Redutseeritud jääkide summa moodul n. Väljavõtmise süsteemid. Harjutused iseseisvaks tööks
![Redutseeritud jääkide summa moodul n. Väljavõtmise süsteemid. Harjutused iseseisvaks tööks](https://i2.wp.com/konspekta.net/lektsianew/baza13/30078065046.files/image063.gif)
või mis tahes järjestikust lk numbrid.
Seda süsteemi nimetatakse täielik arvude süsteem, mis ei ole mooduli poolest võrreldavad lk või täielik jääkide süsteem modulo lk. On ilmne, et mis tahes lk järjestikused arvud moodustavad sellise süsteemi.
Kõigil samasse klassi kuuluvatel arvudel on palju ühiseid omadusi, seetõttu võib neid mooduli suhtes pidada üheks arvuks. Iga võrdlusse liidetava või tegurina kaasatud arvu saab võrdlust rikkumata asendada sellega võrreldava arvuga, s.t. samasse klassi kuuluva numbriga.
Teine element, mis on ühine antud klassi kõikidele arvudele, on selle klassi ja mooduli iga elemendi suurim ühine jagaja lk.
Lase a ja b võrreldav moodul lk, siis
Teoreem 1. Kui sisse kirves+b selle asemel x paneme kõik paika lk täieliku arvude süsteemi liikmed
Seega kõik numbrid kirves+b, kus x=1,2,...lk-1 ei ole moodulid võrreldavad lk(muidu numbrid 1,2,... lk-1 oleks võrreldav moodul lk.
Märkmed
1) Selles artiklis tähendab sõna number täisarvu.
Kirjandus
- 1. K. Iirimaa, M. Rosen. Klassikaline sissejuhatus kaasaegsesse arvuteooriasse. - M: Mir, 1987.
- 2. G. Davenport. Kõrgem aritmeetika. - M: Nauka, 1965.
- 3. P.G. Lejeune Dirichlet. Loengud arvuteooriast. - Moskva, 1936.
Modulo jäägirõngas n tähistab või. Selle multiplikatiivne rühm, nagu rõngaste ümberpööratavate elementide rühmade üldiselt, on tähistatud ∗ × × .
Lihtsaim juhtum
Rühma struktuuri mõistmiseks võime kaaluda erijuhtumit, kus on algarv, ja üldistada seda. Mõelge lihtsaimale juhtumile, kui see on .
Teoreem: - tsükliline rühm.
Näide : Kaaluge rühma
= (1,2,4,5,7,8) Grupi generaator on number 2. ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ Nagu näete, võib rühma mis tahes elementi esitada kui , kus ≤ℓφ . See tähendab, et rühm on tsükliline.Üldine juhtum
Üldise juhtumi käsitlemiseks on vaja defineerida primitiivne juur. Primitiivne juurmoodul a algarvuks on arv, mis koos jääkklassiga tekitab rühma.
Näited: 2 11 ; 8 - primitiivne juurmoodul 11 ; 3 ei ole primitiivne mooduljuur 11 .Terve mooduli puhul on definitsioon sama.
Rühma struktuur määratakse järgmise teoreemiga: Kui p on paaritu algarv ja l on positiivne täisarv, siis on olemas primitiivsed juured modulo , st tsükliline rühm.
Näide
Jääkide redutseeritud süsteem modulo koosneb jäägiklassidest: . Seoses jäägiklasside jaoks määratletud korrutisega moodustavad nad lisaks rühma ja on vastastikku pöördvõrdelised (st ⋅ ) ja on enda suhtes pöördvõrdelised.
Grupi struktuur
Kirje tähendab "järjekorra n tsüklilist rühma".
× | φ | λ | Grupi generaator | × | φ | λ | Grupi generaator | × | φ | λ | Grupi generaator | × | φ | λ | Grupi generaator | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | C1 | 1 | 1 | 0 | 33 | C2 × C10 | 20 | 10 | 2, 10 | 65 | C4 × C12 | 48 | 12 | 2, 12 | 97 | C96 | 96 | 96 | 5 | |||
2 | C1 | 1 | 1 | 1 | 34 | C 16 | 16 | 16 | 3 | 66 | C2 × C10 | 20 | 10 | 5, 7 | 98 | C42 | 42 | 42 | 3 | |||
3 | C2 | 2 | 2 | 2 | 35 | C2 × C12 | 24 | 12 | 2, 6 | 67 | C66 | 66 | 66 | 2 | 99 | C2 × C30 | 60 | 30 | 2, 5 | |||
4 | C2 | 2 | 2 | 3 | 36 | C2 × C6 | 12 | 6 | 5, 19 | 68 | C2 × C16 | 32 | 16 | 3, 67 | 100 | C2 × C20 | 40 | 20 | 3, 99 | |||
5 | C4 | 4 | 4 | 2 | 37 | C 36 | 36 | 36 | 2 | 69 | C2 × C22 | 44 | 22 | 2, 68 | 101 | C 100 | 100 | 100 | 2 | |||
6 | C2 | 2 | 2 | 5 | 38 | C 18 | 18 | 18 | 3 | 70 | C2 × C12 | 24 | 12 | 3, 69 | 102 | C2 × C16 | 32 | 16 | 5, 101 | |||
7 | C6 | 6 | 6 | 3 | 39 | C2 × C12 | 24 | 12 | 2, 38 | 71 | C70 | 70 | 70 | 7 | 103 | C 102 | 102 | 102 | 5 | |||
8 | C2 × C2 | 4 | 2 | 3, 5 | 40 | C2 × C2 × C4 | 16 | 4 | 3, 11, 39 | 72 | C2 × C2 × C6 | 24 | 6 | 5, 17, 19 | 104 | C2 × C2 × C12 | 48 | 12 | 3, 5, 103 | |||
9 | C6 | 6 | 6 | 2 | 41 | C40 | 40 | 40 | 6 | 73 | C72 | 72 | 72 | 5 | 105 | C2 × C2 × C12 | 48 | 12 | 2, 29, 41 | |||
10 | C4 | 4 | 4 | 3 | 42 | C2 × C6 | 12 | 6 | 5, 13 | 74 | C 36 | 36 | 36 | 5 | 106 | C 52 | 52 | 52 | 3 | |||
11 | C 10 | 10 | 10 | 2 | 43 | C42 | 42 | 42 | 3 | 75 | C2 × C20 | 40 | 20 | 2, 74 | 107 | C 106 | 106 | 106 | 2 | |||
12 | C2 × C2 | 4 | 2 | 5, 7 | 44 | C2 × C10 | 20 | 10 | 3, 43 | 76 | C2 × C18 | 36 | 18 | 3, 37 | 108 | C2 × C18 | 36 | 18 | 5, 107 | |||
13 | C 12 | 12 | 12 | 2 | 45 | C2 × C12 | 24 | 12 | 2, 44 | 77 | C2 × C30 | 60 | 30 | 2, 76 | 109 | C 108 | 108 | 108 | 6 | |||
14 | C6 | 6 | 6 | 3 | 46 | C 22 | 22 | 22 | 5 | 78 | C2 × C12 | 24 | 12 | 5, 7 | 110 | C2 × C20 | 40 | 20 | 3, 109 | |||
15 | C2 × C4 | 8 | 4 | 2, 14 | 47 | C46 | 46 | 46 | 5 | 79 | C78 | 78 | 78 | 3 | 111 | C 2 × C 36 | 72 | 36 | 2, 110 | |||
16 | C2 × C4 | 8 | 4 | 3, 15 | 48 | C2 × C2 × C4 | 16 | 4 | 5, 7, 47 | 80 | C2 × C4 × C4 | 32 | 4 | 3, 7, 79 | 112 | C2 × C2 × C12 | 48 | 12 | 3, 5, 111 | |||
17 | C 16 | 16 | 16 | 3 | 49 | C42 | 42 | 42 | 3 | 81 | C 54 | 54 | 54 | 2 | 113 | C 112 | 112 | 112 | 3 | |||
18 | C6 | 6 | 6 | 5 | 50 | C 20 | 20 | 20 | 3 | 82 | C40 | 40 | 40 | 7 | 114 | C2 × C18 | 36 | 18 | 5, 37 | |||
19 | C 18 | 18 | 18 | 2 | 51 | C2 × C16 | 32 | 16 | 5, 50 | 83 | C82 | 82 | 82 | 2 | 115 | C 2 × C 44 | 88 | 44 | 2, 114 | |||
20 | C2 × C4 | 8 | 4 | 3, 19 | 52 | C2 × C12 | 24 | 12 | 7, 51 | 84 | C2 × C2 × C6 | 24 | 6 | 5, 11, 13 | 116 | C2 × C28 | 56 | 28 | 3, 115 | |||
21 | C2 × C6 | 12 | 6 | 2, 20 | 53 | C 52 | 52 | 52 | 2 | 85 | C4 × C16 | 64 | 16 | 2, 3 | 117 | C6 × C12 | 72 | 12 | 2, 17 | |||
22 | C 10 | 10 | 10 | 7 | 54 | C 18 | 18 | 18 | 5 | 86 | C42 | 42 | 42 | 3 | 118 | C 58 | 58 | 58 | 11 | |||
23 | C 22 | 22 | 22 | 5 | 55 | C2 × C20 | 40 | 20 | 2, 21 | 87 | C2 × C28 | 56 | 28 | 2, 86 | 119 | C 2 × C 48 | 96 | 48 | 3, 118 | |||
24 | C2 × C2 × C2 | 8 | 2 | 5, 7, 13 | 56 | C2 × C2 × C6 | 24 | 6 | 3, 13, 29 | 88 | C2 × C2 × C10 | 40 | 10 | 3, 5, 7 | 120 | C2×C2×C2×C4 | 32 | 4 | 7, 11, 19, 29 | |||
25 | C 20 | 20 | 20 | 2 | 57 | C2 × C18 | 36 | 18 | 2, 20 | 89 | C 88 | 88 | 88 | 3 | 121 | C 110 | 110 | 110 | 2 | |||
26 | C 12 | 12 | 12 | 7 | 58 | C 28 | 28 | 28 | 3 | 90 | C2 × C12 | 24 | 12 | 7, 11 | 122 | C60 | 60 | 60 | 7 | |||
27 | C 18 | 18 | 18 | 2 | 59 | C 58 | 58 | 58 | 2 | 91 | C6 × C12 | 72 | 12 | 2, 3 | 123 | C2 × C40 | 80 | 40 | 7, 83 | |||
28 | C2 × C6 | 12 | 6 | 3, 13 | 60 | C2 × C2 × C4 | 16 | 4 | 7, 11, 19 | 92 | C2 × C22 | 44 | 22 | 3, 91 | 124 | C2 × C30 | 60 | 30 | 3, 61 | |||
29 | C 28 | 28 | 28 | 2 | 61 | C60 | 60 | 60 | 2 | 93 | C2 × C30 | 60 | 30 | 11, 61 | 125 | C 100 | 100 | 100 | 2 | |||
30 | C2 × C4 | 8 | 4 | 7, 11 | 62 | C 30 | 30 | 30 | 3 | 94 | C46 | 46 | 46 | 5 | 126 | C6 × C6 | 36 | 6 | 5, 13 | |||
31 | C 30 | 30 | 30 | 3 | 63 | C6 × C6 | 36 | 6 | 2, 5 | 95 | C 2 × C 36 | 72 | 36 | 2, 94 | 127 | C 126 | 126 | 126 | 3 | |||
32 | C2 × C8 | 16 | 8 | 3, 31 | 64 | C2 × C16 | 32 | 16 | 3, 63 | 96 | C2 × C2 × C8 | 32 | 8 | 5, 17, 31 | 128 | C 2 × C 32 | 64 | 32 | 3, 127 |
Rakendus
Raskustes, Farm, Hooley, . Waring sõnastas Wilsoni teoreemi ja Lagrange tõestas seda. Euler soovitas primitiivsete juurte olemasolu modulo algarvuks. Gauss tõestas seda. Artin esitas oma hüpoteesi algarvude olemasolu ja kvantifitseerimise kohta mooduli kohta, mille puhul antud täisarv on primitiivne juur. Brouwer aitas kaasa järjestikuste täisarvude komplektide olemasolu probleemi uurimisele, millest igaüks on k-s võimsusmoodul p. Bielhartz tõestas Artini oletuse analoogi. Hooley tõestas Artini oletust eeldusega, et laiendatud Riemanni hüpotees kehtib algebraliste arvuväljade puhul.
Märkmed
Kirjandus
- Iirimaa K., Rosen M. Klassikaline sissejuhatus kaasaegsesse arvuteooriasse. - M.: Mir, 1987.
- Alferov A.P., Zubov A.Yu., Kuzmin A.S. Tšeremuškin A.V. Krüptograafia põhialused. - Moskva: "Helios ARV", 2002.
- Rostovtsev A.G., Makhovenko E.B. Teoreetiline krüptograafia. - Peterburi: MTÜ "Professionaal", 2004.
PÕHIANDMED TEOORIAST
6. 1. Definitsioon 1.
Arvude klass moodul m on kõigi nende ja ainult nende täisarvude hulk, millel m-ga jagamisel on sama jääk r, st võrreldav moodul m (t Î N, t> 1).
Jäägiga arvuklassi tähistus r: .
Iga number klassist nimetatakse jäägiks mooduli m ja klassi ennast nimetatakse jääkide klassiks modulo m.
6. 2. Mooduljäägiklasside komplekti omadused t:
1) kogumoodul t saab t Jääkide klassid: Z t = { , , , … , };
2) iga klass sisaldab lõpmatu hulga täisarvusid (jääke) kujul: = ( a= mq+ r/qÎ Z, 0£ r< m}
3) "aÎ : aº r(mod m);
4) "a, bÎ : aº b(mod m), st mis tahes kaks võetud jääki ühest klass, võrreldav modulo t;
5) "aÎ , " bÎ : a b(mod m), see tähendab, et pole kahte jääki; võetud erinevatest klassid võrreldamatu modulo t.
6. 3. 3. definitsioon.
Täielik jääkide süsteem moodul m on mis tahes m arvu kogum, mis võetakse igast mooduli m jääkide klassist üks ja ainult üks.
Näide: kui m= 5, siis (10, 6, - 3, 28, 44) on terviklik jääkide süsteem mooduli 5 (ja mitte ainuke!)
Eriti,
komplekt (0, 1, 2, 3, … , m–1) on süsteem väikseim mittenegatiivne mahaarvamised;
komplekt (1, 2, 3, ... , m –1, t) on süsteem kõige vähem positiivne mahaarvamised.
6. 4. Pange tähele, et:
kui ( X 1 , X 2 , … , x t) on terviklik jääkide süsteem modulo t, siis
.
6. 5. 1. teoreem.
Kui a {X 1 , X 2 , … , x t} – täielik jääkide süsteem modulo m, "a, bÎ Z ja(a, t) = 1, – siis numbrisüsteem {Oh 1 +b, Oh 2 + b, … , ah t+b} moodustab ka tervikliku jääkide süsteemi modulo m .
6. 6. 2. teoreem.
Kõigil sama mooduli m jääkide klassi jääkidel on sama suurim ühisjagaja m-ga: "a, bÎ Þ ( a; t) = (b; t).
6. 7. 4. määratlus.
Jääkide klass moodulit m nimetatakse koaprimeks koos mooduli m-ga,kui vähemalt üks selle klassi jääk on koprime koos s.o.
Pange tähele, et antud juhul teoreemi 2 järgi kõik selle klassi numbrid on kaasalgarvud mooduliga t.
6. 8. Definitsioon 5.
Redutseeritud jääkide süsteem modulo m on jääkide süsteem, mis võetakse igast klassist ühe ja ainult ühe võrra m-ni.
6. 9. Pange tähele, et:
1) redutseeritud jääkide süsteem modulo t sisaldab j( t) numbrid ( X 1 , X 2 ,…, };
2) :
.
3) "x i : (x i, m) = 1;
Näide : Laske modulo t= 10 on 10 jääkide klassi:
Z 10 = ( , , , , , , , , , ) on mooduli 10 jäägiklasside hulk. Täielik mahaarvamiste süsteem mod 10 oleks näiteks järgmine: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
Paljud jääkide klassid, koprime koos mooduliga m= 10: ( , , , )(j(10) = 4).
Vähendatud mahaarvamiste süsteem moodul 10 oleks näiteks
(1, 3, 7, 9) või (11, 43, – 5, 17) või ( – 9, 13, – 5, 77) jne. (kõikjal j(10) = 4 numbrit).
6.10. Praktiliselt: moodustada üks võimalikest redutseeritud jääkide süsteemidest mod m, on vaja valida täielikust jääkide süsteemist mod m need jäägid, mis on koos m-ga. Sellised arvud on j( t).
6.11. 3. teoreem.
Kui a{X 1 , X 2 ,…, } – redutseeritud jääkide süsteem modulo m ja
(a, m) = 1, – siis numbrisüsteem {Oh 1 , Oh 2 , … , kirves j (t)} ka vormid
redutseeritud jääkide süsteem modulo m .
6.12. Definitsioon 6.
summa( Å ) mahaarvamisklassid ja +b võrdne kahe mahaarvamise summaga igast antud klassist ja : Å = , kus"aÎ , "bÎ .
6.13. Definitsioon 7.
tööd( Ä ) mahaarvamisklassid ja moodulit m nimetatakse jäägiklassiks , see tähendab arvudest a koosnev jääkide klass ´ b võrdne igast antud klassist ükshaaval võetud mis tahes kahe jäägi korrutisega ja : Ä = , kus"aÎ , "bÎ .
Seega jäägiklasside komplektis modulo t: Z t= ( , , ,…, ) on defineeritud kaks algebralist operatsiooni – "liitmine" ja "korrutamine".
6.14. 4. teoreem.
Jääkide klasside kogum Z t modulo t on assotsiatiiv-kommutatiivne ring ühikuga:
< Z t , +, · > = < { , , ,…, }, +, · > – ring.
TÜÜPILISED ÜLESANDED
1. Modulo t= 9:
1) kõige vähem positiivsete jääkide täielik süsteem;
2) kõige vähem mittenegatiivsete jääkide terviklik süsteem;
3) mahaarvamiste suvaline täissüsteem;
4) vähimate absoluutsete mahaarvamiste terviklik süsteem.
Vastus:1) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; 2) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
2. Koosta taandatud jääkide süsteem moodul t= 12.
Lahendus.
1) Koostage mooduli kõige vähem positiivsete jääkide täielik süsteem t= 12:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12) (kokku t= 12 numbrit).
2) Kustutame sellest süsteemist numbrid, mis ei ole koos arvuga 12:
{1, 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9 , 10 , 11, 12 }.
3) Ülejäänud arvud koos arvuga 12 moodustavad soovitud redutseeritud jääkide süsteemi modulo t= 12 (kokku j( t) = j(12) = 4 arvu).
Vastus:(1, 5, 7, 11) - redutseeritud jääkide süsteem modulo t= 12.
130. Koostage 1) kõige vähem positiivsete jääkide terviklik süsteem; 2) kõige vähem mittenegatiivsete jääkide terviklik süsteem; 3) suvaline mahaarvamiste süsteem; 4) väikseimate absoluutsete mahaarvamiste terviklik süsteem; 5) redutseeritud jääkide süsteem: a) modulo m= 6; b) modulo m = 8.
131. Kas komplekt (9, 2, 16, 20, 27, 39, 46, 85) on terviklik jääkide süsteem moodul 8?
132 Millise mooduli järgi on hulk (20, - 4, 22, 18, - 1) terviklik jääkide süsteem?
133. Muuda redutseeritud jääkide süsteem mooduliks m kui a) m= 9; b) m= 24; sisse) m= 7. Mitu arvu peaks selline süsteem sisaldama?
134. Sõnasta jääkide terviksüsteemi ja redutseeritud jääkide süsteemi põhiomadused moodul m .
135. Millised elemendid eristavad kõige vähem mittenegatiivsete jääkide redutseeritud ja täielikke süsteeme modulo prime?
136. Mis tingimusel on numbrid a ja - a kuuluvad samasse modulojääkide klassi m?
137. Millistesse mooduli 8 jääkide klassidesse kuuluvad kõik algarvud? R³ 3?
138. Kas arvude hulk (0, 2 0, 2 1, 2 2, ... , 2 9 ) moodustab tervikliku jääkide süsteemi moodul 11?
139. Mitu jääkide klassi moodul 21 kuulub kõikidesse ühe mooduli 7 jääkide klassi jääkidesse?
140. Täisarvude hulk Z jaotage jäägiklasside kaupa modulo 5. Koostage saadud jäägiklasside komplektis liitmis- ja korrutustabelid Z 5 . Kas komplekt Z 5: a) rühm klassi liitmise operatsiooniga? b) rühm klassikorrutise operatsiooniga?
§ 7. Euleri teoreem. FERMATI VÄIKE TEOREEM
PÕHIANDMED TEOORIAST
7. 1. 1. teoreem.
Kui aÎ Z,tÎ N, t>1 ja(a;t) = 1, – siis lõpmatus astmete jadas a 1 , a 2 , a 3 , ... , a s , … , a t, … astendajatega s ja t on vähemalt kaks astet(s<t) selline, et . (*)
7. 2. Kommenteeri. Tähistades t– s = k> 0, alates (*) saame: . Selle võrdluse mõlema poole tõstmine jõuks nÎ N, saame:
(**). See tähendab, et võimsusi on lõpmatu arv a, mis rahuldab võrdluse (**). Aga kuidas leida need näitajad? Mida vähemalt võrdlust rahuldav näitaja (**) ? Vastab esimesele küsimusele Euleri teoreem(1707 – 1783).
7. 3. Euleri teoreem.
Kui aÎ Z,tÎ N, t>1 ja(a;t) = 1, - siis . (13)
Näide.
Lase a = 2,t = 21, (a; t) = (2; 21) = 1. Siis . Kuna j (21) = 12, siis 2 12 º 1 (mod 21). Tõepoolest: 2 12 = 4096 ja (4096 - 1) 21. Siis on ilmne, et 2 24 º 1 (mod 21), 2 36 º 1 (mod 21) ja nii edasi. Kuid kas astendaja 12 - vähemalt rahuldav võrdlus 2 nº 1 (mod 21) ? Tuleb välja, et mitte. Madalaim näitaja saab P= 6: 2 6 º 1 (mod 21), kuna 2 6 – 1 = 63 ja 63 21. Pange tähele, et vähemalt indeks, mida otsida ainult arvu jagajate hulgas j( t) (selles näites arvu j(21) = 12 jagajate hulgas).
7. 4. Fermat' väike teoreem (1601 - 1665).
Iga algarvu p ja mis tahes arvu a korralÎ Z, ei jagu p-ga, on võrdlus olemas . (14)
Näide.
Lase a = 3,R= 5, kus 3 ei ole 5. Siis või
.
7. 5. Fermat' teoreemi üldistus.
Iga algarvu p ja suvalise arvu a korralÎ Z on võrreldud (15)
TÜÜPILISED ÜLESANDED
1. Tõesta, et 38 73 º 3 (mod 35).
Lahendus.
1) Kuna (38; 35) = 1, siis Euleri teoreemi järgi ; j(35) = 24, seega
(1).
2) Võrdlusest (1) on numbriliste võrdluste 2. järelduse põhjal saadud omadused 5 0:
3) Võrdlusest (2) omaduse 5 järelduse 1 järgi 0 võrdlust: 38 72 × 38 º 1 × 38 (mod 35) Þ Þ38 73 º38 º 38–35 = 3 (mod 35) Þ 38 73 º 3 (mod 35), mida tuli tõestada.
2. Arvestades: a = 4, t= 15. Leia väikseim astendaja k, mis rahuldab võrdlust (*)
Lahendus.
1) Alates ( a; m) = (4; 25) = 1, siis Euleri teoreemi järgi , j(25) = 20, seega
.
2) Kas leitud astendaja - arv 20 - vähemalt naturaalarv, mis rahuldab võrdlust (*)? Kui eksponent on väiksem kui 20, siis peab see olema 20 jagaja. Seega nõutav minimaalne eksponent k peate otsima paljude numbrite hulgast n= (1, 2, 4, 5, 10, 20) – 20 jagajad.
3) Millal P = 1: ;
juures P = 2: ;
juures P= 3: (pole vaja arvestada);
juures P = 4: ;
juures P = 5: ;
juures P= 6, 7, 8, 9: (pole vaja arvestada);
juures P = 10: .
Niisiis, vähemalt eksponent k, rahuldav võrdlus(*), on k= 10.
Vastus: .
HARJUTUSED ISESEISEV TÖÖKS
141. Euleri teoreemi järgi . Kell a = 3, t= 6 meil on:
.
Kuna j(6) = 2, siis 3 2 º1 (mod 6) või 9º1 (mod 6), siis lemma järgi (9 – 1) 6 või 8 6 (täiesti!?). Kus on viga?
142. Tõesta, et: a) 23 100 º1 (mod 101); b) 81 40 º 1 (mod100); c) 2,3 º 2 (mod 73).
143. Tõesta, et a) 1 16 + 3 16 + 7 16 + 9 16 º 4 (mod 10);
b) 5 4 P + 1 + 7 4P+ 1 jagub 12-ga ilma jäägita.
144. Tõesta Euleri teoreemile vastupidine teoreem: kui a j ( m) º 1 (mod m), siis ( olen) =1.
145. Leia väikseim astendaja kÎ N, Selle võrdluse rahuldamine: a) ; b)
; sisse)
; G)
;
e) ; e)
; ja)
; h)
.
ja) ; kuni)
; l)
; m)
.
146. Leidke jaotuse jääk:
a) 7100 11 eest; b) 9900 5 eest; c) 5176 korda 7; d) 2 1999 5 võrra; e) 8 377 5 kohta;
f) 26 57 x 35; g) 35 359 22 kohta; h) 5718 103 kohta; i) 27 260 40 eest; j) 25. 1998, lk 62.
147*. Tõesta seda a 561 º a(mod 11).
148*. Kui naturaalarvu kanooniline lagunemine P ei sisalda tegureid 2 ja 5, siis selle arvu 12. aste lõpeb 1-ga. Tõesta.
149*. Tõesta, et 2 64 º 16 (mod 360).
150*. Tõesta: kui ( a, 65) =1 , (b, 65) =1, siis a 12 –b 12 jagub võrdselt 65-ga.
3. peatükk. ARITMEETIKA RAKENDUSED
ARVVÕRDLUSE TEOORIAD
§ 8. SÜSTEMAATILISED NUMBRID
PÕHIANDMED TEOORIAST
1. TÄISARV SÜSTEMAATILISED NUMBRID
8. 1. Definitsioon 1.
Numbrisüsteem on mis tahes viis numbrite kirjutamiseks. Märke, millega need numbrid on kirjutatud, nimetatakse numbriteks.
8. 2. 2. definitsioon.
Täisarv mittenegatiivne süstemaatiline arv, mis on kirjutatud t-aarsesse positsiooninumbrisüsteemi, on arv n kujul
,kus a i(i = 0,1, 2,…, k) – täisarv mittenegatiivsed arvud - numbrid, ja 0 £ a i £ t– 1, t on arvusüsteemi alus, tÎ N, t > 1.
Näiteks arvu tähistus 7-astmelises süsteemis on: (5603) 7 = 5 × 7 3 + 6 × 7 2 + 0 × 7 1 + 3. Siin a i- need on 5, 6, 0, 3 - numbrid; nad kõik vastavad tingimusele: 0 £ a i£ 6. Millal t=10 öelda: number n sisse salvestatud kümnendarvu süsteem, ja indeks t= 10 ei kirjuta.
8. 3. 1. teoreem.
Mis tahes mittenegatiivset täisarvu saab esitada ainulaadsel viisil süstemaatilise arvuna mis tahes baasis t, kus tÎ N, t > 1.
Näide:(1 3 9) 10 = (3 5 1) 6 = (1 0 2 4) 5 = …
8. 4. Pange tähele, et:
1) omistamine süstemaatilisele nullide arvule vasakul ei muutu see number:
(3 4) 5 = (0 3 4) 5 .
2) omistamine süstemaatilisele numbrile s nullid paremal on samaväärsed korrutamine selle numbri jaoks t s: (3 4) 5 = 3 × 5 1 + 4; (3 4 0 0) 5 = 3 × 5 3 + 4 × 5 2 + 0 × 5 1 + 0 = 5 2 × (3 × 5 1 + 4).
8. 5. Algoritm sisse kirjutatud arvu teisendamisekst -arsüsteem, kümnendkohani:
Näide: (287) 12 = 2 × 12 2 + 8 × 12 1 + 7 × 12 0 = 2 × 144 + 8 × 12 + 7 = 288 + 96 +7 = (391) 10 .
8. 6. Algoritm kümnendarvudes kirjutatud arvu teisendamiseks süsteem, sisset - isiklik:
Näide: (3 9 1) 10 = (X) 12 . Otsi X.
8. 7. Toimingud süstemaatiliste numbritega
2. SÜSTEMAATILISED FRAKTSIOONID
8. 8. 3. definitsioon.
Lõplik t-kujuline süstemaatiline murd arvusüsteemis, mille alus on t, on vormi arv
kus c 0 Î Z, i - numbritega– täisarv mittenegatiivsed arvud, ja 0 £ koos i-ga£ t– 1, tÎ N, t > 1, kÎ N .
Tähistus: a = ( c 0 , Koos 1 Koos 2 …koos k-ga)t. Kell t= 10 nimetatakse murdosa kümnend.
8. 9. Tagajärg 1.
Iga lõplik süstemaatiline murd on ratsionaalne arv, mida saab esitada kui , kus aÎ Z,bÎ N.
Näide.
a = (3 1, 2 4) 6 = 3×6 + 1 + =19 + on ratsionaalne arv. Vastupidine väide ei pea üldiselt paika. Näiteks murdu ei saa teisendada lõplikuks süstemaatiliseks (kümnendmurruks).
8.10. 4. määratlus.
Lõpmatu t-kujuline positiivne süstemaatiline murd arvusüsteemis, mille alus on t, on arv kujul
, kust alates 0Î N, koos i-ga(i =1, 2, …, juurde, …) - numbrid– täisarv mittenegatiivsed arvud, ja 0 £ koos i-ga£ t–1, tÎ N, t > 1, kÎ N.
Tähistus: a = ( Koos 0 , Koos 1 Koos 2 … koos k-ga…) t. Kell t=10 nimetatakse murdosa kümnend.
8.11. Definitsioon 5.
Lõpmatuid süstemaatilisi murde on kolme tüüpi:
I a = ( Koos 0 , )t= =
t, kus =
= = … Sel juhul number a nimetatakse lõpmatuks puhtalt perioodiliseks murdeks,(Koos 1 Koos 2 … koos k-ga) – periood, k - perioodi numbrite arv - perioodi pikkus.
II a = .
Sel juhul on number a nimetatakse lõpmatuks perioodiliseks segamurruks, – eelperiood, () – periood, k - numbrite arv perioodis - perioodi pikkus, l - numbrite arv täisarvulise osa ja esimese perioodi vahel - eelperioodi pikkus.
III a = ( Koos 0 , Koos 1 Koos 2 … koos k-ga …)t . Sel juhul number a nimetatakse lõpmatuks mitteperioodiliseks murdeks.
TÜÜPILISED ÜLESANDED
1. Number ( a) 5 = (2 1 4 3) 5 , antud 5-astmelises süsteemis, teisendada 7-liikmeliseks süsteemiks, st leida X, kui (2 1 4 3) 5 = ( X) 7 .
Lahendus.
1) Teisendage antud arv (2 1 4 3) 5 arvuks ( juures) 10 kümnendsüsteemis kirjutatud:
2. Järgige juhiseid.
1) (7) 8 + (5) 8 ; 2) (7) 8 × (5) 8; 3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6 ;
4) (5 2 3 4) 7 – (2 3 5 1) 7 ; 5) (4 2 3) 5 × (3 2) 5; 6) (3 0 1 4 1) 5: (4 2 3) 5 .
Lahendus.
1) (7) 8 + (5) 8 = (7) 10 + (5) 10 = (12) 10 = 1 × 8 + 4 = (1 4) 8;
2) (7) 8 × (5) 8 = (7) 10 × (5) 10 = (35) 10 = 4 × 8 + 3 = (4 3) 8;
3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6 (1 2 4 3 3) 6 | Märge: | 4+5 = 9 = 1×6+3, kirjutatakse 3, 1 läheb järgmisele numbrile, 6+3+1=10 =1×6+4, kirjutatakse 4, 1 läheb järgmisele numbrile, 3+ 4+1= 8 \u003d 1 × 6 + 2, 2 kirjutatakse, 1 läheb järgmise numbri juurde. |
4) (5 2 3 4) 7 – (2 3 5 1) 7 (2 5 5 3) 7 | Märge: | "hõivata" kõrgeima astme üksuse, st "1" = 1x7: (3 + 1x7) - 5 = 10 - 5 = 5, (1 + 1x7) - 3 = 8 - 3 = 5, |
5) (4 2 3) 5 ´ (3 2) 5 (1 4 0 1) 5 + (2 3 2 4) 5__ (3 0 1 4 1) 5 | Märge: | 2-ga korrutamisel: 3 × 2 = 6 = 1 × 5 + 1, kirjutame 1, 1 läheb järgmisele numbrile, 2 × 2 +1 = 5 = 1 × 5 +0, kirjutame 0, 1 läheb järgmine number, 2 ×4 +1=9 = 1×5 +4, kirjutatakse 4, 1 läheb järgmisele numbrile, 3-ga korrutamisel: 3 ×3 = 9 = 1×5 + 4, kirjutatakse 4, 1 läheb järgmisele numbrile, 3 × 2 +1=7 = 1×5 +2, kirjutatakse 2, 1 läheb järgmisele numbrile, 3×4 +1=13=2×5 +3, kirjutatakse 3, 2 läheb järgmise numbri juurde. |
6) (3 0 1 4 1) 5 | (4 2 3) 5
2 3 2 4 (3 2) 5
1 4 0 1 Vastus: 1) (1 4) 8 ; 2) (4 3) 8 ; 3) (1 2 4 3 3) 6 ; 4) (2 5 5 3) 7 ;
(0) 5 5) (3 0 1 4 1) 5 ; 6) (3 2) 5 .
HARJUTUSED ISESEISEV TÖÖKS
151. Numbrid antud sisse t-arsüsteem, teisenda kümnendsüsteemiks:
a) (2 3 5) 7; b) (2 4 3 1) 5; c) (1 0 0 1 0 1) 2; d) (1 3) 15;
e) (2 7) 11; f) (3 2 5 4) 6; g) (1 5 0 1 3) 8; h) (1 1 0 1 1 0 0 1) 2;
i) (7 6 2) 8; j) (1 1 1 1) 20 .
152. Numbrid. antud kümnendsüsteemis, teisendada järgmiseks t-IC süsteem. Tehke kontroll.
a) (1 3 2) 10 = ( X) 7 ; b) (2 9 8) 10 = ( X) 5 ; c) (3 7) 10 = ( X) 2 ; d) (3 2 4 5) 10 = ( X) 6 ;
e) (4 4 4 4) 10 = ( X) 3 ; f) (5 6 3) 10 = ( X) 12 ; g) (5 0 0) 10 = ( X) kaheksa ; h) (6 0 0) 10 = ( X) 2 ;
i)(1 0 0 1 5) 10 =( X) kakskümmend ; j) (9 2 5) 10 = ( X) kaheksa ; k) (6 3 3) 10 = ( X) viisteist ; m) (1 4 3) 10 = ( X) 2 .
153. Numbrid antud sisse t-ary süsteem, tõlkida keelde q-ic süsteem (läbides kümnendsüsteemi).
a) (3 7) 8 = ( X) 3 ; b) (1 1 0 1 1 0) 2 = ( X) 5 ; c) ( 6 2) 11 = ( X) 4 ;
d) (4) 12 = ( X) 9 . e) (3 3 1 3 1) 5 = ( X) 12 .
154. a) Kuidas muutub arv (1 2 3) 5, kui sellele paremale lisada null?
b) Kuidas muutub arv (5 7 6) 8, kui sellele paremale lisada kaks nulli?
155. Järgige neid samme.
a) (3 0 2 1) 4 + (1 2 3 3) 4 ; b) (2 6 5 4) 8 + (7 5 4 3) 8 ; c) (1 0 1 1 0 1) 2 +(1 1 0 1 10) 2 ;
d) (5 2 4 7) 9 + (1 3 7 6) 9 ; e) (4 7 6) 9 - (2 8 7) 9; f) (2 4 5 3) 7 – (1 6 4 5) 7 ;
g) (8 3) 12 - (5 7 9) 12; h) (1 7 5) 11 – ( 6) 11 ; i) (3 6 4 0 1) 7 – (2 6 6 6 3) 7 ;
j) (1 0 0 1 0) 2 × (1 1 0 1) 2; k) (7 4 1) 8 × (2 6) 8; m) (5 3 7 2) 8 × (2 4 6) 8;
m) (3 3 2 1) 4 × (2 3 0) 4; o) (1 0 2 2 2 2) 3: (1 2 2) 3; n) (2 1 0 3 2) 4: (3 2 3) 4;
p) (2 6 1 7 4) 8: (5 4 6) 8 ; c) (4 3 2 0 1) 5: (2 1 4) 5; t)(1 1 0 1 0 0 1 0) 2:(1 0 1 0 1) 2
y) (1 1 0 1 1 0) 2: (1 1 1) 2; f) (1 1 1 0) 6: (2 1 5) 6; x)(3 2 3 8 2 2 1 7 0) 9:(7 6 4 2) 9 .
v) (1 6 3 5) 8 + (7 6 4) 8; h) (1 1 1 1) 3 - (2 1 2) 3; w)(1 2 7) 12 +(9 1 3 5 ) 12b × b 1 Siis:
I Kui nimetaja b = b"(sisaldab ainult "2" ja/või "5") - siis teisendatakse murdosa lõplik kümnendmurd. Kümnendkohtade arv on võrdne väikseima naturaalarvuga l lº 0( mod b").
II Kui nimetaja b = b 1(ei sisalda "2" ja "5"), siis teisendatakse murd lõpmatu puhtalt perioodiline on võrdne väikseima naturaalarvuga k, rahuldav võrdlus 10 kº 1( mod b 1).
III Kui nimetaja b = b"× b 1 (sisaldab "2" ja/või "5", samuti muid algtegureid), siis teisendatakse murdarvuks lõpmatu segaperiood kümme-
tiksuv murdosa.
Perioodi pikkus võrdub väikseima naturaalarvuga k, rahuldav võrdlus 10 kº 1( mood b 1).
Eelperioodi pikkus võrdub väikseima naturaalarvuga l, rahuldav võrdlus 10 lº 0( mod b").
9. 2. Järeldused.
9. 3. Pange tähele, et:
ratsionaalarv on mis tahes lõplik kümnendmurd või lõpmatu perioodiline kümnendmurd;
Irratsionaalarv on mis tahes lõpmatu mitteperioodiline kümnendmurd.
TÜÜPILISED ÜLESANDED
1. Need kümnendsüsteemis kirjutatud harilikud murrud teisendatakse
kümnendkoht, varem olles määranud soovitud murdosa tüübi (lõplik või lõpmatu; perioodiline või mitteperioodiline; kui - perioodiline, siis puhtalt perioodiline või segaperiood); viimastel juhtudel ette leida number k– perioodi pikkus ja arv l on eelperioodi pikkus. üks); 2) ; 3).
Lahendus.
1) Murd = nimetaja - arv b= 80 = 2 4 × 5 sisaldab ainult "2" ja "5". Seetõttu teisendatakse see murdosa järgmiseks lõplik kümnendmurd. Kümnendkohtade arv ma nimi määratud tingimusest: 10 lº0 (mod80):
2) Murd = nimetaja - arv b= 27 = 3 3 ei sisalda "2" ja "5". Seetõttu teisendatakse see murd lõpmatuks puhtalt perioodiline kümnendmurd. Perioodi pikkus k nimi määratud tingimusest: 10 kº1 (mod27):
3) Murd = nimetaja - arv b= 24 = 2 3 × 3, see tähendab, et see näeb välja selline: b = b"× b 1 (välja arvatud "2" või "5" sisaldab muid tegureid, antud juhul numbrit 3). Seetõttu teisendatakse see murd lõpmatuks segatud perioodiline kümnendmurd. Perioodi pikkus k nimi määratud tingimusest: 10 kº1 (mod3), kust k nimi= 1, see tähendab perioodi pikkus k= 1. Perioodieelne pikkus ma nimi määratud tingimusest: 10 lº0 (mod8), kust ma nimi= 3, see tähendab eelperioodi pikkus l = 3.
Kontrollige: jagage "nurk" 5 24-ga ja saad: = 0, 208 (3).
Vastus: 1) 0, 0375; 2) 0, (074); 3) 0, 208 (3).
HARJUTUSED ISESEISEV TÖÖKS
156. Need kümnendsüsteemis kirjutatud tavalised murrud teisendatakse kümnendmurdudeks. Kui kümnendkoht on perioodiline, siis varem leidke number k- perioodi pikkus ja arv l- eelperioodi pikkus.
157. Need tavalised murrud, mis on kirjutatud kümnendsüsteemis, teisendavad t-ar süstemaatilised murrud. Leia numbrid k- perioodi pikkus ja l- eelperioodi pikkus.
158*. Millises arvusüsteemis on arv (4 6) 10 kirjutatud samades arvudes, kuid sisse
vastupidises järjekorras?
159*. Kumb on suurem: 8. numbri ühik kahendsüsteemis või 4. numbri ühik kaheksandsüsteemis?
§ 10. PASCALI TEOREEM. JAGATAVUSE MÄRGID
PÕHIANDMED TEOORIAST
10. 1. Pascali teoreem (1623 – 1662).
Naturaalarvud on antud: t > 1ja n, kirjutatud t-süsteemis:
,kus a i on arvud: a iÎ N, 0 £ a i £ t–1 (i = 0,1, 2,…, k), tÎ N, t > 1.
Lase n= (a k a k - 1 … a 1 a 0) 10 = a k×10 k +a k - 1 × 10 k- 1 +…+a 1×10+ a 0 , m=3 ja m = 9.
1) Leia b i: modulom = 3 moodulitm = 9
10 0 º1 (mod3), st. b 0 =1, 10 0 º1 (mod9), st. b 0 =1,
10 1 º1 (mod3), st. b 1 = 1, 10 1 º1 (mod9), st. b 1 =1,
10 2 º1 (mod3), st. b 2 =1, 10 2 º1 (mod9), st. b
Täielik arveldussüsteem. Antud mahaarvamiste süsteem. Levinumad mahaarvamissüsteemid on: kõige vähem positiivsed, kõige vähem mittenegatiivsed, absoluutselt kõige vähem jne.
1. teoreem. Täieliku ja redutseeritud jääkide süsteemi omadused.
1° Täieliku mahaarvamiste süsteemi kriteeriumid. Mis tahes kombinatsioon m täisarvud, mis on paarikaupa võrreldamatud moodul m, moodustab tervikliku jääkide süsteemi modulo m.
2°. Kui numbrid x 1 , x 2 , ..., x m– täielik jääkide süsteem modulo m, (a, m) = 1, b on suvaline täisarv, siis arvud kirves 1 +b, kirves 2 +b, ..., kirves m+b moodustavad ka tervikliku jääkide süsteemi modulo m.
3°. Vähendatud vähendamise süsteemi kriteerium. Iga kogu, mis koosneb j( m) täisarvud, mis on paarikaupa võrreldamatud mooduliga m ja koos mooduliga moodustab redutseeritud jääkide süsteemi moodul m.
4°. Kui numbrid x 1 , x 2 , ..., x j ( m) on redutseeritud jääkide süsteem modulo m, (a, m) = 1, siis numbrid kirves 1 , kirves 2 , ..., a x j ( m) moodustavad ka vähendatud jääkide süsteemi modulo m.
2. teoreem. Euleri teoreem.
Kui numbrid a ja m koprime, siis a j ( m) º 1 (mod m).
Tagajärg.
1°. Fermat' teoreem. Kui a lk on algarv ja a ei jagatav lk, siis a p–1 º 1 (mod lk).
2°. Üldistatud Fermat’ teoreem. Kui a lk on siis algarv a p º a(mod lk) iga aÎ Z .
§ neli. Võrdluste lahendamine muutujaga
Võrdlusotsus. Samaväärsus. Võrdlusaste.
Teoreem. Kongruentside lahenduste omadused.
1° Kongruentside lahused on terved jääkide klassid.
2°. (" k)(a k º b k(mod m))Ù k= võrdluse z º 0 (mod m) ja º 0 (mod m) on samaväärsed.
3°. Kui võrdluse mõlemad osad korrutada mooduliga arvu koapriidiga, saadakse võrdlus, mis on samaväärne algse võrdlusega.
4°. Igasugune võrdlusmoodul a prime lk on samaväärne võrdlusega, mille aste ei ületa lk–1.
5°. Võrdlus º 0 (mod lk), kus lk on algarv, omab maksimaalselt n erinevaid lahendusi.
6°. Wilsoni teoreem. ( n-üks)! º –1 (mod n) Û n Algarv.
§ 5. Esimese astme võrdluste lahendamine
kirves º b(mod m).
Teoreem. 1°. Kui a ( a, m) = 1, siis on võrdlusel lahendus ja see on kordumatu.
2°. Kui a ( a, m) = d ja b ei jagatav d, siis pole võrdlusel lahendusi.
3°. Kui a ( a, m) = d ja b jagatuna d, siis on võrdlus olemas d erinevad lahendused, mis moodustavad ühe mooduljääkide klassi.
Võrdluste lahendamise viisid kirves º b(mod m) millal ( a, m) = 1:
1) valik (täieliku mahaarvamiste süsteemi elementide loetlemine);
2) Euleri teoreemi kasutamine;
3) Eukleidese algoritmi kasutamine;
4) koefitsientide muutmine (kasutades teoreemi 2.2 jääkide terviksüsteemi omadust 2°);
§6. Esimese astme määramatud võrrandid
kirves+kõrval = c.
Teoreem. Võrrand kirves+kõrval = c lahendatav siis ja ainult siis c (a, b).
Millal ( a, b) = 1 kõik võrrandi lahendid on antud valemitega
tÎ Z , kus x 0 on mingi võrdluslahendus
kirves º c(mod b), y 0 = .
Diofantiini võrrandid.
PEATÜKK 10. Kompleksarvud
Kompleksarvude süsteemi definitsioon. Kompleksarvude süsteemi olemasolu
Kompleksarvude süsteemi definitsioon.
Teoreem. Kompleksarvude süsteem on olemas.
Mudel: R 2 operatsioonidega
(a, b)+(c, d) = (a+c, b+d), (a, b)×( c, d) = (ac–bd, eKr+reklaam),
i= (0, 1) ja identifitseerimine a = (a, 0).
Kompleksarvu algebraline vorm
Kompleksarvu esitamine kujul z = a+bi, kus a, bÎ R , i 2 = -1. Sellise esituse ainulaadsus. Re z, Im z.
Algebralisel kujul kompleksarvude aritmeetiliste toimingute sooritamise reeglid.
Aritmeetika n-mõõtmeline vektorruum C n. Lineaarvõrrandite, maatriksite ja determinantide süsteemid üle C .
Ruutjuurte eraldamine kompleksarvudest algebralisel kujul.
osa jääkide terviklikust süsteemist (vt. Täielik jääkide süsteem), mis koosneb arvudest koaprime ja moodul m. P. s. sisse. sisaldab φ( m) numbrid [φ( m) on arvude arv, millega on koal m ja väiksemad m]. mis tahes φ( m) arvud, mis ei ole moodulis võrreldavad m ja koos sellega, vorm P. s. sisse. selle mooduli jaoks.
- - vt vähendatud mass...
Füüsiline entsüklopeedia
- - liikuvas mehaanilises masside jaotumise tingimuslik karakteristik. või segasüsteem, olenevalt füüsilisest. süsteemi parameetritest ja selle liikumisseadusest...
Füüsiline entsüklopeedia
- - modulo m - mis tahes täisarvude komplekt, mis on võrreldamatu modulo one. Tavaliselt nagu P. koos. sisse. mooduli väikseimad mittenegatiivsed jäägid 0, 1, . . ...
Matemaatiline entsüklopeedia
- - korterelamu kasuliku pinna summa, samuti lodžade, verandade, rõdude pindala koos vastavate vähendusteguritega - on antud kogupind - přepočtená užitková plocha - Gesamtfläche - fajlagos alapterület - hörvüulsen ...
Ehitussõnastik
- - Vaadake kivimite poorsuse koefitsienti ...
- - kivimi pooride mahu ja kivimi skeleti mahu suhe, mida tavaliselt väljendatakse ühiku murdosades ...
Hüdrogeoloogia ja insenerigeoloogia sõnastik
- - vaata poorsuse koefitsienti...
Mullateaduse seletav sõnaraamat
- - sama mis põhiosa...
- - masside jaotuse tingimuslik iseloom liikuvate kehade süsteemis, mis on kasutusele võetud mehaanikas, et lihtsustada süsteemi liikumisvõrrandeid ...
Suur entsüklopeediline polütehniline sõnaraamat
- - Riigi mitteresidendi saadud dividendidelt või muult tulult sissenõutav tulumaks...
Finantssõnavara
- - Riigi mitteresidendi saadud dividendidelt või muult tulult sissenõutav tulumaks...
Äriterminite sõnastik
- - modulo m, mis tahes täisarvude kogum, mis sisaldab ühte numbrit igast numbriklassist modulo m. Nagu P. koos. sisse. kõige sagedamini kasutatav kõige vähem positiivsete jääkide süsteem 0, 1, 2,.....
- - masside jaotumise tingimuslik omadus liikuvas mehaanilises või segasüsteemis, sõltuvalt süsteemi füüsikalistest parameetritest ja selle liikumise seadusest ...
Suur Nõukogude entsüklopeedia
- - VÄHENDATUD mass - masside jaotumise tingimuslik omadus liikuvas mehaanilises või segasüsteemis, sõltuvalt süsteemi füüsikalistest parameetritest ja selle liikumise seadusest ...
Suur entsüklopeediline sõnastik
- - üldine, kõik, kumulatiivne, ...
Sünonüümide sõnastik
- - adj., sünonüümide arv: 1 puhas ...
Sünonüümide sõnastik
Raamatutes "vähendatud mahaarvamiste süsteem".
Mis on põhipädevuste praegune väärtus?
Raamatust Kaalutu rikkus. Määrake oma ettevõtte väärtus immateriaalse vara majanduses autor Thyssen ReneMis on põhipädevuste praegune väärtus? Eeltoodu põhjal võime öelda, et põhipädevuse nüüdisväärtus arvutatakse kõigi näitajate korrutamisel teatud aja jooksul, võttes arvesse kaasamise kulusid.
Praegune puhasväärtus (NPV)
MBA raamatust 10 päevaga. Maailma juhtivate ärikoolide kõige olulisem programm autor Silbiger StefanNüüdispuhasväärtus (NPV) Nüüdisväärtuse (NPV) analüüs aitab välja arvutada, kui palju peab töötaja investeerima, et saada 30 aasta pärast korralikku pensioni, kuid see analüüs ei ole kasulik praeguste investeeringute ja projektide hindamisel. Investeeringuid tuleb hinnata
ÜKSIKASJADE ARVESTUS JA PALGAst mahaarvamised
Raamatust Raamatupidamine autor Melnikov IljaANDMETE TUNNISTAMINE JA PALGALT MAHAARVUSED Vastavalt seadusandlusele tehakse töötajate töötasust mahaarvamisi: - tulumaks (riigimaks, maksustamise objekt - töötasu);
10.6. Palgast mahaarvamiste ja mahaarvamiste arvestus
Raamatust Raamatupidamine põllumajanduses autor Bychkova Svetlana Mihhailovna10.6. Mahaarvamiste ja töötasust mahaarvamiste arvestus Ettevõtte töötajate töötasust tehakse teatud mahaarvamisi, mis jagunevad järgmiselt: kohustuslikud mahaarvamised (isiku tulumaks, mahaarvamised täitekorraldustelt);
Raamatust Immateriaalne vara: raamatupidamine ja maksuarvestus autor Zakharyin V R<...>
4.1. Sotsiaalmaksusoodustuste tegemise üldküsimused
autor Makurova Tatjana4.1. Sotsiaalmaksu mahaarvamise tegemise üldküsimused Sotsiaalmaksu mahaarvamine (maksuseadustiku artikkel 219), samuti kinnisvara mahaarvamine eluaseme ostmisel tähendab maksustamisbaasi vähenemist tehtud sotsiaalkulude summa võrra, võttes arvesse seadusandlus
4.3. Hariduslike mahaarvamiste tegemise tunnused
Raamatust Isiku tulumaksu eneseõpetus autor Makurova Tatjana4.3. Õppeasjadest mahaarvamise tegemise iseärasused 142) Milliseid kulusid saab aktsepteerida õppemaksu mahaarvamisena? Millised on haridusega seotud mahaarvamiste piirmäärad?Hariduse sotsiaalmaksu mahaarvamisel võetakse vastu: kulud maksumaksja poolt aastal tasutud summas.
3.4. Maksusoodustuste kvantifitseerimine ja esinemissagedus ning kohaldamine
Raamatust Ettevõtte maksukoormus: analüüs, arvutamine, juhtimine autor Chipurenko Jelena Viktorovna3.4. Maksusoodustuste kvantifitseerimine ja esinemissagedus ning kohaldamine 3.4.1. Käibemaks kui potentsiaalne maksusoodustus Käibemaksu arvutamisel määratakse mahaarvamiste summad ainult vastavalt maksuarvestuse registrite - osturaamatute andmetele. Kell
Täielik mahaarvamiste süsteem
Autori raamatust Great Soviet Encyclopedia (PO). TSBVähendatud mass
TSBVähendatud mahaarvamiste süsteem
Autori raamatust Suur nõukogude entsüklopeedia (PR). TSB88. Samaaegsete võrrandite süsteemi struktuursed ja redutseeritud vormid. Mudeli tuvastamine
Raamatust Vastused ökonomeetria eksamipiletitele autor Jakovleva Angelina Vitalievna88. Samaaegsete võrrandite süsteemi struktuursed ja redutseeritud vormid. Mudeli identifitseerimine Struktuurivõrrandid on võrrandid, mis moodustavad algse samaaegsete võrrandite süsteemi. Sel juhul on süsteemil struktuurne vorm Struktuurne vorm
Raamatust Uus maksuseadustikus: kommentaar 2008. aastal jõustunud muudatustele autor Zrelov Aleksander PavlovitšArtikkel 172. Maksusoodustuste tegemise kord
autor autor teadmataArtikkel 172
Raamatust Vene Föderatsiooni maksuseadustik. Esimene ja teine osa. Muudatuste ja täiendustega tekst seisuga 01.10.2009 autor autor teadmataArtikkel 201. Maksusoodustuste tegemise kord