Aksiomaatilised meetodid matemaatikas. Naturaalarvude süsteemi aksiomaatiline konstrueerimine Naturaalarvu definitsioon
![Aksiomaatilised meetodid matemaatikas. Naturaalarvude süsteemi aksiomaatiline konstrueerimine Naturaalarvu definitsioon](https://i1.wp.com/kto.guru/uploads/images/ob-aksiomaticheskom-sposobe-postroeniya-teorii_7.gif)
Kokkulepe saidi materjalide kasutamise kohta
Palun kasutage saidil avaldatud teoseid ainult isiklikuks otstarbeks. Materjalide avaldamine muudel saitidel on keelatud.
See teos (ja kõik teised) on tasuta allalaadimiseks saadaval. Vaimselt võite tänada selle autorit ja saidi töötajaid.
Saada oma head tööd teadmistebaasi on lihtne. Kasutage allolevat vormi
Üliõpilased, magistrandid, noored teadlased, kes kasutavad teadmistebaasi oma õpingutes ja töös, on teile väga tänulikud.
Sarnased dokumendid
P-adic täisarvude liitmine ja korrutamine, mis on määratletud kui jadade terminipõhise liitmise ja korrutamise. Täisarvude p-adic arvude ring, nende jagamise omaduste uurimine. Nende arvude selgitamine uute matemaatiliste objektide tutvustamisega.
kursusetöö, lisatud 22.06.2015
Kuidas inimesed loendama õppisid, numbrite, numbrite ja numbrisüsteemide tekkimine. Korrutustabel "sõrmedel": arvude 9 ja 8 korrutamistehnika. Kiirloendamise näited. Kahekohalise arvu korrutamise viisid arvuga 11, 111, 1111 jne. ja kolmekohaline arv 999 võrra.
kursusetöö, lisatud 22.10.2011
Uus viis arvude korrutamiseks. Arvutamise käigus moodustatud arvude maatriksi sarnasus kolmnurgaga on suhteline, kuid siiski olemas, eriti kolmekohaliste ja suuremate arvude korrutamisel. kolmnurkne maatriks.
artikkel, lisatud 02.06.2005
abstraktne, lisatud 13.01.2011
Algarvude tähenduse uurimise ajaloo iseloomustus matemaatikas, kirjeldades, kuidas need leitakse. Pietro Cataldi panus algarvude teooria arendamisse. Eratosthenese meetod algarvude tabelite koostamiseks. Naturaalarvude sõbralikkus.
test, lisatud 24.12.2010
Mittenegatiivsete reaalarvude hulk kui R-i tõlgendatud alamhulk. Jagutavus korduvates poolrühmades. Poolrühmade numbrilise GCD ja LCM struktuur. Mittenegatiivsete reaalarvude 0 ja 1 korduvate poolrühmade uurimine.
lõputöö, lisatud 27.05.2008
Reaalarvude omadused, nende roll matemaatika arengus. Reaalarvude hulga konstrueerimise analüüs ajaloolisest aspektist. Reaalarvude teooria konstrueerimise käsitlused Kantori, Weierstrassi, Dedekindi järgi. Nende õppimine koolikursusel.
esitlus, lisatud 09.10.2011
Matemaatika põhielemendid. Naturaalarvude omadused. Arvuteooria mõiste. Võrdluste ja algebraliste võrrandite üldomadused. Aritmeetilised tehted võrdlustega. Aritmeetika põhiseadused. Aritmeetiliste tehete tulemuste kontrollimine.
kursusetöö, lisatud 15.05.2015
polüseemia
Polüseemia ehk sõnade mitmetähenduslikkus tuleneb tõsiasjast, et keel on süsteem, mis on reaalsuse lõpmatu mitmekesisusega võrreldes piiratud, nii et akadeemik Vinogradovi sõnade kohaselt on keel sunnitud jagama lugematu hulga tähendusi ühe või teise põhimõistete pealkirja all." (Vinogradov "Vene keel" 1947). Tuleb eristada ühe leksiko-semantilise variandi erinevat sõnakasutust ja sõna tegelikku erinevust. Nii võib näiteks sõna (das)Ol tähistada mitmeid erinevaid õlisid, välja arvatud lehmaõli (mille kohta on olemas sõna Või). Sellest aga ei järeldu, et eri õlisid tähistades oleks sõnal Ol iga kord erinev tähendus: kõigil juhtudel on selle tähendus sama, nimelt õli (kõik peale lehma). Nagu ka näiteks sõna Tisch tabel tähendus, olenemata sellest, millist tabelit see sõna antud juhul tähistab. Olukord on erinev, kui sõna Ol tähendab õli. Siin ei tule enam esiplaanile õli sarnasus mööda määrdejoont erinevate õlisortidega, vaid õli eriline kvaliteet – põlevus. Ja samal ajal korreleeruvad erinevat tüüpi kütust tähistavad sõnad juba sõnaga Ol: Kohl, Holz jne. See annab meile võimaluse eristada sõnast Ol (või teisisõnu kahte leksikaal-semantilist varianti) kahte tähendust: 1) õli (mitte loom) 2) õli.
Tavaliselt tekivad uued tähendused ühe olemasoleva sõna ülekandmisel uuele objektile või nähtusele. Nii moodustuvad ülekandeväärtused. Need põhinevad kas objektide sarnasusel või ühe objekti seosel teisega. Tuntakse mitut tüüpi nimeülekandeid. Olulisim neist on metafoor ehk metonüümia.
Metafooris põhineb ülekanne asjade värvi, kuju, liikumise jms sarnasusel. Kõigi metafooriliste muudatustega jääb mõni märk algsest kontseptsioonist alles
homonüümia
Sõna polüseemia on nii suur ja mitmetahuline probleem, et sellega on kuidagi seotud ka kõige erinevamad leksikoloogia probleemid. Eelkõige puutub selle probleemiga mõnes aspektis kokku ka homonüümiaprobleem.
Homonüümid on sõnad, mis kõlavad ühtemoodi, kuid millel on erinev tähendus. Mõnel juhul tekivad homonüümid nende polüseemiast, mis on läbinud hävimisprotsessi. Kuid homonüümid võivad tekkida ka juhuslike helide kokkulangevuste tagajärjel. Võti, mis ust avab, ja võti - vedru või vikat - soeng ja vikat - põllutööriist - need sõnad on erineva tähendusega ja erineva päritoluga, kuid kõlavad kogemata kokku.
Homonüümid eristavad leksikaalset (viitavad ühele kõneosale, näiteks võti – lukku avama ja võti – vedru. allikas) morfoloogilist (viitavad erinevatele kõneosadele, näiteks kolm – arv, kolm – tegusõna käskivas meeleolus), leksiko-grammatilised, mis tekivad teisendamise tulemusena, kui antud sõna läheb üle teise kõneosa. näiteks inglise keeles. vaata-vaata ja vaata-vaata. Eriti palju leksikaalseid ja grammatilisi homonüüme on inglise keeles.
Homofone ja homograafid tuleb homonüümidest eristada. Homofonideks nimetatakse erinevaid sõnu, mis oma kirjaviisi poolest erinevad häälduse poolest, näiteks: vibu - heinamaa, Seite - leht ja Saite - string.
Homograafid on nii erinevad sõnad, mis langevad kirjapildis kokku, kuigi hääldatakse erinevalt (nii helikoostise kui sõna rõhukoha poolest), näiteks Loss - loss.
Sünonüümia
Sünonüümid on tähenduselt sarnased, kuid erineva kõlaga sõnad, mis väljendavad sama mõiste varjundeid.
Sünonüüme on kolme tüüpi:
1. Kontseptuaalne ehk ideograafiline. Need erinevad üksteisest leksikaalse tähenduse poolest. See erinevus avaldub tähistatud märgi erineval määral (külm - külm, tugev, võimas, võimas), selle tähistuse olemuses (teppitud jakk - tepitud jakk - tepitud jope), väljendatud kontseptsiooni mahus (bänner - lipp, jultunud - paks), leksikaalsete väärtuste seotuse astmes (pruun - pruun, must - must).
2. Sünonüümid on stilistilised või funktsionaalsed. Need erinevad üksteisest kasutusala poolest, näiteks silmad - silmad, nägu - nägu, otsmik - otsmik. Sünonüümid emotsionaalne – hindav. Need sünonüümid väljendavad avalikult kõneleja suhtumist määratud isikusse, objekti või nähtusse. Näiteks võib last pühalikult nimetada lapseks, hellitavalt poisiks ja poisikeseks, põlglikult poisiks ja imikuks ning ka rõhutatult - põlglikult kutsikaks, imikuks, jõmpsikaks.
3. Antonüümid - sõnade kombinatsioonid, mis on oma leksikaalses tähenduses vastandlikud, näiteks: ülevalt - alt, valge - must, räägi - ole vait, valjult - vaikselt.
Antonüümia
Antonüüme on kolme tüüpi:
1. Järkjärguliste ja kooskõlastatud vastandite antonüümid, näiteks valge – must, vaikne – vali, lähedane – kauge, lahke – kuri jne. Neil antonüümidel on ühine tähendus, mis võimaldab nende vastandumist. Niisiis tähistavad musta ja valge mõisted vastandlikke värvikontseptsioone.
2. Täiendavate ja teisendavate vastandite antonüümid: sõda – rahu, mees – naine, abielus – vallaline, ei saa – ei saa, sule – avatud.
3. Mõistete dihhotoomse jaotuse antonüümid. Sageli on need samad tüvisõnad: folk – rahvavastane, legaalne – illegaalne, humaanne – ebainimlik.
Intress on ka nö. sõnasisene antonüümia, kui vastandatakse sama materiaalse kestaga sõnade tähendusi. Näiteks vene keeles tähendab tegusõna kellelegi raha laenama "laenama" ja kelleltki raha laenama tähendab juba kelleltki raha laenamist. Tähenduste sõnasisest vastandumist nimetatakse enantioseemiaks.
6. Naturaalarvude süsteemi aksiomaatiline konstrueerimine. Aksiomaatiline meetod matemaatilise teooria koostamiseks. Nõuded aksioomide süsteemile: järjepidevus, sõltumatus, täielikkus. Peano aksiomaatika. Naturaalarvu mõiste aksiomaatilistest positsioonidest. Peano aksioomide süsteemi mudelid. Naturaalarvude liitmine ja korrutamine aksiomaatilistest positsioonidest. Naturaalarvude hulga järjestamine. Naturaalarvude hulga omadused. Naturaalarvude hulga lahutamine ja jagamine aksiomaatilistest positsioonidest. Matemaatilise induktsiooni meetod. Nulli sissejuhatus ja mittenegatiivsete täisarvude hulga konstrueerimine. Jagamisteoreem jäägiga.
Põhimõisted ja määratlused
Number - see on kindla suuruse väljendus.
Naturaalarv lõputult jätkuva jada element.
Naturaalarvud (naturaalarvud) - arvud, mis tekivad loomulikul teel loendamisel (nii loenduse kui ka arvutamise tähenduses).
Naturaalarvude määratlemisel on kaks lähenemisviisi – arvud, mida kasutatakse:
üksuste loendamine (numeratsioon) (esimene, teine, kolmas, ...);
kaubaartiklite arvu tähistus (artikleid pole, üks artikkel, kaks eset, ...).
Aksioom - need on konkreetse teooria põhilised lähtekohad (iseenesestmõistetavad printsiibid), millest deduktsiooni ehk puhtloogiliste vahenditega saadakse välja kogu ülejäänud selle teooria sisu.
Arvu, millel on ainult kaks jagajat (arv ise ja üks), nimetatakse - lihtne number.
Liitarv on arv, millel on rohkem kui kaks jagajat.
§2. Naturaalarvu aksiomaatika
Naturaalarvud saadakse objektide loendamise ja suuruste mõõtmise teel. Kuid kui mõõtmise ajal ilmuvad naturaalarvudest erinevad arvud, siis arvutatakse ainult naturaalarvud. Loenduse hoidmiseks vajate numbrijada, mis algab ühega ja võimaldab liikuda ühelt numbrilt teisele ja nii mitu korda kui vaja. Teisisõnu vajame loodusliku seeria segmenti. Seetõttu tuli naturaalarvude süsteemi põhjendamise probleemi lahendamisel kõigepealt vastata küsimusele, mis on arv naturaalrea elemendina. Vastus sellele anti kahe matemaatiku töödes - Saksa Grassmann ja itaallane Peano. Nad pakkusid välja aksiomaatilise, milles naturaalarv oli põhjendatud määramata jätkuva jada elemendina.
Naturaalarvude süsteemi aksiomaatiline konstrueerimine viiakse läbi vastavalt sõnastatud reeglitele.
Viit aksioomi võib vaadelda põhimõistete aksiomaatilise määratlusena:
1 on naturaalarv;
Järgmine naturaalarv on naturaalarv;
1 ei järgne ühelegi naturaalarvule;
Kui naturaalarv a järgib naturaalarvu b ja naturaalarvu jaoks Koos, siis b ja Koos identsed;
Kui mõni väide on tõestatud 1 ja kui eeldusel, et see on tõene naturaalarvu kohta n, järeldub, et see kehtib järgmiste kohta n naturaalarvu, siis kehtib see väide kõigi naturaalarvude kohta.
Üksus on loomuliku seeria esimene number , samuti üks kümnendarvusüsteemi numbritest.
Arvatakse, et sama märgiga (üsna tänapäevasele üsna lähedane) mis tahes kategooria üksuse tähistus ilmus Vana-Babülonis esimest korda umbes 2 tuhat aastat eKr. e.
Vanad kreeklased, kes pidasid arvudeks ainult naturaalarve, pidasid neist igaüht ühikute kogumiks. Üksusele endale on antud eriline koht: seda ei peetud numbriks.
I. Newton kirjutas: "...arvu all ei pea me silmas mitte niivõrd ühikute kogumit, vaid ühe suuruse abstraktset suhet teise suurusesse, mida me tinglikult aktsepteerime ühikuna." Seega on üksus teiste numbrite seas juba oma väärilise koha sisse võtnud.
Aritmeetilistel tehtetel arvudega on mitmesuguseid omadusi. Neid saab kirjeldada sõnadega, näiteks: "Summa ei muutu terminite kohtade muutumisest." Võib kirjutada tähtedega: a+b = b+a. Võib väljendada konkreetsetes terminites.
Me rakendame aritmeetika põhiseadusi sageli harjumusest, ilma et oleksime aru saanud:
1) kommutatiivseadus (kommutatiivsus), - identiteetidega väljendatud arvude liitmise ja korrutamise omadus:
a+b = b+a a*b = b*a;
2) assotsiatiivseadus (assotsiatiivsus), - identiteetidega väljendatud arvude liitmise ja korrutamise omadus:
(a+b)+c = a+(b+c) (a*b)*c = a*(b*c);
3) jaotusseadus (distributiivsus), - omadus, mis ühendab arvude liitmist ja korrutamist ning mida väljendatakse identiteetidega:
a*(b+c) = a*b+a*c (b+c) *a = b*a+c*a.
Pärast korrutamistoimingu kommutatiivsete, assotsiatiivsete ja distributiivsete (liitmise suhtes) seaduste tõestamist ei valmista naturaalarvude aritmeetiliste toimingute teooria edasine konstrueerimine põhimõttelisi raskusi.
Praegu teeme mõttes või paberil vaid kõige lihtsamaid arvutusi, usaldades üha sagedamini keerukamaid arvutustöid kalkulaatorite, arvutite kätte. Kõigi arvutite – lihtsate ja keerukate – töö põhineb aga kõige lihtsamal operatsioonil – naturaalarvude liitmisel. Selgub, et kõige keerulisemad arvutused saab taandada liitmisele, ainult seda toimingut tuleb teha palju miljoneid kordi.
Aksiomaatilised meetodid matemaatikas
Matemaatilise loogika arengu üheks peamiseks põhjuseks on laialdane levik aksiomaatiline meetod erinevate matemaatiliste teooriate ehitamisel, ennekõike geomeetria ja seejärel aritmeetika, rühmateooria jne. Aksiomaatiline meetod võib defineerida kui teooriat, mis on üles ehitatud määratlemata mõistete ja nendevaheliste suhete eelvalitud süsteemile.
Matemaatilise teooria aksiomaatilises konstrueerimises valitakse eelnevalt teatud määratlemata mõistete ja nendevaheliste suhete süsteem. Neid mõisteid ja seoseid nimetatakse põhilisteks. Järgmisena tutvustatakse aksioomid need. vaadeldava teooria põhisätted, aktsepteeritud ilma tõenditeta. Kogu edasine teooria sisu tuleneb loogiliselt aksioomidest. Esmakordselt võttis matemaatilise teooria aksiomaatilise konstrueerimise ette Euclid geomeetria konstrueerimisel.
Mis tahes matemaatilise teooria aksiomaatilises konstruktsioonis on kindel määrused:
mõned teooria mõisted valitakse peamisteks ja aktsepteeritakse ilma definitsioonita;
igale teooria mõistele, mis ei sisaldu põhiliste loetelus, antakse definitsioon;
formuleeritakse aksioomid - laused, mis on selles teoorias aktsepteeritud ilma tõestuseta; need paljastavad põhimõistete omadused;
· teooria iga lause, mis ei sisaldu aksioomide loetelus, tuleb tõestada; selliseid väiteid nimetatakse teoreemideks ja neid tõestatakse aksioomide ja teremide alusel.
Teooria aksiomaatilises ülesehituses tuletatakse kõik väited aksioomidest tõestuse teel.
Seetõttu allub aksioomide süsteem erilistele nõuded:
Järjepidevus (aksioomide süsteemi nimetatakse konsistentseks, kui sellest ei ole võimalik loogiliselt tuletada kahte üksteist välistavat lauset);
sõltumatus (aksioomide süsteemi nimetatakse sõltumatuks, kui ükski selle süsteemi aksioomidest ei ole teiste aksioomide tagajärg).
Hulka, milles on antud seos, nimetatakse antud aksioomisüsteemi mudeliks, kui selles on rahuldatud kõik selle süsteemi aksioomid.
Naturaalarvude hulga aksioomide süsteemi konstrueerimiseks on palju võimalusi. Põhimõiste jaoks võib võtta näiteks arvude summa või järjestuse seose. Igal juhul on vaja täpsustada aksioomide süsteem, mis kirjeldab põhimõistete omadusi.
Esitame aksioomide süsteemi, võttes omaks liitmise operatsiooni põhikontseptsiooni.
Mittetühi komplekt N nimetatakse naturaalarvude hulgaks, kui tehte (a; b) → a + b, mida nimetatakse liitmiseks ja millel on järgmised omadused:
1. liitmine on kommutatiivne, st. a + b = b + a.
2. liitmine on assotsiatiivne, s.t. (a + b) + c = a + (b + c).
4. mis tahes komplektis AGA, mis on komplekti alamhulk N, kus AGA on number a selline, et kõik Ha, on võrdsed a+b, kus bN.
Kogu naturaalarvude aritmeetika koostamiseks piisab aksioomidest 1–4. Kuid sellise konstruktsiooni puhul ei ole enam võimalik tugineda lõplike hulkade omadustele, mis nendes aksioomides ei kajastu.
Võtame põhimõistena mittetühjal hulgal defineeritud seose “jälgige otse…”. N. Siis on arvude naturaalne seeria hulk N, milles on defineeritud seos "otse järgimine", ja kõiki N elemente nimetatakse naturaalarvudeks ja järgmine kehtib: Peano aksioomid:
AXIOM 1.
hulgaliseltNon element, mis ei järgne kohe selle hulga ühelegi elemendile. Nimetame seda ühikuks ja tähistame sümboliga 1.
AXIOM 2.
Iga elemendi jaoks a ofNa-le järgneb üks element a.
AXIOM 3.
Iga elemendi jaoks a ofNon kõige rohkem üks element, millele järgneb kohe a.
AXOIM 4.
Hulga mis tahes alamhulk MNlangeb kokkuN, kui sellel on omadused: 1) 1 sisaldub M-s; 2) sellest, et a sisaldub M-is, järeldub, et a sisaldub ka M-s.
Palju N, elementide jaoks, mille suhtes on loodud seos "kohe järgneb ...", mis rahuldab aksioomid 1 - 4, nimetatakse naturaalarvude kogum , ja selle elemendid on naturaalarvud.
Kui komplektina N vali mingi konkreetne hulk, millel on antud konkreetne seos "otse järgida ...", rahuldades aksioomid 1-4, siis saame erineva tõlgendused (mudelid) antud aksioomisüsteemid.
Peano aksioomide süsteemi standardmudel on arvude jada, mis tekkis ühiskonna ajaloolise arengu käigus: 1, 2, 3, 4, 5, ...
Peano aksioomide mudeliks võib olla mis tahes loendatav hulk.
Näiteks I, II, III, III, ...
oi oi oi oi...
üks kaks kolm neli, …
Vaatleme hulkade jada, milles hulk (oo) on algelemendiks ja iga järgnev hulk saadakse eelmisest, määrates juurde ühe ringi (joonis 15).
Siis N on kirjeldatud kujuga hulkadest koosnev hulk ja see on Peano aksioomide süsteemi mudel.
Tõepoolest, paljudes N on element (oo), mis ei järgne kohe antud hulga ühelegi elemendile, s.t. kehtib aksioom 1. Iga komplekti kohta AGA vaadeldavast komplektist on unikaalne komplekt, mis on saadud AGAühe ringi lisamisega, s.o. Kehtib aksioom 2. Iga komplekti kohta AGA on kõige rohkem üks hulk, millest komplekt moodustatakse AGAühe ringi lisamisega, s.o. Kehtib aksioom 3. Kui MN ja on teada, et komplekt AGA sisaldub M, sellest järeldub, et hulk, milles on üks ring rohkem kui hulk AGA, sisaldub ka M, siis M =N, mis tähendab, et Axiom 4 on rahul.
Naturaalarvu definitsioonis ei saa ühtegi aksioomi ära jätta.
Teeme kindlaks, milline joonisel fig. 16 on Peano aksioomide mudel.
|
![](https://i0.wp.com/kto.guru/uploads/images/ob-aksiomaticheskom-sposobe-postroeniya-teorii_9.gif)
Lahendus. Joonisel 16 a) on kujutatud komplekt, milles on täidetud aksioomid 2 ja 3. Tõepoolest, iga elemendi jaoks on ainulaadne element, mis sellele vahetult järgneb, ja unikaalne element, millele see järgneb. Kuid aksioom 1 selles hulgas ei kehti (aksioom 4 ei ole mõttekas, sest hulgal pole elementi, mis ei järgneks kohe ühelegi teisele). Seetõttu ei ole see komplekt Peano aksioomide mudel.
Joonis 16 b) näitab komplekti, milles aksioomid 1, 3 ja 4 on täidetud, kuid elemendi taga a kohe järgneb kaks elementi, mitte üks, nagu nõutakse aksioomis 2. Seetõttu ei ole see hulk Peano aksioomide mudel.
Joonisel fig. 16 c) näitab hulka, milles on täidetud aksioomid 1, 2, 4, kuid element Koos järgneb kohe kahele elemendile. Seetõttu ei ole see komplekt Peano aksioomide mudel.
Joonisel fig. 16 d) näitab hulka, mis rahuldab aksioome 2, 3 ja kui võtta algelemendiks arv 5, siis see hulk rahuldab aksioomid 1 ja 4. See tähendab, et selles komplektis on iga elemendi jaoks kohe üks. sellele järgneb ja sellele järgneb üksainus element. Samuti on element, mis ei järgne kohe selle komplekti ühelegi elemendile, see on 5 , need. Kehtib aksioom 1. Vastavalt kehtib ka aksioom 4. Seetõttu on see hulk Peano aksioomide mudel.
Peano aksioomide abil saame tõestada mitmeid väiteid, näiteks tõestame, et kõigi naturaalarvude korral on ebavõrdsus x x.
Tõestus. Tähistage AGA naturaalarvude hulk, mille puhul a a. Number 1 kuulub AGA, kuna see ei järgne ühestki numbrist N ja seetõttu ei järgne iseenesest: 1 1. Lase aa, siis a a. Tähistage a läbi b. Aksioomi 3 alusel ab, need. bb ja bA.
Mis tahes teooria aksiomaatilisel ülesehitusel järgitakse teatud reegleid:
mõned teooria mõisted on valitud kui põhiline, ja neid aktsepteeritakse ilma definitsioonita ja neid nimetatakse määratlemata.
formuleeritakse aksioomid - laused, mis on selles teoorias aktsepteeritud ilma tõestuseta; need paljastavad põhimõistete omadused;
on toodud iga teooria mõiste, mida põhiliste loetelus ei ole määratlus, see selgitab selle tähendust põhi- ja eelnevate mõistete abil;
iga teooria lause, mis ei sisaldu aksioomide loetelus, peab olema tõestatud; selliseid väiteid nimetatakse teoreemideks ja need tõestavad neid vaadeldavale eelnevate aksioomide ja teoreemide alusel.
Teooria aksiomaatilises konstrueerimises tuletatakse sisuliselt kõik väited aksioomide tõestusega. Seetõttu seatakse aksioomide süsteemile erinõuded. Esiteks peab see olema järjepidev ja sõltumatu.
Aksioomide süsteemi nimetatakse järjekindel kui sellest ei saa loogiliselt tuletada kahte teineteist välistavat lauset.
Järjepidevat aksioomide süsteemi nimetatakse sõltumatu kui ükski selle süsteemi aksioomidest ei ole selle süsteemi teiste aksioomide tagajärg.
Aksioomid on reeglina inimeste sajanditepikkuse praktilise tegevuse peegeldus ja see määrab nende kehtivuse.
Naturaalarvude aritmeetika aksiomaatilise konstrueerimise põhikontseptsioonina võetakse mittetühjal hulgal antud seos "otse järgimine". N. Tuntud on ka hulga mõisted, hulga elemendi ja muud hulgateoreetilised mõisted, samuti loogikareeglid.
Elemendile vahetult järgnev element a, määrama a"."Otse järgimise" seose olemus ilmneb järgmistes aksioomides, mille pakkus välja Itaalia matemaatik J. Peano 1891. aastal.
Aksioom 1. hulgaliselt N on element, mis ei järgne kohe selle hulga ühelegi elemendile. Seda nimetatakse ühikuks ja tähistatakse sümboliga 1.
Aksioom 2. Iga elemendi jaoks a alates N on ainult üks element a", kohe järgneb a.
Aksioom 3. Iga elemendi jaoks a of N sellele järgneb kõige rohkem üks element a.
Aksioom 4. (Induktsiooni aksioom). Mis tahes alamhulk M komplektid N langeb kokku N-ga, kui sellel on järgmised omadused: 1) 1 sisaldub M; 2) sellest, et mis tahes element a sisaldub M, sellest järeldub, et ja a" sisaldub M.
Sõnastatud aksioome nimetatakse sageli Peano aksioomideks ja neljandat aksioomi nimetatakse induktsiooni aksioomiks.
Kirjutame need aksioomid sümboolsel kujul.
AGA 1 )( 1 N)( a N)a" 1;
AGA 2 )( a N)( !b N)a"=b
AGA 3 ) ( a,b,Koos N)с = a" с = b" a= b;
A4) M N 1 M (a M a" M) M = N
Kasutades "kohe järgima" seost ja Peano aksioome 1-4, saab anda järgmise naturaalarvu definitsiooni.
Definitsioon 1. Hulka N., mille elementide jaoks luuakse seos "kohe järgneb", mis rahuldab aksioomid 1-4, nimetatakse naturaalarvude hulgaks ja selle elemente naturaalarvud.
___________________________________________________________________
2. definitsioon . Kui naturaalarvbjärgneb kohe numbrile a, siis kutsutakse numbrit a vahetult enne (eelnevat) numbritb.
______________________________________________________________________________________________
1. teoreem. Ühikul ei ole eelnevat naturaalarvu (teoreemi tõesus tuleneb kohe aksioomist AGA 1 ).
2. teoreem. Iga naturaalarv a, muul kui ühel on eelnev number b , selline, et b " = a.
Naturaalarvu määratlus ei ütle midagi hulga elementide olemuse kohta N. Nii et ta võib olla ükskõik milline. Peano aksioomide süsteemi standardmudel on arvude jada, mis tekkisid ühiskonna ajaloolise arengu protsessis:
1, 2, 3, 4, 5 ,..,
Igal selle seeria numbril on oma tähistus ja nimi, mida loeme teadaolevaks.
Oluline on märkida, et naturaalarvu definitsioonis ei saa ühtegi aksioomi ära jätta.
1 a b c d
…
b
Riis. 16 Riis. 17
Ülesanne 1.
Joonistel on iga element ühendatud noolega sellele järgneva elemendiga.
Määrake, millised joonistel 15 ja 16 kujutatud hulgad on Peano aksioomide süsteemi mudelid.
1. Joonisel fig. 16 näitab komplekti, milles aksioomid 2 ja 3 kehtivad, kuid aksioom 1 ei kehti.
Aksioomil 4 pole mõtet, kuna komplektis pole elementi, mis ei järgneks kohe ühelegi teisele.
2. Joonisel fig. 17 näitab komplekti, milles aksioomid 1, 2, 3 on täidetud, kuid aksioom 4 ei ole täidetud - kiirel asetsevate punktide hulk sisaldab 1 ja koos iga arvuga sisaldab see kohe sellele järgnevat arvu, kuid see ei ole ühtivad kogu joonisel näidatud seadistuspunktidega. Järeldus: ükski joonisel fig. 16 ja 17 ei saa pidada Peano aksioomide süsteemi mudeliteks.
2. ülesanne.
Tõestame, et iga naturaalarv erineb vahetult järgnevast naturaalarvust, s.t. ( X )X X"
Tõestus
Kasutame induktsiooni aksioomi - AGA 4 .
Lase M=(x/x , X X"}, sest . X M N.
Tõestus koosneb kahest osast.
Tõestame seda 1 M, need. 1 1" . See tuleneb sellest AGA 1 .
Tõestame seda X M=> X" M. Lase X M need. X X". Tõestame seda X" M, st. X" (X")". Ja aksioomid AGA 3 peaks X" (X")". Tõepoolest, poolt AGA 3 , kui x" = (x")" siis x = x", ja kuna induktsioonilause x abil M, siis x X", seetõttu jõuame vastuoluni. Tähendab, X" (X")" , X" M.
Siin rakendatakse vastulause reeglit (PC), mida kasutatakse tõendites laialdaselt "vastuoluliselt".
Nii et saime:
M N (1 M (x M => x " M)) M = N, st. väide x x" kehtib mis tahes naturaalarvu kohta.
Testi küsimused
Mis on teooria aksiomaatilise konstruktsiooni olemus?
Millised on kooli planimeetria kursuse põhimõisted. Pidage meeles selle kursuse aksioomide süsteemi. Milliseid mõistete omadusi neis kirjeldatakse?
Sõnastage ja kirjutage sümboolsel kujul üles Peano aksioomid. "
Sõnasta naturaalarvu aksiomaatiline definitsioon.
Jätkake naturaalarvu definitsiooni: „Naturaalarv on hulga element N,... » .
Too näiteid algkooli matemaatikaõpikutest, milles:
a) uus (õpilastele) number toimib loomuliku seeria saadud segmendi jätkuna;
b) tehakse kindlaks, et igale naturaalarvule järgneb vahetult ainult üks teine naturaalarv.
Harjutused
285. Hulga elemendid on kriipsude rühmad (I, II, III, IIII,...). Kas see komplekt vastab Peano aksioomidele? Nagu siin on määratletud, seos "järgneb kohe". Mõelge komplektile (0, 00, 000, 0000,...) samadele küsimustele.
Riis. 17
286. Joonisel 17 a) on iga element ühendatud noolega sellele järgneva elemendiga. Kas hulka võib pidada Peano aksioomide süsteemi mudeliks? Samad küsimused komplektide kohta joonistel 17 b), c), d).
287. Kas arvude hulk (1, 2, 3 P, ...), kui järgmine seos on selles defineeritud järgmiselt:
1 3 5 7….
2 4 6 8….
288. Too näiteid algklasside matemaatikaõpikute ülesannetest, milles ülesannete õigsust selgitavad Peano aksioomid.
Aksiomaatiline meetod matemaatikas.
Looduslike ridade aksiomaatilise teooria põhimõisted ja seosed. Naturaalarvu definitsioon.
Naturaalarvude liitmine.
Naturaalarvude korrutamine.
Naturaalarvude hulga omadused
Naturaalarvude lahutamine ja jagamine.
Aksiomaatiline meetod matemaatikas
Mis tahes matemaatilise teooria aksiomaatilises ülesehituses on teatud reeglid:
1. Mõned teooria mõisted on valitud kui major ja aktsepteeritud ilma määratluseta.
2. Formuleeritud aksioomid, mida selles teoorias aktsepteeritakse ilma tõestuseta, paljastavad need põhimõistete omadused.
3. Kõik teooria mõisted, mida põhiliste loetelus ei sisaldu, on antud määratlus, selgitab see selle tähendust peamise ja sellele eelneva kontseptsiooni abil.
4. Iga teooria lause, mida aksioomide loetelus ei sisaldu, tuleb tõestada. Selliseid ettepanekuid kutsutakse teoreemid ja tõestada neid vaadeldavale eelnevate aksioomide ja teoreemide põhjal.
Aksioomide süsteem peaks olema:
a) järjepidev: peame olema kindlad, et antud aksioomide süsteemist kõikvõimalikke järeldusi tehes ei jõua me kunagi vastuoluni;
b) sõltumatu: ükski aksioom ei tohiks olla selle süsteemi teiste aksioomide tagajärg.
sisse) täielik, kui selle raames on alati võimalik tõestada kas antud väidet või selle eitust.
Eukleidese geomeetria esitlust oma teoses "Elements" (3. sajand eKr) võib pidada teooria aksiomaatilise konstrueerimise esimeseks kogemuseks. Olulise panuse geomeetria ja algebra konstrueerimise aksiomaatilise meetodi väljatöötamisse andis N.I. Lobatševski ja E. Galois. 19. sajandi lõpus Itaalia matemaatik Peano töötas välja aritmeetika aksioomide süsteemi.
Naturaalarvude aksiomaatilise teooria põhimõisted ja seosed. Naturaalarvu definitsioon.
Põhi(määratlemata) mõistena teatud kogumis N on valitud suhtumine , samuti hulgateoreetilisi mõisteid, samuti loogikareegleid.
Elemendile vahetult järgnev element a, määrama a".
"Kohe järgnev" seos vastab järgmistele aksioomidele:
Peano aksioomid:
Aksioom 1. hulgaliselt N seal on element, otse mitte järgmine selle komplekti mis tahes elemendi jaoks. Helistame talle üksus ja sümboliseerivad 1 .
Aksioom 2. Iga elemendi jaoks a alates N on ainult üks element a" kohe järgneb a .
Aksioom 3. Iga elemendi jaoks a alates N sellele järgneb kõige rohkem üks element a .
Aksioom 4. Mis tahes alamhulk M komplektid N langeb kokku N , kui sellel on järgmised omadused: 1) 1 sisaldub M ; 2) millest a sisaldub M , sellest järeldub, et ja a" sisaldub M.
Definitsioon 1. Palju N , mille elementide jaoks seos luuakse "jälgi otse» mis rahuldab aksioomid 1-4 nimetatakse naturaalarvude kogum, ja selle elemendid on naturaalarvud.
See määratlus ei ütle midagi komplekti elementide olemuse kohta N . Nii et ta võib olla ükskõik milline. Komplektina valimine N mingi konkreetne hulk, millel on antud konkreetne "otse järgimise" seos, mis rahuldab aksioomid 1-4, saame selle süsteemi mudel aksioomid.
Peano aksioomide süsteemi standardmudel on ühiskonna ajaloolise arengu käigus tekkinud arvude jada: 1,2,3,4, ... Naturaalne jada algab arvuga 1 (aksioom 1); igale naturaalarvule järgneb kohe üks naturaalarv (aksioom 2); iga naturaalarv järgneb vahetult kõige rohkem ühele naturaalarvule (aksioom 3); alustades arvust 1 ja liikudes järjekorras vahetult üksteisele järgnevate naturaalarvudeni, saame nende arvude kogu hulga (aksioom 4).
Niisiis alustasime naturaalarvude süsteemi aksiomaatilist konstrueerimist peamise valikuga "otse järgimise" suhe ja aksioomid, mis kirjeldavad selle omadusi. Teooria edasine ülesehitamine hõlmab naturaalarvude teadaolevate omaduste ja nendega tehte käsitlemist. Need tuleks avalikustada definitsioonides ja teoreemides, s.t. tuletatud puhtloogilisel viisil seosest "kohe järgnema" ja aksioomidest 1-4.
Esimene mõiste, mille me pärast naturaalarvu määratlust tutvustame, on suhtumine "eelneb vahetult" , mida kasutatakse sageli loodusliku seeria omaduste kaalumisel.
2. definitsioon. Kui naturaalarv b järgneb otse naturaalarv a, see number a helistas vahetult eelnev(või eelmine) number b .
Suhe "enne" on kinnistute läheduses.
Teoreem 1. Ühel ei ole eelnevat naturaalarvu.
Teoreem 2. Iga naturaalarv a, mis ei ole 1, on ühe eelneva numbriga b, selline, et b"= a.
Naturaalarvude teooria aksiomaatilist konstrueerimist ei käsitleta ei alg- ega keskkoolis. Kuid need "otse järgimise" seose omadused, mis kajastuvad Peano aksioomides, on matemaatika algkursuse uurimisobjektiks. Juba esimeses klassis esimese kümne numbreid arvestades selgub, kuidas iga numbri saab. Kasutatakse termineid "jälgi" ja "enne". Iga uus arv toimib loomuliku arvude jada uuritud segmendi jätkuna. Õpilased on veendunud, et igale arvule järgneb järgmine ja pealegi ainult üks, et arvude loomulik jada on lõpmatu.
Naturaalarvude liitmine
Vastavalt aksiomaatilise teooria koostamise reeglitele tuleb naturaalarvude liitmise definitsioon sisse viia kasutades ainult seost "jälgi otse" ja mõisted "loomulik number" ja "eelmine number".
Olgem liitmise määratluse eesotsas järgmiste kaalutlustega. Kui mõne naturaalarvu puhul a lisage 1, saame numbri a", kohe järgneb a, st. a+ 1= a" ja seega saame reegli liita 1 mis tahes naturaalarvule. Kuidas aga numbrile lisada a naturaalarv b, erinev 1-st? Kasutame järgmist fakti: kui on teada, et 2 + 3 = 5, siis summa 2 + 4 = 6, mis järgneb kohe arvule 5. See juhtub seetõttu, et summas 2 + 4 on teine liige kohe arv. järgides arvu 3. Seega 2 + 4 = 2+3 " =(2+3)". Üldiselt on meil , .
Need faktid on aluseks naturaalarvude liitmise määratlusele aksiomaatilises teoorias.
3. definitsioon. Naturaalarvude liitmine on algebraline tehe, millel on järgmised omadused:
Number a + b helistas arvude summa a ja b , ja numbrid ise a ja b - tingimustele.