Millised tasandi sirgepaaridest on paralleelsed. Paralleelsed sirged tasapinnas ja ruumis. Isikuandmete kaitse
Teie privaatsus on meile oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun lugege meie privaatsuspoliitikat ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.
Isikuandmete kogumine ja kasutamine
Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.
Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.
Järgnevalt on toodud mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas seda teavet kasutada.
Milliseid isikuandmeid me kogume:
- Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.
Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:
- Kogutavad isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsetest pakkumistest, tutvustustest ja muudest sündmustest ning eelseisvatest sündmustest.
- Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid teile oluliste teadete ja sõnumite saatmiseks.
- Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
- Kui osalete loosimises, võistluses või sarnases stiimulis, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.
Avalikustamine kolmandatele isikutele
Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.
Erandid:
- Kui see on vajalik - vastavalt seadusele, kohtukorraldusele, kohtumenetluses ja/või Vene Föderatsiooni territooriumil asuvate avalike taotluste või riigiasutuste taotluste alusel - avaldage oma isikuandmed. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikes huvides.
- Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime edastada kogutud isikuandmed vastavale kolmandale isikule õigusjärglasele.
Isikuandmete kaitse
Me rakendame ettevaatusabinõusid – sealhulgas administratiivseid, tehnilisi ja füüsilisi –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.
Teie privaatsuse säilitamine ettevõtte tasandil
Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvatavade ning rakendame rangelt privaatsuspõhimõtteid.
Tasapinnas nimetatakse sirgeid paralleelseks, kui neil pole ühiseid punkte, see tähendab, et nad ei ristu. Paralleelsuse näitamiseks kasutage spetsiaalset ikooni || (rööpjooned a || b).
Ruumis lebavate sirgete puhul ei piisa ühispunktide puudumise nõudest – et need oleksid ruumis paralleelsed, peavad nad kuuluma samale tasapinnale (muidu on nad viltu).
Paralleelsete joonte näidete jaoks ei pea kaugele minema, need on meiega kõikjal kaasas, ruumis on need seina ja lae ja põranda ristumisjooned, märkmikulehel on vastupidised servad jne.
On üsna ilmne, et kui kaks sirget on paralleelsed ja kolmas sirge paralleelne ühega kahest esimesest, on see paralleelne teisega.
Tasapinna paralleelsed sirged on ühendatud väitega, mida ei saa tõestada planimeetria aksioomide abil. Seda aktsepteeritakse kui fakti, kui aksioomi: iga punkti jaoks tasapinnal, mis ei asu sirgel, on üks sirge, mis läbib seda paralleelselt antud punktiga. Seda aksioomi teab iga kuues klass.
Selle ruumiline üldistus, st väide, et iga ruumipunkti jaoks, mis ei asu sirgel, on ainulaadne sirge, mis läbib seda antud punktiga paralleelselt, on hõlpsasti tõestatav, kasutades juba tuntud paralleelsuse aksioomi. lennuk.
Paralleelsete joonte omadused
- Kui ükskõik milline kahest paralleelsest sirgest on paralleelne kolmandaga, siis on need üksteisega paralleelsed.
Paralleeljoontel on see omadus nii tasapinnas kui ka ruumis.
Näiteks kaaluge selle põhjendust stereomeetrias.
Olgu sirged b paralleelsed sirgega a.
Juhtum, kui kõik jooned asuvad samal tasapinnal, jäetakse planimeetriale.
Oletame, et a ja b kuuluvad betta tasapinnale ning gamma on tasapind, kuhu kuuluvad a ja c (ruumis paralleelsuse definitsiooni järgi peavad sirged kuuluma samale tasapinnale).
Kui eeldame, et beeta- ja gammatasandid on erinevad ja märgime beetatasandist sirgel b teatud punkti B, siis läbi punkti B ja sirge c tõmmatud tasand peab ristuma beetatasandiga sirgjooneliselt (tähistame see b1).
Kui saadud sirge b1 lõikaks gammatasandit, siis ühelt poolt peaks lõikepunkt asuma a-l, kuna b1 kuulub betta-tasapinnale ja teisest küljest peab see kuuluma ka c-le, kuna b1 kuulub kolmandasse lennukisse.
Kuid paralleelsed sirged a ja c ei tohi ristuda.
Seega peab sirge b1 kuuluma betta tasapinnale ja samal ajal ei tohi tal olla a-ga ühiseid punkte, seega langeb see paralleelsuse aksioomi järgi kokku b-ga.
Saime sirgega b ühtiva sirge b1, mis kuulub sirgega c samale tasapinnale ja ei lõiku sellega ehk b ja c on paralleelsed
- Läbi punkti, mis ei asu antud sirgel paralleelselt antud sirgega, saab läbida ainult üks sirge.
- Kaks sirget, mis asuvad tasapinnal, mis on risti kolmandaga, on paralleelsed.
- Kui üks kahest paralleelsest sirgest lõikub tasapinnaga, lõikub teine sirge sama tasandiga.
- Kolmanda kahe paralleelse sirge ristumiskohal moodustatud vastavad ja risti asetsevad sisenurgad on võrdsed, sel juhul moodustatud sisemiste ühepoolsete nurkade summa on 180 °.
Tõsi on ka vastupidised väited, mida võib võtta kahe sirge paralleelsuse märkidena.
Paralleelsete joonte seisund
Eelpool sõnastatud omadused ja märgid on sirgete paralleelsuse tingimused ja neid saab tõestada geomeetria meetoditega. Teisisõnu, kahe olemasoleva sirge paralleelsuse tõestamiseks piisab, kui tõestada nende paralleelsust kolmanda sirgega või nurkade võrdsust, olenemata sellest, kas need on vastavad või asetsevad risti jne.
Tõestuseks kasutavad nad peamiselt meetodit "vastuoluliselt", st eeldusel, et sirged ei ole paralleelsed. Selle eelduse põhjal saab hõlpsasti näidata, et antud juhul rikutakse antud tingimusi, näiteks osutuvad risti asetsevad sisenurgad ebavõrdseks, mis tõendab tehtud eelduse ebaõigsust.
Kahe sirge paralleelsuse märgid
Teoreem 1. Kui sekandi kahe sirge ristumiskohas:
diagonaalselt asetsevad nurgad on võrdsed või
vastavad nurgad on võrdsed või
ühepoolsete nurkade summa on 180°, siis
jooned on paralleelsed(Joonis 1).
Tõestus. Piirdume 1. juhtumi tõestusega.
Oletame, et sirgete a ja b ristumiskohas lõikenurgaga AB on lamamisnurgad võrdsed. Näiteks ∠ 4 = ∠ 6. Tõestame, et a || b.
Oletame, et sirged a ja b ei ole paralleelsed. Seejärel lõikuvad nad mingis punktis M ja järelikult on üks nurkadest 4 või 6 kolmnurga ABM välisnurk. Olgu täpsuse huvides ∠ 4 kolmnurga ABM välimine nurk ja ∠ 6 sisenurk. Kolmnurga välisnurga teoreemist järeldub, et ∠ 4 on suurem kui ∠ 6 ja see on vastuolus tingimusega, mis tähendab, et sirged a ja 6 ei saa ristuda, seega on nad paralleelsed.
Järeldus 1. Kaks erinevat sirget tasapinnal, mis on sama sirgega risti, on paralleelsed(Joonis 2).
Kommenteeri. Seda, kuidas me just tõestasime teoreemi 1 juhtumit 1, nimetatakse tõestusmeetodiks vastuolu või absurdsusele taandamisega. See meetod sai oma eesnime, kuna arutluse alguses tehakse eeldus, mis on vastupidine (vastupidine) sellele, mida on vaja tõestada. Seda nimetatakse absurdiks taandamiseks, mis tuleneb asjaolust, et tehtud oletuse põhjal vaieldes jõuame absurdse järelduseni (absurdsus). Sellise järelduse saamine sunnib meid tagasi lükkama alguses tehtud oletuse ja nõustuma sellega, mida nõuti tõestama.
Ülesanne 1. Ehitage sirge, mis läbib antud punkti M ja on paralleelne antud sirgega a, mis ei läbi punkti M.
Lahendus. Joonistame sirge p läbi punkti M risti sirgega a (joonis 3).
Seejärel joonestame sirge b läbi punkti M risti sirgega p. Sirge b on paralleelne sirgega a vastavalt teoreemi 1 järeldusele.
Vaadeldavast probleemist järeldub oluline järeldus:
Läbi punkti, mis ei asu antud sirgel, saab alati tõmmata antud sirgega paralleelse sirge..
Paralleelsete joonte peamine omadus on järgmine.
Paralleelsete sirgete aksioom. Läbi antud punkti, mis ei asu antud sirgel, on antud sirgega paralleelne ainult üks sirge.
Vaatleme mõningaid sellest aksioomist tulenevaid paralleelsirgete omadusi.
1) Kui sirge lõikub ühega kahest paralleelsest sirgest, siis see lõikub ka teisega (joonis 4).
2) Kui kaks erinevat sirget on paralleelsed kolmanda sirgega, siis on nad paralleelsed (joonis 5).
Õige on ka järgmine teoreem.
Teoreem 2. Kui kahte paralleelset sirget ristub sekant, siis:
lamamisnurgad on võrdsed;
vastavad nurgad on võrdsed;
ühepoolsete nurkade summa on 180°.
Tagajärg 2. Kui sirge on risti ühega kahest paralleelsest sirgest, siis on see risti ka teisega.(vt joonis 2).
Kommenteeri. Teoreemi 2 nimetatakse 1. teoreemi pöördväärtuseks. 1. teoreemi järeldus on teoreemi 2 tingimus. 1. teoreemi tingimus on teoreemi 2 järeldus. Igal teoreemil ei ole pöördväärtust, st kui antud teoreem on tõene, siis võib pöördteoreem olla väär.
Selgitame seda vertikaalnurkade teoreemi näitel. Selle teoreemi saab sõnastada järgmiselt: kui kaks nurka on vertikaalsed, siis on need võrdsed. Pöördteoreem oleks järgmine: kui kaks nurka on võrdsed, siis on nad vertikaalsed. Ja see pole muidugi tõsi. Kaks võrdset nurka ei pea olema üldse vertikaalsed.
Näide 1 Kaks paralleelset joont ristuvad kolmandikuga. Teatavasti on kahe sisemise ühepoolse nurga erinevus 30°. Leidke need nurgad.
Lahendus. Las joonis 6 vastab tingimusele.
Selles artiklis räägime paralleelsetest joontest, anname määratlusi, määrame paralleelsuse märgid ja tingimused. Teoreetilise materjali selguse huvides kasutame illustratsioone ja tüüpnäidete lahendust.
Definitsioon 1Paralleelsed sirged tasapinnas on kaks tasapinna sirget, millel pole ühiseid punkte.
2. definitsioon
Paralleelsed jooned 3D-ruumis- kaks sirget kolmemõõtmelises ruumis, mis asuvad samal tasapinnal ja millel ei ole ühiseid punkte.
Tuleb märkida, et paralleelsete joonte määramiseks ruumis on äärmiselt oluline selgitus "asub samal tasapinnal": kaks joont kolmemõõtmelises ruumis, millel ei ole ühiseid punkte ja mis ei asu samal tasapinnal, ei ole. paralleelsed, kuid ristuvad.
Paralleelsete joonte tähistamiseks on tavaline kasutada sümbolit ∥ . See tähendab, et kui antud sirged a ja b on paralleelsed, tuleks see tingimus lühidalt kirjutada järgmiselt: a ‖ b . Sõnaliselt näidatakse sirgete paralleelsust järgmiselt: sirged a ja b on paralleelsed või sirge a on paralleelne sirgega b või sirge b paralleelne sirgega a.
Sõnastagem väide, mis mängib uuritavas teemas olulist rolli.
Aksioom
Läbi punkti, mis ei kuulu antud sirgele, on antud sirgega paralleelne ainult üks sirge. Seda väidet ei saa tõestada teadaolevate planimeetria aksioomide põhjal.
Kui tegemist on ruumiga, on teoreem tõene:
1. teoreem
Läbi mis tahes ruumipunkti, mis ei kuulu antud sirgele, on ainult üks sirgega paralleelne sirge.
Seda teoreemi on lihtne tõestada ülaltoodud aksioomi (geomeetriaprogramm 10.-11. klassile) alusel.
Paralleelsuse märk on piisav tingimus, mille korral on paralleelsed sirged garanteeritud. Teisisõnu, selle tingimuse täitmine on paralleelsuse fakti kinnitamiseks piisav.
Eelkõige on olemas vajalikud ja piisavad tingimused sirgete paralleelsusele tasapinnas ja ruumis. Selgitagem: vajalik tähendab tingimust, mille täitmine on paralleelsete sirgete jaoks vajalik; kui see ei ole täidetud, ei ole jooned paralleelsed.
Kokkuvõtteks võib öelda, et sirgete paralleelsuse vajalik ja piisav tingimus on selline tingimus, mille järgimine on vajalik ja piisav, et sirged oleksid üksteisega paralleelsed. Ühelt poolt on see paralleelsuse märk, teiselt poolt paralleeljoontele omane omadus.
Enne vajalike ja piisavate tingimuste täpse sõnastuse andmist tuletame meelde veel paar lisamõistet.
3. määratlus
sekantne joon on sirge, mis lõikab kahte etteantud mittekattuvat sirget.
Lõikuses kahte sirget, moodustab sekant kaheksa laiendamata nurka. Vajaliku ja piisava tingimuse sõnastamiseks kasutame selliseid nurki nagu rist-, vastav- ja ühekülgne. Näitame neid illustratsioonil:
2. teoreem
Kui tasapinnal lõikuvad kaks sirget lõikenurka, siis selleks, et antud sirged oleksid paralleelsed, on vajalik ja piisav, et risti asetsevad nurgad on võrdsed või vastavad nurgad võrdsed või ühekülgsete nurkade summa on võrdne 180 kraadid.
Illustreerime graafiliselt tasapinna paralleelsete sirgete vajalikku ja piisavat tingimust:
Nende tingimuste tõend on olemas 7.-9. klasside geomeetriaprogrammis.
Üldiselt kehtivad need tingimused ka kolmemõõtmelise ruumi puhul, eeldusel, et kaks joont ja sekant kuuluvad samale tasapinnale.
Toome välja veel mõned teoreemid, mida sageli kasutatakse sirgete paralleelsuse tõestamiseks.
3. teoreem
Tasapinnal on kaks kolmandaga paralleelset sirget üksteisega paralleelsed. See omadus on tõestatud ülalmainitud paralleelsuse aksioomi alusel.
4. teoreem
Kolmemõõtmelises ruumis on kaks kolmandaga paralleelset sirget paralleelsed.
Tunnuse tõestamist õpitakse 10. klassi geomeetria programmis.
Toome nende teoreemide näite:
Nimetagem veel üks paar teoreemi, mis tõestavad sirgete paralleelsust.
5. teoreem
Tasapinnal on kaks sirget, mis on risti kolmandaga, üksteisega paralleelsed.
Sõnastame samasuguse kolmemõõtmelise ruumi jaoks.
6. teoreem
Kolmemõõtmelises ruumis on kaks joont, mis on risti kolmandaga, üksteisega paralleelsed.
Illustreerime:
Kõik ülaltoodud teoreemid, märgid ja tingimused võimaldavad sirgete paralleelsust mugavalt tõestada geomeetria meetoditega. See tähendab, et sirgete paralleelsuse tõestamiseks võib näidata, et vastavad nurgad on võrdsed, või näidata, et kaks antud sirget on risti kolmandaga jne. Kuid märgime, et tasapinnal või kolmemõõtmelises ruumis olevate sirgete paralleelsuse tõestamiseks on sageli mugavam kasutada koordinaatide meetodit.
Sirgete paralleelsus ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis
Antud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis määratakse sirge ühe võimaliku tüübi tasapinna sirgjoone võrrandiga. Samamoodi vastab kolmemõõtmelises ruumis ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis antud sirge mõnele ruumilise sirge võrrandile.
Kirjutame ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis sirgete paralleelsuse vajalikud ja piisavad tingimused, olenevalt antud sirgeid kirjeldava võrrandi tüübist.
Alustame tasapinna paralleelsete sirgete tingimusega. See põhineb sirge suunavektori ja tasapinnal oleva sirge normaalvektori definitsioonidel.
7. teoreem
Selleks, et kaks mittekattuvat sirget oleks tasapinnal paralleelsed, on vajalik ja piisav, et antud sirgete suunavektorid oleksid kollineaarsed või antud sirgete normaalvektorid oleksid kollineaarsed või ühe sirge suunavektor on joonega risti. teise sirge normaalvektor.
Selgub, et paralleelsete sirgjoonte tingimus tasapinnal põhineb kollineaarsete vektorite tingimusel või kahe vektori perpendikulaarsuse tingimusel. See tähendab, et kui a → = (a x, a y) ja b → = (b x, b y) on sirgete a ja b suunavektorid;
ja n b → = (n b x , n b y) on sirgete a ja b normaalvektorid, siis kirjutame ülaltoodud vajaliku ja piisava tingimuse järgmiselt: a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y või n a → = t n b → ⇔ n a x = t n b x n a y = t n b y või a → , n b → = 0 ⇔ a x n b x + a y n b y = 0 , kus t on mingi reaalarv. Suunavate ehk otsevektorite koordinaadid määratakse sirgete etteantud võrranditega. Vaatleme peamisi näiteid.
- Sirge a ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis määratakse sirge üldvõrrandiga: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; rida b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Siis on antud sirgete normaalvektoritel vastavalt koordinaadid (A 1 , B 1) ja (A 2 , B 2). Paralleelsuse tingimuse kirjutame järgmiselt:
A 1 = t A 2 B 1 = t B 2
- Sirget a kirjeldab sirge võrrand kaldega kujul y = k 1 x + b 1 . Sirge b - y \u003d k 2 x + b 2. Siis on antud sirgete normaalvektoritel vastavalt koordinaadid (k 1 , - 1) ja (k 2 , - 1) ning paralleelsuse tingimuse kirjutame järgmiselt:
k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2
Seega, kui paralleelsed sirged tasapinnal ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis on antud kaldekordajatega võrranditega, siis on antud sirgete kaldekoefitsiendid võrdsed. Ja vastupidine väide on tõsi: kui ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi tasapinnal olevad mittekattuvad sirged on määratud samade kaldekordajatega sirge võrranditega, siis on need antud sirged paralleelsed.
- Ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi sirged a ja b on antud tasapinna sirge kanooniliste võrranditega: x - x 1 a x = y - y 1 a y ja x - x 2 b x = y - y 2 b y või parameetrilised võrrandid tasapinna sirgest: x = x 1 + λ a x y = y 1 + λ a y ja x = x 2 + λ b x y = y 2 + λ b y .
Siis on antud sirgete suunavektorid vastavalt a x , a y ja b x , b y ning paralleelsuse tingimuse kirjutame järgmiselt:
a x = t b x a y = t b y
Vaatame näiteid.
Näide 1
Antud on kaks rida: 2 x - 3 y + 1 = 0 ja x 1 2 + y 5 = 1 . Peate kindlaks tegema, kas need on paralleelsed.
Lahendus
Kirjutame sirgjoone võrrandi segmentides üldvõrrandi kujul:
x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0
Näeme, et n a → = (2 , - 3) on sirge 2 x - 3 y + 1 = 0 normaalvektor ja n b → = 2, 1 5 on sirge x 1 2 + y 5 normaalvektor = 1.
Saadud vektorid ei ole kollineaarsed, sest ei ole sellist t väärtust, mille puhul võrdsus oleks tõene:
2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5
Seega ei ole täidetud tasapinna sirgete paralleelsuse vajalik ja piisav tingimus, mis tähendab, et antud sirged ei ole paralleelsed.
Vastus: antud sirged ei ole paralleelsed.
Näide 2
Antud sirged y = 2 x + 1 ja x 1 = y - 4 2 . Kas need on paralleelsed?
Lahendus
Teisendame sirge x 1 \u003d y - 4 2 kanoonilise võrrandi kaldega sirge võrrandiks:
x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4
Näeme, et sirgete y = 2 x + 1 ja y = 2 x + 4 võrrandid ei ole samad (kui see oleks teisiti, oleksid sirged samad) ja sirgete kalded on võrdsed, mis tähendab, et antud sirged on paralleelsed.
Proovime probleemi teisiti lahendada. Kõigepealt kontrollime, kas antud read langevad kokku. Kasutame sirge y \u003d 2 x + 1 mis tahes punkti, näiteks (0, 1) , selle punkti koordinaadid ei vasta sirge x 1 \u003d y - 4 2 võrrandile, mis tähendab, et jooned ei lange kokku.
Järgmise sammuna tuleb määrata paralleelsuse tingimuse täitmine antud joonte puhul.
Sirge y = 2 x + 1 normaalvektor on vektor n a → = (2 , - 1) , teise etteantud sirge suunavektor on b → = (1 , 2) . Nende vektorite skalaarkorrutis on null:
n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0
Seega on vektorid risti: see näitab meile esialgsete sirgete paralleelsuse vajaliku ja piisava tingimuse täitmist. Need. antud sirged on paralleelsed.
Vastus: need jooned on paralleelsed.
Kolmemõõtmelise ruumi ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi sirgete paralleelsuse tõestamiseks kasutatakse järgmist vajalikku ja piisavat tingimust.
8. teoreem
Selleks, et kolmemõõtmelises ruumis kaks mittekattuvat sirget oleksid paralleelsed, on vajalik ja piisav, et nende sirgete suunavektorid oleksid kollineaarsed.
Need. antud sirge võrrandite jaoks kolmemõõtmelises ruumis leitakse vastus küsimusele: kas nad on paralleelsed või mitte, määrates antud sirgete suunavektorite koordinaadid, samuti kontrollides nende kollineaarsuse tingimust. Teisisõnu, kui sirgete a ja b suunavektoriteks on vastavalt a → = (a x, a y, a z) ja b → = (b x, b y, b z), siis selleks, et need oleksid paralleelsed, on olemas sellise reaalarvu t on vajalik, et võrdus kehtiks:
a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z
Näide 3
Antud sirged x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 ja x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ . Nende sirgete paralleelsust on vaja tõestada.
Lahendus
Ülesande tingimusteks on ühe sirge kanoonilised võrrandid ruumis ja teise sirge parameetrilised võrrandid ruumis. Suunavektorid a → ja b → antud joontel on koordinaadid: (1 , 0 , - 3) ja (2 , 0 , - 6) .
1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t - 6 ⇔ t = 1 2, siis a → = 1 2 b → .
Seetõttu on ruumis paralleelsete joonte vajalik ja piisav tingimus täidetud.
Vastus: antud sirgete paralleelsus on tõestatud.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
Nad ei ristu, olenemata sellest, kui kaua nad jätkuvad. Kirjalike ridade paralleelsus on näidatud järgmiselt: AB|| FROME
Selliste sirgete olemasolu võimalikkust tõestab teoreem.
Teoreem.
Läbi mis tahes punkti, mis on võetud antud sirgest väljapoole, saab tõmmata sellele sirgele paralleeli..
Lase AB see rida ja FROM mingi punkt sellest väljapoole võetud. Seda on vaja tõestada FROM saate tõmmata sirge joone paralleelseltAB. Laseme edasi AB punktist FROM ristiFROMD ja siis teeme FROME^ FROMD, mis on võimalik. Otse CE paralleelselt AB.
Tõestuseks eeldame vastupidist, st seda CE ristub AB mingil hetkel M. Siis punktist M sirgjoonele FROMD meil oleks kaks erinevat risti MD ja PRL, mis on võimatu. Tähendab, CE ei saa ristuda AB, st. FROME paralleelselt AB.
Tagajärg.
Kaks risti (CEjaD.B.) ühele sirgele (CD) on paralleelsed.
Paralleelsete sirgete aksioom.
Sama punkti kaudu on võimatu tõmmata kahte erinevat joont paralleelselt sama joonega.
Nii et kui sirgjoon FROMD, tõmmatud läbi punkti FROM paralleelselt sirgjoonega AB, siis mis tahes muu rida FROME sama punkti kaudu FROM, ei saa olla paralleelne AB, st. jätkab ta ristuvad Koos AB.
Selle mitte päris ilmse tõe tõestamine osutub võimatuks. Seda aktsepteeritakse ilma tõestuseta kui vajalikku eeldust (postulatum).
Tagajärjed.
1. Kui sirge(FROME) lõikub ühega paralleelselt(SW), siis lõikub teisega ( AB), sest muidu läbi sama punkti FROM kaks erinevat paralleelset sirget AB, mis on võimatu.
2. Kui kumbki kahest otsene (AjaB) on paralleelsed sama kolmanda reaga ( FROM) , siis nad on paralleelsed omavahel.
Tõepoolest, kui me seda eeldame A ja B mingil hetkel ristuvad M, siis läbiks seda punkti kaks erinevat üksteisega paralleelset sirget. FROM, mis on võimatu.
Teoreem.
Kui a sirgjoon on ristiühele paralleelsetest sirgest, siis on see teisega risti paralleelselt.
Lase AB || FROMD ja EF ^ AB.Seda nõutakse tõestama EF ^ FROMD.
PerpendikulaarneEF, ristuvad AB, kindlasti ristuvad ja FROMD. Olgu ristumispunkt H.
Oletame nüüd, et FROMD mitte risti EH. Siis mingi muu rida näiteks HK, on sellega risti EH ja seega läbi sama punkti H kaks sirge paralleel AB: üks FROMD, tingimuse ja muu HK nagu varem tõestatud. Kuna see on võimatu, ei saa seda eeldada SW ei olnud sellega risti EH.