Naturaalarvu mooduli võrdlus. Esimese astme võrdluste lahendamine Võrdluste süsteemi lahendamine modulo
Mõelge vormi võrdlusele x 2 ≡a(mod lkα), kus lk on lihtne paaritu arv. Nagu on näidatud jaotise 4 lõikes 4, saab sellele kongruentsile lahenduse leida kongruentsi lahendamisega x 2 ≡a(mod lk). Ja võrdlus x 2 ≡a(mod lkα) on kaks lahendit, kui a on ruutjägi moodul lk.
Näide:
Lahendage ruutarvuline võrdlus x 2 ≡86 (mod 125).
125 = 5 3 , 5 on algarv. Kontrollime, kas 86 on ruutmoodul 5.
Algses võrdluses on 2 lahendust.
Leiame võrdluslahenduse x 2 ≡86 (mod 5).
x 2 ≡1 (mod 5).
Selle võrdluse saaks lahendada eelmises lõigus näidatud viisil, kuid me kasutame seda, et 1 mooduli ruutjuur on ±1 ja võrdlusel on täpselt kaks lahendit. Seega on mooduli 5 kongruentsi lahendus
x≡±1 (mod 5) või muul juhul x=±(1+5 t 1).
Asendage saadud lahendus võrdlusmoodulis 5 2 =25:
x 2 ≡86 (mod 25)
x 2 ≡11 (mod 25)
(1+5t 1) 2 ≡11 (mod 25)
1+10t 1 +25t 1 2 ≡11 (mod 25)
10t 1 ≡ 10 (mod 25)
2t 1 ≡2 (mod 5)
t 1 ≡1 (mod 5) või samaväärne t 1 =1+5t 2 .
Siis on mooduli 25 kongruentsi lahendus x=±(1+5(1+5 t 2))=±(6+25 t 2). Asendage saadud lahendus võrdlusmoodulis 5 3 =125:
x 2 ≡86 (mod 125)
(6+25t 2) 2 ≡86 (mod 125)
36+12 25 t 2 +625t 2 2 ≡86 (mod 125)
12 25 t 2 ≡50 (mod 125)
12t 2 ≡2 (mod 5)
2t 2 ≡2 (mod 5)
t 2 ≡1 (mod 5) või t 2 =1+5t 3 .
Siis on võrdlusmooduli 125 lahendus x=±(6+25(1+5 t 3))=±(31+125 t 3).
Vastus: x≡±31 (mod 125).
Mõelge nüüd vormi võrdlusele x 2 ≡a(mod2α). Sellisel võrdlusel ei ole alati kahte lahendust. Sellise mooduli puhul on võimalikud järgmised juhtumid:
1) α=1. Siis on võrdlusel lahendus alles siis, kui a≡1(mod 2) ja lahendus on x≡1 (mod 2) (üks lahendus).
2) α=2. Võrdlusel on lahendused ainult siis, kui a≡1(mod 4) ja lahendus on x≡±1 (mod 4) (kaks lahendust).
3) α≥3. Võrdlusel on lahendused ainult siis, kui a≡1(mod 8) ja selliseid lahendusi on neli. Võrdlus x 2 ≡a(mod 2 α) α≥3 puhul lahendatakse samamoodi nagu vormi võrdlused x 2 ≡a(mod lkα), ainult lahendused moodul 8 toimivad alglahendusena: x≡±1 (mod 8) ja x≡±3 (mod 8). Neid tuleks võrrelda mooduliga 16, seejärel mooduliga 32 ja nii edasi kuni mooduli 2 α-ni.
Näide:
Lahendage võrdlus x 2 ≡33 (mod 64)
64=26. Kontrollime, kas algsel võrdlusel on lahendus. 33≡1(mod 8), seega on võrdluses 4 lahendust.
Modulo 8 on need lahendused: x≡±1 (mod 8) ja x≡±3(mod 8), mida saab esitada kui x=±(1+4 tüks). Asendage see avaldis võrdlusmoodulis 16
x 2 ≡ 33 (mod 16)
(1+4t 1) 2 ≡1 (mod 16)
1+8t 1 +16t 1 2 ≡1 (mod 16)
8t 1 ≡0 (mod 16)
t 1 ≡0 (mod 2)
Siis saab lahendus vormi x=±(1+4 t 1)=±(1+4(0+2 t 2))=±(1+8 t 2). Asendage saadud lahendus kongruentsimoodulis 32:
x 2 ≡33 (mod 32)
(1+8t 2) 2 ≡1 (mod 32)
1+16t 2 +64t 2 2 ≡1 (mod 32)
16t 2 ≡0 (mod 32)
t 2 ≡0 (mod 2)
Siis saab lahendus vormi x=±(1+8 t 2) =±(1+8(0+2t 3)) =±(1+16 t 3). Asendage saadud lahendus võrdlusmoodulis 64:
x 2 ≡33 (mod 64)
(1+16t 3) 2 ≡33 (mod 64)
1+32t 3 +256t 3 2 ≡33 (mod 64)
32t 3 ≡32 (mod 64)
t 3 ≡1 (mod 2)
Siis saab lahendus vormi x=±(1+16 t 3) =±(1+16(1+2t 4)) =±(17+32 t neli). Niisiis, moodul 64, on algsel võrdlusel neli lahendust: x≡±17 (mod 64) ja x≡±49 (mod 64).
Nüüd kaaluge üldist võrdlust: x 2 ≡a(mod m), (a,m)=1, - mooduli kanooniline lagunemine m. Vastavalt §4 punkti 4 teoreemile on see võrdlus samaväärne süsteemiga
Kui selle süsteemi iga võrdlus on otsustatav, siis on otsustatav kogu süsteem. Olles leidnud selle süsteemi iga võrdluse lahenduse, saame esimese astme võrdluste süsteemi, mille lahendamisel saame Hiina jäägiteoreemi kasutades algse võrdluse lahendi. Pealegi on algse võrdluse erinevate lahenduste arv (kui see on lahendatav) 2 k, kui α = 1, 2 k+1, kui α = 2, 2 k+2, kui α≥3.
Näide:
Lahendage võrdlus x 2 ≡4 (mod 21).
Matemaatika projekt sellel teemal
"Modulo võrdlused"
Zaripova Aisylu
Kaasani linna Sovetski rajoon
MBOU "Keskkool nr 166", 7.a klass
Teadusnõustaja: Antonova N.A.
Sisukord
Sissejuhatus ______________________________________________________________3
Mis on võrdlused ____________________________________________________4
Moodulite võrdluste kontseptsioon _____________________________________4
Võrdluste kontseptsiooni tekkimise ajalugu modulo _____4
Võrdlusomadused _____________________________________________________4
Moodulite võrdluste lihtsaim rakendus on arvude ______________________6 jaguvuse määramine
Üks ülesanne võrdluseks ___________________________________8
Moodulite võrdluste kasutamine kutsetegevuses _____________________________________________________9
Võrdluste rakendamine ülesannete lahendamisel _________________________6
Järeldus_______________________________________________________10
Kasutatud kirjanduse loetelu ______________________________________11
Sissejuhatus.
Teadus- ja arendustegevus: Modulo võrdlused.
Probleem: Paljude õpilaste ees seisavad olümpiaadideks valmistumisel ülesanded, mille lahendamise aluseks on teadmine jääkide kohta jagades täisarvusid naturaalarvuga. Meid huvitasid sellised probleemid ja võimalikud meetodid nende lahendamiseks. Selgub, et neid saab lahendada moodulvõrdluste abil.
Eesmärk: Selgitada moodulvõrdluste olemust, moodulvõrdlustega töötamise peamisi meetodeid.
Ülesanded: leida sellel teemal teoreetilist materjali, käsitleda probleeme, mida lahendatakse moodulvõrdluste abil, näidata levinumaid meetodeid selliste probleemide lahendamiseks, teha järeldusi.
Õppeobjekt: arvuteooria.
Uurimisaine: võrdlusteooria modulo.
Töö kuulub teoreetilise uurimistöö alla ja on kasutatav matemaatikaolümpiaadideks valmistumisel. Selle sisus tuuakse välja moodulvõrdluse põhimõisted ja nende põhiomadused, tuuakse näiteid selleteemalistest ülesannete lahendamisest.
I . Mis on võrdlused.
Moodulite võrdluste kontseptsioon.
Numbrid ja loetakse olevat mooduliga võrreldavad, kui need on jagatavad ehk teisisõnu, a ja b jääk on sama, kui need jagatakse.
Määramine
Näited:
12 ja 32 on võrreldavad mooduli 5, kuna 12, kui jagatakse 5-ga, on jääk 2 ja 32, kui jagatakse 2-ga, on jääk 2. See on kirjutatud12 ;
101 ja 17 on kongruentsed moodulid 21;
Modulovõrdluste kontseptsiooni ajalugu.
Suures osas lõi jaguvuse teooria Euleri poolt. Võrdluse definitsiooni sõnastas C.F.Gaussi raamatus "Aritmeetiline uurimus". Seda ladina keeles kirjutatud teost hakati trükkima 1797. aastal, kuid raamat ilmus alles 1801. aastal, kuna tolleaegne trükiprotsess oli äärmiselt töömahukas ja pikk. Gaussi raamatu esimene osa kannab nime "Arvude võrdlusest". Just Gauss pakkus välja matemaatikas kehtestatud moodulivõrdluste sümboolika.
Võrdlusomadused.
Kui a
Tõestus:
Kui liidame esimesele võrrandile teise, saame
on kahe täisarvu summa, seega on ka täisarv.
Kui lahutame esimesest võrrandist teise, saame
on kahe täisarvu erinevus, seega on ka täisarv.
Mõelge väljendile:
on erinevus täisarvude korrutise vahel, seega on ka täisarv.
See on võrdluste kolmanda omaduse tagajärg.
Q.E.D.
5) Kui a.
Tõestus: Leiame nende kahe avaldise summa:
on kahe täisarvu summa, seega on täisarv, seega .
Q.E.D.
6) Kui on täisarv, siis
Tõestus: kuslk- täisarv, korrutage see võrdus arvuga, saame: . Kuna on täisarvude korrutis, mida oli vaja tõestada.
7) Kui a
Tõestus: Põhjendus sarnaneb 6. vara tõendiga.
8) Kui a - siis suhteliselt algarvud
Tõestus: , jagame selle avaldise arvuga, saame: - koalgarvud, mis tähendab, et see jagub täisarvuga, s.t. =. Ja see tähendab, et mida oli vaja tõestada.
II . Võrdluste rakendamine probleemide lahendamisel.
2.1. Moodulite võrdluste lihtsaim rakendus on arvude jaguvuse määramine.
Näide. Leidke 2. jaotuse jääk 2009 kell 7.
Lahendus: kaaluge 2 astmeid:
Tõstades võrdluse astmeni 668 ja korrutades sellega, saame: .
Vastus: 4.
Näide. Tõesta, et 7+7 2 +7 3 +…+7 4 n mis tahes jaoks jagub 100-gantäisarvude hulgast.
Lahendus: kaaluge võrdlusi
jne. Jääkide tsüklilisus on seletatav arvude veeruga korrutamise reeglitega. Lisades esimesed neli võrdlust, saame:
Seega jagub see summa 100-ga ilma jäägita. Samamoodi, liites järgmised võrdlused umbes neli, saame, et iga selline summa jagub 100-ga ilma jäägita. Seega kogu summa 4nterminid jaguvad 100-ga ilma jäägita. Q.E.D.
Näide. Määrake, mis väärtusesnavaldis jagub 19-ga ilma jäägita.
Lahendus:.
Korrutage see võrdlus 20-ga. Saame.
Lisame siis võrdlused. . Seega jagub võrdluse parem pool iga loomuliku korral alati 19-gan, mis tähendab, et algne avaldis jagub 19-ga loomulikugan.
Vastus n on suvaline naturaalarv.
Näide. Mis numbriga number lõpeb.
Lahendus. Selle probleemi lahendamiseks järgime ainult viimast numbrit. Mõelge arvu 14 jõududele:
Näha on, et paaritu astendaja puhul lõpeb astme väärtus 4-ga ja paaris astendaja puhul 6. Siis lõpeb see 6-ga, s.t. on paarisarv. Nii et see lõpeb 6.
Vastus 6.
2.2. Üks ülesanne võrdluseks.
N. Vilenkini artikkel "Võrdlused ja jäägiklassid" esitab probleemi, mida kuulus inglise füüsik Dirac oma tudengiaastatel lahendas.
Sellele probleemile on ka lühike lahendus, kasutades moodulvõrdlusi. Kuid me kohtusime paljude sarnaste ülesannetega. Näiteks.
Üks mööduja leidis puu juurest, kus ahv istus, hunniku õunu. Pärast nende lugemist sai ta aru, et kui ahvile antakse 1 õun, jagatakse järelejäänud õunte arv n jäljetult. Andnud ahvile lisaõuna, võttis ta 1/ n ülejäänud õunad ja lahkus. Kuhja juurde astus hiljem järgmine mööduja, siis järgmine jne. Iga järgmine mööduja, lugedes õunu, märkas, et nende arv, kui jagada n annab ülejäänud 1 ja andes ahvile täiendava õuna, võttis ta 1 / n ülejäänud õunad ja liikusime edasi. Pärast viimase lahkumist n mööduja, hunnikusse jäänud õunte arv jagub n jäljetult. Mitu õuna oli alguses hunnikus?
Olles läbi viinud sama arutluskäigu nagu Dirac, saime üldvalemi sarnaste ülesannete klassi lahendamiseks: , kusn- naturaalarv.
2.3. Moodulite võrdluste kasutamine kutsetegevuses.
Võrdlusteooriat kasutatakse kodeerimise teoorias, seega kõik inimesed, kes valivad arvutiga seotud eriala, õpivad ja võimalusel ka rakendavad võrdlusi oma kutsetegevuses. Näiteks avaliku võtmega krüpteerimisalgoritmide väljatöötamiseks kasutatakse mitmeid arvuteooria kontseptsioone, sealhulgas moodulite võrdlust.
Järeldus.
Töös kirjeldatakse moodulvõrdluse põhimõisteid ja omadusi, näited illustreerivad moodulvõrdluste kasutamist. Materjali saab kasutada matemaatikaolümpiaadideks ja ühtseks riigieksamiks valmistumisel.
Ülaltoodud viidete loetelu võimaldab vajadusel kaaluda mõningaid keerukamaid aspekte moodulvõrdluste teooriast ja selle rakendustest.
Kasutatud kirjanduse loetelu.
Alfutova N.B. Algebra ja arvuteooria./N.B.Alfutova, A.V.Ustinov. M.: MTSNMO, 2002, 466 lk.
Bukhshtab A.A. Arvuteooria. / A.A. Bukhshtab. Moskva: Haridus, 1960.
Vilenkin N. Võrdlused ja jäägiklassid./N.Vilenkin.//Kvant. – 1978.- 10.
Fedorova N.E. Algebra ja matemaatilise analüüsi õpe. 10. klass.http:// www. prosv. et/ e-raamatud/ Fedorova_ Algebra_10 kl/1/ xht
et. wikipedia. org/ wiki/Modulo_võrdlus.
n juures annavad nad sama jäägi.
Samaväärsed koostised: a ja b võrreldav moodul n kui nende erinevus a - b jagub n-ga või kui a saab esitada kui a = b + kn , kus k on mingi täisarv. Näiteks: 32 ja −10 on kongruentsed moodul 7, sest
Väide "a ja b on kongruentsed mooduli n" kirjutatakse järgmiselt:
Modulo võrdõiguslikkuse omadused
Mooduli võrdlusrelatsioonil on omadused
Suvalised kaks täisarvu a ja b on võrreldavad mooduliga 1.
Selleks, et numbrid a ja b olid võrreldavad modulo n, on vajalik ja piisav, et nende erinevus jagub n.
Kui numbrid ja on paarikaupa võrreldavad modulo n, siis nende summad ja , samuti tooted ja on samuti võrreldavad moodul n.
Kui numbrid a ja b võrreldav moodul n, siis nende kraadid a k ja b k on ka võrreldavad modulo n mis tahes loodusliku jaoks k.
Kui numbrid a ja b võrreldav moodul n ja n jagatuna m, siis a ja b võrreldav moodul m.
Selleks, et numbrid a ja b olid võrreldavad modulo n, mida kujutatakse selle kanoonilise lagunemisena algteguriteks lk i
vajalik ja piisav
Võrdlusseos on ekvivalentsuhe ja sellel on palju tavaliste võrdsuste omadusi. Näiteks saab neid liita ja korrutada: kui
Võrdlusi ei saa aga üldiselt jagada üksteise või muude arvudega. Näide: 2 võrra vähendades saame aga eksliku võrdluse: . Võrdluste vähendamise reeglid on järgmised.
Samuti ei saa te võrdlustega toiminguid teha, kui nende moodulid ei ühti.
Muud omadused:
Seotud määratlused
Mahaarvamise klassid
Kõikide numbrite kogum, mis on võrreldav a modulo n helistas mahaarvamise klass a modulo n , ja seda tähistatakse tavaliselt [ a] n või . Seega on võrdlus samaväärne jäägiklasside võrdsusega [a] n = [b] n .
Sest modulo võrdlus n on ekvivalentsusseos täisarvude hulgal, siis jääkklassid modulo n on samaväärsusklassid; nende arv on n. Kõikide jäägiklasside komplekt modulo n tähistatud või .
Liitmis- ja korrutamistehted indutseerivad hulgal vastavad tehted:
[a] n + [b] n = [a + b] nNende operatsioonide puhul on hulk piiratud ring ja kui n lihtlõpuväli .
Mahaarvamise süsteemid
Jääksüsteem võimaldab sooritada aritmeetilisi tehteid lõpliku arvude hulgaga, ilma sellest kaugemale minemata. Täielik mahaarvamiste süsteem moodul n on mis tahes hulk n täisarvu, mis on võrreldamatud mooduli n. Tavaliselt võetakse tervikliku jääkide süsteemina mooduli n väikseimad mittenegatiivsed jäägid
0,1,...,n − 1või absoluutselt väikseimad arvudest koosnevad jäägid
,paaritu korral n ja numbrid
paaritu korral n .
Võrdlusotsus
Esimese astme võrdlused
Arvuteoorias, krüptograafias ja teistes teadusvaldkondades tekib sageli probleem lahenduste leidmisel vormi esimese astme võrdlemiseks:
Sellise võrdluse lahendus algab gcd arvutamisega (a, m)=d. Sel juhul on võimalikud 2 juhtumit:
- Kui a b mitte mitmik d, siis pole võrdlusel lahendusi.
- Kui a b mitmekordne d, siis on võrdlusel ainulaadne lahendusmoodul m / d, või mis on sama, d moodullahendused m. Sel juhul esialgse võrdluse vähendamise tulemusena d võrdlustulemused:
kus a 1 = a / d , b 1 = b / d ja m 1 = m / d on täisarvud ja a 1 ja m 1 on koprime. Seetõttu number a 1 saab modulo ümber pöörata m 1 , st leida selline arv c et (teisisõnu, ). Nüüd leitakse lahendus, korrutades saadud võrdluse arvuga c:
Praktiline väärtuse arvutamine c saab teha erineval viisil: kasutades Euleri teoreemi, Eukleidese algoritmi, jätkuvate murdude teooriat (vt algoritm) jne. Eelkõige võimaldab Euleri teoreem kirjutada väärtuse c nagu:
Näide
Võrdluseks on meil d= 2 , seega moodul 22 on võrdlusel kaks lahendit. Asendame 26 4-ga, mis on võrreldav mooduliga 22, ja seejärel tühistame kõik 3 numbrit kahega:
Kuna 2 on mooduli 11 suhtes suhteliselt esmatähtis, saame vasakut ja paremat poolt vähendada 2 võrra. Selle tulemusena saame ühe lahendi moodul 11: , mis on võrdne kahe lahendusega moodul 22: .
Teise astme võrdlused
Teise astme võrdluste lahendamine taandub selle väljaselgitamisele, kas antud arv on ruutjääk (kasutades vastastikkuse ruutseadust), ja seejärel arvutatakse selle ruutjuure moodul.
Lugu
Hiina jäägiteoreem, mis on tuntud juba sajandeid, väidab (tänapäevases matemaatilises keeles), et jääkrõngas mooduli mitme koalgarvu korrutis on
Võrdlus ühe tundmatuga x on vorm
Kus. Kui a a n ei jagatav m, siis nimetatakse seda kraadi võrdlused.
Otsus võrdlus on suvaline täisarv x 0 , milleks
Kui a X 0 rahuldab võrdluse, siis vastavalt võrdluste omadusele 9 rahuldab see võrdlus kõik täisarvud, mis on võrreldavad x 0 modulo m. Seetõttu on kõik samasse mooduljääkide klassi kuuluvad võrdluslahused t, kaalume ühe lahendusena. Seega on võrdlusel nii palju lahendusi, kui palju on jääkide terviksüsteemi elemente, mis seda rahuldavad.
Võrdlusi, mille lahendushulgad on ühesugused, nimetatakse samaväärne.
2.2.1 Esimese astme võrdlused
Esimese astme võrdlus ühe tundmatuga X on vorm
(2.2)
Teoreem 2.4. Et võrdlusel oleks vähemalt üks lahendus, on vajalik ja piisav, et arv b jagatud GCD( a, m).
Tõestus. Esmalt tõestame vajalikkust. Lase d = GCD( a, m) ja X 0 - võrdluslahendus. Siis , see tähendab erinevust Oh 0 − b jagatuna t. Seega on täisarv q, mida Oh 0 − b = qm. Siit b= ah 0 − qm. Ja sellest ajast peale d, ühisjagajana jagab numbreid a ja t, siis minuend ja alamosa jagatakse d, ja seega b jagatuna d.
Nüüd tõestame piisavust. Lase d- arvude suurim ühisjagaja a ja t, ja b jagatuna d. Jaguvuse definitsiooni kohaselt on siis täisarvud a 1 , b 1 ,t 1 , mida .
Laiendatud Eukleidese algoritmi kasutades leiame arvu 1 = gcd() lineaarse esituse a 1 , m 1 ):
mõne jaoks x 0 , y 0 . Korrutame viimase võrdsuse mõlemad osad arvuga b 1 d:
või mis on sama,
,
see tähendab , ja on võrdluse lahendus. □
Näide 2.10. Võrdlus 9 X= 6 (mod 12) omab lahendust, sest gcd(9, 12) = 3 ja 6 jagub 3-ga. □
Näide 2.11. Võrdlus 6x= 9 (mod 12) ei oma lahendeid, sest gcd(6, 12) = 6 ja 9 ei jagu 6-ga. □
Teoreem 2.5. Olgu kongruentsus (2.2) otsustatav ja d = GCD( a, m). Siis koosneb võrdluslahendite hulk (2.2). d mooduli jäägiklassid t, nimelt kui X 0 on üks lahendustest, siis on kõik teised lahendused
Tõestus. Lase X 0 on võrdluslahend (2.2), s.o. ja , . Nii et selline on olemas q, mida Oh 0 − b = qm. Asendades nüüd selle asemel viimase võrdsuse X 0 vormi suvaline lahend, kus, saame avaldise
, jagatav m. □
Näide 2.12. Võrdlus 9 X=6 (mod 12) omab täpselt kolm lahendit, kuna gcd(9, 12)=3. Need lahendused on: X 0 \u003d 2, x 0 + 4 \u003d 6, X 0 + 2∙4=10.□
Näide 2.13. Võrdlus 11 X=2 (mod 15) omab ainulaadset lahendust X 0 = 7, kuna gcd(11,15)=1.□
Näitame, kuidas lahendada esimese astme võrdlus. Ilma üldistust kaotamata eeldame, et GCD( a, t) = 1. Seejärel saab otsida kongruentsi (2.2) lahendust näiteks eukleidilise algoritmi abil. Tõepoolest, kasutades laiendatud Eukleidilise algoritmi, esitame arvu 1 lineaarse numbrikombinatsioonina a ja t:
Korrutage selle võrrandi mõlemad pooled arvuga b, saame: b = abq + mrb, kus abq - b = - mrb, see on a ∙ (bq) = b(mod m) ja bq on võrdluslahend (2.2).
Teine lahendusviis on kasutada Euleri teoreemi. Jällegi eeldame, et GCD(a, t)= 1. Rakendame Euleri teoreemi: . Korrutage võrdluse mõlemad pooled arvuga b: . Viimase avaldise ümberkirjutamine kui , saame, et see on kongruentsi (2.2) lahend.
Las nüüd GCD( a, m) = d>1. Siis a = atd, m = mtd, kus gcd ( a 1 , m 1) = 1. Lisaks on see vajalik b = b 1 d, et võrdlus oleks lahendatav. Kui a X 0 - võrdluslahendus a 1 x = b 1 (mod m 1) ja ainus, sest GCD( a 1 , m 1) = 1, siis X 0 on otsus ja võrdlus a 1 xd = db 1 (mod m 1), ehk algne võrdlus (2.2). Puhka d- Lause 2.5 abil leitakse 1 lahendus.
Esimese astme võrdlus ühe tundmatuga on järgmine:
f(x) 0 (mod m); f(X) = Oh + a n. (1)
Lahendage võrdlus tähendab kõigi x-i väärtuste leidmist, mis seda rahuldavad. Nimetatakse kaks võrdlust, mis vastavad samadele x väärtustele samaväärne.
Kui võrdlus (1) rahuldab mõnda x = x 1, siis (vastavalt 49-le) kõik numbrid, mis on võrreldavad x 1 , moodul m: x x 1 (mod m). Kogu see arvude klass loetakse üks lahendus. Selle lepinguga saab teha järgmise järelduse.
66.C joondus (1) on nii palju lahendusi, kui on seda rahuldavas terviksüsteemis jääke.
Näide. Võrdlus
6x– 4 0 (mod 8)
mooduli 8 jääkide tervikliku süsteemi numbrite 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7 hulgas on kaks arvu: X= 2 ja X= 6. Seetõttu on sellel võrdlusel kaks lahendust:
x 2 (mod 8), X 6 (mod 8).
Esimese astme võrdluse vaba termini (vastupidise märgiga) ülekandmisega paremale poole saab taandada vormile
kirves b(mod m). (2)
Mõelge võrdlusele, mis vastab tingimusele ( a, m) = 1.
Vastavalt punktile 66 on meie võrdluses nii palju lahendusi, kui palju on seda rahuldavat terviksüsteemi jääke. Aga kui x läbib tervikliku jääkide süsteemi modulo t, siis Oh läbib kogu mahaarvamiste süsteemi (60-st). Seega ühe ja ainult ühe väärtuse jaoks X, võetud kogu süsteemist, Oh saab olema võrreldav b. Niisiis,
67. Kui (a, m) = 1 võrdlustelg b(mod m)on üks lahendus.
Las nüüd ( a, m) = d> 1. Siis on võrdluseks (2) lahenduste leidmiseks vajalik (55-st), et b jagatud d, vastasel juhul on võrdlus (2) võimatu ühegi täisarvu x korral . Eeldusel seega b mitmekordne d, paneme a = a 1 d, b = b 1 d, m = m 1 d. Siis on võrdlus (2) samaväärne sellega (vähendatud d): a 1 x b 1 (mod m), milles juba ( a 1 , m 1) = 1, ja seetõttu on sellel üks lahendusmoodul müks . Lase X 1 on selle lahuse mooduli m 1 väikseim mittenegatiivne jääk , siis kõik arvud x , moodustades selle lahenduse võib leida kujul
x x 1 (mod m 1). (3)
Modulo, arvud (3) ei moodusta ühte lahendit, vaid rohkem, täpselt nii palju lahendeid, kui on arve (3) reas 0, 1, 2, ..., m 1 kõige vähem mittenegatiivse jäägi moodul m. Kuid siin langevad järgmised numbrid (3):
x 1 , x 1 + m 1 , x 1 + 2m 1 , ..., x 1 + (d – 1) m 1 ,
need. Kokku d numbrid (3); seega võrdlus (2) on d lahendusi.
Saame teoreemi:
68. Olgu (a, m) = d. võrdluskirves b ( mod m) võimatu, kui b ei jagu d-ga. Kui b on arvu d kordne, on võrdlusel d lahendust.
69. Esimese astme võrdluse lahendamise meetod, mis põhineb jätkumurdude teoorial:
Suhte laiendamine jätkuvaks murdosaks m:a,
ja arvestades kahte viimast konvergenti:
jätkuvate fraktsioonide omaduste järgi (vastavalt 30 ) meil on
Nii et võrdlusel on lahendus
otsingu jaoks, millest arvutamiseks piisab P n- 1 vastavalt punktis 30 määratletud meetodile.
Näide. Lahendame võrdluse
111x= 75 (mod. 321). (neli)
Siin (111, 321) = 3 ja 75 on 3 kordne. Seetõttu on võrdlusel kolm lahendit.
Jagades mõlemad võrdluse osad ja mooduli 3-ga, saame võrdluse
37x= 25 (mod 107), (5)
mille peame kõigepealt otsustama. Meil on
q | |||||
P 3 |
Niisiis, antud juhul n = 4, P n - 1 = 26, b= 25 ja meil on võrdluse (5) lahendus kujul
x–26 ∙ 25 99 (mod 107).
Seega on võrdluslahendused (4) esitatud järgmiselt:
X 99; 99 + 107; 99 + 2 ∙ 107 (mod 321),
Xº99; 206; 313 (mod 321).
Pöördelemendi mooduli a arvutamine
70.Kui täisarvud a ja n koprime, siis on arv a', mis rahuldab võrdlust a ∙ a′ ≡ 1 (mod n). Number a' helistas mooduli n kordav pöördpöörd ja selle jaoks kasutatakse tähistust a- 1 (mod n).
Osade pöördarvude arvutamist saab teha esimese astme võrdluslahendusega ühe tundmatuga, milles x aktsepteeritud number a'.
Võrdluslahenduse leidmiseks
a x≡ 1 (mod m),
kus ( olen)= 1,
võib kasutada Eukleidese algoritmi (69) või Fermat-Euleri teoreemi, mis väidab, et kui ( olen) = 1, siis
a φ( m) ≡ 1 (mod m).
x ≡ a φ( m)–1 (mod m).
Rühmad ja nende omadused
Rühmad on üks taksonoomilisi klasse, mida kasutatakse ühiste iseloomulike omadustega matemaatiliste struktuuride klassifitseerimisel. Rühmadel on kaks komponenti: palju (G) ja operatsioonid() määratletud selles komplektis.
Hulga, elemendi ja liikmelisuse mõisted on tänapäevase matemaatika määratlemata põhimõisted. Iga hulk on määratletud selles sisalduvate elementide abil (mis omakorda võivad olla ka hulgad). Seega ütleme, et hulk on defineeritud või antud, kui mõne elemendi kohta saame öelda, kas see kuulub sellesse hulka või mitte.
Kahe komplekti jaoks A, B rekordid B A, B A, B∩ A, B A, B \ A, A × B tähendavad vastavalt seda B on hulga alamhulk A(st mis tahes element alates B sisaldub ka A, näiteks naturaalarvude hulk sisaldub reaalarvude hulgas; pealegi alati A A), B on komplekti õige alamhulk A(need. B A ja B ≠ A), paljude ristmik B ja A(st kõik sellised elemendid, mis asuvad samaaegselt ja sees A, ja sisse B Näiteks täisarvude ja positiivsete reaalarvude ristumiskoht on naturaalarvude hulk), hulkade liit B ja A(st komplekt, mis koosneb elementidest, mis asuvad kas A, kas sisse B), määra erinevus B ja A(st elementide kogum, mis asub B, aga ära valeta A), komplektide Descartes'i korrutis A ja B(st vormi paaride komplekt ( a, b), kus a A, b B). Läbi | A| alati tähistatakse hulga kardinaalsust A, st. elementide arv komplektis A.
Tehe on reegel, mille kohaselt hulga mis tahes kaks elementi G(a ja b) on seotud G kolmanda elemendiga: a b.
Palju elemente G nimega operatsiooniga Grupp kui järgmised tingimused on täidetud.