Figuuripunkti kiiruse määramine tasapinnalisel liikumisel. Tasapinna kujundi mis tahes punkti kiiruse määramine. Kompleksne punkti liikumine
![Figuuripunkti kiiruse määramine tasapinnalisel liikumisel. Tasapinna kujundi mis tahes punkti kiiruse määramine. Kompleksne punkti liikumine](https://i2.wp.com/konspekta.net/studopedianet/baza3/248953001541.files/image295.gif)
Suvaline punkti kiirus M arvud on defineeritud kui kiiruste summa, mille punkt saab translatsioonilise liikumise ajal koos pooluse ja ümber pooluse pöörleva liikumisega.
Kujutage ette punkti asukohta M nagu (joon.1.6).
Eristades seda väljendit aja järgi, saame:
, sest
.
Samal ajal kiirus v MA. mis punkt M mis saadakse kujundi ümber pooluse pööramisel AGA, määratakse avaldise põhjal
v MA=ω · MA,
kus ω on tasapinnalise kujundi nurkkiirus.
Mis tahes punkti kiirus M lame kujund koosneb geomeetriliselt punkti kiirusest AGA, võetuna poolusena ja kiirus, punktid M kui kujund pöörleb ümber pooluse. Selle kiiruse kiiruse moodul ja suund leitakse kiiruste rööpküliku konstrueerimise teel.
Ülesanne 1
Määrake punkti kiirus AGA, kui rulli keskpunkti kiirus on 5m/s, siis rulli nurkkiirus . Rulli raadius r = 0,2 m, nurk . Uisuväljak veereb libisemata.
Kuna keha teeb tasapinnalise paralleelse liikumise, siis punkti kiirus AGA koosneb pooluse kiirusest (punkt FROM) ja punktiga saadud kiirust AGAümber varda pöörlemisel FROM.
,
Vastus:
Teoreem tasapinnaliselt paralleelselt liikuva keha kahe punkti kiiruste projektsioonide kohta
Mõelge mõnele kahele punktile AGA ja AT lame figuur. Punkti võtmine AGA pooluse kohta (joon. 1.7), saame
Seega projitseeritakse mõlemad võrdsuse osad mööda suunatud teljele AB, ja arvestades, et vektor on risti AB, leiame
v B· cosβ=v A· cosα+ v A-s· cos90°.
sest v A-s· cos90°=0 saame: jäiga keha kahe punkti kiiruste projektsioonid neid punkte läbival teljel on võrdsed.
Ülesanne 1
Kernel AB libiseb mööda siledat seina ja siledat põrandat alla, punktkiirus A V A \u003d 5m/s, nurk põranda ja varda vahel AB võrdub 30 0 . Määrake punkti kiirus AT.
Tasapinnalise kujundi punktide kiiruste määramine kiiruste hetkekeskme abil
Lameda kujundi punktide kiiruste määramisel läbi pooluse kiiruse võivad pooluse kiirus ja ümber pooluse pöörlemise kiirus olla suuruselt võrdsed ja suunalt vastupidised ning on olemas selline punkt P, mille kiirus antud ajahetkel on võrdne nulliga , nimetage seda kiiruste hetkekeskmeks.
Vahetu kiiruste keskpunkt Nimetatakse tasapinnalise kujundiga seotud punkti, mille kiirus antud ajahetkel on null.
Tasakujulise kujundi punktide kiirused määratakse antud ajahetkel nii, nagu oleks kujundi liikumine hetkeline pöörlemine ümber hetkelist kiiruskeskme läbiva telje (joonis 1.8).
v A=ω · PA; ().
Sest v B=ω · PB; (), siis w=vB/PB=v A/PA
Lameda kujundi punktide kiirused on võrdelised lühimate vahemaadega nendest punktidest hetkekiiruse keskpunktini.
Saadud tulemuste põhjal tehti järgmised järeldused:
1) Kiiruste hetkkeskme asukoha määramiseks on vaja teada kiiruse suurust ja suunda ning mis tahes kahe punkti kiiruse suunda AGA ja AT lame figuur; hetkekiiruse keskpunkt P on punktidest konstrueeritud perpendikulaaride lõikepunktis AGA ja AT nende punktide kiirustele;
2) nurkkiirus ω tasapinna kuju antud ajahetkel on võrdne kiiruse ja kauguse suhtega sellest hetkekeskmesse R kiirused: ω =v A/PA;
3) Punkti kiirus kiiruste hetkekeskme P suhtes näitab nurkkiiruse w suunda.
4) Punkti kiirus on otseselt võrdeline lühima kaugusega punktist AT hetkekiiruse keskpunkti R v A \u003d ω BP
Ülesanne 1
Vänt OA pikkus 0,2 m pöörleb ühtlaselt nurkkiirusega ω = 8 rad/s. Ühendusvarda juurde AB punktis FROM hingedega ühendusvarras CD. Mehhanismi antud asendi jaoks määrake punkti kiirus D liugur, kui nurk .
Punkti liikumine AT piiratud horisontaalsete juhikutega, saab liugur edasi liikuda ainult mööda horisontaaljuhikuid. Punkti kiirus AT suunatud samas suunas kui . Kuna ühendusvarda kahel punktil on sama kiiruse suund, teostab keha hetkelist translatsioonilist liikumist ning ühendusvarda kõigi punktide kiirused on sama suuna ja väärtusega.
JÄGA KEHA TASANDILIKUMINE
Õppeküsimused:
1. Jäiga keha tasapinnalise liikumise võrrandid.
2. Lameda kujundi punktide kiirus
3. Kiiruste hetkekeskpunkt
4. Tasapinnalise kujundi punktide kiirendused
1. Jäiga keha tasapinnalise liikumise võrrandid
Jäiga keha tasapinnaline liikuminekutsu sedaliikumine, mille käigus kõik kehalõike punktid liiguvad oma tasapinnas.
Laske tahket 1 teeb tasase liigutuse.
Sekant lennuk
kehas 1
moodustab lõike П, mis liigub lõiketasandil
.
Kui tasapinnaga paralleelne sooritada muid kehalõike, näiteks läbi punktide
jne lamades samal risti lõikudega, siis kõik need punktid ja kõik kehaosad liiguvad ühtemoodi.
Järelikult määrab keha liikumise sel juhul täielikult selle ühe lõigu liikumine ükskõik millisel paralleelsel tasapinnal ja lõigu asukoha määrab näiteks selle lõigu kahe punkti asukoht. AGA ja AT.
Sektsiooni asend P lennukis Ohu määrake segmendi asukoht AB, selles jaotises läbi viidud. Kahe punkti asukoht tasapinnal AGA()
ja AT(
)
mida iseloomustab neli parameetrit (koordinaati), millele on kehtestatud üks piirang - kommunikatsiooni võrrand segmendi pikkuse kujul AB:
Seetõttu saab määrata lõigu P asukohta tasapinnas kolm sõltumatut parameetrit – koordinaate
punktidAGA
ja nurk
,
mis moodustab segmendi AB teljega Oh. Punkt AGA, valitud sektsiooni P asukoha määramiseks, nn POLE.
Kui kehaosa liigub, on selle kinemaatilised parameetrid aja funktsioonid
Võrrandid on jäiga keha tasapinnalise (tasapinnalise paralleelse) liikumise kinemaatilised võrrandid. Nüüd näitame, et vastavalt saadud võrranditele teostab tasapinnalises liikumises keha translatsiooni- ja pöörlemisliigutusi. Laske sisse joonisel fig. lõiguga antud kehalõik
koordinaatsüsteemis Ohu algasendist liikunud 1
lõppasendisse 2.
Näidakem kahte võimalust keha võimalikuks asendist nihutamiseks 1 positsioonile 2.
Esimene viis. Võtame punkti kui pooluse .Segmendi liigutamine
paralleelselt iseendaga, st. järk-järgult, mööda trajektoori
,
enne sobituspunkte
ja
. Segmendi asukoha hankimine
.
nurga peal
ja saame lameda kujundi lõpliku asukoha, mis on antud segmendiga
.
Teine viis. Võtame punkti kui pooluse . Segmendi liigutamine
paralleelselt iseendaga, st. järk-järgult mööda trajektoori
enne sobituspunkte
ja
.Saame segmendi asukoha
.
Järgmisena pöörake seda segmenti ümber posti
peal
nurk
ja saame lameda kujundi lõpliku asukoha, mis on antud segmendiga
.
Teeme järgmised järeldused.
1. Tasapinnaline liikumine on võrranditega täielikult kooskõlas translatsiooni- ja pöörlemisliikumise kombinatsioon ning keha tasapinnalise liikumise mudelit võib käsitleda keha kõigi punktide translatsioonilise liikumisena koos pooluse ja pöörlemisega. keha pooluse suhtes.
2. Keha translatsioonilise liikumise trajektoorid sõltuvad pooluse valikust
.
Joonisel fig. 13.3 vaadeldaval juhul näeme, et esimesel liikumismeetodil, kui punkt võeti poolusena , translatsioonitrajektoor
oluliselt erinev trajektoorist
teise pooluse jaoks AT.
3. Kere pöörlemine ei sõltu teiba valikust. Nurk
keha pöörlemine jääb mooduli ja pöörlemissuuna poolest konstantseks
. Mõlemal juhul on joonisel fig. 13.3, oli pöörlemine vastupäeva.
Tasapinnalises liikumises oleva keha peamised omadused on: pooluse trajektoor, keha pöördenurk pooluse ümber, pooluse kiirus ja kiirendus, keha nurkkiirus ja nurkkiirendus. Lisateljed
translatsioonilises liikumises liiguvad nad koos poolusega AGA paralleelselt põhitelgedega Ohu mööda pooluse rada.
Lameda kujundi pooluse kiirust saab määrata võrrandite ajatuletistega:
Samamoodi määratakse keha nurkkarakteristikud: nurkkiirus ;
nurkkiirendus
.
Joonisel fig. poolusel AGA on näidatud kiirusvektori projektsioonid teljel Oi, oi Kere pöördenurk
, nurkkiirus
ja nurkkiirendus
näidatud kaarnooltega punkti ümber AGA. Liikumise pöörlemisomaduste sõltumatuse tõttu pooluse valikust on nurgakarakteristikud
,
,
saab näidata lameda kujundi suvalises punktis kaarnooltega, näiteks punktis B.
Loeng 3. Jäiga keha tasapinnaline paralleelne liikumine. Kiiruste ja kiirenduste määramine.
See loeng hõlmab järgmisi küsimusi:
1. Jäiga keha tasapinnaline paralleelne liikumine.
2. Tasapinnalise paralleelse liikumise võrrandid.
3. Liikumise lagunemine translatsiooniliseks ja pöörlevaks.
4. Tasapinnalise kujundi punktide kiiruste määramine.
5. Keha kahe punkti kiiruste projektsioonide teoreem.
6. Tasapinnalise kujundi punktide kiiruste määramine kiiruste hetkkeskme abil.
7. Ülesannete lahendamine kiiruse määramiseks.
8. Kiirusplaan.
9. Tasapinnalise kujundi punktide kiirenduste määramine.
10. Kiirendusülesannete lahendamine.
11. Hetkeline kiirenduskese.
Nende küsimuste uurimine on tulevikus vajalik jäiga keha tasapinnalise liikumise dünaamika, materiaalse punkti suhtelise liikumise dünaamika jaoks, probleemide lahendamiseks erialadel "Masinate ja mehhanismide teooria" ja "Masinate osad". ".
Jäiga keha tasapinnaline paralleelne liikumine. Tasapinnalise paralleelse liikumise võrrandid.
Liikumise lagunemine translatsiooniliseks ja pöörlevaks
Tasapinnaline paralleelne (või tasapinnaline) on jäiga keha selline liikumine, mille korral kõik selle punktid liiguvad paralleelselt mõne fikseeritud tasapinnaga. P(Joonis 28). Tasapinnalist liikumist teostavad paljud mehhanismide ja masinate osad, näiteks veerev ratas sirgel rajalõigus, ühendusvarras vänt-liugur mehhanismis jne. Tasapinnalise paralleelse liikumise konkreetne juhtum on pöörlev liikumine jäigast kehast ümber fikseeritud telje.
Joon.28 Joon.29
Mõelge jaotisele S mõne lennuki kehad Oxy, tasapinnaga paralleelne P(joon.29). Tasapinnalise paralleelse liikumise korral asuvad kõik keha punktid sirgel MM’ vooluga risti S, st lennukid P, liiguvad samamoodi.
Siit järeldame, et kogu keha liikumise uurimiseks piisab, kui uurida, kuidas see tasapinnas liigub Ohu osa S see keha või mõni tasapinnaline kuju S. Seetõttu käsitleme edaspidi keha tasapinnalise liikumise asemel tasapinnalise kujundi liikumist S oma tasapinnas, s.o. lennukis Ohu.
Figuuri asend S lennukis Ohu määratakse mõne sellele joonisele joonistatud segmendi asukoha järgi AB(Joonis 28). Omakorda segmendi asukoht AB saab määrata koordinaate teades x A ja y A punktid AGA ja nurk, mis on segment AB teljega vormid X. Punkt AGA valitud figuuri asukoha määramiseks S, nimetatakse edaspidi pooluseks.
Suurusarvu liigutamisel x A ja y A ja muutub. Teada liikumisseadust ehk kujundi asukohta tasapinnal Ohu igal ajal peate teadma sõltuvusi
Võrrandeid, mis määravad käimasoleva liikumise seaduse, nimetatakse tasapinnalise kujundi liikumisvõrranditeks. Need on ka jäiga keha tasapinnalise paralleelse liikumise võrrandid.
Liikumisvõrrandi kaks esimest määravad liikumise, mille kujund teeks, kui =const; see on ilmselgelt translatsiooniline liikumine, kus kõik kujundi punktid liiguvad samamoodi nagu poolus AGA. Kolmas võrrand määrab liikumise, mille joonis teeks juures ja , s.t. kui poolus AGA liikumatu; see on kujundi pöörlemine ümber pooluse AGA. Sellest võime järeldada, et üldjuhul võib tasapinnalise kujundi liikumist oma tasapinnas käsitleda translatsioonilise liikumise summana, mille puhul kõik kujundi punktid liiguvad samamoodi nagu poolus AGA ja pöörlevast liikumisest ümber selle pooluse.
Vaadeldava liikumise peamised kinemaatilised karakteristikud on translatsioonilise liikumise kiirus ja kiirendus, mis on võrdne pooluse kiiruse ja kiirendusega, samuti pooluse ümber toimuva pöörleva liikumise nurkkiirus ja nurkkiirendus.
Tasapinnalise kujundi punktide kiiruste määramine
Märgiti, et lameda kujundi liikumist võib käsitleda translatsioonilise liikumise summana, mille puhul kõik kujundi punktid liiguvad pooluse kiirusega AGA ja pöörlevast liikumisest ümber selle pooluse. Näitame, et mis tahes punkti kiirus M figuurid on moodustatud geomeetriliselt kiirustest, mille punkt saab igas sellises liikumises.
Tõepoolest, mis tahes punkti asukoht M arvud on määratletud telgede suhtes Ohu raadiuse vektor (joon. 30), kus on pooluse raadiuse vektor AGA, - punkti asukohta määratlev vektor M koos postiga liikuvate telgede kohta AGA translatsiooniliselt (figuuri liikumine nende telgede suhtes on pöörlemine ümber pooluse AGA). Siis
Tuletage meelde, et lameda kujundi liikumist võib käsitleda translatsioonilise liikumise summana koos pooluse ja pöörleva liikumisega ümber pooluse.
Selle järgi tasapinnalise kujundi suvalise punkti M kiirus on geomeetriliselt mingi poolusena võetud punkti A kiiruse ja kiiruse summa, mille punkt M saab, kui kujund pöörleb ümber selle pooluse, st.
Samal ajal kiirus VMA defineeritud kui punkti kiirus M kui keha pöörleb ümber punkti läbiva fikseeritud telje AGA risti liikumistasandiga (vt § 7.2), s.o.
Seega, kui pooluse kiirus on teada VA ja keha nurkkiirus w, siis
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/356.png)
mis tahes punkti kiirus M keha on määratud vastavalt võrrandile (8.2), vektoritele ehitatud rööpküliku diagonaal VA ja VMA, nagu külgedel (joonis 8.3), ja kiirusmoodul V M arvutatakse valemiga
kus y on vektorite vaheline nurk VA ja VMA
Probleem 8.1. Ratas veereb kindlal pinnal libisemata (joonis 8.4, a). Otsige kiiruspunkte To ja D rattad, kui kiirus on teada Vc keskne C ratas, raadius R rattad, vahemaa COP = b ja nurk a.
Lahendus. 1. Vaadeldava ratta liikumine on tasapinnaline paralleelne. Võttes punkti C pooluseks (kuna selle kiirus on teada), vastavalt üldisele võrrandile (8.2) punkti jaoks To saame kirjutada
Väärtust pole aga võimalik kuidagi määrata V KC , kuna nurkkiirus on teadmata.
W määramiseks võta arvesse teise punkti, nimelt punkti kiirust R ratta puudutamine kindlal pinnal (joonis 8.4, b). Selle punkti jaoks võime kirjutada võrdsuse
punkti funktsioon R on tõsiasi, et praegusel ajahetkel Vp - 0, kuna ratas veereb libisemata. Siis võtab võrdsus (b) kuju
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/360.png)
kust me saame
Siit järeldub: 1) kiirusvektorid V arvuti ja Vc peaks olema suunatud vastassuundades; 2) moodulite võrdsusest V PC – V c saame uPC = V c , siit leiame w = Vc /PC = Vc /R. Vastavalt vektori suunale V arvuti määrake kaare noole w suund ja näidake seda joonisel (joonis 8.4, b).
Nüüd tagasi määratluse juurde V K võrdsuse järgi (a). Leiame
Vks \u003d KS kohta - V ^ b / R. Teades nurkkiiruse ω suunda, kujutame vektorit V KC lõiguga risti KS ja teostada vektoritele rööpküliku konstrueerimine Vc ja V KC(Joonis 8.4, sisse). Kuna antud juhul Vc ja V KCüksteisega risti, leiame lõpuks
2. Punkti kiirus D rattaveljel määrame võrdsuse järgi VD = V C + V DC . Kuna numbriliselt VDC - co R - V c , siis vektoritele ehitatud rööpkülik Vc ja VDC, saab olema romb. Nurk vahel Vc ja V DC võrdub 2a. Olles määratlenud VD rombi vastava diagonaali pikkusena saame
Teoreem jäiga keha kahe punkti kiiruste projektsioonide kohta
Võrdsuse (8.2) järgi kahe_ suvalise punkti jaoks AGA ja AT jäik keha võrdsus V B \u003d V A + V B A, mille kohaselt teostame joonisel fig. 8.5. Selle võrdsuse projitseerimine teljele Az, suunatud A B saame Mõistus + VBAz. Arvestades, et vektor VBA joonega risti
A B leida
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/366.png)
See tulemus väljendab teoreemi: jäiga keha kahe punkti kiiruste projektsioonid neid punkte läbival teljel on üksteisega võrdsed.
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/367.png)
Märgime, et võrdsus (8.5) peegeldab matemaatiliselt tõsiasja, et keha peetakse absoluutselt jäigaks ja punktide vahelist kaugust. AGA ja AT ei muutu. Sellepärast võrdsus (8,5) on täidetud mitte ainult tasapinnalise paralleelse, vaid ka jäiga keha mis tahes liikumise jaoks.
Probleem 8.2. Pugejad AGA ja AT,ühendatud vardaga, mille otstes on hinged, liigutatakse neid joonise tasapinnas mööda üksteisega risti olevaid juhikuid (joonis 8.6, a). Määrake antud nurga all punkti kiirus AT, kui kiirus on teada V A .
Lahendus. Joonistame x-telje läbi punktide AGA ja AT. Suuna teadmine VA ,
leida selle vektori projektsioon sirgele AB: V Ax – V A cos a (joonis 8.6, b sellest saab lõige Ah). Edasi joonisel punktist AT edasi lükata Bb - Aa(sest segment Ah asub x-teljel punktist paremal AGA, siis segment Bb punktist kõrvale jätta AT x-teljel paremal). Punktis ülestõusmine b joonega risti AB, leida vektori lõpp-punkt V B .
Projektsiooniteoreemi järgi VA cos a = K^cosp. Siit (võttes arvesse, et Р = 90 ° - a) saame lõpuks V B = VA cos a/cos(90° - a) või V B = = VA ctg a.
Punktide kiiruste määramine kiiruste hetkekeskme abil
Tasapinnalise kujundi punktide kiiruste määramiseks valime pooluseks suvalise punkti R. Siis valemi järgi
(8.2), suvalise punkti kiirus M defineeritakse kahe vektori summana:
Kui pooluse kiirus R antud ajahetkel oli võrdne nulliga, siis oleks selle võrdsuse parem pool esindatud ühe liikmega MR juures ja mis tahes punkti kiirus oleks määratletud punkti kiirusena M keha, kui see pöörleb ümber fikseeritud pooluse R.
Seega, kui valime pooluseks punkti R, mille kiirus on antud ajahetkel null, siis joonise kõigi punktide kiiruste moodulid on võrdelised nende kaugustega poolusest P ja kõigi punktide kiirusvektorite suunad on risti vaadeldavat punkti ja poolust P ühendavate sirgjoontega. Loomulikult on valemitega (8.6) arvutamine palju lihtsam kui üldvalemiga (8.2).
Lameda kujundi punkti, mille kiirus antud ajahetkel on null, nimetatakse kiiruste hetkekeskmeks (MCS). Lihtne on kontrollida, et kui kujund liigub mittetranslatsiooniliselt, siis on selline punkt igal ajahetkel olemas ja pealegi unikaalne. Pange tähele, et kiiruste hetkekese võib asuda nii figuuril endal kui ka selle mõttelisel jätkul.
Mõelge kiiruste hetkekeskme asukoha määramise võimalustele.
1. Laske ajahetkel ttasapinnalise kujundi jum, selle nurkkiirus ω ja kiirus VA mis tahes selle punktidest AGA(Joonis 8.7, a). Seejärel valides punkti AGA kui poolus, otsitava punkti_kiirus_ R saab määrata valemiga Vp = VA + VpA -
Probleem on sellise punkti leidmises R, milles V P=0, nii tema jaoks V A + U RL=0 ja seega Y RA \u003d -Y V. Seetõttu asja juurde R kiirust Kell RA mis punkt R mis saadakse kujundi ümber pooluse pööramisel AGA, ja kiirust A poolused AGA võrdne moodulis (Y RA = Y A) või umbes ZAR = U A ja vastassuunas. Lisaks punkt R peab asetsema vektoriga risti Kell A. Punkti asukoha määramine R viiakse läbi järgmiselt: punktist AGA(Joonis 8.7, b) seadke üles risti vektoriga A ja asetage sellele distants AR = Y A/co teisel pool punkti AGA, kus vektor "näitab" Kell Ja kui seda pööratakse 90 ° kaare noole suunas co.
Kiiruste hetkekese on tasapinnalise kujundi ainus punkt, mille kiirus antud ajahetkel on null.
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/370.png)
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/371.png)
Teisel ajahetkel võib kiiruste hetkekeskpunkt olla juba tasapinnalise kujundi teine punkt.
2. Olgu kiiruste suunad teada VA ja sisse(Joonis 8.8, a) kaks punkti AGA ja AT tasapinnaline joonis (pealegi ei ole nende punktide kiirusvektorid paralleelsed) või on teada nende punktide elementaarnihked. Kiiruste hetkekese asub punktidest A ja B püstitatud perpendikulaaride ja nende punktide kiiruste (või punktide elementaarsete nihete) lõikepunktis. Selline konstruktsioon on näidatud joonisel fig. 8,8, b. See põhineb asjaolul, et mis tahes punktide puhul A ja B kohaldatavate sätete arvud (8.6):
Nendest võrdsustest järeldub, et
Teades MCC asukohta ja keha nurkkiirust, on valemeid (8.6) rakendades lihtne määrata selle keha mis tahes punkti kiirust. Näiteks punkti pärast To(vt joonis 8.8, b) mooduli kiirus V K = coKP, vektor U to suunatud risti sirgjoonega KR kooskõlas
kaare noole y suund.
Järelikult tasapinnalise kujundi punktide kiirused määratakse antud ajahetkel nii, nagu see kuju pöörleks ümber kiiruste hetkekeskme.
3. Kui kiirus punktid AGA ja AT tasapinnalised joonised on üksteisega paralleelsed, siis on võimalikud kolm võimalust, mis on näidatud joonisel fig. 8.9. Juhtudeks, kui otsene AB vektoritega risti VA ja V B(Joonis 8.9, a, b) konstruktsioonide aluseks on proportsioon (8,7).
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/374.png)
Kui punktide kiirus Lee V paralleelsed ja sirged AB_nt risti VAGA(Joonis 8.9, sisse), siis ristid U A-le ja V B on paralleelsed ja kiiruste hetkekese on lõpmatuses (AP= oo); kujundi pöörlemise nurkkiirus w = VJAP=VA/cc= 0. Sel juhul on kujundi kõikide punktide kiirused antud ajahetkel üksteisega võrdsed, st joonisel on kiiruste jaotus nagu translatsioonilisel liikumisel. Seda liikumisseisundit nimetatakse koheselt progresseeruv. Pange tähele, et selles olekus ei ole kõigi kehapunktide kiirendused ühesugused.
4. Kui keha tasapinnaline liikumine toimub veeremise teel ilma libisemiseta fikseeritud pinnal (joon. 8.10), siis puutepunkt R on kiiruste hetkekeskpunkt (vt ülesanne 8.1).
Ülesanne 8.3. Lame mehhanism koosneb 7 vardast, 2, 3, 4 ja roomik AT(joon. 8.11), omavahel ühendatud ja fikseeritud tugedega 0 { ja 0 2 hinged; punkt D on varda keskel AB. Varda pikkused: / 2 = 0,4 m, / 2 = 1,2 m, / 3 = 0,7 m, / 4 = 0,3 m ja suunatud vastupäeva. Defineeri V A , V B , V D , V E , oo 2 , co 3 , kuni 4 ja punkti kiirus To varda keskel DE (DK = KE).
Lahendus. Vaadeldavas mehhanismis on vardad 7, 4 teha pöörlevat liigutust AT- progressiivne ja vardad 2, 3 -
tasapinnaline paralleelne liikumine.
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/375.png)
Punkti kiirus AGA defineerime, et see kuulub vardale 7, mis teeb pöörlevat liikumist:
Mõelge varda liikumisele 2. Punkti kiirus AGA on määratletud ja punkti kiiruse suund AT tänu sellele, et see kuulub samaaegselt vardale 2 ja sugu-
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/377.png)
Zun liigub mööda juhendeid. Nüüd taastamine punktidest AGA ja AT suhtes risti A ja liuguri liikumissuund AT, leidke punkti C 2 asukoht - varda MCS 2.
Vektori suunas U A arvestades, et mehhanismi vaadeldavas asendis varras 2 pöörleb ümber punkti C 2, määrame nurkkiiruse suuna 2 varda järgi 2 ja leidke selle arvväärtus (o 2 = V a / AC 2 \u003d 0,8 / 1,04 \u003d 0,77 s -1, kus AC 2 - AB sin 60 ° \u003d 1,04 m (saame, kui arvestada A AC ~, B).
Nüüd määrame arvulised väärtused ja punktide kiiruste suunad AT ja D varras 2 (sest ABDC 2 võrdkülgsed siis BC 2 - DC 2 - - 0,6 m):
![](https://i0.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/378.png)
Mõelge varda liikumisele 3. Punkti kiirus D teatud. Alates punktist E kuulub samal ajal vardale 4, ümber telje pöörlev 0 4 , siis Y e 10 4 E. Seejärel punktide läbimine D ja E kiirusega risti olevad sirgjooned V D w V E , leidke punkti C 3 asukoht - varda MCS
3. Vektori suunas V D , Fikseeritud punktist С 3 vaadates määrame nurkkiiruse с 3 suuna ja leiame selle arvväärtuse (varem AZ-st määratud) C 3 ? segment Z)C3 = DEsin 30 ° \u003d 0,35 m): co 3 \u003d V d / C 3 D = 1,32 s -1.
Punkti kiiruse määramiseks To tõmbame sirge COP 3 ja seda arvestades AR K Alates 3 võrdkülgne ( COP 3 = 0,35 m), arvuta Y k \u003d \u003d 0,462 m/s, U kuni AKS 3.
Mõelge ümber telje pöörleva varda_4 liikumisele 0 4 . Suuna ja arvväärtuse tundmine VE , leiame nurkkiiruse suuna ja väärtuse alates 4: alates 4 \u003d V e / 0 4 E - 2,67 s
Vastus: VA= 0,8 m/s, V B = V D= 0,462 m/s, V E = 0,8 m / s, co 2 \u003d 0,77 s "1, co 3 = 1,32 s -1, (o 4 = 2,67 s -1, nende koguste suunad on näidatud joonisel 8.11.
Märge.Mitmest kehast koosnevas mehhanismis on igal antud ajahetkel mittetranslatsiooniliselt liikuval kehal oma hetkekiiruste keskpunkt ja oma nurkkiirus.
Ülesanne 8.4. Lamemehhanism koosneb varrastest 1, 2, 3 ja rull, mis veereb fikseeritud tasapinnal libisemata (joonis 8.12, a). Varraste ühendused enda ja varda vahel 3 punktis olevale liuväljale D- hingedega. Varraste pikkused: 1 { - 0,4 m, / 2 = 0,6 m, / 3 = 0,8 m. Antud nurkade a = 60°, B = 30° korral on nurga väärtused ja suunad O liuväli V0= 0,346 m/s, ZABD= 90°. Määrake punkti kiirus AT ja nurkkiirus alates 2 .
Lahendus. Mehhanismil on kaks vabadusastet (selle asukoha määravad kaks teineteisest sõltumatut nurka a ja p) ja punkti kiirus AT(varraste ühine punkt 2 ja 3) oleneb punktide kiirusest AGA ja D.
Arvestades varda liikumist /, n leiame punkti suuna ja kiiruse väärtuse A: V A= coj/j = 0,8 m/s, V a AjO ( A.
Mõelge rulli liikumisele. Selle hetkekiiruse kese asub punktis R; siis VD leida proportsioonist
Kuna A DOP võrdhaarsed ja teravnurgad selles on 30 °, siis DP- 2OP cos 30° = ORl/ 3. Võrdsusest (a) leiame VD- 0,6 m/s. Vektor VD suunatud risti D.P.
Alates punktist AT kuulub samaaegselt varraste hulka AB ja BD, siis kiirusprojektsiooni teoreemi järgi peaks see olema: 1) vektori projektsioon sisse otse A B A(joonelõik Ah joonisel fig. 8.12, a), st. A cos a = 0,4 m/s; 2) vektorprojektsioon sisse otse D.B. on võrdne projektsiooniga sellele vektori sirgele 0(joonelõik Dd joonisel fig. 8.12, a), st. 0 cos y = 0,3 m/s (y = 60°).
Lahendame selle graafiliselt. Pange punktist kõrvale AT lõiked vastavates suundades Bb (= Aa ja Bb 2 = Dd. Punkti kiirus AT on võrdne vektorite summaga V B = Bb + Bbj. Taastamine punktist b ( suhtes risti Bb x, ja alates
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/380.png)
punktid b 2 - suhtes risti Bb 2. Nende ristide lõikepunkt määrab soovitud vektori lõpu V B .
Kuna segmentide suundadest Bb ja Bb 2 siis vastastikku risti
Määrame 2 . Joonisel fig. 8.12, b näidatud on nn kiirusplaan, mis kujutab graafiliselt vektori võrdsust
kus vektorid VA ja V B määratletud (vt joonis 8.12, a), ja suund VBA vardaga risti AB. Jooniselt (joon. 8.12, b) leida
Nüüd defineerime 2 = V ba / AB- 1,66 s -1 (suund alates 2 - vastupäeva).
Vastus: VB- 0,5 m / s, co 2 \u003d 1,66 s -1.
Lameda kujundi liikumine koosneb translatsioonilisest liikumisest, kui kõik kujundi punktid liiguvad pooluse kiirusega AGA, ja selle pooluse ümber pöörlevast liikumisest (joonis 3.4). Mis tahes punkti kiirus M figuurid on moodustatud geomeetriliselt kiirustest, mille punkt saab igas sellises liikumises.
Joonis 3.4
Tõepoolest, punkti asukoht M telgede suhtes Ohy määratud raadiusega - vektor , kus
- pooluse raadiuse vektor AGA,
=
- raadiuse vektor, mis määrab punkti asukoha M suhteliselt
liigub koos teibaga AGA järk-järgult. Siis
.
on pooluse kiirus AGA,
võrdne kiirusega
, mis punkt M võtab vastu kl
, st. telgede kohta
ehk siis, kui kujund pöörleb ümber pooluse AGA. Seega järeldub sellest
kus ω on joonise nurkkiirus.
Joonis 3.5
Sellel viisil, tasapinnalise kujundi mis tahes punkti M kiirus on geomeetriliselt mõne teise poolusena võetud punkti A kiiruse ja kiiruse summa, mille punkt M saab, kui kujund pöörleb ümber selle pooluse. Moodul ja kiiruse suund leitakse vastava rööpküliku konstrueerimisel (joonis 3.5).
10.3. Teoreem keha kahe punkti kiiruste projektsioonide kohta
Üks lihtsamaid viise tasapinnalise kujundi (või tasapinnaga paralleelselt liikuva keha) punktide kiiruste määramiseks on teoreem: jäiga keha kahe punkti kiiruste projektsioonid neid punkte läbival teljel on üksteisega võrdsed.
Joonis 3.6
Mõelge mõnele kahele punktile AGA ja AT lame kuju (või keha) (joon. 3.6). Punkti võtmine AGAühe pooluse kohta saame selle . Seega projitseeritakse mõlemad võrdsuse osad mööda suunatud teljele AB, ja arvestades, et vektor
risti AB, leiame
|
ja teoreem on tõestatud. Pange tähele, et see tulemus on selge ka puhtalt füüsilistest kaalutlustest: kui võrdsus ei teostata, siis punktide vahekauguse liigutamisel AGA ja AT peab muutuma, mis on võimatu – keha on absoluutselt kindel. Seetõttu on see võrdsus täidetud mitte ainult tasapinnalise paralleelse, vaid ka jäiga keha mis tahes liikumise korral.
10.4. Tasapinnalise kujundi punktide kiiruste määramine kiiruste hetkekeskme abil
Teine lihtne ja illustreeriv meetod tasapinnalise kujundi (või tasapinnalise liikumise keha) punktide kiiruste määramiseks põhineb kiiruste hetkekeskme kontseptsioonil.
Kiiruste hetkekese (ICV) on tasapinnalise kujundi punkt, mille kiirus antud ajahetkel on võrdne nulliga.
Kui kujund liigub mittetõlkeliselt, siis selline punkt igal ajahetkel t eksisteerib ja on ainulaadne. Lase hetkel t punktid AGA ja AT joonise tasanditel on kiirused ja
, üksteisega mitteparalleelsed (joon. 3.7.). Siis punkt R asub ristide ristumiskohas Ah vektorile
ja ATb vektorile
, ja on kiiruste hetkekeskpunkt, kuna
.
Joonis 3.7
Tõepoolest, kui , siis kiirusprojektsiooni teoreemi järgi vektor
peab olema nii risti kui ka AR(sest
) ja BP(sest
), mis on võimatu. Samast teoreemist on selge, et ühelgi teisel joonise punktil ei saa sellel ajahetkel olla nulliga võrdne kiirus.
Kui nüüd omal ajal t võta punkt R pooluse kohta. See on punkti kiirus AGA saab
,
sest =0. Sama tulemus saadakse joonise mis tahes muu punkti puhul. Siis tasapinnalise kujundi punktide kiirused määratakse antud ajahetkel nii, nagu oleks kujundi liikumine pöörlemine ümber kiiruste hetkekeskme. Kus
|
ja nii edasi joonise mis tahes punkti jaoks.
Sellest tuleneb ka see ja
, siis
|
need. mida tasapinnalise kujundi punktide kiirused on võrdelised nende kaugusega kiiruste hetkekeskmest.
Saadud tulemuste põhjal tehti järgmised järeldused:
1. Kiiruste hetkkeskme määramiseks on vaja teada ainult kiiruste suundi, näiteksja
tasapinnalise kujundi mis tahes kaks punkti A ja B.
2. Tasapinnalise kujundi mis tahes punkti kiiruse määramiseks peate teadma joonise ühe punkti A kiiruse moodulit ja suunda ning selle teise punkti B kiiruse suunda.
3. Nurkkiirustasapinnaline kujund on igal ajahetkel võrdne kujundi mõne punkti kiiruse suhtega selle kaugusesse kiiruste hetkekeskmest P:
|
Leiame selle jaoks teise väljendi ω
võrdsustest ja
järgib seda
ja
, kus
|
Vaatleme mõnda MCC määratluse erijuhtu, mis aitavad lahendada teoreetilise mehaanika.
1. Kui tasapinnaline paralleelne liikumine toimub veeremise teel ilma libisemata ühe silindrilise keha pinnale, siis punkt R fikseeritud pinda puudutava veereva keha (joonis 3.8) kiirus on antud ajahetkel libisemise puudumise tõttu võrdne nulliga ( ) ja seega on see kiiruste hetkekeskpunkt.
Joonis 3.8
2. Kui kiirus punktid AGA ja AT lame joonis on üksteisega paralleelsed ja joon AB mitte risti (joon. 3.9, a), siis asub kiiruste hetkekese lõpmatuses ja kõigi punktide kiirus //
. Sel juhul tuleneb kiirusprojektsiooni teoreemist, et
, st.
, sel juhul on joonisel hetkeline translatsiooniline liikumine.
3. Kui kiirus punktid AGA ja AT lame kujund // üksteisele ja samal ajal joon AB risti , siis kiiruste hetkekese R määrab konstruktsioon (joon. 3.9, b).
Joonis 3.9
Konstruktsioonide kehtivus tuleneb sellest . Sel juhul, erinevalt eelmistest, keskuse leidmiseks R lisaks juhistele pead teadma ka kiiruste mooduleid
ja
.
4. Kui kiirusvektor on teada mingi punkt AT joonis ja selle nurkkiirus ω
, siis kiiruste hetkekeskme asukoht R lamades sellega risti
(vt joonis ?), võib leida võrdsusest
, mis annab
.