada , ja see näib olevat tavaline parabool. AGA algne funktsioon ei ole punktis määratletud, seega on vajalik järgmine hoiatus:
Teostame joonise:
Vastus: funktsioon on pidev kogu arvureal, välja arvatud punkt, kus tal esineb katkestus.
Funktsiooni saab ümber defineerida nii hästi kui ka mitte nii hästi, kuid tingimus seda ei nõua.
Ütlete, et näide on kaugelt võetud? Üldse mitte. Praktikas juhtus kümneid kordi. Peaaegu kõik saidi ülesanded pärinevad tõelisest iseseisvast ja kontrolltööst.
Jaotame oma lemmikmoodulid:
Näide 2
Uurige funktsiooni järjepidevuse nimel. Määrake funktsiooni katkestuste olemus, kui neid on. Teostage joonis.
Lahendus: millegipärast õpilased kardavad ja ei armasta mooduliga funktsioone, kuigi midagi keerulist neis pole. Selliseid asju oleme tunnis juba veidi puudutanud. Geomeetrilise graafiku teisendused. Kuna moodul ei ole negatiivne, laieneb see järgmiselt: , kus "alfa" on mingi väljend. Sel juhul , ja meie funktsioon peaks märkima osade kaupa:
Kuid mõlema tüki murdosa tuleb vähendada . Vähendamine, nagu eelmises näites, ei jää tagajärgedeta. Algne funktsioon ei ole punktis määratletud, kuna nimetaja kaob. Seetõttu peaks süsteem täiendavalt täpsustama tingimust ja muutma esimese ebavõrdsuse rangeks:
Nüüd VÄGA KASULIK nipp: enne ülesande viimistlemist mustandil on kasulik teha joonis (olenemata sellest, kas tingimus nõuab või mitte). See aitab esiteks kohe näha järjepidevuse ja murdepunkte ning teiseks säästab teid 100% vigadest ühepoolsete piiride leidmisel.
Teeme asja ära. Vastavalt meie arvutustele on punktist vasakule vaja joonistada parabooli fragment (sinine) ja paremale parabooli tükk (punane), samas kui funktsioon pole punktis endas määratletud :
Kui kahtlete, võtke mõned "x" väärtused ja asendage need funktsiooniga (pidage meeles, et moodul hävitab võimaliku miinusmärgi) ja kontrollige graafikut.
Uurime järjepidevuse funktsiooni analüütiliselt:
1) Funktsioon ei ole punktis defineeritud, seega võime kohe öelda, et see ei ole selles pidev.
2) Teeme kindlaks katkestuse olemuse, selleks arvutame ühepoolsed piirid:
Ühepoolsed piirid on lõplikud ja erinevad, mis tähendab, et funktsioon kannatab 1. tüüpi katkestuse ja hüppega punktis . Jällegi pange tähele, et piiride leidmisel ei ole vahet, kas murdepunktis olev funktsioon on defineeritud või mitte.
Nüüd jääb üle kanda joonis mustandist (see tehti justkui uurimistöö abil ;-)) ja ülesanne täita:
Vastus: funktsioon on pidev kogu arvureal, välja arvatud punkt, kus tal esineb hüppega esimest tüüpi katkestus.
Mõnikord on vaja täiendavalt näidata katkestushüpet. Arvutatakse elementaarselt – parempoolsest piirist tuleb lahutada vasakpoolne piir: , ehk murdepunktis hüppas meie funktsioon 2 ühikut allapoole (millest räägib meile miinusmärk).
Näide 3
Uurige funktsiooni järjepidevuse nimel. Määrake funktsiooni katkestuste olemus, kui neid on. Tee joonistus.
See on näide ise lahendamiseks, näidislahendus tunni lõpus.
Liigume edasi ülesande kõige populaarsema ja tavalisema versiooni juurde, kui funktsioon koosneb kolmest osast:
Näide 4
Uurige funktsiooni pidevust ja joonistage funktsiooni graafik .
Lahendus: on ilmne, et funktsiooni kõik kolm osa on vastavatel intervallidel pidevad, seega jääb üle kontrollida ainult kahte tükkide vahelist "ristmike" punkti. Kõigepealt teeme mustandile joonise, ehitustehnikat kommenteerisin piisavalt üksikasjalikult artikli esimeses osas. Ainus asi on hoolikalt jälgida meie ainsuse punkte: ebavõrdsuse tõttu kuulub väärtus sirgele (roheline punkt) ja ebavõrdsuse tõttu kuulub väärtus paraboolile (punane punkt):
Noh, põhimõtteliselt on kõik selge =) Jääb veel teha otsus. Iga kahe "tagumiku" punkti puhul kontrollime standardselt kolme järjepidevuse tingimust:
ma) Uurime järjepidevuse punkti
1)
Ühepoolsed piirid on lõplikud ja erinevad, mis tähendab, et funktsioon kannatab 1. tüüpi katkestuse ja hüppega punktis .
Arvutame katkestushüppe parempoolse ja vasakpoolse piiri erinevusena:
, see tähendab, et diagramm hüppas ühe ühiku võrra ülespoole.
II) Uurime järjepidevuse punkti
1) – funktsioon on antud punktis defineeritud.
2) Leidke ühepoolsed piirid:
– ühepoolsed piirid on lõplikud ja võrdsed, seega on olemas ühine piir.
3) – funktsiooni piirväärtus punktis on võrdne selle funktsiooni väärtusega antud punktis.
Viimases etapis teisaldame joonise puhtale koopiale, mille järel paneme viimase akordi:
Vastus: funktsioon on pidev kogu arvureal, välja arvatud punkt, kus tal esineb hüppega esimest tüüpi katkestus.
Näide 5
Uurige pidevuse funktsiooni ja koostage selle graafik .
See on näide iseseisva lahenduse jaoks, lühilahendus ja ülesande ligikaudne näidis õppetunni lõpus.
Võib jääda mulje, et ühel hetkel peab funktsioon tingimata olema pidev ja teises kohas peab tingimata esinema katkestus. Praktikas see alati nii ei ole. Püüdke mitte jätta tähelepanuta ülejäänud näiteid - seal on mitmeid huvitavaid ja olulisi funktsioone:
Näide 6
Antud funktsioon . Uurige pidevuse funktsiooni punktides . Koostage graafik.
Lahendus: ja uuesti viivitamatult teostada mustandil olev joonis:
Selle graafiku eripära on see, et tükipõhise funktsiooni jaoks on antud abstsisstelje võrrand. Siin on see osa joonistatud rohelisega ja vihikus on see tavaliselt lihtsa pliiatsiga julgelt esile tõstetud. Ja muidugi ärge unustage meie lambaid: väärtus viitab puutujaharule (punane täpp) ja väärtus kuulub sirgele.
Jooniselt on kõik selge - funktsioon on pidev kogu numbrireal, jääb üle koostada lahendus, mis viiakse täieliku automatiseerimiseni sõna otseses mõttes pärast 3-4 sarnast näidet:
ma) Uurime järjepidevuse punkti
1) - funktsioon on defineeritud antud punktis.
2) Arvutage ühepoolsed piirid:
, seega on ühine piirmäär.
Iga tuletõrjuja jaoks tuletan meelde triviaalset tõsiasja: konstandi piir on võrdne konstandi endaga. Sel juhul on nulli piir võrdne nulliga endaga (vasakpoolne piir).
3) – funktsiooni piirväärtus punktis on võrdne selle funktsiooni väärtusega antud punktis.
Seega on funktsioon punktis pidev, kuna funktsioon on punktis pidev.
II) Uurime järjepidevuse punkti
1) - funktsioon on defineeritud antud punktis.
2) Leidke ühepoolsed piirid:
Ja siin - ühiku piir on võrdne ühiku endaga.
– on ühine piirmäär.
3) – funktsiooni piirväärtus punktis on võrdne selle funktsiooni väärtusega antud punktis.
Seega on funktsioon punktis pidev, kuna funktsioon on punktis pidev.
Nagu tavaliselt, kanname pärast uuringut oma joonise puhtale koopiale.
Vastus: funktsioon on punktides pidev.
Pange tähele, et tingimusel, et meilt ei küsitud midagi järjepidevuse kogu funktsiooni uurimise kohta ja seda peetakse heaks matemaatiliseks vormiks sõnastada täpne ja selge vastus esitatud küsimusele. Muide, kui tingimuse kohaselt pole graafiku koostamine kohustuslik, siis on teil täielik õigus seda mitte ehitada (kuigi hiljem võib õpetaja teid sundida seda tegema).
Väike matemaatiline "muster" iseseisva lahenduse jaoks:
Näide 7
Antud funktsioon . Uurige pidevuse funktsiooni punktides . Klassifitseerige katkestuspunktid, kui neid on. Teostage joonis.
Proovige kõiki "sõnu" õigesti "hääldada" =) Ja joonistage graafik täpsemalt, täpsus, see pole kõikjal üleliigne ;-)
Nagu mäletate, soovitasin teil kohe mustandile joonistada, kuid aeg-ajalt tuleb selliseid näiteid, kus te ei saa kohe aru, kuidas graafik välja näeb. Seetõttu on paljudel juhtudel soodne esmalt leida ühekülgsed piirid ja alles seejärel uuringu põhjal kujutada oksi. Kahes viimases näites õpime ka mõningate ühepoolsete piiride arvutamise tehnikat:
Näide 8
Uurige järjepidevuse funktsiooni ja koostage selle skemaatiline graafik.
Lahendus: halvad punktid on ilmsed: (pöörab astendaja nimetaja nulliks) ja (nulliks kogu murru nimetaja). Ei ole selge, kuidas selle funktsiooni graafik välja näeb, mis tähendab, et parem on kõigepealt uurida.
Kui hulk elemente ei sisalda, kutsutakse seda tühi komplekt ja salvestatud Ø .
Olemasolu kvantor
∃- eksistentsiaalne kvantor, kasutatakse sõnade "olemas" asemel,
"saadaval". Kasutatakse ka sümbolite kombinatsiooni ∃!, mida loetakse, kuna neid on ainult üks.
Absoluutne väärtus
Definitsioon. Reaalarvu absoluutväärtus (moodul) on mittenegatiivne arv, mis määratakse järgmise valemiga:
Näiteks,
Mooduli omadused
Kui ja on reaalarvud, kehtivad järgmised võrdsused:
Funktsioon
seos kahe või enama suuruse vahel, milles ühe suuruse iga väärtus, mida nimetatakse funktsiooni argumentideks, on seotud teiste suuruste väärtustega, mida nimetatakse funktsiooni väärtusteks.
Funktsiooni ulatus
Funktsiooni domeen on need sõltumatu muutuja x väärtused, mille puhul kõik funktsioonis sisalduvad toimingud on käivitatavad.
pidev funktsioon
Funktsiooni f (x), mis on defineeritud punkti a mõnes naabruses, nimetatakse selles punktis pidevaks, kui
![]() |
Numbrite järjestused
vaatamise funktsioon y= f(x), x O N, kus N on naturaalarvude hulk (või naturaalargumendi funktsioon), tähistatud y=f(n) või y 1 ,y 2 ,…, y n,…. Väärtused y 1 ,y 2 ,y 3 , ... nimetatakse vastavalt jada esimeseks, teiseks, kolmandaks, ... liikmeks.
Pideva argumendi funktsiooni piir
Arvu A nimetatakse funktsiooni y=f(x) piiriks x->x0 korral, kui kõigi x väärtuste korral, mis erinevad arvust x0 piisavalt vähe, on funktsiooni f(x) vastavad väärtused ) erinevad suvaliselt vähe arvust A
lõpmata väike funktsioon
Funktsioon y=f(x) helistas lõpmatult väike juures x→a või millal x→∞ kui või , s.t. Lõpmata väike funktsioon on funktsioon, mille piirväärtus antud punktis on null.
![]() |
Arvjada piiri mõiste
Meenutagem esmalt numbrilise jada määratlust.
Definitsioon 1
Kutsutakse naturaalarvude hulga vastendamist reaalarvude hulgale numbriline jada.
Arvjada piiri mõistel on mitu põhimääratlust:
- Reaalarvu $a$ nimetatakse arvjada $(x_n)$ piiriks, kui iga $\varepsilon >0$ jaoks on olemas indeks $N$, mis sõltub väärtusest $\varepsilon$, nii et iga indeksi $n> N korral $ ebavõrdsus $\left|x_n-a\right|
- Reaalarvu $a$ nimetatakse arvjada $(x_n)$ piiriks, kui punkti $a$ mis tahes naabruskond sisaldab kõiki jada $(x_n)$ liikmeid, välja arvatud piiratud arv jada liikmed.
Vaatleme arvulise jada piiri väärtuse arvutamise näidet:
Näide 1
Leidke piirang $(\mathop(lim)_(n\to \infty ) \frac(n^2-3n+2)(2n^2-n-1)\ )$
Lahendus:
Selle ülesande lahendamiseks peame kõigepealt välja võtma avaldises sisalduvad kõrgeima astme sulud:
$(\mathop(lim)_(n\to \infty ) \frac(n^2-3n+2)(2n^2-n-1)\ )=(\mathop(lim)_(x\to \ infty ) \frac(n^2\left(1-\frac(3)(n)+\frac(2)(n^2)\right))(n^2\left(2-\frac(1)) (n)-\frac(1)(n^2)\right))\ )=(\mathop(lim)_(n\to \infty ) \frac(1-\frac(3)(n)+\ frac(2)(n^2))(2-\frac(1)(n)-\frac(1)(n^2))\ )$
Kui nimetaja on lõpmata suur väärtus, siis kogu piirväärtus kipub olema null, $\mathop(lim)_(n\to \infty )\frac(1)(n)=0$, seda kasutades saame:
$(\mathop(lim)_(n\to \infty ) \frac(1-\frac(3)(n)+\frac(2)(n^2))(2-\frac(1)(n )-\frac(1)(n^2))\ )=\frac(1-0+0)(2-0-0)=\frac(1)(2)$
Vastus:$\frac(1)(2)$.
Funktsiooni piiri mõiste punktis
Funktsiooni piiri mõistel punktis on kaks klassikalist definitsiooni:
Mõiste "piirang" definitsioon Cauchy järgi
Reaalarvu $A$ nimetatakse funktsiooni $f\left(x\right)$ piiranguks $x\to a$, kui mis tahes $\varepsilon > 0$ korral eksisteerib $\delta >0$ sõltuvalt $ \varepsilon $, nii et mis tahes $x\in X^(\backslash a)$, mis rahuldab ebavõrdsust $\left|x-a\right|
Heine määratlus
Reaalarvu $A$ nimetatakse funktsiooni $f\left(x\right)$ piirväärtuseks väärtusele $x\to a$, kui mis tahes jada $(x_n)\in X$ puhul, mis koondub väärtusele $a$, on jada väärtused $f (x_n)$ koonduvad väärtusele $A$.
Need kaks määratlust on omavahel seotud.
Märkus 1
Funktsiooni piiri Cauchy ja Heine definitsioonid on samaväärsed.
Lisaks klassikalistele lähenemistele funktsiooni piiride arvutamisel tuletame meelde valemeid, mis võivad samuti selles abiks olla.
Samaväärsete funktsioonide tabel, kui $x$ on lõpmata väike (läheb nulli)
Üks lähenemine piiride lahendamisele on samaväärse funktsiooniga asendamise põhimõte. Allpool on toodud samaväärsete funktsioonide tabel, mille kasutamiseks asenda parempoolsete funktsioonide asemel avaldisesse vastav vasakpoolne elementaarfunktsioon.
Joonis 1. Funktsioonide ekvivalenttabel. Autor24 - üliõpilastööde veebivahetus
Samuti saab selliste piiride lahendamiseks, mille väärtused on taandatud määramatuseni, rakendada L'Hospitali reeglit. Üldjuhul saab vormi $\frac(0)(0)$ määramatuse paljastada lugeja ja nimetaja faktoriseerimisel ning seejärel vähendamisel. Vormi $\frac(\infty )(\infty)$ määramatuse saab lahendada pärast lugejas ja nimetajas olevate avaldiste jagamist muutujaga, mille puhul leitakse suurim aste.
Märkimisväärsed piirid
- Esimene tähelepanuväärne piir:
$(\mathop(lim)_(x\to 0) \frac(sinx)(x)\ )=1$
- Teine tähelepanuväärne piir:
$\mathop(lim)_(x\to 0)((1+x))^(\frac(1)(x))=e$
Eripiirangud
- Esimene erilimiit:
$\mathop(lim)_(x\to 0)\frac(((log)_a (1+x-)\ ))(x)=((log)_a e\ )=\frac(1)(lna )$
- Teine erilimiit:
$\mathop(lim)_(x\to 0)\frac(a^x-1)(x)=lna$
- Kolmas erilimiit:
$\mathop(lim)_(x\to 0)\frac(((1+x))^(\mu )-1)(x)=\mu $
Funktsioonide järjepidevus
2. definitsioon
Funktsiooni $f(x)$ nimetatakse pidevaks punktis $x=x_0$, kui $\forall \varepsilon >(\rm 0)$ $\exists \delta (\varepsilon ,E_(0))>(\rm 0) $ nii, et $\left|f(x)-f(x_(0))\right|
Funktsioon $f(x)$ on pidev punktis $x=x_0$, kui $\mathop((\rm lim\; ))\limits_((\rm x)\to (\rm x)_((\ rm 0 )) f(x)=f(x_(0))$.
Punkti $x_0\in X$ nimetatakse esimest tüüpi katkestuspunktiks, kui sellel on lõplikud piirid $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )$, $(\mathop (lim) _(x\to x_0+0) f(x_0)\ )$, aga $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )=(\mathop(lim) _ (x\kuni x_0+0) f(x_0)\ )=f(x_0)$
Veelgi enam, kui $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )=(\mathop(lim)_(x\to x_0+0) f(x_0)\ )\ne f (x_0)$, siis see on katkestuspunkt ja kui $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )\ne (\mathop(lim)_(x\to x_0+ 0) f(x_0)\ )$, siis funktsiooni hüppepunkt.
Punkti $x_0\in X$ nimetatakse teist tüüpi katkestuspunktiks, kui see sisaldab vähemalt ühte piirangutest $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )$, $(\mathop( lim)_(x\to x_0+0) f(x_0)\ )$ tähistab lõpmatust või seda pole olemas.
Näide 2
Uurige pidevust $y=\frac(2)(x)$
Lahendus:
$(\mathop(lim)_(x\to 0-0) f(x)\ )=(\mathop(lim)_(x\to 0-0) \frac(2)(x)\ )=- \infty $ - funktsioonil on teist tüüpi katkestuspunkt.
Topoloogia on matemaatika haru, mis tegeleb piiride ja funktsioonide järjepidevuse uurimisega. Koos algebraga moodustab topoloogia matemaatika üldise aluse.
Topoloogiline ruum või kujund - meie homogeense eukleidilise ruumi alamhulk, mille punktide vahel on antud mingi lähedusseos. Siin käsitletakse figuure mitte jäikade kehadena, vaid esemetena, mis on justkui valmistatud väga elastsest kummist, mis võimaldab pidevat deformatsiooni, säilitades nende kvalitatiivsed omadused.
Kujundite üks-ühele pidevat kaardistamist nimetatakse homöomorfism. Teisisõnu, arvud homöomorfne, kui üht saab pideva deformatsiooni teel teisendada.
Näited. Järgmised joonised on homöomorfsed (erinevate rühmade arvud ei ole homöomorfsed), näidatud joonisel fig. 2.
1. Segment ja kõver ilma iselõikusteta.
2. Ring, ruut sees, teip.
3. Kera, kuubi ja tetraeedri pind.
4. Ring, ellips ja sõlmeline ring.
5. Rõngas tasapinnal (auguga ring), rõngas ruumis, kaks korda keerdunud rõngas, silindri külgpind.
6. Mobiuse riba, s.o. üks kord keeratud rõngas ja kolm korda keeratud rõngas.
7. Toruse pind (sõõrik), käepidemega kera ja sõlmeline toru.
8. Kahe sangaga kera ja kahe auguga kringel.
Matemaatilises analüüsis uuritakse funktsioone piirväärtuste meetodil. Muutuja ja piirmäär on põhimõisted.
Erinevate nähtuste puhul säilitavad ühed suurused oma arvulise väärtuse, teised muutuvad. Kutsutakse muutuja kõigi arvväärtuste komplekti selle muutuja ulatust.
Erinevatest viisidest, kuidas muutuja käitub, on kõige olulisem see, kuidas muutuja kaldub teatud piirini.
konstantne arv a helistas muutuja x kui absoluutväärtus vahe x ja a() muutub muutuja muutmise protsessis x suvaliselt väike:
Mida tähendab "suvaliselt väike"? muutuv X kipub piirini a, kui suvaliselt väikese (suvaliselt väikese) arvu korral on muutuja muutumises selline moment X, millest alates ebavõrdsus .
Piirmäära definitsioonil on lihtne geomeetriline tähendus: ebavõrdsus tähendab seda X on punkti naabruses a,
need. intervallis
.
Seega saab piiri määratluse esitada geomeetrilisel kujul:
Number a on muutuja piir X, kui mõne suvaliselt väikese (suvaliselt väikese) -arvu naabruskonna jaoks a muutuja muutmisel saate määrata sellise hetke X, millest alates kõik selle väärtused langevad punkti määratud naabrusesse a.
Kommenteeri. muutuv X võib läheneda oma piirile erineval viisil: jäädes sellest piirist alla (vasakul), rohkem (paremal), kõikudes limiidi väärtuse ümber.
Järjestuse piirang
Funktsioon nimetatakse seaduseks (reegliks), mille kohaselt iga element x mingi komplekt X sobib ühele elemendile y komplektid Y.
Funktsiooni saab defineerida kõigi naturaalarvude hulgal: . Sellist funktsiooni nimetatakse loomulik argument funktsioon või numbriline jada.
Kuna järjestust, nagu iga lõpmatut hulka, ei saa loendamisega täpsustada, määrab selle ühine liige: , kus on jada ühine termin.
Diskreetne muutuja on jada ühine liige.
Jada puhul tähendavad sõnad "alates mingil hetkel" sõnu "alates mingist numbrist".
Number a nimetatakse jada piiriks , kui suvaliselt väikese (suvaliselt väikese) arvu korral on selline arv olemas N, mis kõigile numbriga jada liikmetele n>N ebavõrdsus
.
või
juures
.
Geomeetriliselt tähendab jada piiri määratlus järgmist: suvaliselt väikese (suvaliselt väikese) arvu naabruskonna jaoks a on selline arv, et kõik jada liikmed on suuremad kui N, numbrid, satuvad sellesse naabruskonda. Väljaspool naabrust on ainult piiratud arv jada algtermineid. Naturaalarv N sõltub : .